Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/lect1a.ps Дата изменения: Sat Feb 17 13:40:43 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:41:59 2012 Кодировка: IBM-866

ЛЕКЦИЯ 1. 7.2.07
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
КВАНТОВАЯ КИНЕМАТИКА
Первая формула современной квантовой теории была опубликова-
на в 1895 году, когда Бальмер показал, что частоты линий излучения
водорода можно перечислить парами целых чисел
! = !(m; n) = R(
1
m 2
1
n 2
):
Правда, сам Бальмер проверил эту формулу лишь для четырех линий,
соотвествующих значениям m = 2 и n = 3; 4; 5; 6, и даже сомневался в
том, можно столь же просто описать излучение сложных атомов.
Однако, уже в 1908 году Ритц, обобщая огромный эксперименталь-
ный материал, сформулировал известный комбинационный принцип, из
которого, в частности следовало, что
частоту любой линии излучения любого атома можно представить
как разность значений некоторой функции, вычисленной в целочи-
сленных точках:
!(m; n) = F (m) F (n) = !m ! n :
Удобно исключить из этой формулы упоминание о функции F , пред-
ставив ее как закон композиции частот:
!(m; l) + !(l; n) = !(m; n); !(n; n) = 0: (1)
Справедливость комбинационного принципа как точного закона приро-
ды означает, что экспериментальное изучение излучения атомов пре-
доставляет в распоряжение физиков набор функций Fmn e i!(m;n)t . Это
обстоятельство позволяет связать с каждой величиной F , относящейся
к электромагнитному полю, представляющий ее набор
F () fFmn ; !(m; n)g; (2)
1

в котором частоты удовлетворяют условию (1).
Если считать, что этот набор сопоставлен с величиной F в началь-
ный момент времени t = 0, то величине F (t) соотвествует набор
F (t) () fFmn (t) = Fmn e i!(m;n)t ; !(m; n)g: (3)
Однако, одного только сопоставления физических величин с их предста-
вителями для теории недостаточно. Задачей физики является выявле-
ние функциональных связей между наблюдаемыми величинами. При
этом естественно возникает следующая задача:
в момент t = 0 измерены величины G и F , и оказалось, что G
зависит от F вполне определенным образом:
G = g(F ):
Как связаны друг с другом величины G(t) и F (t)?
Поскольку эволюция не должна изменять вида функциональной зави-
симости, должно выполняться соотношение
G(t) = g(F (t)): (4)
Нетрудно показать, что это условие будет выполнено, если под сово-
купностью величин
Fmn ; Fmn (t); Gmn ; Gmn (t)
понимать матрицы
^
F ; ^
F (t); ^
G; ^
G(t);
cвязанные равенствами
^
G = g( ^
F ); ^
G(t) = g( ^
F (t)):
F () fFmn ; !(m; n)g;
G () fGmn = (g(F ) mn ); !(m; n)g:
fFmn g; fFmn (t)g и fGmn g; fGmn (t)g
2

F (t) () f ^
F (t) = (Fmn e i!(m;n)t ); !(m; n)g;
G(t) () f ^
G(t) = g(F (t)) mn = (g(F ) mn e i!(m;n)t ); !(m; n)g:
Рассмотрим, например, простейшую функцию, когда G = F 2 . В
этом случае
Gmn =
X
l
F ml F ln ;
а
Gmn (t) =
X
l
F ml (t)F ln (t) =
X
l
F ml e i!(m;l)t F ln e i!(l;n)t :
Поскольку
!(m; l) + !(l; n) = !(m; n);
то
Gmn (t) = (
X
l
F ml F ln )e i!(m;n)t = Gmn e i!(m;n)t :
Итак, справедливость комбинационного принципа требует пересмотра
кинематических понятий классической физики, точнее говоря,
если считать комбинационный принцип точным законом природы,
то в математическом аппарате, описывающем электромагнитные
явления, физическим величинам должны ставиться в соотвествие
матрицы, а функциям этих величин { соответствующие матричные
функции.
УРАВНЕНИЯ ГАЙЗЕНБЕРГА
Что изменится в наших рассуждениях, если в рассматриваемую
систему, кроме электромагнитного поля, будут включены и взаимодей-
ствующие с ним частицы?
Одним из главных достоинств электродинамики Максвелла-Лоренца
было понятие об ускоренном движении заряженных частиц, как при-
чине электромагнитного излучения. Это означает, в частности, что
исследуя излучение системы финитно движущихся зарядов можно сде-
лать вполне определенные выводы о характере движения порождающих
электромагнитное поле частиц.
3

В 1925 году Гайзенберг сформулировал утверждение о том, что на
атомном уровне излучение является единственным источником знаний
о движении электронов. Поэтому математический аппарат, описыва-
ющий поведение электронов в атомах, должен быть основан на тех же
кинематических понятиях, которые определены при описании электро-
магнитного поля. Итак, если справедлив закон композиции частот (1),
то
с каждой динамической переменной физической системы следует
сопоставить некоторую матрицу, а функции, связывающие эти ве-
личины, должны пониматься как матричные функции.
Для дальнейшего существенно, что матрицы ^
F (t), определяющие
зависимость переменной F от времени, можно получить как решение
некоторого дифференциального уравнения. Для этого вернемся к фор-
муле
Fmn (t) = Fmn e i!(m;n)t = e i!m t Fmn e i!n t
и продифференцируем обе ее части по времени:
dFmn (t)
dt
= i! mFmn (t) iF mn (t)! n :
Если определить диагональную матрицу
Hmn = h! m Ї mn ;
то предыдущую формулу можно записать в форме
dFmn
dt
= i
h
X
l
(H ml F ln F ml H ln ):
Удобно определить коммутатор матриц ^
A и ^
B:
[ ^
A; ^
B] = ^
A ^
B ^
B ^
A:
Тогда выражению для производной матрицы ^
F можно придать вид:
d ^
F
dt
= i
h [ ^
H ; ^
F (t)]: (5)
4

Если матрица ^
H задана, то выражение (5) можно считать уравнением
движения переменной F . Поскольку (5) { уравнение первого порядка по
времени, то его решение полностью определяется начальным условием
^
F (0).
Матричные элементы матрицы ^
H имеют размерность энергии, по-
этому в дальнейшем она будет отождествляться с энергией системы и
называться гамильтонианом.
Правда, пока эта величина мало напоминает функцию Гамильтона
классической механики. В классической механике функция Гамильто-
на позволяет найти важнейшую характеристику системы { энергию {
по начальным данным. Здесь же для задания гамильтониана требуют-
ся значения возможных частот системы f! n g, т.е. то, что еще пред-
стоит узнать. Чтобы приблизить квантовый гамильтониан к функции
Гамильтона, нужно, прежде всего, снять условие диагональности ма-
трицы ^
H . Для этого возьмем неособенную матрицу ^
S, т.е. такую, для
которой существует обратная матрица ^
S 1 :
^
S ^
S 1 = ^
S 1 ^
S = ^
E:
Определив величины
^
F 0
(t) = ^
S ^
F (t) ^
S 1 ; ^
H 0
= ^
S ^
H ^
S 1 ;
найдем, что они удовлетворяют уравнению, повторяющему уравнение
(5):
d ^
F 0
dt
= i
h [ ^
H 0
; ^
F 0
(t)]:
Поскольку справедливы равенства
^
F = ^
S 1 ^
F 0 ^
S; ^
H = ^
S 1 ^
H 0 ^
S;
то штрихованные и нештрихованные матрицы взаимно однозначно
определяют друг друга. Уравнения для штрихованных величин от-
личаются от уравнений для нештрихованных лишь тем, что ^
H 0
{ не
обязательно диагональная матрица.
Удобно не оговаривать заранее, с какими именно величинами мы
имеем дело, а просто писать уравнения движения в форме (5), заме-
тив, что они ковариантны относительно преобразования всех матриц с
помощью неособенной матрицы ^
S:
^
A ) ^
A 0
= ^
S 1 ^
A ^
S:
5

После этого в качестве гамильтониана можно взять нужную функцию
динамических переменных системы { ^
H( ^
Q). Соотношения (5) были
получены в 1925 году Гайзенбергом и называются уравнениями Гай-
зенберга.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
В классической механике поведение материальной точки с одной
степенью свободы можно определить, например, в терминах ее импуль-
са p и координаты q. Сохраняя понятие о степенях свободы и в кванто-
вой механике, определим материальную точку как систему, свойства ко-
торой описываются cоотвествующими матрицами ^
p и ^
q. Однако, свой-
ства этих величин еще необходимо выяснить. Это сделал Гайзенберг
в 1925 году. Правда в его классической работе нет даже упоминания
о матрицах, однако, мы будем придерживаться современных обозначе-
ний.
Определим координату и импульс частицы как эрмитовы матрицы
^ q = ^
q + ; ^
p = ^
p + ; (6a)
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[^q; ^
p] = ih ^
E: (6b)
Из равенства (6b) немедленно вытекают формулы
[^q; ^
p 2 ] = ^
q^p 2 ^
p 2 ^
q = (^q ^
p ^
p^q)^p + ^
p(^q ^
p ^
p^q) = 2ih^p;
[^q 2 ; ^
p] = ^
q 2 ^
p ^
p^q 2 = ^
q(^q ^
p ^
p^q) + (^q ^
p ^
p^q)^q = 2ih^q
и более общие соотношения
[^q; F (^p)] = ihF 0
(^p); [G(^q); ^
p] = ihG 0
(^q): (7)
Определив гамильтониан как сумму кинетической и потенциальной
энергий,
6

^
H = 1
2m ^
p 2 + V (^q); (8)
получим такие уравнения движения:
d^q
dt
= i
h [ ^
H ; ^
q] = 1
m
^
p = @ ^
H
@^p
; (9a)
d^p
dt
= i
h [ ^
H ; ^
p] = V 0
(^q) = @ ^
H
@^q
: (9b)
Формально уравнения Гайзенберга выглядят как матричная версия
уравнений Гамильтона.
Рассмотрим, например, одну из простейших механических
систем { одномерный гармонический осциллятор. Гамильтониан такой
системы равен
^
H = 1
2m ^
p 2 + 1
2 m! 2 ^
q 2 ; (10)
поэтому
d^q
dt
= 1
m
^
p;
d^p
dt
= m! 2 ^
q: (11)
Полученное систему можно, как обычно, привести к уравнению второго
порядка:
d 2 ^
q
dt 2
+ ! 2 ^
q = 0:
Общее решение этого уравнения равно
^
q(t) = ^
C 1 cos !t + ^
C 2 sin !t;
а матрица ^
p(t) получается из ^
q(t) дифференцированием
^
p(t) = m
d^q
dt
= m! ^
C 1 sin !t + m! ^
C 2 cos !t:
В этих формулах ^
C 1 , ^
C 2 { постянные матрицы, определяемые началь-
ными условиями:
^
C 1 = ^
q(0) = ^
q; ! ^
C 2 = 1
m
^
p:
7

Таким образом
^
q(t) = ^
q cos !t + 1
m!
^
p sin !t; (12a)
^
p(t) = m!^q sin !t + ^
p cos !t: (12b)
Нетрудно проверить, что справедливы следующие перестановочные со-
отношения
[^q(t); ^
q(t)] = 0;
[^q(t); ^
p(t)] = ih ^
E;
[ ^
p(t); ^
p(t)] = 0;
т.е. коммутаторы матриц ^
q, ^
p не зависят от времени.
Это свойство функций ^
q(t) и ^
p(t) является следствием общего утвер-
ждения:
если гамильтониан системы ^
H не зависит от времени, то решение
уравнения
d ^
F
dt
= i
h [ ^
H ; ^
F ]
с начальным условием
^
F (0) = ^
F
можно представить в форме
^
F (t) = ^
S(t) ^
F ^
S 1 ; (12)
где
^
S(t) = exp
 i
h
^
Ht

: (13)
Легко проверить, что матрица ^
S(t) унитарна. Поэтому преобразо-
вание (12) называют унитарным, а поскольку оно сохраняют перестно-
вочные соотношения между ^
q и ^
p, то это { каноническое преобразование.
ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
8

Вспомним, что переменные ^
p и ^
q были определены в терминах пе-
рестановочного соотношения между ними. Чтобы лучше понять приро-
ду этого определения, перечислим некоторые свойства коммутаторов,
определяющих, в частности, непротиворечивость уравнений Гайзенбер-
га:
1) коммутатор матриц ^
A и ^
B { антисимметричная функция своих
переменных:
[ ^
A; ^
B] = [ ^
B; ^
A];
2) правила вычисления коммутаторов сближает их свойства
со свойством производных:
[ ^
A; ^
B ^
C] = [ ^
A; ^
B] ^
C + ^
B[ ^
A; ^
C];
[ ^
A ^
B; ^
C] = [ ^
A; ^
C] ^
B + ^
A[ ^
B; ^
C]:
3) Наконец, справедливо циклическое равенство
[ ^
A; [ ^
B; ^
C]] + [ ^
B; [ ^
C ; ^
A]] + [ ^
C; [ ^
A; ^
B]] = 0:
Последнее свойство сближает коммутаторы со скобками Пуассона
классической механики. Известно, что если F { некоторая функция
канонических переменных классической системы { fp s ; q s g, то в силу
уравнений Гамильтона
dq s
dt
= @H
@p s
;
dp s
dt
= @H
@q s
;
производную F по времени можно представить в форме
dF
dt
=
n
H;F
o
;
где n
A; B
o
=
X
s
 @A
@p s
@B
@q s
@A
@q s
@B
@p s

скобки Пуассона функций A и B. Нетрудно проверить, что скобки
Пуассона удовлетворяют тем же соотношениям 1) 3), что и коммута-
торы.
9

Это обстоятельство позволяет сформулировать "правила кванто-
вания": если в классической механике определены переменные A; B; C;
удовлетворяющие соотношениям
fA; Bg = C;
а в квантовой механике с этими величинами сопоставляются матрицы
^
A, ^
B, ^
C, то должны выполняться перестановочные соотношения
i
h [ ^
A; ^
B] = ^
C:
Поскольку в классической механике скобки Пуассона можно использо-
вать для определения канонически сопряженных переменных, то
в квантовой механике динамические переменные определяются пе-
рестановочными соотношениями между соотвествующими этим пе-
ременным матрицами.
После этого можно определить величины ^
p s , ^
q s не ссылаясь на урав-
нения движения. Поскольку действительные величины удовлетворяют
соотношениям
fp m ; q n g Ї mn ;
то коммутаторы эрмитовых матриц ^
p s , ^
q s должны быть равны
[^q m ; ^
p n ] = ihЇ mn :
Таким образом решения уравнений Гайзенберга повторяют классиче-
ские формулы с заменой классических переменных на соответствующие
матрицы:
^
p(t) = ^
p; ^
q(t) = 1
m
^
pt + ^
q:
Матрицы ^
q(t), ^
p(t) удовлетворяют перестановочным соотношениям:
[^q(t); ^
p(t)] = ih ^
E:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
10

Хотя полученные матричные соотношения повторяют формулы га-
мильтоновой механики, нельзя говорить о близости новой теории и
классической, хотя бы потому что у нас пона нет никакого представле-
ния, о том, как можно связать с новыми динамическими переменными
числа, которые можно было бы сравнивать с экспериментальными дан-
ными.
Иначе говоря, пока мы имеем дело с такой цепочкой сопоставлений:
Величина F ) матрица ^
F ,
а для построения законченной физической теории ее нужно дополнить
до цепочки
Величина F ) матрица ^
F ) число f .
В 1927 году фон-Нейман заметил, что для сравнения теории с экс-
периментом эту цепочку можно заменить, более определенной и менее
обременительной:
Величина F ) матрица ^
F ) число hF i { среднее значение F .
Чтобы реализовать эту программу, нужно определить чисто ма-
тематическую процедуру вычисления средних значений. Фон-Нейман
потребовал, чтобы она удовлетворяла четырем условиям.
1) Среднее значение постоянной величины должно быть равно зна-
чению этой величины. В частности, среднее значение единицы должно
быть равно единице.
Это условие можно сформулировать так:
h ^
Ei = 1:
2) Среднее значение суммы равно сумме средних:
h
X
i
^
F i i =
X
i
h ^
F i i:
3) Средние значения комплексно сопряженных величин комплексно
сопряжены.
Это условие следует дополнить соглашением о том, как связать в ма-
тематическом аппарате квантовой механике комплексно сопряженные
11

величины. Считают, что если величине F соответсвует матрица ^
F , то
величине F  соответствует эрмитово сопряженная матрица ^
F + :
F ) ^
F , F  ) ^
F + :
Очевидно, что с действительной величиной сопоставляется самосопря-
женная матрица.
С учетом этого соглашения условие фон-Неймана можно выразить фор-
мулой
(h ^
F i)  = h ^
F + i:
4) Среднее значение неотрицательной величины неотрицательно.
F  0 ) h ^
F i  0:
Остается заметить, что любую матрицу можно представить в фор-
ме
^
F =
X
m;n
Fmn ^
Pmn ;
где ^
Pmn { матрицы, у которых все элементы, кроме одного, равны нулю,
а единственный ненулевой элемент равен единице и стоит на пересече-
нии m-той строки и n-того столбца. Поэтому среднее значение любой
величины F можно представить следующим образом:
h ^
F i =
X
m;n
Fmn nm ;
где
nm = h ^
Pmn i:
Если считать, что числа mn определяют матрицу ^
 = ( mn ), то среднее
значение F можно представить в форме
h ^
F i = T r( ^
F ^
):
Среднее значение произвольной величины F определяется двумя вели-
чинами { матрицей ^
F , которая сопоставляется с интересующей нас ве-
личиной, и некоторой другой матрицей, которая строится из средних
значений вполне определенных величин ^
Pmn , не имеющих отношения
12

к величине F . Эти числа связаны со свойствами системы, т.е. с ее
состоянием.
Таким образом получен способ математического описания состоя-
ний квантовой системы системы:
состояние системы , матрица ^
.
Матрицу ^
 называют матрицей плотности.
Заметим, что пока из условий, определяющих процедуру вычисле-
ния средних, было использовано лишь условие 2). Остальные можно
сформулировать как условия, которым должна удовлетворять матрица
плотности.
Поскольку матрицы ^
Pmn и ^
Pnm эрмитово сопряжены:
^
Pmn = ( ^
Pnm ) + ;
то в силу условия 3) числа mn должны быть связаны соотношениям
mn = ( nm )  :
Это означает, что матрица ^
 должна быть эрмитовой. Условие 1) тре-
бует, чтобы след матрицы ^
 был равен единице:
T r^ = 1:
Остается сформулировать следствие условия положительной опреде-
ленности средних.
Для этого удобно вычислить среднее значение некоторой положи-
тельно определенной величины.
Выберем ее следующим образом. Выберем некоторую последова-
тельность чисел fc n g, удовлетворяющих условию
P
n jc n j 2 = 1, и опре-
делим матрицу
( ^
Q)mn = c m c 
n :
Она обладает свойствами
^
Q + = ^
Q; ^
Q 2 = ^
Q;
т.е. представляет положительно определенную величину. Ее среднее
значение должно быть неотрицательным.
13

Поэтому должно выполняться неравенство
X
mn
c m
 mn c n  0:
Матрицы, обладающие такими свойствами, называются положительно
определенными. Таким образом, возможные состояния системы в аппа-
рате квантовой механики связываются с матрицами плотности:
Состояние системы , матрица плотности ^
;
которая обладает следующими свойствами:
1. Матрица плотости эрмитова:
^
 + = ^
:
2. Матрица плотности положительно определена:
hcj^ci  0; 8c:
3. След матрицы плотности равен единице:
T r^ = 1:
Среднее значение любой величины F в состоянии  равно
hF i  = T r( ^
F ^
):
14