Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/2013/LECT_13.ps Дата изменения: Mon Dec 30 12:20:37 2013 Дата индексирования: Thu Feb 27 20:15:05 2014 Кодировка: IBM-866

ЛЕКЦИОННЫЙ ПЛАН КУРСА
"КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ"
для 1-ого потока в 2013 г.
http:// hep.phys.msu.ru
I семестр
1. Комбинационный принцип и матричная механика Гейзенберга. Матрицы как линей-
ные операторы. Физические величины как эрмитовые операторы в гильбертовом про-
странстве.
2. Динамическая схема квантовой механики. Ур-ния Гейзенберга. Принцип соответствия
между классической и квантовой механиками. Каноническое квантование.
3. Спектр и средние значения физических величин в квантовой механике. Наблюдаемые с
чисто дискретным невырожденным спектром и чистые состояния физической системы.
Полный набор наблюдаемых.
4. Вероятностная интерпретация результатов измерения некоммутирующих величин.
Соотношение "неопределенностей" для дисперсий некоммутирующих величин. Про-
стейшие ЭПР-"парадоксы" и их обьяснение.
5. Совокупность чистых состояний квантовой системы как гильбертово пространство,
его основные свойства. Принцип суперпозиции чистых состояний, его обоснование.
Спектральное разложение эрмитовых операторов. Квантовомеханическая интерпре-
тация дискретного и непрерывного спектров наблюдаемой величины.
6. Эквивалентность любого представления гильбертова пространства матричному. Пе-
реход от одного представления к другому как унитарное преобразование. Взаимосвязь
унитарных и канонических преобразований.
7. Эволюция квантовой системы во времени. Представления Гейзенберга и Шредингера.
Общий вид оператора эволюции при наличии явной зависимости гамильтониана от
времени, его унитарность и групповые свойства.
8. Симметрии и интегралы движения в квантовой механике. Вырождение уровней энер-
гии при наличии некоммутирующих интегралов движения.
9. Стационарные состояния, их основные свойства. Эволюция во времени состояний из
дискретной и непрерывной частей энергетического спектра. Время жизни волнового
пакета.
10. Матрицы плотности и смешанные состояния. Основные свойства матриц плотности.
Средние значения физических величин в смешанном состоянии. Соотношение неопре-
деленностей для некоммутирующих величин в смешанном состоянии.
11. Матрицы плотности подсистем. ЭПР- "парадоксы" измерения некоммутирующих ве-
личин в составных системах, их обьяснение.
12. Координатное и импульсное представления. Волновая функция, ее вероятностная ин-
терпретация.
13. Общие свойства ур-ния Шредингера для нерелятивистской частицы в потенциальном
поле. Уравнение непрерывности, его физический смысл. Вариационный принцип для
стационарного уравнения Шредингера.

14. Квантовая механика частицы в потенциальном поле для одного пространственного
измерения. Основные свойства дискретного спектра. Специфика одномерной потен-
циальной ямы с равновысокими стенками.
15. Одномерное рассеяние на потенциале с регулярными асимптотиками V (1) = V в
стационарной картине и через движение волновых пакетов.
16. Одномерное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом. Теорема Флоке,
функции Блоха, квазиимпульс и зоны Бриллюэна.
17. Квазиклассическое (ВКБ) приближение, условие применимости. Квазиклассические
волновые функции, их продолжение через точки поворота. Правило квантования Бора-
Зоммерфельда. Квазиклассическая оценка на число и плотность квантовых состояний
через фазовый обьем.
18. Туннельный эффект в ВКБ-приближении. Отражение от вертикальной потенциаль-
ной стенки. Волновые функции и разность энергий двух нижних уровней в потенциале
вида "mexican hat". Молекула аммиака, K 0
- и 
K 0
-мезоны, вакуумные пузырьки Шаль-
никова в сверхтекучем He 4 .
19. Частица в центрально-симметричном поле. Разделение переменных. Орбитальный
момент, собственные функции и собственные значения l 2 и l z
. Природа целочисленно-
сти орбитального момента. Конечный поворот как унитарное преобразование коорди-
натной волновой функции.
20. Радиальное ур-ние Шредингера. Граничное условие при r = 0, его обоснование. Об-
щие свойства энергетического спектра и волновых функций связанных состояний в
центрально-симметричном поле. Падение на центр. Оценка Баргмана для числа свя-
занных состояний с заданным l. ВКБ-приближение для радиального уравнения.
21. Угловой момент и конечные повороты в общем случае. Перестановочные соотношения
для компонент момента. Спектр операторов J 2 ; J z
. Матричные элементы компо-
нент момента в базисе собственных векторов операторов J 2 ; J z
. Операторы спина ~
S
частицы, их матричные элементы при диагональном S z
. Спин 1/2, основные свойства.
22. Сложение моментов. Коэффициенты векторного сложения, их основные свойства и
физический смысл. Сложение двух спинов 1/2, синглетные и триплетные спиновые
волновые функции. Полный момент. Волновые функции частицы со спином 1/2 в
состоянии с орбитальным моментом l и полным моментом j.
23. Группа вращений. Конечные повороты как унитарные преобразования. Неприводи-
мые тензоры (скаляр и вектор), их коммутаторы с компонентами полного углового
момента системы как следствие законов преобразования при конечных поворотах. Те-
орема Вигнера-Эккарта для матричных элементов скаляра и вектора. Метод эквива-
лентных операторов.
24. Пространственная инверсия в квантовой механике. Четность орбитального состоя-
ния. Тензоры и псевдотензоры (на примере скаляра и вектора). Правила отбора по
четности.

II семестр
25. Стационарная теория возмущений для невырожденного и вырожденного дискретных
уровней. Близкие уровни под влиянием возмущения.
26. Принцип неразличимости одинаковых по своим физическим характеристикам частиц
в квантовой механике. Бозоны и фермионы. Числа заполнения. Волновая функция
системы тождественных частиц, разложение по одночастичному базису. Возможность
парастатистики в планарных системах.
27. Обменное взаимодействие. Эффективное спин-спиновое взаимодействие двух частиц
со спином 1/2 как следствие обменных эффектов. Природа (анти)ферромагнетизма.
Одномерный ферромагнетик Гейзенберга.
28. Многоэлектронный атом в приближении самосогласованного поля. Оболочки, термы,
обоснование 1-ого и 2-ого правил Хунда.
29. Разложение валентной оболочки на термы. Схемы Юнга. Построение волновых функ-
ций для термов через старшие вектора и определитель Слэтера.
30. Тонкая структура термов валентной оболочки в многоэлектронном атоме. LS- и JJ-
типы связи. Обоснование 3-его правила Хунда.
31. Многоэлектронный атом в постоянном однородном электрическом и магнитном полях.
32. Вариационные методы (Хартри и Хартри-Фока) для многоэлектронного атома (на
примере ортогелия).
33. Модель Томаса-Ферми. Поправка Амальди. Связь между орбитальным моментом ва-
лентной оболочки и порядковым номером элемента в рамках модели ТФ, ее проявление
в "тонкой" структуре периодической системы элементов.
34. Взаимодействие атомов на больших расстояниях. Обменные эффекты. Метод адиаба-
тического приближения для молекулярной связи, его обоснование. Молекула водорода
в приближении Гайтлера-Лондона.
35. Общая постановка задачи для квантовых переходов. Нестационарная теория возму-
щений (Дирака). Поведение системы при мгновенном и адиабатическом изменении
потенциала.
36. Золотое правило (Ферми) для скорости перехода в периодическом внешнем поле в пер-
вом порядке теории возмущений, область его применимости.
37. Прямые и последовательные переходы в непрерывном спектре для независящего от
времени взаимодействия. Матрица реакций (Т-оператор) как сумма борновского ря-
да теории возмущений. Полная скорость перехода при несовпадающих начальном и
конечном состояниях. Уравнения Липпмана-Швингера в операторной и векторной фор-
мах.
38. S-матричная формулировка задачи о переходах. Взаимосвязь между матричными эле-
ментами S- и T-матриц. Скорость перехода в общем случае. Оптическая теорема для
переходов как следствие унитарности эволюции. Переходы в системах тождественных
частиц, обменные эффекты.
39. Обращение времени в квантовой механике. Теорема взаимности и принцип детального
равновесия для обращенных во времени переходов. Теорема Крамерса.
40. Эволюция состояний, принадлежащих непрерывному энергетическому спектру. Закон
распада и время жизни квазистационарного состояния. Форма и интенсивность линии.

Соотношение между полушириной и временем жизни.
41. Потенциальное упругое рассеяние. Амплитуда и дифференциальное сечение рассея-
ния, их выражение через Т-матрицу. Уравнения Липпмана-Швингера и оптическая
теорема для упругого рассения. Борновское приближение, область его применимости.
42. Парциальное разложение амплитуды и полного сечения упругого рассеяния для сфе-
рически-симметричного потенциала. Парциальные амплитуды и фазы рассеяния, ме-
тоды их вычисления.
43. Поведение парциальных фаз и сечений при низкоэнергетическом рассеянии на потен-
циале конечного радиуса действия. Резонансное низкоэнергетическое рассеяние на
неглубоком дискретном уровне, формула Бете-Пайерлса.
44. Парциальная амплитуда рассеяния как функция комплексного волнового числа (энер-
гии). Дискретные, виртуальные и метастабильные уровни как нули функции Йоста в
комплексной плоскости, их связь с резонансами.
45. Резонансное рассеяние на метастабильном состоянии. Связь между положением полю-
са амплитуды и характеристиками резонанса, формула Брейта-Вигнера.
46. Упругое потенциальное рассеяние при высоких энергиях. Приближение эйконала.
47. Квантование электромагнитного поля (в кулоновской калибровке). Фотоны, их энергия-
импульс, спин и спиральность. Когерентные состояния и классические э-м поля.
48. Взаимодействие электронов с фотонами. Теория возмущений. Э-м переходы в атомах.
Однофотонные и многофотонные переходы. Угловая интенсивность однофотонного
перехода в первом порядке теории возмущений. Скорость перехода в Е1 (дипольном)
приближении.
49. Е2 и М1-переходы в атомах. Их интенсивность, правила отбора.
50. Релятивистская квантовая механика. Уравнение Дирака. Уравнение непрерывности,
его ковариантная форма. Спин частицы Дирака.
51. Заряженная частица Дирака во внешнем электромагнитном поле. Нерелятивистское
приближение, уравнение Паули. Спиновый магнитный момент дираковской частицы.
52. Решения ур. Дирака для свободной частицы с определенным импульсом и спирально-
стью. Интерпретация состояний с отрицательной энергией. Позитроны как дырки в
море Дирака.
53. Квазирелятивистское разложение уравнения Дирака для электрона в центральном по-
ле. Спин-орбитальное взаимодействие и другие релятивистские поправки, их физиче-
ский смысл.
54. Релятивистский атом водорода. Точное решение для энергетического спектра, выро-
ждение уровней. Лэмбовский сдвиг, его вывод (по Вельтону). Зависимость от заряда
и размеров ядра. Критические заряды, Sparking vacuum.