Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/hbar/optmicro/lec08.pdf Дата изменения: Tue Apr 15 00:00:00 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:44:12 2012 Кодировка: Windows-1251

Спецкурс Оптические микрорезонаторы. Лекция 8. Лучевое приближение при наличии диэлектрической границы.
М.Л.Городецкий 15 апреля 2008 г.

1

Лучевое приближение при наличии диэлектрической границы.

1.1

Каустики и момент импульса фотона. Принцип локализации.

До сих пор мы применяли лучевой подход и метод эйконала к закрытым резонаторам с непроницаемой границей. Посмотрим, что будет происходить с лучами в диэлектрических резонаторах [1]. Рассмотрим самый простой случай цилиндрического бесконечного по z резонатора с показателем преломления n в вакууме. На цилиндр падает снаружи узкий луч света с прицельным расстоянием b (Рис. 1.1). Он частично отражается, а частично проходит в резонатор. Угол падения определяется соотношением:

sin i a b=a;

(1)

где a радиус цилиндра. Волновое число резонатора в окружающем резонатор пространстве kH , импульс p a hkH , момент импульса L a hL a hbkH . " "~ " В среде волновое число nkH . Тангенциальные компоненты волновых векторов на границе раздела должны быть равны: kt a sin i kH a sin t nkH , отсюда следует закон Снелля,

sin i sin t a n;

(2)

а также равенство углов падения и отражения. Фактически это закон сохранения импульса, тангенциальная компонента которого не возмущается границей. Момент импульса фотона внутри резонатора L a hnkH a sin t a hkH a sin i " " " H , то есть момент импульса фотона при переходе через границу в аксиhbk ально симметричной конфигурации сохраняется. 1

a


Рис. 1: Тангенциальная компонента волнового вектора

k

t

~ b a L a kH
s P

(3)

непрерывна при переходе через границу раздела. Однако радиальная компонента волнового вектора:

k

b a kP a Ѓn kH I n ;
P kt
Е

q

(4)

a . I; Минимальное расстояние на которое подходит луч к центру min a ac a a sin t a b=n < b определяет внутреннюю каустику резонатора. Все лучи, испытавшие отражение внутри резонатора касаются этой внутренней каустики и тангенциальны к ней в области касания. Окружность радиуса b играет роль каустики для лучей снаружи цилиндра их продолжения внутрь касаются окружности. В рассмотренном случае обе каустики лежат внутри цилиндра и волны с заданным моментом импульса могут распространяться везде кроме области < ac . Если мы увеличим прицельный параметр b так, чтобы он стал немного больше a, то ситуация изменится. В этом случае волны с соответствующим моментом импульса L a hbkH , имеющие действи" тельное значение радиального импульса могут распространяться как внутри, так и снаружи цилиндра, но появляется запрещенная зона a < < b в которой волны с таким угловым моментом не могут находиться. При этом оказывается, что лучи внутри цилиндра падают на поверхность под углом

2


t < rsin @I=nA, который в геометрической оптике называется углом полного внутреннего отражения. Внутри цилиндра могут распространяться не все такие лучи, а только такие, которые воспроизводят фазу после многократного отражения, то есть моды резонатора. При этом sin t a ac =a, а из рассматривавшегося условия квантования nkH ac a m. Этой внутренm ней каустике соответствует внешнее каустика: b a ac ne =ni a ne k0mq , где kHmq определяется характеристическим уравнением. Таким образом, каждой моде резонатора ставится в соответствие некоторое расстояние b. Именно на этом расстоянии тангенциальная скорость волны, туннелирующей в окружающее пространство сравнивается со скоростью света в окружающей среде и происходит излучение так, что ему соответствует каустика b (Рис.2). Это утверждение называется "принципом локализации"[2]. Верно и обратное. Чтобы возбудить моду в резонаторе лучом из окружающего пространство, надо сфокусировать его тангенциально к внешней каустике b. На практике, однако, такой способ может быть реализован только для очень малых резонаторов с малой излучательной добротностью, и для мод у которых такая внешняя каустика b оказывается очень близко к поверхности a. В реальных резонаторах лишь очень малая часть энергии моды, обратно пропорциональная излучательной добротности перекрывается с возбуждающим лучом. Третий случай соответствует условие bn > a. В этом случае обе каустики находятся вне цилиндра и моды в резонаторе невозможны.
1.2 Матрица рассеяния

Для описания поведения волны при падении на границу раздела двух сред удобно пользоваться формализмом матрицы рассеяния [3, Гл. 3]. Если на оптическую систему падают волны с амплитудами ai , то в линейной системе они будут связаны с выходящими из системы в результате преломления и отражения волнами bi соотношением a . Для описания преломления и отражения достаточно взять матрицу P ? P (Рис. ??):

S

b Sa

bI bP

a SII aI C SIP aP a SPI aI C SPP aP

(5)

Эта систему можно записать в матричной форме в виде:

b a Sa
jaI jP C jaP jP a jbI jP C jbP jP ;
или в матричной форме:

(6)

Если нет потерь, то должно выполняться условие сохранения энергии: (7)

aCa a bCb a aCSCSa
3

:

(8)


Верхний индекс 'C' означает транспонированную и комплексно-сопряженную матрицу C a ?T . Следовательно,

S

S

где

I

aC@I SCSAa a H; SC S a I SC a S
I :

(9)

единичная матрица, и значит матрица

S

должна быть унитарной: (10)

или (11)

Покомпонентно расписывая условие (11), получаем:

jSII jP C jSIP jP a jSPP jP C jSPI jP a I ? ? SPI SII C SPP SIP a H

(12)

Если на рисунке (??) все волны и пустить в противоположных направлениях, то входными сигналами станут волны , а выходными . Такое обращение времени эквивалентно замене 3 ? и 3 ? . При этом матрица рассеяния не изменится:

ab
?

b abba

a

a? a Sb
или

(13)

a a S? b
Домножая слева на обратную матрицу, получаем:

(14)

b a S? Ia
Сравнивая последний результат с (11) и (6 и, получаем, что

(15)

S? a S S

C;

(16)

что означает требование симметричности матрицы , и значит SIP a SPI . Вместе с этим новым условием, получаются такие требования на компоненты :

S

SIP a SPI jSII jP a jSPP jP jSII jP C jSIP jP a ? ? SIP SII C SPP SIP

I aH

(17)

Таким образом, в системе без потерь матрица рассеяния полностью описывается тремя действительными параметрами. 4


Sa

ir p jSII je P I jSII j e

i

t

I jSII jP ei jSII jei@P t

p

t r

!

A

(18)

C коэффициентами матрицы рассеяния связаны энергетические коэффициенты отражательной a jSII jP a jSPP jP и пропускательной способности a jSIP jP . При этом C a I. Во многих случаях, когда интересует лишь поведение волны вдали от рассеивателя, удобно выбрать входные и выходные поверхности, не совпадающие в общем случае с границами раздела, так, чтобы фазовые углы r a и t a =P. В этом случае матрица рассеяния принимает простой вид:

iT S a R R iT RP C T P a I:

!

(19)

При этом коэффициенты R и T имеют смысл амплитудных коэффициентов отражения и пропускания RP a , T P a . Знак минус перед R выбран так, чтобы соответствовать полному отражению электромагнитной волны от металлической поверхности при этом суммарное электрическое поле падающей и отраженной волны на границе должно обращаться в ноль и соответствовать узлу стоячей волны. Такой вид имеет, в частности, матрица рассеяния для волны, проходящей через границу раздела диэлектриков при переходе из оптически более плотной в оптически менее плотную среду. При переходе в обратном направлении амплитудный коэффициент отражения положителен.
1.3 Отражение и преломление лучей на границе раздела двух сред. Обобщение формул Френеля

В приближении геометрической оптики МШГ представляют собой совокупности лучей, отражающихся от внутренней поверхности диэлектрического резонатора под углом большим угла полного внутреннего отражения. Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания плоской волны при ее падении на плоскую границу раздела двух сред следуют из известных формул Френеля [4, п.1.5]:

Er

a RF Ei a P ni os i nt os t Ei P ni os i C nt os t p P P ni os i E : Et a TF Ei a P ni os i C nt os t i

(20)

Здесь Ei , Et , Er амплитуды электрического поля, соответственно, в падающей, прошедшей и отраженной волне, i , r a i , t углы падения, отражения и преломления (Рис. 1.3), соответственно, падающей, отраженной и прошедшей волны, ni и nt показатели преломления в двух средах, 5


Рис. 2: Отражение и преломление света от границы раздела а P коэффициент, зависящий от поляризации волны. Для волны, у которой вектор перпендикулярен плоскости падения (поперечноэлектрическая TE-волна) и параллелен границе раздела, P a I. Для TM-волны, у которой вектор лежит в плоскости падения и направлен в первой среде под углом падения i к границе раздела P a @nt =ni AP . Уравнения Френеля легко получаются из условия непрерывности на границе раздела продольных компонент вектора и поперечных вектора a nP . Угол преломления t связан с углом падения законом Снелля. Коэффициент, связывающий Er и Ei в первой из формул Френеля (20) имеет смысл амплитудного коэффициента отражения SII , поскольку непосредственно связывает амплитуды поля в падающей и отраженной волне. Связь коэффициента прохождения SIP со второй формулой Френеля можно установить из выражений для мощности оптической волны:

E E

E

D

E

R T

a SII a P ni os i nt os t P n os i C nt os t s si a SIP a e
ktz Et kiz Ei
!

a

n

t

eos t T a P P ni nt os i eos t ni os i F P ni os i C nt os t
(21)

p

1.3.1

Полное внутреннее отражение

При переходе из более оптически плотную в менее оптически плотную среду (ni > nt ) угол преломления остается действительным лишь при углах падения, удовлетворяющих условию sin i < ni =nt . При углах больших этого критического угла, называемого углом полного внутреннего отражения, угол преломления становится комплексным (действительная часть равна p =P), его косинус os i a I @sin i ni =nt AP , а значит и поперечная составляющая волнового вектора ktz a nt kH os t становятся чисто мнимыми, что означает, что волна во второй среде G exp ikH nP os P превращается в заq тухающую G exp kH nP sinP i nP и не распространяется на бесконечноt i сти. При этом модуль коэффициента отражения R и a jRjP обращаются в 1, а коэффициент прохождения a H. Поле во второй среде, определяемое 6


второй из формул Френеля (20) не обращается на границе в нуль как раз из-за наличия такой затухающей волны. Этот эффект выпадающего поля при полном внутреннем отражении, играет важнейшую роль в свойствах мод шепчущей галереи, поскольку позволяет связываться с такими модами и ответственен за взаимодействие мод с окружающей резонатор средой. При полном внутреннем отражении от границы раздела диэлектриков волна проникает во вторую среду, и это проникновение можно описать в лучевом приближении, вводя воображаемую зеркальную границу отстоящую на расстояние r от реальной границы (Рис. 1.3). Это расстояние можно получить из Формулы для коэффициента отражения (21), полагая, что дополнительный набег фазы в коэффициенте разложения вызван прохождением этого дополнительного пути. Для почти скользящих углов падения в модах шепчущей галереи, когда величина os i мала, раскладывая по ней выражения Френеля, можно получить:

SII r

a a 9 C

os i i nP sinP i nP t i ir q ; ea P ni os i C i nP sinP i nP t i P rtg p P n os i nP sinP i I nQ PP P pPP n os i C PQ@n@Q IAQ=PA osQ i P nP I S @IS PHP P C VP R A Pn osS i C O@osU i A; PH@nP IAS=P
P ni

q

(22)

где n a ni =nt . Лучи ведут себя так, как если бы они отражались без смещения от поверхности, отстоящей от реальной поверхности на расстояние r a r =@Pkn os i A (Рис.3).

r

P a Pk n r a kH I @nP IAI=P H os R P C P n @IS PPHP SCPVP RH@n IA =

nP PP P C PT@n@Q IAQ=PA osP i P ! RA osR i C O@osT i A :

(23)

Благодаря той же причине происходит поперечный эффективный сдвиг отраженной волны p a Pr sin i этот эффект известен, как эффект ГусаХенхена [5] и может быть весьма велик для скользящих углов. Полное выражение для сдвига пучка конечной аппертуры получается в результате расчета интерференции всех отраженных волн разложения исходного пучка. Таким образом, если найдено решение для собственных частот резонатора с простыми нулевыми граничными условиями, оно с использованием полученного соотношения может быть расширено и на диэлектрический резонатор с модами T E и T M . Для этого в решение нужно подставить размер резонатора a a a C r , увеличенный на величину r . Так, из найденной ~ 7


ранее методом эйконала аппроксимации для собственных частот сфероида следует следующее выражение:

nkH a a nkH a nkH r a ` q ~ C Pp@a bbA C P P QP P Q bQ Q q Pp@a bQ A C a C Pn@nP @PP Q PQA IP IA = p " где использовано приближение os i a I `P =@nk aA
1.4

I=Q `

P ` I=Q p P n C QPHq P P n I P=Q ` C O@` I A; (24) P 9 p @`=PA I=Q . a
q

Отражение от изогнутой поверхности

При падении луча на плоскую поверхность раздела под углом больше полного внутреннего отражения отражение будет почти полным. Почти, потому что в угловом спектре любого ограниченного пучка, например гауссова, всегда найдутся плоские волны с малыми углами падения. Однако, если поверхность выпуклая с внешней стороны, отражение не будет полным уже по другой причине (Рис. 1.4). Эту причину легко понять, а эффект оценить из простых физических соображений. Выпадающее поле волны движется вдоль изогнутой поверхности с радиусом кривизны rcv с тангенциальной скоростью vt a ! =kt a c=@ni sin i A (c скорость света во внешней среде) и при удалении от поверхности фазовые фронты двигаются с постоянной угловой скоростью. Однако на расстоянии t a rcv c=vt a rcv n sin i от центра кривизны эта скорость сравнивается со скоростью света и "хвост"выпадающего поля, дошедший до этой границы излучается по касательной и не может вернуться поэтому назад в первую среду [6]. В отличие от отражения от плоскости, убывание выпадающего поля происходит не по экспоненте, но и это распределение легко найти. Оно происходит по закону E a Ei F expi k @Ad, где

k @

r A a kP ktcv

s



P

a ik

Как видно, на расстоянии t затухание мнимого становится действительным. Таким образом, беря интеграл, мы получаем окончательное выражение:

rcv n sin i P I прекращается и k из

s

(25)

a a ї@i A a

P r s P sinP i I rcv n sin jTF jP n n os exp R Pk i rcv p RnP os i nP sinP i I e Pї@i A nP I nP @I P P A osP i q krcv n sin i rosh @n sin i A nP sinP i I p
8

i

P

Q

I dS

!

:

(26)


Рис. 3: Нарушенное полное внутреннее отражение от выпуклой границы и фиктивная поверхность
1.5 Собственные частоты и добротности произвольных тел вращения

Чтобы оценить собственную добротность мод типа шепчущей галереи в квазиклассическом приближении, нужно учесть потери внутренних лучей при каждом отражении от поверхности резонатора. Добротность определяется простым выражением [7]:

Q
где

соответствует потерям на единицу длины пути луча. Путь можно представить как множество отрезков ломаной, длина каждого из которых Ln a Prcv os , где rcv радиус кривизны геодезической кривой на поверхности. Пусть потери энергии при отражении на данном отрезке пути равны @A и n a @; rcv A=Ln . Усредняя n по одному витку геодезической кривой, касающейся верхнего каустического конуса на расстоянии zm от экватора, спускающегося вниз до нижнего каустического конуса zm и возвращающегося назад (см. Лекцию 7), получим полные потери:

n a P ;

(27)

PnLg Qa

s

I @A dl! I a PnLg zm @A dl dz! (28) : Prcv @A os zm rcv @A os dz

Это выражение можно использовать для оценки добротности в произвольных диэлектрических резонаторах с модами типа шепчущей галереи, причем не только для вычисления излучательной добротности, но и для расчета потерь на рассеяние и поглощение на поверхности. Потери на излучение при отражении от изогнутой поверхности были найдены выше, их можно также получить, решая модельную задачу в цилиндре, когда rcv a a и

9


p os H a I mP =@knaAP 9 p q @m=PA I=Q H a Rna os H : Q

являются постоянными моды: (29)

H

При использовании приближений Дебая для функций Неймана в выражении для излучательной добротности, полученном из точного уравнения сферы, получается то же самое выражение (26).

Задание 8.1 Постройте и сравните зависимость i 1) из формул Френеля при отражении от плоской поверхности; 2 для изогнутой поверхности для TE и TM мод в геометрическом приближении (26), 3) приближении (29) вместе с аналитическим решением для добротности через специальные функции в Лекции 4. Для расчетов положите m , n:.

@ A

Произвольную поверхность тела вращения часто можно аппроксимировать эквивалентным сфероидом, принимая во внимание, что поле мод типа шепчущей галереи сосредоточено около экваториальной плоскости, вблизи поверхности резонатора и использовать напрямую полученный результат. Можно построить также более общую теорию в случае произвольного выпуклого тела вращения. Сначала определим семейства каустических поверхностей. Первое семейство каустических поверхностей можно найти, пользуясь приближением [8]:

a I RSU

a IHH

I= A 9 I P rcv Q @sA C O@ R A P os i @sA a rcvI=Q @sA;

c @s

(30)

где c @sA нормальное расстояние от точки s на поверхности тела до каустической поверхности, параметр семейства, rcv радиус кривизны геодезической кривой (кривизна поверхности по направлению распространения луча), а os i угол падения луча в точке s. Если найдена каустическая поверхность из первого семейства, заданная параметрически как a g@z A, то можно найти и второе семейство поверхностей, заданных параметрически как h@z A и ортогональных к любой поверхности из первого семейства при различных P . Геодезическая кривая на поверхности определяется следующим выражением:

d dz

a

p c I C gHP p ; g@z A gP @z A P c

(31)

где c a g @zm A радиус окружности на каустике на максимальном расстоянии от экваториальной плоскости. Длина геодезической кривой участка:

ds

a

g

p I pP g

C
10

gHP dz : P c

(32)


Длина геодезической кривой, соединяющей точки

LI
Длина дуги от

g

aP

z z

m

g

H

aH

до c

a P c





m

p I pP g

I и P

: (33)

C

gHP dz : P c

c

d du

du: Lg P

a c c

. (34)

LP
В итоге получаем:

g

aP

z z

m



m

p P I C gHP c p dz : g g P P c
z m p

nk@LI
g

LP A a Pnk
g

a

zm P@p C I=PA:

p I C gHP gP P dz c g
(35)

Точно также, для геодезической кривой на каустической поверхности другого семейства a h@z A получим:

nk@LI

h

LP A a Pnk
h

p HP p P P I C h h c dz h@ z A zc a P@q I=RA:
z
0

(36) (37)

Третье условие:

Pnkc a Pjmj:

Для сфероидальной системы координат эта система эквивалентна той, что была получена в предыдущей лекции для сфероида. Добротность можно вычислить, если известно @A, используя соотношения:

r

cv

dl dz L
g

где расстояние от оси z до наивысшей точки геодезической кривой, c нормальное расстояние от поверхности до каустической поверхности. 11

os@A m a @zm A

HQ Q HP AQ=P a jrHjr j rHH j a P @I CH@IA C HH @P P A P ?p m m @z A I C H @z AP a pP @z A P pm zm @z A I C H @z AP pP aR dz @ z A P H m p 9 Pc =rcv ;

(38)


Используя полученные соотношения для потерь при однократном отражении от изогнутой поверхности, найдем выражение для собственной излучательной добротности сфероида:

r

P P bP A=bR AQ=P P P P P P a a @IICCzz@a@a bP A=bR 9 a I a bP b c C Q a bR b z PP P m P P bP a b P c 9 H Pa I C PbR z
cv

P



os 9

q P IC aP bP P Lg 9 Pb C P b c :
z

p

I=Q l

aP bP P PbP c



aP bP P PbR z

(39)

Подставляя

a c os , получим: 4 5 I p p P 1 nP Il =P Pї@ A Q9 e d 9 n P Il eP 0 I e@ A RP n Pn HI H ! P bP A їH a nka I @Pp C IAla@a bQ
l ? rosh@nA I C q P P P bP A їI a їH Q@Pp C IAbaQ@la : P

P=Q



I I=nP

p

!

(40)

На рисунке (рис.3) показана зависимость излучательной добротности от параметра сплюснутости сфероида для TE и TM моды при l a m a IHH (фундаментальная мода) и l a IHH; m a WV. Сплюcнутость f a H (a a b) соответствует идеальной сфере.
Задание 8.1 Рассчитайте добротность сфероида, вызванную рассеянием на поверхностных неоднородностях, если добротность сферы, обусловленная теми же потерями при среднем размере неоднородностей и длине корреляции B имеет вид [9]:

Qss
Список литературы

QQ a Vn aP : BP
15

(41)

[1] S. G. S. G. Roll, Th. Kaiser, J. Opt. Soc. Am. A

, 2879 (1998).

[2] Г. ван-де-Хюлст, Рассеяние света малыми частицами, М.: Ин. лит-ра, 1961. [3] Х. Хаус, Волны и поля в оптоэлектронике, М., Мир, 1988. 12


[4] М. Борн и Э. Вольф, Основы оптики, 2-е изд., М., Наука, 1988. [5] H. F.Goos, Ann. Phys. 1, 333 (1947). [6] G. Roll and G. Schweiger, J. Opt. Soc. Am. A
17

, 1301 (2000).
137

[7] M. L. G. V. B. Braginsky and V. S. Ilchenko, Phys. Lett. A

, 393 (1989).

[8] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М.: Наука, 1972. [9] A. D. P. M. L. Gorodetsky and V. S. Ilchenko, J. Opt. Soc. Am. B (2000).
17

, 1051

13