Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/qmmin06.ps Дата изменения: Tue Dec 5 14:06:00 2006 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:42:56 2012 Кодировка: IBM-866

Теоретический минимум
для экзамена по квантовой теории (2-й поток)
(январь 2007 г.)
Часть I
1. Матрица плотности ^
:
{ среднее значение наблюдаемой h ^
Ai
{ условие нормировки
{ вероятность пребывания в чистом состоянии j i
{ условие чистоты состояния, связь ^
 с соответствующей j i
2. Волновая функция j i:
{ определение чистого состояния
{ среднее значение наблюдаемой h ^
Ai
{ условие нормировки
{ вероятность пребывания в другом чистом состоянии ji
3. Измерение наблюдаемой ^
A (чисто дискретный спектр) в состоянии ^
:
{ результаты измерения и их вероятность
{ среднее значение и дисперсия
4. Измерение наблюдаемой ^
A (чисто дискретный спектр) в чистом состоянии j i:
{ результаты измерения и их вероятность
{ среднее значение и дисперсия
5. Соотношение неопределенностей для наблюдаемых ^
A и ^
B.
6. Определение эрмитова оператора, проекционного оператора, унитарного оператора. Спектральное
разложение эрмитова оператора (чисто дискретный спектр и общий случай).
7. Унитарное преобразование в гильбертовом пространстве (наблюдаемая, матрица плотности, волно-
вая функция).
8. Наблюдаемая ^
A с непрерывным спектром, базис собственных функций:
{ условие нормировки
{ разложение произвольной j i по базису, физический смысл (a).
9. Составные системы:
{ матрица плотности подсистемы
{ все возможные сочетания типов состояний (чистых и смешанных) для составной системы и ее
подсистем
{ примеры всех возможных сочетаний типов состояний (чистых и смешанных) для составной си-
стемы и ее подсистем для системы двух спинов 1/2
10. Динамика:
{ Уравнение Гайзенберга, его формальное решение.
{ Нестационарное уравнение Шредингера, его формальное решение.
{ Связь представлений Гайзенберга и Шредингера.
{ Оператор эволюции: уравнение и свойства.
{ Стационарное уравнение Шредингера, стационарные состояния, их физический смысл.
11. Одномерное движение материальной точки:
{ каноническое коммутационное соотношение
{ координатное и импульсное представления, их связь
{ физический смысл (x), (p)
{ нестационарное уравнение Шредингера в координатном представлении
{ стационарное уравнение Шредингера в координатном представлении
{ уравнение непрерывности
12. Одномерное стационарное уравнение Шредингера:
{ области дискретного и непрерывного спектра, кратность вырождения
{ осцилляционная теорема
{ случай четного потенциала
13. Гармонический осциллятор:
{ определение ^ a и ^ a + , их коммутатор
{ матричные элементы ^ a и ^
a + в базисе jni
{ гамильтониан осциллятора, уровни энергии
{ когерентное состояние ji, его физический смысл
{ действие ^
a и ^ a + на ji и hj
14. Одномерная задача рассеяния: определение коэффициентов отражения и прохождения
1

15. Трехмерное движение материальной точки:
{ канонические коммутационные соотношения
{ координатное и импульсное представления, их связь
{ нестационарное и стационарное уравнение Шредингера в координатном представлении
{ уравнение непрерывности
16. Момент:
{ определение момента
{ матричные элементы l z l l +
{ определение скалярного и векторного операторов
{ матричные элементы скалярного оператора A: hl 0 m 0 jAjlmi = ?
17. Сложение моментов:
{ значения суммарного момента, коэффициенты Клебша-Гордона
{ сложение двух спинов 1/2, явный вид синглетных и триплетных волновых функций
18. Сферически-симметричный потенциал:
{ радиальное уравнение Шредингера
{ граничное условие при r = 0
19. Формулы для операторов:
{ exp( ^
A) ^
B exp( ^
A) = ?
{ [ ^
A; ^
B] = , [ ^
A; f( ^
B)] = ?
{ (~a
~)( ~ b
~) = ?
{ Матрицы Паули
Часть II
1. Стационарная теория возмущений.
{ Условие применимости.
{ Невырожденный уровень. Поправка к энергии, 1-й и 2-й порядки.
{ Вырожденный уровень. Поправка к энергии, 1-й порядок.
2. Потенциальное рассеяние.
{ Определение амплитуды расеяния, сечения рассеяния.
{ Амплитуда рассеяния в 1-м Борновском приближении. Условия применимости 1-го Борновского
приближения.
{ Парциальные разложения: плоской волны; волновой функции, описывающей рассеяние; ампли-
туды рассеяния; сечения рассеяния.
{ Условие унитарности для парциальных амплитуд рассеяния.
{ Выражение для парциальной амплитуды рассеяния через фазу рассеяния.
3. Переходы.
{ Представление взаимодействия (Дирака). Уравнения для операторов и волновых функций. Связь
с представлениями Шредингера и Гайзенберга.
{ Мгновенный и адиабатический переходы (определение и результат).
{ Золотое правило Ферми (формула и ее физический смысл).
4. Вторичное квантование.
{ Канонические коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения.
{ Оператор волновой функции.
{ Выражения для одночастичного и двухчастичного операторов.
5. Излучение.
{ Коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения фотонов.
{ Энергия и импульс поля излучения.
{ Оператор вектор-потенциала.
{ Формула для электрического дипольного излучения.
{ Правила отбора для электрического дипольного излучения.
6. Уравнение Дирака.
{ Уравнение Дирака.
{ Спин и спиральность частицы Дирака.
{ Интерпретация решений свободного уравнения Дирака.
2