Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/2009/LECT_09.ps Дата изменения: Sun Dec 13 10:54:05 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:52:07 2012 Кодировка: IBM-866

ПРОГРАММА и ЛЕКЦИОННЫЙ ПЛАН КУРСА
"КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ"
для 2-ого потока в 2009 г.
http:// hep.phys.msu.ru
I семестр
1. Комбинационный принцип и матричная механика Гейзенберга. Матрицы как линей-
ные операторы. Физические величины как эрмитовые операторы в гильбертовом про-
странстве.
2. Динамическая схема квантовой механики. Ур-ния Гейзенберга. Принцип соответствия
между классической и квантовой механиками. Каноническое квантование.
3. Спектр и средние значения физических величин в квантовой механике. Наблюдаемые с
чисто дискретным невырожденным спектром и чистые состояния физической системы.
Полный набор наблюдаемых.
4. Вероятностная интерпретация результатов измерения некоммутирующих величин.
Соотношение "неопределенностей" для дисперсий некоммутирующих величин. Про-
стейшие ЭПР-"парадоксы" и их обьяснение.
5. Совокупность чистых состояний квантовой системы как гильбертово пространство,
его основные свойства. Принцип суперпозиции чистых состояний, его обоснование.
Спектральное разложение эрмитовых операторов. Квантовомеханическая интерпре-
тация дискретного и непрерывного спектров наблюдаемой величины.
6. Эквивалентность любого представления гильбертова пространства матричному. Пе-
реход от одного представления к другому как унитарное преобразование. Взаимосвязь
унитарных и канонических преобразований.
7. Эволюция квантовой системы во времени. Представления Гейзенберга и Шредингера.
Общий вид оператора эволюции при наличии явной зависимости гамильтониана от
времени, его унитарность и групповые свойства.
8. Симметрии и интегралы движения в квантовой механике. Вырождение уровней энер-
гии при наличии некоммутирующих интегралов движения.
9. Стационарные состояния, их основные свойства. Эволюция во времени состояний из
дискретной и непрерывной частей энергетического спектра. Время жизни волнового
пакета.
10. Матрицы плотности и смешанные состояния. Основные свойства матриц плотности.
Средние значения физических величин в смешанном состоянии. Соотношение неопре-
деленностей для некоммутирующих величин в смешанном состоянии.
11. Матрицы плотности подсистем. ЭПР- "парадоксы" измерения некоммутирующих ве-
личин в составных системах, их обьяснение.
12. Координатное и импульсное представления. Волновая функция, ее вероятностная ин-
терпретация.
13. Общие свойства ур-ния Шредингера для нерелятивистской частицы в потенциальном
поле. Уравнение непрерывности, его физический смысл. Вариационный принцип для
стационарного уравнения Шредингера.

14. Квантовая механика частицы в потенциальном поле для одного пространственного
измерения. Основные свойства дискретного спектра. Специфика одномерной потен-
циальной ямы с равновысокими стенками.
15. Одномерное рассеяние на потенциале с регулярными асимптотиками V (1) = V в
стационарной картине и через движение волновых пакетов.
16. Одномерное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом. Теорема Флоке,
функции Блоха, квазиимпульс и зоны Бриллюэна.
17. Квазиклассическое (ВКБ) приближение, условие применимости. Квазиклассические
волновые функции, их продолжение через точки поворота. Правило квантования Бора-
Зоммерфельда. Квазиклассическая оценка на число и плотность квантовых состояний
через фазовый обьем.
18. Туннельный эффект в ВКБ-приближении. Отражение от вертикальной потенциаль-
ной стенки. Волновые функции и разность энергий двух нижних уровней в потенциале
вида "mexican hat". Молекула аммиака, K 0
- и 
K 0
-мезоны, вакуумные пузырьки Шаль-
никова в сверхтекучем He 4 .
19. Частица в центрально-симметричном поле. Разделение переменных. Орбитальный
момент, собственные функции и собственные значения l 2 и l z
. Природа целочисленно-
сти орбитального момента. Конечный поворот как унитарное преобразование коорди-
натной волновой функции.
20. Радиальное ур-ние Шредингера. Граничное условие при r = 0, его обоснование. Об-
щие свойства энергетического спектра и волновых функций связанных состояний в
центрально-симметричном поле. Падение на центр. Оценка Баргмана для числа свя-
занных состояний с заданным l. ВКБ-приближение для радиального уравнения.
21. Угловой момент и конечные повороты в общем случае. Перестановочные соотношения
для компонент момента. Спектр операторов J 2 ; J z
. Матричные элементы компо-
нент момента в базисе собственных векторов операторов J 2 ; J z
. Операторы спина ~
S
частицы, их матричные элементы при диагональном S z
. Спин 1/2, основные свойства.
22. Сложение моментов. Коэффициенты векторного сложения, их основные свойства и
физический смысл. Сложение двух спинов 1/2, синглетные и триплетные спиновые
волновые функции. Полный момент. Волновые функции частицы со спином 1/2 в
состоянии с орбитальным моментом l и полным моментом j.
23. Группа вращений. Конечные повороты как унитарные преобразования. Неприводи-
мые тензоры (скаляр и вектор), их коммутаторы с компонентами полного углового
момента системы как следствие законов преобразования при конечных поворотах. Те-
орема Вигнера-Эккарта для матричных элементов скаляра и вектора. Метод эквива-
лентных операторов.
24. Пространственная инверсия в квантовой механике. Четность орбитального состоя-
ния. Тензоры и псевдотензоры (на примере скаляра и вектора). Правила отбора по
четности.
25. Toy model (Alice, Bob, ancilla) квантовой телепортации как задача об измерении в
системе трех спинов 1/2 физических величин совместно с фон Неймановской наблюда-
емой (проектором на определенное состояние двух других спинов).

II семестр
26. Стационарная теория возмущений для невырожденного и вырожденного дискретных
уровней. Близкие уровни под влиянием возмущения. Молекула аммиака в электриче-
ском поле.
27. Принцип неразличимости одинаковых по своим физическим характеристикам частиц
в квантовой механике. Бозоны и фермионы. Числа заполнения. Волновая функция
системы тождественных невзаимодействующих частиц. Возможность парастатистики
в планарных системах.
28. Обменное взаимодействие. Эффективное спин-спиновое взаимодействие двух частиц
со спином 1/2 как следствие обменных эффектов. Природа (анти)ферромагнетизма.
Одномерный ферромагнетик Гейзенберга. Спиновая волна как элементарное возбу-
ждение (квазичастица-магнон) в спиновой цепочке.
29. Многоэлектронный атом в приближении самосогласованного поля. Оболочки, термы,
обоснование 1-ого и 2-ого правил Хунда.
30. Вариационные методы (Хартри и Хартри-Фока) для многоэлектронного атома (на
примере ортогелия).
31. Разложение валентной оболочки на термы. Схемы Юнга. Построение волновых функ-
ций для термов через старшие вектора и определитель Слэтера.
32. Модель Томаса-Ферми. Поправка Амальди. Связь между орбитальным моментом ва-
лентной оболочки и порядковым номером элемента в рамках модели ТФ, ее проявление
в "тонкой" структуре периодической системы элементов.
33. Тонкая структура термов валентной оболочки в многоэлектронном атоме. LS- и JJ-
типы связи. Обоснование 3-его правила Хунда.
34. Взаимодействие атомов на больших расстояниях. Обменные эффекты. Метод адиаба-
тического приближения для молекулярной связи, его обоснование. Молекула водорода
в приближении Гайтлера-Лондона. Типы химической связи. Молекулярные орбитали
- и -типов. Гибридизация орбиталей.
35. Общая постановка задачи для квантовых переходов. Нестационарная теория возму-
щений (Дирака). Поведение системы при мгновенном и адиабатическом изменении
потенциала.
36. Золотое правило (Ферми) для скорости перехода в периодическом внешнем поле в пер-
вом порядке теории возмущений, область его применимости.
37. Прямые и последовательные переходы в непрерывном спектре для независящего от
времени взаимодействия. Матрица реакций (Т-оператор) как сумма борновского ря-
да теории возмущений. Полная скорость перехода при несовпадающих начальном и
конечном состояниях. Уравнения Липпмана-Швингера в операторной и векторной фор-
мах.
38. S-матричная формулировка задачи о переходах. Взаимосвязь между матричными эле-
ментами S- и T-матриц. Скорость перехода в общем случае. Оптическая теорема
для квантовых переходов как следствие унитарности эволюции. Переходы в системах
тождественных частиц, обменные эффекты.
39. Эволюция состояний, принадлежащих непрерывному энергетическому спектру. Закон
распада и время жизни квазистационарного состояния. Форма и интенсивность линии.

Соотношение между полушириной и временем жизни.
40. Обращение времени в квантовой механике. Теорема взаимности и принцип детального
равновесия для обращенных во времени переходов. Теорема Крамерса.
41. Потенциальное упругое рассеяние. Амплитуда и дифференциальное сечение рассея-
ния, их выражение через Т-матрицу. Уравнения Липпмана-Швингера и оптическая
теорема для упругого рассения. Борновское приближение, область его применимости.
42. Парциальное разложение амплитуды и полного сечения упругого рассеяния для сфе-
рически-симметричного потенциала. Парциальные амплитуды и фазы рассеяния, ме-
тоды их вычисления.
43. Низкоэнергетическое рассеяние на потенциале конечного радиуса действия. Резонанс-
ное низкоэнергетическое рассеяние на неглубоком дискретном уровне, формула Бете-
Пайерлса.
44. Парциальная амплитуда рассеяния как функция комплексного волнового числа (энер-
гии). Функция Йоста, ее аналитические свойства. Дискретные, виртуальные и ме-
тастабильные уровни как нули функции Йоста в комплексной плоскости, их связь с
резонансами. Резонансное рассеяние на метастабильном состоянии, формулы Брейта-
Вигнера.
45. Квантование электромагнитного поля (в кулоновской калибровке). Фотоны. Коге-
рентные состояния и классические э-м поля. Проявление нетривиальных свойств ва-
куумного (основного) состояния квантованного э-м поля (эффект Казимира для двух
плоскопараллельных проводящих пластин).
46. Взаимодействие электронов с фотонами. Теория возмущений и ее диаграммное пред-
ставление.
47. Э-м переходы в атомах. Мультипольное разложение и правила отбора (для Е1-, Е2- и
М1-переходов).
48. Релятивистская квантовая механика. Уравнение Дирака. Уравнение непрерывности,
его ковариантная форма. Спин частицы Дирака. Решения ур. Дирака для свободной
частицы. Интерпретация состояний с отрицательной энергией. Позитроны как дырки
в море Дирака.
49. Уравнение Дирака во внешнем электромагнитном поле. Нерелятивистское приближе-
ние, уравнение Паули. Спиновый магнитный момент электрона.
50. Квазирелятивистское разложение уравнения Дирака для электрона в центральном по-
ле. Спин-орбитальное взаимодействие и другие релятивистские поправки, их физиче-
ский смысл.