Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/2012/ZACHET12.ps Дата изменения: Fri May 18 21:59:42 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:54:51 2012 Кодировка: IBM-866

Квантовая механика. 1-ой поток. 2012 г.
Редакция от 16.05.12
http://hep.phys.msu.ru
Attention! Уравнение Дирака будет подробно разбираться в осеннем семестре и вопросы по нему будут обяза-
тельной составной частью заключительного экзамена.
Список задач дается в максимальном варианте, для разных групп он может уточняться семинаристом.
Теоретические вопросы
1. Комбинационный принцип и матричная механика Гейзенберга. Физические величины как эрмитовые опе-
раторы в гильбертовом пространстве.
2. Динамическая схема квантовой механики. Представления Гейзенберга и Шредингера. Переход от одного
представления к другому. Оператор эволюции U (t 2 ; t 1 ), его общий вид и основные свойства.
3. Принцип соответствия между классической и квантовой механикой, каноническое квантование.
4. Квантовомеханическая теория измерения. Спектр и средние значения физических величин. Измерение на-
блюдаемых с чисто дискретным невырожденным спектром и чистые состояния квантовой системы. Полный
набор наблюдаемых.
5. Вероятностная интерпрeтация результатов измерения некоммутирующих величин. Соотношение "неопре-
деленностей" для дисперсий некоммутирующих величин. Простейшие ЭПР-"парадоксы" и их обьяснение.
6. Совокупность чистых состояний квантовой системы как гильбертово пространство, его основные свойства.
Принцип суперпозиции чистых состояний, его обоснование. Спектральное разложение эрмитового опе-
ратора и функций от него. Квантовомеханическая интерпретация дискретного и непрерывного спектров
оператора наблюдаемой.
7. Изоморфизм представлений гильбертова пространства. Эквивалентность любого представления матрич-
ному. Переход от одного представления к другому как унитарное преобразование, его шредингеровская и
гейзенбергова формы. Взаимосвязь унитарных и канонических преобразований.
8. Координатное и импульсное представления. Волновая функция, ее вероятностная интерпретация. Переход
от одного представления к другому.
9. Симметрии и интегралы движения в квантовой механике. Вырождение уровней энергии при наличии не-
коммутирующих интегралов движения.
10. Стационарные состояния, их основные свойства. Эволюция во времени состояний из дискретной и непре-
рывной частей энергетического спектра.
11. Матрицы плотности и смешанные состояния. Средние значения физических величин в смешанном со-
стоянии. Основные свойства матриц плотности. Матрицы плотности подсистем, обьяснение простейших
ЭПР-"парадоксов" с их помощью.
12. Квантование гармонического осциллятора методом операторов рождения-уничтожения. Когерентные со-
стояния, их основные свойства.
13. Общие свойства уравнения Шредингера для нерелятивистской частицы в потенциальном поле. Уравнение
непрерывности. Вариационный принцип для стационарного ур. Шредингера.
14. Квантовая механика частицы в потенциальном поле для одного пространственного измерения. Основные
свойства дискретного спектра. Специфика одномерной потенциальной ямы с равновысокими стенками.
Одномерное рассеяние на потенциале с регулярными асимптотиками V (1) = V .
15. Одномерное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом. Теорема Флоке, функции Блоха, квази-
импульс и зоны Бриллюэна.
16. Квазиклассическое (ВКБ) приближение, условие применимости. Квазиклассические волновые функции, их
продолжение через точки поворота. Правило квантования Бора-Зоммерфельда.
17. Туннельный эффект в ВКБ-приближении. Волновые функции и разность энергий двух нижних уровней в
потенциале вида "mexican hat". Рождение пар за счет флуктуаций вакуума во внешних полях.
18. Частица в центрально-симметричном поле. Разделение переменных. Орбитальный момент, собственные
функции и собственные значения l 2 и l z . Природа целочисленности орбитального момента. Конечный
поворот как унитарное преобразование координатной волновой функции.
19. Радиальное ур-ние Шредингера. Граничное условие при r = 0, его обоснование. Общие свойства энергети-
ческого спектра и волновых функций связанных состояний в центрально-симметричном поле. Падение на
центр. ВКБ-приближение для радиального уравнения.
20. Угловой момент и конечные повороты в общем случае. Перестановочные соотношения для компонент мо-
мента. Спектр операторов J 2 ; J z . Матричные элементы компонент момента в базисе собственных векторов
операторов J 2 ; J z . Операторы спина частицы, матричные элементы и собственные вектора. Спин 1/2,
основные свойства.
21. Векторное сложение двух моментов. Коэффициенты векторного сложения, их основные свойства и физиче-
ский смысл. Коэффициенты сложения двух спинов 1/2 и спина 1/2 с орбитальным моментом l.
22. Операторы конечных вращений. Матрицы конечных вращений в параметризации Эйлера.
1

23. Скаляр и вектор в квантовой механике, их коммутаторы с компонентами полного углового момента системы
как следствие законов преобразования при конечных поворотах. Показать, что скалярное произведение двух
векторов есть скаляр, а векторное | (псевдо)вектор.
24. Правила отбора для матричных элементов от скаляра и вектора по состояниям jJM i с фиксированным
полным моментом и его третьей проекцией. Показать, что для скаляра hJ 0 M 0 j A jJM i = Ї JJ 0 Ї MM 0 hJ j A jJi,
для вектора hJM j ~
AjJM 0 i = hJM j ~
JjJM 0 i  hJ j ~
A ~
J jJi=J(J + 1):
25. Пространственная инверсия в квантовой механике. Четность орбитального состояния. Тензоры и псевдо-
тензоры (на примере скаляра и вектора). Правила отбора по четности.
Задачи
1. Найти дисперсию координаты и импульса для гармонического осциллятора, находящегося на n-ом энерге-
тическом уровне. Что в ответе является чисто квантовым эффектом?
2. Найти уровни энергии и вектора состояния одномерного гармонического осциллятора в постоянном внеш-
нем поле
H = h!(a + a + 1=2) + f  a + fa +
3. Найти средние значения и дисперсии координаты и импульса осциллятора и корреляторы hxpi hxihpi ;
hpxi hpihxi в когерентном состоянии.
4. Найти явный вид эволюции по времени когерентного состояния гармонического осциллятора.
5. Исходя из условия минимизации соотношения "неопределенностей" между координатой и импульсом, найти
явный вид волновых функций для когерентных состояний в координатном и импульсном представлениях.
6. Одномерный гармонический осциллятор в момент времени t = 0 находится в основном энергетическом
состоянии. Затем при t > 0 он подвергается воздействию внешней силы f(t). Найти явный вид операто-
ра эволюции и вероятность обнаружить осциллятор в n-ом возбужденном энергетическом состоянии как
функцию t.
7. Взаимодействие осциллятора с двухуровневой системой описывается гамильтонианом
H = h!a + a + h!
2  3 + h (a + + a +  )
где  = ( 1  i 2 )=2 ,  i { матрицы Паули. Найти стационарные состояния и уровни энергии в такой
системе, среднее значение и дисперсию энергии осциллятора в этих состояниях.
8. Взаимодействие осциллятора с двухуровневой системой описывается гамильтонианом
H = h!a + a + h!
2  3 + h (a + + a +  )
где  = ( 1  i 2 )=2 ,  i { матрицы Паули. Найти как функцию времени вероятность одновременно
обнаружить двухуровневую систему в верхнем энергетическом состоянии и осциллятора | в состоянии с
m квантами, если при t = 0 двухуровневая система находилась в нижнем состоянии, а осциллятор | в
состоянии с n квантами.
9. В начальный момент времени плотность распределения координат свободной нерелятивистской частицы
массы m имела гауссову форму. Как будет изменяться со временем ширина пакета ?
10. Найти уровни энергии и общее число связанных состояний в одномерной симметричной потенциальной яме
V (x) = V 0 + (h 2
=2m)
Ї(x) ; jxj < a; V (x) = 0; jxj > a. Как будут вести себя уровни
при
!1?
11. Найти число дискретных уровней энергии в потенциале V (x) = V 0 [Ї(x a) + Ї(x + a)] в зависимости от
параметров потенциала.
12. Найти уровни энергии и общее число связанных состояний в одномерной потенциальной яме шириной a с
разновысокими стенками V 1 < V 2 .
13. Найти уровни энергии в потенциале V (x) = V 0 = cosh 2 (x=a).
14. Найти коэффициенты прохождения-отражения и соответствующие фазовые сдвиги при прохождении ча-
стицы через потенциал вида V (x) = V 0 + (h 2
=2m)
Ї(x) ; jxj < a; V (x) = 0; jxj > a. Что будет при

!1?
15. Найти вероятность туннелирования частицы сквозь одномерный потенциальный барьер V (x) = V 0 +
(h 2
=2m)
Ї(x) ; jxj < a; V (x) = 0; jxj > a (энергия частицы меньше V 0 ). Что будет
при
!1?
16. Найти расположение зон Бриллюэна для одномерной решетки Дирака V (x) = V 0
1
P
n=1
Ї(x na) ; V 0 > 0.
17. Найти расположение нижних зон Бриллюэна для одномерной решетки Дирака V (x) = V 0
1
P
n=1
Ї(x
na) ; V 0 < 0.
18. Методом ВКБ найти уровни энергии одномерного гармонического осциллятора.
2

19. В ВКБ-приближении найти уровни энергии частицы массы m в потенциальном поле вида V (z) = 1; z <
0; V (z) = mgz; z > 0. Сравнить с точным ответом.
20. В ВКБ-приближении найти среднее положение и разность энергий нижних уровней частицы массы m в
потенциальной яме вида V (x) = Ax 2 ; jxj  a ; V (x) = 0 ; jxj > a.
21. В рамках ВКБ-приближения оценить вероятность образования электрон-позитронной пары в постоянном
электрическом поле за счет флуктуаций вакуума.
22. В рамках ВКБ-приближения определить энергетическую зависимость вероятности рождения пар фотонов
в гравитационном поле черной дыры вблизи поверхности Шварцшильда за счет флуктуаций вакуума, если
гравитационное ускорение над сферой Шварцшильда равно c 2 .
23. Пусть гамильтониан зависит от  как от параметра и H() j ()i = E() j ()i. Показать, что для норми-
рованных на единицу векторов j ()i имеет место соотношение @E()
@ = h ()j @H()
@ j ()i.
24. Доказать, что в состоянии с определенной энергией в центральносимметричном поле V (r) = g  r средние
значения кинетической и потенциальной энергий связаны соотношением: 2hT i = hV i (теорема вириала).
25. C помощью оценки Баргмана описать основные свойства спектра связанных состояний в сферически-
симметричном потенциале со степенной асимптотикой в нуле и на бесконечности.
26. Найти S-уровни энергии в сферически-симметричной яме: V (r) = V 0 + (h 2 =2m)Ї(r a) ; r  a ; V (r) =
0 ; r > a. Как будут вести себя уровни
при
!1?
27. Нуклон-нуклонный потенциал на расстояниях порядка 1-2 Фм аппроксимируется функцией V (r) = A exp( r=) ,
 = h=m  c . Найти константу связи A, если энергия связи нуклонов в дейтроне равна 2,23 МэВ.
28. Найти уровни энергии связанных состояний в потенциале V (r) = A=r B=r 2 и кратность их вырождения.
29. Радиальная волновая функция стационарного состояния частицы массы m в исчезающем на бесконечности
центральном поле U (r) имеет вид R(r) = r(1 r)e r . Найти значение орбитального момента в этом
состоянии, его энергию и явный вид потенциала U (r).
30. Найти вероятность пребывания электрона в классически запрещенной области для водородоподобного атома
в основном состоянии.
31. Вычислить среднее значение hr 1 i , hr 2 i , hr 3 i в состоянии с определенной энергией En и орбитальным
моментом l в кулоновом поле притяжения.
32. Найти среднее значение и дисперсию расстояния между электроном и ядром для водородоподобного атома
в n-ом возбужденном состоянии.
33. Найти среднее значение различных компонент квадрупольного момента Q ik = x i x k 1=3Ї ik ~r 2 для заряжен-
ной бесспиновой частицы, находящейся в кулоновом поле притяжения в стационарном состоянии c фикси-
рованными n; l; m.
34. Найти уровни энергии бесспиновой заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле на-
пряженности H в состоянии с фиксированным значением проекций импульса и орбитального момента на
направление поля.
35. Определить энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы, движущейся в однородном электри-
ческом и однородном магнитном полях, направления напряженностей которых взаимно перпендикулярны.
36. Найти уровни энергии заряженного сферически симметричного осциллятора, помещенного в постоянное
однородное магнитное поле напряженности H, для состояний с фиксированной проекцией орбитального
момента на направление поля.
37. Найти спектр оператора углового момента для планарной (пространственно-двумерной) системы.
38. Установить соотношение между дисперсиями проекций J x ; J y момента в состоянии с фиксированным зна-
чением J z .
39. Вычислить f [aE + ~ b~], где E - единичная матрица, ~ - матрицы Паули, а a и ~ b - произвольные действи-
тельные число и вектор.
40. Найти спектр энергий заряженной частицы со спином 1/2 и магнитным моментом ~ =  0 ~s в постоянном
однородном магнитном поле H.
41. Частица массы m со спином 1/2 и магнитным моментом ~ =  0 ~s движется в неоднородном магнитном поле
~
H = f0; ky; H 0 + kzg. Найти операторы ~r(t) ; ~ p(t) . Определить средние значения и дисперсию координат
частицы, если в начальный момент времени частица находилась в координатном состоянии = '(~r)e ip0 x=h ,
где '(~r) действительная квадратично-интегрируемая функция, и чистом спиновом состоянии . Прецессией
магнитного момента пренебречь.
42. Найти спиновые волновые функции системы двух частиц со спином 1=2, которые являются собственными
функциями операторов ~s 2 = (~s 1 + ~s 2 ) 2 , s z = (s 1 ) z + (s 2 ) z .
43. Протон и нейтрон находятся в синглетном состоянии по полному спину. Найти вероятности обнаружить у
них одинаковые или различные значения проекции спина на ось ~n при одновременном измерении.
44. Выразить проекционные операторы на синглетное и триплетное состояния для системы из двух частиц со
спином 1=2 через скалярное произведение их спинов ~s 1 ~s 2 .
3

45. Две частицы со спином 1=2 находятся в состоянии j i = exp(i' 1 s 1x ) exp(i' 2 s 2y ) j""i. Найти вероятности
обнаружить частицы в синглетном и триплетном состояниях по полному спину.
46. Гамильтониан системы двух взаимодействующих частиц со спином 1/2, помещенных в постоянное одно-
родное магнитное поле, имеет вид
H = ( 1 ~s 1 +  2 ~s 2 ) ~
H +  ~s 1 ~s 2 :
Найти уровни энергии системы.
47. Три частицы со спином 1/2 находятся в состоянии, когда 1-ая и 2-ая образуют синглет по их суммарному
спину S 12 , а 3-я находится в произвольном независимом чистом состоянии ji. Проводится серия одновре-
менных измерений некоторой величины F , относящейся только к 1-ой частице, и величины суммарного
спина 2-ой и 3-ей частиц S 23 . Отбираются события, когда S 23 = 0. Показать, что для этих событий
hF i = hjF ji ; hF 2 i = hjF 2 ji . Как изменятся результаты измерения F , если не делать такую специ-
альную выборку ?
48. Найти вид операторов спина 1 в представлении, где S z диагональна. Показать, что операторы спина 1
могут быть представлены также в виде (S l ) jk = i(h) jlk . Найти унитарное преобразование, связывающее
эти два представления.
49. Определить отношение интенсивностей пятен на экране в опыте Штерна-Герлаха для поляризованного по
оси z пучка частиц спина 1 и магнитным моментом ~ =  0 ~s, если отклоняющее магнитное поле ориенти-
ровано под углом  к оси z.
50. Частица со спином 1=2 находится в поле центральных сил. Найти волновые функции этой частицы, явля-
ющиеся одновременно собственными функциями трех коммутирующих операторов: j z = l z + s z , j 2 , l 2 .
51. Частица со спином 1/2 находится в состоянии с квантовыми числами (j; l; s; j z ). Найти вероятности раз-
личных значений проекций орбитального и спинового моментов частицы l z и s z при их одновременном
измерении в этом состоянии.
52. Частица со спином 1=2 находится в состоянии с квантовыми числами (j; l; s; j z ). Покажите, что направление
спина (т.е. направление оси, вдоль которой проекция с достоверностью принимает значение 1=2) различно
в различных точках пространства. Найти связь полярных углов этой оси с направлением радиус-вектора.
53. Найти средние значения различных компонент квадрупольного момента Q ik = x i x k 1=3Ї ik ~r 2 для частицы
со спином 1/2 в состоянии c фиксированными j z = l z + s z ; j 2 ; l 2 .
54. Найти средние значения компонент полного магнитного момента частицы ~ =  l ~ l + s ~s в состоянии jjlsm j i
с определенными значениями j; l; s; j z = m j .
55. Показать, что условие  2 =  или hln i  = 0 есть н. и д. условие того, что смешанное состояние становится
чистым.
56. Установить вид соотношения между дисперсиями некоммутирующих величин при их измерении в смешан-
ном состоянии.
57. Равновесное состояние одномерного гармонического осциллятора в термостате с температурой T описыва-
ется матрицей плотности  = exp( H)=T r(exp( H)), где H | гамильтониан осциллятора,  = 1=kT .
Найти среднюю энергию осциллятора и ее дисперсию в этом состоянии. Вывести формулу Планка.
58. Система двух частиц со спином 1/2 находится в чистом состоянии
j i = (j""i + j"#i j##i)=
p
3:
Найти матрицы плотности смешанных состояний, в которых находится каждая из частиц по-отдельности.
59. Установить, при каких условиях на параметры ; ; матрица
 =

1=2 +   i
 + i 1=2 

будет спиновой матрицей плотности. Найти средние значения всех трех компонент спина в этом состоянии.
60. Определить отношение интенсивности пятен на экране в опыте Штерна-Герлаха, если отклоняющее гра-
диентное магнитное поле ориентировано по оси ~n, имеющей сферические углы  и ', а состояние пучка
электронов в представлении, где матрица s z диагональна, описывается матрицей плотности:
 =

1=2 +   i
 + i 1=2 

:
Установить, при каких  и ' отношение интенсивностей будет максимально (минимально).
4