Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hea.phys.msu.ru/pdf/pashkov.pdf
Дата изменения: Wed May 5 16:43:12 2004
Дата индексирования: Mon Oct 1 19:42:18 2012
Кодировка:

,

gosudarstwennyj nau~nyj centr rossijskoj federacii

institut fiziki wysokih --nergij

ifw-- 9942 Ou-u70

p.t. pA[KOW

osnowy teorii protonnogo sinhrotrona

u^E BNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW mgu

pROTWINO 1999

udk 621.384.634

m24

aNNOTACIQ
pA[KOW p.t. oSNOWY TEORII PROTONNOGO SINHROTRONA: pREPRINT ifw-- 9942. pROTWINO, 1999. 113 S., 38 RIS. dAN OBZOR OSNOW TEORII PROTONNOGO SINHROTRONA. w PERWOJ ^ASTI RABOTY SODERVATSQ RAS^ЁTY e HARAKTERISTIK DWIVENIQ ^ASTIC W IDEALXNOJ MA[INE, A TAKVE ANALIZ WLIQNIQ NA DINAMIKU PU^KA WOZMU]ENIJ WEDU]EGO MAGNITNOGO POLQ I USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ. wTORAQ ^ASTX POSWQ]ENA ANALIZU POWEDENIQ WYSOKOINTENSIWNOGO PU^KA PROTONOW S U^ЁTOM SOBSTWENNOGO "LEKTROMAGNITNOGO POLQ e I POLEJ, SOZDAWAEMYH PU^KOM W OKRUVA@]EM EGO OBORUDOWANII. pODROBNO RASSMOTRENY KAK STATI^ESKIE "FF EKTY (TAKIE, KAK ^ASTOTNYE KULONOWSKIE SDWIGI), TAK I DINAMI^ESKIE -- NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA PROTONOW.

Abstract
Pashkov P.T. Main Principles of PS Theory: IHEP Preprint 9942. Protvino, 1999. p. 113, figs. 38. The survey of the PS theory main prinsiples is given. In the first part the calculations of particls' motion characteristics in the ideal mashine and also the influence of magnetic field and accelerating voltage disturbances over the beam dynamics are contained. In the second part the behaviour of the high intensity beam with account of the electromagnetic self fields and fields caused by it in the surrounding equipment is analysed. Static effects such Coulomb frequency shifts as well dynamics ones -- proton beam instabilities are considered in detail.

c gOSUDARSTWENNYJ NAU^NYJ CENTR rOSSIJSKOJ fEDERACII iNSTITUT FIZIKI WYSOKIH "NERGIJ, 1999

sODERVANIE
1. dwivenie ~astic w protonnom sinhrotrone bez Ё u~Eta ih wzaimodeistwiq drug s drugom i oborudowaniem uskoritelq 1.1. sTRUKTURNYE HARAKTERISTIKI PROTONNOGO SINHROTRONA . . . . . . 1.1.1. uSTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. aMPLITUDA BETATRONNYH KOLE BANIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. --MITTANS PU^KA I AKSEPTANS USKORITELQ . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. dISPERSIONNAQ FUNKCIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. sTRUKTURY KOLXCEWYH USKORITELEJ PROTONOW . . . . . . . . . . . . 1.1.6. sOGLASOWANNYE PROMEVUTKI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. oSNOWNYE HARAKTERISTIKI POPERE^NOGO DWIVENQ ^ASTIC S U^ЁTOM e WOZMU]ENIJ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. wOZMU]ENIE IDEALXNOJ ORBITY ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE 1.2.2. wOZMU]ENIE GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. wLIQNIE SISTEMATI^ESKIH NELINEJNOSTEJ MAGNITNOGO POLQ NA BETATRONNYE ^ASTOTY USKORITELQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. rEZONANSY BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. pARAMETRI^ESKIJ REZONANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. lINEJNYJ RAZNOSTNYJ REZONANS SWQZI . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. lINEJNYJ SUMMOWYJ REZONANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. kWADRATI^NYJ ODNOMERNYJ REZONANS . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. pRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE . . . . . . 1.4.1. fAZOWOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. fAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII . . . . . . 1.4.3. fAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC PRI NALI^II WOZMU]ENIJ PARAMETROW USKORITELQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ё 2. dwivenie ~astic s u~Etom prostrans zarqda i toka pu~ka 2.1. kULONOWSKIE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT . . . . 2.1.1. nEKOGERENTNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT . 2.1.2. kOGERENTNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT . . . twennogo 48 . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . 55

. . . . . . .

. . . . . . .

4 4 4 6 7 10 11 14 18 18 22 25 28 28 31 34 35 37 37 42 45

.. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..

2.2. pRODOLXNOE KULONOWSKOE RASTALKIWANIE ^ASTIC W INTENSIWNOM PU^KE PROTONOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. pRODOLXNAQ NEUSTOJ^IWOSTX ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW . . . . . 2.3.1. pRODOLXNOE DWIVENIE ODNOJ ^ASTICY W OTSUTSTWIE WOZMU]ENIJ . 2.3.2. fUNKCIQ RASPREDELENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. pRODOLXNYJ IMPEDANS SWQZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. uRAWNENIE wLASOWA I DISPERSIONNOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . 2.3.5. iNKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI MONOHROMATI^ESKOGO PU^KA PROTONOW . 2.3.6. rE[ENIE DISPERSIONNOGO URAWNENIQ PRI NALI^II RAZBROSA ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. pOPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTX ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW . . . . . 2.4.1. pOPERE^NOE DWIVENIE ODNOJ ^ASTICY . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. pOPERE^NYJ SIGNAL OT PU^KA ^ASTIC . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. pOPERE^NYJ IMPEDANS SWQZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. dISPERSIONNOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. ANALIZ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ W OTSUTSTWIE RAZBROSA BETATRONNYH ^ASTOT W PU^KE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. uSLOWIE USTOJ^IWOSTI PU^KA PRI NALI^II IMPULXSNOGO RAZBROSA 2.4.7. uSTOJ^IWOSTX PU^KA PRI BETATRONNOJ ^ASTOTE, ZAWISQ]EJ OT AMPLITUDY KOLE BANIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. pRODOLXNAQ NEUSTOJ^IWOSTX SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW . 2.5.1. pRODOLXNYJ SIGNAL OT ODNOJ ^ASTICY . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. pRODOLXNYJ SIGNAL OT SGUSTKA ^ASTIC . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. dISPERSIONNOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. iNKREMENTY MULXTIPOLXNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ . . . . . . . . . . . . 2.5.5. pOROGI NEUSTOJ^IWOSTEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.6. nEUSTOJ^IWOSTX SGUSTKA PRI NALI^II SWQZI MEVDU MULXTIPOLXNYMI MODAMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. pOPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTX SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW . 2.6.1. pOPERE^NYJ SIGNAL PRI NALI^II KOLE BANIJ CENTRA MASS SGUSTKA ^ASTIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. dISPERSIONNOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. iNKREMENTY NEUSTOJ^IWOSTEJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. pOPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTX SGUSTKA ^ASTIC PRI BOLX[OJ INTENSIWNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

59 64 65 67 69 73 74 77 79 79 81 82 85 87 88 90 92 92 93 95 97 99

.. .. . . . . . . . . . . . . . .

. . 101 . . 103 . . 103 . . 106 . . 108 . . 111

nASTOQ]AQ RABOTA PREDSTAWLQET, PO-SUTI, KURS LEKCIJ, KOTORYJ ^ITAETSQ AWTOROM W TE^ENIE RQDA LET STUDENTAM FIZI^ESKOGO FAKULXTETA mgu NA KAFEDRE `fIZIKA USKO` RITELEJ WYSOKIH "NERGIJґ dANNYJ KURS SOSTOIT IZ DWUH ^ASTEJ, KAVDAQ IZ KOTORYH ґ. IZU^AETSQ W TE^ENIE ODNOGO SEMESTRA. w PERWOM RAZDELE PERWOJ ^ASTI SODERVITSQ ANALIZ POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC W IDEALXNYH MA[INAH, W KOTORYH OTSUTSTWU@T KAK NELINEJNOSTI, TAK I WOZMU]ENIQ WEDU]EGO MAGNITNOGO POLQ. pRIWEDENY OSNOWNYE STRUKTURNYE HARAKTERISTIKI USKORITELEJ I KRITERIJ USTOJ^IWOSTI POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC, DANY PONQTIQ AKSEPTANSA USKORITELQ I "MITTANSA PU^KA. rASSMOTRENY STRUKTURNYE "LEMENTY BOLX[IH KOLLAJDEROW, TAKIE KAK SOGLASOWANNYE WSTAWKI DLQ PODAWLENIQ I WOSSTANOWLENIQ DISPERSII, A TAKVE PROMEVUTKI S MALYMI WELI^INAMI -FUNKCIJ. aNALIZIRU@TSQ WLIQNIE WOZMU]ENIJ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ NA HARAKTERISTIKI POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC, A TAKVE WLIQNIE O[IBOK USTANOWKI ZAWORA^IWA@]IH MAGNITOW I KWADRUPOLXNYH LINZ NA ISKAVENIE ZAMKNUTOJ ORBITY ^ASTIC W USKORITELE I O[IBOK W GRADIENTE MAGNITNOGO POLQ I SISTEMATI^ESKIH NELINEJNOSTEJ NA ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC. pODROBNO RASSMATRIWA@TSQ OSNOWNYE REZONANSY BETATRONNYH KOLE BANIJ. zAKL@^ITELXNYJ RAZDEL PERWOJ ^ASTI POSWQ]ЁN ANALIZU PRODOLXNOGO DWIVENIQ ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE, e A TAKVE ANALIZU WLIQNIQ WOZMU]ENIJ PARAMETROW USKORQ@]EJ SISTEMY I MAGNITNOGO POLQ NA FAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC. wTORAQ ^ASTX RABOTY POSWQ]ENA IZU^ENI@ "FFEKTOW, WOZNIKA@]IH PRI USKORENII WYSOKOINTENSIWNYH PU^KOW ^ASTIC W PROTONNYH SINHROTRONAH. dAN OBZOR OSNOWNYH "FFEKTOW PROSTRANSTWENNOGO ZARQDA PU^KA I IH WOZDEJSTWIQ NA POPERE^NYE I PRODOLXNYE KOLE BANIQ ^ASTIC W USKORITELQH. w ^ASTNOSTI, PRIWODQTSQ RAS^ЁTY NEKOGERENTNOGO I e KOGERENTNOGO KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT, ANALIZIRUETSQ IH WLIQNIE NA DINAMIKU ^ASTIC. rASSMOTRENY OSOBENNOSTI PEREHODA INTENSIWNOGO PU^KA PROTONOW ^EREZ KRITI^ESKU@ "NERGI@ I SPOSOBY BORXBY S UWELI^ENIEM PRODOLXNOGO "MITTANSA PU^KA W "TOM RAJONE. dANY PRIMERY RAS^ЁTA SOBSTWENNOGO "LEKTROMAGNITNOGO POLQ PU^KA DLQ e NEKOTORYH NAIBOLEE HARAKTERNYH GEOMETRIJ WAKUUMNOJ KAMERY, A TAKVE PRODOLXNOGO I POPERE^NOGO IMPEDANSOW. dAЁTSQ PODROBNYJ WYWOD DISPERSIONNYH URAWNENIJ DLQ POPEe RE^NYH I PRODOLXNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ PU^KA I IZLAGAETSQ METOD IH RE[ENIQ S POMO]X@ DIAGRAMM NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IMPEDANSOW. fORMULY DLQ POROGOW I INKREMENTOW NEUSTOJ^IWOSTEJ ODNORODNOGO I SGRUPPIROWANNOGO PU^KA DA@TSQ W WIDE, UDOBNOM DLQ PRAKTI^ESKIH OCENOK STEPENI OPASNOSTI DANNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ W PROTONNOM SINHROTRONE.

3

1. dwivenie ~astic w protonnom sinhrotrone Ё bez u~Eta ih wzaimodeistwiq drug s drugom i oborudowaniem uskoritelq

1.1. strukturnye harakteristiki protonnogo sinhrotrona 1.1.1. uSTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC pOPERE^NYE KOLE BANIQ ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE PROISHODQT OKOLO ZAMKNUTOJ PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ, NAZYWAEMOJ ORBITOJ. oNA OPREDELQETSQ KAK PERIODI^ESKOE RE[ENIE URAWNENIJ, OPISYWA@]IH POPERE^NYE KOLE BANIQ ^ASTIC W USKORITELE. w IDEALXNOJ MA[INE ORBITA RASPOLAGAETSQ W MEDIANNOJ PLOSKOSTI. eSLI APPROKSIMIROWATX POLE W MAGNITAH, RASPOLOVENNYH WDOLX ORBITY USKORITELQ, KUSO^NO-POSTOQNNOJ ZAWISIMOSTX@, A TAKVE S^ITATX, ^TO FOKUSIROWKA I DEFOKUSIROWKA PU^KA OSU]ESTWLQ@TSQ TONKIMI LINZAMI, TO ORBITOJ USKORITELQ BUDET ZAMKNUTAQ KRIWAQ, SOSTOQ]AQ IZ DUG OKRUVNOSTEJ W MESTAH, GDE IMEETSQ ZAWORA^IWA@]EE MAGNITNOE POLE, I SOPRQVЁNNYH S NIMI PRQMYH e LINIJ W PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKAH USKORITELQ. dLQ OPISANIQ POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC OTNOSITELXNO RAWNOWESNOJ ORBITY UDOBNO WWESTI KRIWOLINEJNU@ SISTEMU KOORDINAT, PREDSTAWLQ@]U@ SOBOJ ESTESTWENNYJ TRЁHGRANNIK I POKAZANe NU@ NA RIS. 1, GDE PRODOLXNAQ KOORDINATA ^ASTICY s OTS^ITYWAETSQ WDOLX ORBITY; x, z -- POPERE^NYE KOORDINATY ^ASTICY, OTS^ITYWAEMYE W PLOSKOSTQH, PERPENDIKULQRNYH K ORBITE (KOORDINATA x LEVIT W MEDIANNOJ PLOSKOSTI, A z -- W WERTIKALXNOJ); n, b, t -- EDINI^NYE WEKTORY, NAPRAWLENNYE SOOTWETSTWENNO PO NORMALI, BINORMALI I KASATELXNOJ K ORrIS. 1. eSTESTWENNYJ TRЁHGRANNIK. e BITE. rASSMOTRIM WNA^ALE IDEALXNU@ MA[INU, W KOTOROJ OTSUTSTWU@T NELINEJNYE SOSTAWLQ@]IE MAGNITNOGO POLQ, A ORBITA RASPOLAGAETSQ W MEDIANNOJ PLOSKOSTI. w TAKOM SLU^AE KOLE BANIQ ^ASTIC W NAPRAWLENIQH x I z PROISHODQT NEZAWISIMO, I URAWNENIQ DWIVENIQ MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE d2 x 1 1 p + - g (s) x = ; 2 2 (s) ds R R(s) p (1)

4

d2 z + g (s)z = 0, (2) ds2 GDE R(s) -- RADIUS KRIWIZNY ORBITY W MAGNITE; g (s)= -G/H R (G -- GRADIENT MAGNITNOGO POLQ; HR -- MAGNITNAQ VЁSTKOSTX -- POSTOQNNAQ WELI^INA PRI DWIVENII ^ASTICY e W ^ISTO MAGNITNOM POLE); p/p0 -- OTNOSITELXNOE OTKLONENIE IMPULXSA ^ASTICY OT RAWNOWESNOGO ZNA^ENIQ p = p0 . pRI ANALIZE USTOJ^IWOSTI POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC W USKORITELE BUDEM POLAGATX p/p0 = 0. w TAKOM SLU^AE URAWNENIQ (1), (2) IME@T ODINAKOWYJ WID d2 u + g (s)u = 0, (3) ds2 GDE SMYSL g (s) ZAWISIT OT RASSMATRIWAEMOJ POPERE^NOJ KOORDINATY. nIVE OBOZNA^ENIE u BUDET ISPOLXZOWATXSQ TAM, GDE NET NEOBHODIMOSTI RAZLI^ATX x- I z -KOORDINATY. oRBITA USKORITELQ PREDSTAWLQET SOBOJ ZAMKNUTU@ KRIWU@, PO"TOMU g (s) QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ PRODOLXNOJ KOORDINATY s S PERIODOM 2R0 (R0 -- SREDNIJ RADIUS USKORITELQ). kAK PRAWILO, IDEALXNAQ STRUKTURA KOLXCEWOGO USKORITELQ SOSTOIT IZ BOLX[OGO ^ISLA PERIODOW ILI SUPERPERIODOW, PO"TOMU FUNKCIQ g UDOWLETWORQET BOLEE VЁSTKOMU USLOWI@ -- g (s + L) = g (s), GDE L -- DLINA PERIODA ILI SUPERPERIODA. e oB]EE RE[ENIE L@BOGO LINEJNOGO OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA MOVNO ZAPISATX W WIDE u(s) = C (s, s0 )u(s0 )+ S (s, s0)u (s0 ), u (s) = C (s, s0 )u(s0 )+ S (s, s0 )u (s0 ), (4) (5)

GDE FUNKCII C I S , PODOBNYE SINUSU I KOSINUSU, ZAWISQT OT PRODOLXNYH KOORDINAT (NA^ALXNOJ s0 I TEKU]EJ s) I NORMALIZOWANY TAKIM OBRAZOM, ^TO C (s0 ,s0 ) = S (s0 ,s0 ) = 1 I C (s0 ,s0 ) = S (s0 ,s0 ) = 0. TRIHOM OBOZNA^ENO DIFFERENCIROWANIE PO s. pOSLEDNEE WYRAVENIE UDOBNO PREDSTAWITX W MATRI^NOJ FORME: u(s) u (s) = M (s|s0 ) u(s0 ) u (s0 ) = C (s, s0 ) S (s, s0 ) C (s, s0 ) S (s, s0 ) u(s0 ) u (s0 ) . (6)

sWOJSTWA STRUKTURY USKORITELQ SODERVATSQ W MATRICE M . oPREDELITELX MATRICY w RAWEN WRONSKIANU OT FUNKCIJ C I S I QWLQETSQ POSTOQNNOJ WELI^INOJ, TAK KAK ISHODNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE (3) NE SODERVIT DISSIPATIWNYH ^LENOW, PRI^ЁM w = 1, KAK e "TO SLEDUET IZ (6), ESLI POLOVITX s = s0 . pOSLEDOWATELXNOE PRIMENENIE MATRI^NOGO WYRAVENIQ (6) K TO^KAM ORBITY S KOORDINATAMI s1 ,s2 ,... POKAZYWAET, ^TO PEREMENNYE u(si ) I u (si ) SWQZANY SO SWOIMI ISHODNYMI ZNA^ENIQMI u(s0 ) I u (s0 ) ^EREZ PROIZWEDENIQ MATRIC. --TOT FAKT ISPOLXZUETSQ PRI RAS^ЁTE e STRUKTUR USKORITELEJ, A TAKVE WSEWOZMOVNYH WSTAWOK W REGULQRNU@ STRUKTURU. oSOBENNO PROSTOJ WID MATRICA M IMEET W SLU^AE KUSO^NO-POSTOQNNOJ FUNKCII g (s). tAK, NAPRIMER, DLQ FOKUSIRU@]EJ LINZY g = G/H R > 0, I MATRICA M IMEET WID M (s|s0 ) = GDE = cos -g 1/2 sin cosh |g | sinh
1 /2

g

- 1 /2

sin cos

,

(7)

g(s - s0 ). w SLU^AE DEFOKUSIRU@]EJ LINZY (g < 0) M (s|s0 ) = |g |
- 1 /2

sinh cosh

,

(8)

GDE =

|g |(s - s0 ).

5

dLQ NAHOVDENIQ USLOWIQ USTOJ^IWOSTI POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE RASSMOTRIM MATRICU PERIODA M = M (s + L|s). l@BU@ MATRICU S OPREDELITELEM, RAWNYM EDINICE, I, W ^ASTNOSTI M , MOVNO ZAPISATX W SLEDU@]EM WIDE: M= cos µ0 + sin µ0 - sin µ0 sin µ0 cos µ0 - sin µ0 . (9)

pARAMETR µ0 PREDSTAWLQET SOBOJ NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ NA PERIODE STRUKTURY USKORITELQ -- FORMULA DLQ EGO WY^ISLENIQ POLU^ENA W SLEDU@]EM RAZDELE, A KO"FFICIENTY tWISSA , I -- POKA NEKOTORYE FORMALXNO WWEDЁNNYE PARAMETRY, e FIZI^ESKIJ SMYSL KOTORYH BUDET TAKVE QSEN IZ DALXNEJ[EGO IZLOVENIQ. iZ USLOWIQ |M | = 1 POLU^AETSQ SLEDU@]AQ SWQZX DLQ PARAMETROW tWISSA: - 2 = 1. (10)

o^EWIDNO TAKVE, ^TO cos µ0 = Sp M /2. sOBSTWENNYE ZNA^ENIQ MATRICY M NAHODQTSQ IZ URAWNENIQ |M - I| = 0, GDE I -- EDINI^NAQ MATRICA, I RAWNY = exp(±iµ0 ). kRITERIJ USTOJ^IWOSTI POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC W USKORITELE LEGKO POLU^ITX, ESLI PREDSTAWITX MATRICU M W WIDE M = I cos µ0 + J sin µ0 , GDE MATRICA J OPREDELENA WYRAVENIEM J= - - , (12) (11)

PRI^ЁM J 2 = -1. s U^ЁTOM "TOGO, WZQW PROIZWEDENIE M в M , POLU^IM M 2 = I cos(2µ0 )+ e e J sin(2µ0 ). pOWTORQQ DANNU@ OPERACI@ k RAZ, NAJDЁM ANALOGI^NOE WYRAVENIE DLQ k-OJ e STEPENI MATRICY M : M k = I cos(kµ0 )+ J sin(kµ0 ). (13) oTS@DA WIDNO, ^TO POPERE^NYE KOLE BANIQ ^ASTIC BUDUT USTOJ^IWY, ESLI NABEG FAZY µ0 QWLQETSQ DEJSTWITELXNOJ WELI^INOJ (ILI, DRUGIMI SLOWAMI, DOLVNO WYPOLNQTXSQ SLEDU@]EE USLOWIE: |Sp M | < 2). 1.1.2. aMPLITUDA BETATRONNYH KOLE BANIJ uRAWNENIE DWIVENIQ (3) S PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ g (s + L) = g (s) PREDSTAWLQET SOBOJ URAWNENIE hILLA. iZ TEOREMY fLOKE SLEDUET, ^TO LINEJNO-NEZAWISIMYE RE[ENIQ TAKOGO URAWNENIQ MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE u1 (s) = p1 (s)exp(+iµ0 s/L), u2 (s) = p2 (s)exp(-iµ0 s/L), (14) (15)

GDE FUNKCII pk (k = 1, 2) PERIODI^NY S PERIODOM L -- pk (s + L) = pk (s). oTS@DA SLEDUET, ^TO uk (s + L) = uk (s)exp(±iµ0 ). (16) s DRUGOJ STORONY, FUNKCII uk (s + L) I uk (s) SWQZANY ^EREZ MATRICU M , TAK ^TO uk (s + L) = (cos µ0 + sin µ0 )uk (s)+ ( sin µ0 )uk (s) = uk (s)(cos µ0 ± i sin µ0 ), 6 (17)

OTKUDA, PRIRAWNIWAQ KO"FFICIENTY PRI sin µ0 , POLU^AEM uk = u
k

±i - .

(18)

bERQ DALEE LOGARIFMI^ESKIE PROIZWODNYE OT PRAWOJ I LEWOJ ^ASTEJ URAWNENIQ (18) uk u - k =- - uk uk ±i - I PREOBRAZUQ LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ (19) K WIDU uk u g ±i - - k =- - , uk uk ±i - (20) (19)

POLU^AEM, PRIRAWNIWAQ PRAWYE ^ASTI URAWNENIJ (19) I (20), SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ = -2; = g - . (21) (22)

nAKONEC, PROINTEGRIROWAW PO^LENNO SOOTNO[ENIE (18) S U^ЁTOM FORMULY (21), IMEEM e uk (s) = A
s 1 /2

(s)exp(±iµ(s)),

(23)

GDE µ(s) = ds / (s ), A -- POSTOQNNAQ WELI^INA, ZAWISQ]AQ OT NA^ALXNYH USLOWIJ. uRAWNENIE (23) POKAZYWAET, ^TO BETATRONNYE KOLE BANIQ QWLQ@TSQ KWAZIGARMONI^ESKIMI S MGNOWENNOJ AMPLITUDOJ, PROPORCIONALXNOJ 1/2 (s). sRAWNIWAQ RE[ENIQ DLQ uk (s) I uk (s + L), NETRUDNO WIDETX, ^TO NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ NA PERIODE STRUKTURY USKORITELQ µ0 RAWEN s+L ds µ0 = . (s ) s pROINTEGRIROWAW µ(s) WDOLX WSEJ ZAMKNUTOJ ORBITY I RAZDELIW POLU^ENNOE WYRAVENIE NA 2 , NAJDЁM ^ISLO BETATONNYH KOLE BANIJ ZA OBOROT Q: e Q= 1 2
s+2R0 s

ds , (s )

(24)

Ї OTKUDA LEGKO OPREDELQETSQ SREDNEE ZNA^ENIE FUNKCII (s): = R0 /Q. tAKIM OBRAZOM, WWEDЁNNYE FORMALXNO WELI^INY µ0 I POLU^ILI NAGLQDNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL: µ0 -- e "TO NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ NA PERIODE STRUKTURY, A FUNKCIQ 1/2 (s) -- OGIBA@]AQ POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC W USKORITELE.

1.1.3. --MITTANS PU^KA I AKSEPTANS USKORITELQ kOORDINATNAQ PLOSKOSTX S OSQMI u I pu , GDE pu -- POPERE^NYJ IMPULXS, KANONI^ESKI SOPRQVЁNNYJ S KOORDINATOJ u, NAZYWAETSQ FAZOWYM PROSTRANSTWOM. tAK KAK IMPULXS e pu PRI POSTOQNNOJ "NERGII PU^KA OTLI^AETSQ OT PROIZWODNOJ u LI[X POSTOQNNYM MNOVITELEM, TO W KA^ESTWE FAZOWOGO PROSTRANSTWA ^ASTO ISPOLXZUETSQ PROSTRANSTWO (u, u ). iSPOLXZOWANIE W TEORII USKORITELEJ PONQTIQ FAZOWOGO PROSTRANSTWA OKAZALOSX WESXMA 7

PLODOTWORNYM, W OSOBENNOSTI PRI RE[ENII ZADA^, SWQZANNYH S WWODOM I WYWODOM PU^KA PROTONOW, ^TO OBUSLOWLENO WOZMOVNOSTX@ PRIMENENIQ PRI RASSMOTRENII PODOBNYH WOPROSOW MATEMATI^ESKOGO APPARATA ANALITI^ESKOJ MEHANIKI. pUSTX u(s) -- DEJSTWITELXNOE RE[ENIE URAWNENIQ DWIVENIQ (3) DLQ ^ASTICY, IME@]EJ MAKSIMALXNU@ AMPLITUDU KOLE BANIJ. sOSTAWIM OPREDELITELX wRONSKOGO w DLQ DWUH LINEJNO NEZAWISIMYH RE[ENIJ URAWNENIQ (3) -- u(s) I u1 (s) = 1/2 (s)exp(iµ(s)), KOTORYJ, KAK OTME^ALOSX WY[E, NE ZAWISIT OT KOORDINATY s I NE RAWEN NUL@. wY^ISLQQ |w |2 S U^ЁTOM |u1 |2 = , A TAKVE FORMULY (18) DLQ u1 , POLU^AEM TAK NAZYWAEMYJ INWARIANT e kURANTA-sNAJDERA: u2 +(u + u )2 = , (25) GDE -- POSTOQNNAQ WELI^INA. rASSMOTRIM TO^KU ORBITY S KOORDINATOJ s = s0 , GDE FUNKCIQ IMEET "KSTREMUM, TAK ^TO = 0, SOGLASNO (21). w TAKOM SLU^AE URAWNENIE (25) IMEET WID URAWNENIQ "LLIPSA W GLAWNYH OSQH 2 2 u u + = 1, (26) umax umax GDE umax = I umax = , PRI^ЁM DANNYJ "LLIPS OGRANI^IWAET FAZOWU@ PLO]ADX, e RAWNU@ . nEPOSREDSTWENNYM WY^ISLENIEM S ISPOLXZOWANIEM FORMULY (25) NETRUDNO POKAZATX, ^TO PRIWEDENNYE SOOTNO[ENIQ DLQ umax I umax SOHRANQ@T SWOJ WID I W OB]EM SLU^AE PROIZWOLXNO ORIENTIROWANNOGO "LLIPSA. tAKIM OBRAZOM, PO MERE DWIVENIQ WDOLX ORBITY ^ASTICY S MAKSIMALXNOJ AMPLITUDOJ POPERE^NYH KOLE BANIJ, EЁ IZOBRAVENIE NA e FAZOWOJ PLOSKOSTI PEREME]AETSQ PO "LLIPSU, OGRANI^IWA@]EMU PLO]ADX , SOWER[AQ POLNYJ OBHOD "LLIPSA ZA ODIN PERIOD BETATRONNYH KOLE BANIJ. wELI^INU NAZYWA@T POPERE^NYM "MITTANSOM PU^KA (WERTIKALXNYM ILI GORIZONTALXNYM). iNWARIANT (25), WOOB]E GOWORQ, SPRAWEDLIW DLQ L@BOJ ^ASTICY, PO"TOMU ^ASTICY S MENX[IMI AMPLITUDAMI KOLE BANIJ BUDUT TAKVE DWIGATXSQ PO "LLIPSAM, RASPOLOVENNYM WNUTRI GRANI^NOGO "LLIPSA. w SWO@ O^EREDX, "LLIPSY PO MERE DWIVENIQ ^ASTIC WDOLX ORBITY NEPRERYWNO IZMENQ@T SWO@ ORIENTACI@, SOHRANQQ OHWATYWAEMU@ IMI FAZOWU@ PLO]ADX, I RASPOLAGA@TSQ W GLAWNYH OSQH LI[X W TEH TO^KAH ORBITY, GDE -FUNKCIQ IMEET "KSTREMUMY. nA RIS. 2 PREDSTAWLEN GRANI^NYJ FAZOWYJ "LLIPS PU^KA, RASPOLOVENNYJ W PROIZWOLXNOJ TO^KE ORBITY USKORITELQ, S KOORDINATAMI WSEH EGO HARAKTERNYH TO^EK, WYRAVENNYH ^EREZ "MITTANS I KO"FFICIENTY tWISSA. IRINA FAZOWOGO "LLIPSA W NAPRAWLENII KOORDINATY u OGRANI^ENA APERTUROJ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. mAKSIMALXNAQ WELI^INA , SU]ESTWU@]AQ W USKORITELE, NAZYWAETSQ AKSEPTANSOM. aKSEPTANS QWLQETSQ HARAKTERISTIKOJ MA[INY, W OTLI^IE OT "MITTANSA , QWLQ@]EGOSQ HARAKTERISTIKOJ PU^KA, I OPREDELQETSQ NAIBOLEE UZKIM MESTOM APERTURY WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. dLQ TOGO ^TOBY "MITTANS BYL SOGLASOWAN, EGO FORMA NA FAZOWOJ PLOSKOSTI DOLVNA BYTX PODOBNA AKSEPTANSU DLQ L@BOGO AZIMUTA USKORITELQ. w PROTIWNOM SLU^AE RE^X MOVET IDTI OB "FFEKTIWNOM "MITTANSE, KOTORYJ PREDSTAWLQET SOBOJ SOGLASOWANNYJ "LLIPS, OPISANNYJ OKOLO FAZOWOGO IZOBRAVENIQ PU^KA I SODERVA]IJ WSE ^ASTICY (INOGDA 99 ILI 95% PU^KA, W ZAWISIMOSTI OT WIDA RASSMATRIWAEMOJ FUNKCII RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE). eSLI "MITTANS PU^KA SOGLASOWAN S FAZOWYMI TRAEKTORIQMI ^ASTIC, TO ^ASTICY ZAPOLNQ@T MINIMALXNU@ ^ASTX AKSEPTANSA. pROCESS SOGLASOWANIQ "MITTANSA PU^KA S AKSEPTANSOM -- NEOBHODIMYJ "TAP PRI SOZDANII SISTEM WWODA-WYWODA PU^KA.

8

rIS. 2. kOORDINATY HARAKTERNYH TO^EK FAZOWOGO "LLIPSA.

--MITTANS, WY^ISLENNYJ W KANONI^ESKIH KOORDINATAH (u, pu ), NAZYWAETSQ INWARIANTNYM. eGO WELI^INA SOHRANQETSQ W PROCESSE USKORENIQ PU^KA, ^TO QWLQETSQ SLEDSTWIEM TEOREMY lIUWILLQ, UTWERVDA@]EJ, ^TO IZOBRAVA@]IE TO^KI W FAZOWOM PROSTRANSTWE WEDUT SE BQ PODOBNO NESVIMAEMOJ VIDKOSTI (PLOTNOSTX ^ASTIC WBLIZI L@BOJ KONKRETNOJ IZOBRAVA@]EJ TO^KI NE IZMENQETSQ S TE^ENIEM WREMENI), ESLI TOLXKO DINAMI^ESKAQ SISTEMA QWLQETSQ KONSERWATIWNOJ. pRI OTSUTSTWII SWQZI MEVDU GORIZONTALXNYM I WERTIKALXNYM DWIVENIQMI, ^TO W NASTOQ]EM RAZDELE PREDPOLAGAETSQ, FAZOWYE OBЁMY PU^KA e SOHRANQ@TSQ NEZAWISIMO W KAVDOJ IZ PLOSKOSTEJ. w OB]EM SLU^AE MOVNO GOWORITX LI[X e O SOHRANENII [ESTIMERNOGO FAZOWOGO OBЁMA PU^KA. sLEDUET TAKVE OTMETITX, ^TO W PROCESSE USKORENIQ PU^KA INWARIANTNYJ "MITTANS NE TOLXKO SOHRANQETSQ, NO I OSTAЁTSQ SOGLASOWANNYM S POPERE^NYMI FAZOWYMI TRAEKTORIQe MI ^ASTIC, TAK KAK IZMENENIE "NERGII PU^KA PROISHODIT O^ENX MEDLENNO PO SRAWNENI@ S PERIODOM BETATRONNYH KOLE BANIJ. tAK KAK POPERE^NYJ IMPULXS pu = pu , TO S ROSTOM "NERGII ^ASTIC NEINWARIANTNYJ "MITTANS DOLVEN PO"TOMU UMENX[ATXSQ OBRATNO PROPORCIONALXNO WELI^INE IMPULXSA p. eSLI OBOZNA^ITX ^EREZ Amax MAKSIMALXNU@ AM PLITUDU BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC -- Amax = max , TO DOLVNO BYTX Amax 1/ p (IZMENENIEM max W PROCESSE USKORENIQ PU^KA OBY^NO MOVNO PRENE BRE^X). w DALXNEJ[EM ^ASTO BUDET ISPOLXZOWATXSQ FAZOWOE PROSTRANSTWO (v, dv /d), GDE -- NOWAQ NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ, = ds µ(s) = , Q (s) Q 9 (27)

W KOTOROM FAZOWYE TRAEKTORII ^ASTIC PREDSTAWLQ@T SOBOJ OKRUVNOSTI, A WOZDEJSTWIE NA ^ASTICU "LEMENTA STRUKTURY USKORITELQ S FAZOWYM NABEGOM µ(s) PROQWLQETSQ KAK WRA]ENIE PO OKRUVNOSTI TO^KI, IZOBRAVA@]EJ DANNU@ ^ASTICU NA FAZOWOJ PLOSKOSTI, NA UGOL µ PO ^ASOWOJ STRELKE. sWQZX MEVDU PEREMENNYMI (v, dv /d) I (u, u ) DAЁTSQ e MATRICEJ v - 1 /2 0 u = . (28) - 1 /2 1 /2 dv /d Q u Q pROIZWEDQ S POMO]X@ SOOTNO[ENIQ (28) ZAMENU PEREMENNYH W URAWNENII DWIVENIQ (3) S U^ЁTOM FORMUL (10), (21) I (22), SWQZYWA@]IH KOFFICIENTY tWISSA DRUG S DRUGOM, e POLU^IM WMESTO (3) URAWNENIE GARMONI^ESKOGO OSCILLQTORA d2 v + Q2 v = 0 . d2 (29)

1.1.4. dISPERSIONNAQ FUNKCIQ rADIALXNOE OTKLONENIE ORBITY ^ASTICY S IMPULXSOM p = p0 OT ORBITY RAWNOWESNOJ ^ASTICY x(s) OPISYWAETSQ DISPERSIONNOJ FUNKCIEJ D (s), QWLQ@]EJSQ PERIODI^ESKIM RE[ENIEM NEODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA, POLU^A@]EGOSQ IZ URAWNENIQ (1) PRI p/p0 = 1, d2 D + ds2 1 1 - g (s) D = , R (s) R(s)
2

(30)

TAK ^TO x(s) = D(s)(p - p0 )/p0 . w PROTONNOM SINHROTRONE FUNKCIQ g (s) OBY^NO KUSO^NO-POSTO ONNU@ FUNKCI@ D(s) MOVNO NAJTI, ISPOLXZUQ MATRI^NYJ METOD (30). zAMETIM SRAZU, ^TO DANNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE U (s, s0 ), PRI^ЁM, KAK SLEDUET IZ NA^ALXNYH USLOWIJ, DOLVNO BYTX e zAPI[EM RE[ENIE URAWNENIQ (30) W MATRI^NOM WIDE

QNNA, PO"TOMU DISPERSIDLQ RE[ENIQ URAWNENIQ IMEET ^ASTNOE RE[ENIE U (s0 ,s0 ) = U (s0 ,s0 ) = 0.

D(s) D(s0 ) D (s) = M (s|s0 ) D (s0 ) ; 1 1 C (s, s0 ) M (s|s0 ) = C (s, s0 ) 0

(31)

S (s, s0 ) U (s, s0 ) S (s, s0 ) U (s, s0 ) . 0 1

(32)

dLQ MAGNITA S SOWME]ЁNNYMI FUNKCIQMI, OSU]ESTWLQ@]EGO FOKUSIROWKU ^ASTIC S ODNOe WREMENNYM IH POWOROTOM NA UGOL = gx(s - s0 ), GDE gx (s) = 1/R2 + G/H R > 0, MATRICA M IMEET WID cos -g 1/2 sin M (s|s0 ) = x 0

g

- 1 /2 x

sin cos 0

(1/Rgx)(1 - cos ) 1 (1/Rgx/2)sin , 1

(33)

10

A DLQ DLQ DEFOKUSIRU@]EGO MAGNITNOGO BLOKA -- cosh |gx|1/2 sinh M (s|s0 ) = 0

(1/|gx|1/2)sinh cosh 0

(1/R|gx|)(cosh - 1) (1/R|gx|1/2 )sinh , 1

(34)

GDE gx = 1/R2 - G/H R < 0, = |gx |(s - s0 ). pRI WY^ISLENII STRUKTURNYH HARAKTERISTIK PROTONNOGO SINHROTRONA REZULXTIRU@]AQ MATRICA PERIODA STRUKTURY M (s0 + L|s0 ) PREDSTAWLQET SOBOJ PROIZWEDENIE MATRIC, PODOBNYH (33) I (34). dLQ NAHOVDENIQ NA^ALXNYH ZNA^ENIJ DISPERSIONNOJ FUNKCII D0 = D(s0 ) I EЁ PROIZWODNOJ D0 = D (s0 ), NEOBHODIMO RE[ITX SLEDU@]U@ SISTEMU e URAWNENIJ: D(s0 ) D(s0 ) D (s0 ) = M (s0 + L|s0 ) D (s0 ) . (35) 1 1 aNALITI^ESKOE WYRAVENIE DLQ DISPERSIONNOJ FUNKCII D(s) NETRUDNO POLU^ITX, PEREJDQ W URAWNENII (30) OT PEREMENNYH (D, s) K PEREMENNYM (v, ), WWEDЁNNYM RANEE S e POMO]X@ SOOTNO[ENIQ (28) (POLAGAQ W POSLEDNEM u = D). w REZULXTATE WMESTO (30) POLU^AETSQ SLEDU@]EE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE: d2 v 1 + Q2 v = Q2 x d2 Rx
3 /2 x

,

(36)

KOTOROE PREDSTAWLQET SOBOJ URAWNENIE GARMONI^ESKOGO OSCILLQTORA S WNE[NEJ WOZMU]A@]EJ SILOJ. rE[AQ EGO METODOM WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH, MOVNO WYDELITX PERIODI^ESKOE RE[ENIE S PERIODOM STRUKTURY L. wERNUW[ISX ZATEM SNOWA K ISHODNYM PEREMENNYM (D, s), IMEEM D(s) =
1 x/2 (s) 2sin(Qx) s+2R0 s 1 x /2 ( s ) cos[µx (s ) - µx (s) - Qx ] ds . R (s )

(37)

oCENIM SREDNEE ZNA^ENIE DISPERSIONNOJ FUNKCII D NA PERIODE STRUKTURY, PODSTAWIW Ї W URAWNENIE (37) WMESTO FUNKCII x (s) EЁ SREDNEE ZNA^ENIE = R0 /Qx, A TAKVE POLAGAQ e µx (s ) - µx (s) - Qx = , d = ds /x: D wELI^INA = D/R Ї2 x 2R0 sin(Qx)
Qx

cos d =
-Qx

R0 . Q2 x

(38)

1/Q2 NAZYWAETSQ KO"FFICIENTOM RAS[IRENIQ ORBIT W USKORITELE. x

1.1.5. sTRUKTURY KOLXCEWYH USKORITELEJ PROTONOW sTRUKTUROJ KOLXCEWOGO USKORITELQ PROTONOW NAZYWA@T NABOR LINEJNYH "LEMENTOW, OSU]ESTWLQ@]IH PERIODI^ESKU@ FOKUSIROWKU I DEFOKUSIROWKU ^ASTIC, A TAKVE SOZDA@]IH ZAWORA^IWA@]EE MAGNITNOE POLE, KOTORYE OBESPE^IWA@T DWIVENIE ^ASTIC WBLIZI ZAMKNUTOJ KRIWOJ (ORBITY). sTRUKTURA USKORITELQ SODERVIT TAKVE PRQMOLINEJNYE PROMEVUTKI, ISPOLXZUEMYE DLQ USTANOWKI RAZLI^NOGO OBORUDOWANIQ, WKL@^AQ USTROJSTWA DLQ WWODA I WYWODA PU^KA, USKORQ@]U@ I WAKUUMNU@ SISTEMY, SISTEMU DIAGNOSTIKI PU^KA I DR. 11

oSNOWNYMI HARAKTERISTIKAMI USKORITELQ QWLQ@TSQ WWEDЁNNAQ WY[E STRUKTURNAQ e FUNKCIQ (s), HARAKTERIZU@]AQ POWEDENIE OGIBA@]EJ BETATRONNYH KOLE BANIJ, I NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ NA PERIODE STRUKTURY µ0 , HARAKTERIZU@]IJ USTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC OTNOSITELXNO ORBITY USKORITELQ. pREDWARITELXNYJ (^ERNOWOJ) RAS^ЁT UKAZANNYH STRUKTURNYH HARAKTERISTIK PROIZWODITSQ OBY^NO W PRIBLIVEe NII TONKIH LINZ, TAK KAK NA PRAKTIKE, KAK PRAWILO, WYPOLNQETSQ SLEDU@]EE USLOWIE: gl 1, GDE l -- HARAKTERNAQ DLINA "LEMENTA USKORITELQ (W DALXNEJ[EM POD l BUDEM PONIMATX DLINU LINZY). pRI "TOM MOVNO PRENE BRE^X WLIQNIEM POWOROTNYH MAGNITOW, TAK KAK IH WOZDEJSTWIE NA FOKUSIROWKU ^ASTIC QWLQETSQ DOSTATO^NO SLABYM I MOVET BYTX U^TENO PRI OKON^ATELXNOM (^ISTOWOM) RAS^ЁTE STRUKTURY. e uPROSTIM MATRICY LINZ, USTREMIW DLINU l K NUL@. fOKUSIRU@]AQ SILA "LEMENTA DOLVNA SOHRANQTXSQ, PO"TOMU GRADIENT LINZY STREMITSQ PRI "TOM K BESKONE^NOSTI, TAK ^TO WELI^INA = gl = const I MATRICY (7), (8) I (33), (34) PRIMUT SLEDU@]IJ WID: MD,F = 1 = ± 0

1 ±

0 ; 1

(39)

MD,

F

0 0 1 /n , 0 1

(40)

GDE ZNAKI PL@S I MINUS OTNOSQTSQ SOOTWETSTWENNO K MATRICAM MD (DLQ DEFOKUSIRU@]EJ LINZY) I MF (DLQ FOKUSIRU@]EJ LINZY); PARAMETR OBRATNO PROPORCIONALEN FOKUSNOMU RASSTOQNI@ KWADRUPOLXNOJ LINZY; I n -- SOOTWETSTWENNO UGOL POWOROTA ^ASTICY I ^ISLO MAGNITOW NA PERIODE STRUKTURY. w PROTONNYH SINHROTRONAH DOWOLXNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ STRUKTURA FODO, SHEMATI^ESKI IZOBRAVЁNNAQ NA RIS. 3A, A EЁ TONKOLINZOWYJ ANALOG PREDSTAWLEN NA RIS. 3B. e e sTRUKTURY TAKOGO TIPA ISPOLXZU@TSQ, NAPRIMER, W PROTONNOM SINHROTRONE ifw--, W OSNOWNOM KOLXCE USKORITELQ FNAL, W USKORITELQH SPS, PEP, PETRA I DR.

rIS. 3. sTRUKTURA FODO (A) I EЁ TONKOLINZOWYJ ANALOG (B). e

rASS^ITAEM OSNOWNYE HARAKTERISTIKI STRUKTURY FODO, PRINQW ZA NA^ALO OTS^ЁTA e TO^KU ORBITY, RASPOLOVENNU@ S LEWOJ STORONY FOKUSIRU@]EJ LINZY, W NEPOSREDSTENNOJ BLIZOSTI K NEJ. tOGDA MATRICU PERIODA M DLQ STRUKTURY, PREDSTAWLENNOJ NA RIS. 3B, MOVNO ZAPISATX W WIDE PROIZWEDENIQ ^ETYRЁH MATRIC: e M= 1 L/2 0 1 1 D 0 1 12 1 L/2 0 1 1 F 0 1 , (41)

GDE L -- DLINA PERIODA STRUKTURY. dALXNEJ[EE UPRO]ENIE POLU^AETSQ W SLU^AE RAWENSTWA SIL FOKUSIRU@]EJ I DEFOKUSIRU@]EJ LINZ: F = -D = - . w TAKOM SLU^AE POWEDENIE PARAMETROW tWISSA ODINAKOWO PO OBOIM NAPRAWLENIQM I POSLE PEREMNOVENIQ MATRIC W PRAWOJ ^ASTI WYRAVENIQ (41) MOVNO ZAPISATX MATRICU M W WIDE M= 1 - L /2 - (L )2 /4 L + L2 /4 . -L 2 /2 1 + L /2 (42)

sRAWNIWAQ POLU^ENNOE WYRAVENIE S MATRICEJ tWISSA (9) I WWODQ NABEG FAZY NA PERIODE STRUKTURY µ0 W KA^ESTWE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, POLU^AEM SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ: L = 4 sin(µ0 /2);
F,D

(43) (44) (45)

= L[1 ± sin(µ0 /2)]/ sin µ0 ;

F,D = -[±1+ sin(µ0 /2)]/ cos(µ0 /2),

GDE ZNAKI PL@S I MINUS OTNOSQTSQ K FOKUSIRU@]EJ I DEFOKUSIRU@]EJ LINZAM SOOTWETSTWENNO. wELI^INY F I D W ZAWISIMOSTI OT NABEGA FAZY µ0 PREDSTAWLENY NA RIS. 4, IZ KOTOROGO WIDNO, ^TO FUNKCIQ F (µ0 ) IMEET MINIMUM W RAJONE µ0 80 , PO"TOMU NA PRAKTIKE OBY^NO STREMQTSQ K TOMU, ^TOBY WELI^INA NABEGA FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ NA PERIODE STRUKTURY FODO BYLA BLIZKA K PRIWEDENNOJ ZDESX CIFRE.

rIS. 4. pREDELXNYE ZNA^ENIQ FUNKCII (µ0 ) DLQ STRUKTURY FODO.

aNALOGI^NYJ RAS^ЁT MOVNO PRODELATX I DLQ DISPERSIONNOJ FUNKCII D, TOLXKO PRI e "TOM NEOBHODIMO PEREMNOVITX MATRICY RAZMERNOSTX@ 3 в 3. s U^ЁTOM SIMMETRII PERIODA e

13

STRUKTURY OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM EGO POLUPERIODA -- OT SEREDINY FOKUSIRU@]EJ KWADRUPOLXNOJ LINZY DO SEREDINY DEFOKUSIRU@]EJ. mATRICA POLOWINY PERIODA STRUKTURY PREDSTAWLQET SOBOJ PROIZWEDENIE ^ETYRЁH MATRIC: e 1 00 1 L/4 0 10 M = /2 1 0 0 1 00 1 0 01 0 0 1 00

0 1 L/4 0 1 00 /2 0 1 0 -/2 1 0 . (46) 1 0 0 1 0 01

pOSLE PEREMNOVENIQ MATRIC W PRAWOJ ^ASTI (46) POLU^AETSQ SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ MATRICY M : 1 - L /4 L/2 L/8 M = -L 2 /8 1 + L /4 (1 + L /8)/2 . (47) 0 0 1 pROIZWODNAQ DISPERSIONNOJ FUNKCII D = 0 W SEREDINAH LINZ, PO"TOMU ZNA^ENIQ FUNKCII D W UKAZANNYH TO^KAH MOVNO NAJTI IZ SISTEMY URAWNENIJ:

DD 0 1 OTKUDA SLEDUET D =

DF = M 0 , 1

(48)

L[1 ± sin(µ0 /2)/2] , (49) 4sin2 (µ0 /2) GDE ZNAKI PL@S I MINUS OTNOSQTSQ SOOTWETSTWENNO K FOKUSIRU@]EJ I DEFOKUSIRU@]EJ LINZAM. w ZAKL@^ENIE NASTOQ]EGO RAZDELA OTMETIM, ^TO W NEKOTORYH SILXNOFOKUSIRU@]IH USKORITELQH PROTONOW, W ^ASTNOSTI W CPS I W bRUKHEJWENSKOM aGS, ISPOLXZUETSQ STRUKTURA FOFDOD, W KOTOROJ DLQ SOZDANIQ PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKOW RAZRYW DELAETSQ NEPOSREDSTWENNO W FOKUSIRU@]IH I DEFOKUSIRU@]IH MAGNITNYH BLOKAH. w PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKAH TAKOJ STRUKTURY ZNA^ENIQ -FUNKCIJ DLQ WERTIKALXNOGO I GORIZONTALXNOGO NAPRAWLENIJ SILXNO RAZLI^A@TSQ, ^TO DELAET WOZMOVNYM SOZDANIE NEZAWISIMYH SISTEM KORREKCII MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ PO OBOIM NAPRAWLENIQM. w KA^ESTWE NEDOSTATKA TAKOJ STRUKTURY OTMETIM BOLEE WYSOKU@ WELI^INU GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ G, NEOBHODIMU@ DLQ SOZDANIQ TAKOGO VE, ^TO I W STRUKTURE FODO, NABEGA FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ NA PERIODE STUKTURY µ0 . aNALIZ STRUKTURY FOFDOD PODOBEN PROWEDENNOMU WY[E DLQ STRUKTURY FODO, I MY NE BUDEM NA NЁM SPECIALXNO OSTANAWLIWATXSQ. e oTMETIM TAKVE, ^TO PERWYE SILXNOFOKUSIRU@]IE USKORITELI PROTONOW SOBIRALISX IZ MAGNITNYH BLOKOW, W KOTORYH SOWME]ALISX FUNKCII FOKUSIROWKI I POWOROTA ^ASTIC. w POSLEDNEE WREMQ, ODNAKO, [IROKOE RASPROSTRANENIE POLU^ILI MAGNITNYE SISTEMY S RAZDELЁNNYMI FUNKCIQMI. w NIH FOKUSIROWKA ^ASTIC OSU]ESTWLQETSQ KWADRUPOLXNYMI e LINZAMI, A POWOROT ^ASTIC -- MAGNITAMI S ODNORODNYM MAGNITNYM POLEM. pRI "TOM SU]ESTWENNO UMENX[A@TSQ KAK WES VELEZA, ISPOLXZUEMOGO DLQ SOZDANIQ KOLXCEWOGO "LEKTROMAGNITA USKORITELQ, TAK I POTRE BLQEMAQ USKORITELEM "LEKTRO"NERGIQ.
F,D

1.1.6. sOGLASOWANNYE PROMEVUTKI pROTONNYJ SINHROTRON S REGULQRNOJ MAGNITNOJ STRUKTUROJ IMEET RQD SU]ESTWENNYH NEDOSTATKOW. --TO, WO-PERWYH, OTSUTSTWIE MESTA DLQ RASPOLOVENIQ SPECIALXNOGO OBORUDOWANIQ, NAPRIMER TAKOGO, KAK USKORQ@]IE w~-STANCII, SISTEMY WWODA-WYWODA PU^KA I DR. dANNYJ NEDOSTATOK MOVNO PREODOLETX ZA S^ЁT ISKAVENIQ REGULQRNOJ STRUKTURY. e 14

w USKORITELE ifw-- S "TOJ CELX@ WYDELENO 12 SUPERPERIODOW, SODERVA]IH PO 10 MAGNITOW, ^ETYRE IZ KOTORYH UKORO^ENY I POPARNO PRIDWINUTY DRUG K DRUGU. tAKIM OBRAZOM, W KAVDOM SUPERPERIODE USKORITELQ ORGANIZU@TSQ DWA DLINNYH, TRI SREDNIH I PQTX KOROTKIH PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKOW. pRI TAKOM SPOSOBE, ODNAKO, UHUD[A@TSQ STRUKTURNYE HARAKTERISTIKI USKORITELQ I, KAK SLEDSTWIE, UWELI^IWA@TSQ POPERE^NYE RAZMERY PU^KA PRI FIKSIROWANNYH WELI^INAH "MITTANSOW. wO-WTORYH, ZA^ASTU@ TRE BUETSQ NALI^IE SPECIFI^ESKIH ZNA^ENIJ -FUNKCIJ W ZADANNYH MESTAH USKORITELQ, W OSOBENNOSTI W SLU^AE KOLLAJDEROW. hARAKTERNYJ PRIMER -- DLINNYJ PRQMOLINEJNYJ PROMEVUTOK S MALYMI ZNA^ENIQMI -FUNKCIJ W MESTE WSTRE^I PU^KOW. tRUDNOSTI REGULQRNOJ STRUKTURY MOGUT BYTX PREODOLENY WWEDENIEM W NEЁ SOGLASOe WANNYH PROMEVUTKOW. pOME]AQ PODOBNU@ WSTAWKU W USKORITELX, MY NE DOLVNY WOZMUTITX PARAMETRY REGULQRNOJ STRUKTURY. pO"TOMU SILY KWADRUPOLXNYH LINZ, WELI^INY POLEJ W MAGNITAH, A TAKVE RAZMERY PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKOW W TAKIH WSTAWKAH PODBIRA@TSQ TAKIM OBRAZOM, ^TOBY AMPLITUDNYE FUNKCII W MESTE RAZRYWA REGULQRNOJ STRUKTURY WOSSTANAWLIWALISX PRI WOZDEJSTWII MATRICY M WSTAWKI. pRIMERY WOZMOVNYH WSTAWOK W REGULQRNU@ STRUKTURU USKORITELQ POKAZANY NA RIS. 5.

rIS. 5. pRIMERY RAZRYWOW REGULQRNOJ STRUKTURY (P -- PERIOD STRUKTURY).

w KA^ESTWE PROSTEJ[EJ WSTAWKI, S POMO]X@ KOTOROJ MOVNO SOZDATX DLINNYJ SOGLASOWANNYJ PRQMOLINEJNYJ PROMEVUTOK, MOVNO ISPOLXZOWATX WSTAWKU kOLLINZA, SOSTOQ]U@ IZ DWUH KWADRUPOLEJ I TRЁH PROMEVUTe KOW (SM. RIS. 6). kAK POKAZYWAET SOOTWETSTWU@]IJ ANALIZ, MAKSIMALXNAQ PROTQVЁNNOSTX e SOGLASOWANNOGO PRQMOLINEJNOGO PROMEVUTKA POLU^AETSQ W SLU^AE, ESLI NABEG FAZY BETArIS. 6. pROMEVUTOK kOLLINZA. TRONNYH KOLE BANIJ NA DLINE WSTAWKI RAWEN /2. mATRICA PEREDA^I DLQ RASSMATRIWAEMOJ SEKCII POLU^AETSQ W REZULXTATE PEREMNOVENIQ PQTI MATRIC DLQ SWOBODNYH PROMEVUTKOW I LINZ. eSLI KWADRUPOLXNYE LINZY S^ITATX TONKIMI, A IH SILY -- RAWNYMI PO WELI^INE, TO DLQ REZULXTIRU@]EJ MATRICY M POLU^AETSQ SLEDU@]AQ FORMULA: M= 1+ s2 - 2 s1 s2 - 2 s2 2s1 + s2 - 2 s2 s2 1 1 - s2 - 2 s1 s2 . (50)

15

pOLAGAQ NABEG FAZY NA DLINE WSTAWKI µ RAWNYM /2, WYRAZIM MATRICU M ^EREZ PARAMETRY tWISSA M= . (51) - - pRIRAWNIWAQ DALEE SOOTWETSTWU@]IE "LEMENTY MATRIC (50) I (51), NAJDЁM TRE BUEMYE e SOOTNO[ENIQ MEVDU PARAMETRAMI WSTAWKI kOLLINZA I KO"FFICIENTAMI tWISSA: s1 =
-1

; s2 = 2

-1

; = -1 .

(52)

iZ (52) SLEDUET, ^TO DLINA SEKCII kOLLINZA RAWNA PRIMERNO ZNA^ENI@ -FUNKCII W MESTE RAZRYWA REGULQRNOJ STRUKTURY. dLQ SOGLASOWANIQ WSTAWKI PO DWUM NAPRAWLENIQM ODNOWREMENNO NEOBHODIMO, ^TOBY W TO^KE RAZRYWA REGULQRNOJ STRUKTURY WYPOLNQLISX SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ: x = -z , x = z , KAK "TO WIDNO IZ FORMUL (52). w FODO STRUKTURE TAKIM TO^KAM SOOTWETSTWU@T SEREDINY PRQMOLINEJNYH PROMEVUTKOW. oTMETIM TAKVE, ^TO PRI WWEDENII W REGULQRNU@ STRUKTURU PODOBNOJ WSTAWKI DISPERSIONNAQ FUNKCIQ D (s), WOOB]E GOWORQ, IZMENQETSQ, ESLI TOLXKO W TO^KE RAZRYWA STRUKTURY NE WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ D = D = 0. pOLNOGO SOGLASOWANIQ MOVNO DOBITXSQ LI[X W TOM SLU^AE, KOGDA MATRICA M WSTAWKI PREDSTAWLQET SOBOJ EDINI^NU@, S RAZMERNOSTX@ 3 в 3, MATRICU. pROSTEJ[IJ SPOSOB BORXBY S WOZMU]ENIEM STRUKTURNYH HARAKTERISTIK PRI NARU[ENII REGULQRNOSTI STRUKTURY USKORITELQ -- ISPOLXZOWANIE DWUH WSTAWOK W ODNOM PROMEVUTKE (RIS. 5W). pARAMETRY PERWOJ WSTAWKI WYBIRA@TSQ TAKIM OBRAZOM, ^TOBY STRUKTURNYE FUNKCII DOSTIGALI TRE BUEMYH ZNA^ENIJ W PROMEVUTKE MEVDU WSTAWKAMI. dEJSTWIE WTOROJ WSTAWKI PROTIWOPOLOVNO PERWOJ, PRI^ЁM SOGLASOWANIE SU]ESTWENNO OBe LEG^AETSQ, ESLI RAZRYW REGULQRNOJ STRUKTURY OSU]ESTWLQETSQ W TO^KE SIMMETRII, GDE x = z = D = 0 -- W TAKOM SLU^AE WSTAWKI ZERKALXNO OTRAVA@T DRUG DRUGA. pRI SOZDANII SOGLASOWANNYH PROMEVUTKOW W PROTONNOM SINHROTRONE OBY^NO, ZA ISKL@^ENIEM NEKOTORYH TRIWIALXNYH SLU^AEW, PRIHODITSQ PRODELYWATX BOLX[OE KOLI^ESTWO ^ISLENNYH RAS^ЁTOW S POMO]X@ --wm. ~ISLO NEZAWISIMYH PARAMETROW PRI RE[ENII e TAKOJ ZADA^I RAWNO PO KRAJNEJ MERE ^ISLU USLOWIJ, NALOVENNYH NA STRUKTURNYE FUNKCII. ~REZWY^AJNO TRUDNO ODNOWREMENNO UDOWLETWORITX WSEM "TIM USLOWIQM, PO"TOMU PROCESS RE[ENIQ RAZBIWAETSQ NA "TAPY. nA KAVDOM "TAPE UDOWLETWORQETSQ ^ASTX IZ NALOVENNYH USLOWIJ, KOTORYE NE DOLVNY NARU[ATXSQ PRI WYPOLNENII POSLEDU@]EGO "TAPA. e w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM, KAK OSU]ESTWLQETSQ RAS^ЁT SOGLASOWANNOGO PROMEVUTKA S MALYMI ZNA^ENIQMI -FUNKCIJ I PODAWLENNOJ DISPERSIEJ. w SEREDINE RASSMATRIWAEMOGO PROMEVUTKA DOLVNY WYPOLNQTXSQ SLEDU@]IE USLOWIQ: x,z = D = D = 0, A TAKVE DOLVNY BYTX OBESPE^ENY MALYE WELI^INY FUNKCIJ x,z , TAK ^TO W DANNOM SLU^AE IMEETSQ [ESTX NEZAWISIMYH PARAMETROW. nA PERWOM "TAPE OSU]ESTWLQETSQ UMENX[ENIE DO NULQ FUNKCII D I eЁ PROIZWODNOJ D . tAKAQ WSTAWKA NAZYWAETSQ e U^ASTKOM PODAWLENIQ DISPERSII ORBIT. nA WTOROM "TAPE NEOBHODIMO UDOWLETWORITX ^ETYRE OSTAW[IHSQ USLOWIQ DLQ FUNKCIJ x,z , x,z , DLQ ^EGO NEOBHODIMO IMETX PO KRAJNEJ MERE ^ETYRE KWADRUPOLXNYE LINZY, PRI^ЁM, TAK KAK WO WTOROJ WSTAWKE OTSUTSTWU@T e MAGNITY, FUNKCIQ D(s) = 0 NA PROTQVENII WSEJ "TOJ WSTAWKI. dLQ UPRAWLENIQ WELI^INOJ DISPERSII ORBIT NEOBHODIMO IMETX W PROMEVUTKE DWA SWOBODNYH PARAMETRA. pROSTEJ[EE USTROJSTWO DLQ PODAWLENIQ DISPERSII POKAZANO NA RIS. 7. oNO SOSTOIT IZ DWUH STANDARTNYH PERIODOW FODO, W KOTORYH SILY LINZ SOOTWETSTWU@T

16

rIS. 7. u^ASTOK PODAWLENIQ DISPERSII.

SWOIM RAS^ЁTNYM WELI^INAM, e BLIVENII TONKIH LINZ I KORO UGLOW POWOROTA ^ASTIC 1 I PROISHODIT POLNOE PODAWLENIE

A POLQ W ZAWORA^IWA@]IH MAGNITAH OSLABLENY. w PRITKIH MAGNITOW MOVNO POLU^ITX SLEDU@]IE FORMULY DLQ 2 W MAGNITAH M 1 I M 2 SOOTWETSTWENNO, PRI KOTORYH DISPERSII: 1 ; 2 = , 4sin (µ0 /2) 4sin2 (µ0 /2)
2

1 = 1 -

(53)

GDE I µ0 -- SOOTWETSTWENNO UGOL POWOROTA ^ASTICY I NABEG FAZY BETATRONNYH KOLEBANIJ NA NORMALXNOM PERIODE. wYRAVENIQ (53) BYLI POLU^ENY S POMO]X@ SPECIALXNOJ PROGRAMMY DLQ MANIPULQCII S ALGE BRAI^ESKIMI WYRAVENIQMI PUTЁM UMNOVENIQ NA^ALXe NOGO WEKTORA (D, D , 1) POSLEDOWATELXNO NA 17 MATRIC S RAZMERNOSTX@ 3 в 3 I ISPOLXZOWALISX PRI RAZRABOTKE PROEKTA Ler W cernE. tAK KAK SILY LINZ W RASSMATRIWAEMOM WARIANTE NE ZATRAGIWA@TSQ, PARAMETRY tWISSA OSTA@TSQ NEWOZMU]ЁNNYMI. e iZ FORMUL (53) WIDNO, ^TO 1 +2 = . pRI µ0 = /3 DLQ PODAWLENIQ DISPERSII NEOBHODIMO UDALITX MAGNITY IZ ODNOGO PERIODA (1 = 0, 2 = ); PRI µ0 = /2 W DWUH SOSEDNIH PERIODAH POLQ W MAGNITAH SOSTAWLQ@T POLOWINU NORMALXNOJ WELI^INY (1 = 2 = /2); PRI µ0 < /3 NEOBHODIMO IZMENITX ZNAK POLQ W MAGNITAH ODNOGO IZ PERIODOW STRUKTURY. dRUGOJ METOD PODAWLENIQ DISPERSII -- SOZDANIE WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ W DWUH SOSEDNIH KWADRUPOLXNYH LINZAH (POLQ W MAGNITAH OSTA@TSQ PRI "TOM NEIZMENNYMI). tAKAQ SHEMA BOLEE PROSTA, ODNAKO ONA IZMENQET PARAMETRY tWISSA. ~TOBY SWESTI "TI IZMENENIQ K MINIMUMU, KWADRUPOLXNYE LINZY S WOZMU]ЁNNYMI ZNA^ENIQe MI GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ DOLVNY RASPOLAGATXSQ PRIMERNO ^EREZ POLOWINU DLINY WOLNY BETATRONNYH KOLE BANIJ. w KOLLAJDERAH DLQ POLU^ENIQ TRE BUEMOJ WELI^INY SWETIMOSTI POPERE^NYE RAZMERY PU^KOW W MESTAH IH WSTRE^ DOLVNY BYTX MNOGO MENX[E W SRAWNENII S IH RAZMERAMI NA OSTALXNYH U^ASTKAH NAKOPITELXNYH KOLEC. dLQ "TOJ CELI OBY^NO RAZRABATYWA@TSQ SPECIALXNYE PROMEVUTKI, W KOTORYH FUNKCII x,z IME@T MALYE WELI^INY. kONKRETNYE WELI^INY x,z , KOTORYE UDAЁTSQ POLU^ITX NA PRAKTIKE, ZAWISQT OT DLINY PROMEVUTKA, e SILY LINZ, A TAKVE OT IH KOLI^ESTWA. tRE BUETSQ, KAK MINIMUM, DWA KWADRUPOLQ DLQ UMENX[ENIQ ZNA^ENIJ -FUNKCIJ PO OBOIM NAPRAWLENIQM; STOLXKO VE LINZ TRE BUETSQ DLQ WOSSTANOWLENIQ NORMALXNYH ZNA^ENIJ "TIH FUNKCIJ W KONCE SPECIALXNOGO PROMEVUTKA. oBY^NO W SPECIALXNYH PROMEVUTKAH S MALYMI ZNA^ENIQMI -FUNKCIJ ISPOLXZUETSQ BOLX[E ^ETYRЁH KWADRUPOLEJ. nET TAKVE TWЁRDYH PRAWIL SOGLASOWANIQ PODOBNYH PROe e MEVUTKOW; RE[ENIE I]ETSQ METODOM PROB I O[IBOK, PERE BORKOJ MNOVESTWA WARIANTOW NA --wm.

17

1.2. osnownye harakteristiki Ё popere~nogo dwiveniq ~astic s u~etom wozmuenii magnitnogo polq uskoritelq 1.2.1. wOZMU]ENIE IDEALXNOJ ORBITY ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE mAGNITNYE BLOKI KOLXCEWOGO "LEKTROMAGNITA USKORITELQ NE MOGUT BYTX IZGOTOWLENY IDEALXNO ODINAKOWYMI -- ONI OTLI^A@TSQ DRUG OT DRUGA KAK GEOMETRI^ESKIMI RAZMERAMI, TAK I MAGNITNYMI HARAKTERISTIKAMI. kROME "TOGO, O[IBKI W MAGNITNOM POLE USKORITELQ WOZNIKA@T IZ-ZA NETO^NOSTI RASSTANOWKI KWADRUPOLXNYH LINZ OTNOSITELXNO IDEALXNOJ ORBITY ^ASTIC. pUSTX MAGNITNOE POLE USKORITELQ OTLI^AETSQ OT IDEALXNOGO NA WELI^INU H NA MALOM U^ASTKE ORBITY DLINOJ l 1. tOGDA ^ASTICA, PROHODQ ^EREZ WOZMU]ЁNNYJ U^ASTOK, e POLU^AET DOPOLNITELXNYJ POWOROT NA UGOL = l H/H R. pODOBNYE O[IBKI MOGUT WOZNIKATX, ESLI MAGNITNOE POLE W ODNOM IZ BLOKOW KOLXCEWOGO "LEKTROMAGNITA NE SOWPADAET S NOMINALXNYM ZNA^ENIEM, ILI IZ-ZA O[IBKI W USTANOWKE KWADRUPOLXNOJ LINZY, LIBO MAGNITNOGO BLOKA S SOWME]ЁNNYMI FUNKCIQMI OTNOSITELXNO IDEALXNOJ RAWNOWESNOJ ORe BITY. pODOBNOE WOZMU]ENIE MAGNITNOGO POLQ MOVNO S^ITATX TO^E^NYM. pRI NALI^II TAKOGO WOZMU]ENIQ W PROIZWOLXNOJ TO^KE IDEALXNOJ ORBITY S KOORDINATOJ s = s0 URAWNENIQ DWIVENIQ IME@T NOWOE PERIODI^ESKOE RE[ENIE (WOZMU]ЁNNU@ ORBITU). eGO NETRUDNO e NAJTI, RE[IW SLEDU@]EE MATRI^NOE URAWNENIE: u u = cos(2Q)+ 0 sin(2Q) 0 sin(2Q) -0 sin(2Q) cos(2Q) - 0 sin(2Q) u , u + (54)

GDE u = x, z ; INDEKSOM 0 POME^ENY ZNA^ENIQ KO"FFICIENTOW tWISSA PRI s = s0 ; 2Q -- NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ ZA ODIN OBOROT ^ASTIC W USKORITELE. rE[AQ (54) OTNOSITELXNO u I u , POLU^AEM l H ; (55) 2HR l H u = -[1 + 0 cot(Q)] . (56) 2HR fORMULY (55) I (56) DA@T OTKLONENIQ OT IDEALXNOJ ORBITY W MESTE RASPOLOVENIQ WOZMU]ENIQ (PRI s = s0 ). oB]IJ WID WYRAVENIQ DLQ WOZMU]ЁNNOJ ORBITY MOVNO NAJTI e W REZULXTATE RE[ENIQ NEODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA, PODOBNOGO URAWNENI@ (1), W KOTOROM NEOBHODIMO ZAMENITX OTKLONENIE IMPULXSA ^ASTICY OT RAWNOWESNOGO ZNA^ENIQ p/p0 NA WOZMU]ENIE MAGNITNOGO POLQ l (H/H ) (s - s0 ), GDE -- -FUNKCIQ dIRAKA. eGO RE[ENIE IMEET SLEDU@]IJ WID: u = 0 cot(Q) u(s) = 0 (s) cos[Q - µ(s)] l H . sin(Q) 2HR (57)

kAK POKAZYWAET FORMULA (57), OTKLONENIQ ORBITY OT IDEALXNOJ KRIWOJ IZ-ZA WOZMU]ENIQ H MOGUT DOSTIGATX ^REZWY^AJNO BOLX[IH WELI^IN W SLU^AE, ESLI ^ASTOTA BETATRONNYH KOLE BANIJ Q STREMITSQ K CELOMU ^ISLU (TAK NAZYWAEMYJ CELYJ REZONANS). rASSMOTRIM TEPERX WOZMU]ENIE H , RASPREDELЁNNOE PO PERIMETRU USKORITELQ PO e NEKOTOROMU ZAKONU. uRAWNENIE DWIVENIQ IMEET W TAKOM SLU^AE WID d2 u H (s) + g (s)u = . ds2 HR 18 (58)

pEREHODQ DALEE K PEREMENNYM v I , WWEDЁNNYM RANEE S POMO]X@ SOOTNO[ENIQ (28), e POLU^IM WMESTO (58) URAWNENIE GARMONI^ESKOGO OSCILLQTORA S WNE[NEJ WOZMU]A@]EJ SILOJ d2 v H + Q 2 v = Q 2 3 /2 , (59) 2 d HR PERIODI^ESKOE RE[ENIE KOTOROGO PO ANALOGII S FORMULOJ (37) MOVNO ZAPISATX W WIDE INTEGRALA +2 Q v () = f ()cos[Q( + - )] d, (60) 2sin(Q) GDE f () = 3/2 H/H R. dEJSTWIE CELOGO REZONANSA MOVNO POKAZATX BOLEE NAGLQDNO, ESLI RAZLOVITX W RQD fURXE FUNKCI@ f (), f () =
k

fk exp(ik);

fk =

1 2

2 0

f ()exp(-ik) d.

(61)

nEPOSREDSTWENNO RE[AQ URAWNENIE (59) S U^ЁTOM RAZLOVENIQ (61), IMEEM DLQ v () WYRAe VENIE W WIDE RQDA Q2 fk exp(ik) v= , (62) Q2 - k 2 k OTKUDA O^EWIDNO, ^TO ORBITA ^ASTIC NAIBOLEE ^UWSTWITELXNA K KOMPONENTAM fURXE S ^ASTOTAMI, BLIZKIMI K BETATRONNOJ ^ASTOTE. nA PRAKTIKE DETALXNOE POWEDENIE WOZMU]ENIQ MAGNITNOGO POLQ WDOLX ORBITY USKORITELQ H (s) ZA^ASTU@ NEIZWESTNO, W OSOBENNOSTI, ESLI USKORITELX E]Ё TOLXKO PROEKTIRUe ETSQ. nEOBHODIMO PO"TOMU UMETX OCENIWATX MAKSIMALXNOE WEROQTNOE OTKLONENIE ORBITY, ZNAQ WELI^INU SREDNEKWADRATI^NOGO WOZMU]ENIQ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ. s "TOJ CELX@ SOSTAWIM SLEDU@]EE WYRAVENIE: V = v 2 + Q-2 (dv /d)2, IME@]EE SMYSL KWADRATA AMPLITUDY OTKLONENIQ ORBITY PRI NALI^II WOZMU]ENIQ MAGNITNOGO POLQ (PO ANALOGII S KOLE BANIQMI ^ASTICY OTNOSITELXNO IDEALXNOJ ORBITY, DLQ KOTOROJ v = A cos(Q), V = A2 ). s U^ЁTOM SOOTNO[ENIQ (60), DLQ V POLU^AETSQ SLEDU@]EE WYRAVENIE: e V () = Q2 4sin2 (Q)
+2 +2

f ( )f ()cos[Q( - ) dd.

(63)

rASSMOTRIM PRAKTI^ESKI INTERESNYJ SLU^AJ OTSUTSTWIQ KORRELQCIJ MEVDU WOZMU]ENIQMI W OTDELXNYH BLOKAH KOLXCEWOGO "LEKTROMAGNITA, PREDPOLAGAQ TAKVE, ^TO DLINY BLOKOW MALY PO SRAWNENI@ S DLINOJ WOLNY BETATRONNYH KOLE BANIJ. tOGDA SISTEMATI^ESKIJ WKLAD W DWOJNOJ INTEGRAL W FORMULE (63) BUDUT DAWATX TOLXKO TE U^ASTKI ORBITY USKORITELQ, GDE I OTNOSQTSQ K ODNOMU I TOMU VE MAGNITNOMU BLOKU. w TAKOM SLU^AE MOVNO POLOVITX cos[Q( - )] 1, I POSLE USREDNENIQ PO ANSAMBL@ DWOJNOJ INTEGRAL W (63) PREOBRAZUETSQ W SUMMU PO MAGNITNYM BLOKAM USKORITELQ < V () >= 1 2 4sin (Q) i l
i 2 i

H i HR

2

,

(64)

GDE li -- DLINA i-GO MAGNITNOGO BLOKA; i = i = li /Qi. aMPLITUDA OTKLONENIQ WOZMU]ЁNNOJ ZAMKNUTOJ ORBITY W MAGNITNOM BLOKE S NOMEROM k ESTX uk = (kVk )1/2 , e 19

PO"TOMU OVIDAEMOE OTKLONENIE ORBITY DAЁTSQ FORMULOJ e < u2 >= k k 4R2 sin2 (Q) i l
i 2 i

H H

2 i

.

(65)

pOSLEDNQQ FORMULA MOVET BYTX ISPOLXZOWANA W DWUH SLU^AQH: DLQ ANALIZA ISKAVENIJ ORBITY, SWQZANNYH S O[IBKAMI USTANOWKI KWADRUPOLXNYH LINZ, A TAKVE S RAZBROSOM POLEJ W ZAWORA^IWA@]IH MAGNITAH. pUSTX KWADRUPOLXNAQ LINZA USTANOWLENA S O[IBKOJ PO RADIUSU, RAWNOJ x. pRI "TOM NA RAWNOWESNOJ ORBITE POQWLQETSQ O[IBKA W POLE, RAWNAQ H = gxHRx. wY^ISLIM OTKLONENIE ORBITY W MESTE RASPOLOVENIQ FOKUSIRU@]EJ KWADRUPOLXNOJ LINZY DLQ STUKTURY FODO. s POMO]X@ (65) I S U^ЁTOM FORMUL (43) -- (45) DLQ TONKOLINZOWOGO e PRIBLIVENIQ POLU^IM x)2 4Q x2 = . (66) F µ0 [1 - sin(µ0 /2)] sin2 (Qx) pRI PROEKTIROWANII USKORITELQ NEOBHODIMO ZNATX NE TOLXKO SREDNEKWADRATI^NOE OTKLONENIE ORBITY, NO I STEPENX WEROQTNOSTI, S KOTOROJ cLEDUET OVIDATX E]Ё BOLX[IH e OTKLONENIJ. s "TOJ CELX@ MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ IZWESTNYM FAKTOM -- WEROQTNOSTX NAJTI OTKLONENIE ORBITY, RAWNOE x, OPISYWAETSQ RASPREDELENIEM gAUSSA-r"LEQ w (x) = 2x x2 exp - 2 . x2 x (67)

sLEDOWATELXNO, ^TOBY WY^ISLITX WEROQTNOSTX TOGO, ^TO OTKLONENIE ORBITY PREWYSIT ZADANNU@ WELI^INU x, NEOBHODIMO PROINTEGRIROWATX WYRAVENIE (67) W PREDELAH OT x DO BESKONE^NOSTI, W REZULXTATE ^EGO POLU^IM P (x) = exp - x x
2 2

.

(68)

eSLI WY^ISLITX WEROQTNOSTX TOGO, ^TO OTKLONENIE ORBITY PREWY[AET UDWOENNU@ SREDNEKWADRATI^NU@ WELI^INU, TO ONA OKAVETSQ RAWNOJ 2%, KAK "TO SLEDUET IZ (68). pO"TOMU MAKSIMALXNOE OVIDAEMOE OTKLONENIE ORBITY xmax MOVNO OCENITX IZ SOOTNO[ENIQ xmax 2 x2 = F 4 sin(Qx) Qx 1 (x)2 . µ0 1 - sin(µ0 /2) (69)

pOSLEDNQQ FORMULA POKAZYWAET, ^TO O[IBKI W USTANOWKE KWADRUPOLXNYH LINZ DOLVNY BYTX OGRANI^ENY VЁSTKIM DOPUSKOM, TAK KAK OBUSLOWLENNYE "TIMI O[IBKAMI ISKAVENIQ e ORBITY MOGUT USILIWATXSQ W DESQTKI RAZ. tAK, NAPRIMER, W USKORITELE ifw-- (µ0 1, Qx 10) SREDNEKWADRATI^NAQ O[IBKA W USTANOWKE MAGNITNYH BLOKOW, SOSTAWLQ@]AQ 0, 1 MM, PRIWODIT, SOGLASNO FORMULE (69), K MAKSIMALXNOMU OTKLONENI@ ORBITY, RAWNOMU xmax 4, 5 MM. rAZBROS POLEJ W MAGNITNYH BLOKAH USKORITELQ TAKVE MOVET PRIWODITX K SU]ESTWENNYM ISKAVENIQM ZAMKNUTOJ ORBITY. zNAQ SREDNIJ KWADRAT RAZBROSA POLEJ W BLOKAH (H/H )2, NETRUDNO OCENITX S POMO]X@ FORMULY (65) SREDNIJ KWADRAT RADIALXNOGO ISKAVENIQ ORBITY: Ї H 2 2 F x2 = , (70) F 2 nB sin (Qx) H 20

GDE nB -- ^ISLO MAGNITNYH BLOKOW W USKORITELE. pODSTAWLQQ W FORMULU (70) PRIWEDENNYE WY[E PARAMETRY USKORITELQ ifw--, A TAKVE WY^ISLQQ PROIZWEDENIE STRUKTURNYH Ї FUNKCIJ F = L2 [1 + sin(µ0 /2)]/ sin2 µ0 = 3, 13 · 108 MM2 I POLAGAQ WELI^INU SREDNEKWADRATI^NOGO RAZBROSA POLEJ W BLOKAH RAWNOJ 10-3 , POLU^AEM x2 = 51, 4 MM2 . sLEDOWATELXNO, F xmax 14 MM. eSLI W USKORITELE IME@TSQ SOGLASOWANNYE PROMEVUTKI S BOLX[IMI ZNA^ENIQMI FUNKCII , TO ISKAVENIQ ORBITY MOGUT BYTX SU]ESTWENNO BOLEE SILXNYMI PO SRAWNENI@ S RASSMOTRENNYMI WY[E SLU^AQMI. --TO PROISHODIT KAK IZ-ZA UWELI^ENIQ WKLADA DANNOGO PROMEVUTKA W SUMMU W FORMULE (65), TAK I IZ-ZA WOZRASTANIQ KO"FFICIENTA F . pO"TOMU KWADRUPOLI W TAKOM PROMEVUTKE DOLVNY BYTX OSOBENNO T]ATELXNO OT@STIROWANY. pRI NALI^II REZULXTATOW MAGNITNYH I GEODOZI^ESKIH IZMERENIJ REALXNYE ISKAVENIQ ORBITY W USKORITELE OBY^NO ISSLEDU@T NA --wm S POMO]X@ SPECIALXNYH PROGRAMM. pOLU^ENNYE VE WY[E FORMULY ISPOLXZU@TSQ DLQ BYSTRYH OCENOK ISKAVENIJ ORBITY, A TAKVE PRI RAS^ЁTAH DOPUSKOW NA USTANOWKU KWADRUPOLXNYH LINZ I NA RAZBROS POLEJ W e MAGNITNYH BLOKAH USKORITELQ. dLQ UMENX[ENIQ ISKAVENIJ ORBITY ^ASTIC, PRIWODQ]IH K NE"FFEKTIWNOMU ISPOLXZOWANI@ ^ASTI APERTURY WAKUUMNOJ KAMERY, NA WSEH PROTONNYH SINHROTRONAH IME@TSQ SOOTWETSTWU@]IE SISTEMY KORREKCII. oTKLONENIQ CENTRA TQVESTI PU^KA OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY IZMERQ@TSQ S POMO]X@ RAZREZNYH PIKAP-"LEKTRODOW. dLQ POLU^ENIQ DETALXNOJ KARTINY POWEDENIQ ZAMKNUTOJ ORBITY W USKORITELE NEOBHODIMO, ^TOBY NA L@BOM EЁ OTREZKE PROTQVЁNNOSTX@ PORQDKA DLINY WOLNY BETATRONNYH KOLE BANIJ e e RASPOLAGALOSX PO KRAJNEJ MERE TRI-^ETYRE PIKAP-"LEKTRODA. iSPOLNITELXNYM ORGANOM SISTEMY KORREKCII ORBITY ^ASTIC QWLQETSQ NABOR DIPOLXNYH MAGNITOW (ILI NABOR DOPOLNITELXNYH OBMOTOK W ZAWORA^IWA@]IH MAGNITAH), KOTORYE WOZBUVDA@TSQ TAKIM OBRAZOM, ^TOBY MINIMIZIROWATX OTKLONENIQ ORBITY OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY.

rIS. 8. bAMPOWAQ KORREKCIQ ORBITY.

w PROTONNYH SINHROTRONAH ISPOLXZU@TSQ DWA SPOSOBA KORREKCII ORBITY ^ASTIC -- BAMPOWYJ I GARMONI^ESKIJ. pRI BAMPOWOJ KORREKCII ORBITA KORREKTIRUETSQ PO U^ASTKAM. nA U^ASTKE, GDE ORBITA ISKAVENA NAIBOLEE SILXNO, WYBIRAETSQ TROJKA KORREKTOROW TAKIM OBRAZOM, ^TOBY SREDNIJ KORREKTOR RASPOLAGALSQ WBLIZI MAKSIMUMA ISKAVENIQ ORBITY (SM. RIS. 8). tOK W KORREKTORE, RASPOLOVENNOM W TO^KE si-1 , PODBIRAETSQ TAKIM

21

OBRAZOM, ^TOBY ORBITA ^ASTIC W TO^KE EЁ MAKSIMALXNOGO OTKLONENIQ s = si PRO[LA ^Ee REZ CENTR WAKUUMNOJ KAMERY. zA S^ЁT DEJSTWIQ WTOROGO KORREKTORA WOSSTANAWLIWAETSQ e WELI^INA OTKLONENIQ ORBITY W TO^KE si+1 , IMEW[AQ MESTO DO WKL@^ENIQ KORREKTOROW. tRETIJ KORREKTOR ISPOLXZUETSQ DLQ WOSSTANOWLENIQ UGLA NAKLONA ORBITY W TO^KE si+1 . pRI TAKOM SPOSOBE KORREKCII ORBITA IZMENQETSQ LI[X NA WYBRANNOM OTREZKE, OGRANI^ENNOM KOORDINATAMI si-1 I si+1 I NE MENQETSQ NA OSTALXNOJ EЁ ^ASTI. pOSLE KORREKCII e MAKSIMALXNOGO OTKLONENIQ ORBITY SNOWA NAHODITSQ MESTO EЁ NAIBOLX[EGO ISKAVENIQ, WYe BIRAETSQ NOWAQ TROJKA KORREKTOROW I PROCESS POWTORQETSQ. tO^NOSTX BAMPOWOJ KORREKCII ZAWISIT OT ^ISLA ISPOLXZUEMYH KORREKTOROW I NA PRAKTIKE DOSTIGAET WELI^INY PORQDKA ODNOGO MILLIMETRA. pRI GARMONI^ESKOJ KORREKCII IZ SPEKTRA ORBITY USTRANQ@TSQ KOMPONENTY fURXE S ^ASTOTAMI, BLIZKIMI K ^ASTOTE BETATRONNYH KOLE BANIJ, KOTORYE, SOGLASNO (62), WNOSQT NAIBOLX[IJ WKLAD W ISKAVENIE ORBITY. nA PRAKTIKE OBY^NO USTRANQ@T TRI-^ETYRE TAKIe GARMONIKI. --LEKTRI^ESKAQ SHEMA KORREKCII KAVDOJ IZ GARMONIK SOSTOIT IZ DWUH NEZAWISIMYH CEPEJ, KORREKTIRU@]IE SIGNALY W KOTORYH SDWINUTY PO FAZE DRUG OTNOSITELXNO DRUGA NA 90 (SINUSNAQ I KOSINUSNAQ CEPI). gARMONI^ESKAQ KORREKCIQ ORBITY PROSTA I UDOBNA W RABOTE, ODNAKO IMEET SRAWNITELXNO NIZKU@ TO^NOSTX -- PRI ISPOLXZOWANII PODOBNOJ SHEMY ISKAVENIQ ORBITY MOGUT BYTX UMENX[ENY LI[X DO WELI^INY 1 cM. k DOSTOINSTWAM GARMONI^ESKOJ KORREKCII SLEDUET TAKVE OTNESTI OTNOSITELXNO NE BOLX[IE WELI^INY TOKOW W SISTEME.

1.2.2. wOZMU]ENIE GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ wOZMU]ENIE GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ W USKORITELE WLIQET, W PERWU@ O^EREDX, NA ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ I, SLEDOWATELXNO, NA USTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC. kROME "TOGO, PRI NALI^II WOZMU]ENIQ GRADIENTA MOGUT ZAMETNO IZMENQTXSQ STRUKTURNYE HARAKTERISTIKI USKORITELQ, A TAKVE MOVET WOZBUVDATXSQ PARAMETRI^ESKIJ REZONANS BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC. kAK I PRI ANALIZE WOZMU]ENIQ ZAMKNUTOJ ORBITY USKORITELQ, RASSMOTRIM SNA^ALA TO^E^NOE WOZMU]ENIE GRADIENTA, KOGDA RAZMERY ISTO^NIKA WOZMU]ENIQ MNOGO MENX[E DLINY WOLNY BETATRONNYH KOLE BANIJ. pUSTX TAKOE WOZMU]ENIE SOZDAЁTSQ S POMO]X@ e TONKOJ LINZY SILOJ , TOGDA MATRICA PEREDA^I DLQ OBOROTA MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE M= 1 0 1 cos(2Q0)+ 0 sin(2Q0) 0 sin(2Q0) . -0 sin(2Q0 ) cos(2Q0 ) - 0 sin(2Q0) (71)

zDESX I NIVE IDEKSOM 0 OBOZNA^ENY PARAMETRY tWISSA, OTNOSQ]IESQ K NEWOZMU]ЁNNOJ e STRUKTURE USKORITELQ W TO^KE s = s0 , GDE RASPOLOVEN ISTO^NIK WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ (TONKAQ LINZA). s DRUGOJ STORONY, WOZU]ЁNNAQ MATRICA OBOROTA M MOe VET BYTX ZAPISANA W WIDE (9). iZ SRAWNENIQ WYRAVENIJ (9) I (71) POLU^AETSQ SLEDU@]AQ FORMULA DLQ [PURA MATRICY M : 1 0 Sp M = cos(2Q)= cos(2Q0)+ (sin 2Q0 ), 2 2 (72)

GDE Q -- ^ASTOTA BETATRONNYH KOLE BANIJ PRI NALI^II WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ. pOLAGAQ W (72) Q = Q0 +Q (|Q| Q0 ), NETUDNO POLU^ITX OTS@DA SDWIG BETATRONNOJ ^ASTOTY, OBUSLOWLENNYJ DANNYM WOZMU]ENIEM, KOTORYJ POLU^AETSQ RAWNYM

22

0 . (73) 4 aNALOGI^NYM OBRAZOM MOVNO OCENITX [IRINU POLOSY PARAMETRI^ESKOGO REZONANSA BETATRONNYH KOLE BANIJ. eSLI BETATRONNAQ ^ASTOTA Q0 BLIZKA K CELOMU ILI K POLUCELOMU ZNA^ENIQM, TO | cos(2Q0 )| 1 I, SOGLASNO (72), WELI^INA | cos(2Q)| MOVET PREWYSITX EDINICU IZ-ZA DOBAWO^NOGO ^LENA W PRAWOJ ^ASTI "TOGO RAWENSTWA. pOLNAQ [IRINA ZAPRE]ЁNNOGO ^ASTOTNOGO INTERWALA Q RAWNA, O^EWIDNO, UDWOENNOJ WELI^INE SDWIGA BEe TATRONNOJ ^ASTOTY Q, DAWAEMOGO FORMULOJ (73) -- Q = 0 /2 . iZ-ZA WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ IZMENQETSQ TAKVE PARAMETR tWISSA . --TO MOVNO POKAZATX DLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI ORBITY S PRODOLXNOJ KOORDINATOJ s, PREDSTAWIW MATRICU OBOROTA W WIDE PROIZWEDENIQ TRЁH MATRIC, e Q = - M =A 1 0 B, 1 (74)

GDE A I B -- MATRICY PEREDA^I OT TO^KI s0 , GDE RASPOLAGAETSQ WOZMU]A@]AQ GRADIENT TONKAQ LINZA S FOKUSIRU@]EJ SILOJ , K TO^KE s I OT s K s0 SOOTWETSTWENNO (SM. RIS. 9). pEREMNOVAQ MATRICY W (74), NAJDЁM IZMENENIE "LEMENTA m12 MATRICY M : e m
12

= a12b12 .

(75)

rIS. 9. sHEMA WY^ISLENIQ WOZMU]ENIQ -FUNKCII.

dLQ NAHOVDENIQ "LEMENTOW a12 I b12 MATRIC A I B WOSPOLXZUEMSQ WYRAVENIEM MATRICY PEREDA^I N (s2 |s1 ) MEVDU DWUMQ PROIZWOLXNYMI TO^KAMI STRUKTURY S KOORDINATAMI s1 I s2 , KOTORU@ NETRUDNO POLU^ITX, RE[AQ NEPOSREDSTWENNO URAWNENIE DWIVENIQ (29) S POSLEDU@]IM PEREHODOM OT KOORDINAT v, K KOORDINATAM u, s. --LEMENT n12 "TOJ MATRICY 23

RAWEN n12 = (1 2 )1/2 sin(2 - 1 ), GDE 1,2 I 1,2 -- SOOTWETSTWENNO ZNA^ENIQ FUNKCII I FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ W TO^KAH s1 I s2 . sLEDOWATELXNO, PROIZWEDENIE "LEMENTOW a12 I b12 MOVNO ZAPISATX W WIDE a12 b
12

=

0 (s) [cos(2Q0 - 2) - cos(2Q0 )], 2

(76)

GDE -- NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ OT TO^KI s0 DO TO^KI s. s DRUGOJ STORONY, IZMENENIE "LEMENTA m12 IZ-ZA WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ W TO^KE s RAWNO m
12

= (s)sin(2Q0)+ 2 (s)cos(2Q0)Q.

(77)

pRIRAWNIWAQ WYRAVENIQ (75) I (77), A TAKVE U^ITYWAQ SOOTNO[ENIQ (73) I (76), POLU^AEM SLEDU@]U@ FORMULU DLQ IZMENENIQ ZNA^ENIQ -FUNKCII W TO^KE s: (s) = 0 (s) cos(2Q0 - 2). 2sin(2Q0) (78)

w OTLI^IE OT WOZMU]ENIQ ZAMKNUTOJ ORBITY, OPISYWAEMOGO WYRAVENIEM (57), ZNAMENATELX W POSLEDNEJ FORMULE PROHODIT ^EREZ NULX PRI POLUCELYH ZNA^ENIQH Q0 , A ^ASTOTA WOZMU]ENIQ W DWA RAZA WY[E. oBOB]IM FORMULY (73) I (78) NA SLU^AJ WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ G, RASPREDELЁNNOGO WDOLX ORBITY USKORITELQ, S^ITAQ, ^TO WOZMU]ENIE FUNKCII g (s), e WHODQ]EJ W URAWNENIQ DWIVENIQ (1) I (2), OPISYWAETSQ MALOJ DOBAWKOJ g (s). rASSMOTRIM BESKONE^NO MALYJ INTERWAL ds ORBITY USKORITELQ WBLIZI TO^KI s = s0 . wOZDEJSTWIE WOZMU]ENIQ g (s) W "TOJ TO^KE MOVNO OPISATX TONKOJ LINZOJ S SILOJ, RAWNOJ -g (s) ds, KOTORAQ, KAK BYLO POKAZANO WY[E, PRIWODIT K SLEDU@]EMU IZMENENI@ [PURA MATRICY: Sp M = 2 cos(2Q)= 2 cos(2Q0 ) - (s0 )sin(2Q0)g (s0 ) ds, (79)

OTKUDA WIDNO, ^TO POLNOE IZMENENIE [PURA MATRICY M POLU^AETSQ INTEGRIROWANIEM WDOLX RAWNOWESNOJ ORBITY DOBAWKI W PRAWOJ ^ASTI WYRAVENIQ (79), SWQZANNOJ S WOZDEJSTWIEM WOZMU]ENIQ g NA RASSMATRIWAEMOM INTERWALE ds. pO"TOMU SDWIG BETATRONNOJ ^ASTOTY Q DAЁTSQ SLEDU@]EJ FORMULOJ: e Q = 1 4
2R0

(s)g (s) ds.
0

(80)

pODOBNYM VE OBRAZOM PRI NALI^II WOZMU]ENIQ GRADIENTA G, RASPREDELЁNNOGO WDOLX e ORBITY USKORITELQ, WMESTO FORMULY (78) MOVNO POLU^ITX SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ IZMENENIQ AMPLITUDNOJ FUNKCII (s): (s) = (s) 2sin(2Q0)
s+2R0 s

g (s ) (s ) cos 2[Q0 + (s ) - (s)] ds .

(81)

sRAWNIWAQ FORMULY (81) I (60), A ZATEM FORMULY (60) I (59), NETRUDNO WIDETX, ^TO FUNKCIQ / () DOLVNA UDOWLETWORQTX SLEDU@]EMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@: d 2 +4Q2 = 2Q2 2 (s)g (s). 0 0 2 d 24 (82)

eSLI TEPERX PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ (82) RAZLOVITX W RQD fURXE NA GARMONIKI exp(ik), TO PERIODI^ESKOE RE[ENIE "TOGO URAWNENIQ MOVNO BUDET ZAPISATX W WIDE RQDA fk exp(ik) , (83) = 2 Q0 4 Q2 - k 2 0 k GDE fk = (1/2 ) 0 0 (s)g (s)exp[-ik(s)] ds. wYRAVENIE (83) NAGLQDNO POKAZYWAET, ^TO OSNOWNOJ WKLAD W WOZMU]ENIE FUNKCII (s) DA@T GARMONIKI S NOMERAMI k, BLIVAJ[IMI K UDWOENNOMU ZNA^ENI@ BETATRONNOJ ^ASTOTY. tAKIE GARMONIKI PODLEVAT OBQZATELXNOJ KORREKCII, DLQ ^EGO W PROTONNYH SINHROTRONAH OBY^NO PREDUSMATRIWA@TSQ SOOTWETSTWU@]IE SISTEMY. dLQ POSTROENIQ GARMONI^ESKOJ SISTEMY KORREKCII WOZMU]ENIJ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ ISPOLXZU@TSQ TE VE PRINCIPY, ^TO I PRI SOZDANII PODOBNOJ SISTEMY DLQ KORREKCII WOZMU]ENIJ ZAMKNUTOJ ORBITY USKORITELQ, RASSMOTRENNOJ W PREDYDU]EM RAZDELE. kROME GARMONI^ESKOJ SISTEMY KORREKCII WOZMU]ENIJ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ, ISPOLXZUEMOJ DLQ OSLABLENIQ DEJSTWIQ PARAMETRI^ESKIH REZONANSOW BETATRONNYH KOLE BANIJ, W PROTONNYH SINHROTRONAH PREDUSMATRIWAETSQ TAKVE SISTEMA KORREKCII WELI^INY GRADIENTA G, POZWOLQ@]AQ W SOOTWETSTWII S FORMULOJ (80) IZMENQTX BETATRONNYE ^ASTOTY Qx,z S CELX@ NAHOVDENIQ OPTIMALXNOGO POLOVENIQ RABO^EJ TO^KI USKORITELQ, A TAKVE W REVIMAH WWODA-WYWODA PU^KA. 1.2.3. wLIQNIE SISTEMATI^ESKIH NELINEJNOSTEJ MAGNITNOGO POLQ NA BETATRONNYE ^ASTOTY USKORITELQ rAZRABATYWAQ IDEALXNU@ STRUKTURU USKORITELQ, STREMQTSQ OBESPE^ITX USTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC ZA S^ЁT PRAWILXNOGO WYBORA NABEGA FAZY BETATRONNYH e KOLE BANIJ NA PERIODE STRUKTURY µ0 . rEALXNOE MAGNITNOE POLE MOVET, ODNAKO, SU]ESTWENNYM OBRAZOM IZMENITX IDEALXNYE STRUKTURNYE HARAKTERISTIKI USKORITELQ, TAKIE NAPRIMER, KAK ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ, NEPOSREDSTWENNO WLIQ@]IE NA USTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC. mY UVE RASSMATRIWALI LINEJNYE WOZMU]ENIQ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ I EGO GRADIENTA, A TAKVE OBSUVDALI IH WLIQNIE NA ORBITU USKORITELQ I ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC. rASSMOTRIM TEPERX NELINEJNYE WOZMU]ENIQ MAGNITNOGO POLQ, WOZNIKA@]IE IZ-ZA RAZLI^NYH PRI^IN. w ^ASTNOSTI, ONI SOZDA@TSQ ZA S^ЁT GISTEREZISNYH e QWLENIJ (OSTATO^NYE POLQ W VELEZE), WIHREWYH TOKOW W WAKUUMNOJ KAMERE USKORITELQ (WOZBUVDAEMYH PRI IZMENENII WEDU]EGO MAGNITNOGO POLQ), NERAWNOMERNOGO NASY]ENIQ VELEZA MAGNITOW I LINZ PRI BOLX[IH ZNA^ENIQH MAGNITNOGO POLQ, DEFEKTOW IZGOTOWLENIQ MAGNITOW I LINZ I T.D. rASSMOTRIM SNA^ALA TAK NAZYWAEMYE SISTEMATI^ESKIE (USREDNЁNNYE PO PERIMETRU e USKORITELQ) NELINEJNOSTI MAGNITNOGO POLQ. oNI WLIQ@T NA BETATRONNYE ^ASTOTY, DELAQ IH RAZLI^NYMI DLQ RAZNYH ^ASTIC. uWELI^ENIE RAZBROSA BETATRONNYH ^ASTOT MOVET BYTX OPASNYM, TAK KAK PRI "TOM WOZRASTAET PLO]ADX, ZANIMAEMAQ PU^KOM NA PLOSKOSTI BETATRONNYH ^ASTOT (Qx ,Qz ), USUGUBLQQ TAKIM OBRAZOM WOZMU]ENIE POPERE^NYH RAZMEROW PU^KA IZ-ZA WOZDEJSTWIQ NA ^ASTICY REZONANSOW BETATRONNYH KOLE BANIJ. s DRUGOJ STORONY, IDEALXNAQ MA[INA, W KOTOROJ OTSUTSTWUET RAZBROS BETATRONNYH ^ASTOT, ABSOL@TNO NERABOTOSPOSOBNA IZ-ZA NEUSTOJ^IWOSTEJ PU^KA, WOZNIKA@]IH PRI EGO WZAIMODEJSTWII S OBORUDOWANIEM USKORITELQ. pO "TOJ PRI^INE W PROTONNYH SINHROTRONAH OBQZATELXNO
2R

25

PREDUSMATRIWA@TSQ SISTEMY DLQ UPRAWLENIQ SREDNIMI ZNA^ENIQMI KWADRATI^NOJ I KUBI^ESKOJ NELINEJNOSTEJ MAGNITNOGO POLQ, T.E. ZAWISIMOSTQMI BETATRONNYH ^ASTOT OT IMPULXSA ^ASTICY I AMPLITUDY EЁ POPERE^NYH KOLE BANIJ SOOTWETSTWENNO. e w PROTONNYH SINHROTRONAH DLINY MAGNITOW OBY^NO WELIKI PO SRAWNENI@ S POPERE^NYMI RAZMERAMI WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ, PO"TOMU MAGNITNOE POLE W BOLX[INSTWE SLU^AEW MOVNO S^ITATX DWUMERNYM. dANNOE PREDPOLOVENIE NE QWLQETSQ SLI[KOM GRUBYM, TAK KAK WLIQNIE KRAЁW MAGNITA MOVET BYTX U^TENO S POMO]X@ DOPOLNITELXNOGO e DWUMERNOGO MAGNITNOGO POLQ. w SLU^AE PLOSKOGO POLQ WEKTORNYJ POTENCIAL MAGNITNOGO POLQ IMEET EDINSTWENNU@ PRODOLXNU@ KOMPONENTU As = A, UDOWLETWORQ@]U@ DWUMERNOMU URAWNENI@ lAPLASA, 2 A = 0 , (84) RE[ENIE KOTOROGO W POLQRNYH KOORDINATAH (r, ) IMEET WID A=
n

an r n sin(n)+
n

bn r n cos(n).

(85)

~LENY S NOMEROM n W FORMULE (85) SOOTWETSTWU@T MAGNITU, IME@]EMU 2n POL@SOW, TAK KAK NA OKRUVNOSTI POSTOQNNOGO RADIUSA MAGNITNOE POLE MENQET ZNAK 2n RAZ, PRI^ЁM e WTORAQ IZ SUMM OPISYWAET REGULQRNYE MULXTIPOLXNYE MAGNITY, NE IME@]IE POL@SOW W MEDIANNOJ PLOSKOSTI; PERWAQ VE SUMMA SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO MEDIANNOJ PLOSKOSTI I SOOTWETSTWUET KOSYM MULXTIPOLXNYM MAGNITAM (SM. RIS. 10).

rIS. 10. nORMALXNYJ (A) I KOSOJ (B) SEKSTUPOLXNYE MAGNITY.

w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM SEKSTUPOLXNOE MAGNITNOE POLE (n = 3). wY^ISLQQ S POMO]X@ (85) AZIMUTALXNU@ I RADIALXNU@ KOMPONENTY MAGNITNOGO POLQ (h = -A/ r , hr = r -1 A/ ), A ZATEM PEREHODQ K DEKARTOWYM KOMPONENTAM hx I hz , POLU^AEM SLEDU@]IE WYRAVENIQ: hx = 3[a3 (x2 - z 2 ) - 2b3 xz ]; hz = -3[2a3 xz + b3 (x2 - z 2 )]. (86)

26

pOSTOQNNYE KO"FFICIENTY a3 I b3 WYRAVA@T OBY^NO ^EREZ OTKLONENIE MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ OT NOMINALA HKW NA KRA@ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ (PRI r = b) ZA S^ЁT KWADRATI^NOJ NELINEJNOSTI. tAK, NAPRIMER, W SLU^AE NORMALXNOJ KWADRATI^NOJ e NELINEJNOSTI KO"FFICIENT b3 = -HKW /(3b2), GDE HKW = hz (b, 0), I URAWNENIQ DWIVENIQ PRINIMA@T SLEDU@]IJ WID: x + gx x = - hz 1 p 1 p HKW 2 + =2 (x - z 2 )+ ; HR R p b HR Rp (87)

hx HKW =2 2xz . (88) HR b HR fOKUSIRU@]IE SWOJSTWA USKORITELQ HARAKTERIZU@TSQ PARAMETROM g = ±G/H R. rAZBROS PO IMPULXSAM PRIWODIT K RAZBROSU FOKUSIRU@]IH SIL, RAWNOMU g/g = -p/p0 . w SOOTWETSTWII S FORMULOJ (80), BETATRONNAQ ^ASTOTA ^ASTICY S IMPULXSOM p0 + p IZMENQTSQ PRI "TOM OTNOSITELXNO Q0 NA WELI^INU Q, RAWNU@ z + gz z = Q p = . Q0 p0 (89)

kO"FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI W FORMULE (89) NAZYWAETSQ HROMATI^NOSTX@ (W DANNOM SLU^AE, W OTSUTSTWIE SISTEMATI^ESKOJ KWADRATI^NOJ NELINEJNOSTI, BOLEE TO^NOE NAZWANIE "TOGO KO"FFICIENTA -- ESTESTWENNAQ HROMATI^NOSTX). wYRAVAQ W FORMULE (80) g ^EREZ p/p0 , POLU^AEM DLQ SLEDU@]EE WYRAVENIE: =- 1 4Q
2R0

(s)g (s) ds.
0 0

(90)

oTMETIM, ^TO DLQ BOLX[INSTWA PROTONNYH SINHROTRONOW S VЁSTKOJ FOKUSIROWKOJ ZNAe ^ENIE ESTESTWENNOJ HROMATI^NOSTI SOSTAWLQET PRIMERNO -1, 3 KAK DLQ GORIZONTALXNOGO, TAK I DLQ WERTIKALXNOGO NAPRAWLENIJ. kWADRATI^NAQ NELINEJNOSTX, SWQZANNAQ S NEIDEALXNOSTX@ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ (NAPRIMER, S WIHREWYMI TOKAMI W STENKAH WAKUUMNOJ KAMERY, OSTATO^NYMI POLQMI W DIPOLQH I T. D.), DAЁT DOPOLNITELXNYJ WKLAD W HROMATI^NOSTX. --TO PROISHODIT IZ-ZA e TOGO, ^TO NA ^ASTICU S IMPULXSOM, OTLI^NYM OT RAWNOWESNOGO, DEJSTWUET DOPOLNITELXNYJ GRADIENT MAGNITNOGO POLQ, RAWNYJ G
x,z

=±

2HKW D(s) p , b2 p0

(91)

TAK ^TO IZ FORMULY (80) POLU^AETSQ DOBAWKA K HROMATI^NOSTI, OBUSLOWLENNAQ KWADRATI^NOJ NELINEJNOSTX@ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ,
x,z

=±

1 2Qx,z b

2R0 2 0

HKW HR

x,z

(s)D(s) ds.

(92)

pODSTAWLQQ W POSLEDN@@ FORMULU SREDNIE ZNA^ENIQ WELI^IN, ZAWISQ]IH OT PRODOLXNOJ KOORDINATY s, IMEEM SLEDU@]U@ OCENKU: x,z ±(R3 /Q4 Rb2 )(HKW /H ). 0 x,z tAKIM OBRAZOM, IZMERIW HROMATI^NOSTI USKORITELQ, MOVNO RASS^ITATX SISTEMATI^ESKU@ KWADRATI^NU@ NELINEJNOSTX MAGNITNOGO POLQ. w SISTEME KORREKCII KWADRATI^NOJ

27

NELINEJNOSTI KORREKTORY OBY^NO RASPOLAGA@TSQ WBLIZI FOKUSIRU@]EGO I DEFOKUSIRU@]EGO MAGNITNYH BLOKOW, PRI "TOM MOVNO PO^TI NEZAWISIMO KORREKTIROWATX HROMATI^NOSTI PO x- I z-NAPRAWLENIQM (PODOBNO KORREKCII GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ). w ZAKL@^ENIE RAZDELA PRIWEDЁM TAKVE OSNOWNYE FORMULY DLQ KUBI^ESKOJ NELINEJe NOSTI MAGNITNOGO POLQ, OKAZYWA@]EJ OSNOWNOE WOZDEJSTWIE NA ZAWISIMOSTX BETATRONNYH ^ASTOT OT AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ. pO ANALOGII S (86), MOVNO POLU^ITX S POMO]X@ FORMULY (85) SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ DLQ NORMALXNOJ KUBI^ESKOJ NELINEJNOSTI (n = 4): HKU B 3 HKU B 3 hz = (x - 3xz 2 ); hx = - (z - 3zx2 ), (93) Hb3 Hb3 GDE HKU B PREDSTAWLQET SOBOJ, PODOBNO HKW , OTKLONENIE POLQ NA KRA@ WAKUUMNOJ KAMERY OTNOSITELXNO NOMINALXNOGO ZNA^ENIQ IZ-ZA KUBI^ESKOJ NELINEJNOSTI. uRAWNENIQ DWIVENIQ IME@T PRI "TOM WID x + gx x = z + gz z = HKU B 3 (x - 3xz 2 ); HRb3 (94)

HKU B 3 (z - 3zx2 ). (95) HRb3 wIDNO, ^TO PRI ZAMENE x NA z PERWOE URAWNENIE PEREHODIT WO WTOROE I NAOBOROT. rE[AQ URAWNENIQ (94) I (95) METODOM WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH W PREDPOLOVENII, ^TO REZONANSY ^ETWЁRTOGO PORQDKA OTSUTSTWU@T, POLU^AEM DLQ SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT e W ZAWISIMOSTI OT AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ SLEDU@]EE WYRAVENIE: Q
x,z

=

3R 0 HKU B x,z < 3 8Rb H

2 x,z

> -2z,x <

HKU B x z > , H

(96)

GDE UGLOWYE SKOBKI OZNA^A@T USREDNENIE PO PERIMETRU USKORITELQ; x,z = Ax,z /x,z (Ax,z -- AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ). w PROTONNOM SINHROTRONE S SOWME]ЁNNYMI FUNKCIe QMI (HKU B )F -(HKU B )D , PO"TOMU WTOROJ ^LEN W FORMULE (96) PO^TI NE WLIQET NA BETATRONNYE ^ASTOTY. nELINEJNOSTX W FOKUSIRU@]IH BLOKAH WLIQET W OSNOWNOM NA Qx , A W DEFOKUSIRU@]IH -- NA Qz . 1.3. rezonansy betatronnyh kolebanii ~astic rEZONANSY POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC NASTUPA@T W SLU^AE, KOGDA IH BETATRONNYE ^ASTOTY UDOWLETWORQ@T SLEDU@]EMU USLOWI@: nx Qx + nz Qz = k, GDE nx , nz , k -- CELYE ^ISLA, n = |nx | + |nz | -- PORQDOK REZONANSA. pRI WYPOLNENII DANNOGO USLOWIQ DAVE O^ENX MALYE WOZMU]ENIQ MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ MOGUT PRIWODITX K BYSTROMU ROSTU POPERE^NYH RAZMEROW USKORQEMOGO PU^KA PROTONOW. w NASTOQ]EM RAZDELE RASSMATRIWA@TSQ NAIBOLEE OPASNYE REZONANSY BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTONE. 1.3.1. pARAMETRI^ESKIJ REZONANS w KA^ESTWE PROSTEJ[EGO PRIMERA PARAMETRI^ESKOGO REZONANSA RASSMOTRIM MAQTNIK S NITX@, DLINA KOTOROJ IZMENQETSQ WO WREMENI S PERIODOM T = 2/ : l = l0 + l1 cos(t + 0 ), l1 l0 . w PERWOM PRIBLIVENII MOVNO POLOVITX = max cos 0 t, GDE -- UGLOWOE OTKLONENIE MAQTNIKA OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ, 0 -- EGO SOBSTWENNAQ ^ASTOTA. sILA 28

NATQVENIQ NITI MAQTNIKA F PRI "TOM KOLE BLETSQ S UDWOENNOJ ^ASTOTOJ: F cos 1 - 2 /2 = 1 - 2 x /4 - (2 x /4) cos 20 t, TAK ^TO RABOTA W , SOWER[AEMAQ NAD MAQTNIKOM, ma ma RAWNA:
t

W=
0

F (dl /dt) dt chi

t

2 max

cos 20 t sin(t + 0 ) dt.
0

oTS@DA WIDNO, ^TO SREDNQQ RABOTA ZA PERIOD KOLE BANIJ T OTLI^NA OT NULQ LI[X W SLU^AE PARAMETRI^ESKOGO REZONANSA, KOGDA ^ASTOTA WOZMU]ENIQ SOWPADAET S UDWOENNYM ZNA^ENIEM SOBSTWENNOJ ^ASTOTY 0 . w POSLEDNEM SLU^AE AMPLITUDA KOLE BANIJ MAQTNIKA BUDET WOZRASTATX S TE^ENIEM WREMENI, DAVE ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI ONA UMENX[ALASX. w PROTONNOM SINHROTRONE PARAMETRI^ESKIJ REZONANS BETATRONNYH KOLE BANIJ WYZYWAETSQ AZIMUTALXNYMI GARMONIKAMI WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ. uSLOWIE REZONANSA IMEET WID 2Qx,z = k, SLEDOWATELXNO, PARAMETRI^ESKIJ REZONANS IMEET MESTO PRI CELYH I POLUCELYH ZNA^ENIQH BETATRONNYH ^ASTOT. dANNYJ REZONANS QWLQETSQ ODNIM IZ NAIBOLEE OPASNYH, PO"TOMU RABO^U@ TO^KU USKORITELQ OBY^NO STREMQTSQ RASPOLAGATX KAK MOVNO DALX[E OT UKAZANNYH REZONANSNYH LINIJ. uRAWNENIQ POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC PRI NALI^II WOZMU]ENIJ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ G IME@T WID G x + gx x = - x; (97) HR G z + gz z = z. (98) HR uRAWNENIQ (97) I (98) IDENTI^NY, PO"TOMU DLQ OPREDELЁNNOSTI OSTANOWIMSQ NA RE[ENII e PERWOGO IZ NIH, WOSPOLXZOWAW[ISX DLQ "TOGO METODOM WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH. zDESX I NIVE -- PRI RASSMOTRENII POSLEDU@]IH REZONANSOW -- UDOBNO PREDSTAWLQTX NEWOZMU]ЁNNOE RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ e W WIDE x = a + a , GDE a I a -- KOMPLEKSNYE AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ, PODLEVA]IE WARIACII; I -- FUNKCII fLOKE, NORMIROWANNYE SOOTNO[ENIEM - = -2i, GDE = 1 M -- NORMIROWO^NAQ POSTOQNNAQ. sWQZX MEVDU WWEDЁNNOJ RANEE PRI RASSMOTREe NII STRUKTURNYH HARAKTERISTIK USKORITELQ -FUNKCIEJ I MODULEM FUNKCII fLOKE || SLEDU@]AQ: = ||2 /. rE[AQ URAWNENIE (97), PEREJDЁM K DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ e PERWOGO PORQDKA OTNOSITELXNO KOMPLEKSNOJ AMPLITUDY a da iR0G = f d 2HR
2

exp(-2iQ)a,

(99)

GDE f -- PERIODI^ESKAQ ^ASTX FUNKCII fLOKE: = f ()exp(iQ), = s/R0 . pRI PEREHODE OT URAWNENIQ (97) K (99) OTBRO[EN ^LEN, PROPORCIONALXNYJ ||2 , NE IME@]IJ OTNO[ENIQ K PARAMETRI^ESKOMU REZONANSU BETATRONNYH KOLE BANIJ, A PRIWODQ]IJ LI[X K SDWIGU BETATRONNOJ ^ASTOTY Q, DLQ KOTOROGO RANEE UVE POLU^ENA FORMULA (80). rASKLADYWAQ DALEE PERIODI^ESKIJ PO MNOVITELX PERED "KSPONENTOJ W (99) W RQD fURXE, G 2 1 2 G 2 Ck exp(ik); Ck = f= f exp(-ik) d, HR 2 0 HR k

29

I PROIZWODQ ZATEM USREDNENIE W PRAWOJ ^ASTI (99) WDOLX RAWNOWESNOJ ORBITY USKORITELQ, T.E. OSTAWLQQ LI[X REZONANSNYJ ^LEN S k 2Q, POLU^AEM WMESTO (99) SLEDU@]EE URAWNENIE: da (100) P exp(-2i )a, d GDE = Q - k/2, | | 1; P -- KOMPLEKSNAQ WELI^INA, NAZYWAEMAQ SILOJ REZONANSA, Px,z = ± iR0 G < 2 HR
2 x,z

>.

(101)

w FORMULE (101) UGLOWYE SKOBKI OZNA^A@T USREDNENIE PO OBOROTU, A ZNA^ENIE FUNKCII fLOKE x,z BERЁTSQ PRI Q = k/2. e pODSTAWLQQ W URAWNENIE (100) KOMPLEKSNU@ AMPLITUDU a W WIDE a = |a| exp(i ) I RAZDELQQ EGO PRAWU@ I LEWU@ ^ASTI NA REALXNYE I MNIMYE WELI^INY, POLU^AEM WMESTO (100) SLEDU@]U@ SISTEMU IZ DWUH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ PERWOGO PORQDKA: |a| = |aP | cos(2 +2 - arg P ); (102) = -|P | sin(2 +2 - arg P ), (103) GDE [TRIHOM OBOZNA^ENO DIFFERENCIROWANIE PO . mOVNO NEPOSREDSTWENNO PROINTEGRIROWATX SISTEMU URAWNENIJ (102), (103), ODNAKO EЁ RE[ENIQ WYRAVA@TSQ ^EREZ "LLIPTI^ESKIE e INTEGRALY I SLI[KOM GROMOZDKI DLQ ANALIZA. aNALIZ PARAMETRI^ESKOGO REZONANSA PRO]E WSEGO PROWODITSQ W PEREMENNYH I = |a|2 /2, w = + - arg P/2, W KOTORYH URAWNENIQ DWIVENIQ IME@T KANONI^ESKU@ FORMU S GAMILXTONIANOM H(I, w )= I ( -|P | sin 2w ). tAK KAK GAMILXTONIAN H NE ZAWISIT QWNO OT WREMENI, TO KRIWYE H = const QWLQ@TSQ INTEGRALAMI DWIVENIQ.

rIS. 11. fAZOWYE DIAGRAMMY DLQ PARAMETRI^ESKOGO REZONANSA (2Q = k ).

nA RIS. 11 W KA^ESTWE PRIMERA POKAZANY TAKIE KRIWYE NA PLOSKOSTI (I, w ) DLQ H = const. wIDNO, ^TO WDALI OT REZONANSA (PRI | | = 10|P |) KRIWYE ZAMKNUTY, TAK ^TO POPERE^NOE DWIVENIE ^ASTIC USTOJ^IWO. pRI "TOM IZ-ZA BLIZOSTI REZONANSA PROISHODQT BIENIQ AMPLITUDY KOLE BANIJ, GLUBINU KOTORYH NETRUDNO OPREDELITX, PRIRAWNQW ZNA^ENIQ GAMILXTONIANA H PRI sin 2w = ±1, OTKUDA POLU^AETSQ |a|max = |a|min | | + |P | | |- |P | 30
1 /2

.

(104)

pERIOD BIENIJ MOVNO NAJTI, WOSPOLXZOWAW[ISX URAWNENIEM DWIVENIQ w= H = -|P | sin 2w. I (105)

rAZDELIW W (105) PEREMENNYE, A ZATEM PROINTEGRIROWAW PO w W PREDELAH OT -/2 DO /2, POLU^IM DLQ PERIODA BIENIJ T FORMULU T= 1 2f0 1 , -|P |2
2

(106)

GDE f0 -- ^ASTOTA OBRA]ENIQ PU^KA W USKORITELE, | | > |P |. pRI | | = |P | NASTUPAET SOBSTWENNO REZONANS, FAZOWYE TRAEKTORII RAZRYWA@TSQ, I POPERE^NOE DWIVENIE ^ASTIC STANOWITSQ NEUSTOJ^IWYM. rASSMOTRIM NAIBOLEE OPASNYJ SLU^AJ, KOGDA RASSTROJKA = 0. dIFFERENCIRUQ PO PRAWU@ I LEWU@ ^ASTI URAWNENIQ (100), POLU^AEM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA a = |P |2 a, RE[ENIE KOTOROGO IMEET WID a = a0 cosh |P | + P a sinh |P |, |P | 0 (108) (107)

OTKUDA POLU^AETSQ SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ MODULQ KWADRATA AMPLITUDY: |a|2 = |a0 |2 [(1 + cos )exp(2|P |)+ (1 - cos )exp(-2|P |)]. 2 (109)

fAZA W (109) ZAWISIT OT NA^ALXNYH USLOWIJ. pRI BOLX[IH IMEEM OTS@DA a = a0 1+ cos exp(|P |). 2 (110)

wIDNO, ^TO AMPLITUDA POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC PRI PARAMETRI^ESKOM REZONANSE WOZRASTAET W e RAZ ZA n = (2 |P |)-1 OBOROTOW PU^KA W USKORITELE. k PRIMERU, ESLI |P | = 10-3 , TO n 150 OBOROTOW. qSNO PO"TOMU, NASKOLXKO OPASEN DANNYJ REZONANS. 1.3.2. lINEJNYJ RAZNOSTNYJ REZONANS SWQZI sWQZX POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC W USKORITELE MOVET PRIWODITX K POTERE ^ASTI INTENcIWNOSTI PU^KA DAVE W TOM SLU^AE, KOGDA OSTALXNYE PARAMETRY USKORITELQ NE WYHODQT ZA DOPUSTIMYE PREDELY. pREDPOLOVIM, ^TO PRI INVEKCII GORIZONTALXNYJ "MITTANS PU^KA W TO^NOSTI RAWEN GORIZONTALXNOMU AKSEPTANSU WAKUUMNOJ KAMERY, A TAKVE, ^TO PRI ISPOLXZOWANII TONKOGO PU^KA OSU]ESTWLENA NEOBHODIMAQ KORREKCIQ ORBITY, BETATRONNOJ ^ASTOTY, HROMATI^NOSTI I DRUGIH PARAMETROW USKORITELQ I WSЁ WYGLQDIT e ABSOL@TNO NORMALXNYM. oDNAKO POSLE INVEKCII POLNOMAS[TABNOGO PU^KA POQWLQ@TSQ POTERI ^ASTIC. pRI^INOJ PODOBNYH POTERX ^A]E WSEGO QWLQETSQ NALI^IE W USKORITELE KOSOGO KWADRUPOLXNOGO POLQ, PRIWODQ]EGO K SWQZI GORIZONTALXNOGO I WERTIKALXNOGO DWIVENIJ ^ASTIC. sILXNAQ SWQZX BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC W DWUH WERTIKALXNYH NAPRAWLENIQH PODOBNA DWUM SWQZANNYM GARMONI^ESKIM OSCILLQTORAM, KOGDA IMEET MESTO PEREDA^A "NERGII 31

OT ODNOGO OSCILLQTORA K DRUGOMU NA ^ASTOTE, RAWNOJ RAZNOSTI IH SOBSTWENNYH ^ASTOT. pRI "TOM GORIZONTALXNYJ "MITTANS PU^KA MOVET POLNOSTX@ PEREHODITX W WERTIKALXNYJ, W REZULXTATE ^EGO PU^OK MOVET PREWYSITX DOPUSTIMU@ W WERTIKALXNOM NAPRAWLENII APERTURU. lINEJNYJ RAZNOSTNYJ REZONANS SWQZI WOZBUVDAETSQ W USKORITELQH AZIMUTALXNYMI GARMONIKAMI LIBO KOSOGO KWADRUPOLXNOGO, LIBO PRODOLXNOGO MAGNITNOGO POLEJ. rASSMOTRIM PODROBNO SLU^AJ KOSOGO KWADRUPOLXNOGO POLQ, QWLQ@]EGOSQ OSNOWNOJ PRI^INOJ DANNOGO REZONANSA, KAK BUDET WIDNO IZ DALXNEJ[EGO. pRI NALI^II KOSOGO KWADRUPOLXNOGO MAGNITNOGO POLQ hz = Gsz I hx = -Gs x (Gs -- GRADIENT "TOGO POLQ), TAK ^TO URAWNENIQ DWIVENIQ IME@T WID Gs x + gx x = - z; (111) HR Gs z + gz z = - x. (112) HR mETODIKA RE[ENIQ URAWNENIJ (111) I (112) ANALOGI^NA ISPOLXZOWANNOJ WY[E PRI RE[ENII URAWNENIQ (97). pRIMENQQ METOD WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH I USREDNQQ PO OBOROTU POLU^IW[IESQ DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ DLQ KOMPLEKSNYH AMPLITUD ax I az , IMEEM WMESTO (111) I (112) SLEDU@]U@ SISTEMU IZ DWUH UKORO^ENNYH URAWNENIJ: dax = iP exp(-i )az ; d daz = iP exp(i )ax, d 1, A SILA REZONANSA P OPREDELENA SOOTNO[ENIEM P= R0 Gs < z >, 2 HR x (113) (114)

GDE = Qx - Qz , | |

(115)

W KOTOROM ZNA^ENIQ FUNKCIJ fLOKE BERUTSQ PRI = 0. pRI PEREHODE OT URAWNENIJ (111), (112) K UKORO^ENNYM URAWNENIQM (113), (114) OTBRO[ENY ^LENY, PROPORCIONALXNYE , xz IME@]IE OTNO[ENIE K LINEJNOMU SUMMOWOMU REZONANSU SWQZI, KOTORYJ RASSMATRIWAETSQ W SLEDU@]EM RAZDELE. sOSTAWLQQ S POMO]X@ (113) I (114) URAWNENIQ DLQ KWADRATOW MODULEJ AMPLITUD, NETRUDNO POKAZATX, ^TO SUMMARNAQ AMPLITUDA POPERE^NYH KOLE BANIJ OSTAЁTSQ NEIZMENNOJ e 2 2 PRI LINEJNOM RAZNOSTNOM REZONANSE SWQZI: |ax| + |az | = const. sLEDOWATELXNO, ESLI POPERE^NYE "MITTANSY PU^KA RAWNY DLQ OBOIH NAPRAWLENIJ, TO DANNYJ REZONANS NE PREDSTAWLQET OPASNOSTI. oDNAKO NA PRAKTIKE ^ASTO BYWAET TAK, ^TO RADIALXNYJ "MITTANS W NESKOLXKO RAZ PREWY[AET WERTIKALXNYJ. w POSLEDNEM SLU^AE RAZNOSTNYJ REZONANS MOVET PRIWODITX K POTERQM ^ASTIC. pRODIFFERENCIROWAW OBE ^ASTI URAWNENIQ (113) PO , POLU^IM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO KOMPLEKSNOJ AMPLITUDY ax ax + i ax + |P |2 ax = 0. (116)

zDESX I NIVE (DO KONCA NASTOQ]EJ GLAWY) [TRIHOM OBOZNA^AETSQ DIFFERENCIROWANIE PO . aNALOGI^NOE URAWNENIE OTNOSITELXNO AMPLITUDY az OTLI^AETSQ OT (116) LI[X ZNAKOM

32

PERED WTORYM ^LENOM. pO"TOMU OB]IE RE[ENIQ DLQ KOMPLEKSNYH AMPLITUD MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE ax,z = Ax,z exp[-i(± - ) ]+ Bx,z exp[-i(± + ) ], 2 2 (117)

GDE = ( 2 + 4|P |2 )1/2 . dIFFERENCIRUQ DALEE URAWNENIQ (117) PO I PRIRAWNIWAQ SOOTWETSTWU@]IE REZULXTATY K PRAWYM ^ASTQM URAWNENIJ (113) I (114), A TAKVE POLAGAQ Ax = A I Bz = B , POLU^AEM SLEDU@]IE SWQZI MEVDU POSTOQNNYMI KO"FFICIENTAMI: Az = A( - )/2P ; Bx = -B ( - )/2P . pODSTAWLQQ W (117) POLU^IW[IESQ SOOTNO[ENIQ I WY^ISLQQ MODULI KWADRATOW AMPLITUD, POLU^AEM DLQ |ax|2 WYRAVENIE |ax |2 = |A|2 + |B |
2

( - )2 AB - ( - )cos( - ). 4| P | 2 P

(118)

uRAWNENIE DLQ |az |2 POLU^AETSQ IZ (118), ESLI W NЁM POMENQTX MESTAMI POSTOQNNYE A I B e I IZMENITX ZNAK PERED POSLEDNIM ^LENOM. sLEDOWATELXNO, FORMULA DLQ SUMMY KWADRATOW MODULEJ AMPLITUD MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE |ax |2 + |az |2 = (|A|2 + |B |2 ) 1+ ( - )2 . 4| P | 2 (119)

iZ FORMULY (118) NETRUDNO NAJTI PERIOD BIENIJ AMPLITUD POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC T PRI RAZNOSTNOM REZONANSE SWQZI, POLAGAQ = 2 , OTKUDA T= 1 f0 1 . +4|P |2
2

(120)

~TOBY OPREDELITX GLUBINU BIENIJ, PREDPOLOVIM, ^TO W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI PU^OK BYL REZKO SME]ЁN W GORIZONTALXNOM NAPRAWLENII. nA^ALXNAQ AMPLITUDA KOLE BANIJ e PU^KA W WERTIKALXNOM NAPRAWLENII RAWNA NUL@, PO"TOMU IZ FORMULY (117) POLU^AETSQ SLEDU@]AQ SWQZX MEVDU KO"FFICIENTAMI A I B : B = -A( - )/2P . pOLNOE IZMENENIE KWADRATA MODULQ AMPLITUDY W PROCESSE BIENIJ NAJDЁM, WOSPOLXZOWAW[ISX FORMULOJ (118), e |ax|2 = 2|AB | ( - )2 - . = |A|2 |P | |P |2 (121)

wY^ISLQQ ZATEM KWADRAT MODULQ NA^ALXNOJ AMPLITUDY KOLE BANIJ PU^KA |ax0 |2 S POMO]X@ INWARIANTA (119), ( - )2 2 |ax0 |2 = |A|2 1+ , (122) 4| P | 2 I SOSTAWLQQ OTNO[ENIE WYRAVENIJ (121) I (122), POLU^AEM POSLE NESLOVNYH PREOBRAZOWANIJ |ax|2 4| P | 2 = . (123) |ax0 |2 4| P | 2 + 2 fORMULA (123) POKAZYWAET, ^TO PRI REZONANSE ( = 0) GLUBINA BIENIJ IMEET NAIBOLX[U@ WELI^INU, PRI^ЁM MODULQCIQ AMPLITUDY KOLE BANIJ PU^KA DOSTIGAET 100%. wDALI e OT REZONANSA (PRI | | |P |) GLUBINA BIENIJ DAЁTSQ WYRAVENIEM e |ax|2 |ax0 |2 33 4| P | 2 . 2 (124)

oTMETIM TAKVE, ^TO FORMULY (120) I (123) POZWOLQ@T OTNOSITELXNO PROSTO OPREDELQTX RASSTROJKU I SILU REZONANSA |P | PO REZULXTATAM IMERENIJ GLUBINY I PERIODA BIENIJ POSLE REZKOGO SME]ENIQ PU^KA PO ODNOMU IZ POPERE^NYH NAPRAWLENIJ. pRI LINEJNOM RAZNOSTNOM REZONANSE SWQZI MOVNO WYDELITX GLAWNYE OSI, WDOLX KOTORYH POPERE^NYE KOLE BANIQ ^ASTIC IME@T ODINAKOWYE ^ASTOTY, NAZYWAEMYE SOBSTWENNYMI. oBOZNA^IM Q = (Qx + Qz )/2, TAK ^TO Qx,z = Q ± /2, I ZAPI[EM, S U^ЁTOM e FORMULY (117), RE[ENIQ URAWNENIJ (111) I (112) W WIDE - x = Afx exp i(Q + ) - Bfx exp i(Q - ) + K.S.; 2 2P 2 - z = Bfz exp i(Q - ) + Afz exp i(Q + ) + K.S. 2 2P 2 (125) (126)

eSLI TEPERX W WYRAVENIQH (125) I (126) SNA^ALA POLOVITX A = 0, A ZATEM -- B = 0, TO TAKIM OBRAZOM OPREDELQTSQ NAPRAWLENIQ GLAWNYH OSEJ KOLE BANIJ, x x ± = z z 2 +4|P |2 . 2| P | (127)

pRI RAZNOSTNOM REZONANSE SWQZI SNA^ALA IZMERQ@TSQ SOBSTWENNYE ^ASTOTY KOLE BANIJ, RAWNYE Q ± /2, A ZATEM RASS^ITYWA@TSQ ^ASTOTY Qx,z POSLE PREDWARITELXNOGO OPREDELENIQ ZNA^ENIJ I |P | S POMO]X@ OPISANNOJ WY[E METODIKI. 1.3.3. lINEJNYJ SUMMOWYJ REZONANS eSLI BETATRONNYE ^ASTOTY UDOWLETWORQ@T SOOTNO[ENI@ Qx + Qz = k + , GDE k -- CELOE ^ISLO, | | 1, TO IMEET MESTO LINEJNYJ SUMMOWYJ REZONANS. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ DLQ KOMPLEKSNYH AMPLITUD POLU^A@TSQ IZ URAWNENIJ DWIVENIQ (111) I (112) ANALOGI^NYM OBRAZOM, KAK I W SLU^AE RAZNOSTNOGO REZONANSA, ZA ISKL@^ENIEM TOGO, ^TO USREDNENI@ PO OBOROTU W PRAWYH ^ASTQH URAWNENIJ TEPERX PODLEVAT OTBRO[ENNYE RANEE ^LENY, PROPORCIONALXNYE . uKORO^ENNYE URAWNENIQ OTNOSITELXNO KOMPLEKSNYH xz AMPLITUD MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE dax = iP exp(-i )a; z d daz = iP exp(-i )a , x d GDE SILA REZONANSA P OPREDELENA SOOTNO[ENIEM P= R0 Gs < >, 2 HR x z (128) (129)

(130)

GDE, KAK I W PREDYDU]EM RAZDELE, FUNKCIQ Gs () OPISYWAET ZAWISIMOSTX KOSOGO GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ OT AZIMUTA USKORITELQ. pODSTAWLQQ W (128) I (129) KOMPLEKSNYE AMPLITUDY W WIDE ax,z = |ax,z | exp(ix,z ) I OTDELQQ W URAWNENIQH REALXNYE I MNIMYE ^ASTI, PRIHODIM K SLEDU@]EJ SISTEME OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ: |ax| = |az P | sin(wx + wz ); 34 (131)

|az | = |ax P | sin(wx + wz ); x = z = az |P | cos(wx + wz ); ax ax |P | cos(wx + wz ), az

(132) (133) (134)

GDE wx,z = x,z +( - arg P )/2. sDELAEM TEPERX SLEDU@]U@ ZAMENU PEREMENNYH: Ix = |ax |2 /2 I Iz = |az |2 /2. w PEREMENNYH (I, w ) URAWNENIQ STANOWQTSQ KANONI^ESKIMI S GAMILXTONIANOM H, RAWNYM H = 2|P | Ix Iz cos(wx + wz )+ (Ix + Iz ) , 2 (135)

NE ZAWISQ]IM QWNO OT WREMENI I QWLQ@]IMSQ PO"TOMU INTEGRALOM DWIVENIQ. nEPOSREDSTWENNO IZ URAWNENIJ (131) I (132) POLU^AETSQ SLEDU@]AQ SWQZX MEVDU ABSOL@TNYMI WELI^INAMI POPERE^NYH AMPLITUD: |ax|2 -|az |2 = const (ILI Ix - Iz = const). sLEDOWATELXNO, PRI SUMMOWOM REZONANSE ODNOWREMENNO WOZRASTA@T AMPLITUDY KOLE BANIJ PO OBOIM NAPRAWLENIQM. pOLAGAQ NA^ALXNYE AMPLITUDY KOLE BANIJ ODINAKOWYMI, WYQSNIM, PRI KAKIH PARAMETRAH USKORITELQ TERQETSQ USTOJ^IWOSTX POPERE^NOGO DWIVENIQ. w SILU PRIWEDENNOJ ZDESX SWQZI AMPLITUD POPERE^NYH KOLE BANIJ, MOVNO W TAKOM SLU^AE POLOVITX Ix = Iz = I , wx + wz = w - /2, TAK ^TO GAMILXTONIAN H PRIMET TOT VE SAMYJ WID, KOTORYJ ON IMEET PRI PARAMETRI^ESKOM REZONANSE H = I [ - 2|P | sin(w )], OTKUDA WIDNO, ^TO RAZRYW FAZOWYH TRAEKTORIJ PROISHODIT PRI |/P | < 2. fIZIKA RAZWITIQ SUMMOWOGO REZONANSA ANALOGI^NA RASSMOTRENNOMU WY[E SLU^A@ PARAMETRI^ESKOGO REZONANSA, ZA ISKL@^ENIEM TOGO, ^TO PRI SUMMOWOM REZONANSE AMPLITUDY KOLE BANIJ WOZRASTA@T ODNOWREMENNO PO OBOIM NAPRAWLENIQM. w OBLASTI USTOJ^IWOSTI (PRI |/P | > 2) IMEET MESTO FORMULA DLQ PERIODA BIENIJ T , PODOBNAQ SOOTWETSTWU@]IM FORMULAM DLQ PARAMETRI^ESKOGO I RAZNOSTNOGO REZONANSOW, T= 1 f0 1 . 2 - 4| P | 2 (136)

w ZAKL@^ENIE RAZDELA OTMETIM, ^TO LINEJNYE REZONANSY SWQZI MOGUT TAKVE WOZNIKATX IZ-ZA PRODOLXNOGO MAGNITNOGO POLQ. oBY^NO, ODNAKO, EGO WLIQNIE SU]ESTWENNO BOLEE SLABOE PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM KOSOGO KWADRUPOLXNOGO MAGNITNOGO POLQ, TAK KAK SOOTWETSTWU@]IE ^LENY W URAWNENIQH DWIVENIQ PROPORCIONALXNY POPERE^NYM SKOROSTQM ^ASTIC, KOTORYE MALY PO SRAWNENI@ S PRODOLXNOJ SKOROSTX@ PU^KA. 1.3.4. kWADRATI^NYJ ODNOMERNYJ REZONANS pRI NALI^II W USKORITELE PROSTRANSTWENNYH GARMONIK KWADRATI^NOJ NELINEJNOSTI MAGNITNOGO POLQ MOVET IMETX MESTO NELINEJNYJ REZONANS TRETXEGO PORQDKA. dANNYJ REZONANS MOVET TAKVE SOZDAWATXSQ ISKUSSTWENNO S CELX@ EGO ISPOLXZOWANIQ DLQ MEDLENNOGO WYWODA ^ASTIC IZ USKORITELQ. w POSLEDNEM SLU^AE REZONANSNAQ RASKA^KA PU^KA OSU]ESTWLQETSQ S POMO]X@ SPECIALXNOJ SISTEMY, PREDSTAWLQ@]EJ SOBOJ NABOR SEKSTUPOLXNYH LINZ, SOZDA@]IH W USKORITELE NEOBHODIMU@ DLQ WOZBUVDENIQ DANNOGO REZONANSA GARMONIKU KWADRATI^NOJ NELINEJNOSTI MAGNITNOGO POLQ.

35

w KA^ESTWE ISHODNOGO URAWNENIQ DWIVENIQ WOSPOLXZUEMSQ URAWNENIEM (87), W KOTOROM POLOVIM p = 0. ~LEN W PRAWOJ ^ASTI DANNOGO URAWNENIQ, PROPORCIONALXNYJ z 2 , OTWETSTWENNYJ ZA NELINEJNYJ REZONANS SWQZI, ZDESX NE RASSMATRIWAETSQ. rE[AQ (87) METODOM WARIACII PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH PRI U^ЁTE W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ TOLXKO ^LENA, e 2 PROPORCIONALXNOGO x , POLU^AEM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO KOMPLEKSNOJ AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ a (INDEKS x W NASTOQ]EM RAZDELE BUDET OPUSKATXSQ, TAK KAK RASSMATRIWAEMYJ REZONANS ODNOMERNYJ), da iR0 HKW 2 2 (a || +2|a|2||2 + a2 3 ). =- d 2 HRb2 (137)

pERWYJ I WTOROJ ^LENY W URAWNENII (137) MOGUT BYTX OTBRO[ENY, TAK KAK ONI OTWETSTWENNY ZA CELYJ REZONANS PRI Q = k, UVE OBSUVDAW[IJSQ RANEE. oSTAWIM W (137) TOLXKO TRETIJ ^LEN, WOZBUVDA@]IJ REZONANS 3Q = k, I WOSPOLXZUEMSQ METODOM USREDNENIQ -- RASKLADYWAQ W RQD fURXE WYRAVENIE (HKW /H Rb2)f 3 , A ZATEM USREDNQQ PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ (137) PO OBOROTU, POLU^AEM UKORO^ENNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO KOMPLEKSNOJ AMPLITUDY a, da (138) = P exp(-3i )a2, d W KOTOROM SILA REZONANSA P OPREDELENA SOOTNO[ENIEM P =- iR0 HKW < 2 HRb2
3

>.

(139)

oTDELQQ ZATEM W PRAWOJ I LEWOJ ^ASTQH URAWNENIQ (138) REALXNYE I MNIMYE ^ASTI I, SOOTWETSTWENNO, PRIRAWNIWAQ IH, I ZATEM PEREHODQ K KANONI^ESKIM PEREMENNYM I = |a|2 /2 I w = + - arg P/3, POLU^AEM SLEDU@]U@ SISTEMU URAWNENIJ: I = 2 2|P |I 3/2 cos 3w ; (140) w = -|P | 2I sin 3w, (141) GDE = 3Q - k. nA PLOSKOSTI (I, w ) OBLASTX USTOJ^IWYH KOLE BANIJ OTDELQETSQ OT NEUSTOJ^IWOJ OBLASTI KRIWOJ, NAZYWAEMOJ SEPARATRISOJ. fAZOWYE TRAEKTORII ^ASTIC DLQ KWADRATI^NOGO REZONANSA POKAZANY NA RIS. 12. sEPARATRISA PROHODIT ^EREZ TRI OSOBYE TO^KI, KOORDINATY KOTORYH LEGKO NAJTI, ESLI POLOVITX W URAWNENIQH (140) (141) I = 0 I w = 0. iZ I PERWOGO URAWNENIQ IMEEM cos 3w = 0, A IZ WTOROGO -- | | = |P | 2I , PO"TOMU KOORDINATY OSOBYH TO^EK RAWNY Il = (/|P |)2/2; wl = /6+ (l - 1)2/3, GDE l = 1, 2, 3. pRI ISPOLXZOWANII KWADRATI^NOGO REZONANSA DLQ MEDLENNOGO WYWODA ^ASTIC IZ USKORITELQ KAVDAQ KONKRETNAQ ^ASTICA POPADAET NA AZIMUT, GDE PROISHODIT WYWOD, ^EREZ DWA OBOROTA NA TRETIJ. zA "TO WREMQ DOLVEN OBESPE^IWATXSQ DOSTATO^NYJ PRIROST AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ, TAK ^TOBY WYWODIMYE ^ASTICY NE POPADALI NA NOV SEPTUMA. w ZAKL@^ENIE OTMETIM,^TO HARAKTERISTIKI NELINEJNYH REZONANSOW ZAWISQT OT WELI^INY AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ amax , PO"TOMU ONI W OSNOWNOM PREDSTAWLQ@T OPASNOSTX PRI INVEKCII ^ASTIC W USKORITELX, A TAKVE NA NA^ALXNOM U^ASTKE USKORITELXNOGO CIKLA, KOGDA AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC DOSTATO^NO WELIKI. dELO W TOM, ^TO KAK OTME^ALOSX WY[E, Amax 1/ p. oTS@DA WIDNO, ^TO IZ-ZA ADIABATI^ESKOGO ZATUHANIQ POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC WLIQNIE NELINEJNYH BETATRONNYH 36

REZONANSOW BYSTRO OSLABEWAET S UWELI^ENIEM "NERGII PU^KA. tAK, NAPRIMER, RASSMOTRENNYJ W NASTOQ]EM RAZDELE KWADRATI^NYJ REZONANS NE PREDSTAWLQET OPASNOSTI, ESLI MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE PEREMENNOJ I = Imax DLQ ^ASTIC W PU^KE UDOWLETWORQET USLOWI@ 2Imax (/|P |)2 , ^TO "KWIWALENTNO SLEDU@]EMU TRE BOWANI@ K AMPLITUDE Amax : Amax 2|max | |/|P |.

rIS. 12. fAZOWAQ DIAGRAMMA DLQ REZONANSA 3Q = k .

1.4. prodolxnoe dwivenie ~astic w protonnom sinhrotrone 1.4.1. fAZOWOE URAWNENIE rASSMOTRIM OSNOWNYE OSOBENNOSTI PRODOLXNOGO DWIVENIQ ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE. pRODOLXNOE "LEKTRI^ESKOE POLE E , ISPOLXZUEMOE DLQ USKORENIQ PROTONOW, SOZDAЁTSQ e OBY^NO S POMO]X@ REZONATOROW, RASPOLOVENNYH WDOLX ORBITY USKORITELQ I SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM SFAZIROWANNYH. dANNOE POLE MOVET BYTX RAZLOVENO NA WOLNY, BEGU]IE WDOLX AZIMUTA USKORITELQ: E=
k

Ek exp[i

(k - RF ) dt],

(142)

37

GDE -- ^ASTOTA OBRA]ENIQ PU^KA W USKORITELE, RF -- RADIO^ASTOTA. sISTEMATI^ESKIJ WKLAD W "NERGI@ ^ASTIC DAЁTSQ REZONANSNOJ WOLNOJ, FAZOWAQ SKOROSTX KOTOROJ PRIMERNO e SOWPADAET SO SKOROSTX@ ^ASTICY. nEREZONANSNYE WOLNY W SREDNEM NE OKAZYWA@T WLIQNIQ NA PRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC W USKORITELE I PRI DALXNEJ[EM ANALIZE MOGUT NE U^ITYWATXSQ. mETODIKA WYDELENIQ REZONANSNOJ BEGU]EJ WOLNY PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ POZWOLQET ISPOLXZOWATX EDINYJ PODHOD PRI OPISANII PRODOLXNYH KOLE BANIJ ^ASTIC NEZAWISIMO OT KONKRETNOJ KONSTRUKCII USKORQ@]EJ SISTEMY. zAPI[EM REZONANSNU@ WOLNU PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ W WIDE E Eq cos , GDE -- FAZA ^ASTICY OTNOSITELXNO WNE[NEGO USKORQ@]EGO POLQ, = RF dt - q dt; CELOE ^ISLO q NAZYWA@T KRATNOSTX@ USKORENIQ. bOLEE PRIWY^NO WMESTO E ISPOLXZOWATX AMPLITUDU USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ V , SWQZX MEVDU KOTORYMI MOVNO POLU^ITX IZ MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ PRIROSTA "NERGII ^ASTICY ZA OBOROT V = Eq 2R0 . ~ASTICA, NAHODQ]AQSQ W TO^NOM SINHRONIZME S REZONANSNOJ WOLNOJ PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ, NAZYWAETSQ SINHRONNOJ ILI RAWNOWESNOJ. iZ RAWENSTWA SILY lORENCA I CENTROSTREMITELXNOJ SILY NA ORBITE, IMPULXS SINHRONNOJ ^ASTICY ps UDOWLETWORQET SOOTNO[ENI@ Ї ps c = eHs R0s, (143) Ї GDE c -- SKOROSTX SWETA; e -- ZARQD ^ASTICY; Hs -- SREDNQQ WELI^INA MAGNITNOGO POLQ NA ORBITE SINHRONNOJ ^ASTICY; R0s -- SREDNIJ RADIUS SINHRONNOJ ^ASTICY. s DRUGOJ STORONY, SKOROSTX IZMENENIQ SINHRONNOGO IMPULXSA ZAWISIT OT AMPLITUDY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ V I FAZY s SINHRONNOJ ^ASTICY, dps eV cos s . (144) = eE (s ) = dt 2R0 w PROTONNOM SINHROTRONE USKORENIE ^ASTIC PROISHODIT OBY^NO PRI R0s = const, PO"TOMU W TAKOM SLU^AE IZ FORMUL (143) I (144) POLU^AETSQ SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ SINHRONNOJ FAZY s : 2R0sRs dH cos s = , (145) cV dt GDE dH/dt I Rs -- SOOTWETSTWENNO SKOROSTX IZMENENIQ MAGNITNOGO POLQ I RADIUS KRIWIZNY SINHRONNOJ ^ASTICY W MAGNITNOM BLOKE PROTONNOGO SINHROTRONA. fORMULA (145), W ^ASTNOSTI, POKAZYWAET, ^TO W PROTONNOM SINHROTRONE SKOROSTX IZMENENIQ MAGNITNOGO POLQ I AMPLITUDA USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ NE MOGUT ZADAWATXSQ PROIZWOLXNYM OBRAZOM, TAK KAK DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE | cos s| < 1. dLQ PROIZWOLXNOJ ^ASTICY S IMPULXSOM p = ps + p, DWIVU]EJSQ PO ORBITE SO SREDNIM RADIUSOM R0 = R0s + R0 , SKOROSTX IZMENENIQ IMPULXSA p DAЁTSQ FORMULOJ, e ANALOGI^NOJ (144), eV cos p= . (146) 2 (R0s +R0 ) sOSTAWLQQ RAZNOSTX eV (147) (cos - cos s) 2 I PREOBRAZUQ LEWU@ ^ASTX "TOGO RAWENSTWA (W LINEJNOM PRIBLIVENII PO MALYM OTKLONENIQM |R0 | R 0 s I | p| ps ) K WIDU (R0s +R0 ) - R0sps = p (R0s +R0 ) - R0sp p
s

R

0s

d p dR0 p, + ps dt dp s

(148)

38

POLU^AEM ODNO IZ DWUH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ, OPISYWA@]IH PRODOLXNYE KOLE BANIQ ^ASTIC W USKORITELQH, d ( R 0 s p) eV = (cos - cos s ). dt 2 (149)

k URAWNENI@ (149) DOLVNO BYTX DOBAWLENO WTOROE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE DLQ FAZY . oNO POLU^AETSQ DIFFERENCIROWANIEM PO WREMENI OPREDELENIQ FAZY , PRIWEDENNOGO WY[E, W REZULXTATE ^EGO IMEEM d = RF - q. dt (150)

u^ITYWAQ, ^TO PO OPREDELENI@ RF = qs , GDE s -- ^ASTOTA OBRA]ENIQ SINHRONNOJ ^ASTICY, A TAKVE RASKLADYWAQ W RQD WBLIZI ZNA^ENIQ s , POLU^AEM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE DLQ FAZY , d q s p, (151) = dt ps W KOTOROM PARAMETR OPISYWAET DISPERSI@ ^ASTOT OBRA]ENIQ PRI MALYH OTKLONENIQH IMPULXSA ^ASTICY OT SINHRONNOGO ZNA^ENIQ, =- ps s p = -
p=ps -2

,

(152)

GDE -- KO"FFICIENT RAS[IRENIQ ORBIT, WWEDЁNNYJ RANEE PRI RASSMOTRENII DISPEe RSIONNOJ FUNKCII D; -- RELQTIWISTSKIJ FAKTOR. oBEDINQQ URAWNENIQ (149) I (152), POLU^AEM OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA, OPISYWA@]EE PRODOLXNYE KOLE BANIQ ^ASTIC W PROTONNOM SINHROTRONE, d R0sps d eV = (cos - cos s ). dt q s dt 2 (153)

iZ URAWNENIJ (149) I (151) NEPOSREDSTWENNO WIDNO, ^TO NA PLOSKOSTI PEREMENNYH (R0s p, ) IME@TSQ DWE OSOBYE TO^KI S KOORDINATAMI (0; ±s), W KOTORYH ^ASTICY NEPODWIVNY. w REALXNOM PROSTRANSTWE DANNYE ^ASTICY NAHODQTSQ W SINHRONIZME S USKORQ@]EJ WOLNOJ PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ, PRI^ЁM ODNA IZ "TIH OSOBYH TO^EK e OKAZYWAETSQ USTOJ^IWOJ, A DRUGAQ -- NEUSTOJ^IWOJ (OSOBOJ TO^KOJ TIPA `SEDLOґ . ~TOBY ` ґ) POKAZATX "TO, RASSMOTRIM MALYE FAZOWYE KOLE BANIQ ( = s + , || 1) I WYNESEM KO"FFICIENT PERED d/dt W (153), KOTORYJ NA BOLX[EJ ^ASTI USKORITELXNOGO CIKLA PROTONNOGO SINHROTRONA IZMENQETSQ MEDLENNO PO SRAWNENI@ S PERIODOM FAZOWYH KOLE BANIJ ^ASTIC, ZA ZNAK PROIZWODNOJ. w TAKOM SLU^AE URAWNENIE (153) PRINIMAET SLEDU@]IJ WID: d2 + sig n(s)2 = 0, 0 dt2 GLE WELI^INA 0 , RAWNAQ 0 = qeV s | sin s | , 2R0sps (155) (154)

NAZYWAETSQ ^ASTOTOJ MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ.

39

uSTOJ^IWOSTX PRODOLXNYH KOLE BANIJ ^ASTIC OBESPE^IWAETSQ, KAK "TO WIDNO IZ URAWNENIQ (154), PRI WYPOLNENII SLEDU@]EGO USLOWIQ: sin s > 0 (TAK, NAPRIMER, NIVE KRITI^ESKOJ "NERGII < 0 I NEOBHODIMO IMETX s < 0; POSLE PEREHODA PU^KA ^EREZ KRITI^ESKU@ "NERGI@ ZNAK s IZMENQETSQ NA PROTIWOPOLOVNYJ). pRI "TOM PERED WTORYM ^LENOM W URAWNENII (154) STOIT ZNAK PL@S, I, SLEDOWATELXNO, OBESPE^IWAETSQ USTOJ^IWOSTX MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ ^ASTIC WBLIZI = s . wBLIZI WTOROJ OSOBOJ TO^KI (PRI = -s ) FAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC OPISYWAETSQ TEM VE URAWNENIEM (154) PRI OTRICATELXNOM ZNAKE s. w POSLEDNEM SLU^AE RE[ENIQMI URAWNENIQ (154) QWLQ@TSQ GIPERBOLI^ESKIE FUNKCII, TAK ^TO RAWNOWESIE ^ASTICY W TO^KE (0, -s) OKAZYWAETSQ NEUSTOJ^IWYM. pRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC UDOBNO ANALIZIROWATX NA FAZOWOJ PLOSKOSTI W KOORDINATAH (p, ), QWLQ@]IHSQ KANONI^ESKI SOPRQVЁNNYMI PRI USKORENII ^ASTIC NA POSTOQNNOM e RADIUSE. iSSLEDUEM STACIONARNYJ SLU^AJ, KOGDA KO"FFICIENT PERED d/dt W URAWNENII (153) IZMENQETSQ NEZNA^ITELXNO ZA WREMQ T = 2/0 . wWEDЁM GAMILXTONIAN H, e H= q s 2 eV p - (sin - cos s), 2 ps 2R0s (156)

S POMO]X@ KOTOROGO URAWNENIQ DWIVENIQ (149) I (151) MOGUT BYTX ZAPISANY W KANONI^ESKOJ FORME d p H d H =- ; = . (157) dt dt p gAMILXTONIAN H NE ZAWISIT QWNO OT WREMENI I QWLQETSQ PO"TOMU INTEGRALOM DWIVENIQ, A LINII H = const NA PLOSKOSTI (p, ) DA@T FAZOWYE TRAEKTORII ^ASTIC.

rIS. 13. fAZOWYE TRAEKTORII ^ASTIC NA PLOSKOSTI (p, ).

40

nA RIS. 13 PREDSTAWLENY FAZOWYE TRAEKTORII ^ASTIC DLQ ODNOGO PERIODA USKORQ@]EGO POLQ PRI "NERGII PU^KA WY[E KRITI^ESKOJ ( > 0). wIDNO, ^TO TRAEKTORII ^ASTIC DELQTSQ NA ZAMKNUTYE (DWIVENIE USTOJ^IWO) I NEZAMKNUTYE (DWIVENIE ^ASTIC NEUSTOJ^IWO) LINIEJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU (0, -s). dANNAQ KRIWAQ NAZYWAETSQ SEPARATRISOJ, A ^ASTX FAZOWOJ PLOSKOSTI, OGRANI^ENNAQ E@, -- OBLASTX@ USTOJ^IWYH PRODOLXNYH KOLE BANIJ ^ASTIC. sTRELKI NA RIS. 13 POKAZYWA@T NAPRAWLENIE DWIVENIQ ^ASTIC OTNOSITELXNO REZONANSNOJ WOLNY PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ. wSE ^ASTICY, POPAW[IE WNUTRX SEPARATRISY, USKORQ@TSQ W SREDNEM, SOWER[AQ USTOJ^IWYE KOLE BANIQ OTNOSITELXNO RAWNOWESNOJ ^ASTICY. oDNOWREMENNO W USKORITELE SU]ESTWU@T q TAKIH OBLASTEJ USTOJ^IWOSTI, WRA]A@]IHSQ S ^ASTOTOJ s . uRAWNENIE SEPARATRISY (p)SE P POLU^AETSQ IZ FORMULY (156) PRI H = (eV /2R0s) (sin s - s cos s), (p)
SE P

=±

0 ps q s

2 [sin +sin s - ( + s )cos s ], sin s

(158)

I, SLEDOWATELXNO, MAKSIMALXNOE OTKLONENIE IMPULXSA ^ASTICY, DWIVU]EJSQ PO SEPARATRISE, OT SINHRONNOGO ZNA^ENIQ RAWNO 20 ps (p)SE P ,max = 1 - s cot s, (159) q | |s OTKUDA WIDNO, ^TO PRI PRO^IH ODINAKOWYH USLOWIQH NAIBOLX[IJ RAZBROS PO IMPULXSAM IMEET SEPARATRISA W REVIME CIRKULQCII SGRUPPIROWANNOGO PU^KA NA PLATO MAGNITNOGO POLQ (PRI cos s = 0), KOGDA "NERGIQ PU^KA OSTAЁTSQ NEIZMENNOJ. pRI cos s = 1 OBLASTX e USTOJ^IWYH FAZOWYH KOLE BANIJ STQGIWAETSQ W TO^KU (s cot s 1), TAK ^TO PROCESS USKORENIQ PU^KA STANOWITSQ NEWOZMOVNYM. wAVNOJ HARAKTERISTIKOJ SGUSTKOW ^ASTIC QWLQETSQ IH PRODOLXNYJ FAZOWYJ OBЁM S, KOTOe RYJ MOVNO OPREDELITX WYRAVENIEM S = (p/m0 c) d, GDE m0 -- MASSA POKOQ ^ASTICY; c -- SKOROSTX SWETA. pRI TAKOM OPREDELENII FAZOWYJ OBЁM S NE IMEET e RAZMERNOSTI I OBY^NO IZMERQETQ W MILLIRADIANAH. wY^ISLIM NAIBOLX[EE ZNA^ENIE FAZOWOGO OBЁMA e S = SSE P , OGRANI^IWAEMOGO SEPARATRISOJ, URAWNENIE KOTOROJ DAЁTSQ e FORMULOJ (158). w REZULXTATE POLU^IM eV , 2q m0c2 (160) rIS. 14. fUNKCIQ F (cos s ). GDE FUNKCIQ F IZMENQETSQ W PREDELAH OT NULQ DO EDINICY W ZAWISIMOSTI OT ZNA^ENIQ cos s I OPREDELENA SLEDU@]IM SOOTNO[ENIEM: S
SE P

= 16F (cos s )

41

1 F= sin +sin s - ( + s)cos s d. (161) 82 gRAFIK FUNKCII F PREDSTAWLEN NA RIS. 14. pRODOLXNYJ FAZOWYJ OBЁM SGUSTKOW ^ASTIC W SLU^AE MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ e DAЁTSQ PLO]ADX@ "LLIPSA S POLUOSQMI (p)max /m0 c I max (max -- FAZOWYJ POLURAZMER e SGUSTKA). pOLAGAQ H = (eV /2R0)(max cos s - sin max ), GDE max = s + max , I S^ITAQ max 1, POLU^AEM S POMO]X@ FORMULY (156) SWQZX MEVDU MAKSIMALXNYM RAZBROSOM ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE (p)max I max : (p)
max

=

0 ps max , q s

(162)

S U^ЁTOM KOTOROJ MOVNO ZAPISATX WYRAVENIE DLQ FAZOWOJ PLO]ADI S "TOGO "LLIPSA W e WIDE 0 ps S= 2 . (163) m0 cq | |s max w SILU TEOREMY lIUWILLQ PRODOLXNYJ FAZOWYJ OBЁM, ZANQTYJ ^ASTICAMI, WEDЁT e e SE BQ PODOBNO NESVIMAEMOJ VIDKOSTI, T.E. SOHRANQETSQ W PROCESSE USKORENIQ ^ASTIC. sTROGO GOWORQ, RE^X MOVET IDTI LI[X O SOHRANENII [ESTIMERNOGO FAZOWOGO OBЁMA, e ODNAKO W BOLX[INSTWE SLU^AEW PRODOLXNOE DWIVENIE MOVET RASSMATRIWATXSQ NEZAWISIMO OT POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC. pRI ADIABATI^ESKOM IZMENENII PARAMETROW FAZOWOGO URAWNENIQ (MEDLENNOM PO SRAWNENI@ S PERIODOM FAZOWYH KOLE BANIJ t = 2/0) FAZOWYJ OBЁM SGUSTKOW S QWLQETSQ INWARIANTOM I, SLEDOWATELXNO, max (| |/ )1/4 W SOOTWETSTWII e S FORMULOJ (163). w ^ASTNOSTI, PRI "NERGII PU^KA SU]ESTWENNO BOLX[E KRITI^ESKOJ , I DLINA SGUSTKOW ZATUHAET KAK KORENX ^ETWЁRTOJ STEPENI IZ IH "NERGII. e oTMETIM, ^TO OPREDELENIE FAZOWOGO OBЁMA S , DANNOE WY[E, MOVET OKAZATXSQ NEUDOBe NYM PRI PRODOLXNOM SOGLASOWANII SGUSTKOW ^ASTIC W SLU^AE PEREWODA PU^KA IZ ODNOGO USKORITELQ W DRUGOJ. dELO W TOM, ^TO DANNOE OPREDELENIE BAZIRUETSQ NA INTEGRIROWANII PO FAZE , SWQZANNOJ S PRODOLXNOJ KOORDINATOJ s SOOTNO[ENIEM: s = -(R0s/q ), TAK ^TO ODIN I TOT VE PRODOLXNYJ FAZOWYJ OBЁM IMEET, WOOB]E GOWORQ, RAZLI^NYE ^ISLENe NYE ZNA^ENIQ W RAZNYH USKORITELQH, TAK KAK SREDNIE RADIUSY I KRATNOSTI USKORENIQ W NIH OBY^NO NE SOWPADA@T. w TAKIH SLU^AQH UDOBNO ISPOLXZOWATX DRUGOE OPREDELENIE -- S = p(s) ds. pRI "TOM W KA^ESTWE EDINICY IZMERENIQ ISPOLXZUETSQ "w·S. 1.4.2. fAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII pRI PRIBLIVENII "NERGII PU^KA K KRITI^ESKOMU ZNA^ENI@ ( tr = -1/2 , 0) ^ASTOTA SINHROTRONNYH KOLE BANIJ 0 STREMITSQ K NUL@, I PO"TOMU IZMENENIE PARAMETROW FAZOWOGO DWIVENIQ W "TOM RAJONE PROISHODIT NEADIABATI^ESKI. pRODOLXNYJ FAZOWYJ OBЁM SGUSTKOW S PERESTAЁT BYTX ADIABATI^ESKIM INWARIANTOM NA RASSMATRIWAEMOM e e U^ASTKE USKORITELXNOGO CIKLA, ODNAKO TEOREMA lIUWILLQ, TEM NE MENEE, OSTAЁTSQ SPRAe WEDLIWOJ, TAK KAK FAZOWOE URAWNENIE, PO-PREVNEMU, MOVET BYTX ZAPISANO W KANONI^ESKOJ FORME. rASKLADYWAQ PARAMETR W RQD WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII 2 t , 3 tr (164)

42

GDE WREMQ t OTS^ITYWAETSQ OT MOMENTA PROHOVDENIQ PU^KOM KRITI^ESKOJ "NERGII, A TAKVE S^ITAQ FAZOWYE KOLE BANIQ ^ASTIC WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII MALYMI, ZAPI[EM SISTEMU URAWNENIJ (157) W QWNOM WIDE d(p) eV sin s ; =- dt 2R0s (165)

d 2q t p. (166) = 4 dt m0 tr R0s w MOMENT WREMENI t = 0 ZNAK KO"FFICIENTA PERED p W URAWNENII (166) MENQETSQ S OTRICATELXNOGO NA POLOVITELXNYJ. dLQ OBESPE^ENIQ USTOJ^IWOSTI FAZOWYH KOLE BANIJ ODNOWREMENNO S "TIM NEOBHODIMO SKA^KOOBRAZNO IZMENITX FAZU USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ NA WELI^INU 2|s|, TAK ^TOBY ZNAK sin s TAKVE IZMENILSQ NA OBRATNYJ. nA RIS. 15 W KA^ESTWE ILL@STRACII PRIWEDENY REZULXTATY ^ISLENNOGO RAS^ЁTA S POMO]X@ URAWNENIJ (165) I e (166) FAKTORA GRUPPIROWKI ^ASTIC PO FAZE B = max / (KRIWAQ 1) I MAKSIMUMA RAZBROSA ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE (p)max /m0 c (KRIWAQ 2), NORMI ROWANNYE NA s, DLQ PARAMETROW USKORITELQ ifw--: V | sin s| = 320 Kw; = -1 30 S ; tr = 9, 45; R0s = 236 M. w KA^ESTWE NA^ALXNYH USLOWIJ W MOMENT WREMENI t = -30 MS BRALSQ "LLIPS, OGRANI^IWA@]IJ FAZOWU@ PLO]ADX S , KOTORYJ FIKSIROWALSQ IZOBRAVA@]IMI TO^KAMI NA FAZOWOJ PLOSKOSTI. rEZULXTATY RAS^ЁTA SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO MOe MENTA WREMENI t = 0, PO"TOMU PO OSI ABSCISS OTLOVENA ABSOL@TNAQ WELI^INA rIS. 15. zAWISIMOSTX OT WREMENI RAZMEROW SGUSTKOW t. iZ RIS. 15, W ^ASTNOSTI, WIDNO, ^TO WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII. PRI "NERGII PU^KA, BLIZKOJ K KRITI^ESKOMU ZNA^ENI@, NARQDU S UMENX[ENIEM DLINY SGUSTKOW PROISHODIT DOWOLXNO REZKOE UWELI^ENIE RAZBROSA ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE. iZ SIMMETRII RE[ENIJ OTNOSITELXNO MOMENTA WREMENI t = 0, QWLQ@]EJSQ SLEDSTWIEM SIMMETRII SAMIH URAWNENIJ DWIVENIQ, SLEDUET, ^TO RASSOGLASOWANIE SGUSTKOW IMEET MESTO LI[X W NEPOSREDSTWENNOJ BLIZOSTI OT KRITI^ESKOJ "NERGII. w SAMOM DELE, ESLI SGUSTKI ^ASTIC BYLI SOGLASOWANY PRI < tr WPLOTX DO NEKOTOROGO MOMENTA WREMENI t = t0 , TO ZA KRITI^ESKOJ "NERGIEJ ONI OKAVUTSQ TAKVE SOGLASOWANNYMI W SILU SIMMETRII RE[ENIJ PRI t |t0 |. ~TOBY POLU^ITX ANALITI^ESKIE WYRAVENIQ DLQ FAZOWYH TRAEKTORIJ ^ASTIC WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII, PREOBRAZUEM SISTEMU URAWNENIJ (165), (166) W DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA, PREDWARITELXNO ZAMENIW NEZAWISIMU@ PEREMENNU@ t NA PEREMENNU@ = t/T0 , GDE PARAMETR T0 , HARAKTERIZU@]IJ DLITELXNOSTX NEADIABATI^ESKOGO U^ASTKA WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII, RAWEN T0 =
3

4 m0 tr R2s 0 . qeV | sin s|

(167)

43

w REZULXTATE IMEEM SLEDU@]EE URAWNENIE: d 1 d = ±, (168) d d GDE ZNAKI PL@S I MINUS OTNOSQTSQ SOOTWETSTWENNO K "NERGIQM PU^KA NIVE I WY[E KRITI^ESKOGO ZNA^ENIQ. uRAWNENIE (168) NE SODERVIT KONKRETNYH PARAMETROW USKORITELQ, SLEDOWATELXNO FAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII PROISHODIT ODINAKOWYM OBRAZOM W L@BOM PROTONNOM SINHROTRONE, RAZLI^EN TOLXKO MAS[TAB WREMENI T0 . nAKONEC, SDELAW E]Ё ODNU, POSLEDN@@, ZAMENU PEREMENNYH: = y , z = (2/3)| |3/2, e MOVNO PEREJTI OT URAWNENIQ (168) K URAWNENI@ bESSELQ PORQDKA 2/3 OTNOSITELXNO FUNKCII y (z ), TAK ^TO OB]EE RE[ENIE DLQ FAZY DOLVNO IMETX SLEDU@]IJ WID: = [C1 J2/3 (z )+ C2 J-
2 /3

(z )],

(169)

GDE C1 I C2 -- PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE, OPREDELQEMYE IZ NA^ALXNYH USLOWIJ; J±2/3 -- FUNKCII bESSELQ. iZ URAWNENIQ (169) S U^ЁTOM (165), A TAKVE REKURRENTNYH SOOTNO[ENIJ e DLQ FUNKCIJ bESSELQ MOVNO WYRAZITX p ^EREZ FUNKCII bESSELQ PORQDKA ±1/3 p = eV | sin s |T 2R0s
0

| |

[C1 J-

1 /3

(z ) - C2 J1/3 (z )].

(170)

wY^ISLIM WELI^INU RAZBROSA ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE (p)max (0) PRI = tr . wOSPOLXZOWAW[ISX ASIMPTOTIKOJ FUNKCIJ bESSELQ (PRI z 0), IMEEM IZ (170) 3 3eV | sin s|T0 (p)max (0) = C1 , (171) 2R0s(2/3) GDE -- GAMMA-FUNKCIQ. wYRAVAQ DALEE ZNA^ENIE (p)max W ADIABATI^ESKOM RAJONE (|t| T0 ) ^EREZ FAZOWYJ OBЁM SGUSTKOW S S POMO]X@ FORMUL (162) I (163), e (p)
max

=

m0 cps0 S , q s

(172)

I PRIRAWNIWAQ ZATEM SOOTNO[ENIQ (170) I (172), POLU^AEM S U^ЁTOM RAZLOVENIQ (164) I e ASIMPTOTIKI FUNKCIJ bESSELQ PRI BOLX[IH ZNA^ENIQH ARGUMENTA C1 = 2S q c T0 . 4 tr R0s (173)

pODSTAWLQQ POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ C1 W FORMULU (171), IMEEM OKON^ATELXNO 3 3 SR0s (p)max (0) . T0 (2/3) 2q c

(174)

s RAZBROSOM ^ASTIC PO IMPULXSAM (p)max (0) SWQZANA ^ASTX RADIALXNOJ APERTURY WAKUUMNOJ KAMERY, NEOBHODIMOJ DLQ PRODOLXNOGO DWIVENIQ ^ASTIC. pO"TOMU EGO WELI^INA NE DOLVNA WYHODITX ZA DOPUSTIMYE PREDELY. rEALXNYJ IMPULXSNYJ RAZBROS PU^KA PRI KRITI^ESKOJ "NERGII OBY^NO PREWY[AET WELI^INU, DAWAEMU@ FORMULOJ (174). --TO SWQZANO S WOZMU]ENIQMI PARAMETROW USKORITELQ, A TAKVE S "FFEKTAMI PROSTRANSTWENNOGO ZARQDA PU^KA. pOSLEDNIE RASSMATRIWA@TSQ WO WTOROJ ^ASTI NASTOQ]EJ RABOTY. 44

1.4.3. fAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC PRI NALI^II WOZMU]ENIJ PARAMETROW USKORITELQ pRI NALI^II WOZMU]ENIJ WEDU]EGO MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ, A TAKVE ^ASTOTY I AMPLITUDY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ W URAWNENII FAZOWYH KOLE BANIJ POQWLQETSQ WOZMU]A@]AQ SILA. wOZMU]ENIE AMPLITUDY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ V WYZYWAET WOZMU]ENIE SINHRONNOJ FAZY s, PRI^ЁM TAK KAK SKOROSTX IZMENENIQ MAGNITNOGO POLQ I e SREDNIJ RADIUS R0s W PROTONNOM SINHROTRONE MOVNO S^ITATX PRIMERNO POSTOQNNYMI NA BOLX[EJ ^ASTI USKORITELXNOGO CIKLA, TO V cos s const I SU]ESTWUET SLEDU@]AQ SWQZX MEVDU NIMI: s = (V/V )cot s . Ї o[IBKI RADIO^ASTOTY RF I MAGNITNOGO POLQ H PRIWODQT K IZMENENIQM ^ASTOT OBRA]ENIQ ^ASTIC , PO"TOMU RAZNOSTX ^ASTOT, OPREDELQ@]AQ SKOROSTX IZMENENIQ FAZY , DOLVNA BYTX DOPOLNENA SOOTWETSTWU@]IMI WOZMU]ENIQMI: RF - q RF - q + RF - q . tAK KAK = v/R0 (v -- SKOROSTX ^ASTICY), MOVNO OTS@DA POLU^ITX ЇЇ s H/H . pRI POLU^ENII POSLEDNEGO SOOTNO[ENIQ U^TENO, ^TO PO WOZDEJSTWI@ ЇЇ NA ORBITU ^ASTICY O[IBKA W MAGNITNOM POLE USKORITELQ, RAWNAQ H/H , "KWIWALENTNA ЇЇ OTNOSITELXNOMU IZMENENI@ IMPULXSA ^ASTICY NA WELI^INU p/ps = -H/H , ^TO SLEDUET Ї 0 . sLEDOWATELXNO, URAWNENIE MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ (154) IZ SOOTNO[ENIQ ps c = eHR IMEET PRI NALI^II WOZMU]ENIJ PARAMETROW USKORITELQ SLEDU@]IJ WID: d2 + dt2
2 0

1+

V V

= 2 cot 0

s

Ї V H d RF - RF Ї + H V dt

= F (t).

(176)

oTMETIM, ^TO ^LEN W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ, PROPORCIONALXNYJ OTKLONENI@ AMPLITUDY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ OT NOMINALA V/V , OTWETSTWENEN ZA PARAMETRI^ESKIJ REZONANS FAZOWYH KOLE BANIJ, IME@]IJ MESTO W SLU^AE, KOGDA AMPLITUDA USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ IZMENQETSQ S ^ASTOTOJ, RAWNOJ UDWOENNOJ ^ASTOTE SINHROTRONNYH KOLE BANIJ. ~LENY W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (176) PREDSTAWLQ@T OSNOWNU@ OPASNOSTX PRI NALI^II WOZMU]ENIJ PARAMETROW USKORITELQ S ^ASTOTOJ SINHROTRONNYH KOLE BANIJ 0 . wOZMU]ENIQ PARAMETROW, WOZDEJSTWU@]IH NA PRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC W USKORITELE, MOGUT BYTX KAK MEDLENNYMI, TAK I BYSTRYMI PO SRAWNENI@ S PERIODOM SINHROTRONNYH KOLE BANIJ T = 2/0 , A TAKVE REZONANSNYMI, PRI^ЁM W OTLI^IE OT POPERE^NYH e KOLE BANIJ SINHROTRONNAQ ^ASTOTA 0 PRI USKORENII PU^KA, KAK PRAWILO, NEPRERYWNO IZMENQETSQ, PO"TOMU NAIBOLX[IJ INTERES PREDSTAWLQET PROHOVDENIE ^ASTIC ^EREZ REZONANS. oTMETIM TAKVE, ^TO SINHROTRONNYE KOLE BANIQ ^ASTIC W BOLX[INSTWE SLU^AEW NELINEJNY, SLEDOWATELXNO ISPOLXZOWANIE URAWNENIQ MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ PRI ANALIZE WLIQNIQ WOZMU]ENIJ DAЁT OCENKU PO MAKSIMUMU. e mEDLENNYE PO SRAWNENI@ S ^ASTOTOJ 0 WOZMU]ENIQ PARAMETROW USKORITELQ PRIWODQT K IZMENENI@ ZNA^ENIJ SINHRONNOJ FAZY s I RAWNOWESNOGO IMPULXSA ps. pRI "TOM SGUSTKI ^ASTIC SME]A@TSQ KAK PO RADIUSU, TAK I PO FAZE OTNOSITELXNO USKORQ@]EGO POLQ, OSTAWAQSX SOGLASOWANNYMI SO SWOIMI FAZOWYMI TRAEKTORIQMI. iZ URAWNENIQ (176) POLU^A@TSQ SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ DLQ IZMENENIJ SINHRONNOJ FAZY s I RAWNOWESNOGO IMPULXSA ps : V 1d RF Ї s RF - Ї H ; (177) cot s + 2 V 0 dt H ps 1 = ps Ї H RF Ї- RF H . (178)

45

uSKORENIE ^ASTIC NA POSTOQNNOM RADIUSE OBESPE^IWAETSQ SISTEMOJ AWTOMATI^ESKOJ PODSTROJKI ^ASTOTY USKORQ@]EGO POLQ W ZAWISIMOSTI OT POLOVENIQ PU^KA W USKORITELE, PRI^ЁM UPRAWLENIE ^ASTOTOJ RF OSU]ESTWLQETSQ S POMO]X@ DWUH SIGNALOW, PROPORCIOe NALXNYH O[IBKAM W POLOVENII PU^KA PO RADIUSU I PO FAZE. pRI NEOBHODIMOSTI IZMENITX W PROCESSE USKORENIQ PU^KA WELI^INU RAWNOWESNOGO RADIUSA R0s, OSU]ESTWLQETSQ MEDLENNOE PO SRAWNENI@ S SINHROTRONNOJ ^ASTOTOJ IZMENENIE OPORNOGO SIGNALA W RADIALXNOM DAT^IKE SISTEMY AWTOPODSTROJKI ^ASTOTY USKORQ@]EGO POLQ. w DRUGOM KRAJNEM SLU^AE, KOGDA IZMENENIE PARAMETROW USKORITELQ PROISHODIT BYSTRO PO SRAWNENI@ S PERIODOM FAZOWYH KOLE BANIJ, WOZBUVDA@TSQ KOGERENTNYE KOLE BANIQ SGUSTKOW ^ASTIC. nAIMENEE INERCIONNYM PARAMETROM QWLQETSQ RADIO^ASTOTA RF , KOTORAQ MOVET IZMENQTXSQ SKA^KOM, WOZBUVDAQ KOLE BANIQ CENTROW TQVESTI SGUSTKOW S MAKSIMALXNYMI OTKLONENIQMI PO IMPULXSU pc I PO FAZE c RAWNYMI pc RF =- ; ps RF c = RF RF pc = - . ps 0 0 (179)

(180)

oTS@DA WIDNO, ^TO DOPUSK NA BYSTRYE OTKLONENIQ RADIO^ASTOTY OT IDEALXNOGO ZAKONA DOLVEN BYTX VЁSTKIM W OSOBENNOSTI WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII, GDE ^ASTOTA SINHROe TRONNYH KOLE BANIJ 0 I PARAMETR STREMQTSQ K NUL@. eSLI WOZMU]ENIE F IZMENQETSQ GARMONI^ESKIM OBRAZOM S NEKOTOROJ ^ASTOTOJ = 0 , A SINHROTRONNAQ ^ASTOTA = (t) QWLQETSQ FUNKCIEJ WREMENI, TO W TAKOM SLU^AE MOVET IMETX MESTO PROHOVDENIE ^ASTIC ^EREZ REZONANS W MOMENT WREMENI, KOGDA = 0 . rE[ENIE ODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA, OPISYWA@]EGO MALYE FAZOWYE KOLE BANIQ W OTSUTSTWIE WOZMU]ENIJ PRI MEDLENNOM (ADIABATI^ESKOM) IZMENENII "FFEKTIWNOJ MASSY SINHROTRONNOGO DWIVENIQ M = m0 / , IMEET SLEDU@]IJ WID: = a(t)exp(i (t) dt)+ K.S.; = ia(t)(t)exp(i (t) dt)+ K.S.

pRI NALI^II VE WOZMU]ENIQ F = F0 sin(0 t+0 ) URAWNENIe FAZOWYH KOLE BANIJ STANOWITSQ NEODNORODNYM, 1 d(M ) (181) +2 = F0 sin(0 t + 0 ), M dt GDE 0 -- NA^ALXNOE ZNA^ENIE FAZY WOZMU]ENIQ. rE[ENIE URAWNENIQ (181) I]ETSQ W WIDE, PODOBNOM PRIWEDENNOMU WY[E DLQ SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ. w "TIH RE[ENIQH KOMPLEKSNYE AMPLITUDY a(t) UDOBNO ZAMENITX PROIZWEDENIQMI a(t)C (t), PRI^ЁM MEDLENNO IZMENQ@]IESQ AMPLITUDY a(t) I a (t) BUDEM S^ITATX KWAZIPOSTOQNNYMI. e wARXIRUQ PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE C I C , POLU^AEM DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO C , dC F0 (182) = sin(0 t + 0 )exp(-i dt), dt 2ia(t)(t) GDE a(t) -- AMPLITUDA SINHROTRONNYH KOLE BANIJ W OTSUTSTWIE REZONANSA. ~TOBY PROINTEGRIROWATX URAWNENIE (182), RAZLOVIM ^ASTOTU W POKAZATELE "KSPONENTY W RQD = 0 + 0 + ..., GDE = 0 SOOTWETSTWUET MOMENTU PROHOVDENIQ REZONANSA. oTBRASYWAQ 46

W (182), KROME "TOGO, NEREZONANSNYJ ^LEN, KOLE BL@]IJSQ S UDWOENNOJ ^ASTOTOJ, POLU^AEM a = a(t)(C - 1) = -a(t) F0 exp(-i0 2 /2+ i0 ) d . 4a( )( ) (183)

pRENE BREGAQ IZMENENIEM WELI^IN 0 , a(t) I (t) ZA WREMQ PROHOVDENIQ REZONANSA, NAJDЁM e OTS@DA PRIRA]ENIE AMPLITUDY KOLE BANIJ WDALI OT REZONANSA (PRI t ): a -a(t) F0 4a0 2 exp(i0 ± i /4), | 0 | (184)

0

GDE ZNAK PERED i /4 W POKAZATELE "KSPONENTY WYBIRAETSQ W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA PROIZWODNOJ d/dt W MOMENT PROHOVDENIQ REZONANSA. nA PRAKTIKE ZA^ASTU@ PROISHODIT MNOGOKRATNOE PROHOVDENIE ^ASTICAMI SINHROTRONNYH REZONANSOW. tAKOJ SLU^AJ, NAPRIMER, IMEET MESTO, ESLI REZONANSY WOZBUVDA@TSQ GARMONIKAMI SETEWOGO PITA@]EGO NAPRQVENIQ, AMPLITUDY KOTORYH PRIMERNO POSTOQNNY W DIAPAZONE IZMENENIQ SINHROTRONNOJ ^ASTOTY. pREDPOLOVIM, ^TO ^ASTICY RASPREDELENY PO FAZE SINHROTRONNYH KOLE BANIJ 0 PRIMERNO RAWNOMERNO. w TAKOM SLU^AE NETRUDNO RASS^ITATX SREDNIJ I SREDNEKWDRATI^ESKIJ PRIROSTY AMPLITUDY SINHROTRONNYH KOLEBANIJ A ZA ODNO PROHOVDENIE REZONANSA. iSHODQ IZ WYRAVENIQ A = 2|a| I S^ITAQ OTNOSITELXNYE PRIRA]ENIQ KOMPLEKSNYH AMPLITUD MALYMI PO SRAWNENI@ S EDINICEJ, A TAKVE U^ITYWAQ SLEDU@]IE O^EWIDNYE SOOTNO[ENIQ: a = a = 0 I (a)2 = (a)2 = 0, GDE ^ERTA OZNA^AET USREDNENIE PO FAZE 0 , POLU^IM (S TO^NOSTX@ DO KWADRATI^NYH ^LENOW) IZWESTNYE IZ TEORII WEROQTNOSTEJ FORMULY A |a|2 A = ; (A)2 = 2AA. (185) 4 |a|2 s U^ЁTOM SOOTNO[ENIQ (184) IMEEM OTS@DA e A = A(t)
2 F0 . 82 A2 |0 | 00

(186)

tAK KAK PRI MNOGOKRATNOM PROHOVDENII ^ASTIC ^EREZ SINHROTRONNYE REZONANSY PRIRA]ENIQ AMPLITUDY A STATISTI^ESKI NEZAWISIMY (FAZA 0 QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ PRI KAVDOM POSLEDU@]EM PROHOVDENII REZONANSA), TO SREDNQQ AMPLITUDA SINHROTRONNYH KOLE BANIJ DOLVNA MONOTONNO WOZRASTATX S UWELI^ENIEM ^ISLA PROHOVDENIJ REZONANSOW.

47

Ё 2. dwivenie ~astic s u~Etom prostranstwennogo zarqda i toka pu~ka

2.1. kulonowskie sdwigi betatronnyh ~astot dO SIH POR NEQWNO PREDPOLAGALOSX, ^TO INTENSIWNOSTX USKORQEMOGO PU^KA PRENE BREVIMO MALA, I, SLEDOWATELXNO, EGO SOBSTWENNOE "LEKTROMAGNITNOE POLE NE OKAZYWAET SU]ESTWENNOGO WLIQNIQ NA DWIVENIE ^ASTIC W USKORITELE. oDNAKO INTENSIWNOSTX SOWREMENNYH KOLXCEWYH USKORITELEJ PROTONOW KAK RAZ I OGRANI^IWAETSQ W OSNOWNOM "FFEKTAMI PROSTRANSTWENNOGO ZARQDA PU^KA, PO"TOMU WTORAQ ^ASTX NASTOQ]EGO KURSA POSWQ]ENA DINAMIKE INTENSIWNOGO PU^KA PROTONOW. --FFEKTY PROSTRANSTWENNOGO ZARQDA PU^KA DELQTSQ NA POPERE^NYE I PRODOLXNYE, KOTORYE, W SWO@ O^EREDX, PODRAZDELQ@TSQ NA NEKOGERENTNYE I KOGERENTNYE. nEKOGERENTNYE "FFEKTY PRIWODQT K IZMENENI@ HARAKTERISTIK DWIVENIQ OTDELXNYH ^ASTIC, TAKIH, KAK ^ASTOTA I AMPLITUDA KOLE BANIJ. pRI "TOM RASPREDELENIE ^ASTIC W PROCESSE USKORENIQ PU^KA OSTAЁTSQ SAMOSOGLASOWANNYM I KOGERENTNYE KOLE BANIQ PU^KA NE WOZNIKA@T. nAPROe TIW, KOGERENTNYE "FFEKTY QWLQ@TSQ HARAKTERISTIKAMI PU^KA KAK CELOGO. tAK, NAPRIMER, PRI POPERE^NOM DWIVENII ^ASTIC WOZNIKAET KOGERENTNYJ SDWIG BETATRONNOJ ^ASTOTY, OBUSLOWLENNYJ SME]ENIEM ZAMKNUTOJ ORBITY PU^KA OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. w REALXNYH PU^KAH KULONOWSKIE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT OTDELXNYH ^ASTIC ZAWISQT KAK OT BETATRONNOJ AMPLITUDY, TAK I OT PRODOLXNOGO POLOVENIQ ^ASTICY W SGUSTKE. wSLEDSTWIE "TOGO SILY PROSTRANSTWENNOGO ZARQDA PRIWODQT K RAZBROSU BETATRONNYH ^ASTOT, PO"TOMU PU^OK MOVET ZANIMATX ZAMETNU@ OBLASTX W RABO^EJ KLETKE USKORITELQ, USUGUBLQQ TAKIM OBRAZOM DEJSTWIE BETATRONNYH REZONANSOW. 2.1.1. nEKOGERENTNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT rASSMOTRIM SNA^ALA PU^OK ^ASTIC W SWOBODNOM PROSTRANSTWE. tAK KAK SILY, DEJSTWU@]IE W POPERE^NOM NAPRAWLENII I OBUSLOWLENNYE EGO SOBSTWENNYMI "LEKTRI^ESKIM I MAGNITNYM POLQMI, IME@T PROTIWOPOLOVNYE ZNAKI, ONI ^ASTI^NO KOMPENSIRU@T DRUG DRUGA, PRI^ЁM PRI SKOROSTI PU^KA, RAWNOJ SKOROSTI SWETA, REZULXTIRU@]AQ POPERE^NAQ e SILA, SWQZANNAQ S SOBSTWENNYM "LEKTROMAGNITNYM POLEM PU^KA, STANOWITSQ RAWNOJ NUL@. nA^NЁM S PROSTEJ[EGO SLU^AQ -- RASSMOTRIM KRUGLYJ PU^OK RADIUSA a, RAWNOMERNO e RASPREDELЁNNYJ WDOLX AZIMUTA USKORITELQ (SM. RIS. 16). s^ITAQ PLOTNOSTX ZARQDA W e POPERE^NOM SE^ENII PU^KA POSTOQNNOJ I PRIMENQQ K "LEMENTU PU^KA DLINOJ ds, SODERe VA]EMU ZARQD dq , TEOREMU oSTROGRADSKOGO-gAUSSA, NAJDЁM RADIALXNU@ KOMPONENTU Er SOBSTWENNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ PU^KA 2 0 Er = 2 r, (1) a GDE 0 = dq /ds -- LINEJNAQ PLOTNOSTX ZARQDA. dALEE IZ TEOREMY sTOKSA SLEDUET, ^TO KOMPONENTA MAGNITNOGO POLQ H SWQZANA S Er SOOTNO[ENIEM: H = Er , GDE = v/c. w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT (SM. RIS. 1) Ex = Er cos , Hz = Ex , TAK ^TO Ex - Hz = Ex/ 2 = Er / 2 , TAK KAK = 0 (ANALOGI^NO, SILA, OBUSLOWLENNAQ PROSTRANSTWENNYM ZARQDOM PU^KA I WOZDEJSTWU@]AQ NA ^ASTICY W

48

WERTIKALXNOM NAPRAWLENII, TAKVE Er / 2 ). pO"TOMU URAWNENIE POPERE^NYH KOLE BANIJ (W GLADKOM PRIBLIVENII, u = x, z ) MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE u+ Q R
2 0 0

u=

2e0 u, m0 c2 2 3a2

(2)

OTKUDA SLEDUET, ^TO REZULXTIRU@]AQ ^ASTOTA Q BETATRONNYH KOLE BANIJ RAWNA Q Q0 + Qinc, GDE ^EREZ Qinc OBOZNA^EN NEKOGERENTNYJ KULONOWSKIJ SDWIG BETATRONNOJ ^ASTOTY, RAWNYJ (S U^ЁTOM SOOTNO[ENIQ 0 = Ne/2R0 DLQ ODNORODNOGO PU^KA, GDE N -- e ^ISLO ^ASTIC W USKORITELE) r0 NR0 Qinc = - . (3) 2Q0 2 3 a2 w (3) r0 = e2 /m0 c2 = 1, 54 · 10
-16

SM -- KLASSI^ESKIJ RADIUS PROTONA.

rIS. 16. k WY^ISLENI@ "LEKTROMAGNITNOGO POLQ PU^KA.

pRI NALI^II WNE[NEGO USKORQ@]EGO POLQ PU^OK SOSTOIT IZ SGUSTKOW, W KOTORYH ^ASTICY KOLE BL@TSQ OTNOSITELXNO SWOIH RAWNOWESNYH FAZ. lINEJNAQ PLOTNOSTX ZARQDA ZAWISIT W TAKOM SLU^AE OT PRODOLXNOJ KOORDINATY ^ASTICY, PO"TOMU WELI^INA NEKOGERENTNOGO KULONOWSKOGO SDWIGA BETATRONNOJ ^ASTOTY U KAVDOJ KONKRETNOJ ^ASTICY KOLE BLETSQ S TE^ENIEM WREMENI, PRI^ЁM AMPLITUDA "TIH KOLE BANIJ DOWOLXNO BYSTRO ZATUHAET S ROSTOM e "NERGII PU^KA. pREDPOLOVIM, ^TO W USKORITELE IMEETSQ q ODINAKOWYH SGUSTKOW ^ASTIC (ZDESX q -- KRATNOSTX USKORENIQ), KAVDYJ DLINOJ 2smax . wELI^INA B = 2smax /L NAZYWAETSQ FAKTOROM PRODOLXNOJ GRUPPIROWKI ^ASTIC (L = 2R0 /q ). w SGRUPPIROWANNOM PU^KE PROTONOW TOK PU^KA QWLQETSQ FUNKCIEJ PRODOLXNOJ KOORDINATY s. zAWISIMOSTX NEKOGERENTNOGO KULONOWSKOGO SDWIGA OT PRODOLXNOJ KOORDINATY ^ASTICY MOVNO W TAKOM SLU^AE U^ESTX, 49

ESLI WWESTI W PRAWU@ ^ASTX FORMULY (3) MNOVITELX G = /0, PREDSTAWLQ@]IJ SOBOJ OTNO[ENIE LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA W MESTE RASPOLOVENIQ RASSMATRIWAEMOJ ^ASTICY W SGUSTKE K EЁ SREDNEMU ZNA^ENI@ 0 . oSNOWANIEM DLQ TAKOGO PODHODA SLUVIT TOT FAKT, e ^TO SOBSTWENNOE POLE REALXNOGO PU^KA W PROTONNOM SINHROTRONE "KRANIRUETSQ HORO[O PROWODQ]EJ UZKOJ WAKUUMNOJ KAMEROJ NA RASSTOQNIQH b/ (b -- HARAKTERNYJ POPERE^NYJ RAZMER KAMERY), A HARAKTERNAQ DLINA s, NA KOTOROJ ZAMETNO MENQETSQ LINEJNAQ PLOTNOSTX ZARQDA , OBY^NO ZNA^ITELXNO PREWY[AET "TO RASSTOQNIE. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM SGUSTOK ^ASTIC S LINEJNOJ PLOTNOSTX@ ZARQDA , IZMENQ@]EJSQ W ZAWISIMOSTI OT PRODOLXNOJ KOORDINATY s (|s| smax ) PO PARABOLI^ESKOMU ZAKONU: 2 3Ne s = 1- . (4) 4qsmax smax u^ITYWAQ, ^TO ZAWISIMOSTX PRODOLXNOJ KOORDINATY ^ASTICY s OT WREMENI W PRIBLIVENII MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ DAЁTSQ FORMULOJ s = s0 cos 0 t, GDE s0 I 0 -- SOOTWETSTWENNO e AMPLITUDA I ^ASTOTA FAZOWYH KOLE BANIJ, A TAKVE FORMULU (4), ZAPI[EM MNOVITELX G W WIDE 3 s0 2 G= 1- cos2 0 t , (5) 2B smax OTKUDA WIDNO, ^TO DLQ ^ASTICY S MAKSIMALXNOJ AMPLITUDOJ FAZOWYH KOLE BANIJ (s0 = smax ) MNOVITELX G KOLE BLETSQ W PREDELAH 0 G 3/2B ; DLQ ^ASTICY S POLOWINNOJ AMPLITUDOJ (s0 = smax /2) -- 9/8B G 3/2B . sLEDOWATELXNO, S U^ЁTOM FORMULY (3) I e MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ MNOVITELQ G, RAWNOGO 3/2B , POLU^AETSQ SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ NEKOGERENTNOGO KULONOWSKOGO SDWIGA BETATRONNOJ ^ASTOTY W SGRUPPIROWANNOM PU^KE PROTONOW: 3r0 NR0 |Qinc|max = . (6) 4B Q0 2 3a2 eSLI RASSMOTRETX DRUGIE REALISTI^ESKIE RASPREDELENIQ ^ASTIC W SGUSTKAH, TO SOOTWETSTWU@]IE FORMULY DLQ |Qinc|max BUDUT OTLI^ATXSQ OT (6) LI[X POSTOQNNYM MNOVITELEM, RAWNYM PO PORQDKU WELI^INY EDINICE. tAK, NAPRIMER, DLQ RASPREDELENIQ (s) cos(s/2smax ), WOZMOVNO NESKOLXKO LU^[E PRIBLIVA@]EGO ZAWISIMOSTX LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA OT PRODOLXNOJ KOORDINATY W REALXNYH SGUSTKAH ^ASTIC, "TOT MNOVITELX RAWEN 3/2. dOPUSTIMYE WELI^INY NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT OBY^NO OPREDELQ@TSQ RASSTOQNIEM DO BLIVAJ[EGO PARAMETRI^ESKOGO BETATRONNOGO REZONANSA. pOLAGAQ W FORMULE (6) |Qinc|max 0, 25, NAJDЁM PREDELXNOE ^ISLO ^ASTIC W USKORITELE e Nmax PO KULONOWSKOMU RASTALKIWANI@ W POPERE^NOM NAPRAWLENII: N
max

BQ0 2 3a2 . r0 R0

(7)

nA PRAKTIKE MOGUT PREDSTAWLQTX OPASNOSTX I REZONANSY TRETXEGO PORQDKA, ESLI ONI MNOGOKRATNO PERESEKA@TSQ IZ-ZA NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT, ^TO MOVET IMETX MESTO W REVIME NAKOPLENIQ SGUSTKOW ^ASTIC W USKORITELE, A TAKVE NA NA^ALXNOM "TAPE USKORITELXNOGO CIKLA. pO"TOMU PRI NEOBHODIMOSTI PODOBNYE REZONANSY DOLVNY KORREKTIROWATXSQ. pOSMOTRIM TEPERX, KAK WLIQET NA WELI^INY NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT HARAKTER RASPREDELENIQ ^ASTIC W POPERE^NOM SE^ENII PU^KA. wY[E BYL 50

RASSMOTREN ODIN IZ WOZMOVNYH WARIANTOW -- POSTOQNNOE RASPREDELENIE, DLQ KOTOROGO PLOTNOSTX ^ASTIC NE ZAWISIT NI OT RADIUSA, NI OT UGLOWOJ KOORDINATY. wOZXMЁM, DLQ e SRAWNENIQ, RASPREDELENIE f = (2/ a2)(1 - r 2 /a2 ), SPADA@]EE OT CENTRA K KRA@ PU^KA PO PARABOLI^ESKOMU ZAKONU. wYREVEM IZ PU^KA SOOSNYJ CILINDR RADIUSA r I DLINOJ ds I PRIMENIM K NEMU TEOREMU oSTROGRADSKOGO-gAUSSA. w REZULXTATE POLU^IM SLEDU@]U@ FORMULU DLQ RADIALXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ Er WNUTRI SGUSTKA ^ASTIC: Er = 4 r3 r- 2 . 2 a 2a (8)

sRAWNIWAQ POSLEDNEE WYRAVENIE S FORMULOJ (1), DA@]EJ POLE Er (r ) DLQ SLU^AQ f = const, NETRUDNO WIDETX, ^TO PRI PARABOLI^ESKOM RASPREDELENII ^ASTICY S MALYMI AMPLITUDAMI KOLE BANIJ (r a) ISPYTYWA@T WOZDEJSTWIE W DWA RAZA BOLX[EGO POLQ (PRI ODINAKOWYH PARAMETRAH PU^KA), A NA KRA@ PU^KA (PRI r = a) POLQ SOWPADA@T. sLEDOWATELXNO, PRI RAS^ЁTE MAKSIMALXNYH WELI^IN KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT e NEOBHODIMO NESKOLXKO IZMENITX OPREDELENIE MNOVITELQ G, WWEDЁNNOGO RANEE, POLOVIW e G = /0 , GDE KO"FFICIENT ZAWISIT OT WIDA RASPREDELENIQ f (TAK, NAPRIMER, = 2 W SLU^AE PARABOLI^ESKOGO RASPREDELENIQ f ). oBOB]IM FORMULU (3) NA SLU^AJ PU^KA "LLIPTI^ESKOGO SE^ENIQ S RAZMERAMI POLUOSEJ ax I az . s^ITAQ PLOTNOSTX ^ASTIC W POPERE^NOM SE^ENII PU^KA POSTOQNNOJ, MOVNO POLU^ITX DLQ POLQ Ex FORMULU, PODOBNU@ FORMULE (1), 4x Ex = . (9) ax (ax + az ) fORMULU DLQ NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT POLU^IM, ISHODQ IZ URAWNENIJ DWIVENIQ. pRI NALI^II VЁSTKOJ FOKUSIROWKI ^ASTIC W POPERE^NOM e NAPRAWLENII URAWNENIE DWIVENIQ WDOLX OSI x IMEET WID 4ex x + gx x = . (10) ax (ax + az )m0 c2 2 3 aNALOGI^NOE WYRAVENIE (S ZAMENOJ x NA z ) POLU^AETSQ DLQ WERTIKALXNOGO NAPRAWLENIQ. wOSPOLXZOWAW[ISX DALEE FORMULOJ (1.80) (ZDESX I NIVE CIFRA 1 PERED FORMULOJ OZNA^AET, ^TO SSYLKA DELAETSQ NA FORMULU PERWOJ ^ASTI NASTOQ]EGO KURSA LEKCIJ) I WWODQ TAKVE MNOVITELX G = /0 DLQ U^ЁTA WLIQNIQ WIDA FUNKCII RASPREDELENIQ f W POPERE^NOM e SE^ENII PU^KA I PRODOLXNOJ GRUPPIROWKI ^ASTIC W PU^KE, IMEEM DLQ NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT SLEDU@]EE SOOTNO[ENIE: r0 NG x,z (Qx,z )inc = - 2 3 < >. (11) ax,z (ax + az ) w FORMULE (11) UDOBNO ZAMENITX POLUOSI "LLIPSA ax,z , ZAWISQ]IE ^EREZ FUNKCII fLOKE OT AZIMUTA USKORITELQ, "MITTANSAMI PU^KA x,z = a2 /x,z . w TAKOM SLU^AE USREDNENI@ x,z PO PERIODU STRUKTURY PODLEVAT WYRAVENIQ WIDA (z,x/x,z )1/2 , DA@]IE EDINICU POSLE IH USREDNENIQ, PO"TOMU IMEEM: 1 r0 NG (Qx,z )inc = - 2 3 . (12) x,z + x z mY POLU^ILI, TAKIM OBRAZOM, FORMULY DLQ NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT W IDEALIZIROWANNOM SLU^AE, KOGDA PU^OK ^ASTIC DWIVETSQ W SWOBODNOM 51

PROSTANSTWE. w REALXNOM USKORITELE SOBSTWENNYE POLQ, SOZDAWAEMYE ^ASTICAMI PU^KA, ISKAVA@TSQ IZ-ZA WZAIMODEJSTWIQ PU^KA S OKRUVA@]IM EGO OBORUDOWANIEM USKORITELQ. nEOBHODIMO PO"TOMU WYQSNITX, KAK IZMENQTSQ POLU^ENNYE FORMULY PRI U^ЁTE GRANI^e NYH USLOWIJ. pRI NALI^II GLADKOJ I IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMERY GRANI^NYE USLOWIQ DLQ POLEJ PU^KA MOGUT BYTX UDOWLETWORENY, ESLI WWESTI TOKI I ZARQDY IZOBRAVENIJ. tAK KAK "LEKTRI^ESKIE I MAGNITNYE POLQ IME@T RAZLI^NYE GRANI^NYE USLOWIQ, TO IH WZAIMOOSLABLENIE NARU[AETSQ. sILY, WOZNIKA@]IE IZ-ZA ZARQDOW I TOKOW IZOBRAVENIJ, UVE NE SPADA@T S ROSTOM "NERGII OBRATNO PROPORCIONALXNO 2 I MOGUT DAWATX OSNOWNOJ WKLAD W KULONOWSKIE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT PRI WYSOKOJ "NERGII PU^KA. s U^ЁTOM WAKUUMNOJ KAMERY, "KRANIRU@]EJ PU^OK W USKORITELE, KOTORU@ PRI RAS^ЁTE e e ^ASTOTNYH SDWIGOW MOVNO S^ITATX IDEALXNO PROWODQ]EJ, TRE BUETSQ WYPOLNENIE NA STENKE KAMERY GRANI^NOGO USLOWIQ -- RAWENSTWA NUL@ PRODOLXNOJ SOSTAWLQ@]EJ "LEKTRI^ESKOGO POLQ PU^KA. pRI "TOM SOBSTWENNOE POLE PU^KA, WOOB]E GOWORQ, IZMENQETSQ PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM SWOBODNOGO PROSTRANSTWA. gRANI^NYE USLOWIQ W SLU^AE [IROKOJ WAKUUMNOJ KAMERY (PRI "TOM OBY^NO RASSMATRIWAETSQ PREDELXNYJ WARIANT, KOGDA PU^OK RASPOLAGAETSQ MEVDU PARALLELXNYMI METALLI^ESKIMI PLOSKOSTQMI), A TAKVE PRI NALI^II CILINDRI^ESKOJ GRANICY NETRUDNO UDOWLETWORITX, ZAMENQQ GRANICU ZARQDAMI IZOBRAVENIJ. pRI BOLEE SLOVNOJ FORME GRANICY DLQ "TOJ CELI MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY KONFORMNYE PREOBRAZOWANIQ. pODOBNOE USLOWIE NEOBHODIMO TAKVE UDOWLETWORITX DLQ KASATELXNOJ KOMPONENTY MAGNITNOGO POLQ PU^KA NA FERROMAGNITNOJ GRANICE -- NA POWERHNOSTQH POL@SOW "LEKTROMAGNITA USKORITELQ, DLQ ^EGO WWODQTSQ TOKI IZOBRAVENIJ. w KA^ESTWE PROSTEJ[EGO PRIMERA RASSMOTRIM PU^OK PROTONOW, DWIVU]IJSQ MEVDU DWUMQ IDEALXNO PROWODQ]IMI METALLI^ESKIMI POWERHNOSTQMI, RASPOLOVENNYMI NA RASSTOQNIQH ±h OT CENTRA PU^KA (SM. RIS. 17A). dLQ TOGO ^TOBY UDOWLETWORITX GRANI^NYM USLOWIQM, RASPOLOVIM ZARQVENNYE NITI S PLOTNOSTQMI ZARQDOW - NA RASSTOQNIQH ±2h OT CENTRA PU^KA. oDNAKO POLE, SOZDAWAEMOE WERHNIM IZOBRAVENIEM TRE BUET, W SWO@ O^EREDX, ZARQDA IZOBRAVENIQ PROTIWOPOLOVNOGO ZNAKA ZA NIVNEJ PLASTINOJ NA RASSTOQNII 4h OT PU^KA I T.D. w REZULXTATE POLU^A@TSQ BESKONE^NYE CEPO^KI ZARQDOW IZOBRAVENIJ SWERHU I SNIZU OT RASSMATRIWAEMYH PLASTIN, RASPOLAGA@]IESQ NA RASSTOQNIQH OT PU^KA, RAWNYH ±2nh (n = 1, 3, 5,. .. DLQ OTRICATELXNYH I n = 2, 4, 6,. .. DLQ POLOVITELXNYH IZOBRAVENIJ). --LEKTRI^ESKOE POLE, SOZDAWAEMOE PAROJ IZOBRAVENIJ S NOMERAMI ±n W MESTE RASPOLOVENIQ ^ASTICY PU^KA S KOORDINATOJ z , RAWNO 1 z 1 i Enz = (-1)n 2 -(-1)n , (13) - 2nh + z 2nh - z (hn)2
i TAK ^TO FORMULA DLQ REZULXTIRU@]EGO POLQ IZOBRAVENIJ Ez IMEET WID 2 z i i Ez = Enz = . 12h2 n

(14)

gORIZONTALXNU@ SOSTAWLQ@]U@ POLQ IZOBRAVENIJ Ei MOVNO NAJTI, WOSPOLXZOWAW[ISX URAWNENIEM mAKSWELLA divEi = 0, OTKUDA S U^ЁTOM TOGO, ^TO RASSMATRIWAEMOE POLE e QWLQETSQ PLOSKIM, IMEEM i i Ex E 2 , (15) =- z =- x z 12h2 ILI, 2 x i Ex = - . (16) 12h2

52

rIS. 17. k WY^ISLENI@ SDWIGOW B ETATRONNYH ^ASTOT PRI NALI^II PROWODQ]IH METALLI^ESKIH PLOSKOSTEJ.

zDESX NEOBHODIMO OTMETITX, ^TO GRANI^NYE USLOWIQ, NAKLADYWAEMYE PROWODQ]IMI METALLI^ESKIMI PLASTINAMI, NE WLIQ@T NA POSTOQNNU@ SOSTAWLQ@]U@ MAGNITNOGO POLQ PU^KA, W REZULXTATE ^EGO NARU[AETSQ WZAIMNAQ KOMPENSACIQ POLEJ IZOBRAVENIJ PRI WYSOKOJ "NERGII ^ASTIC. pO"TOMU FORMULA (3) DLQ NEKOGERENTNOGO KULONOWSKOGO SDWIGA BETATRONNYH ^ASTOT W SLU^AE ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW, "KRANIROWANNOGO METALLI^ESKIMI PLASTINAMI, MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE Q
inc x,z

=-

2 r0 NR0 4Q0 2 a2

2

2 . 12h2

(17)

pERWYJ ^LEN W SKOBKAH W (17) OPISYWAET NEPOSREDSTWENNOE DEJSTWIE NA BETATRONNYE ^ASTOTY PROSTRANSTWENNOGO ZARQDA PU^KA I SPADAET 2 ZA S^ЁT PROTIWOPOLOVNOJ NAe PRAWLENNOSTI SIL, SOZDAWAEMYH "LEKTRI^ESKIM I MAGNITNYM POLQMI PU^KA; WTOROJ ^LEN OPISYWAET SUMMARNOE WOZDEJSTWIE ZARQDOW IZOBRAVENIJ I W PRIBLIVENII h a NE ZAWISIT OT POPERE^NOGO RAZMERA PU^KA I MOVET DAWATX OSNOWNOJ WKLAD PRI O^ENX WYSOKOJ "NERGII PU^KA, KOGDA SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT IZMENQ@TSQ PROPORCIONALXNO -1.

53

aNALOGI^NYM OBRAZOM RASS^ITYWA@TSQ DOPOLNITELXNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT PRI NALI^II WBLIZI PU^KA FERROMAGNITNOGO "KRANA. tAK, POL@S DIPOLXNOGO MAGNITA MOVNO APPROKSIMIROWATX FERROMAGNITNOJ POWERHNOSTX@, RASPOLOVENNOJ NA RASSTOQNII g OT CENTRA PU^KA. nA "TOJ POWERHNOSTI DOLVNA OTSUTSTWOWATX KASATELXNAQ SOSTAWLQ@]AQ MAGNITNOGO POLQ, ^TO MOVNO UDOWLETWORITX, ESLI RASPOLOVITX NA RASSTOQNII g ZA "KRANOM TOK IZOBRAVENIQ (SM. RIS. 18). tOK PU^KA I TEKU]IJ W TOM VE NAPRAWLENII TOK IZOBRAVENIQ SOZDA@T MAGNITNYE POLQ S RAWNYMI PO WELI^INE I PROTIWOPOLOVNO NAPRAWLENNYMI KASATELXNYMI KOMPONENTAMI NA "TOJ POWERHNOSTI. tAK KAK REALXNYE POL@SA DIPOLXrIS. 18. zAMENA GRANI^NOGO USLOWIQ DLQ MAGNITNOGO NYH MAGNITOW RASPOLAGA@TSQ KAK SWERHU, TAK I SNIZU OT PU^KA, TO, KAK POLQ PU^KA TOKOM IZOBRAVENIQ. I W SLU^AE S METALLI^ESKIMI PLASTINAMI, DLQ UDOWLETWORENIQ GRANI^NYH USLOWIJ NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX BESKONE^NU@ CEPO^KU TOKOW IZOBRAVENIJ, TEKU]IH W ODNOM I TOM VE NAPRAWLENII I RASPOLOVENNYH W TO^KAH S KOORDINATAMI ±2gn. sNOWA ISPOLXZUQ LINEJNOE PRIBLIVENIE PO x I z , POLU^AEM DLQ SUMMARNOJ WELI^INY MAGNITNOGO i POLQ TOKOW IZOBRAVENIJ Bz SLEDU@]U@ FORMULU:
i Bz =

2I c

n

1 1 - 2ng - z 2ng + z

2 Iz , 6cg 2

(18)

GDE U^TENO, ^TO

1/n2 = 2 /6. iZ divBi = 0 SLEDUET
i Bx = -

2 Ix , 6cg 2

(19)

TAK ^TO SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE Q
inc x,z

=-

2 r0 NR0 2 a2 4Q0

2

2 12h2

2 2 . 6g 2

(20)

tAK KAK FERROMAGNETIK ODNOWREMENNO QWLQETSQ PROWODNIKOM, ON MOVET, W PRINCIPE, ^EREZ USLOWIQ NA GRANICE WLIQTX NA "LEKTRI^ESKOE POLE PU^KA. oDNAKO NA PRAKTIKE MEVDU MAGNITNYM POL@SOM I PU^KOM OBY^NO RASPOLAGAETSQ HORO[O PROWODQ]AQ WAKUUMNAQ KAMERA USKORITELQ. pO "TOJ PRI^INE POL@SA MAGNITOW, KAK PRAWILO, NE OKAZYWA@T WLIQNIQ NA "LEKTRI^ESKOE POLE PU^KA.

54

2.1.2. kOGERENTNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT s U^ЁTOM WAKUUMNOJ KAMERY I POL@SOW "LEKTROMAGNITA USKORITELQ POLE PU^KA IZMEe NQETSQ PRI EGO SME]ENII OTNOSITELXNO CENTRA KAMERY, ^TO PRAKTI^ESKI WSEGDA IMEET MESTO, TAK KAK REALXNAQ ORBITA NIKOGDA NE SOWPADAET S IDEALXNOJ IZ-ZA RASSMOTRENNYH WY[E WOZMU]ENIJ WEDU]EGO MAGNITNOGO POLQ. aNALOGI^NAQ SITUACIQ WOZNIKAET I PRI NALI^II POPERE^NYH KOGERENTNYH KOLE BANIJ PU^KA. sWQZANNYE S OTKLONENIEM PU^KA OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY ^ASTOTNYE SDWIGI NAZYWA@T KOGERENTNYMI KULONOWSKIMI SDWIGAMI BETATRONNYH ^ASTOT. rASS^ITAEM SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT, WOZNIKA@]IE PRI POPERE^NOM DWIVENII PU^KA KAK CELOGO. o^EWIDNO, ^TO W SWOBODNOM PROSTRANSTWE PRI NALI^II KOLE BANIJ CENTRA TQVESTI PU^KA DOPOLNITELXNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT NE POQWLQ@TSQ, TAK KAK KOGERENTNYE KOLE BANIQ NE OKAZYWA@T W TAKOM SLU^AE WLIQNIQ NA SOBSTWENNOE "LEKTROMAGNITNOE POLE PU^KA ("FFEKTY, SWQZANNYE S ZAPAZDYWA@]IMI POTENCIALAMI, ZDESX MOVNO NE U^ITYWATX). iNA^E OBSTOIT DELO, ESLI PU^OK "KRANIRUETSQ METALLI^ESKIMI I FERROMAGNITNYMI POWERHNOSTQMI, KAK "TO OBY^NO IMEET MESTO NA PRAKTIKE. rASSMOTRIM PU^OK, SOWER[A@]IJ KOGERENTNYE POPERE^NYE KOLE BANIQ MEVDU PARALLELXNYMI PROWODQ]IMI PLOSKOSTQMI I IME@]IJ W NEKOTORYJ MOMENT WREMENI OTKLONENIE z0 OTNOSITELXNO RAWNOWESNOGO POLOVENIQ z = 0. zARQDY IZOBRAVENIJ, TRE BU@]IESQ DLQ UDOWLETWORENIQ GRANI^NYH USLOWIJ, PRI "TOM TAKVE SME]A@TSQ PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM, PREDSTAWLENNYM NA RIS. 17A. tAK, NAPRIMER, BLIVAJ[IJ K PU^KU WERHNIJ ZARQD IZOBRAVENIQ IMEET OTRICATELXNYJ ZNAK I RASPOLAGAETSQ NA RASSTOQNII 2h - 2z0 , A BLIVAJ[IJ OTRICATELXNYJ NIVNIJ ZARQD -- NA RASSTOQNII 2h +2z0 OT PU^KA (SM. RIS. 17B). wTORAQ (POLOVITELXNAQ) PARA ZARQDOW-IZOBRAVENIJ RASPOLAGAETSQ NA RASSTOQNII ±4h OT PU^KA I T.D. pO"TOMU "LEKTRI^ESKOE POLE, SOZDAWAEMOE PAROJ ZARQDOW-IZOBRAVENIJ S NOMEROM n, W MESTE RASPOLOVENIQ PU^KA RAWNO E
c n,z

= (-1)n 2

1 1 . - n) 2hn + z0 (1 - (-1) 2hn - z0 (1 - (-1)n )

(21)

oGRANI^IWAQSX ^LENAMI, LINEJNYMI PO z0 , I SUMMIRUQ PO WSEM n, POLU^AEM REZULXTIRU@]EE "LEKRI^ESKOE POLE ZARQDOW-IZOBRAVENIJ:
c Ez =

z0 h2

n

1+ (-1)n 2 z0 = , n2 4h2

(22)

PRIWODQ]EE K KOGERENTNOMU SDWIGU BETATRONNOJ ^ASTOTY, RAWNOMU Qc = z r0NR0 . 16Q0 h2 (23)

w RASSMATRIWAEMOM ZDESX SLU^AE PLASTIN, ORIENTIROWANNYH PERPENDIKULQRNO OSI z , GORIZONTALXNOE DWIVENIE PU^KA NE PRIWODIT K KOGERENTNOMU SDWIGU ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ, TAK ^TO Qc = 0. x rASSMOTRIM E]Ё ODNU PROSTEJ[U@ KONFIGURACI@ PROWODQ]EGO "KRANA -- CILINDRI^Ee SKU@ POWERHNOSTX RADIUSA b. pREDPOLOVIM, ^TO W RAWNOWESNOM POLOVENII PU^OK DWIVETSQ PO OSI CILINDRA. pRI "TOM NA WNUTRENNEJ STENKE CILINDRA INDUCIRUETSQ ZARQD S RAWNOMERNOJ POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTX@ I INTEGRALXNYM ZARQDOM NA EDINICU DLINY, RAWNYM -. rEZULXTIRU@]EE DEJSTWIE SIMMETRI^NO RASPREDELЁNNOGO POWERHNOSTNOGO ZARQDA NA e 55

OSX PU^KA RAWNO NUL@, PO"TOMU PRISUTSTWIE CILINDRI^ESKOGO PROWODQ]EGO "KRANA NE SKAZYWAETSQ NA WELI^INAH NEKOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO PU^OK RASPOLAGAETSQ NA RASSTOQNII x0 OT OSI CILINDRI^ESKOJ POWERHNOSTI. w TAKOM SLU^AE POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX ZARQDA NE QWLQETSQ BOLX[E RAWNOMERNOJ, I SOZDAWAEMOE EJ POLE BUDET WOZDEJSTWOWATX NA PU^OK, IZMENQQ ^ASTOTY EGO POPERE^NYH KOLE BANIJ. dLQ UDOWLETWORENIQ GRANI^NOGO USLOWIQ E (b) = 0 WWEDЁM e LINEJNYJ ZARQD-IZOBRAVENIE, RASPOLOVENNYJ NA RASSTOQNII d OT OSI CILINDRA I PARALLELXNYJ EJ, S POGONNOJ PLOTNOSTX@, RAWNOJ -. kASATELXNAQ KOMPONENTA "LEKTRI^ESKOGO POLQ, SOZDAWAEMAQ PU^KOM NA STENKE CILINDRA, RAWNA (SM. RIS. 19A) E
1

=

2 sin 1 , r1
1

(24) MOVNO PEREPISATX (25)

2 GDE r1 = b2 +x2 -2bx0 cos , sin 1 / sin = x0 /r , TAK ^TO FORMULU DLQ E 0 W WIDE 2x0 sin E 1 = 2 . b + x2 - 2bx0 cos 0

rIS. 19. k WY^ISLENI@ KOGERENTNYH KULONOWSKIH SDWIGOW W PU^KE, "KRANIROWANNOM CILINDRI^ESKOJ WAKUUMNOJ KAMEROJ.

56

pODOBNYM OBRAZOM POLU^AETSQ FORMULA DLQ KASATELXNOJ KOMPONENTY "LEKTRI^ESKOGO POLQ E2 , SOZDAWAEMOGO ZARQDOM-IZOBRAVENIEM (SM. RIS. 19B), E pOLAGAQ E (b)= E
1

2

=-

2 sin 2 2d sin =- 2 . r2 b + d2 - 2bd cos

(26)

+E

2

= 0, PRIHODIM K KWADRATNOMU URAWNENI@ OTNOSITELXNO d, x0 d 2 - ( x2 + b 2 ) d + x 0 b 2 = 0 , 0 (27) ^TO ^KA, (28) WERz0 ),

OTKUDA SLEDUET, ^TO RASSTOQNIE d DOLVNO UDOWLETWORQTX USLOWI@ d = b2 /x0 , TAK "LEKTRI^ESKOE POLE Ei,x, SOZDAWAEMOE ZARQDOM-IZOBRAVENIEM W MESTE RASPOLOVENIQ PU RAWNO 2x0 Ei,x = 2 . b w SILU CILINDRI^ESKOJ SIMMETRII ANALOGI^NAQ FORMULA SPRAWEDLIWA I DLQ TIKALXNOJ KOMPONENTY "LEKTRI^ESKOGO POLQ ZARQDA-IZOBRAVENIQ (S ZAMENOJ x0 NA PO"TOMU KOGERENTNYE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT MOGUT BYTX ZAPISANY W WIDE Q
c x,z

=

r0 NR0 . 2Q0 2 b2

(29)

pOSMOTRIM TEPERX, KAK WLIQ@T NA KULONOWSKIE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT WAKUUMNAQ KAMERA I POL@SA "LEKTROMAGNITA USKORITELQ W SLU^AE SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW. oGRANI^IMSQ DLQ OPREDELЁNNOSTI WERTIKALXNYM NAPRAWLENIEM I WY^ISLIM e SILU Fz , WOZDEJSTWU@]U@ NA ^ASTICU, KOTORAQ W OB]EM SLU^AE QWLQETSQ FUNKCIEJ DWUH PEREMENNYH -- KOORDINATY z ^ASTICY I KOORDINATY z0 CENTRA TQVESTI PU^KA. w OTLI^IE OT RASSMOTRENNOGO WY[E SLU^AQ ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW "LEKTROMAGITNOE POLE KROME POSTOQNNOJ SODERVIT TAKVE PEREMENNU@ KOMPONENTU. dLQ "LEKTRI^ESKOGO POLQ GRANI^NOE USLOWIE OSTAЁTSQ PREVNIM -- DOLVNA RAWNQTXSQ NUL@ EGO SOSTAWLQ@]AQ, e KASATELXNAQ K "KRANIRU@]EJ PROWODQ]EJ POWERHNOSTI. w LINEJNOM PO KOORDINATAM z I z0 PRIBLIVENII POLE Ez MOVNO ZAPISATX W SLEDU@]EM WIDE: Ez = z ( z0 + z z ), 2 h2 1 (30)

GDE POSTOQNNYE KO"FFICIENTY z,2 OPREDELQ@TSQ GEOMETRIEJ WAKUUMNOJ KAMERY. 1 mAGNITNOE POLE, SOZDAWAEMOE PU^KOM I DEJSTWU@]EE NA ^ASTICY W WERTIKALXNOM Ї NAPRAWLENII, PREDSTAWIM KAK SUMMU DWUH KOMPONENT -- POSTOQNNOJ Hx I PEREMENNOJ ~ x . wAKUUMNAQ KAMERA USKORITELQ NE OKAZYWAET WLIQNIQ NA POSTOQNNU@ KOMPONENTU H MAGNITNOGO POLQ, OB]IJ WID KOTOROGO DAЁTSQ FORMULOJ, PODOBNOJ FORMULE (30) DLQ e POLQ Ez : Ї Hx = - 2 (µz z0 + µz z ), (31) 1 2 g GDE µz,2 -- POSTOQNNYE KO"FFICIENTY, ZAWISQ]IE OT KONFIGURACII FERROMAGNITNOJ PO1 WERHNOSTI, RASPOLOVENNOJ WBLIZI WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ.

57

~TO KASAETSQ PEREMENNOJ KOMPONENTY MAGNITNOGO POLQ, TO ONA, PODOBNO "LEKTRI^ESKOMU POL@ Ez , POLNOSTX@ "KRANIRUETSQ IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMEROJ USKORITELQ, I, SLEDOWATELXNO, KAK I W SLU^AE PU^KA W SWOBODNOM PROSTRANSTWE, RASSMATRIWAEMYE KOMPONENTY "LEKTROMAGNITNOGO POLQ WZAIMNO OSLABLQ@T DRUG DRUGA, BUDU^I SWQZANNYMI SOOTNO[ENIEM Hx = Ez , ILI W QWNOM WIDE ~ ~ Hx = 2 (z z0 + z z ), 1 2 h (32)

GDE = - 0 -- PEREMENNAQ ^ASTX LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA PU^KA. s U^ЁTOM FORMUL ~ e (30)В(32) MOVNO PREDSTAWITX SILU Fz = e(Ez - Hx ) W WIDE Fz = Ne2 2 2R0 1+ G 2 z z0 + z z µz z0 + µz z 1 2 +1 22. h2 g (33)

2

pOLAGAQ z0 = 0 I PODSTAWLQQ Fz W URAWNENIE DWIVENIQ z+ Q R
2 0 0

z=

Fz , m 2 c2

(34)

POLU^AEM DOBAWKU K NEKOGERENTNOMU KULONOWSKOMU SDWIGU, OBUSLOWLENNOMU OKRUVA@]IM PU^OK OBORUDOWANIEM. eSLI PREDSTAWITX POLNYJ NEKOGERENTNYJ KULONOWSKIJ SDWIG W WIDE c c c SUMMY: Qinc = Qin1 + Qin2 , GDE Qin1 -- ^ASTX NEKOGERENTNOGO SDWIGA BETATRONNOJ z z, z, z, ^ASTOTY, SWQZANNAQ S POPERE^NYM KULONOWSKIM RASTALKIWANIEM ^ASTIC I DAWAEMAQ FORc MULOJ (11), A Qin2 -- ^ASTX SDWIGA Qinc, SWQZANNAQ S NALI^IEM GRANI^NYH USLOWIJ, z, z inc TO DLQ Qz,2 POLU^AETSQ SLEDU@]AQ FORMULA: Q
inc z,2

=-

r0 NR0 4Q0

1+

G 2

2

z µz 2 2 + 2. h2 g

(35)

pOLAGAQ DALEE z = z0 I SNOWA PODSTAWLQQ Fz W URAWNENIE (34), POLU^AEM PODOBNU@ FORMULU DLQ KOGERENTNOGO KULONOWSKOGO SDWIGA Qc , GDE z = z + z , µz = µz + µz . z 1 2 1 2 Qc = - z r0 NR0 4Q0 1+ G 2 z µz + 2, 2 h g (36)

2

wY[E FAKTI^ESKI BYLI WY^ISLENY KO"FFICIENTY x,z DLQ [IROKOJ I KRUGLOJ WA1 ,2 KUUMNYH KAMER I KO"FFICIENTY µx,z DLQ PARALLELXNYH FERROMAGNITNYH PLOSKOSTEJ. s 1 ,2 POMO]X@ URAWNENIJ mAKSWELLA BYLA TAKVE POKAZANA SPRAWEDLIWOSTX SLEDU@]IH SOOTNO[ENIJ: x = -z I µx = -µz . tAK, W SLU^AE PARALLELXNYH PROWODQ]IH PLOSKOSTEJ BYLO 2 2 2 2 POLU^ENO z = 2 /6, x = z = 2 /12, A W SLU^AE KRUGLOJ KAMERY -- x = z = 1, z = 0; 1 1 2 1 1 2 DLQ PARALLELXNYH FERROMAGNITNYH PLOSKOSTEJ -- µz = 2 /6. 2 wY^ISLQQ KOGERENTNYE KULONOWSKIE SDWIGI BETATRONNYH ^ASTOT PRI NALI^II PARALLELXNYH FERROMAGNITNYH PLOSKOSTEJ, MOVNO PO ANALOGII S PROWODQ]IMI PLOSKOSTQMI POLU^ITX µx = 2 /6, µz = 2 /12. w BOLEE OB]EM SLU^AE "LLIPTI^ESKOGO SE^ENIQ WAKUUMNOJ 1 1 KAMERY ZNA^ENIQ KO"FFICIENTOW x,z LEVAT, ESTESTWENNO, W PREDELAH, OGRANI^ENNYH ZNA1 ,2 ^ENIQMI SOOTWETSTWU@]IH KO"FFICIENTOW DLQ RASSMOTRENNYH WY[E PREDELXNYH SLU^AEW.

58

nA RIS. 20 PREDSTAWLENY GRAFIKI, DA@]IE KO"FFICIENTY x,z (RIS. 20A) I z (RIS. 20B) 1 2 W ZAWISIMOSTI OT OTNO[ENIQ POLUOSEJ "LLIPTI^ESKOJ WAKUUMNOJ KAMERY.

rIS. 20. kO"FFICIENTY

x,z 1 ,2

DLQ "LLIPTI^ESKOJ WAKUUMNOJ KAMERY.

2.2. prodolxnoe kulonowskoe rastalkiwanie ~astic w intensiwnom pu~ke protonow kULONOWSKOE RASTALKIWANIE ^ASTIC W INTENSIWNOM PU^KE PROTONOW PROISHODIT WO WSEH NAPRAWLENIQH, PO"TOMU NARQDU SO SDWIGAMI BETATRONNYH ^ASTOT, RASSMOTRENNYMI W PREDYDU]EM RAZDELE, IMEET MESTO TAKVE SDWIG SINHROTRONNOJ ^ASTOTY, OBUSLOWLENNYJ SOBSTWENNYM PRODOLXNYM "LEKTRI^ESKIM POLEM PU^KA. w OTLI^IE OT KULONOWSKIH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT KULONOWSKIJ SDWIG SINHROTRONNOJ ^ASTOTY MOVET BYTX KAK OTRICATELXNYM, TAK I POLOVITELXNYM W ZAWISIMOSTI OT TOGO, NAHODITSQ LI "NERGIQ PU^KA NIVE ILI WY[E KRITI^ESKOGO ZNA^ENIQ. oTLI^A@TSQ TAKVE I FIZI^ESKIE PROCESSY W PU^KE, SWQZANNYE S KULONOWSKIM RASTALKIWANIEM ^ASTIC W POPERE^NOM I PRODOLXNOM NAPRAWLENIQH. eSLI DLQ POPERE^NOGO DWIVENIQ OSNOWNU@ OPASNOSTX PREDSTAWLQET MNOGOKRATNOE PERESE^ENIE ^ASTICAMI BETATRONNYH REZONANSOW PRI NIZKOJ "NERGII PU^KA, TO DLQ PRODOLXNOGO DWIVENIQ NAIBOLEE OPASNYM OKAZYWAETSQ RAJON KRITI^ESKOJ "NERGII, TAK KAK W MOMENT PEREHODA INTENSIWNOGO PU^KA ^EREZ KRITI^ESKU@ "NERGI@ SKA^KOOBRAZNO IZMENQETSQ RAWNOWESNAQ DLINA SGUSTKOW ^ASTIC, W REZULXTATE ^EGO WOZNIKAET IH RASSOGLASOWANIE S FAZOWYMI TRAEKTORIQMI ^ASTIC. wY^ISLIM, ISHODQ IZ URAWNENIJ mAKSWELLA, SOBSTWENNOE PRODOLXNOE "LEKTRI^ESKOE POLE W SGUSTKE ^ASTIC, "KRANIROWANNOM IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMEROJ USKORITELQ:

59

4 i j - E; (37) c c i rotE = H. (38) c zDESX PREDPOLAGAETSQ, ^TO ZAWISIMOSTX "LEKTROMAGNITNOGO POLQ I TOKA PU^KA OT WREMENI I OT PRODOLXNOJ KOORDINATY s DAЁTSQ MNOVITELEM exp(-i t + iks), GDE k = 2/ = n/R0 e (n -- CELOE ^ISLO) -- WOLNOWOJ WEKTOR. s^ITAQ DALEE, ^TO WEKTOR PLOTNOSTI TOKA PU^KA j IMEET EDINSTWENNU@ SOSTAWLQ@]U@, NAPRAWLENNU@ WDOLX ORBITY USKORITELQ, I PRIMENQQ K OBEIM ^ASTQM URAWNENIQ (38) OPERACI@ rot, POLU^AEM S U^ЁTOM (37) URAWNENIE DLQ e PRODOLXNOJ KOMPONENTY "LEKTRI^ESKOGO POLQ Es, rotH = 2 E s + k2 4ik E = 2 (s)f (x, z ), 2s (39)

GDE NORMIROWANNAQ NA EDINICU FUNKCIQ f (x, z ) OPISYWAET RASPREDELENIE ^ASTIC W POPERE^NOM SE^ENII SGUSTKA. oGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM DLINNOWOLNOWOJ ^ASTI SPEKTRA POLQ Es ( 2b/ , b -- HARAKTERNYJ POPERE^NYJ RAZMER WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ), OKAZYWA@]EJ OSNOWNOE WLIQNIE NA FAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC W RAJONE KRITI^ESKOJ "NERGII. w TAKOM SLU^AE URAWNENIE (39) UPRO]AETSQ, 4ik 2 E s f (x, z ), (40) 2 I POSLE WWEDENIQ OBOZNA^ENIQ Es = -(ik/ 2)U PRINIMAET STANDARTNYJ WID URAWNENIQ pUASSONA 2 U = -4f (x, z ) (41) S GRANI^NYM USLOWIEM U | = 0. fUNKCIQ U (x, z ), KAK SLEDUET IZ EЁ OPREDELENIQ, OPISYWAET RASPREDELENIE PRODOLXe NOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ PO POPERE^NOMU SE^ENI@ PU^KA. tAK KAK ^ASTICY, DWIGAQSX WDOLX ORBITY USKORITELQ, NARQDU S RADIALXNO-FAZOWYMI KOLE BANIQMI U^ASTWU@T TAKVE W BYSTROM POPERE^NOM DWIVENII, TO PROISHODIT ESTESTWENNOE USREDNENIE POLQ Es PO KOORDINATAM x, z . pO"TOMU PRI RAS^ЁTAH W KA^ESTWE PRODOLXNOGO POLQ OBY^NO ISPOLXZUETSQ e USREDNЁNNOE PO RASPREDELENI@ f (x, z ) POLE E , RAWNOE e E=- ik g < U (x, z ) >= - 2 , 2 s (42)

GDE GEOMETRI^ESKIJ PARAMETR g OPREDELЁN SLEDU@]IM WYRAVENIEM: e g =< U (x, z ) >= U (x, z )f (x, z )dxdz. (43)

rASS^ITAEM W KA^ESTWE PRIMERA PARAMETR g DLQ CILINDRI^ESKOJ GEOMETRII, KOGDA KRUGLYJ PU^OK RADIUSA a DWIVETSQ WDOLX OSI CILINDRI^ESKOJ IDEALXNO PROWODQ]EJ METALLI^ESKOJ TRUBY RADIUSA b; RASPREDELENIE ^ASTIC PO POPERE^NOMU SE^ENI@ PU^KA BUDEM DLQ PROSTOTY S^ITATX RAWNOMERNYM. pRI "TOM URAWNENIE (41) PREDSTAWLQET SOBOJ OBYKNOWENNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA, 1 d dU r = -4f (r ). (44) r dr dr

60

pROINTEGRIROWAW DWA RAZA PO r OBE ^ASTI URAWNENIQ (44), POLU^IM S U^ЁTOM GRANI^e NOGO USLOWIQ U (b) = 0 WYRAVENIE DLQ U (r ) W WIDE DWOJNOGO INTEGRALA: U = -4
a r

dy y

y

f (r )rdr.
0

(45)

tAK KAK RASPREDELENIE f (r ) OTLI^NO OT NULQ TOLXKO W PREDELAH SGUSTKA, A WNE EGO RAWNO NUL@, UDOBNO PREDSTAWITX POSLEDNEE WYRAVENIE W WIDE SUMMY DWUH ^LENOW: a b dy y dy a U = 4 f (r )rdr +4 f (r )rdr. (46) y0 r ay 0 pODSTAWLQQ W (46) RASPREDELENIE f (r ) = 1/ a2 I WYPOLNQQ INTEGRIROWANIE, POLU^AEM r2 b U = 1 - 2 +2 ln . (47) a a wOSPOLXZOWAW[ISX DALEE FORMULOJ (43) I USREDNIW FUNKCI@ U (r ) PO POPERE^NOMU SE^ENI@ PU^KA, IMEEM OKON^ATELXNO b1 g = 2 ln + . (48) a2 zDESX SLEDUET OTMETITX, ^TO HOTQ FORMULA (48) POLU^ENA DLQ ^ASTNOGO SLU^AQ CILINDRI^ESKOJ GEOMETRII I RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ ^ASTIC PO POPERE^NOMU SE^ENI@ PU^KA, DAWAEMYJ E@ REZULXTAT SLABO MENQETSQ PRI IZMENENII FORMY WAKUUMNOJ KAMERY, A TAKVE WIDA RASPREDELENIQ f (x, y ). --TO SLEDUET IZ RASSMOTRENIQ DRUGIH SLU^AEW (PU^OK "LLIPTI^ESKOGO SE^ENIQ W "LLIPTI^ESKOJ KAMERE, KRUGLYJ PU^OK MEVDU PARALLELXNYMI METALLI^ESKIMI PLOSKOSTQMI, TONKIJ KOLXCEWOJ PU^OK W KRUGLOJ KAMERE), IME@]IHSQ W LITERATURE. w PRAKTI^ESKI INTERESNYH SLU^AQH g = (3 В 5). pOSMOTRIM TEPERX, KAK WLIQET SOBSTWENNOE PRODOLXNOE KULONOWSKOE POLE E NA DINAMIKU ^ASTIC W USKORITELE. nAS BUDET W OSNOWNOM INTERESOWATX RAJON KRITI^ESKOJ "NERGII, GDE WELI^INA POLQ E NAIBOLX[AQ, PO"TOMU WOSPOLXZUEMSQ DLQ "TOJ CELI URAWNENIEM MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ, KOTOROE S U^ЁTOM KULONOWSKOGO RASTALKIWANIQ ^ASTIC W PRODOLXNOM e NAPRAWLENII MOVNO ZAPISATX W WIDE SISTEMY IZ DWUH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ PERWOGO PORQDKA: d p eV sin s + eE (); (49) =- dt 2R0 d q = p. dt mR0 (50)

dLQ WY^ISLENIQ POLQ E WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (42), W KOTOROJ ZAMENIM PRODOLXNU@ KOORDINATU s NA FAZU S POMO]X@ SOOTNO[ENIQ = -(q/R0 )s, A TAKVE W PREDPOLOVENII, ^TO ZAWISIMOSTX LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA OT FAZY OPISYWAETSQ PARABOLOJ 3Ne = (2 - 2 ), (51) 4R0 3 x max ma GDE max -- FAZOWYJ POLURAZMER SGUSTKOW. w REZULXTATE IMEEM 3eN q g E = - 2 2 3 . 2 R0 max

(52)

tAKIM OBRAZOM, PRI WYBRANNOJ PARABOLI^ESKOJ ZAWISIMOSTI LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA OT FAZY POLE E OKAZYWAETSQ LINEJNYM W PREDELAH SGUSTKA ^ASTIC. 61

oTMETIM, ^TO NESMOTRQ NA OBRATNU@ PROPORCIONALXNOSTX POLQ E KWADRATU "NERGII PU^KA, BOLEE SU]ESTWENNOJ OKAZYWAETSQ EGO ZAWISIMOSTX OT DLINY SGUSTKOW, IME@]EJ MINIMUM PRI "NERGII PU^KA, RAWNOJ KRITI^ESKOMU ZNA^ENI@. pO "TOJ PRI^INE KO"FFICIENT PERED W FORMULE (52) OBY^NO MAKSIMALEN PRI = tr , TAK ^TO NAIBOLX[EE WLIQNIE NA FAZOWOE DWIVENIE ^ASTIC POLE E OKAZYWAET WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII. w SILU OTME^ENNOJ LINEJNOSTI SOBSTWENNOGO PRODOLXNOGO POLQ SGUSTKOW DLQ RASSMATRIWAEMOJ ZDESX PARABOLI^ESKOJ ZAWISIMOSTI (), W ADIABATI^ESKOM RAJONE WDALI OT KRITI^ESKOJ "NERGII URAWNENIE MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ SWODITSQ K URAWNENI@ GARMONI^ESKOGO OSCILLQTORA, DAWAEMOGO FORMULOJ (1.154), W KOTOROM ^ASTOTA SINHROTRONNYH KOLE BANIJ ZAWISIT OT ^ISLA ^ASTIC N W USKORITELE W SOOTWETSTWII S WYRAVENIEM =
0

1±

3q geN , R0 3 x V | sin s | ma
2

(53)

W KOTOROM ^EREZ 0 OBOZNA^ENA ^ASTOTA MALYH SINHROTRONNYH KOLE BANIJ W OTSUTSTWIE SOBSTWENNOGO PRODOLXNOGO POLQ E (SM. FORMULU (1.155)); ZNAK PL@S SOOTWETSTWUET "NERGII PU^KA WY[E KRITI^ESKOGO ZNA^ENIQ, MINUS -- < tr . kAK WIDNO IZ FORMULY (53), PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM NIZKOJ INTENSIWNOSTI PU^KA ^ASTOTA FAZOWYH KOLE BANIJ UMENX[AETSQ PERED KRITI^ESKOJ "NERGIEJ I UWELI^IWAETSQ PRI > tr . sOOTWETSTWENNO IZMENQETSQ I RAWNOWESNAQ DLINA SGUSTKA ^ASTIC -- ONA UWELI^IWAETSQ PERED KRITI^ESKOJ "NERGIEJ I UMENX[AETSQ PRI > tr , W REZULXTATE ^EGO POSLE PEREHODA PU^KA ^EREZ KRITI^ESKU@ "NERGI@ WOZNIKAET RASSOGLASOWANIE SGUSTKOW ^ASTIC SO SWOIMI FAZOWYMI TRAEKTORIQMI, ^TO PRIWODIT K KOLE BANIQM IH RAZMEROW. rIS. 21 ILL@STRIRUET ZAWISIMOSTX DLINY SGUSTKA OT WREMENI W RAJONE KRITI^ESKOJ "NERGII DLQ LINEJNOGO rIS. 21. kOLE BANIQ DLINY SGUSTKA W ZAWISIMOSTI OT POLQ E (), DAWAEMOGO FORMULOJ (52). WREMENI WBLIZI KRITI^ESKOJ "NERGII. w KA^ESTWE PROSTEJ[EGO SPOSOBA BORXBY S OBSUVDAEMYM ZDESX RASSOGLASOWANIEM INTENSIWNYH SGUSTKOW ^ASTIC BYLO PREDLOVENO ISPOLXZOWATX PRI PEREHODE PU^KA ^EREZ KRITI^ESKU@ "NERGI@ TROJNOE PEREKL@^ENIE FAZY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ. sUTX METODA ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM: NEKOTOROE WREMQ SPUSTQ POSLE PERWOGO (OBY^NOGO) PERE BROSA FAZY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ ONA SNOWA SKA^KOM WOZWRA]AETSQ K ZNA^ENI@, KOTOROE IMELO MESTO NEPOSREDSTWENNO PERED KRITI^ESKOJ "NERGIEJ, TAK ^TO CENTRY SGUSTKOW POPADA@T W NEUSTOJ^IWU@ FAZU USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ ( = -s ). mOMENT WTOROGO PEREKL@^ENIQ FAZY WYBIRAETSQ IZ USLOWIQ SOWPADENIQ GLAWNYH OSEJ "LLIPSA, IZOBRAVA@]EGO SGUSTOK ^ASTIC NA FAZOWOJ PLOSKOSTI, S FAZOWYMI TRAEKTORIQMI, PROHODQ]IMI ^EREZ UZEL SEPARATRISY, PRI^ЁM ^Ae

62

STICY, RASPOLAGA@]IESQ NA BOLX[OJ OSI, DOLVNY DWIGATXSQ K CENTRU "LLIPSA, A NA MALOJ -- OT EGO CENTRA. iSPOLXZUQ DANNYJ SPOSOB, MOVNO POLNOSTX@ USTRANITX (PO KRAJNEJ MERE TEORETI^ESKI) RASSOGLASOWANIE SGUSTKOW, OBUSLOWLENNOE KULONOWSKIM RASTALKIWANIEM ^ASTIC W PRODOLXNOM NAPRAWLENII. pOSLE "TOGO PROISHODIT TRETIJ (POSLEDNIJ) SKA^OK FAZY USKORQ@]EGO NAPRQVENIQ NA WELI^INU 2|s|, I SGUSTKI SNOWA POPADA@T W USTOJ^IWU@ FAZU SINHROTRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC. dANNYJ METOD BYL PREDLOVEN I ISSLEDOWAN W PROTONNOM SINHROTRONE cernA (sERN PS), NO EGO "FFEKTIWNOSTX OKAZALASX NEWELIKA, K TOMU VE ONA SNIVALASX S ROSTOM INTENSIWNOSTI USKORQEMOGO PU^KA. eGO NIZKAQ "FFEKTIWNOSTX, KAK WYQSNENO, BYLA OBUSLOWLENA DWUMQ OSNOWNYMI PRI^INAMI -- NELINEJNOSTX@ SOBSTWENNOGO PRODOLXNOGO POLQ SGUSTKOW E () I MIKROWOLNOWOJ NEUSTOJ^IWOSTX@ PU^KA, RAZWIWA@]EJSQ W sw~-DIAPAZONE. w NASTOQ]EE WREMQ DLQ BORXBY S RASSOGLASOWANIEM INTENSIWNYH SGUSTKOW PROTONOW PRAKTI^ESKI POWSEMESTNO ISPOLXZUETSQ METOD SKA^KA tr , SU]ESTWENNO UWELI^IWA@]IJ SKOROSTX PERESE^ENIQ PU^KOM KRITI^ESKOJ "NERGII. dLQ SOZDANIQ SKA^KA KRITI^ESKOJ "NERGII ISPOLXZUETSQ ISKAVENIE FUNKCII D (s), OPISYWA@]EJ DISPERSI@ ORBIT W USKORITELE, DLQ ^EGO W MAGNITNU@ STRUKTURU USKORITELQ WWODITSQ GARMONIKA WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ S NOMEROM k Q (ZDESX Q -- BETATRONNAQ ^ASTOTA). pROSTEJ[IJ SPOSOB SOZDANIQ SKA^KA KRITI^ESKOJ "NERGII -- WWEDENIE W MAGNITNU@ STRUKTURU USKORITELQ WSTAWOK, SODERVA]IH DUBLETY IZ KWADRUPOLXNYH LINZ.

rIS. 22. sHEMA PEREWODA PU^KA ^EREZ KRITI^ESKU@ "NERGI@ W USKORITELE ifw--.

nA RIS. 22 W KA^ESTWE PRIMERA POKAZANA SHEMA SKA^KA KRITI^ESKOJ "NERGII, ISPOLXZUEMAQ DLQ PEREWODA INTENSIWNOGO PU^KA PU^KA PROTONOW W USKORITELE ifw--. sKA^OK tr SOZDAЁTSQ ZA S^ЁT WOZMU]ENIQ GRADIENTA W FOKUSIRU@]IH MAGNITNYH BLOKAH S NOMERAMI e e 2 I 8 W KAVDOM IZ DWENADCATI SUPERPERIODOW USKORITELQ. rASSTOQNIE MEVDU UKAZANNYMI BLOKAMI RAWNO PRIMERNO POLOWINE DLINY WOLNY BETATRONNYH KOLE BANIJ, PO"TOMU PRI RAWNYH PO WELI^INE I PROTIWOPOLOVNYH PO ZNAKU WOZMU]ENIQH GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ G W NIH, ^TO IMEET MESTO PRI SKA^KE tr W USKORITELE ifw--, BETATRONNYE ^ASTOTY IZMENQ@TSQ MALO.

63

s POMO]X@ NEZAWISIMYH ISTO^NIKOW PITANIQ W GRADIENTNYE OBMOTKI UKAZANNYH BLOKOW PODA@TSQ PROTIWOFAZNO TREUGOLXNYE IMPULXSY TOKA, PRI^ЁM IH NARASTANIE PROe ISHODIT MEDLENNO (ZA 30 MS), A SPAD, NAPROTIW, -- BYSTRO (ZA WREMQ 1 MS). s ROSTOM WELI^INY TOKOW W GRADIENTNYH OBMOTKAH UKAZANNYH MAGNITNYH BLOKOW ZNA^ENIE KRITI^ESKOJ "NERGII USKORITELQ UWELI^IWAETSQ PROPORCIONALXNO KWADRATU WOZMU]ENIQ GRADIENTA MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ, DOSTIGAQ WELI^INY tr 0, 75 PRI WELI^INE WOZMU]ENIQ GRADIENTA G/G = 0.1. tAKIM OBRAZOM, NALI^IE KRITI^ESKOJ "NERGII W KOLXCEWOM USKORITELE PROTONOW MOVET PRIWODITX K ZNA^ITELXNYM TRUDNOSTQM PRI BOLX[OJ INTENSIWNOSTI PU^KA, SWQZANNYM S PRODOLXNYM RASSOGLASOWANIEM SGUSTKOW ^ASTIC, PRI^INOJ KOTOROGO SLUVAT KAK PRODOLXNOE KULONOWSKOE RASTALKIWANIE ^ASTIC, RASSMOTRENNOE WY[E, TAK I WZAIMODEJSTWIE PU^KA S "LEMENTAMI WAKUUMNOJ KAMERY. oSOBENNO VЁSTKIE TRE BOWANIQ PREDQWLQ@TSQ K KA^Ee STWU PU^KA, ESLI USKORITELX ISPOLXZUETSQ W KA^ESTWE INVEKTORA W KOLLAJDER. pO "TOJ PRI^INE WO WNOWX RAZRABATYWAEMYH PROTONNYH SINHROTRONAH, KAK PRAWILO, STARA@TSQ WOOB]E IZBEGATX NALI^IQ KRITI^ESKOJ "NERGII W RABO^EM DIAPAZONE "NERGIJ USKORITELQ. tAK, NAPRIMER, W BUSTERE ifw-- MAGNITNAQ STRUKTURA PODOBRANA TAK, ^TO KRITI^ESKAQ "NERGIQ SU]ESTWENNO PREWY[AET KONE^NU@, A W PROEKTE unk, NAPROTIW, KRITI^ESKAQ "NERGIQ RASPOLAGAETSQ NIVE "NERGII INVEKCII ^ASTIC. sU]ESTWU@T TAKVE PREDLOVENIQ, KAK WOOB]E USTRANITX KRITI^ESKU@ "NERGI@ W KOLXCEWOM USKORITELE PROTONOW ZA S^ЁT e SOZDANIQ MAGNITNOJ STRUKTURY S OTRICATELXNYM KO"FFICIENTOM RAS[IRENIQ ORBIT I, SLEDOWATELXNO, S ^ISTO MNIMOJ WELI^INOJ tr . 2.3. prodolxnaq neustoi~iwostx odnorodnogo pu~ka protonow iNTENSIWNOSTX BOLX[INSTWA SU]ESTWU@]IH W NASTOQ]EE WREMQ USKORITELEJ OGRANI^IWAETSQ KOGERENTNYMI NEUSTOJ^IWOSTQMI PU^KA. oNI PREPQTSTWU@T POWY[ENI@ INTENSIWNOSTI WY[E NEKOTOROGO POROGOWOGO UROWNQ BEZ SU]ESTWENNOGO UHUD[ENIQ KA^ESTWA USKORQEMOGO PU^KA I UWELI^ENIQ POTERX ^ASTIC. rASSMOTRIM WNA^ALE PRODOLXNU@ NEUSTOJ^IWOSTX ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW. pODOBNYJ SLU^AJ REALIZUETSQ, NAPRIMER PRI MEDLENNOM WYWODE ^ASTIC IZ USKORITELQ, KOGDA WEDU]EE MAGNITNOE POLE PRIMERNO POSTOQNNO, A USKORQ@]EE NAPRQVENIE WYKL@^ENO. iSTO^NIKOM NEUSTOJ^IWOSTI QWLQETSQ "LEKTROMAGNITNOE POLE, WOZBUVDAEMOE PU^KOM ^ASTIC W OKRUVA@]EM EGO OBORUDOWANII USKORITELQ (W "LEMENTAH WAKUUMNOJ KAMERY, USKORQ@]IH PU^OK REZONATORAH, USTROJSTWAH WWODA-WYWODA PU^KA I DR.). gRANI^NYE USLOWIQ, ZAWISQ]IE OT GEOMETRII I "LEKTROMAGNITNYH SWOJSTW DANNOGO OBORUDOWANIQ, SU]ESTWENNYM OBRAZOM WLIQ@T NA WELI^INU WOZBUVDAEMOGO PU^KOM POLQ, A, SLEDOWATELXNO, NA WOZMU]ENIE DWIVENIQ ^ASTIC W USKORITELE. nIVE MY OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM SLU^AQ DOSTATO^NO MALOJ WELI^INY SOBSTWENNOGO "LEKTROMAGNITNOGO POLQ PU^KA PO SRAWNENI@ S WNE[NIM WEDU]IM MAGNITNYM POLEM USKORITELQ. dRUGIMI SLOWAMI, BUDEM ISSLEDOWATX DWIVENIE ^ASTIC, PROISHODQ]EE PO^TI NEZAWISIMO OT SOBSTWENNOGO POLQ PU^KA, DEJSTWU@]EGO KAK WOZMU]ENIE.

64

2.3.1. pRODOLXNOE DWIVENIE ODNOJ ^ASTICY W OTSUTSTWIE WOZMU]ENIJ rASSMOTRIM NEWOZMU]Ё OE DWIVENIE ^ASTICY W USKORITELE, PRENE BREGAQ POKA WOZBUENN VDAEMYM PU^KOM "LEKTROMAGNITNYM POLEM. uRAWNENIE DWIVENIQ ^ASTICY IMEET WID dp = e(E + v в B), dt (54)

GDE p -- IMPULXS; v -- SKOROSTX; e -- ZARQD ^ASTICY; E I B -- WEKTORY "LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POLEJ, WOZDEJSTWU@]IH NA ^ASTICU. w NASTOQ]EM RAZDELE NAS BUDET INTERESOWATX PRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC W USKORITELE, PO"TOMU OGRANI^IMSQ POKA RASSMOTRENIEM PRODOLXNOJ KOMPONENTY IMPULXSA ps, UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@ dps (55) = e[Es +(v в B)s ], dt PRI^Ё W ODNORODNOM PU^KE PROTONOW PRODOLXNAQ KOMPONENTA "LEKTRI^ESKOGO POLQ Es RAWEM NA NUL@, A SOSTAWLQ@]AQ (v в B)s -- PRENE BREVIMO MALAQ WELI^INA, TAK KAK POPERE^NYE SKOROSTI ^ASTICY MALY PO SRAWNENI@ S EЁ PRODOLXNOJ SKOROSTX@ I, KROME TOGO, IZ-ZA E BYSTROGO BETATRONNOGO DWIVENIQ ^ASTICY SREDNEE ZNA^ENIE POSLEDNEGO WYRAVENIQ TAKVE OKAZYWAETSQ RAWNYM NUL@, TAK ^TO IZ URAWNENIQ (55) SLEDUET, ^TO ps = 0 I PRODOLXNAQ KOMPONENTA IMPULXSA ps = p0 OSTAЁ SQ POSTOQNNOJ W PROCESSE DWIVENIQ ^ASTICY. ET dLQ OPISANIQ DWIVENIQ ^ASTIC W PU^KE UDOBNO WWESTI KOORDINATY I = d /dt, GDE -- WREMQ ZADERVKI PROHOVDENIQ DANNOJ ^ASTICEJ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO AZIMUTA USKORITELQ OTNOSITELXNO RAWNOWESNOJ ^ASTICY ( = /RF ). kOORDINATY , OPREDELQ@T FAZOWOE PROSTRANSTWO. iZ OPREDELENIQ PARAMETRA (SM. FORMULU (1.152)) SLEDUET, = dT dp = = const, T0 p0 (56)

TAK ^TO = 0 + t -- LINEJNAQ FUNKCIQ WREMENI, A URAWNENIE DWIVENIQ IMEET W NOWYH KOORDINATAH WID e = p = [E + v в B]s(t, ). Ё (57) p0 p0 zDESX 0 -- NA^ALXNOE ZNA^ENIE W MOMENT WREMENI t = 0; T0 = 2/0 -- PERIOD OBRA]ENIQ RAWNOWESNOJ ^ASTICY, 0 -- EE ^ASTOTA OBRA]ENIQ. dO SIH POR POLAGALOSX, ^TO PRAWAQ ^ASTX URAWNENIQ (57) RAWNA NUL@. w DALXNEJ[EM ONA BUDET OPISYWATX SOBSTWENNOE POLE PU^KA, WELI^INA KOTOROGO PREDPOLAGAETSQ MALOJ PO SRAWNENI@ S WNE[NIM WEDU]IM MAGNITNYM POLEM. wAVNOJ HARAKTERISTIKOJ PU^KA QWLQETSQ ZAWISIMOSTX EGO TOKA (ILI PLOTNOSTI TOKA) OT WREMENI t I EGO AZIMUTALXNOGO POLOVENIQ W USKORITELE -- J (t, ) (ILI j(t, )), KOTORU@ NADO ZNATX, PREVDE ^EM NA^ATX RE[ATX URAWNENIQ mAKSWELLA DLQ NAHOVDENIQ SOBSTWENNOGO POLQ PU^KA. nA PRAKTIKE DLQ NABL@DENIQ ZA TOKOM PU^KA ISPOLXZUETSQ SIGNAL S PIKAP-"LEKTRODA, PODAWAEMYJ NA OSCILLOGRAF. pREDPOLOVIM, ^TO W USKORITELE IMEETSQ IDEALXNYJ PIKAP-"LEKTROD S BESKONE^NO [IROKOJ POLOSOJ PROPUSKANIQ, RASPOLOVENNYJ NA AZIMUTE USKORITELXNOGO KOLXCA, A WNUTRI WAKUUMNOJ KAMERY RAWNOMERNO WRA]AETSQ TESTOWAQ ^ASTICA. pUSTX W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = 0 DANNAQ ^ASTICA PERESEKAET AZIMUT = 0. tOGDA, ESLI ^ASTICA QWLQETSQ RAWNOWESNOJ, PIKAP PERIODI^ESKI PERESEKAETSQ E@ W MOMENTY WREMENI t0 = ( +2n )/0 . n 65

eSLI VE ^ASTICA NE QWLQETSQ RAWNOWESNOJ, TO IMEET MESTO ZADERVKA 0 OTNOSITELXNO MOMENTA WREMENI t = 0. tAKAQ ^ASTICA PERESEKAET PIKAP W MOMENTY WREMENI, RAWNYE tn = t0 + = t0 + 0 + t0 = 0 + t0 (1 + ). n n n n sIGNAL S PIKAP-"LEKTRODA PREDSTAWLQET SOBOJ W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE SERI@ PERIODI^ESKIH IMPULXSOW, WOZNIKA@]IH PRI KAVDOM PROHOVDENII ^ASTICY ^EREZ PIKAP, PRI^Ё PERIOD OBRA]ENIQ ^ASTICY T ZAWISIT OT IMPULXSA ^ASTICY p: T = T0 (1 + ) = EM T0 (1 + (p/p0)), A MATEMATI^ESKOE WYRAVENIE SIGNALA -- PERIODI^ESKU@ FUNKCI@, SOSTAWLENNU@ IZ -FUNKCIJ,

j (t, ) = e
-

t - - ( +2n)/0 .

(58)

fORMALXNO POSLEDNEE WYRAVENIE MOVNO S^ITATX PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ WREMENI S PERIODOM T0 = 2/0 , ESLI WWESTI OBOZNA^ENIE x = t - - /0 . rAZLAGAQ FUNKCI@ j (x) W RQD fURXE, IMEEM j (x)= Ck eik0x ;
k

Ck = j (t, ) =

e0 2
n

(x - ein

2 n)e- 0

ik 0 x

dx =

e0 ; 2
[0 (t- )- ]

e0 2

0(t- -/0 )

=

e0 2

ein
n

.

(59)

oT POSLEDNEGO WYRAVENIQ LEGKO PEREJTI K SPEKTRU fURXE: j (,)= e0 2
n=-

1 2

-

j (t, )e-

it

dt =

[ - n0 (1 - )]e-

in(00 + )

.

(60)

sLEDOWATELXNO, ANALIZATOR SPEKTRA ZAFIKSIRUET DLQ WSEH GARMONIK ^ASTOTY OBRA]ENIQ = 0 (1- ) NABOR BESKONE^NO UZKIH SPEKTRALXNYH LINIJ NA ^ASTOTAH = n = n0 (1- ), PRI^Ё SPEKTRALXNAQ MO]NOSTX AMPLITUDY ODINAKOWA DLQ WSEH GARMONIK. EM w OTLI^IE OT TESTOWOJ ^ASTICY W REALXNOM PU^KE OBY^NO IMEETSQ NEKOTORYJ RAZBROS PO IMPULXSAM p, A, SLEDOWATELXNO, I PO , TAK ^TO, NA SAMOM DELE, SPEKTRALXNYE LINII, FIKSIRUEMYE ANALIZATOROM SPEKTRA PRI CIRKULQCII W USKORITELE PU^KA ^ASTIC, IME@T KONE^NU@ [IRINU, PROPORCIONALXNU@ NOMERU GARMONIKI n. nA RIS. 23 PREDSTAWLEN [UMOWOJ SPEKTR CIRKULIRU@]EGO PU^KA PROTONOW DLQ SLU^AQ, KOGDA ^ASTICY RAWNOMERNO RASPREDELENY PO IMPULXSAM W PREDELAH |p - p0 | p = (p0 /| |)m, GDE m -- MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE . pRI NEKOTOROM DOSTATO^NO BOLX[OM ZNA^ENII n = n0 SOSEDNIE SPEKTRALX NYE POLOSY NA^INA@T PEREKRYWATX DRUG DRUGA. tAK KAK PRI "TOM SPRAWEDLIWO RAWENSTWO n0 0 (1 + m) = (n0 +1)0 (1 - m ), TO OTS@DA POLU^AETSQ 2n0 +1 = (| |p/p0)-1 . tAKIE SPEK TRALXNYE POLOSY NAZYWA@T NEKOGERENTNYMI, A ^ASTICY NA "TIH ^ASTOTAH (PRI n > n0 ) WEDUT SE BQ KAK NEZAWISIMYE, TAK ^TO SWQZX MEVDU NIMI OTSUTSTWUET. w USKORITELXNOJ FIZIKE "LEKTROMAGNITNYJ [UM PU^KA, ANALIZIRUEMYJ S POMO]X@ ANALIZATORA SPEKTRA, ^ASTO NAZYWA@T OTTKI-SKANOM. tAKIE PRODOLXNYE OTTKI-SKANY POZWOLQ@T IZMERQTX RASPREDELENIE ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE. 66

rIS. 23. UMOWOJ SPEKTR CIRKULIRU@]EGO PU^KA PROTONOW.

2.3.2. fUNKCIQ RASPREDELENIQ wY[E BYLO POLU^ENO WYRAVENIE DLQ SIGNALA OT ODNOJ ^ASTICY, WRA]A@]EJSQ W USKORITELE. ~TOBY POLU^ITX SIGNAL OT POLNOGO TOKA PU^KA, PROSUMMIRUEM PODOBNYE SIGNALY OT WSEH ^ASTIC, DLQ ^EGO ZADADIMSQ RASPREDELENIEM ^ASTIC W PU^KE (, , t), OPISYWA@]EM PLOTNOSTX ^ASTIC W DWUMERNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE (, ). pOLNYJ TOK PU^KA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE
T
0

J (t, ) = N
0

d
-

d (, , t)j (t, ),

(61)

GDE N -- ^ISLO ^ASTIC W USKORITELE; PRI "TOM FUNKCIQ RASPREDELENIQ (, , t) NORMI ROWANA NA EDINICU, TAK ^TO
T 0
0

d
-

d (, , t) = 1.

kOROTKO OBSUDIM NEKOTORYE OSNOWNYE ZAME^ANIQ I OPREDELENIQ, KASA@]IESQ RASPREDELENIJ ^ASTIC W PU^KE. rASPREDELENIE NAZYWAETSQ STACIoNARNYM, ESLI PLOTNOSTX ^ASTIC NE IZMENQETSQ S TE^ENIEM WREMENI W L@BOJ TO^KE FAZOWOGO PROSTRANSTWA. kOLI^ESTWO ^ASTIC, POKIDA@]IH DANNU@ TO^KU FAZOWOGO PROSTRANSTWA W EDINICU WREMENI, DOLVNO BYTX RAWNO PRI STACIONARNOM RASPREDELENII KOLI^ESTWU ^ASTIC, PRIBYWA@]IH W NEЁ E ZA TOT VE PROMEVUTOK WREMENI. wY[E MY WIDELI, ^TO ISHODNYE FAZOWYE TRAEKTORII ^ASTIC -- PRQMYE LINII, PO"TOMU STACIONARNAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ MOVET ZAWISETX LI[X OT KOORDINATY . w SAMOM DELE, PLOTNOSTX ^ASTIC PRI STACIONARNOM RASPREDELENII NE ZAWISIT OT KOORDINATY , TAK KAK W PROTIWNOM SLU^AE TAKAQ ZAWISIMOSTX DEFORMIROWALASX BY S TE^ENIEM 67

WREMENI IZ-ZA OTNOSITELXNOGO PRODOLXNOGO DWIVENIQ ^ASTIC W PU^KE, I STACIONARNOSTX RASPREDELENIQ OKAZALASX BY NEWOZMOVNOJ. sLEDOWATELXNO, STACIONARNOE RASPREDELENIE ^ASTIC W NEWOZMU]Ё OM ODNORODNOM PU^KE PROTONOW OPISYWAETSQ WYRAVENIEM WIDA g0 ( ). ENN pOLOVIM (, , t) = g0 ( ) I WYPOLNIM INTEGRIROWANIE W (61) S U^ЁTOM SOOTNO[ENIQ (59) e DLQ j (t, ). wIDNO, ^TO REZULXTIRU@]IJ SIGNAL PU^KA NE MENQETSQ S TE^ENIEM WREMENI I DAЁ SQ WYRAVENIEM J (t, ) = I , GDE I -- SREDNIJ TOK PU^KA. w ^ASTOTNOM PREDSTAWLENII ET SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ SPEKTRALXNAQ LINIQ NA NULEWOJ ^ASTOTE -- J (,) = I (). iNTERESNO OTMETITX SLEDU@]IJ HARAKTERNYJ REZULXTAT, POLU^A@]IJSQ PRI PEREHODE OT INDIWIDUALXNYH ^ASTIC K PU^KU, -- BOGATYJ ^ASTOTNYJ SPEKTR INDIWIDUALXNYH ^ASTIC PRI TAKOM PEREHODE POLNOSTX@ IS^EZAET. pODOBNYJ POSTOQNNYJ TOK MOVET LI[X SOZDAWATX POPERE^NOE "LEKTROMAGNITNOE POLE, TAK ^TO PRAWAQ ^ASTX W URAWNENII (55) RAWNA NUL@ I SILA, MOGU]AQ WYZWATX PRODOLXNU@ NESTABILXNOSTX, OTSUTSTWUET. oTS@DA MOVNO BYLO BY SDELATX WYWOD, ^TO ODNORODNYJ PU^OK PROTONOW USTOJ^IW WSEGDA. oDNAKO NA PRAKTIKE IDEALXNO ODNORODNYJ PU^OK NE SU]ESTWUET, TAK KAK REALXNYJ PU^OK SOSTOIT IZ BOLX[OGO ^ISLA TO^E^NYH ZARQDOW. w SREDNEM PLOTNOSTX ^ASTIC W PU^KE MOVET BYTX OPISANA GLADKOJ STACIONARNOJ FUNKCIEJ RASPREDELENIQ, NO W NЁ WSEEM GDA PRISUTSTWUET STATISTI^ESKIJ [UM, ^TO, KAK OTME^ALOSX, PODTWERVDAETSQ NALI^IEM OTTKI-SKANOW. dLQ POLU^ENIQ REZULXTIRU@]EGO SIGNALA OT PU^KA MY PROINTEGRIROWALI SIGNALY OT INDIWIDUALXNYH ^ASTIC S U^Ё OM FUNKCII RASPREDELENIQ S POMO]X@ WYRAET VENIQ (61) WMESTO SUMMIROWANIQ PO ^ASTICAM, ^TO PRIWELO K SGLAVIWANI@ PLOTNOSTI ^ASTIC W PU^KE I, KAK SLEDSTWIE, K PRENE BREVENI@ "TIM [UMOM. kROME STATISTI^ESKOGO [UMA K WOZMU]ENIQM STACIONARNOGO RASPREDELENIQ ^ASTIC PRIWODQT TAKVE PREDYDU]IE MANIPULQCII S PU^KOM W USKORITELE, TAKIE KAK RASSOGLASOWANIE PU^KA PRI INVEKCII, OSTAW[AQSQ OT LINEJNOGO USKORITELQ w~-STRUKTURA I DR. pO"TOMU IME@TSQ FIZI^ESKIE PRI^INY DLQ PREDSTAWLENIQ FUNKCII RASPRELELENIQ W WIDE SUMMY STACIONARNOGO RASPREDELENIQ I MALOGO WOZMU]ENIQ, PERIODI^NOGO PO S PERIODOM T0 . w KA^ESTWE WOZMU]ENIQ BUDEM RASSMATRIWATX GARMONIKU ^ASTOTY OBRA]ENIQ S NOMEROM n, TAK ^TO WOZMU]ENIE PREDSTAWLQET SOBOJ PREDWARITELXNU@ GRUPPIROWKU PU^KA NA ^ASTOTE n0 , I EGO MOVNO ZAPISATX W WIDE gn ( )ein0 . dLQ ANALIZA USTOJ^IWOSTI SLEDUET TAKVE PREDPOLOVITX, ^TO WOZMU]ENIE RASPREDELENIQ NE QWLQETSQ ^ISTO GARMONI^ESKIM, A IMEET NE BOLX[OJ, WOOB]E GOWORQ, KOMPLEKSNYJ ^ASTOTNYJ SDWIG nc I, SLEDOWATELXNO, EGO NEOBHODIMO UMNOVITX NA KO"FFICIENT einc t . s U^Ё OM SDELANNYH ZAME^ANIJ, ISHODNAQ ET FUNKCIQ RASPREDELENIQ MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE (, , t) = g0 ( )+ gn ( )ei
(n0 +
nc

t)

,

(62)

PRI^Ё FUNKCII g0 ( ) I gn ( ) IME@T SLEDU@]IE NORMIROWKI: EM g0 ( ) d = gn ( )ei
, (n0 +
nc

1 , T0 d d = 0,

t)

TAK KAK WOZMU]ENIE LI[X PERERASPREDELQET ^ASTICY, NE IZMENQQ IH POLNOGO ^ISLA N . uSTOJ^IWOSTX PU^KA OPREDELQETSQ ZNAKOM MNIMOJ ^ASTI WWEDЁNNOJ WY[E DOBAWKI K E ^ASTOTE WOZMU]ENIQ nc . eSLI Im nc < 0, TO WOZMU]ENIE "KSPONENCIALXNO NARASTAET S TE^ENIEM WREMENI, I PU^OK GRUPPIRUETSQ W SGUSTKI NA ^ASTOTE n0 . pOSTOQNNAQ ROSTA 68

WOZMU]ENIQ inst RAWNA 1/inst = -Im nc. eSLI VE Im nc > 0, TO WOZMU]ENIE ZATUHAET I SO WREMENEM RASSASYWAETSQ. sIGNAL, WOZBUVDAEMYJ RASPREDELENIEM (62), RAWEN J (t, ) = I + Jn (t, ), GDE Jn (t, ) = N
,

gn ( )ei

(n0 +

nc

t)

e0 in e 2

[0 (t- )- ]

d d = IT0 ei

[(n0 +

nc

)t-n ]

gn ( ) d,

I, SOOTWETSTWENNO, FURXE-SPEKTR: J (c ,) = I (c)+ Jn (c,), GDE Jn (c ,) = IT0e-
in

[c - (n0 + nc )]

gn ( ) d.

tAKIM OBRAZOM, SPEKTR PU^KA PRI NALI^II WOZMU]ENIQ SOSTOIT IZ DWUH LINIJ -- NA NULEWOJ ^ASTOTE I NA ^ASTOTE c = n0 + nc . wTORAQ LINIQ SOOTWETSTWUET ^ASTOTE KOGERENTNYH KOLE BANIJ PU^KA W TOM SMYSLE, ^TO MY OPREDELЁ ENNYM OBRAZOM UPORQDO^ILI ^ASTICY PU^KA, ^TOBY POLU^ITX "TU LINI@, IZNA^ALXNO S^ITAQ DWIVENIE ^ASTIC KOGERENTNYM. pREDPOLAGAETSQ, ^TO SIGNAL ILI TOK PU^KA QWLQETSQ KOMPLEKSNOJ WELI^INOJ. mY BUDEM ASSOCIIROWATX EGO S PONQTIEM KOMPLEKSNOGO IMPEDANSA, [IROKO ISPOLXZUEMYM W KLASSI^ESKOJ "LEKTROTEHNIKE. dLQ NAHOVDENIQ KOMPLEKSNOJ DOBAWKI nc K ^ASTOTE WOZMU]ENIQ n0 I RE[ENIQ TAKIM OBRAZOM WOPROSA O PRODOLXNOJ USTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW, W KA^ESTWE O^EREDNOGO "TAPA NEOBHODIMO SWQZATX "LEKTROMAGNITNOE POLE PU^KA S EGO TOKOM ^EREZ PRODOLXNYJ IMPEDANS SWQZI Z ( ). 2.3.3. pRODOLXNYJ IMPEDANS SWQZI mY POKA NE MOVEM PRISTUPITX K KOLI^ESTWENNOMU ISSLEDOWANI@ DETALEJ RAZWITIQ NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW, TAK KAK NA[I MATEMATI^ESKIE WOZMOVNOSTI ^REZWY^AJNO OGRANI^ENY. dAVE W PROSTEJ[EM SLU^AE PU^KA, "KRANIROWANNOGO GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMEROJ USKORITELQ, ANALITI^ESKOE WYRAVENIE DLQ SOBSTWENNOGO "LEKTROMAGNITNOGO POLQ PU^KA IMEET DOSTATO^NO SLOVNYJ WID. pOLU^ITX VE POLNYE ANALITI^ESKIE ET RE[ENIQ URAWNENIJ mAKSWELLA DLQ REALXNOJ MA[INY (S U^Ё OM WSEH IZMENENIJ GEOMETRII I "LEKTROMAGNITNYH SWOJSTW WAKUUMNOJ KAMERY WDOLX ORBITY PU^KA) OPREDELЁNNO NEWOZE MOVNO. pO"TOMU DLQ PRIDANIQ OB]NOSTI TEORII NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA WWEDЁ PONQTIE EM PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI Z ( ). w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM CILINDRI^ESKU@ GLADKU@ WAKUUMNU@ KAMERU. pRODOLXNOE "LEKTRI^ESKOE POLE PU^KA, "KRANIROWANNOGO TAKOJ KAMEROJ, BYLO POLU^ENO W PREDYDU]EM RAZDELE (SM. FORMULU (42)). pEREJDQ W SISTEMU si (в1/4 0 , GDE 0 = 8, 85 · 10-12 f/M -- "LEKTRI^ESKAQ POSTOQNNAQ), A TAKVE U^ITYWAQ, ^TO J = c, J e-in , s = R0 , PREOBRAZUEM WYRAVENIE (42) K WIDU Es = - 1 2R nZ0 g J (t, ), 2i 2 (63)

0

GDE Z0 -- TAK NAZYWAEMOE SOPROTIWLENIE SWOBODNOGO PROSTRANSTWA (Z0 = 120 oM). 69

pOSLEDNEE WYRAVENIE IDENTI^NO ZAKONU oMA, A RAZMERNOSTX WELI^INY W KWADRATNYH SKOBKAH DAЁ SQ W OMAH. pOSLEDNQQ WELI^INA, PO OPREDELENI@, NAZYWAETSQ PRODOLXNYM ET IMPEDANSOM SWQZI Z ( ), TAK ^TO S U^Ё OM "TOGO MOVNO ZAPISATX ET Es(t, ) = - 1 Z ( )J (t, ). 2R0 (64)

w RASSMATRIWAEMOM ZDESX ^ASTNOM SLU^AE PRODOLXNYJ IMPEDANS SWQZI RAWEN Z ( ) = Z0 g . 2i 2 0 (65)

nA DANNOJ STADII RASSMOTRENIQ MOVNO SDELATX NEKOTOROE OBOB]ENIE OTNOSITELXNO OPREDELENIQ PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI. tAK KAK NA ^ASTICY ODNOWREMENNO DEJSTWU@T "LEKTRI^ESKOE I MAGNITNOE POLQ, = Ё e p = [E + v в B]s(t, ), p0 p0

MY TAKVE WKL@^IM W OPREDELENIE IMPEDANSA WKLAD OT MAGNITNOGO POLQ: [E + v в B]s (t, ) = - 1 Z ( )J (t, ). 2R0 (66)

w KA^ESTWE DALXNEJ[EGO OBOB]ENIQ OPREDELENIE PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI RASPROSTRANQETSQ NA SLU^AJ, KOGDA WOZMU]ENIE NE QWLQETSQ ^ISTO GARMONI^ESKIM, A RASSREDOTO^ENO W PREDELAH NEKOTOROGO ^ASTOTNOGO DIAPAZONA. pRI "TOM KAVDAQ GARMONIKA TOKA PU^KA DAЁ SWOJ WKLAD W SILU I DOLVNA BYTX SKOMBINIROWANA S SOOTWETSTWU@]IM ET IMPEDANSOM Z ( ): [E + v в B]s (t, ) = - 1 2R
0 -

Z ( )J (, )eit d ,

(67)

GDE ISPOLXZU@TSQ SLEDU@]IE OPREDELENIQ: J (, ) = 1 2
-

J (t, )e-

i t

dt; J (t, ) =
-

J (, )eit d .

pRIMENIM SOOTNO[ENIE (67) K TO^E^NOMU ZARQDU e, OBRA]A@]EMUSQ S ^ASTOTOJ 0 W USKORITELE, DLQ KOTOROGO SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQ J (t, ) =
n

e (t -

+2n e0 )= 0 2 e-
n in

ein
n

( 0 t - )

;

J (, ) =

e0 2

( - n0 ).

pODSTAWLQQ POSLEDNEE WYRAVENIE DLQ J (, ) W FORMULU (67), POLU^AEM -2R0[E + v в B]s = e0 2 Z (n0 )ein
n ( 0 t - )

.

(68)

70

pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO ZA LIDIRU@]IM ZARQDOM SLEDUET TESTOWYJ ZARQD, ZAPAZDYWA@]IJ OTNOSITELXNO LIDIRU@]EGO NA WREMQ , DLQ KOTOROGO = 0 (t - ). tOGDA (68) PREOBRAZUETQ K WIDU - 2R0 0 [E + v в B]s ( ) = G( ) = e 2 Z (n0 )ein
n 0

,

(69)

GDE G( ) -- NAPRQVENIE, WOZDEJSTWU@]EE NA EDINICU ZARQDA (w/k); FUNKCI@ G( ) OBY^NO NAZYWA@T FUNKCIEJ gRINA. w WYRAVENII (69) ONA RAZLOVENA W RQD PO WSEM GARMONIKAM ^ASTOTY OBRA]ENIQ PU^KA. eSLI IMPEDANS Z ( ) PREDSTAWLQET SOBOJ DOSTATO^NO GLADKU@ FUNKCI@ ILI PERIMETR ORBITY DOSTATO^NO WELIK, TAK ^TO NAWEDENNYE POLQ POLNOSTX@ ZATUHA@T ZA ODIN OBOROT PU^KA W USKORITELE, RQD W (69) MOVET BYTX ZAMENЁ INTEGRALOM, TAK ^TO EN G( ) = 1 2
-

Z ( )ei d .

kAK OTS@DA WIDNO, IMPEDANS Z ( ) W TAKOM SLU^AE POLU^AETSQ KAK PREOBRAZOWANIE fURXE OT FUNKCII gRINA,

Z ( ) =
-

G( )e-

i

d .

pOSLEDNEE SOOTNO[ENIE ISPOLXZUETSQ PRI ^ISLENNYH RAS^Ё H IMPEDANSA Z ( ). s "TOJ ETA CELX@ WDOLX STRUKTURY USKORITELQ PRODWIGA@T KOROTKIJ SGUSTOK ^ASTIC, RE[AQ [AG ZA [AGOM URAWNENIQ mAKSWELLA W TO^KAH PREDWARITELXNO RAZBITOJ SETKI. tAKIM OBRAZOM E NAHODITSQ FUNKCIQ gRINA, A ZATEM ^ISLENNO WY^ISLQETSQ EЁ PREOBRAZOWANIE fURXE. w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM PRODOLXNYE IMPEDANSY SWQZI HARAKTERNYH "LEMENTOW WAKUUMNOJ KAMERY, S KOTORYMI WZAIMODEJSTWUET PU^OK W USKORITELE. uSKORITELX WKL@^AET W SE BQ MNOVESTWO "LEMENTOW, TAKIH KAK SILXFONY, FLANCY, IZMENENIQ POPERE^NOGO SE^ENIQ WAKUUMNOJ KAMERY, PIKAP-"LEKTRODY, USKORQ@]IE STANCII, SEPTUMY, KIKERY I T.D. w POSLEDNIE GODY DOSTIGNUT OPREDELЁ ENNYJ PROGRESS W RAS^Ё H IMPEDANSOW. bYLI ETA RAZRABOTANY PROGRAMMY DLQ ^ISLENNYH RAS^Ё OW, A TAKVE "KSPERIMENTALXNYE METODIKI ET DLQ NEPOSREDSTWENNOGO IZMERENIQ IMPEDANSOW NA USKORITELQH. oDNAKO NE WSEGDA UDAЁTSQ e RASS^ITATX ILI PREDUGADATX IMPEDANS SWQZI W sw~-DIAPAZONE DO POSTROJKI NOWOJ MA[INY. mNOGOE TAKVE IZWESTNO W "TOJ OBLASTI IZ OPYTA "KSPLUATACII SU]ESTWU@]IH USKORITELEJ. bOLX[INSTWO IZ NIH STRADAET OT NEUSTOJ^IWOSTEJ PU^KA, NESMOTRQ NA MNOGO^ISLENNYE POPYTKI IZMERITX I SNIZITX IMPEDANS SWQZI. kAK UVE GOWORILOSX, IMPEDANS SWQZI QWLQETSQ KOMPLEKSNOJ FUNKCIEJ ^ASTOTY . sLEDOWATELXNO, ON IMEET REALXNU@ I MNIMU@ ^ASTI. iMPEDANS GLADKOJ IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMERY -- PRIMER ^ISTO MNIMOGO IMPEDANSA. wOOB]E, W [IROKOM SMYSLE SLOWA IMPEDANS "LEMENTOW KOLXCA MOVET BYTX KAK INDUKTIWNYM, TAK I EMKOSTNYM. oN TAKVE MOVET BYTX SOPROTIWLENIEM, ESLI IME@T MESTO POTERI "NERGII PU^KA. nA[I URAWNENIQ NAPISANY TAKIM OBRAZOM, ^TO ISPOLXZUETSQ WSQ OSX (POLOVITELXNYE I OTRICATELXNYE ^ASTOTY). nIVE BUDET POKAZANO, ^TO OSNOWNOJ INTERES PREDSTAWLQET NE SOBSTWENNO WELI^INA Z ( ), A OTNO[ENIE Z ( )/ ILI Z ( )/n, GDE n = /0 . pO"TOMU OBY^NO W KA^ESTWE WERTIKALXNOJ KOORDINATY PRI IZOBRAVENII IMPEDANSA ISPOLXZU@TSQ Im Z ( )/ I Re Z ( )/ S W KA^ESTWE GORIZONTALXNOJ OSI.

71

kOROTKO OSTANOWIMSQ NA HARAKTERNYH TIPAH PRODOLXNYH IMPEDANSOW SWQZI, NAIBOLEE ^ASTO WSTRE^A@]IHSQ NA PRAKTIKE: rEZISTIWNYJ STENO^NYJ IMPEDANS, KOTORYJ IMEET O^ENX BOLX[U@ WELI^INU NA O^ENX NIZKIH ^ASTOTAH, Z ( ) = (1 + i) Z0 0 ( ) 2b 0
1 /2

;

1 Z ( ) Z0 = (1 + i) 0 , n 2b n

(70)

GDE b -- RADIUS WAKUUMNOJ KAMERY, KOTORAQ W DANNOM PRIMERE PREDPOLAGAETSQ GLADKOJ I CILINDRI^ESKOJ; 0 = 2/µ0 0 (µ0 = 4 · 10-7 gN/M -- MAGNITNAQ POSTOQNNAQ; -- PROWODIMOSTX MATERIALA, IZ KOTOROGO IZGOTOWLENA WAKUUMNAQ KAMERA). wYSOKODOBROTNYE REZONANSNYE "LEMENTY, NAPRIMER PARAZITNYE TIPY WOLN, WOZBUVDAEMYE PU^KOM W POLOSTQH USKORQ@]IH REZONATOROW. tAKIE UZKOPOLOSNYE REZONANSY, ESLI ONI IME@TSQ W USKORITELE, DOLVNY BYTX OBNARUVENY I PODAWLENY. IROKOPOLOSNYJ IMPEDANS, U^ITYWA@]IJ "FFEKT OT MNOGO^ISLENNYH WAKUUMNYH PEREHODOW. eGO OBY^NO APPROKSIMIRU@T REZONATOROM S DOBROTNOSTX@ Q 1 S SOBSTWENNOJ ^ASTOTOJ, RASPOLAGA@]EJSQ WBLIZI ^ASTOTY OTSE^KI WAKUUMNOJ KAMERY (c = c/b). dANNAQ MODELX HORO[O SOGLASUETSQ S "KSPERIMENTALXNYMI DANNYMI. rEZISTIWNAQ ^ASTX IMPEDANSA SPADAET NA WYSOKIH ^ASTOTAH, KAK POKAZALI NABL@DENIQ NA "LEKTRONNYH MA[INAH. nA NIZKIH ^ASTOTAH IMPEDANS PREDSTAWLQET SOBOJ INDUKTIWNOSTX. tAKIM OBRAZOM, RASSMATRIWAEMYJ IMPEDANS APPROKSIMIRUETSQ WYRAVENIEM Z ( ) = Rs , 1+ iQ(/c - c / ) (71)

GDE Rs -- [UNTOWOJ IMPEDANS; Q 1 -- DOBROTNOSTX. oN PREDSTAWLQET SOBOJ INDUKTIWNOSX PRI c Z = iRs(/c); Z/n = iRs(0 /c ), ^ISTOE SOPROTIWLENIE PRI REZONANSE ( = c ) Z = Rs; Z/n = Rs(0 /c ), I ЁMKOSTX NA WYSOKIH ^ASTOTAH (PRI e c )

Z = -iRs(c / ); Z/n = -iRs(c 0 / 2 ). dLQ TOGO, ^TOBY SNIZITX WELI^INU [IROKOPOLOSNOGO IMPEDANSA, NEOBHODIMO PRI KONSTRUIROWANII WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ, PO-WOZMOVNOSTI, IZBEGATX ILI "KRANIROWATX REZKIE IZMENENIQ EЁ POPRE^NOGO SE^ENIQ. mINIMALXNAQ IZMERENNAQ WELI^INA [IROKOPOe LOSNOGO IMPEDANSA SWQZI |Z/n| SOSTAWLQET PORQDKA 1 oM W MAKSIMUME; ESLI VE NE PRINIMAETSQ NIKAKIH SPECIALXNYH MER PO EGO SNIVENI@, WELI^INA [IROKOPOLOSNOGO IMPEDANSA MOVET DOSTIGATX 50 oM. nAKONEC, NE NADO ZABYWATX OBY^NU@ KOMPONENTU OBЁMNOGO ZARQDA PU^KA, KOTORAQ e MOVET BYTX DOSTATO^NO BOLX[OJ PRI MALOJ "NERGII PU^KA, Zsc = -i Z0 g Z0 g , Zsc /n = -i . 2 2 0 2 2 (72)

sUMMARNYJ IMPEDANS, WIDIMYJ PU^KOM, PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU WSEH KOMPONENT, OBSUVDAW[IHSQ WY[E. kA^ESTWENNAQ KARTINA PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI W ZAWISIMOSTI 72

OT ^ASTOTY PREDSTAWLENA NA RIS. 24, GDE REALXNYE ^ASTI Re Z/n DANY SPLO[NYMI LINIQMI, A MNIMYE Im Z/n -- PUNKTIROM.

rIS. 24. zAWISIMOSTX PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI OT ^ASTOTY W PROTONNOM SINHROTRONE.

2.3.4. uRAWNENIE wLASOWA I DISPERSIONNOE URAWNENIE iSPOLXZUEMAQ W NASTOQ]EM RAZDELE PARA PEREMENNYH (, ) QWLQETSQ KANONI^ESKI SO PRQVЁNNOJ, PO"TOMU W SILU TEOREMY lIUWILLQ PLOTNOSTX ^ASTIC NA FAZOWOJ PLOSKOSTI e WBLIZI L@BOJ KONKRETNOJ ^ASTICY OSTAЁTSQ NEIZMENNOJ S TE^ENIEM WREMENI, ^TO MATEe MATI^ESKI OPISYWAETSQ URAWNENIEM d/dt = 0, KOTOROE MOVNO RASPISATX BOLEE PODROBNO: + + = 0. Ё t (73)

pOSLEDNEE URAWNENIE S U^ЁTOM URAWNENIQ DWIVENIQ (57), KOTORYM ZAMENQETSQ W (73), e Ё NAZYWAETSQ URAWNENIEM wLASOWA. pODSTAWLQQ W (73) WYRAVENIE DLQ , WWEDЁNNOE WY[E S e POMO]X@ FORMULY (62), I U^ITYWAQ, ^TO / t = incgn ( )ei
(n0 +
nc

t)

;
t)

/ = in0 gn ( )ei

(n0 +

nc

;

/ = g0 ( )+ ^LENY WTOROGO PORQDKA MALOSTI, Ё Ё 73

A TAKVE OTBRASYWAQ ^LENY WTOROGO PORQDKA MALOSTI, IMEEM (inc + in0 )gn ( )ei
(n0 +
nc

t)

= -g0 ( ), Ё

(74)

GDE WYRAVENIE DLQ S U^ЁTOM OPREDELENIQ IMPEDANSA (66) I FORMULY DLQ Jn (t, = t) Ё e PREOBRAZUETSQ K WIDU =- Ё I Z ( ) ei (m0 c2 /e) 2
(n0 +
nc

t)

gn ( ) d.

(75)

nA PERWYJ WZGLQD, URAWNENIE (74) O^ENX SLOVNOE, TAK KAK W NEGO QWNO WHODIT FUNKCIQ gn , SODERVA]AQ DETALI NA^ALXNOGO WOZMU]ENIQ. oDNAKO POSLE INTEGRIROWANIQ OBEIH EGO ^ASTEJ PO ONO SU]ESTWENNO UPRO]AETSQ. w REZULXTATE POLU^AETSQ DISPERSIONNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO ISKOMOJ ^ASTOTY nc : 1= -I Z ( ) i 2 /e) 2 n ( m0 c 0
-

g0 ( ) d. (nc /n0 )+

(76)

oNO NE ZAWISIT OT gn . dRUGIMI SLOWAMI, NA INKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI NE WLIQET FORMA NA^ALXNOGO WOZMU]ENIQ ISHODNOJ PLOTNOSTI ^ASTIC W PU^KE. fAKTI^ESKI, ISKOMAQ DOBAWKA K ^ASTOTE nc POQWLQETSQ W URAWNENII DWAVDY -- POD INTEGRALOM I W ARGUMENTE IMPEDANSA Z (n0 + nc ). oDNAKO PO PREDPOLOVENI@ WYPOLNQETSQ USLOWIE |nc | n0 , PO"TOMU OBY^NO WELI^INA IMPEDANSA BERЁTSQ NA ^ASTOTE n0 : Z (c ) = Z (n0 ) = Zn . oBOZNA^AQ DALEE e = I , 2 (m0 c2 /e) 2

PREOBRAZUEM DISPERSIONNOE URAWNENIE K WIDU 1=- 2 Zn i 0 n
-

g0 ( ) d. (nc/n0 )+

(77)

2.3.5. iNKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI MONOHROMATI^ESKOGO PU^KA PROTONOW rASSMOTRIM SNA^ALA KOGDA RAZBROS ^ASTIC PO g0 DAЁTSQ WYRAVENIEM g e NQQ INTEGRIROWANIE PO WIDE RE[ENIE DISPERSIONNOGO URAWNENIQ (77) W PROSTEJ[EM SLU^AE, IMPULXSAM W PU^KE OTSUTSTWUET, TAK ^TO ISHODNOE RASPREDELENIE 0 ( ) = ( )/T0 . pODSTAWLQQ DANNOE RASPREDELENIE W (77) I WYPOL^ASTQM, SRAZU VE POLU^IM RE[ENIE DISPERSIONNOGO URAWNENIQ W nc n0
2

Zn = - i , GDE / > 0. n

(78)

pROANALIZIRUEM TEPERX POLU^IW[EESQ RE[ENIE DLQ NESKOLXKIH HARAKTERNYH ^ASTNYH SLU^AEW. 1. Zn /n -- ^ISTO AKTIWNOE SOPROTIWLENIE. pRI L@BOM ZNAKE n ODIN IZ KORNEJ URAWNENIQ (78) IMEET OTRICATELXNU@ MNIMU@ ^ASTX -- Im nc < 0. pU^OK NEUSTOJ^IW WSEGDA. 2. pRODOLXNOE KULONOWSKOE RASTALKIWANIE ^ASTIC W PU^KE, "KRANIROWANNOM IDEALXNO PROWODQ]EJ GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMEROJ USKORITELQ -- WYRAVENIE iZn /n = Z0 g/2 2 QWLQETSQ DEJSTWITELXNOJ POLOVITELXNOJ WELI^INOJ. pO"TOMU PRI "NERGII PU^KA NIVE KRITI^ESKOJ ( < tr , < 0) PU^OK USTOJ^IW, A ZA KRITI^ESKOJ "NERGIEJ ( > tr , > 0) IMEET MESTO TAK NAZYWAEMAQ NEUSTOJ^IWOSTX OTRICATELXNOJ MASSY. 74

3. Zn /n -- ^ISTAQ INDUKTIWNOSTX (NAPRIMER, WOZDEJSTWIE NA PU^OK NA NIZKIH ^ASTOTAH OBSUVDAW[EGOSQ WY[E [IROKOPOLOSNOGO IMPEDANSA, OBUSLOWLENNOGO NEODNORODNOSTQMI WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ). rEZULXTAT, OBRATNYJ POLU^ENNOMU W PUNKTE 2; W ^ASTNOSTI, PU^OK USTOJ^IW PRI > tr . sLEDUET OTMETITX, ^TO MATEMATI^ESKIJ INSTRUMENT, ISPOLXZOWANNYJ DLQ RE[ENIQ ZADA^I (URAWNENIE wLASOWA, DISPERSIONNOE SOOTNO[ENIE, KOMPLEKSNAQ PLOSKOSTX DLQ ^ASTOT I IMPEDANSOW), O^ENX "FFEKTIWEN. oDNAKO ZA MATEMATIKOJ TERQETSQ FIZI^ESKIJ SMYSL PROCESSA. mY NA^ALI S PREDWARITELXNO SGRUPPIROWANNOGO PU^KA, KOGDA WDOLX EGO ORBITY UKLADYWAETSQ n DLIN WOLN. wZAIMODEJSTWIE "TOJ PREDWARITELXNOJ GRUPPIROWKI S PRODOLXNYM IMPEDANSOM SWQZI SOZDAЁT PRODOLXNU@ SILU S ^ASTOTOJ, BLIZKOJ K n0 , KOTOe RAQ, W SWO@ O^EREDX, PODOBNO w~-REZONATORU, WOZDEJSTWUET NA ^ASTICY. pOLU^ENNOE DLQ nc WYRAVENIE (78) SOWPADAET S WYRAVENIEM DLQ SINHROTRONNOJ ^ASTOTY 0 , DAWAEMYM FORMULOJ (1.155), ESLI W POSLEDNEJ ZAMENITX qV sin s NA inZn ( )I .

rIS. 25. iNKREMENTY PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI MONOHROMATI^ESKOGO PU^KA NA PLOSKOSTI IMPEDANSOW.

75

rEZULXTAT RE[ENIQ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ (LINII POSTOQNNYH INKREMENTOW) OBY^NO PREDSTAWLQ@T NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IMPEDANSOW (SM. RIS. 25). zA ISKL@^ENIEM ^ASTI WERTIKALXNOJ OSI u = Im nc/n0 > 0, SOOTWETSTWU@]EJ PRODOLXNOMU KULONOWSKOMU RASTALKIWANI@ ^ASTIC W PU^KE, "KRANIROWANNOM IDEALXNO PROWODQ]EJ GLADKOJ KAMEROJ, PRI < tr ILI WOZDEJSTWI@ NA PU^OK [IROKOPOLOSNOGO INDUKTIWNOGO IMPEDANSA PRI > tr , WSE TO^KI DANNOJ DIAGRAMMY SOOTWETSTWU@T NEUSTOJ^IWOMU DWIVENI@ ^ASTIC W PU^KE. nANESQ NA DIAGRAMMU RIS. 25 TO^KU, KOORDINATY KOTOROJ SOOTWETSTWU@T REALXNOJ I MNIMOJ ^ASTQM IMPEDANSA Zn /n, NETRUDNO POLU^ITX, INTERPOLIRUQ KRIWYE Im nc = const, ZNA^ENIE INKREMENTA NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA, RAZWIWA@]EJSQ PRI WZAIMODEJSTWII PU^KA S DANNYM IMPEDANSOM. tAKIM OBRAZOM, MOVNO RASS^ITATX SKOROSTX ROSTA WOZMU]ENIQ W PU^KE PRI ZADANNOJ WELI^INE PRODOLXNOGO IMPEDANSA, ^TO QWLQETSQ SU]ESTWENNOJ ^ASTX@ NEOBHODIMOJ INFORMACII. oDNAKO S POMO]X@ "TOJ DIAGRAMMY NEWOZMOVNO POLU^ITX DETALI PROCESSA RAZWITIQ NEUSTOJ^IWOSTI. rASSMOTRIM KRATKO, KAK RAZWIWAETSQ NEUSTOJ^IWOSTX NA FAZOWOJ PLOSKOSTI (, ). pUSTX IMPEDANS ^ISTO MNIMYJ (TO^KA A NA RIS. 25), TOGDA w~-POLE, SOZDAWAEMOE ^ASTICAMI, IMEET ^ASTOTU, TO^NO RAWNU@ n0 , TAK KAK U nc OTSUTSTWUET REALXNAQ ^ASTX SOGLASNO FORMULE (78). pRI "TOM MAKSIMALXNAQ PLOTNOSTX ZARQDA RASPOLAGAETSQ W CENTRE SEPARATRISY, A POSTOQNNAQ WREMENI RAZWITIQ NEUSTOJ^IWOSTI RAWNA PERIODU SINHROTRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC W "TIH SEPARATRISAH (SM. RIS. 26A).

rIS. 26. rAZWITIE PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA NA FAZOWOJ PLOSKOSTI.

76

w TO^KE B DIAGRAMMY RIS. 25 IMPEDANS IMEET KAK REALXNU@, TAK I MNIMU@ ^ASTI. w~-SEPARATRISY SOOTWETSTWU@T ^ASTOTE c = n0 + Re nc. mONOHROMATI^NYJ WNA^ALE PU^OK NA^INAET IZWIWATXSQ WDALI OT CENTRA SEPARATRIS (SM. RIS. 26B). rEALXNAQ ^ASTX Zn DAЁT NEPOSREDSTWENNYJ WKLAD W INKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI: e nc n0
2

= -i

Zn Zn Im nc . ; Re n n n2

oTS@DA NETRUDNO SDELATX SLEDU@]IJ WYWOD: SOPROTIWLENIE STENKI KAMERY NAMNOGO MENEE OPASNO DLQ PU^KA PO SRAWNENI@ S SOPROTIWLENIEM [IROKOPOLOSNOGO IMPEDANSA WBLIZI ^ASTOTY OTSE^KI WAKUUMNOJ KAMERY. w OB]EM SLU^AE PRODOLXNAQ NEUSTOJ^IWOSTX NOSIT MIKROWOLNOWYJ HARAKTER, W REZULXTATE ^EGO PU^OK RAZBIWAETSQ NA SOTNI I TYSQ^I MINISGUSTKOW WDOLX ORBITY USKORITELQ. 2.3.6. rE[ENIE DISPERSIONNOGO URAWNENIQ PRI NALI^II RAZBROSA ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE rAZBROS ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE QWLQETSQ DLQ NEUSTOJ^IWOSTI STABILIZIRU@]IM FAKTOROM. s NIM SWQZANO PONQTIE POROGA NEUSTOJ^IWOSTI, KONKRETNAQ WELI^INA KOTOROGO ZAWISIT, WOOB]E GOWORQ, OT WIDA ISHODNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ g0 ( ). w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM PARABOLI^ESKOE RASPREDELENIE ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE, DLQ KOTOROGO 30 2 g0 ( ) = 1 - 2 , GDE | | L . (79) 8 L L w KONE^NOJ FORMULE DLQ POROGA NEUSTOJ^IWOSTI OBY^NO ISPOLXZUETSQ NE POLU[IRINA RASPREDELENIQ ^ASTIC PO OSNOWANI@ L , A POLNAQ [IRINA NA POLUWYSOTE RASPREDELENIQ 0 . w SLU^AE RASPREDELENIQ (79) SWQZX MEVDU UKAZANNYMI PARAMETRAMI SLEDU@]AQ: 0 = 2L = | |(p/p)0, GDE WELI^INY S INDEKSOM 0 OBOZNA^A@T POLNU@ [IRINU RASPREDELENIQ NA POLUWYSOTE. s U^ЁTOM SKAZANNOGO, MOVNO PREDSTAWITX DISPERSIONNOE URAWNENIE (77) e W WIDE Zn 1 = c i S, (80) n GDE 1 ydy 3I c = ; S= . 2 /e) 2 (p/p)2 2 (m0c -1 y +(nc /n0 L ) 0 uRAWNENIE (80) RE[AETSQ PUTЁM POSTROENIQ DIAGRAMMY, PODOBNOJ PREDSTAWLENNOJ NA e RIS. 25 W PREDYDU]EM RAZDELE. s "TOJ CELX@ URAWNENIE (80), IME@]EE KOMPLEKSNYE KO"FFICIENTY, ZAMENQETSQ PAROJ URAWNENIJ S DEJSTWITELXNYMI KO"FFICIENTAMI c Re Zn n = Im (S -1); cIm Zn n = -Re (S
-1

).

(81)

dALEE, PRI FIKSIROWANNOM ZNA^ENII INKREMENTA NEUSTOJ^IWOSTI Im nc IZMENQETSQ REALXNAQ ^ASTX ISKOMOJ ^ASTOTY nc , I KAVDYJ RAZ WY^ISLQ@TSQ SOOTNO[ENIQ (81). w REZULXTATE TAKOGO RAS^ЁTA NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI Zn /n STROQTSQ LINII POSTOQNNYH e INKREMENTOW u = const, GDE nc 2nc u = Im = Im , n0 L n0 | |(p/p)0 77

PREDSTAWLENNYE NA RIS. 27. pOROG NEUSTOJ^IWOSTI DAЁTSQ KRIWOJ u = 0, SOSTOQ]EJ IZ e ZAMKNUTOJ KRIWOJ, OHWATYWA@]EJ NA^ALO KOORDINAT, I IZ ^ASTI POLOVITELXNOJ GORIZONTALXNOJ POLUOSI. pOROGOWAQ KRIWAQ SU]ESTWENNYM OBRAZOM ZAWISIT OT KRAЁW RASPREDELEe NIQ. rEZKIE KRAQ RASPREDELENIQ UMENX[A@T PLO]ADX, OHWATYWAEMU@ POROGOWOJ KRIWOJ. nE BOLX[OE SKRUGLENIE KRAЁW RASPREDELENIQ DELAET POROGOWU@ KRIWU@ BOLEE GLADKOJ. eSLI e HWOSTY DLINNYE (NAPRIMER, GAUSSOWO RASPREDELENIE), TO POROGOWYJ KONTUR WYTQGIWAETSQ W NAPRAWLENII POLOVITELXNOJ GORIZONTALXNOJ POLUOSI.

rIS. 27. hARAKTERISTIKI PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI S U^ЁTOM RAZBROSA ^ASTIC PO IMPULXSAM W e PU^KE.

dLQ ANALITI^ESKIH OCENOK POROGA NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW OBY^NO ISPOLXZUETSQ KRUGOWOJ KONTUR -- c |Zn /n| < 0.5, ILI W QWNOM WIDE Zn m0 c2 2 | | p n e I p
2

.
0

(82)

pOSLEDNEE WYRAVENIE [IROKO ISPOLXZUETSQ PRI RAS^ЁTE DOPUSTIMOJ WELI^INY PRODOLXe NOGO IMPEDASA SWQZI W KOLXCEWYH USKORITELQH PROTONOW.

78

2.4. popere~naq neustoi~iwostx odnorodnogo pu~ka protonow w PREDYDU]EM RAZDELE BYLO POKAZANO, ^TO KOGERENTNYE KOLE BANIQ ^ASTIC W PRODOLXNOM NAPRAWLENII WOZNIKA@T ZA S^ЁT PRODOLXNOJ MODULQCII LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA, e KOTORAQ SOZDAЁT "LEKTROMAGNITNOE POLE WDOLX OSI PU^KA. eSLI WERNUTXSQ K PRIMERU e PU^KA, "KRANIROWANNOGO KRUGLOJ IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMEROJ, TO "TO SOBSTWENNOE PRODOLXNOE POLE ASSOCIIRUETSQ S OBRATNYM TOKOM ILI TOKOM IZOBRAVENIQ Iw , TEKU]IM W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII PO OTNO[ENI@ K NAPRAWLENI@ DWIVENIQ PU^KA I RAWNOMERNO RASPREDELЁNNYM PO WNUTRENNEJ STENKE KAMERY. e w SLU^AE POPERE^NYH KOLE BANIJ (DLQ OPREDELЁNNOSTI BUDEM RASSMATRIWATX x NAPRAe WLENIE) WOZMU]ENIE SOSTOIT W NE BOLX[OM POPERE^NOM SME]ENII PU^KA. iZ-ZA FOKUSIROWKI WNE[NIM MAGNITNYM POLEM TAKOJ PU^OK KOLE BLETSQ KAK CELOE, DWIGAQSX WDOLX ORBITY USKORITELQ. pOLNYJ TOK Iw , TEKU]IJ W STENKE KAMERY, IMEET TU VE SAMU@ WELI^INU, ^TO I W RASSMOTRENNOM WY[E PRIMERE, NO EGO RASPREDELENIE W POPERE^NOM SE^ENII STENKI KAMERY BOLX[E NE QWLQETSQ RAWNOMERNYM.

rIS. 28. --LEKTROMAGNITNOE POLE, WOZBUVDAEMOE PU^KOM PRI EGO SME]ENII OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY.

w OTLI^IE OT PREDYDU]EGO SLU^AQ, WDOLX STENKI KAMERY W PROTIWOPOLOVNYH NAPRAWLENIQH PROTEKA@T RAZNOSTNYE TOKI, RAWNYE ±Iw . pODOBNYE TOKI TRE BU@T SU]ESTWOWANIQ W PREDELAH APERTURY WAKUUMNOJ KAMERY PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ, WELI^INA KOTOROGO IZMENQETSQ W ZAWISIMOSTI OT KOORDINATY x PO LINEJNOMU ZAKONU. pRI "TOM TAKVE WOZNIKAET DIPOLXNOE MAGNITNOE POLE, KOTOROE MOVET KAK RASKA^ATX PU^OK, TAK I STABILIZIROWATX EGO. sKAZANNOE ILL@STRIRUETSQ RIS. 28, GDE POKAZANY RAZNOSTNYE TOKI, TEKU]IE WDOLX KAMERY, A TAKVE "LEKTRI^ESKOE I MAGNITNOE POLQ, WOZBUVDAEMYE PU^KOM PROTONOW PRI EGO SME]ENII OTNOSITELXNO CENTRA KAMERY. 2.4.1. pOPERE^NOE DWIVENIE ODNOJ ^ASTICY e nEWOZMU]ЁNNOE POPERE^NOE DWIVENIE ^ASTICY W GORIZONTALXNOM NAPRAWLENII OPISYWAETSQ URAWNENIEM x + 2 x = 0, Ё (83)

79

GDE = Q -- NABEG FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ W EDINICU WREMENI, -- ^ASTOTA OBRA]ENIQ ^ASTICY. w GLADKOM PRIBLIVENII ZAWISIMOSTX POPERE^NOGO POLOVENIQ ^ASTICY OT WREMENI DaЁTSQ WYRAVENIEM e
t

x(t) = x cos (t) = x cos ^ ^
0

dt + 0 .

pRI ANALIZE USTOJ^IWOSTI POPERE^NOGO DWIVENIQ ^ASTIC W PU^KE UDOBNO ISPOLXZOWATX WMESTO (x, x) DRUGU@ PARU KANONI^ESKIH PEREMENNYH (, x): = d/dt, x = x2 +(x/)2 , ^ ^ PRI^ЁM AMPLITUDA KOLE BANIJ x QWLQETSQ INWARIANTOM DLQ NEWOZMU]ЁNNOGO DWIVENIQ ^Ae ^ e STICY. dALEE U^TЁM, ^TO ^ASTOTA OBRA]ENIQ I BETATRONNAQ ^ASTOTA Q ZAWISQT, WOOB]E e GOWORQ, KAK OT IMPULXSA ^ASTICY p, TAK I OT AMPLITUDY BETATRONNYH KOLE BANIJ. s^ITAQ PO"TOMU = (p) I Q = Q(p, x), RAZLOVIM IH W RQD PO STEPENQM p/p0 OTNOSITELXNO ^ RAWNOWESNYH ZNA^ENIJ = 0 I Q = Q0 : = 0 + p p + ··· = 0 1 - + ··· , p 0 p0 Q p p + ··· = Q0 + + ··· . p 0 p0

Q = Q0 +

u^ITYWAQ TAKVE, ^TO NEWOZMU]ЁNNOE PRODOLXNOE DWIVENIE OPISYWAETSQ WYRAVENIEM: e = 0 + t, GDE = p/p0, IMEEM x = Q0 0 (1 - )+ +(^). (84)

x w (84) = 0 / , A ^EREZ (^) OBOZNA^ENA ZAWISIMOSTX BETATRONNOJ ^ASTOTY OT AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTICY. iNTEGRIRUQ POSLEDN@@ FORMULU, POLU^AEM ZAWISIMOSTX FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ OT WREMENI t x (t) = 0 + Q0 0 (t - )+ +(^)t. (85)

tEPERX MY MOVEM PEREJTI K RASSMOTRENI@ WOZMU]ЁNNOGO DWIVENIQ ^ASTICY, U^TQ e POPERE^NU@ SILU, SOZDAWAEMU@ "LEKTROMAGNITNYM POLEM PU^KA. w PEREMENNYH (x, x) WOZMU]ЁNNOE URAWNENIE DWIVENIQ IMEET WID e x + 2 x = Ё e [E + v в B] m0

t, = 0 (t - ) .

(86)

~TOBY PEREJTI K KOORDINATAM (, x), PREOBRAZUEM x K WIDU ^ ^ dx ^ d2 x= ^ x+ = dt dt x
2 1 /2

=-

sin (Ё + 2 x), x

(87)

OTKUDA POLU^AETSQ DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO AMPLITUDY BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTICY sin e x=- ^ [E + v в B] m0

t, = 0 (t - ) .

(88)

dLQ NABL@DENIQ ZA POPERE^NYMI KOLE BANIQMI PU^KA W USKORITELE ISPOLXZU@TSQ RAZREZNYE PIKAP-"LEKTRODY, NA KOTORYH NAWODQTSQ "LEKTRI^ESKIE SIGNALY PRI SME]ENII 80

CENTRA MASS PU^KA OTNOSITELXNO "LEKTRI^ESKIH CENTROW PIKAPOW. dANNYE SIGNALY PREDSTAWLQ@T SOBOJ PROIZWEDENIQ PRODOLXNOJ PLOTNOSTI ZARQDA NA POPERE^NOE SME]ENIE PU^KA. pUSTX NA AZIMUTE USKORITELQ RASPOLAGAETSQ RAZREZNOJ PIKAP-"LEKTROD, FIKSIRU@]IJ POPERE^NYJ SIGNAL j (t, ) OT ^ASTICY, DWIVU]EJSQ SO SME]ENIEM OTNOSITELXNO CENTRA PIKAPA, RAWNYJ PO OPREDELENI@ j(t, ) = x(t)j (t, )= x cos j (t, ). ^ (89)

sIGNAL j (t, ) PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOSTX IMPULXSOW, AMPLITUDA KOTORYH IZMENQETSQ W SOOTWETSTWII S IZMENENIEM POPERE^NOGO SME]ENIQ ^ASTICY W MOMENTY EЁ e PROLЁTA ^EREZ PIKAP-"LEKTROD x(t). iSPOLXZUQ SOOTNO[ENIE (59) DLQ PRODOLXNOGO SIGNALA e j (t, ) I URAWNENIE (85) DLQ FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ , POLU^AEM j(t, ) = GDE ^ e0 x 4
n=-

e-

in(00 + )

[ei

+ (n t+0 )

+ ei

- ( n t - 0 )

],

(90)

+ x n = (n + Q) = (n + Q0 )0 - [(n + Q0 )0 - ] +(^), - x n = (n - Q) = (n - Q0 )0 - [(n - Q0 )0 + ] - (^).

oTS@DA WIDNO, ^TO W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE SPEKTR SOSTOIT IZ BESKONE^NO OSTRYH + - LINIJ NA ^ASTOTAH n I n . 2.4.2. pOPERE^NYJ SIGNAL OT PU^KA ^ASTIC wWEDЁM FUNKCI@ RASPREDELENIQ ^ASTIC W PU^KE S POMO]X@ WYRAVENIQ e F (, x, , , t) = g0 ( )f0 (^)+ gn ( )fn (, x)ei ^ x ^
(n0 +
nc

t)

,

(91)

GDE PERWYJ ^LEN, RAWNYJ F0 = g0 ( )f0 (^), PREDSTAWLQET SOBOJ STACIONARNU@ ^ASTX RAS x PREDELENIQ, KOTORAQ NE DAЁT WKLADA W POPERE^NYJ SIGNAL PU^KA. fUNKCII g0 I f0 NORe MIROWANY SLEDU@]IM OBRAZOM: g0 ( )d =

0 ; 2

f0 (^)^ x = x xd ^
x ^

1 . 2

wTOROJ ^LEN W FORMULE (91) QWLQETSQ WOZMU]ENIEM FUNKCII RASPREDELENIQ. oN SODERVIT POPERE^NOE SME]ENIE PU^KA, KOTOROE PREDPOLAGAETSQ IME@]IM WID WOLNY, n PERIODOW KOTOROJ UKLADYWETSQ WDOLX PERIMETRA MA[INY. pREDPOLAGAETSQ TAKVE, ^TO DANNOE WOZMU]ENIE NE DWIVETSQ SINHRONNO S PU^KOM, A IMEET KOGERENTNYJ ^ASTOTNYJ SDWIG nc. kAK I W PREDYDU]EM RAZDELE, KOGERENTNAQ ^ASTOTA nc S^ITAETSQ KOMPLEKSNOJ, PRI^ЁM e EЁ MNIMAQ ^ASTX OPREDELQET USTOJ^IWOSTX RASPREDELENIQ, A WELI^INA EЁ REALXNOJ ^ASTI e e BLIZKA K Q0 0 . zNAQ FUNKCI@ RASPREDELENIQ ^ASTIC F I POPERE^NYJ SIGNAL OT ODNOJ ^ASTICY, MOVNO RASS^ITATX POPERE^NYJ SIGNAL OT PU^KA J (t, ), WYPOLNIW INTEGRIROWANIE J (t, ) = N F (, x, , , t)j(t, ) d xdxd d = ^ ^^

81

Ne0 2

gn ( )fn (, x)ein ^

0 +i

nc

t2

x cos ein ^
nc

[0 (t- )- ]

d dxd d = ^ (92)

2I S i e 0

[(n0 +

)t-n ]

,

GDE ^EREZ S OBOZNA^ENO SLEDU@]EE WYRAVENIE: S= gn ( )fn (, x)^2 cos ddxd, ^x ^ (93)

W TO WREMQ KAK SPEKTR DANNOGO SIGNALA J (,) PREDSTAWLQET SOBOJ EDINSTWENNU@ SPEKTRALXNU@ LINI@, 2I S -in J (,) = e - (n0 + nc ) . (94) 0 2.4.3. pOPERE^NYJ IMPEDANS SWQZI pOPERE^NYJ IMPEDANS SWQZI Z OPREDELQETSQ ANALOGI^NO WWEDЁNNOMU W PREDYDU]EM e RAZDELE PRODOLXNOMU IMPEDANSU Z ( ). iMPEDANS Z SWQZYWAET POPERE^NOE "LEKTROMAGNITNOE POLE, WOZBUVDAEMOE PU^KOM, S POPERE^NYM SIGNALOM OT PU^KA NA DANNOJ ^ASTOTE [E + v в B] (t, ) = i Z J (t, ), 2R0 (95)

PRI^ЁM POPERE^NYJ SIGNAL J IZMERQETSQ W a·M, A IMPEDANS Z -- W oM/M. eSLI e SPEKTR POPERE^NOGO SIGNALA RASSREDOTO^EN W NEKOTOROM ^ASTOTNOM DIAPAZONE, OPREDELENIE IMPEDANSA OBOB]AETSQ NA "TOT SLU^AJ S POMO]X@ FORMULY, ANALOGI^NOJ FORMULE (67) DLQ PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI [E + v в B] (t, ) = i 2R
0 -

Z ( )J(, )eit d .

(96)

w OB]EM SLU^AE NEWOZMOVNO POLU^ITX IZ URAWNENIJ mAKSWELLA ANALITI^ESKOE WYRAVENIE DLQ POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI W SILU TEH VE SOOBRAVENIJ, KOTORYE BYLI WYSKAZANY PRI RASSMOTRENII PRODOLXNOGO IMPEDANSA. oDNAKO W NAIBOLEE PROSTOM SLU^AE, KOGDA KRUGLYJ PU^OK RADIUSA a DWIVETSQ W BESKONE^NOJ METALLI^ESKOJ TRUBE RADIUSA b UDAЁTSQ OTNOSITELXNO LEGKO RASS^ITATX POPERE^NOE "LEKTROMAGNITNOE POLE, WOZNIKA@e ]EE PRI SME]ENII EGO CENTRA TQVESTI OTNOSITELXNO CENTRA TRUBY, A SLEDOWATELXNO, I WELI^INU Z . tAK KAK REALXNAQ ^ASTX POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI GLADKOJ KAMERY NA NIZKIH ^ASTOTAH DOSTIGAET BOLX[OJ WELI^INY, TO ONA QWLQETSQ ODNOJ IZ OSNOWNYH PRI^IN WOZNIKNOWENIQ POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA. oSTANOWIMSQ PO"TOMU BOLEE PODROBNO NA e RAS^ЁTE POPERE^NOGO IMPEDANSA DLQ SLU^AQ CILINDRI^ESKOJ GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. nA RIS. 29 IZOBRAVЁN CILINDRI^ESKIJ PU^OK, SOWER[A@]IJ MALYE POPERE^NYE KOLEe BANIQ WNUTRI GLADKOJ CILINDRI^ESKOJ WAKUUMNOJ KAMERY. pRI SME]ENII CENTRA PU^KA W RADIALXNOM NAPRAWLENII NA WELI^INU x0 WOZNIKAET WOZMU]ENIE ISHODNOJ PLOTNOSTI ZARQDA PU^KA, KOTOROE MOVNO PREDSTAWITX KAK POWERHNOSTNYJ ZARQD , RASPREDELЁNNYJ e NA GRANICE PU^KA r = a W SOOTWETSTWII S WYRAVENIEM = 0 x0 cos (r - a), GDE 0 --

82

ISHODNAQ OBЁMNAQ PLOTNOSTX ZARQDA PU^e KA. tAK KAK NA PRAKTIKE OSNOWNOJ INTERES PREDSTAWLQ@T "LEKTROMAGNITNYE WOLNY, DLINY KOTORYH WELIKI PO SRAWNENI@ S POPERE^NYM RAZMEROM WAKUUMNOJ KAMERY (/c 1/b, 2 / s2 2 / x2 1/b2 ), TO POTENCIAL MOVET BYTX WY^ISLEN PUTЁM e RE[ENIQ URAWNENIQ pUASSONA: 2 = -
0

=-

0 x
0

0

cos (r - a).

(97)

rASSMOTRIM SNA^ALA IDEALXNO PROWODQ]U@ WAKUUMNU@ KAMERU USKORITELQ. pRI "TOM POTENCIAL UDOWLETWORQET NULEWOMU USLOWI@ NA STENKE KAMERY (b) = 0. kROME "TOGO, DOLVNA BYTX OBESPE^ENA NEPRERYWNOSTX POTENCIALA NA GRANICE PU^KA 1 (a) = 2 (a), GDE 1 I 2 -- SOOTWETSTWENNO RE[ENIQ URAWNENIQ (97) WNUTRI I WNE PU^KA; PROIZWODNAQ VE OT POTENCIALA rIS. 29. k WY^ISLENI@ POPERE^NOGO IMPEDANSA GLA DKOJ WAKUUMNOJ KAMERY. PO r , KAK NETRUDNO POKAZATX, IZ-ZA POWERHNOSTNOGO ZARQDA ISPYTYWAET PRI r = a SKA^OK: 1 (a)/ r - 2 (a)/ r = (0 x0 / 0 )cos. rE[ENIQ URAWNENIQ pUASSONA (97) I]EM W WIDE 1 = Cr cos WNUTRI PU^KA I 2 = C1 rcos +(C2 /r )cos -- WNE PU^KA. pOSTOQNNYE C , C1 I C2 OPREDELQ@TSQ IZ PRIWEDENNYH WY[E GRANI^NYH USLOWIJ, PRIWODQ]IH K SISTEME IZ TRЁH ALGE BRAI^ESKIH URAWNENIJ: e C1 b2 + C2 = 0; C - C1 + C2 0 x0 = ; a2 0

(C - C1 )a2 - C2 = 0. oPREDELQQ OTS@DA POSTOQNNU@ C , POLU^AEM DLQ POTENCIALA 1 RE[ENIE W WIDE 1 = 0 x0 x a2 1- 2 . 20 b (98)

u^ITYWAQ DALEE, ^TO Ex = - 1 / x, POLU^AEM DLQ "LEKTRI^ESKOGO POLQ WNUTRI PU^KA SLEDU@]U@ FORMULU 0 x0 a2 Ex = - 1- 2 . (99) 20 b aNALOGI^NYM OBRAZOM RASS^ITYWAETSQ MAGNITNOE POLE Bz , WOZNIKA@]EE PRI RADIALXNOM SME]ENII PU^KA OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ NA WELI^INU x0 . pRI "TOM OTLI^IE URAWNENIQ pUASSONA DLQ PRODOLXNOJ KOMPONENTY A WEKTORNOGO POTENCIALA OT URAWNENIQ (97) SOSTOIT LI[X W UMNOVENII PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO NA KO"FFICIENT, RAWNYJ cµ0 0 = /c, A GRANI^NYE USLOWIQ DLQ POTENCIALOW A I SOWPADA@T. tAK KAK Bz = A/ x = (/c) / x = -(/c)Ex, MOVNO ZAPISATX POPERE^NOE 83

"LEKTROMAGNITNOE POLE, WOZNIKA@]EE PRI SME]ENII PU^KA OTNOSITELXNO CENTRA IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMERY W WIDE i iR0 Z0 1 1 [E + v в B] (t, ) = - 2 J (t, ). (100) 2 2 2 2R0 a b oTMETIM, ^TO PRI PEREHODE OT FORMULY (99) K (100) ISPOLXZOWALISX SOOTNO[ENIQ 0 = I/(ca2) I J = Ix0 . sRAWNIWAQ FORMULU (100) S OPREDELENIEM POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI (96), MOVNO WIDETX, ^TO IMPEDANSOM Z QWLQETSQ WYRAVENIE, ZAKL@^ЁNNOE e W KWADRATNYE SKOBKI. w RASSMATRIWAEMOM ZDESX SLU^AE IDEALXNO PROWODQ]EJ WAKUUMNOJ KAMERY I U^ЁTE TOLXKO DLINNOWOLNoWYH WOZMU]ENIJ, IMPEDANS Z ^ISTO MNIMYJ I NE e ZAWISIT OT ^ASTOTY. w REALXNOJ WAKUUMNOJ KAMERE USKORITELQ "LEKTROMANITNOE POLE, WOZBUVDAEMOE PU^KOM PROTONOW, PRONIKAET W STENKU NA GLUBINU SKIN-SLOQ . uRAWNENIE DLQ PRODOLXNOJ KOMPONENTY WEKTORNOGO POTENCIALA A NA GRANICE PRI r = b MOVNO POLU^ITX, WOSPOLXZOWAW[ISX USLOWIEM lEONTOWI^A, SWQZYWA@]IM PRODOLXNU@ KOMPONENTU "LEKTRI^ESKOGO POLQ Es S KASATELXNOJ KOMPONETOJ NAPRQVЁNNOSTI MAGNITNOGO POLQ, e µ E s (b ) = (1 + i) (101) Z0 H (b), 2c GDE µ -- OTNOSITELXNAQ MAGNITNAQ PRONICAEMOSTX STENKI KAMERY, POLAGAEMAQ W DALXNEJ[EM RAWNOJ EDINICE. u^ITYWAQ SWQZX WIHREWOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ Es I POTENCIALA A, Es = -A/ t, A TAKVE WYRAVENIE DLQ KASATELXNOJ KOMPONENTY MAGNITNOGO POLQ B = µ0 H = -A/ r , POLU^AEM WMESTO (101) URAWNENIE DLQ POTENCIALA A NA STENKE KAMERY (PRI r = b): (1 - i) A A+ = 0. (102) 2 r tAK KAK WELI^INA KO"FFICIENTA PERED PROIZWODNOJ W FORMULE (102) SU]ESTWENNO MENX[E RADIUSA WAKUUMNOJ KAMERY b, TO FORMALXNO POSLEDNEE WYRAVENIE MOVNO PREDSTAWITX KAK RAZLOVENIE W RQD POTENCIALA A W GRANI^NOM USLOWII A b +(1 - i)/2 = 0. sLEDOWATELXNO, DLQ TOGO ^TOBY NAJTI POPRAWKU K IMPEDANSU Z , SWQZANNU@ S KONE^NOJ PROWODIMOSTX@ STENKI KAMERY, DOSTATO^NO W FORMULE DLQ Bz ZAMENITX b NA b +(1 - i)/2, A ZATEM SOOTWETSTWU@]IJ ^LEN FORMULY RAZLOVITX W RQD PO MALOMU PARAMETRU /b. w REZULXTATE POPERE^NYJ IMPEDANS KAMERY S U^ЁTOM KONE^NOJ PROWODIMOSTI STENKI KAMERY e PRIMET WID 1 1 1 Z = -iR0 Z0 2 2 2 - 2 - (1 - i) 3 . (103) a b b nEOBHODIMO OTMETITX, ^TO REALXNAQ ^ASTX IMPEDANSA Z , DAWAEMAQ FORMULOJ (103), SPRAWEDLIWA W SLU^AE, KOGDA GLUBINA SKIN-SLOQ MENX[E TOL]INY STENKI KAMERY l . eSLI VE GLUBINA SKIN-SLOQ PREWY[AET TOL]INU STENKI ( > l ), TO W FORMULE DLQ Re Z NEOBHODIMO ZAMENITX NA ll / , GDE l -- ^ASTOTA, PRI KOTOROJ = l . tAKIM OBRAZOM, NA WYSOKIH ^ASTOTAH Re Z 1/ , A NA NIZKIH (PRI > l ) -- Re Z 1/ . w SLU^AE GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMERY SU]ESTWUET SWQZX MEVDU REALXNYMI ^ASTQMI POPERE^NOGO I PRODOLXNOGO IMPEDANSOW SWQZI. --TO NETRUDNO POKAZATX, WOSPOLXZOWAW[ISX USLOWIEM lEONTOWI^A (101) I OPREDELENIEM PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI Z = U/I , GDE U = 2R0Es, I = 2bH. w REZULXTATE IMEEM Re Z = 2R0 Re Es R0 = , 2b H b 84

GDE = / DLQ TOLSTOJ STENKI I = /l -- W SLU^AE TONKOJ STENKI (ZDESX -- UDELXNOE SOPROTIWLENIE MATERIALA STENKI KAMERY W oM·M). sRAWNIWAQ POLU^IW[EESQ WYRAVENIE DLQ Re Z S Re Z (SM. FORMULU (103)), NAHODIM Re Z = 2c Re Z ( ). b2 (104)

sTROGO GOWORQ, FORMULA (104) PRIMENIMA LI[X W SLU^AE GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. oDNAKO, KAK POKAZYWA@T REZULXTATY IZMERENIJ NA USKORITELQH, OBLASTX PRIMENIMOSTI DANNOJ FORMULY OKAZYWAETSQ SU]ESTWENNO BOLEE [IROKOJ. rASSMATRIWAQ WAKUUMNU@ KAMERU USKORITELQ, MY S^ITALI EЁ GLADKOJ I NE U^ITYWALI e NI IZMENENIJ EЁ POPERE^NOGO SE^ENIQ, NI DRUGIH NEODNORODNOSTEJ. dLQ IH U^ЁTA TAK VE, e e KAK W SLU^AE PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI, WWODQT OBY^NO [IROKOPOLOSNYJ REZONATOR S DOBROTNOSTX@ Q 1. nET NIKAKIH OSNOWANIJ S^ITATX, ^TO PARAMETRY "TIH REZONATOROW SWQZANY DRUG S DRUGOM. oDNAKO IZMERENIQ, PROWEDENNYE NA NIZKIH ^ASTOTAH, POKAZYWA@T, ^TO DLQ NIH OKAZYWAETSQ SPRAWEDLIWOJ FORMULA (104), POLU^ENNAQ DLQ GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. wY[E OTME^ALOSX, ^TO WELI^INA PRODOLXNOGO [IROKOPOLOSNOGO IMPEDANSA OGRANI^ENA PREDELAMI: 0,2 oM |Zn /n| 50 oM, SLEDOWATELXNO ZNA^ENIQ POPERE^NOGO [IROKOPOLOSNOGO IMPEDANSA LEVAT W DIAPAZONE moM/M. iZ FORMULY (104) WIDNO TAKVE, ^TO BOLX[IE MA[INY S UZKOJ WAKUUMNOJ KAMEROJ PODWERVENY POPERE^NYM NEUSTOJ^IWOSTQM. s DRUGOJ STORONY, W BOLX[IH MA[INAH LEG^E POLU^ITX MALU@ WELI^INU |Zn /n|. s [IROKOPOLOSNYM IMPEDANSOM SWQZANY: A) POLOVITELXNAQ INDUKTIWNOSTX NA NIZKIH ^ASTOTAH, KONKURIRU@]AQ S OTRICATELXNOJ INDUKTIWNOSTX@ IZ-ZA KULONOWSKOGO RASTALKIWANIQ ^ASTIC W PU^KE; B) REZISTIWNYJ WKLAD WBLIZI ^ASTOTY OTSE^KI WAKUUMNOJ KAMERY; W) ЁMKOSTX NA WYSOKIH e ^ASTOTAH. w POPERE^NYJ IMPEDANS SWQZI DA@T TAKVE WKLAD WYSOKODOBROTNYE REZONATORY, OSNOWNYMI ISTO^NIKAMI KOTORYH QWLQ@TSQ USKORQ@]AQ SISTEMA I USTROJSTWA, ISPOLXZUEMYE DLQ DIAGNOSTIKI PU^KA. nEOBHODIMO TOLXKO OTMETITX SU]ESTWENNU@ RAZNICU MEVDU WYSOKODOBROTNYMI REZONATORAMI, DA@]IMI OTKLIK NA PRODOLXNYE I NA POPERE^NYE "LEKTROMAGNITNYE WOZMU]ENIQ PU^KA. tAK KAK PRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC PROISHODIT MEDLENNO PO SRAWNENI@ S ^ASTOTOJ OBRA]ENIQ PU^KA, TRE BUETSQ MNOGO OBOROTOW DLQ ODNOGO SINHROTRONNOGO KOLE BANIQ, I W BOLX[INSTWE SLU^AEW MOVET BYTX IGNORIROWAN TOT FAKT, ^TO NEKOTORYE IZ ISTO^NIKOW POLEJ (NAPRIMER, w~-REZONATORY) LOKALIZOWANY. w SLU^AE POPERE^NYH KOLE BANIJ TAKAQ APPROKSIMACIQ NE GODITSQ, TAK KAK ZA ODIN OBOROT ^ASTICA SOWER[AET Q KOLE BANIJ, I NELXZQ PRENE BREGATX AMPLITUDNOJ MODULQCIEJ FUNKCIJ fLOKE. mY, ODNAKO, PRODOLVIM RASSMOTRENIE GLADKOJ MA[INY S ODNORODNOJ FOKUSIROWKOJ, WWEDQ PONQTIE "FFEKTIWNOGO POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI: Z
ef f

=

Q0 ( R0

x,z

Z )

local

.

(105)

nAPRIMER, UZKIE POPERE^NYE MODY w~-REZONATOROW MENX[E WLIQ@T, ESLI REZONATORY RASPOLAGA@TSQ W PRQMOLINEJNOM PROMEVUTKE S MALYMI ZNA^ENIQMI x,z . 2.4.4. dISPERSIONNOE URAWNENIE w SILU TEOREMY lIUWILLQ POLNAQ PROIZWODNAQ OT FUNKCII RASPREDELENIQ ^ASTIC W ^ETYRЁHMERNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE F (, x, , , t) RAWNA NUL@, ^TO MOVNO ZAPISATX W e ^ 85

WIDE

F F F F F + + x+ ^ + = 0. Ё t x ^

(106)

iSPOLXZUQ DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE (88) DLQ AMPLITUDY KOLE BANIJ x, PREDSTAWLENIE ^ RASPREDELENIQ F W WIDE SUMMY ISHODNOGO STACIONARNOGO RASPREDELENIQ I MALOJ WOZMU]A@]EJ DOBAWKI S POMO[X@ FORMULY (91), A TAKVE OPREDELENIE POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI Z (95), MOVNO POLU^ITX DLQ SLAGAEMYH, WHODQ]IH W URAWNENIE (106), SLEDU@]IE WYRAVENIQ: F ^ = incgn ( )fn (, x)ei[(n0 +nc )t-n]; t F ^ fn (, x) ei[(n0 +nc )t-n]; = gn ( ) F x df0 (^) sin IS iZ(n) i x = g0 ( ) ^ e x ^ dx ^ cm0 /e
[(n0 +
nc

)t-n ]

+ ^LENY WTOROGO PORQDKA MALOSTI;

F ^ = in0 gn ( )fn (, x)ei[(n0+nc )t-n] ; = 0 -- PRODOLXNOE "LEKTRI^ESKOE POLE OTSUTSTWUET . Ё wYRAVENIE DLQ S OPREDELeNO RANEE FORMULOJ (93). pODSTAWLQQ PRIWEDENNYE ZDESX SOOTNO[ENIQ W URAWNENIE (106) I PRENE BREGAQ ^LENAMI WTOROGO PORQDKA MALOSTI, POLU^AEM LINEJNOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE OTNOSITELXNO WOZMU]ENIQ fn (, x), ^ fn = -g0 df0 sin IS iZ(n) , i(n0 + nc)gn fn + gn dx cm0 /e ^ (107)
n

KOTOROE QWLQETSQ PROMEVUTO^NYM. dLQ TOGO ^TOBY UDOWLETWORITX EMU, PROIZWEDENIE fn g DOLVNO IMETX WID gn ( )fn (, x) = h(^ ) cos - i ^ x, sin (n0 + nc ) ,

^TO MOVNO, NAPRIMER, PROWERITX NEPOSREDSTWENNOJ PODSTANOWKOJ POSLEDNEGO WYRAVENIQ W URAWNENIE (107), KOTOROE PRI "TOM UPRO]AETSQ I PRINIMAET SLEDU@]IJ WID: h(^ ) = - x, u^ITYWAQ OPREDELENIE S , S= gn fn x2 cos ddxd = ^ ^ h(^ )^2 dxd, x, x ^ cI S iZ(n) x g0 ( )f0 (^) . 2 /e) ( m0 c (n0 + nc )2 - 2 (108)

UMNOVIM OBE STORONY URAWNENIQ (107) NA x2 , A ZATEM PROINTEGRIRUEM IH PO x I . w ^ ^ REZULXTATE POLU^IM OKON^ATELXNYJ WID DISPERSIONNOGO URAWNENIQ: 1=- I c iZ (n) (m0 c2 /e) g0 ( )f0 (^)^2 xx d dx. ^ (n0 + nc )2 - 2 (109)

86

2.4.5. ANALIZ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ W OTSUTSTWIE RAZBROSA BETATRONNYH ^ASTOT W PU^KE rASSMOTRIM MONO"NERGETI^ESKIJ PU^OK PROTONOW, W KOTOROM ^ASTOTA BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC NE ZAWISIT OT IH AMPLITUDY. mATEMATI^ESKI "TI USLOWIQ MOVNO ZAPISATX W WIDE SOOTNO[ENIJ g0 ( ) = (0 /2 ) ( ) I = Q0 0 . s U^ЁTOM "TIH USLOWIJ, A e TAKVE O^EWIDNOGO SOOTNO[ENIQ f0 (^)^2 dx = -2 xx ^ f0 (^)^ x = -1/ x xd ^

DISPERSIONNOE URAWNENIE (296) SWODITSQ K KWADRATNOMU URAWNENI@
2 2 nc - Q2 0 = 0

c0 I iZ(n). 2 (m0 c2 /e)

(110)

wIDNO, ^TO URAWNENIE (110) IMEET DWA RE[ENIQ (WERHNIE I NIVNIE BOKOWYE ^ASTOTY) -- ± nc , REALXNYE I MNIMYE ^ASTI KOTORYH RAWNY, S U^ЁTOM MALOSTI PRAWOJ ^ASTI "TOGO e URAWNENIQ PO SRAWNENI@ S Q0 0 ,
± Re nc = ± Q0 0 -

cI Im Z((n ± Q0 )0 ) ; 4Q0 (m0 c2 /e)

(111)

cI (112) Re Z((n ± Q0 )0 ). 4Q0 (m0 c2 /e) oTMETIM, ^TO, STROGO GOWORQ, KOGERENTNYJ ^ASTOTNYJ SDWIG DOLVEN BYTX WKL@^ЁN W e ^ASTOTU SIGNALA PRI RAS^ЁTE IMPEDANSA Z (n). oDNAKO WELI^INA "TOJ POPRAWKI ^REZWYe ^AJNO MALA, I MY E@ PRENE BREGAEM PODOBNO TOMU, KAK "TO BYLO SDELANO PRI WY^ISLENII PRODOLXNOGO IMPEDANSA W PREDYDU]EM RAZDELE. kAK WIDNO IZ FORMULY (112) DLQ INKREMENTA NEUSTOJ^IWOSTI, POPERE^NOE DWIVENIE PU^KA, W KOTOROM OTSUTSTWUET RAZBROS BETATRONNYH ^ASTOT, NEUSTOJ^IWO WSEGDA, ESLI IMPEDANS Z IMEET REZISTIWNU@ ^ASTX. nAPROTIW, ESLI POPERE^NYJ IMPEDANS SWQZI ^ISTO MNIMYJ (NAPRIMER, POPERE^NOE KULONOWSKOE RASTALKIWANIE ^ASTIC W PU^KE, LIBO ^ISTAQ INDUKTIWNOSTX ILI ЁMKOSTX), TO PU^OK STABILEN. tAKIM OBRAZOM, W POPERE^NOM DWIVEe NII ^ASTIC OTSUTSTWUET ANALOG NEUSTOJ^IWOSTI OTRICATELXNOJ MASSY, UPOMINAW[EJSQ W PREDYDU]EM RAZDELE. iMPEDANS Z ( ) OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: Re Z( ) = -Re Z (- ), Im Z( ) = Im Z(- ). tAK KAK W NA[EM SLU^AE NEUSTOJ^IWOSTX PU^KA WOZNIKAET PRI Im nc < 0, TO, SOGLASNO (112), DLQ ^ASTOT = (n + Q0 )0 NEUSTOJ^IWYMI OKAZYWA@TSQ GARMONIKI WOZMU]ENIJ S NOMERAMI n < -Q0 , A DLQ = (n - Q0 )0 -- GARMONIKI S NOMERAMI n > Q0 , ^TO ILL@STRIRUETSQ RIS. 30, GDE SHEMATI^ESKI IZOBRAVENA REALXNAQ ^ASTX POPERE^NOGO IMPEDANSA GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ. iZ RIS. 30 WIDNO, ^TO POPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTX ODNORODNOGO PU^KA NAIBOLEE OPASNA NA NIZKIH ^ASTOTAH IZ-ZA BOLX[OJ WELI^INY REZISTIWNOGO IMPEDANSA, PREWY[A@]EJ SOPROTIWLENIE [IROKOPOLOSNOGO REZONATORA, OBUSLOWLENNOGO NEODNORODNOSTX@ KAMERY. w ^ASTNOSTI, ^REZWY^AJNO WAVNYM OKAZYWAETSQ WYBOR ZNA^ENIQ ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ Q0 . eSLI, NAPRIMER, ZNA^ENIE BETATRONNOJ ^ASTOTY WYBRATX BLIZKIM K CELOMU ^ISLU, NO PREWY[A@]IM EGO, TO INKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI UMENX[AETSQ W NESKOLXKO RAZ PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM, KOGDA ^ASTOTA Q0 NA TU VE SAMU@ WELI^INU MENX[E DANNOGO CELOGO ^ISLA.
± Im nc = ±

87

rIS. 30. rEALXNAQ ^ASTX POPERE^NOGO IMPEDANSA GLA DKOJ WAKUUMNOJ KAMERY.

sLEDUET TAKVE OTMETITX, ^TO IZ-ZA OTME^AW[IHSQ WY[E SWOJSTW POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI DWA NABORA KOGERENTNYH ^ASTOT = (n ± Q0 )0 (S POLOVITELXNYMI I OTRICATELXNYMI n) PRIWODQT K ODNIM I TEM VE REZULXTATAM, W ^ЁM NETRUDNO UBEDITXSQ e IZ FORMUL (111) I (112). pO"TOMU W DALXNEJ[EM MOVNO OGRANI^ITXSQ RASSMOTRENIEM ODNOGO NABORA KOGERENTNYH ^ASTOT = (n - Q0 )0 , DLQ KOTOROGO NEUSTOJ^IWOSTX PU^KA IMEET MESTO DLQ WOLN S POLOVITELXNYMI NOMERAMI n > Q0 . --TI WOLNY NAZYWA@T MEDLENNYMI, TAK KAK IH FAZOWAQ SKOROSTX MENX[E SKOROSTI PU^KA. 2.4.6. uSLOWIE USTOJ^IWOSTI PU^KA PRI NALI^II IMPULXSNOGO RAZBROSA oDNOWREMENNYJ U^ЁT RAZBROSOW BETATRONNYH ^ASTOT, OBUSLOWLENNYH RAZBROSOM ^Ae STIC PO IMPULXSAM W PU^KE I NELINEJNOSTX@ POPERE^NOGO DWIVENIQ, STALKIWAETSQ S OPREDELЁNNYMI MATEMATI^ESKIMI TRUDNOSTQMI, PO"TOMU "FFEKT OT KAVDOGO IZ "TIH RAZe BROSOW BUDEM ANALIZIROWATX PO OTDELXNOSTI. rASSMOTRIM SNA^ALA PU^OK S IMPULXSNYM RAZBROSOM, PRENE BREGAQ POKA ZAWISIMOSTX@ BETATRONNOJ ^ASTOTY OT AMPLITUDY KOLEx BANIJ, S^ITAQ (^) = 0. pREDSTAWIM ZNAMENATELX PODYNTEGRALXNOGO WYRAVENIQ DIS PERSIONNOGO URAWNENIQ (109), S U^ЁTOM FORMULY (84) DLQ , W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH e SOMNOVITELEJ: [n0 + nc - Q0 0 (1 - ) - ][n0 + nc + Q0 0 (1 - )+ ]. pOLAGAQ ZATEM nc = -Q0 0 +nc , NETRUDNO WIDETX, ^TO PERWYJ SOMNOVITELX PRIMERNO RAWEN -2Q0 0 . sLEDOWATELXNO, ESLI W KA^ESTWE RASPREDELENIQ g0 ( ) SNOWA ISPOLXZOWATX PARABOLI^ESKU@ ZAWISIMOSTX (79), TO DISPERSIONNYJ INTEGRAL MOVNO PREOBRAZOWATX K WIDU

88

1

S =

-1

1 - u2 du, u - u0

(113)

GDE u = /L, u0 = nc /n -- OTNO[ENIE KOGERENTNOGO SDWIGA BETATRONNOJ ^ASTO TY nc K NEKOGERENTNOMU RAZBROSU ^ASTOT W PU^KE n = [(n - Q0 )0 + ]L. wWODQ OBOZNA^ENIQ 3 2cI = ; 16Q0 (m0 c2 /e) [(n - Q0 )0 + ]| |(p/p)0 Z = Z [(n - Q0 )0 ], GDE (p/p)0 -- POLNYJ RAZBROS ^ASTIC PO IMPULXSAM W PU^KE NA POLUWYSOTE RASPREDELENIQ, ZAPI[EM DISPERSIONNOE SOOTNO[ENIE (109) W WIDE, UDOBNOM DLQ POSTROENIQ DIAGRAMMY NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IMPENDANSOW: Re Z = Im S
-1

; Im Z = -Re S

-1

.

(114)

rIS. 31. hARAKTERISTIKI POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PRI NALI^II IMPULXSNOGO RAZBROSA.

fIKSIRUQ MNIMU@ ^ASTX PARAMETRA u0 , PROPORCIONALXNU@ INKREMENTU NEUSTOJ^IWOSTI, I IZMENQQ Re u0 , W REZULXTATE WY^ISLENIQ DISPERSIONNOGO INTEGRALA (113) MOVNO POSTROITX DIAGRAMMU, PODOBNU@ TOJ, ^TO POKAZANA NA RIS. 31. oBLASTX USTOJ^IWYH POPERE^NYH KOLE BANIJ PU^KA OGRANI^ENA KRIWOJ Im nc = 0, DA@]EJ POROG NEUSTOJ^IWOSTI. ESLI PARAMETR DOSTATO^NO MAL, TAK ^TO TO^KA, IZOBRAVA@]AQ NA DIAGRAMME KOMPLEKSNOE ^ISLO Z , POPADAET WNUTRX OBLASTI STABILXNOSTI, TO MNIMAQ ^ASTX KOGERENTNOGO SDWIGA BETATRONNOJ ^ASTOTY OKAZYWAETSQ POLOVITELXNOJ, I KOLE BANIQ ZATUHA@T. pRI OCENKAH POROGOWOJ WELI^INY IMPEDANSA |Z |th MOVNO APPROKSIMIROWATX POROGOWU@ KRIWU@ POLUOKRUVNOSTX@ |Z | < 1/3, ILI W QWNOM WIDE: |Z|
th

4

m0 c 2 Q0 (p)0 | ( n - Q0 ) + | , e R 0 I m0 c

(115)

GDE (p)0 -- POLNAQ [IRINA PU^KA PO IMPULXSAM NA POLUWYSOTE RASPREDELENIQ.

89

oTMETIM, ^TO W KRITERII USTOJ^IWOSTI (115) OTSUTSTWUET QWNAQ ZAWISIMOSTX OT "NERGII PU^KA (NEQWNO POROGOWAQ WELI^INA POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI ZAWISIT OT "NERGII PU^KA ^EREZ PARAMETR ). wIDNO TAKVE, ^TO POROG NEUSTOJ^IWOSTI MOVET BYTX ^REZWY^AJNO NIZKIM PRI n Q0 - / . tAK KAK SOOTNO[ENIE (115) BYLO POLU^ENO W PREDPOLOVENII n > 0, TO DANNOE USLOWIE MOVET WYPOLNQTXSQ LI[X PRI RAZNYH ZNAKAH I . tAKIM OBRAZOM, ZNAK HROMATI^NOSTI DOLVEN SOWPADATX SO ZNAKOM PARAMETRA (POLOVITELXNYM ZA KRITI^ESKOJ "NERGIEJ I OTRICATELXNYM PRI < tr ). oTMETIM TAKVE, ^TO POPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTX ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW RAZWIWAETSQ, KAK PRAWILO, W OTNOSITELXNO NIZKO^ASTOTNOM DIAPAZONE ^ASTOT (n Q0 ), ^TO OBUSLOWLENO BOLX[OJ WELI^INOJ REZISTIWNOGO IMPEDANSA WAKUUMNOJ KAMERY PRI 0. pO "TOJ PRI^INE UDOBNO PODAWLQTX PODOBNU@ NEUSTOJ^IWOSTX S POMO]X@ SISTEMY OTRICATELXNOJ OBRATNOJ SWQZI, KOTORU@ SRAWNITELXNO LEGKO REALIZOWATX W OBLASTI NIZKIH ^ASTOT. 2.4.7. uSTOJ^IWOSTX PU^KA PRI BETATRONNOJ ^ASTOTE, ZAWISQ]EJ OT AMPLITUDY KOLE BANIJ rASSMOTRIM TEPERX, KAK ZAWISIT POROG NEUSTOJ^IWOSTI OT RAZBROSA ^ASTOT BETATRONNYH KOLE BANIJ, OBUSLOWLENNOGO NELINEJNOSTX@ WNE[NEGO FOKUSIRU@]EGO MAGNITNOGO POLQ USKORITELQ, S^ITAQ PU^OK MONOHROMATI^ESKIM, g0 ( ) = 0 ( ), 2

A RASPREDELENIE ^ASTIC PO AMLITUDAM BETATRONNYH KOLE BANIJ -- PARABOLI^ESKIM, f0 (^) = x 2 x ^
2 L

1-

x ^ xL ^

2

, 0 x xL , ^^

GDE xL -- MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE AMPLITUDY BETATRONNYH KOLE BANIJ. oBOZNA^AQ DALEE ^ ^EREZ QL MAKSIMUM RAZBROSA BETATRONNYH ^ASTOT W PU^KE: QL = (Q/ x2)^2 , A TAKVE ^ xL POLAGAQ nc = -Q0 0 +Qnc0 , MOVNO PEREPISATX DISPERSIONNOE URAWNENIE (109) W WIDE 1=- Ic iZ (n - Q0 )0 2Q0 0 (m0 c2 /e) QL
1 0

udu . u - Qnc QL

(116)

i, NAKONEC, OBOZNA^IW =- Ic , S = 2Q0 0 (m0 c2 /e) QL
1 0

udu , u - Qnc QL

POSTROIM DIAGRAMMU STABILXNOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW PRI ^ASTOTE Q, ZAWISQ]EJ OT AMPLITUDY BETATRONNYH KOLE BANIJ, POKAZANNU@ NA RIS. 32. pO OSQM KOORDINAT - - DIAGRAMMY OTLOVENY WELI^INY Re Z = Im S 1 I Im Z = -Re S 1 . kAK I W SLU^AE PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA, W DISPERSIONNOE URAWNENIE (116) WHODIT PROIZWODNAQ OT FUNKCII RASPREDELENIQ f0 (^), PO"TOMU RASSMATRIx WAEMOE ZDESX PARABOLI^ESKOE RASPRELENIE, IME@]EE RAZRYW PROIZWODNOJ NA KRA@, NEUSTOJ^IWO. w SLU^AE VE GLADKOGO RASPREDELENIQ W KA^ESTWE PRIBLIVЁNNOGO KRITERIQ e USTOJ^IWOSTI MOVNO POLXZOWATXSQ USLOWIEM |Z | < 0.5, ^TO SOOTWETSTWUET OBLASTI STABILXNOSTI, OGRANI^ENNOJ NA RIS. 32 PUNKTIRNOJ POLUOKRUVNOSTX@. dANNYJ KRITERIJ

90

MOVNO ZAPISATX W WIDE USLOWIQ, KOTOROMU DOLVEN UDOWLETWORQTX RAZBROS BETATRONNYH ^ASTOT DLQ OBESPE^ENIQ POPERE^NOJ USTOJ^IWOSTI PU^KA: | QL | IcZ . Q0 0 (m0 c2 /e) (117)

rIS. 32. hARAKTERISTIKI POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA PRI B ETATRONNOJ ^ASTOTE, ZAWISQ]EJ OT AMPLITUDY KOLE BANIJ.

w ZAKL@^ENIE KOROTKO KOSNЁMSQ PREDELOW PRIMENIMOSTI TEORII, ANALIZIROWAW[EJSQ e W POSLEDNIH DWUH RAZDELAH. eSLI TOLXKO IZWESTEN REALXNYJ IMPEDANS USKORITELQ, ONA POZWOLQET SRAWNITELXNO LEGKO RASS^ITATX INKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI, ZNAK KOTOROGO POKAZYWAET, USTOJ^IW ILI NEUSTOJ^IW PU^OK. dANNAQ TEORIQ, QWLQ@]AQSQ ^ASTNYM SLU^AEM TEORII WOZMU]ENIJ, BAZIRUETSQ NA LINEARIZOWANNOM URAWNENII wLASOWA. oNA NE POZWOLQET PROSLEDITX W DETALQH ZA PROCESSOM RAZWITIQ NEUSTOJ^IWOSTI I NE DAЁT OTWETA NA e PRAKTI^ESKI WAVNYJ WOPROS, W KAKOJ STEPENI BUDET ISPOR^EN "MITTANS PU^KA W SWQZI S NEUSTOJ^IWOSTX@. dLQ TOGO, ^TOBY ISSLEDOWATX NELINEJNU@ STADI@ PROCESSA, ISPOLXZUETSQ ^ISLENNOE MODELIROWANIE DWIVENIQ ^ASTIC W INTENSIWNOM PU^KE PROTONOW, DLQ ^EGO WNA^ALE S POMO]X@ URAWNENIJ mAKSWELLA SOZDAЁTSQ ALGORITM DLQ WY^ISLENIQ SOBSTWENe NOGO "LEKTROMAGNITNOGO POLQ PU^KA ^ASTIC, A ZATEM [AG ZA [AGOM RE[A@TSQ URAWNENIQ DWIVENIQ DLQ NABORA `MAKRO^ASTICґ IZOBRAVA@]IH PU^OK NA FAZOWOJ PLOSKOSTI. ` ґ,

91

2.5. prodolxnaq neustoi~iwostx sgruppirowannogo pu~ka protonow 2.5.1. pRODOLXNYJ SIGNAL OT ODNOJ ^ASTICY w POSLEDNIH RAZDELAH PERWOJ ^ASTI NASTOQ]EGO KURSA ANALIZIROWALOSX PRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC W SGRUPPIROWANNOM PU^KE PROTONOW W SLU^AE MALOJ INTENSIWNOSTI, KOGDA MOVNO PRENE BRE^X PRODOLXNYM "LEKTRI^ESKIM POLEM, SOZDAWAEMYM PU^KOM W OKRUVA@]EM EGO OBORUDOWANII USKORITELQ, PO SRAWNENI@ S WNE[NIM USKORQ@]EM POLEM. nIVE MY OGRANI^IMSQ RASSMOTRENIEM LINEJNYH SINHROTRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC. pRODOLXNOE DWIVENIE ^ASTIC W OTSUTSTWIE WOZMU]ENIJ OPISYWAETSQ W TAKOM SLU^AE WYRAVENIEM (1.154), KOTOROE W PEREMENNYH (, ), WWEDЁNNYH WY[E, IMEET WID e +2 = 0, Ё 0 (118)

GDE 0 -- ^ASTOTA MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ, DAWAEMAQ FORMULOJ (1.155). fAZOWAQ TRAEKTORIQ, OPISYWA@]AQ NEWOZMU]ЁNNOE FAZOWOE DWIVENIE, PREDSTAWLQET SOBOJ "LLIPS e 2 + 2 2 (p)2 = 2 = 2 ^ , 2 0 p2 0 s (119)

GDE p = p - ps -- OTKLONENIE IMPULXSA ^ASTICY, DWIVU]EJSQ PO DANNOJ FAZOWOJ TRAEKTORII, OT SINHRONNOGO ZNA^ENIQ. --LLIPS PREWRA]AETSQ W OKRUVNOSTX, ESLI NORMALIZOWATX ODNU IZ KOORDINAT I ISPOLXZOWATX PEREMENNYE (, /0 ). nIVE [IROKO ISPOLXZUETSQ TAK VE DRUGAQ PARA KANONI^ESKI SOPRQVЁNNYH KOORDINAT -- (, ), GDE = 0 t -- FAZA e ^ SINHROTRONNYH KOLE BANIJ. w SLU^AE, KOGDA PRODOLXNOE "LEKTRI^ESKOE POLE, SOZDAWAEMOE W USKORITELE PU^KOM PROTONOW, IMEET DOSTATO^NO BOLX[U@ WELI^INU, TAK ^TO IM UVE NELXZQ PRENE BREGATX W SRAWNENII S WNE[NIM w~-POLEM, W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ (118) DOBAWLQETSQ SILA, OBUSLOWLENNAQ SOBSTWENNYM "LEKTROMAGNITNYM POLEM PU^KA +2 = Ё 0 e [E + v в B]s (t, ). ps (120)

pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO W USKORITELE OBRA]AETSQ TESTOWAQ ^ASTICA, WZAIMODEJSTWU@]AQ S WNE[NIM PRODOLXNYM "LEKTRI^ESKIM POLEM (W OTSUTSTWIE SOBSTWENNOGO PRODOLXNOGO "LEKTRI^ESKOGO POLQ PU^KA), I NA AZIMUTE RASPOLAGAETSQ IDEALXNYJ PIKAP-"LEKTROD S BESKONE^NO [IROKOJ POLOSOJ PROPUSKANIQ, FIKSIRU@]IJ TOKOWYJ SIGNAL j (t, ). dANNYJ SIGNAL PREDSTAWLQET SOBOJ PO^TI PERIODI^ESKU@ POSLEDOWATELXNOSTX IMPULXSOW, SOZDAWAEMYH NA PIKAPE PRI KAVDOM PROHOVDENII ^EREZ NEGO TESTOWOJ ^ASTICY,

j (t, ) = e
k =-

t- -

2k - . 0 0

(121)

s U^ЁTOM SLEDU@]IH SOOTNO[ENIJ: e
k =-

(u - 2k /0 ) =

0 2

eik
k =-

0 u

,

u = t - - /0 ,

(122) (123)

= cos , ^ 92

e-

ik 0 cos ^

=
m=-

i

-m

Jm (k0 )eim , ^

(124)

GDE Jm -- FUNKCIQ bESSELQ PORQDKA m, WYRAVENIE (121) DLQ j (t, ) MOVET BYTX ZAPISANO W "KWIWALENTNOJ FORME: e0 j (t, )= 2
k,m=

i
k,m=-

-m

Jm (k0 )ei ^

(k0t-k +m )

.

(125)

sOOTWETSTWENNO, S POMO]X@ PREOBRAZOWANIQ fURXE OTS@DA POLU^AETSQ WYRAVENIE DLQ SPEKTRA SIGNALA, e0 j (, )= 2
k,m=

i
k,m=-

-m

Jm (k0 )e- ^

ik

( - km ),

(126)

PRI^ЁM LINII SPEKTRA RASPOLAGA@TSQ NA ^ASTOTAH km = k0 + m0 . e tAKIM OBRAZOM, OKOLO KAVDOJ GARMONIKI ^ASTOTY OBRA]ENIQ PU^KA RASPOLAGAETSQ BESKONE^NYJ NABOR SINHROTRONNYH SATELLITOW, PRI^ЁM SPEKTRALXNAQ PLOTNOSTX SATELLITA S e NOMEROM m PROPORCIONALXNA Jm (k0 ). tAK KAK ARGUMENT FUNKCII bESSELQ PROPORCIONA^ LEN , TO [IRINA SPEKTRA OKAZYWAETSQ OBRATNO PROPORCIONALXNOJ . pO "TOJ VE PRI^INE ^ ^ ^ASTICY SGUSTKA S BOLX[IMI AMPLITUDAMI SINHROTRONNYH KOLE BANIJ DA@T OSNOWNOJ WKLAD W NIZKO^ASTOTNU@ ^ASTX SPEKTRA, I NAOBOROT, ^ASTICY S MALYMI AMPLITUDAMI -- W EGO WYSOKO^ASTOTNU@ ^ASTX. w PREDELE 0 SINHROTRONNYE SATELLITY IS^EZA@T. ^ e sINHRONNAQ ^ASTICA PERESEKAET TO^KU NABL@DENIQ PERIODI^ESKI, A EЁ SPEKTROM QWLQ@TSQ LINII, RASPOLAGA@]IESQ NA GARMONIKAH ^ASTOTY OBRA]ENIQ, j (, )= e0 2
k =-

J0 (k )e- ^

ik

( - k0 ).

(127)

2.5.2. pRODOLXNYJ SIGNAL OT SGUSTKA ^ASTIC ~TOBY NAJTI PRODOLXNYJ SIGNAL OT SGUSTKA ^ASTIC, WWEDЁM FUNKCI@ F (, , t), OPISYe ^ WA@]U@ RASPREDELENIE ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE W PROIZWOLXNYJ MOMENT WREMENI. pRODOLXNYJ SIGNAL J (t, ), POLU^AEMYJ S PIKAP-"LEKTRODA OT SGUSTKA ^ASTIC, MOVNO RASS^ITATX, ESLI PROSUMMIROWATX S U^ЁTOM DANNOGO RASPREDELENIQ SIGNALY OT INDIWIe DUALXNYH ^ASTIC. w REZULXTATE POLU^IM SLEDU@]EE WYRAVENIE:
2

J (t, ) = N

B 0

d
0

F (, , t)j (t, )^ , ^ d ^

(128)

GDE NB -- ^ISLO ^ASTIC W SGUSTKE, TAK ^TO FUNKCIQ RASPREDELENIQ F PREDPOLAGAETSQ NORMIROWANNOJ NA EDINICU. rASSMOTRIM SNA^ALA STACIONARNOE RASPREDELENIE, KOTOROE, ESTESTWENNO, ZAWISIT TOLXKO OT AMPLITUDY SINHROTRONNYH KOLE BANIJ : F (, , t) = g (^). pROINTEGRIROWAW W TAKOM ^ ^ SLU^AE WYRAVENIE (128) S U^ЁTOM SOOTNO[ENIQ (125) DLQ SIGNALA j (t, ), A ZATEM WOSe POLXZOWAW[ISX PREOBRAZOWANIEM fURXE, POLU^IM DLQ SPEKTRA SGUSTKA J (, ) SLEDU@]EE WYRAVENIE:

J (, ) = 2I
k =-

k,0

e-

ik

( - k0 ),

(129)

93

GDE I

B

-- SREDNIJ TOK SGUSTKA, RAWNYJ IB = eNB 0 , 2 (130)

A

k,0

-- SPEKTRALXNAQ AMPLITUDA NA ^ASTOTE k0 ,

k,0

=
0

J0 (k0 )g (^)^ d. ^ ^

(131)

iZ FORMULY (129) WIDNO, ^TO W SPEKTRE SGUSTKA ^ASTIC, NAHODQ]EGOSQ W STACIONARNOM SOSTOQNII, OTSUTSTWU@T SINHROTRONNYE SATELLITY, TAK ^TO SINHROTRONNYE KOLE BANIQ OTDELXNYH ^ASTIC NIKAK NE PROQWLQ@TSQ. pOSLEDNEE OBSTOQTELXSTWO SOWER[ENNO ANALOGI^NO OBSUVDAW[EMUSQ WY[E PROCESSU SGLAVIWANIQ NEODNORODNOSTEJ W PU^KE IZ-ZA PRINQTIQ W KA^ESTWE MODELI STACIONARNOGO RASPREDELENIQ ^ASTIC GLADKOJ FUNKCII, OPISYWA@]EJ PLOTNOSTX ^ASTIC W SGUSTKE W SREDNEM. w ODNORODNOM PU^KE PROTONOW TAKVE IS^EZALO DWIVENIE INDIWIDUALXNYH ^ASTIC S WWEDENIEM PONQTIQ STACIONARNOGO RASPREDELENIQ, KAK UVE BYLO POKAZANO W PREDYDU]IH RAZDELAH, PO"TOMU NET NEOBHODIMOSTI E]Ё RAZ e OSTANAWLIWATXSQ NA DANNOM WOPROSE. pRI RASSMOTRENII KOGERENTNOGO DWIVENIQ SGUSTKA ^ASTIC NEOBHODIMO DOBAWITX K STACIONARNOJ FUNKCII g (^) MALU@ WOZMU]A@]U@ DOBAWKU f (, ^ t), SOZDA@]U@ NEKOTOROE , "LEKTROMAGNITNOE POLE NA GARMONIKAH SINHROTRONNOJ ^ASTOTY. dANNOE WOZMU]ENIE PLOTNOSTI ^ASTIC FAKTI^ESKI OPISYWAET RAZNOSTX MEVDU RASPREDELENIQMI -- DEJSTWITELXNO SU]ESTWU@]IM W PU^KE I ISKUSSTWENNO WWEDЁNNYM STACIONARNYM, TAK KAK STACIONARNYJ e PU^OK, W PRINCIPE, NE SU]ESTWUET. rASSMOTRIM PROSTEJ[EE WOZMU]ENIE PLOTNOSTI ^ASTIC NA FAZOWOJ PLOSKOSTI, QWLQ@]EESQ m-OJ GARMONIKOJ SINHROTRONNOJ ^ASTOTY: f (, , t) = gm (^)e- ^
im ic t

e

,

(132)

GDE c = m + c -- ^ASTOTA WOZMU]ENIQ (ZDESX PREDPOLAGAETSQ, ^TO SINHROTRONNAQ ^ASTOTA WKL@^AET W SE BQ NEKOGERENTNYJ SDWIG, SOZDAWAEMYJ STACIONARNYM RASPREDELENIEM g (^)). kAK I WY[E, PRI RASSMOTRENII PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW, REALXNAQ ^ASTX KOMPLEKSNOJ DOBAWKI c DAЁT KOGERENTNYJ SDWIG ^ASTOTY NEUSTOJe ^IWOSTI, A ZNAK EЁ MNIMOJ ^ASTI POKAZYWAET, BUDET LI PU^OK USTOJ^IW ILI NET. sOGLASNO e PRINQTOJ TERMINOLOGII, NOMERA m SOOTWETSTWU@T OPREDELЁNNYM MODAM MULXTIPOLXNOe STI KOGERENTNYH KOLE BANIJ SGRUPPIROWANNOGO PU^KA (TAK, SLU^AJ m = 1 SOOTWETSTWUET DIPOLXNOJ MODE, KOGDA SGUSTOK KOLE BLETSQ KAK CELOE; PRI m = 2 U SGUSTKA KOLE BL@TSQ RAZMERY S ^ASTOTOJ, BLIZKOJ K UDWOENNOJ ^ASTOTE SINHROTRONNYH KOLE BANIJ, PRI^ЁM e DANNAQ MODA NAZYWAETSQ KWADRUPOLXNOJ; MODY S BOLEE WYSOKIMI NOMERAMI NAZYWA@TSQ SEKSTUPOLXNYMI, OKTUPOLXNYMI I T.D.). pODSTAWIW W SOOTNO[ENIE (128) WMESTO F WOZMU]ENIE RASPREDELENIQ f , DAWAEMOE FORMULOJ (132), I WYPOLNIW INTEGRIROWANIE, A ZATEM PEREJDQ OT SIGNALA, SOZDAWAEMOGO WOZMU]ENIEM RASPREDELENIQ NA PIKAP-"LEKTRODE, K EGO SPEKTRU J (, ) S POMO]X@ PREOBRAZOWANIQ fURXE, POLU^IM J (, ) = 2I
B k

k,m

e-

ik

( - (k0 + c )),

(133)

94

GDE

k,m

-- AMPLITUDA SPEKTRA WOZMU]ENIQ NA ^ASTOTE = k0 + c , RAWNAQ
k,m

=i

-m 0

Jm (k0 )gm (^)^ d. ^ ^

(134)

2.5.3. dISPERSIONNOE URAWNENIE mODY MULXTIPOLXNYH KOLE BANIJ QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI LI[X PRI WYPOLNENII OPREDELЁNNYH USLOWIJ. sILXNAQ SWQZX MULXTIPOLXNYH MOD MOVET, NAPRIMER, IMETX MESTO e W sw~-DIAPAZONE PRI DOSTATO^NO WYSOKOJ INTENSIWNOSTI PU^KA (TAK NAZYWAEMAQ PRODOLXNAQ MIKROWOLNOWAQ NEUSTOJ^IWOSTX). nIZ[IE MULXTIPOLXNYE MODY, PREDSTAWLQ@]IE NAIBOLX[U@ OPASNOSTX IZ-ZA SRAWNITELXNO NIZKOJ WELI^INY POROGA NEUSTOJ^IWOSTI, RAZWIWA@TSQ, KAK PRAWILO, NEZAWISIMO, PO"TOMU BUDEM POKA POLAGATX, ^TO WOZMU]ENIE FUNKCII RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE f OPISYWAETSQ WYRAVENIEM (132). oNO UDOWLETWORQET DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ W ^ASTNYH PROIZWODNYH, QWLQ@]EMUSQ SLEDSTWIEM TEOREMY lIUWILLQ I IME@]EMU W PEREMENNYH , SLEDU@]IJ WID: ^ f ^ f d f d + g (^)+ + = 0. t dt ^ dt (135)

pRENE BREGAQ W (135) PROIZWODNOJ f / , WELI^INA KOTOROJ, PO PREDPOLOVENI@, MALA PO ^ SRAWNENI@ S |g (^)|, A TAKVE U^ITYWAQ SOOTNO[ENIE (132), IMEEM ieic t (c - m)gm (^)e-
im

= -g (^)

d ^ . dt

(136)

s POMO]X@ SOOTNO[ENIQ (119), OPREDELQ@]EGO AMPLITUDU SINHROTRONNYH KOLE BANIJ , I URAWNENIQ DWIVENIQ (120) MOVNO ZAPISATX PROIZWODNU@ d/dt W WIDE ^ ^ d ^ e sin [E + v в B]s(t, = 0 (t - )). =- dt ps (137)

pOSLE NEKOTORYH PREDWARITELXNYH PREOBRAZOWANIJ NETRUDNO POLU^ITX IZ WYRAVENIQ (136) S U^ЁTOM FORMULY (137) QWNYJ WID DISPERSIONNOGO SOOTNO[ENIQ. s "TOJ CELX@ e NEOBHODIMO, WO-PERWYH, WYRAZITX "LEKTROMAGNITNOE POLE PU^KA ^EREZ PRODOLXNYJ IMPEDANS SWQZI, WOSPOLXZOWAW[ISX OPREDELENIEM IMPEDANSA (68) I FORMULOJ DLQ SPEKTRA PU^KA (133), W REZULXTATE ^EGO POLU^AETSQ SLEDU@]EE SOOTNO[ENIE: [E + v в B]s(t, = 0 (t - )) = IB ei R0
c

t

Zk eik
k

0

k,m

.

(138)

i, WO-WTORYH, RAZLOVITX W RQD PROIZWEDENIE sin exp(ik0 ): sin eik
0

=
m

i

m

m ^ Jm (k0 ). k0 ^

(139)

pRI POLU^ENII WYRAVENIQ (139) BYLI ISPOLXZOWANY FORMULA (124) I IZWESTNOE SOOTNO[ENIE DLQ FUNKCIJ bESSELQ: Jm+1 (x)+ Jm-1 (x) = 2m Jm (x). x

95

eSLI TEPERX PODSTAWITX W (136) PROIZWODNU@ d/dt, DAWAEMU@ FORMULOJ (137) S U^ЁTOM ^ e SOOTNO[ENIJ (138) I (139), TO MOVNO POLU^ITX SLEDU@]EE URAWNENIE: i (c - m)gm(^)e- ^
im

=-

2IB g (^) 2 0 qV sin s

k

Zk (c ) k

k,m l

il le-

il

Jl (k0 ). ^

(140)

uMNOVIW OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ NA eim , A ZATEM PROINTEGRIROWAW PO^LENNO PO W PREDELAH OT 0 DO 2 , NETRUDNO WIDETX, ^TO SISTEMATI^ESKOE WOZDEJSTWIE NA WOZMU]ENIE PLOTNOSTI ^ASTIC W SGUSTKE OKAZYWAET EDINSTWENNYJ ^LEN IZ PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ S NOMEROM l = m. pRI "TOM SAMO URAWNENIE (140) PRIWODITSQ K WIDU i
-m

gm (^)^ =

g (^) 2mIB 2 qV sin - m sc

k

k,m

iZk (c ) ^ Jm (k0 ). k

(141)

i, NAKONEC, UMNOVIW OBE ^ASTI URAWNENIQ (141) NA Jm (j0 ) I PROINTEGRIROWAW IH PO , ^ ^ PRIHODIM K BESKONE^NOJ SISTEME URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK WOZMU]ENIQ LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA: iZk 1 g0 (x)Jm (k x)Jm (j x) 2qmIB j,m = 2 2 k,m dx, - < j < , (142) B V sin s k k0 c - m GDE B -- KO"FFICIENT, U^ITYWA@]IJ GRUPPIROWKU ^ASTIC PO FAZE (B = B RF /2 , B -- DLITELXNOSTX SGUSTKA W SEKUNDAH); k = kB /q . pRI PEREHODE OT (141) K (142) WWEDENA NOWAQ NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ x = (2/B )2 I IZMENENA NORMIROWKA ISHODNOGO ^ RASPREDELENIQ. nOWAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ g0 (x) NORMIROWANA NA EDINICU
1

g0 (x) dx = 1.
0

pRIRAWNIWAQ K NUL@ OPREDELITELX SISTEMY URAWNENIJ (142), POLU^AEM ISKOMOE DISPERSIONNOE URAWNENIE, QWLQ@]EESQ, WOOB]E GOWORQ, ZADA^EJ NA SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ. w REZULXTATE RE[ENIQ TAKOJ ZADA^I MOVNO, W PRINCIPE, POLU^ITX NABOR WOZMOVNYH ^ASTOT c I NA OSNOWE ANALIZA IH MNIMYH ^ASTEJ SDELATX WYWOD OB USTOJ^IWOSTI ILI NEUSTOJ^IWOSTI SGUSTKA ^ASTIC PRI ZADANNOJ ZAWISIMOSTI OT ^ASTOTY PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI. sLEDUET SRAZU OTMETITX, ^TO OB]EE RE[ENIE TAKOJ ZADA^I (PRI PROIZWOLXNYH ZAWISIMOSTQH g0 (x) I Zk ( )) WRQD LI PREDSTAWLQETSQ WOZMOVNYM. oDNAKO PRI OPREDELЁNNYH e PREDPOLOVENIQH OTNOSITELXNO WIDA ISHODNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ ^ASTIC W SGUSTKE, A TAKVE ^ASTOTNOJ ZAWISIMOSTI PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI DISPERSIONNOE SOOTNO[ENIE MOVET BYTX RE[ENO DOSTATO^NO PROSTO, PRI^ЁM DANNYE SLU^AI PREDSTAWLQ@T, ZA^ASTU@, e BOLX[OJ PRAKTI^ESKIJ INTERES. nIVE ANALIZIRU@TSQ NEKOTORYE IZ "TIH SLU^EW. w ZAKL@^ENIE NASTOQ]EGO RAZDELA OBOB]IM SISTEMU URAWNENIJ (142) NA SLU^AJ, KOGDA W USKORITELE IMEETSQ M ODINAKOWYH RAWNOOTSTOQ]IH SGUSTKOW (M q ). dLQ "TOGO NEOBHODIMO, WO-PERWYH, ZAMENITX TOK SGUSTKA IB NA I = MIB . i, WO-WTORYH, SLEDUET U^ESTX TOT FAKT, ^TO PRI NALI^II W USKORITELE NESKOLXKIH SGUSTKOW WOZMOVNO IH SWQZANNOE DWIVENIE, KOGDA KAVDYJ IZ NIH MOVET WOZDEJSTWOWATX NA SOSEDNIE SGUSTKI. tAK, DLQ M SGUSTKOW WOZMOVNY M MOD SWQZANNYH KOLE BANIJ; PRI "TOM FAZY KOLE BANIJ SOSEDNIH SGUSTKOW SDWINUTY NA WELI^INU, RAWNU@ 2n/mM , GDE n -- NOMER MODY SWQZANNYH KOLE BANIJ SGUSTKOW (0 n M - 1), A WYSOTA SPEKTRALXNYH LINIJ PRODOLXNOGO SIGNALA 96

WOZRASTAET W M RAZ. sAMI LINII RASPOLAGA@TSQ NA ^ASTOTAH ln = (lM + n)0 + m, GDE l -- PROIZWOLXNOE CELOE ^ISLO, POLOVITELXNOE ILI OTRICATELXNOE, TAK ^TO RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ SOSEDNIMI LINIQMI TAKVE UWELI^IWAETSQ W M RAZ. w DALXNEJ[EM DLQ OPREDELЁNNOSTI BUDEM POLAGATX M = q , ^TO SOOTWETSTWUET NAIBOLEE OPASNOMU SLU^A@, e KOGDA WSE SEPARATRISY USKORITELQ ZAPOLNENY SGUSTKAMI ^ASTIC. 2.5.4. iNKREMENTY MULXTIPOLXNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ rASSMOTRIM RASPREDELENIE g0 = const -- SLU^AJ POSTOQNNOJ FAZOWOJ PLOTNOSTI. dANNOE RASPREDELENIE QWLQETSQ, BEZUSLOWNO, IDEALIZACIEJ, PODOBNO MODELI MONO"NERGETI^ESKOGO PU^KA, ISPOLXZOWANNOJ RANEE PRI OBSUVDENII INKREMENTOW PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW. kAK I TAM, ZDESX TAKVE OTSUTSTWUET POROG NEUSTOJ^IWOSTI, A DISPERSIONNOE URAWNENIE NEPOSREDSTWENNO PEREHODIT W FORMULU DLQ ^ASTOTY NEUSTOJ^IWOSTI c . dANNYJ PODHOD POZWOLQET NAIBOLEE PROSTYM SPOSOBOM WYQWITX HARAKTERNYE OSOBENNOSTI NEUSTOJ^IWOSTI SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW, PRI^ЁM POLU^A@]IJSQ e PRI "TOM REZULXTAT OKAZYWAETSQ BLIZKIM K SLU^A@, KOGDA LINEJNAQ PLOTNOSTX ZARQDA W SGUSTKAH OPISYWAETSQ PARABOLOJ (ODNOMU IZ PODROBNO ISSLEDOWANNYH W LITERATURE). uPOMQNUTAQ KOLI^ESTWENNAQ BLIZOSTX POLU^A@]IHSQ REZULXTATOW OBUSLOWLENA BLIZOSTX@ K g0 = const RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE W SLU^AE PARABOLI^ESKOJ LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA W SGUSTKAH. oDNAKO POLU^ENIE RE[ENIQ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ W POSLEDNEM SLU^AE (W OTLI^IE OT RASPREDELENIQ g0 = const) SOPRQVENO SO ZNA^ITELXNYMI MATEMATI^ESKIMI TRUDNOSTQMI. pRI POSTOQNNOJ PLOTNOSTI ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE WOZMU]ENIQ ISHODNOGO RASPREDELENIQ KONCENTRIRU@TSQ WBLIZI GRANI^NOJ FAZOWOJ TRAEKTORII SGUSTKA (gm(^) (^-B /2)), ^TO QWLQETSQ SLEDSTWIEM TEOREMY lIUWILLQ, A IZ FORMULY (134) POLU^AETSQ W TAKOM SLU^AE PROSTAQ SWQZX MEVDU GARMONIKAMI WOZMU]ENIQ LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA:
k,m

=

Jm (k0 B /2) Jm (j0 B /2)

j,m

.

(143)

pODSTAWLQQ SOOTNO[ENIE (143) W SISTEMU URAWNENIJ (142) I U^ITYWAQ, ^TO g0 (x) = - (x - 1), SRAZU PRIHODIM K RE[ENI@ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ W WIDE c = m0 - I 0 2B V sin

iZlq
s l=-

+n

(m0 )Fm (ln ),

(144)

GDE PRINQTY SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: Fm -- FORMFAKTOR, RAWNYJ Fm = 4m 2 J (ln ); ln m (145)

ln = (l + n/q )B ; 0 -- ^ASTOTA SINHROTRONNYH KOLE BANIJ ^ASTICY, DWIVU]EJSQ PO GRANI^NOJ FAZOWOJ TRAEKTORII. oTDELQQ W (144) MNIMU@ ^ASTX, POLU^AEM FORMULU DLQ INKREMENTA NEUSTOJ^IWOSTI Im c I 0 Im c = - Fm (ln )Re Zlq+n (m0 ). (146) 2B V sin s l=-

97

sGUSTKI NEUSTOJ^IWY, ESLI Im c < 0. sLEDOWATELXNO, NIVE KRITI^ESKOJ "NERGII (sin s < 0) NEUSTOJ^IWOSTX, SOGLASNO (146) S U^ЁTOM O^EWIDNYH SOOTNO[ENIJ e
Z-k ( ) = Zk (- ), Fm (-l,n ) = -Fm (l, -n

),

IMEET MESTO PRI WYPOLNENII NERAWENSTWA

Fm (l,
l=1

-n

)Re Zlq

-n

(-m0 ) >

Fm (ln )Re Zlq
l=0

+n

( m 0 ) .

(147)

wY[E KRITI^ESKOJ "NERGII ZNAK NERAWENSTWA IZMENQETSQ NA OBRATNYJ. aNALIZIRUQ NERAWENSTWO (147), NETRUDNO WIDETX, ^TO PRI OTSUTSTWII SWQZI MEVDU SGUSTKAMI (n = 0), A TAKVE PRI n = q/2 NEUSTOJ^IWOSTX MOVNO PODAWITX PUTЁM SOOTe WETSTWU@]EJ NASTROJKI IMPEDANSA Zk ( ), IZMENIW ZNAK NERAWENSTWA. iNA^E OBSTOIT DELO PRI n = 0, q /2. eSLI DLQ NEKOTOROGO ZNA^ENIQ n WYPOLNEN KRITERIJ USTOJ^IWOSTI, TO DLQ MODY S NOMEROM q - n SNOWA OKAZYWAETSQ SPRAWEDLIWYM NERAWENSTWO (147) I IMEET MESTO PRODOLXNAQ NEUSTOJ^IWOSTX. fORMFAKTORY Fm HARAKTERIZU@T "FFEKTIWNOSTX WOZBUVDENIQ ZADANNOJ MULXTIPOLXNOJ MODY NEUSTOJ^IWOSTI W ZAWISIMOSTI OT DLITELXNOSTI SGUSTKOW I ^ASTOTY . iH ZNA^ENIQ DLQ m = 1 В 3 PREDSTAWLENY NA RIS. 33 (PO OSI ABSCISS OTLOVEN PARAMETR ln ). wIDNO, ^TO MULXTIPOLXNAQ MODA S NOMEROM m NAIBOLEE "FFEKTIWNO WOZBUVDAETSQ WOZMU]ENIEM S DLINOJ WOLNY, SOSTAWLQ@]EJ PRIMERNO 2/m OT DLINY SGUSTKA, PRI^ЁM e NAIBOLX[AQ "FFEKTIWNOSTX WOZBUVDENIQ DIPOLXNOJ MODY IMEET MESTO W SLU^AE KOROTKIH SGUSTKOW (B 0). w KA^ESTWE PROSTEJ[EGO PRIMERA PRIMENENIQ FORMULY (147) rIS. 33. fORMFAKTORY Fm . RASSMOTRIM PU^OK, SOSTOQ]IJ IZ q ODINAKOWYH SGUSTKOW I WZAIMODEJSTWU@]IJ S REZONATORAMI USKORQ@]IH STANCIJ. w PROTONNOM SINHROTRONE SO SREDNIM UROWNEM "NERGII USKORENNOGO PU^KA (TIPA USKORITELQ ifw--) ^ASTOTA USKORQ@]EGO POLQ IZMENQETSQ W DOSTATO^NO [IROKIH PREDELAH, PO"TOMU DOBROTNOSTX USKORQ@]IH REZONATOROW OTNOSITELXNO NEWELIKA (Q 10 В 100), I W POLOSU REZONATOROW MOGUT POPADATX NESKOLXKO GARMONIK ^ASTOTY OBRA]ENIQ PU^KA. pREDPOLOVIM, DLQ OPREDELЁNNOSTI, ^TO IMEETSQ DWE TAKIH GARMONIKI S NOMERAMI q ± 1. e u^TЁM TAKVE TOT FAKT, ^TO HARAKTERNAQ DLINA WOLNY POLQ, WOZBUVDAEMOGO PU^KOM W e REZONATORAH USKORQ@]IH STANCIJ, NA BOLX[EJ ^ASTI USKORITELXNOGO CIKLA SU]ESTWENNO PREWY[AET PRODOLXNYJ RAZMER SGUSTKOW, PO"TOMU "FFEKTIWNO WOZBUVDAETSQ LI[X NIZ[AQ DIPOLXNAQ MODA (m = 1).

98

pUSTX WSE SGUSTKI PU^KA KOLE BL@TSQ W ODNOJ I TOJ VE FAZE (SLU^AJ n = 0). tOGDA NERAWENSTWO (147) PRIMET SLEDU@]IJ WID (S^ITAEM, DLQ OPREDELЁNNOSTI, ^TO < tr ): e Re Zq (-0 ) > Re Zq (0 ). (148)

sRAZU OTMETIM, ^TO W PROTONNOM SINHROTRONE DANNAQ NEUSTOJ^IWOSTX PREDSTAWLQET ^ISTO AKADEMI^ESKIJ INTERES. dELO W TOM, ^TO SINHROTRONNAQ ^ASTOTA MALA W SRAWNENII S ^ASTOTOJ OBRA]ENIQ PU^KA W USKORITELE, A, SLEDOWATELXNO, I S [IRINOJ POLOSY PROPUSKANIQ REZONATOROW, TAK ^TO INKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI IMEET PRENE BREVIMO MALU@ WELI^INU. nAPOMNIM TAKVE, ^TO DANNAQ NEUSTOJ^IWOSTX USTRANQETSQ NASTROJKOJ REZONATOROW ZA S^ЁT SOOTWETSTWU@]EGO SDWIGA IH SOBSTWENNYH ^ASTOT. bOLEE TOGO, W PROTONNOM e SINHROTRONE ONA WOOB]E NE MOVET PROQWLQTXSQ. --TO OBUSLOWLENO RABOTOJ AWTOMATI^ESKIH SISTEM, TAKIH KAK SISTEMA AWTOMATI^ESKOJ PODSTROJKI ^ASTOTY PO POLOVENI@ PU^KA W USKORITELE I AWTOMATI^ESKIE SISTEMY REZONATOROW. pERWAQ IZ NIH AWTOMATI^ESKI PODAWLQET DIPOLXNYE KOLE BANIQ SGUSTKOW, ESLI ONI PROISHODQT W ODINAKOWOJ FAZE. wTORYE OSU]ESTWLQ@T AWTOMATI^ESKU@ RASSTROJKU REZONATOROW W ZAWISIMOSTI OT WELI^INY q -OJ GARMONIKI TOKA PU^KA TAKIM OBRAZOM, ^TO NERAWENSTWO (148) NIKOGDA NE REALIZUETSQ. rASSMOTRIM TEPERX SWQZANNYE KOLE BANIQ SGUSTKOW ^ASTIC (n = 0). pRI n = 1 NEOBHODIMO UDERVATX W FORMULE (147) ^LENY S l = 1. u^ITYWAQ, ^TO KRATNOSTX USKORENIQ q OBY^NO UDOWLETWORQET USLOWI@ q 1, MOVNO POLOVITX Fm (1,±1) Fm (1,0 ) I SOKRATITX FORMFAKTORY. tAKIM OBRAZOM, DIPOLXNYE KOLE BANIQ USTOJ^IWY PRI n = 1, ESLI WYPOLNQETSQ SLEDU@]EE USLOWIE: Re Zq-1 (-0 ) < Re Zq+1 (0 ). (149)

sLEDUET, ODNAKO, OTMETITX, ^TO DAVE PRI WYPOLNENII USLOWIQ USTOJ^IWOSTI (149) DIPOLXNAQ NEUSTOJ^IWOSTX SGUSTKOW WSЁ VE RAZWIWAETSQ. nEUSTOJ^IWOJ W DANNOM SLU^AE e OKAZYWAETSQ MODA SWQZANNYH KOLE BANIJ SGUSTKOW S NOMEROM n = q - 1. w "TOM LEGKO UBEDITXSQ, WERNUW[ISX K ISHODNOMU SOOTNO[ENI@ (147). pRI n = q - 1 W LEWOJ ^ASTI NERAWENSTWA NEOBHODIMO UDERVATX ^LEN S NOMEROM l = 2, A W PRAWOJ -- S l = 0 (IMENNO "TI GARMONIKI POPADA@T W POLOSU REZONATOROW). iZ SRAWNENIQ POLU^IW[EGOSQ REZULXTATA S FORMULOJ (149) WIDNO, ^TO POSLEDNEE NERAWENSTWO KAK RAZ I QWLQETSQ USLOWIEM NEUSTOJ^IWOSTI DIPOLXNYH KOLE BANIJ DLQ MODY SWQZANNYH KOLE BANIJ SGUSTKOW S NOMEROM n = q - 1. 2.5.5. pOROGI NEUSTOJ^IWOSTEJ mETODIKA RAS^ЁTA POROGOW PRODOLXNYH MULXTIPOLXNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ NE OTLI^AETe SQ, W PRINCIPE, OT ISPOLXZOWANNOJ RANEE PRI RASSMOTRENII NEUSTOJ^IWOSTEJ ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW -- "TO PREDSTAWLENIE DISPERSIONNYH INTEGRALOW W WIDE DIAGRAMM NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IMPEDANSOW. pROILL@STRIRUEM PODOBNYJ RAS^ЁT NA PRIMERE PU^KA, e WZAIMODEJSTWU@]EGO S UZKOPOLOSNYM REZONATOROM, POLAGAQ, ^TO W POLOSU PROPUSKANIQ REZONATORA POPADAET EDINSTWENNAQ GARMONIKA WOZMU]ENIQ LINEJNOJ PLOTNOSTI ZARQDA PU^KA S NOMEROM k = lq + n. w TAKOM SLU^AE SISTEMA URAWNENIJ (142) IMEET STANDARTNYJ WID DISPERSIONNOGO INTEGRALA: 1= 2qmI iZk 2 B 2 V sin sk 99
1 0 2 g0 Jm (k ) dx. c - m

(150)

rASSMATRIWAQ SLU^AJ DOSTATO^NO MALYH FAZOWYH KOLE BANIJ, MOVNO OGRANI^ITXSQ LINEJNOJ ZAWISIMOSTX@ ^ASTOTY OT "NERGII KOLE BANIJ 0 - x I PREOBRAZOWATX DISPERSIONNYJ INTEGRAL (150) K WIDU, UDOBNOMU DLQ ^ISLENNYH RAS^ЁTOW e u + iv = (I/w )-1, ISPOLXZOWAW SLEDU@]IE SOOTNO[ENIQ: 2 1 g0 (x)Jm (k x I= dx, w = - mx + r + i 0 u + iv = (151)

1 0

2 g0 (x)Jm (k x) dx,

c0 - m0 c - m0 , r + i = , (152) GDE PREDPOLAGAETSQ, ^TO KOMPLEKSNAQ ^ASTOTA c0 WY^ISLQETSQ BEZ U^ETA RAZBROSA SINHROTRONNYH ^ASTOT W SGUSTKAH, S POMO]X@ FORMULY (144), W KOTOROJ NEOBHODIMO UDERVATX EDINSTWENNYJ ^LEN S ZADANNYM NOMEROM l , A W KA^ESTWE Fm POLOVITX Fm = -4mw /k , A ^EREZ c OBOZNA^ENA ISKOMAQ KOMPLEKSNAQ ^ASTOTA WOZMU]ENIQ S U^ЁTOM RAZBROSA . e uSTREMLQQ K NUL@, POLU^AEM WYRAVENIQ DLQ REALXNOJ I MNIMOJ ^ASTEJ DISPERSIONNOGO INTEGRALA I , S POMO]X@ KOTORYH LEGKO POSTROITX POROGOWYE DIAGRAMMY DLQ PRODOLXNYH MULXTIPOLXNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ: 1 2 g0 (x)Jm (k x) Re I = PV dx, mx + r 0 Im I = g m
0

-

r r 2 Jm m - , m m

(153)

GDE INTEGRAL DLQ Re I PONIMAETSQ W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ. nA RIS. 34 PREDSTAWLENY POROGOWYE DIAGRAMMY DLQ TREH NIZ[IH MULXTIPOLXNYH MOD (m = 1 В 3), RASS^ITANNYE S POMO]X@ FORMUL (153). rASPREDELENIE g0 PRI RAS^ЁTAH POLAGALOSX SOSTAe WLENNYM IZ DWUH KUSKOW PARABOL, TAK ^TO g0 -x, 0 x 0.5; (154) x - 1, 0. 5 x 1.

dIAGRAMMY POSTROENY DLQ SLU^AQ MAKSIMUMOW FORMFAKTOROW, KOGDA NEUSTOJ^IWOSTI PREDSTAWLQ@T NAIBOLX[U@ OPASNOSTX (k/q rIS. 34. gRANICY OBLASTEJ STABILXNOSTI. m/2B , Fm 1/ m). dLQ PRAKTI^ESKIH OCENOK DOPUSTIMYH IMPEDANSOW POROGOWYE DIAGRAMMY OBY^NO APPROKSIMIRU@TSQ POLUOKRUVNOSTQMI RADIUSA m/4, OTKUDA POLU^AETSQ SLEDU@]EE USLOWIE: u2 + v 2 = m/4. (155)

100

wOSPOLXZOWAW[ISX OPREDELENIEM WYRAVENIQ u + iv , PRIWEDENNYM WY[E, POLU^IM QWNYJ WID DLQ POROGOWOJ WELI^INY PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI |Zk |th; ONA OKAZYWAETSQ PROPORCIONALXNOJ NOMERU MULXTIPOLXNOJ MODY m: |Zk |
th

=m

B V | sin s| . 0 2qI

(156)

oTMETIM ^REZWY^AJNO SILXNU@ ZAWISIMOSTX POROGOW NEUSTOJ^IWOSTEJ OT PRODOLXNOJ DLITELXNOSTI SGUSTKOW -- S U^ЁTOM KWADRATI^NOJ ZAWISIMOSTI (B ) I m kB WELI^INA e DOPUSTIMOGO PRODOLXNOGO IMPEDANSA SWQZI |Zk /k|DOP PROPORCIONALXNA B 4 . w ZAKL@^ENIE RAZDELA KOSNЁMSQ RAS^ЁTA INKREMENTOW PRODOLXNYH MULXTIPOLXNYH e e NEUSTOJ^IWOSTEJ WBLIZI POROGOWYH KRIWYH. s "TOJ CELX@ ISPOLXZU@T DIAGRAMMY, NA KOTORYH W KA^ESTWE OSEJ KOORDINAT BERUTSQ WELI^INY, PROPORCIONALXNYE REALXNOJ I MNIMOJ ^ASTQM IMPEDANSA Zk , A TAKVE INTENSIWNOSTI PU^KA, a NA SAMOJ DIAGRAMME NANOSQTSQ LINII POSTOQNNYH ZNA^ENIJ INKREMENTOW ( = const), RASS^ITANNYE S POMO]X@ URAWNENIQ (151). wDALI OT POROGA (PRI |r + i | m) INKREMENT NEUSTOJ^IWOSTI DAЁTSQ e SOOTNO[ENIEM (146). 2.5.6. nEUSTOJ^IWOSTX SGUSTKA PRI NALI^II SWQZI MEVDU MULXTIPOLXNYMI MODAMI tEORIQ PRODOLXNYH MULXTIPOLXNYH NEUSTOJ^IWOSTEJ, IZLOVENNAQ WY[E, HORO[O SOGLASUETSQ S IME@]IMISQ "KSPERIMENTALXNYMI DANNYMI W SLU^AE DOSTATO^NO NIZKOJ INTENSIWNOSTI SGUSTKOW ^ASTIC I NE O^ENX WYSOKIH NOMEROW m. oDNAKO PRI OBQSNENII DRUGIH TIPOW NEUSTOJ^IWOSTEJ ONA STALKIWAETSQ S TRUDNOSTQMI. tAK, NAPRIMER, PRAKTI^ESKI WO WSEH KOLXCEWYH USKORITELQH PROTONOW NABL@DALASX MIKROWOLNOWAQ NEUSTOJ^IWOSTX, SOPROWOVDAEMAQ SIGNALOM W sw~-DIPAZONE. w USKORITELE ifw-- ONA WOZNIKALA W REZULXTATE WZAIMODEJSTWIQ PU^KA S "LEKTROMAGNITNOJ WOLNOJ, ZAMEDLENNOJ GOFRIROWANNOJ WAKUUMNOJ KAMEROJ, NA ^ASTOTE 6 ggC (W NASTOQ]EE WREMQ GOFRIROWANNAQ KAMERA ZAMENENA NA GLADKU@). dLQ MIKROWOLNOWOJ NEUSTOJ^IWOSTI HARAKTERNY BOLX[IE WELI^INY INKREMENTOW -- RAZMERY SGUSTKOW MOGUT SU]ESTWENNO WOZRASTATX ZA WREMQ PORQDKA ODNOGO PERIODA FAZOWYH KOLE BANIJ. --KSPERIMENTALXNO BYLO OBNARUVENO, ^TO POROG MIKROWOLNOWOJ NEUSTOJ^IWOSTI S HORO[EJ TO^NOSTX@ OPISYWAETSQ TAK NAZYWAEMYM LOKALXNYM KRITERIEM -- FORMULOJ (82), W KOTOROJ SREDNIJ TOK PU^KA I ZAMENQETSQ NA MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE TOKA SGUSTKA, PROPORCIONALXNOE I/B . TeORETI^ESKIJ ANALIZ "FFEKTOW, PODOBNYH PRODOLXNOJ MIKROWOLNOWOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGUSTKOW ^ASTIC, WOZMOVEN LI[X PRI U^ЁTE SWQZI MEVDU MULXTIPOLXNYMI MODAMI, DLQ e ^EGO NEOBHODIMO PREDSTAWITX WOZMU]ENIE FUNKCII RASPREDELENIQ f W WIDE RQDA fURXE f = ei
c

t m

gm (^)e-

im

.

(157)

pRI "TOM, KAK SLEDUET IZ SOOTNO[ENIQ (128) S U^ЁTOM FORMULY (157) (S POSLEDU@]IM PEe REHODOM K SPEKTRU SIGNALA), NEOBHODIMO ZAMENITX W (133) I W POSLEDU@]IH SOOTNO[ENIQH, WKL@^AQ (141), AMPLITUDU WOZMU]ENIQ SPEKTRA k,m NA k , RAWNU@ k =
m

k,m

.

(158)

101

tOGDA PRI PEREHODE OT (141) K (142) POLU^AETSQ SLEDU@]AQ SISTEMA URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK j : 1 j = - iZk Mjk k , (159) rL k GDE ^EREZ rL OBOZNA^ENO WYRAVENIE, IME@]EE RAZMERNOSTX SOPROTIWLENIQ rL = 2B V sin s ; I (160)

iZk PREDSTAWLQET SOBOJ DIAGONALXNU@ MATRICU, OPISYWA@]U@ IMPEDANS SISTEMY, WZAIMODEJSTWU@]EJ S PU^KOM; MATRI^NYJ "LEMENT Mjk DAЁTSQ WYRAVENIEM e 1 g0 Jm (j x)Jm (k x) 4 Mjk = - m dx. (161) k m c - m 0 pOKAVEM NA PROSTEJ[EM PRIMERE, KAK MOVET WOZNIKATX SWQZX MEVDU DWUMQ SOSEDNIMI MULXTIPOLXNYMI MODAMI S NOMERAMI m I m + 1, KOTORAQ PRI DOSTATO^NO WYSOKOJ INTENSIWNOSTI PU^KA MOVET PRIWODITX K PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI RANEE USTOJ^IWOGO SGUSTKA ^ASTIC. s "TOJ CELX@ RASSMOTRIM SGUSTOK, WZAIMODEJSTWU@]IJ S UZKOPOLOSNYM REZONATOROM, POLOSA PROPUSKANIQ KOTOROGO MALA PO SRAWNENI@ S ^ASTOTOJ OBRA]ENIQ 0 I, NAPROTIW, WELIKA W SRAWNENII S ^ASTOTOJ FAZOWYH KOLE BANIJ . pRENE BREGAQ ^ASTOTNYM SDWIGOM GARMONIK WOZMU]ENIQ PLOTNOSTI ZARQDA, SWQZANNYM S KOGERENTNYM FAZOWYM DWIVENIEM SGUSTKA, BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO IMPEDANS REZONATORA QWLQETSQ ^ISTO AKTIWNYM NA GARMONIKAH ^ASTOTY OBRA]ENIQ S NOMERAMI k = ±k0 (Z±k0 = Rs ) I RAWEN NUL@ PRI |k| = k0 . pRI "TOM SISTEMA URAWNENIJ (159) UPRO]AETSQ I PRINIMAET WID SISTEMY IZ DWUH LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK ±k0 :
±k
0

= -i

Rs (M± rL

k 0 , -k

0

-k

0

+ M±

k0 ,k

0

k0 ).

(162)

dLQ DALXNEJ[EGO UPRO]ENIQ SISTEMY URAWNENIJ (162) WOSPOLXZUEMSQ O^EWIDNYMI SOOTNO[ENIQMI MEVDU "LEMENTAMI MATRICY M : Mk0 ,k0 = -M-k0 ,-k0 = M1 + M2 , M-k0 ,k0 = -Mk0 ,-k0 = (-1)m (M1 - M2 ), GDE M1 = Fm (k0 ) Fm+1 (k0 ) , M2 = , (c/0 ) - m (c /0 ) - (m +1)

A TAKVE MEVDU GARMONIKAMI ±k0 I 1,2 = m,m+1 (k0 ): k0 = 1 + 2 , -k0 = (-1)m (1 - 2 ). s U^ЁTOM "TIH SOOTNO[ENIJ MOVNO OT SISTEMY URAWNENIJ (162) PEREJTI K SISTEME e URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK 1,2:
1 ,2

=-

2iRs M1,2 rL

2 ,1

.

(163)

nETRIWIALXNYE RE[ENIQ SISTEMY URAWNENIJ (163) IME@T MESTO PRI WYPOLNENII SLEDU@]EGO USLOWIQ: 4R 2 1+ 2 s M1 M2 = 0, (164) rL

102

KOTOROE S U^ЁTOM OPREDELENIJ WELI^IN M1 I M2 SWODITSQ K KWADRATNOMU URAWNENI@ e OTNOSITELXNO ^ASTOTY c , (c /0 )2 - (2m +1)(c/0 )+ m(m +1) + TAK ^TO RE[ENIE DLQ c IMEET WID c =
0

4R 2 s Fm Fm+1 = 0, 2 rL

(165)

m+

1 ± 2

1 4R 2 - 2 s Fm (k0 )Fm+1 (k0 ) . 4 rL

(166)

kAK SLEDUET IZ (166), W PREDELE O^ENX NIZKOJ INTENSIWNOSTI SGUSTKA (rL ) POLU^A@TSQ DWA DEJSTWITELXNYH RE[ENIQ DLQ ^ASTOTY c : c = m0 I c = (m + 1)0 , DWIVENIE USTOJ^IWO, A MULXTIPOLXNYE MODY QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI. s ROSTOM TOKA I ^ASTOTY MULXTIPOLXNYH KOLEBANIJ NA^INA@T SBLIVATXSQ. pRI I = Ith , GDE ^EREZ Ith OBOZNA^ENO POROGOWOE ZNA^ENIE TOKA I , RAWNOE B V | sin s | , 2Rs Fm (k0 )Fm+1 (k0 ) (167) ^ASTOTY MULXTIPOLXNYH KOLE BANIJ DLQ OBEIH MOD STANOWQTSQ ODI- rIS. 35. kOGERENTNAQ ^ASTOTA W ZAWISIMOSTI OT INTENSIWNAKOWYMI I RAWNYMI (m +1/2)0 . NOSTI PRI NALI^II SWQZI DIPOLXNOJ I KWA DRUPOLXNOJ MOD. pRI DALXNEJ[EM ROSTE TOKA I U ^ASTOTY c POQWLQETSQ MNIMAQ ^ASTX (POLOVITELXNAQ DLQ ODNOJ MODY I OTRICATELXNAQ DLQ DRUGOJ) I RASSMATRIWAEMYE MULXTIPOLXNYE KOLE BANIQ STANOWQTSQ NEUSTOJ^IWYMI; REALXNAQ ^ASTX c PRI I > Ith OSTAЁTSQ NEIZMENNOJ, RAWNOJ EЁ ZNA^ENI@ PRI I = Ith . e e sKAZANNOE WY[E ILL@STRIRUET RIS. 35 W SLU^AE m = 1. pRI NIZKOJ INTENSIWNOSTI PU^KA IME@TSQ DWE NEZAWISIMYE MULXTIPOLXNYE MODY -- DIPOLXNAQ I KWADRUPOLXNAQ. s ROSTOM TOKA I RAZNOSTX MEVDU KOGERENTNYMI ^ASTOTAMI MOD UMENX[AETSQ, I PROISHODIT WSЁ BOLX[EE SME[IWANIE DIPOLXNYH I KWADRUPOLXNYH WOZMU]ENIJ. pRI I = Ith DANNYE e MODY STANOWQTSQ IDENTI^NYMI S ODINAKOWYMI KOGERENTNYMI ^ASTOTAMI c = (3/2)0. Ith = 2.6. popere~naq neustoi~iwostx sgruppirowannogo pu~ka protonow 2.6.1. pOPERE^NYJ SIGNAL PRI NALI^II KOLE BANIJ CENTRA MASS SGUSTKA ^ASTIC iZMERENIE POLOVENIQ CENTRA TQVESTI PU^KA OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ OSU]ESTWLQETSQ S POMO]X@ RAZREZNYH PIKAP-"LEKTRODOW, KAK UVE OTME^ALOSX 103

W RAZDELE 2.4. sIGNAL, POLU^AEMYJ S POMO]X@ TAKOGO PIKAP-"LEKTRODA, PROPORCIONALEN PROIZWEDENI@ PRODOLXNOGO SIGNALA PU^KA NA WELI^INU EGO POPERE^NOGO SME]ENIQ. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO NA AZIMUTE USKORITELQ S KOORDINATOJ RASPOLAGAETSQ IDEALXNYJ RAZREZNOJ PIKAP-"LEKTROD, TO SIGNAL j , POLU^AEMYJ OT ^ASTICY, SOWER[A@]EJ POPERE^NYE KOLE BANIQ OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY PRI WKL@^ЁNNOM WNE[NEM USKORQ@]EM e NAPRQVENII, DAЁTSQ WYRAVENIEM e j (t, ) = ex cos (t) ^
k

t- -

2k - , 0 0

(168)

KOTOROE POSLE RAZLOVENIQ PERIODI^ESKOJ DELXTA-FUNKCII W RQD fURXE PREOBRAZUETSQ K WIDU e0 j (t, ) = eik (0(t- )-) . (169) x(ei(t) + e-i(t)) ^ 4 k iSPOLXZUQ RAZLOVENIE (124), A TAKVE WYRAVENIE (85) DLQ FAZY BETATRONNYH KOLE BANIJ , W KOTOROM BUDEM DLQ PROSTOTY PRENE BREGATX ^LENOM, SWQZANNYM S ZAWISIMOSTX@ BETATRONNOJ ^ASTOTY OT AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ, POLU^IM WMESTO (169) j (t, ) = e0 x ^ 4 i
k,m -m

Jm (((k + Q0 )0 - )^)ei

((k +Q0)0 t+m -k )

+ K. S.,

(170)

GDE = t + 0 (0 -- NA^ALXNOE ZNA^ENIE FAZY SINHROTRONNYH KOLE BANIJ W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI t = 0). pRIMENQQ K j (t, ) PREOBRAZOWANIE fURXE, NETRUDNO PEREJTI OT (170) K SPEKTRU SIGNALA: j (, )= e0 i xe ^ 4
0

i
k,m

-m

Jm (((k + Q0 )0 - )^) ( - ((k + Q0 )0 + m))ei + K. S.

(m0 -k )

(171)

wIDNO, ^TO SPEKTR SIGNALA, POLU^AEMOGO OT ^ASTICY, SOWER[A@]EJ POPERE^NYE KOLE BANIQ OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY, LINEJ^ATYJ, A SPEKTRALXNYE LINII RASPOLAGA@TSQ NA ^ASTOTAH (k + Q0 )0 + m. tAKIM OBRAZOM, WBLIZI KAVDOJ BETATRONNOJ LINII, SOOTWETSTWU@]EJ ^ASTOTE (k + Q0 )0 , IMEETSQ BESKONE^NYJ NABOR SINHROTRONNYH SATELLITOW, AMPLITUDY KOTORYH OPISYWA@TSQ FUNKCIEJ bESSELQ Jm (((k + Q0 )0 - )^). wAVNO OTMETITX, ^TO CENTR SPEKTRA SOOTWETSTWUET ^ASTOTE = 0 / . tAK KAK ESTESTWENNOE ZNA^ENIE HROMATI^NOSTI IMEET OTRICATELXNYJ ZNAK, TO W OTSUTSTWIE KORREKCII HROMATI^NOSTI, ^ASTOTA OTRICATELXNA WY[E KRITI^ESKOJ "NERGII I POLOVITELXNA PRI < tr . pEREJDЁM TEPERX K RASSMOTRENI@ SGUSTKA ^ASTIC. w OTSUTSTWIE WOZMU]ENIJ AMPLIe TUDY PRODOLXNYH I POPERE^NYH KOLE BANIJ ^ASTIC W SGUSTKE POSTOQNNY. pO"TOMU STACIONARNAQ ^ASTX RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH STACIONARNYH RASPREDELENIJ g0 (^) I f0 (^), NORMIROWANNYH W x SOOTWETSTWII S WYRAVENIQMI g0 (^)^ d = ^ 1 ; 2 f0 (^)^ x = x xd ^ 1 . 2

104

w OTSUTSTWIE WOZMU]ENIJ CENTR TQVESTI SGUSTKA RASPOLAGAETSQ NA OSI WAKUUMNOJ KAMERY, I POPERE^NYJ SIGNAL OT NEGO J RAWEN NUL@: J (t, ) = N j (t, )g0 (^)f0 (^)^xd dxd0 d = 0. x ^ ^ ^ (172)

nA SAMOM DELE, KAK BYLO POKAZANO W RAZDELE 2.1, DAVE W STACIONARNOM SOSTOQNII SGUSTOK ^ASTIC WOZBUVDAET KWADRUPOLXNOE MAGNITNOE POLE. dANNOE POLE NE PRIWODIT K POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI PU^KA, A, DOBAWLQQSX K WNE[NEMU MAGNITNOMU POL@, LI[X IZMENQET POPERE^NU@ FOKUSIROWKU ^ASTIC, SDWIGAQ, TAKIM OBRAZOM, BETATRONNYE ^ASTOTY. nIVE PREDPOLAGAETSQ, ^TO SREDNQQ WELI^INA KULONOWSKOGO SDWIGA WKL@^ENA W BETATRONNU@ ^ASTOTU, KOTORAQ W DALXNEJ[EM BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ Q. pRI SME]ENII CENTRA TQVESTI SGUSTKA ^ASTIC OTNOSITELXNO CENTRA WAKUUMNOJ KAMERY WOZNIKAET WOZMU]ENIE ISHODNOGO RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE F (, x, , ^ t) I, SOOTWETSTWENNO, POPERE^NYJ SIGNAL OT SGUSTKA ^ASTIC J MOVET BYTX ^ , WY^ISLEN S POMO]X@ WYRAVENIQ J (t, ) = N
B

j (t, )F (, x, , ^ t) dxd d0 d0 . ^ , ^^

(173)

pREDPOLOVIM WNA^ALE, ^TO W SGUSTKE IMEETSQ EDINSTWENNAQ MODA SINHROTRONNYH KOLE BANIJ S NOMEROM m. dANNOE PREDPOLOVENIE SPRAWEDLIWO PRI DOSTATO^NO NIZKOJ INTENSIWNOSTI, PODOBNO SLU^A@ PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW, RASSMOTRENNOMU W PREDYDU]EJ GLAWE. mATEMATI^ESKOE OPISANIE WOZMU]ENIQ ISHODNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ F PODSKAZYWAETSQ WIDOM POPERE^NOGO SIGNALA OT ^ASTICY, DAWAEMOGO FORMULOJ (170). ~TOBY POPERE^NYJ SIGNAL OT SGUSTKA J BYL OTLI^EN OT NULQ, WOZMU]ENIE F DOLVNO BYTX WYBRANO PROPORCIONALXNYM exp(-i - im ). pO"TOMU MOVNO OPISATX WOZMU]ENIE FUNKCII RASPREDELENIQ ^ASTIC F WYRAVENIEM F = hm (^ x)e- , ^
i(+m ) ic t

e

,

(174)

GDE, KAK "TO NEODNOKRATNO DELALOSX RANEE, ^EREZ c OBOZNA^ENA KOMPLEKSNAQ ^ASTOTA NEUSTOJ^IWOSTI, PODLEVA]AQ OPREDELENI@; EЁ REALXNAQ ^ASTX BLIZKA K m, A ZNAK EЁ MNIMOJ e e ^ASTI POKAZYWAET, QWLQETSQ LI SGUSTOK ^ASTIC USTOJ^IWYM ILI NET. zDESX WWEDENA TAKVE FUNKCIQ hm (^ x), KOTORAQ OPISYWET AMPLITUDU WOZMU]ENIQ DLQ ^ASTICY, DWIVU]EJSQ , ^ WDOLX FAZOWOJ TRAEKTORII S PRODOLXNOJ AMPLITUDOJ I W TO VE WREMQ SOWER[A@]EJ ^ POPERE^NYE KOLE BANIQ S AMPLITUDOJ x. pRI "TOM FORMULA (173) DLQ POPERE^NOGO SIGNALA ^ OT SGUSTKA ^ASTIC PRIMET S U^ЁTOM OPREDELENIQ (174) SLEDU@]IJ WID: e J (t, ) = e0 NB i
-m k

Jm (((k + Q)0 - )^)hm (^ x)e- , ^

ik i((k +Q)0 +c )t

e

x2 d dx. ^^ ^ ^

(175) pRIMENQQ DALEE K WYRAVENI@ (175) PREOBRAZOWANIE fURXE, POLU^AEM SPEKTR POPERE^NOGO SIGNALA OT SGUSTKA ^ASTIC J (, ) = 2 2 I
B k

e-

ik

m (k) ( - (c +(k + Q)0 )),

(176)

105

GDE ^EREZ m (k) OBOZNA^ENA k-AQ GARMONIKA WOZMU]ENIQ STACIONARNOGO SOSTOQNIQ SGUSTKA PRI NALI^II POPERE^NYH KOGERENTNYH KOLE BANIJ ^ASTIC, m (k ) = i
-m

hm (^ x)Jm (((k + Q)0 - )^)^x2 d dx. , ^ ^ ^ ^

(177)

tAKIM OBRAZOM, ESLI ^ASTICY SOWER[A@T KOGERENTNYE POPERE^NYE KOLE BANIQ PRI ODNOWREMENNOJ MODULQCII IH PLOTNOSTI W PRODOLXNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE, OPISYWAEMOJ MODOJ S NOMEROM m, TO SPEKTR SGUSTKA QWLQETSQ LINEJ^ATYM, PRI^ЁM SPEKTRALXNYE LINII e SOOTWETSTWU@T ^ASTOTAM = (k + Q)0 + m. 2.6.2. dISPERSIONNOE URAWNENIE bUDEM, KAK OBY^NO, ISHODITX IZ URAWNENIQ wLASOWA F F F F + + x+ ^ = 0, t x ^ (178)

W KOTOROM FUNKCIQ RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE F POLAGAETSQ SOSTOQ]EJ IZ DWUH ^ASTEJ -- STACIONARNOGO RASPREDELENIQ I MALOJ WOZMU]A@]EJ DOBAWKI F , F = g0 (^)f0 (^)+ F (t, , , ^ ). x ^ x, (179) pRENE BREGAQ ^LENAMI WTOROGO PORQDKA MALOSTI, PREOBRAZUEM URAWNENIE (178) K WIDU i(c - m)hm (^ x)e- , ^
i(+m ) ic t

e

= -g0 (^)

df0 x. ^ dx ^

(180)

wYRAVENIE DLQ SKOROSTI WOZRASTANIQ AMPLITUDY POPERE^NYH KOLE BANIJ x MOVNO WYRA^ ZITX ^EREZ SILU, DEJSTWU@]U@ NA ^ASTICU, WOSPOLXZOWAW[ISX FORMULOJ (88). s U^ЁTOM e OPREDELENIQ POPERE^NOGO IMPEDANSA SWQZI Z , DAWAEMOGO SOOTNO[ENIEM (96), IMEEM sin i e x= ^ 2R0m0 u^ITYWAQ DALEE, ^TO sin = Z (k)m (k)e-
k ik 0(t- ) i((k +Q)0 +c )t

e

.

(181)

exp() - exp(-) /2i, A TAKVE OTBRASYWAQ W (181) NERE-

ZONANSNYJ ^LEN, NETRUDNO, POSLE RAZLOVENIQ exp i((k + Q)0 - )^ W RQD PO FUNKCIQM bESSELQ S POMO]X@ SOOTNO[ENIQ (124) POLU^ITX DLQ x SLEDU@]EE WYRAVENIE: ^ eIB x=- ^ 2m0 c Q Z (k)l (k)il Jl (((k + Q)0 - )^)e-
l,k i(+l ) ic t

e

,

(182)

KOTOROE POSLE OTBRASYWANIQ NEREZONANSNYH ^LENOW W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ (180) POZWOLQET PREOBRAZOWATX URAWNENIE (180) K WIDU i(c - m)hm (^ x) = , ^ eIB 2m0 c Q Z (k)m (k)imJm (((k + Q)0 - )^)g0 (^)f0 (^). x
k

(183)

uMNOVIM OBE ^ASTI POSLEDNEGO URAWNENIQ NA x2 I ZATEM PROINTEGRIRUEM IH PO x; ^ ^ POLU^IW[IJSQ W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ INTEGRAL LEGKO WY^ISLQETSQ:
0

f0 (^)^2 dx = -2 xx ^

0

1 f0 (^)^ x = - . x xd ^

(184)

106

s U^ЁTOM "TOGO POLU^IM WMESTO (183) SLEDU@]EE URAWNENIE: e i(c - m)
0

hm (^ x)^2 dx = - , ^ x ^

eIB 2m0 c Q

Z (k)m(k)im Jm (((k + Q)0 - )^)g0 (^).
k

(185) zDESX WAVNO OTMETITX, ^TO FUNKCIQ f0 (^), OPISYWA@]AQ ISHODNOE RASPREDELENIE ^Ax STIC W POPERE^NOM FAZOWOM PROSTRANSTWE, IS^EZLA IZ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ I OSTALASX TOLXKO STACIONARNAQ PRODOLXNAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ g0 (^). --TO SWQZANO S TEM, ^TO RE[AEMAQ NAMI ZADA^A KASAETSQ W OSNOWNOM POWEDENIQ CENTRA MASS SGUSTKA ^ASTIC. pO"TOMU W SREDNEM WLIQNIEM BETATRONNYH KOLE BANIJ INDIWIDUALXNYH ^ASTIC OTNOSITELXNO CENTRA MASS SGUSTKA MOVNO PRENE BRE^X. pODOBNOE ZAME^ANIE SPRAWEDLIWO TAKVE OTNOSITELXNO WOZMU]ENIQ hm (^ x) -- OSNOW, ^ NOJ INTERES PREDSTAWLQ@T SREDNIE ZNA^ENIQ AMPLITUD BETATRONNYH KOLE BANIJ ^ASTIC xm , ZAWISQ]IH OT AMPLITUDY FAZOWYH KOLE BANIJ . oPREDELQQ ZAWISIMOSTX xm (^) SOOT^ ^ ^ NO[ENIEM g0 (^)^m (^) = x hm (^ x)^2 dx, , ^ x ^ (186)
0

MOVNO PEREPISATX URAWNENIE KOGERENTNOGO DWIVENIQ SGUSTKA ^ASTIC (185) W WIDE i(c - m)xm (^) = - ^ eIB 2m0 c Q Z (k)m (k)imJm (((k + Q)0 - )^).
k

(187)

pRI "TOM IZMENQETSQ OPREDELENIE GARMONIKI WOZMU]ENIQ m (k) -- WMESTO FORMULY (177) NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE WYRAVENIE: m (k ) = i
-m 0

Jm (((k + Q)0 - )^)g0 (^)^m (^)^ d. x ^

(188)

oKON^ATELXNYJ WID DISPERSIONNOGO URAWNENIQ POLU^AETSQ POSLE UMNOVENIQ OBEIH ^ASTEJ URAWNENIQ (188) NA MNOVITELX i-m Jm (((j + Q)0 - )^)g0 (^)^ d I POSLEDU@]EGO ^ INTEGRIROWANIQ PO : ^ i(c - m)m(j ) = - eIB 2m0 c Q

Z (k)m (k)
k

Jm (((k + Q)0 - )^)Jm (((j + Q)0 - )^)g0 (^)^ d, ^ - < j < . (189)

0

oTMETIM, ^TO DANNAQ BESKONE^NAQ SISTEMA DISPERSIONNYH URAWNENIJ QWLQETSQ ANALOGOM SISTEMY URAWNENIJ (142), POLU^ENNOJ W PREDYDU]EM RAZDELE DLQ PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW. oTLI^IE ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO POD ZNAKOM INTEGRALA W (189) NAHODITSQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ ^ASTIC W PRODOLXNOM FAZOWOM PROSTRANSTWE g0 (^), A NE EЁ PROIZWODNAQ, KAK "TO BYLO W SISTEME URAWNENIJ (142). e kROME "TOGO, W SLU^AE POPERE^NOGO DWIVENIQ NEUSTOJ^IWOJ MOVET BYTX MODA S NOMEROM m = 0, KOTORAQ, KSTATI, QWLQETSQ OSNOWNOJ, TAK KAK IMEET, KAK PRAWILO, NAIBOLX[U@ WELI^INU INKREMENTA. kROME "TOGO, NA WELI^INU INKREMENTA POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWoSTI SU]ESTWENNOE WLIQNIE OKAZYWAET HROMATI^NOSTX USKORITELQ, SDWIGA@]AQ SPEKTR SGUSTKA PO ^ASTOTE NA WELI^INU .

107

2.6.3. iNKREMENTY NEUSTOJ^IWOSTEJ pRI ANALIZE INKREMENTOW PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGRUPPIROWANNOGO PU^KA PROTONOW ISHODNOE RASPREDELENIE ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE g0 (^) POLAGALOSX POSTOQNNYM, ^TO POZWOLILO LEGKO RE[ITX SISTEMU DISPERSIONNYH URAWNENIJ (142). wY[E OTME^ALOSX, ^TO SRAWNENIE POLU^ENNYH TAKIM OBRAZOM REZULXTATOW S IME@]IMISQ W LITERATURE DANNYMI DLQ PARABOLI^ESKOJ ZAWISIMOSTI g0 (^) POKAZYWAET, ^TO ONI PRAKTI^ESKI SOWPADA@T, PO KRAJNEJ MERE W NAIBOLEE INTERESNOM SLU^AE WZAIMODEJSTWIQ SGUSTKOW ^ASTIC S REZONANSNYMI "LEMENTAMI USKORITELQ. sLABOE WLIQNIE WIDA ISHODNOGO RASPREDELENIQ ^ASTIC W FAZOWOM PROSTRANSTWE NA WELI^INY INKREMENTOW OBQSNQETSQ TEM, ^TO ONO WHODIT W DISPERSIONNYE URAWNENIQ POD ZNAKOM INTEGRALA, TAK ^TO EGO WOZDEJSTWIE NA NEUSTOJ^IWOSTX ESTESTWENNYM OBRAZOM USREDNQETSQ. pODOBNYM SPOSOBOM MOVET BYTX RE[ENA I SISTEMA URAWNENIJ (189), ESLI ISHODITX IZ TAK NAZYWAEMOJ MODELI `PUSTOTELOGOґ SGUSTKA, DLQ KOTOROGO g0 (2/B - 1). w TAKOM ` ґ ^ SLU^AE S U^ЁTOM FORMULY (188) RE[ENIE SISTEMY DISPERSIONNYH URAWNENIJ (189) MOVET e BYTX PREDSTAWLENO W WIDE eIB c = m+ iZ(k )m (k - ), (190) 4m0 cQ k GDE ^EREZ m OBOZNA^ENA FUNKCIQ, OPISYWA@]AQ SPEKTR PU^KA I DAWAEMAQ DLQ RASSMATRIWAEMOGO ZDESX RASPREDELENIQ g0 (^) WYRAVENIEM B 2 m ( ) = Jm . (191) 2 nA RIS. 36A PREDSTAWLENY SPEKTRY PU^KA DLQ DWUH NIZ[IH PRODOLXNYH MOD m = 0 I m = 1, RASS^ITANNYE S POMO]X@ FORMULY (191) DLQ SLU^AQ `PUSTOTELOGOґ SGUSTKA I ` ґ RAWNOJ NUL@ HROMATI^NOSTI USKORITELQ. pRI = 0 SPEKTRY SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT, A PRI KONE^NOJ WELI^INE HROMATI^NOSTI ONI SDWIGA@TSQ PO ^ASTOTE NA : m = m ( - ). ~ASTOTNAQ [IRINA SPEKTRA f DLQ NIZ[EJ MODY (m = 0) SOSTAWLQET PRIMERNO 1/B . sPEKTRY MOD S NOMERAMI m 1 IME@T PO DWA OSNOWNYH MAKSIMUMA, RASPOLOVENNYH NA ^ASTOTAH f ±(m +1)/2B , PRI^ЁM [IRINA KAVDOGO IZ "TIH e MAKSIMUMOW TAKVE RAWNA PRIMERNO 1/B . sLEDUET OTMETITX, ^TO REALXNYJ PU^OK IMEET LINEJ^ATYJ SPEKTR, A KRIWAQ Fm ( ) QWLQETSQ OGIBA@]EJ SPEKTRA. eSLI W USKORITELE IMEETSQ EDINSTWENNYJ SGUSTOK, TO EGO SPEKTRALXNYE LINII RASPOLAGA@TSQ NA ^ASTOTAH k = (k + Q)0 , GDE k -- CELYE ^ISLA (POLOVITELXNYE ILI OTRICATELXNYE). dLQ n-OJ MODY SWQZANNYH KOLE BANIJ SGUSTKOW ^ASTIC SPEKTRALXNYE LINII SOOTWETSTWU@T ^ASTOTAM k = (n + kq + Q)0 (PRI USLOWII, ^TO W USKORITELE IMEETSQ q ODINAKOWYH SGUSTKOW, GDE q -- KRATNOSTX USKORENIQ; n = 0, 1, 2, ... , q - 1). sISTEMA DISPERSIONNYH URAWNENIJ (189) LEGKO RE[AETSQ TAKVE PRI PROIZWOLXNOJ ZAWISMOSTI g0 (^) W SLU^AE, KOGDA PU^OK WZAIMODEJSTWUET S UZKOPOLOSNYM REZONATOROM, W POLOSU PROPUSKANIQ KOTOROGO POPADAET EDINSTWENNAQ GARMONIKA S ^ASTOTOJ = k . uDERVIWAQ W PRAWOJ ^ASTI (189) ^LEN S DANNYM NOMEROM k I POLAGAQ j = k, IMEEM eIB c = m+ (192) iZ (k )m (k - ); 4m0 cQ PRI "TOM SPEKTRALXNAQ OGIBA@]AQ m ( ) DAЁTSQ FORMULOJ e

m ( ) = 2
0

2 Jm ( )g0 (^)^ d. ^ ^

(193)

108

nA RIS. 36B DANY SPEKTRALXNYE OGIBA@]IE 0,1 ( ), WY^ISLENNYE S POMO]X@ FORMULY (193) DLQ SLU^AQ POSTOQNNOJ FAZOWOJ PLOTNOSTI -- g0 (^) = const (^ B /2). wIDNO, ^TO PRI PEREHODE K POSTOQNNOJ FAZOWOJ PLOTNOSTI OGIBA@]IE SPEKTROW STANOWQTSQ BOLEE PLAWNYMI, A SAMI SPEKTRY NESKOLXKO U[IRQ@TSQ. oDNAKO KA^ESTWENNYJ HARAKTER SPEKTROW W SRAWNENII SO SLU^AEM `PUSTOTELOGOґ SGUSTKA IZMENQETSQ NEZNA^ITELXNO -- ` ґ OTLI^IQ W RASPOLOVENII I WELI^INAH IH MAKSIMUMOW NESU]ESTWENNY, KAK "TO SLEDUET IZ SRAWNENIQ DANNYH, PREDSTAWLENNYH NA RIS. 36A I B.

rIS. 36. sPEKTR PU^KA DLQ MOD m = 0 I m = 1 ( = 0).

rASSMOTRIM TEPERX PROTIWOPOLOVNYJ PREDELXNYJ SLU^AJ O^ENX [IROKOJ POLOSY PROPUSKANIQ, KOGDA WELI^INA Re Zk PRIMERNO POSTOQNNA W PREDELAH SPEKTRA SGUSTKA, PREDSTAWLENNYJ NA RIS. 37. rEZISTIWNAQ ^ASTX IMPEDANSA SOOTWETSTWUET SOPROTIWLENI@ STENOK GLADKOJ WAKUUMNOJ KAMERY USKORITELQ, A SPEKTR SGUSTKA, SDWINUTYJ ZA S^ЁT HROMATI^e NOSTI NA POLOVITELXNYJ FAZOWYJ UGOL , -- NIZ[EJ MODE KOLE BANIJ TIPA GOLOWA-HWOST (m = 0). pRI WY^ISLENII Im c S POMO]X@ FORMULY (190) MOVNO W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE WYNESTI Re Zk ZA ZNAK SUMMY, A OSTAW[U@SQ SUMMU FORMFAKTOROW 0 (k - ) NETRUDNO OCENITX, U^ITYWAQ OPREDELENIE (191) I PEREHODQ W (190) OT SUMMIROWANIQ K INTEGRIROWANI@,

109

0 (k - )
k

4 0

B 0

2 J0 (x) dx

2 . 0 B

w REZULXTATE POLU^IM SLEDU@]U@ FORMULU DLQ Im c : Im c 1 Re Zk ( )I e , m0 2Q0 2R0B (194)

KOTORAQ FAKTI^ESKI SOWPADAET S KRITERIEM POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI ODNORODNOGO PU^KA PROTONOW, DAWAEMOGO FORMULOJ (112), ESLI W POSLEDNEJ ZAMENITX TOK PU^KA I = qIB NA EGO LOKALXNOE ZNA^ENIE W CENTRE SGUSTKA, RAWNOE W GRUBOM PRIBLIVENII I/B .

rIS. 37. pRIMER SLABOJ ZAWISIMOSTI Re Zk ().

mENEE O^EWIDNYJ SLU^AJ POKAZAN NA RIS. 38, GDE PREDSTAWLEN LINEJ^ATYJ SPEKTR SGUSTKA ^ASTIC DLQ NIZ[EJ PRODOLXNOJ MODY m = 0. pREDPOLAGAETSQ, ^TO ZNA^ENIE ^ASTOTY BETATRONNYH KOLE BANIJ Q NESKOLXKO MENX[E CELOGO ^ISLA, A SDWIG SPEKTRA OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT IZ-ZA NE RAWNOJ NUL@ HROMATI^NOSTI USKORITELQ NEWELIK. pODOBNO SLU^A@ UZKOPOLOSNOGO IMPEDANSA ZDESX OSNOWNOJ WKLAD W NEUSTOJ^IWOSTX DAЁT e EDINSTWENNAQ GARMONIKA S ^ASTOTOJ k = (k + Q)0 , BLIVAJ[AQ K NA^ALU KOORDINAT ( = 0), TAK KAK DANNOJ ^ASTOTE SOOTWETSTWUET O^ENX BOLX[AQ WELI^INA STENO^NOGO IMPEDANSA Re Zk ( ). eSLI VE ZNA^ENIE BETATRONNOJ ^ASTOTY WYBRATX BLIZKIM K CELOMU ^ISLU, NO PREWY[A@]IM EGO, TO BUDET OBESPE^ENA USTOJ^IWOSTX DIPOLXNYH KOLE BANIJ SGUSTKA ^ASTIC DLQ RASSMATRIWAEMOJ MODY m = 0.

110

rIS. 38. rASPOLOVENIE SPEKTRALXNYH LINIJ PRI Q + k

0 DLQ MODY m = 0.

2.6.4. pOPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTX SGUSTKA ^ASTIC PRI BOLX[OJ INTENSIWNOSTI pO ANALOGII S PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTX@ SGUSTKA ^ASTIC PRI DOSTATO^NO BOLX[OJ INTENSIWNOSTI SLEDUET OVIDATX WOZNIKNOWENIQ SWQZI PRODOLXNYH MULXTIPOLXNYH MOD I W SLU^AE POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI. pODOBNAQ SWQZX DEJSTWITELXNO WOZNIKAET PRI WELI^INAH KOGERENTNYH SDWIGOW BETATRONNYH ^ASTOT, SRAWNIMYH S ^ASTOTOJ FAZOWYH KOLE BANIJ . s U^ЁTOM SWQZI MULXTIPOLXNYH MOD DRUG S DRUGOM, SISTEMA DISPERSIONNYH e URAWNENIJ MOVET BYTX ZAPISANA W WIDE, ANALOGI^NOM SISTEME URAWNENIJ (159), POLU^ENNOJ PRI RASSMOTRENII PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGUSTKA (j )= zDESX ^EREZ r

1 r

iZ (k)Mjk(k).
k

(195)

OBOZNA^ENA WELI^INA, IME@]AQ RAZMERNOSTX oM/M: r = 4m0 c Q , eIB (196)

A MATRI^NYJ "LEMENT Mjk IMEET WID Mjk =
m

2 (c/) - m

Jm (k )Jm (j )g0 (^)^ d, ^ ^ ^
0

(197)

GDE k = (k + Q)0 - . w KA^ETWE ILL@STRACII SNOWA RASSMOTRIM UZKOPOLOSNYJ REZONATOR, IMPEDANS KOTOROGO OTLI^EN OT NULQ LI[X NA ^ASTOTAH ±k0 0 I RAWEN SOOTWETSTWENNO ±R , A HROMATI^NOSTX 111

USKORITELQ BUDEM, DLQ PROSTOTY, S^ITATX RAWNOJ NUL@. pREDPOLOVIM, KROME "TOGO, ^TO ZNA^ENIE BETATRONNOJ ^ASTOTY Q BLIZKO K CELOMU ^ISLU (|Q| 1, GDE |Q| -- OTLI^IE BETATRONNOJ ^ASTOTY OT BLIVAJ[EGO CELOGO ^ISLA). pRI "TOM BESKONE^NAQ SISTEMA DISPERSIONNYH URAWNENIJ (195) SWODITSQ K SISTEME IZ DWUH LINEJNYH URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK (k1) I (k2), GDE k1,2 k0 + Q. u^ITYWAQ O^EWIDNYE SOOTNO[ENIQ MEVDU "LEMENTAMI MATRICY M : Mk2 ,k2 = M1 + M2 = Mk1 ,k1 , Mk1 ,k2 = (-1)m (M1 - M2 ) = Mk2,k1 , GDE M1 = m (k0 0 ) m+1 (k0 0 ) ; M2 = , (c /) - m (c /) - (m +1)

A TAKVE SWQZX MEVDU GARMONIKAMI (k) I m (k) -- ( k2 ) = m (k2 )+ m+1 (k2 ) = 1 + 2 , (k1) = (-1)m (1 - 2 ), NETRUDNO PEREJTI OT SISTEMY URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK (k1,2) K SISTEME URAWNENIJ OTNOSITELXNO GARMONIK 1,2 , ANALOGI^NOJ SISTEME (163), POLU^ENNOJ W PREDYDU]EJ GLAWE DLQ PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGUSTKA ^ASTIC:
1 ,2

=

2iR M1,2 2,1, r

(198)

RE[ENIE KOTOROJ MOVET BYTX ZAPISANO W WIDE, PODOBNOM (166): c = m + 1 ± 2 1 4R 2 - 2 m (k0 0 ) 4 r
m+1

(k0 0 ) .

(199)

iZ POSLEDNEJ FORMULY, W ^ASTNOSTI, WIDNO, ^TO SWQZX MULXTIPOLXNYH MOD IMEET MESTO PRI ZNA^ENII TOKA SGUSTKA IB , PREWY[A@]EM POROGOWOE ZNA^ENIE (IB )th, RAWNOE (IB )
th

=

eR

m0 cQ . m (k0 0 )m+1 (k0 0 )

(200)

tAKIM OBRAZOM, RAZWITIE POPERE^NOJ NEUSTOJ^IWOSTI SGUSTKA ^ASTIC S U^ЁTOM SWQZI e MULXTIPOLXNYH MOD DRUG S DRUGOM SOWER[ENNO ANALOGI^NO SWQZI MOD, IME@]EJ MESTO PRI PRODOLXNOJ NEUSTOJ^IWOSTI, RASSMOTRENNOJ W KONCE PREDYDU]EJ GLAWY. w ZAKL@^ENIE NASTOQ]EGO RAZDELA OTMETIM, ^TO PRI NALI^II SWQZI MULXTIPOLXNYH MOD PRODOLXNAQ I POPERE^NAQ NEUSTOJ^IWOSTI OBY^NO IME@T SU]ESTWENNO BOLEE WYSOKIE INKREMENTY, PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM NE SWQZANNYH MULXTIPOLEJ. pODOBNYE BYSTRYE NEUSTOJ^IWOSTI, NABL@DAW[IESQ NA MNOGIH USKORITELQH, UDALOSX OPISATX KOLI^ESTWENNO LI[X POSLE RAZRABOTKI SOOTWETSTWU@]EJ TEORII, U^ITYWA@]EJ SWQZX MULXTIPOLXNYH MOD. w LITERATURE IMEETSQ TAKVE OPISANIE NEUSTOJ^IWOSTI S U^ЁTOM SWQZI MULXTIPOLXe NYH MOD W SLU^AE, KOGDA SGUSTOK ^ASTIC WZAIMODEJSTWUET S [IROKOPOLOSNYM REZONATOROM, DOBROTNOSTX KOTOROGO POLAGAETSQ RAWNOJ EDINICE (WY[E OTME^ALOSX, ^TO S POMO]X@ DANNOJ MODELI OPISYWAETSQ IMPEDANS, OBUSLOWLENNYJ IZMENENIQMI POPERE^NOGO SE^ENIQ WAKUUMNOJ KAMERY W ZAWISIMOSTI OT AZIMUTA USKORITELQ). rEZULXTATY RAS^ЁTOW ZAWISQT e OT DLINY SGUSTKA I SOBSTWENNOJ ^ASTOTY REZONATORA, ODNAKO OKAZYWAETSQ, ^TO MINIMUM POROGOWOGO ZNA^ENIQ TOKA SGUSTKA OPISYWAETSQ FORMULOJ (200), W KOTOROJ NEOBHODIMO TOLXKO ZAMENITX TOK (IB )th NA (IB )th/B .

112

pRI NAPISANII NASTOQ]EJ RABOTY ISPOLXZOWALASX SLEDU@]AQ LITERATURA: [1] kOLOMENSKIJ a.a., lE BEDEW a.n. tEORIQ CIKLI^ESKIH USKORITELEJ. -- m.: fIZMATGIZ, 1962. [2] lIWINGUD dV. pRINCIPY RABOTY CIKLI^ESKIH USKORITELEJ. -- m.: iZD.-WO INOSTRAN. LITERATURY, 1963. [3] lE BEDEW a.n., ALXNOW a.w. oSNOWY TEORII I TEHNIKI USKORITELEJ ZARQVENNYH ^ASTIC. -- m.: --NERGOATOMIZDAT, 1991. [4] bRUK g. cIKLI^ESKIE USKORITELI ZARQVENNYH ^ASTIC. wWEDENIE W TEORI@. -- m.: aTOMIZDAT, 1970. [5] Theoretical Aspects of the Behaviour of Beams in Accelerators and Storage Rings. -- In: Proceed. of the First Intern. Accel. School, CERN 77-13, Geneva, 1977. [6] General Accelerator Physics. -- In: Proceed. 1984 CERN Accel. School, CERN 85-19, Geneva, 1985. [7] Advanced Accelerator Physics. -- In: Proceed. 1985 CERN Accel. School, CERN 87-03, Geneva, 1987. [8] Fifth Advanced Accel. Physics Course. -- In: Proceed. 1993 CERN Accel. School, CERN 95-06, Geneva, 1995. rUKOPISX POSTUPILA 24 AWGUSTA 1999 G.

113

p.t. pA[KOW. oSNOWY TEORII PROTONNOGO SINHROTRONA. a oRIGINAL-MAKET PODGOTOWLEN S POMO]X@ SISTEMY L TEX. rEDAKTOR n.w.eVELA. tEHNI^ESKIJ REDAKTOR n.w.oRLOWA. pODPISANO K PE^ATI 26.08.99. fORMAT 60 в 84/8. pE^.L. 14,12. u^.-IZD.L. 11,3. tIRAV 160. zAKAZ 155. lr ъ020498 17.04.97. gnc rf iNSTITUT FIZIKI WYSOKIH "NERGIJ 142284, pROTWINO mOSKOWSKOJ OBL. oF SETNAQ PE^ATX. iNDEKS 3649.

iNDEKS 3649

p r e p r i n t 9942,

i f w --,

1999