Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/hbar/optmicro/lec07.pdf Дата изменения: Tue Apr 15 00:00:00 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:43:55 2012 Кодировка: Windows-1251

Спецкурс Оптические микрорезонаторы. Лекция 7. Метод эйконала и геометрическое приближение волновой оптики.
М.Л.Городецкий 15 апреля 2008 г.

0.1

Метод эйконала в цилиндрических координатах. Получение асимптотик цилиндрических функций

Рассмотрим решение методом эйконала скалярной двумерной задачи о собE ственных колебаниях бесконечного цилиндраF Как мы показали ранее @смF Лекцию RAD решение этой задачи позволяет найти собственные моды бескоE нечного цилиндра и в хорошем приближении собственные решения для диE электрического цилиндраF Кроме тогоD анализ решения позволит получить наглядное понимание тогоD что собой представляют моды типа шепчущей галереи с лучевой точки зренияF В этой лекции мы используем простейшие нулевые граничные условияF О томD как полученные результаты переносятE ся на случай диэлектрических резонаторов будет рассказано далееF Уравнение для эйконала в цилиндрических координатах запишется слеE дующим образомX


@ @

2

I C @ a @
2

n

2

@IA @PA

Решение этого уравнения можно найти методом разделения переменныхX

a kI m 0 s s @ @A w2 a Ѓn I m a Ѓn I n22 @ k
I

a @A C @A C 0 @ 2 @ 2 @ @A C n2 2 a @ @A @ @A aw
@

2

aw

2

@QA
2


a Ѓ Ѓ kI
P R
0

m k0

Ps R



k m

2

I ros m rtn



m k

Q S

a
IQ

q

2 n2 k0 2 m

2

Hs d

k m

2

IeS

@RA

Заменяя константу разделения w на m=k0 D где m ! целоеD мы учли требование непрерывности решения A0 eik0 при D как и ранееD k nk0 F Рассмотрим теперь первое уравнение переносаF Домножив его на A0 D перепишем в более простом видеX

aP

a

A

0

@PrA r C A ? A a r ? @A r A a H
0 0 2 0

@SA

Подставляя сюда найденное решение для эйконала

@ @ A2 0 @ @ @ @

I





I

H d

m A k0

s

C I
k m

2

@ @ A2 0 @ @
I e







X

a
2



2 0

2

m

2

C I

@ @



Ѓ kI mA2 a H 0
0

@TA

A D поскольку в противE Не теряя общности можно положитьD что @@ 0 ном случае получающийся после разделения переменных фазовый множиE тель вида e можно было бы перенести в эйконал F В итоге получаемX

aH

їЃ
p

A

0

a a

C @k2 CЃ
p
4

2

m2 A 1

k2

I
2

=

4

m2

eЃim

[

p(

k=m

)2

1 arctan( (k=m)2

p

1 )]+

im
@UA
p

Решения в области k < m берутся из полученных подстановкой k 2 2 i m2 k2 2 F Линейные комбинации функций + и обеспечивают кваE зиклассические аппроксимации полей во всех областяхD кроме непосредE ственно прилегающей к значениям ac m=k F В этой области условия кваE V? зиклассической аппроксимации k ? ) V1? @@ нарушаютсяF Получить приE ближение в этой области можноD воспользовавшись знакомым нам приблиE жением Эйри для полного уравненияF

ї

ї

m

2

a

a

Задание 7.1

Линеаризуя уравнение Гельмгольца вблизи точки пово-

рота, показать, что получающееся решение плавно сшивается с квазиклассическим если положить, что при отражении от каустической поверхности происходит дополнительный набег фазы бранного большого

m

=P.

Для некотого вы-

построить графики для точного решения скалярного

P


уравнения через функции Бесселя, квазиклассического приближения в области распространения и за каустикой и приближения через функцию Эйри

Jm @z Jm @z Jm Ym

Aa Aa



p I exp m z m rosh m I C O@m Ajzm zR s hp i @zA a pmP z exp m z C m rosh m I C O@m Ajz 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

m

P

1=

3

P ei m


4

1=

3

@z mA I C O@m A
1

5

jz9m

Ym @z Ym

Aa

s

P @zA a m


p 2P 2 sin z m
1=
3

p

z

2

P fi m

4

1=

m2 m ros m I C O@m 1 Aj zR
3

z>m
@VA

@z mA ?I C O@

5

? m 1 A jz9m

0.2

Нахождение собственных частот методом эйконала. Правила квантования.

В квазиклассическом приближении квантовой механики условие квантоваE ния БораEЗоммерфельда выглядит следующим образомX
s

k? dx

a P@q C I=PA;

@WA

где q ; ; ::: ОднакоD как показал Келлер ID такое условие квантоваE ние справедливо лишь при условии отражения волновой функции от двух гладких границ потенциальной ямыF Применение уточненных условий кванE тования позволило ему продемонстрироватьD что метод эйконала является мощным и неожиданно весьма точным методом для расчета собственных частот разнообразных резонаторов PF В квазиклассическом приближении интеграл по замкнутому контуру означаетD что лучD бегущий по этому контуру возвращается в исходную точE ку с той же фазойF Набег фазы приобретает как в ходе распространенияD так и при отражении от границF В методе эйконала роль локального волнового вектора играет величина k? k0 r и условие квантования превращается в условиеX

aH I P

a

k
Где

s

0

r ds a Pq C ?b ;

@IHA

?b

! набег фазы при отражении от различных границF Q


Проще всего выбирать контур такD что направление волнового вектоE ра было все время касательно к контуруF Если интегрирование ведется по одной координатеD условие получается простымX

Pk j a Pq C ?
0 2 1

b

;

@IIA

Рассмотрим условия отражения от границ потенциального барьераF ЕсE ли на границе рассматриваемое поле u должно обращаться в ноль @как в случае тангенциальных компонент электрического поля на металлической поверхностиAD значит на границу s sb приходится узел стоячей волны ? ? 1 eik (x sb) e ik (x sb)+i D значит при этом на и G k ? s sb 2i каждое отражение от поверхности при следовании вдоль контура надо доE бавить F Если же требование состоит в равенстве нулю производнойD то 1 G k? s sb 2 eik? (x sb) e ik? (x sb) и при отражении фазовоE го сдвига не происходитF Особым случаем является отражение от каустиE ческой поверхностиF Как показано в упражненииD непрерывность сшивки квазиклассического решения и решения линеаризованного уравнения вблиE зи точки поворота диктует необходимость добавления фазы = при касаE нии каустикиF Таким образомD условия квантования запишутся следующим образомX

sin @

A a @

a C

A

os @

Aa @

C

A

P

k

s
0

где q H ! количество отражений на рассматриваемом контуре от границ с краевым условием Неймана u sb D а q HH ! количество касаний каустичеE ских поверхностейF ТеперьD воспользовавшись найденным решением для эйконала мы моE жем записать условия квантования и найти собственные значенияX

r ds a P@q C q C qR A; P

H

HH

@IPA

@ AaH

k0 j2 0
0

a PmPa P s
R

q ka m
2

Pk ja a Pm
c

m I ros ka



Q S

@IQA

Q I a P@q C R A a P@q R A @a AaH

Здесь учтеноD что циклический интеграл по включает одно касание каE устики @q HH A и одно границы @q H A и тоD что S c m=k F Из первого уравнения следуетD что q mF Для согласия с нумерацией корней функции Бесселя мы заменили q на q q F Второе уравнение позволяет найти приближенные собственные значенияD но прежде чем это сделатьD поE смотримD что означают записанные уравнения с квазигеометрической точE ки зренияF В цилиндрическом резонатореD заплненном изотропной средей с постоянным показателем преломления n могут распространятьсяD согласно принципу наименьшего действияD только прямолинейные лучиD отражаюE щиеся лишь от границы на окружностиF

aI

a

aI a CI

R


На РисFI показаны различные геометрические пути по которым могут распространяться лучиF Как видноD кроме вырожденного случаяD когда луE чи распространяются по диаметруD в остальных случаях они заполняют собой кольцоF Обозначим через ac радиус внутренней окружности кольца @наружний радиус соответствует границе aA и выберем в качестве первого пути обхода эту внутреннюю окружностьF

kPac

a P

m

@IRA

Второй контур выбираем такD как показано на РисF PF Он состоит из двух сопряженных отражением от поверхности лучей до каустической окружноE сти и из стягивающей эти лучи дуги на этой же каустической окружностиF В каждой точке на таком контуре лучи тангенциальны к поверхностиD однаE ко на каустической поверхности направление противоположно направлению распространения двух лучейX

Pk@a ac A = ac ros@ac =aA a P@q I=RA
2 212

@ISA

Выражая из первого уравнения ac D получаем выражение в точности совпаE даюее с темD которое получается формальным решением уравнения эйкоE нала @IRAF Решение IR можно искать в виде рядаX

nka m nka

aIC
23

I
i

cj m 2j =3
13

@ITA

= m= Q C Q@q I=RA C PH Q@q I=RA P P P I IRHH Q@q I=RA m C O@m = A P P

a

m

4=3

m 1=

2

P

3

1

53

@IUA

Это решение можно сравнить с ассимптотическим разложением аналиE тического решенияD которым являются корни функции Бесселя Q

tm;q

a


3 1=3 m Q 2 1=3 C q C IH m m q C PH q m P P IRHH P 4 RUWq RHq 4 m 5=3 C O@m 8=3A q

1

SHRHHH

P

Сравнивая две аппроксимацииD мы видимD что при формальной замене 2=3 выражений q 3(q 1=4) на нули функции Эйри q D ряды совпадаE 2 ют с точностью до члена порядка O m 1 F Как следует из таблицыD q и q очень близки и относительная разница быстро стремиться к нулю с ростом qF

a

@

A

S


q I P Q R S T U V W IH

EPFQQVIHU ERFHVUWRW ESFSPHSTH ETFUVTUHV EUFWRRIQR EWFHPPTSI EIHFHRHIU EIIFHHVSP EIIFWQTHP EIPFVPVUV

q

EPFQPHPSP ERFHVIVIP ESFSIUITS ETFUVRRST EUFWRPRVW EWFHPIQUT EIHFHQWIR EIIFHHUTU EIIFWQSPV EIPFVPVIS

q

q q q EHFHHUTQU EHFHHISHI EHFHHHTIS EHFHHHQQI EHFHHHPHU EHFHHHIRI EHFHHHIHQ EHFHHHHVU EHFHHHHTP EHFHHHHRW

Можно привести обоснование замены q на q F Дело в томD что вблиE зи каустики условия квазиклассического приближения нарушаются иD как было отмечено вышеD в этой области лучшее приближение дает после лиE неаризации уравнения решение через функции ЭйриF Сочетая оба подходаD можно получить равномерные аппроксимации уравнения второго порядка вблизи точки поворота c RD SX

HH
при

C k @A C q @A a H
2

@IVA
5

k

3I

обеспечивает аппроксимацияX

a C eip @A

4s
4

p @A a T Q R P
s
c

P

p @A 1 @A C O@k A
Q U S

k



23

=

p

c

@Ad

;

@IWA

отсюда условие обращение функции в нуль приводит к уравнениюX

k

p

3 @Ad a P q=2 ; Q

@PHA

что эквивалентно условию квазиклассического квантования по Келлеру с одним касанием каустики и одним отражением от границы с нулевыми граE ничными условиями с заменой q на q F Что и требовалось доказатьF Для функций Бесселя указанная равномерная аппроксимация приводит к прекрасному приближению во всех областяхX

Jm @xA

9



Rp x2

1

=

4

ei@p A
T


a I kmr2 a I m2 2 x p p a Q m2 x2 C m rosh m P x
2 2

!

23

=

jx @PIA

a Q P

p

x2 m

2

m ros m x

!

23

=

jx>m ;

Здесь для удобства мы избавились от комплексностейF Арроксимации имеE ют разрешимую неопределенность в точке x m в которой они принимают значение =m 1=3 в согласии с первым приближением в @VAF

@P A ei@HA

a

0.3

Уравнение эйконала в сфере

P

Рассмотрим теперь применение метода эйконала для сферыX Сферическую гармонику в лучевом приближении можно представить себе как суперпозицию наклоненных циркулярных мод @смF Лекцию TAF КаE устическими поверхностями в сфере являются внутренняя сфера радиусом ac и два симметричных конусаD определяемые углами 1;2c F В качестве первого контура интегрирования выбираем круг на внутренE ней каустической сфереD лежащий в плоскости распространения такой наE клоненной орбитыD касающейся сверху и снизу каустических конусов @q HH A @РисF QAD поэтомуF

a

P

k ac

a P@` C I=PA

@PPA

Второй контур выбираем в этой же плоскостиD аналогичный рассмотE ренному для цилиндра @РисF PAD состоящий из двух лучей от внутреннего каустического круга до поверхности и стягивающей их дугиD лежащей на каустической сфереX

Pk@a ac A = ac ros@ac =aA a P@q I=RA
2 212

@PQA

Третий контур выбираем в виде окружности на пересечении каустичеE ской сферы и каустических конусовF

P
0.4 Моды сфероида

k ac

sin c a P

m
@PRA

В случаях сферы и цилиндра удается точно найти собственные моды колеE баний резонатора и соответствующие резонансные частотыD получить расE пределение поля внутри и вне резонатораD оценить энергетические потериF U


Однако в общем случаеD если резонатор представляет собой произвольное тело вращенияD этого сделать нельзяD точных аналитических решений не существуетD а численные методыD например метод конечных элементовD теE ряют свою эффективностьD когда размеры резонатора значительно превыE шают длину волныF Приближение лучевой оптики @эйконалаA " один из наиболее эффективных асимптотических методов оценки собственных чаE стот мод типа шепчущей галереи в случаеD когда точные решения найти не удается PF Интересно рассмотреть этим методом моды эллипсоида вращеE ния @сфероидаAD поскольку сфероидомD имеющим разную кривизну в азиE мутальном и меридиональном направлениях можно с хорошей точностью аппроксимировать поверхность тел вращения в приэкваториальной области распространения мод для различных торроидальных и дисковых резонатоE рахF В TD U получены весьма точные приближения для собственных частот в сфероиде и показаноD как этот метод может быть применен к произвольному телу вращенияF Уравнение Гельмгольца в сфероидальных координатах не разделяется VD не удается построить векторные гармоникиD тангенциальE ные к поверхности сфероидаF Поэтому в сфероиде не могут существовать чисто i или w модыD а только гибридныеF Было предложено несколько способов разделения переменных с помощью рядов разложенияD используE ющих сфероидальные или сферические функции WD IHD IIF К сожалениюD они ведут к чрезвычайно громоздким системам уравненийD которые решаE ются численно и полезны только для рассмотрения низших типов колебаE нийF В работе IP выписано без доказательства точное характеристическое уравнение для собственных частот диэлектрического сфероидаD котороеD будь оно вернымD могло бы существенно облегчить расчет собственных чаE стот сфероидаF К сожалениюD это уравнение в частных предельных случаях с известными решениями @сфераD осесимметричные колебания сфероида с идеально отражающими стенками IQA приводит к неверным результатамF Тем не менееD в случае мод шепчущей галереиD прилегающих к экваE ториальной плоскостиD энергия в основном сосредоточена в электрических компонентах либо тангенциальныхD либо нормальных к поверхностиF Такие моды мы будем обозначатьD соответственноD как квазиEi или квазиEw @используя соглашениеD как в случае сферическихD а не цилиндрических координатахD где в силу исторических причин соглашение обратноеA и они могут быть с хорошим приближением проанализированы с помощью скаE лярного волнового уравненияF
0.5 Сфероидальная система координат

Введением слова сфероид в оборот мы обязаны АрхимедуF Вот как он опреE деляет этот термин @цитируется по IRD pFIVHAX 4FFF мы полагаем следующееX если эллипс при сохранении непоE движной большей оси поворачиваетсяD возвращаясь в исходное положениеD то охватываемая им фигура будет называться выE V


тянутым сфероидом & 'o & F Если эллипс повоE рачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возE вращается назадD то охватываемая им фигура бутет называться сплюснутым сфероидом 'o & F4 Ввести координаты для вытянутого и сплюснутого сфероида и соответE ствующие им сфероидальные функции можно несколькими эквивалентныE ми способами ISD ITD QF Следующая система координат позволяет рассматE ривать одновременно обе геометрииX

x y z

a a a

где d ! расстояние между точками фокусовF Здесь мы ввели знаковую пеE ременную sD которая равна для вытянутой сфероидальной системыD в которой P ; I определяет вытянутые сфероидыD а P ; описывает ортогональные им двуполостные гиперболоиды вращения @РисFSD справаAF СоответственноD s порождает сплюснутые сфероиды для P ; I и однополостные гиперболоиды вращения @РисFID справаAF Сфероиды чаще рассматриваются в связи с модами другого вида ! 4прыгающего мячика4D которые соответствуют модам резонатора типа ФабриEПероF Нас же интеE ресуют моды внутри сфероидаD прилегающие к его поверхности около экваE ториальной плоскостиF Удобно обозначить полуось в этой плоскости через aD а полуось по оси симметрии z через bF В этом случае d2 = s b2 a2 и p a=b 2s F Параметры Ламэ для введенной системы эксцентриситет " координат имеют видX

= P @ sA@I A os@A d = P @ sA@I A sin@A d P ;
2 2 12 2 2 12

d

@PSA

I A

CI

I I

aI

H A

aI@A
h h h

Ra @

A

aP ad P ad P

d

s2 1=2 ; 2 s 2 s2 1=2 ; I 2 @2 sA@I 2A1=2:

2

@PTA

Скалярное уравнение Гельмгольца в сфероидальных координатах разE деляетсяF k2 : @PUA

?C

aH

sA @@ C @@ @I m2 m2 22 2 C c @ s A I 2 s 2 s
2

@ @ @

2

A

@ @

a H;

@PVA

W


РисF IX Координатные системы вытянутого и сплюснутого сфероида @ ; ; AF где c k d= F Решение Rml c; Sml c; eim D где радиальные и угловые сфероидальные функции определяются следующими уравнениямиX

a

P

a

@A@A
22

@ @ @ @ @

2



@R sA @
2

ml c C s 2 s R a H;



m2



@PWA

@I A

@S @

C



ml sc2

2

2 I m 2 S a H:

@QHA

Здесь ml ! константа разделения уравненийD которая независимо опреE деляеится и является функцией mD l и cF Подстановкой r=d первое уравнение переходит в уравнение для сферических функций Бесселя jl k r в пределе d= 3 D при этом второе уравнение обращается в уравнение для l присоединенных полиномов Лежандра Pm D а m;l ll F Поэтому сфероидальные функции часто анализируются разложением их в ряды по сферическим функциямF Вычисление сфероидальных функций и собственных значений ml c явE ляется нетривиальной задачей IUD IVF Можно было бы предположитьD что приближение сфероидальных функций и их нулей является более послеE довательным способом нахождения приближений для собственных частот сфероидаD однако оказываетсяD что метод эйконала обеспечивает лучшие результаты и гораздо более нагляденF Нас интересуют моды шепчущей галереиD когда поле сосредоточено вблиE зи поверхности и экваториальной плоскости резонатораF В сфероидальE ной системе координат уравнение эйконала разделяетсяD если положить

aP

PH

@A

@A

a @ C IA

@A

IH


a @A C @A C @A C 0 X 2 s @ @ A 2 I 2 @ @A 2 C 2 s2 @ C 2 s2 @ I @ @A 2 n2 d2 a R: C @2 sA@I 2 A @


@QIA

@ @ @ @ A @ @ @ A @



aw

222 2 2

n a Ѓ R@ d a Ѓ Ix
2

1=2 2 2 2x s @swsA2 ; 2 sA sn2 d2 2 w2 1=2 ; R@I 2 A @I 2 A2

@QPA

что после простых преобразований превращается вX

@A a Ѓ nd P @A a Ѓ nd P
0

p

@ c A@
2 2 2 2 2

p

гдеD как и ранееD из условия цикличности фазы ik0 мы определилиD что w m=k0 D где m E целоеD а введенные константыD характеризующие кауE стические поверхностиX

m @A a k ;

s @c 2 A@c2 s2A d I 2
@QQA

2 sc A d

a

c

2

2 c

" константы разделенияF Уравнение эйконала описывает лучиD которые распространяются внутри резонатораD отражаE ясь от его поверхностиF Лучи касаются внутренней каустики " сфероида c и распространяютсяD прилегая к геодезическим кривым на немF В идеE альной сфере все лучи одного семейства лежат в одной плоскостиD но даже небольшой эксцентриситет снимает это вырождение и приводит к прецессии траекторий вокруг оси z IWF Геодезические линии приобретают вид незаE мкнутых спиралейD наматывающихся на каустический сфероидD при этом верхняя и нижняя точки этих траекторий задают другую каустическую II



2 0

a I w =x D w и x
2 2

a Pnsx I C snxd s @I C snxd A sn d R R x 4 r P a nxd I C snxd C @I C snxd A sn d R R x R a nxd C s@I c A;
2 22 2 22 2 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 22 2

4

r

22 2

d

5

;
2 0

22

5



2 0

@QRA


поверхностьD которая является двуполостным гиперболоидомD если резонаE тор является вытянутым сфероидом и однополостным гиперболоидомD если сфероид сплюснутыйF Обратимся теперь к квазиклассической лучевой интерпретации PD PHF Уравнение эйконала описывает прямые лучиD которые распространяются внутри сфероидаD касаются поверхности резонатора и отражаютсяF Для мод типа шепчущей галереи угол отражения близок к = F Эти лучи формиE руют каустическую поверхностьD @в нашем случае это вложенный сфероидD определяемый параметром c AF Лучи являются касательными к поверхности внутреннего каустического сфероида и распространяются вдоль геодезичеE ских кривых на немF В случае идеальной сферы все лучи одного семейства лежат в одной плоскостиF Однако это вырождение пропадает даже в слуE чае небольшого эксцентриситета и тогда замкнутые моды в виде окружноE стейD которые будет правильнее называть квазимодыD благодаря прецессии вокруг каустики @смF Лекцию TAD превращаются в незамкнутые спиральE ные трехмерные кривыеD которые наматываются на внутренний эллипсоидF Верхняя и нижняя точки этих траекторий на каустической поверхности заE дают еще одну каустическую поверхность c D которая будет двуполостным гиперболоидом в случае вытянутого сфероида и однополостным гипербоE лоидом в случае сплюснутого сфероидаF Для величины c можно привести простую механическую интерпретациюF В методе эйконала лучи соответE ствуют траекториям движения точечных бильярдных шаров внутри резонаE тораF В аксиальноEсимметричных телах проекция углового момента таких шаров на ось z D а также их кинетическая энергия сохраняетсяF Поэтому c просто соответствует величине угла между экваториальной поверхностью и траекториейD по которой шар пересекает экваторD и в то же времяD эта веE личина определяет максимальное удаление траектории шара от экватораF В рамках квазиклассической лучевой интерпретации метода эйконала требуется применить условия согласования фаз при циклическом изменеE нии каждой из координатных функций ;; D что приводит к уравнениям для собственных значений задачиX k jsc q = c k j c p = 2 k j0 jmj; @QSA

P

P P

a P @ I RA a P @ C I PA aP

где s ! сфероидD соответствующий поверхности резонатораD q ; p; m ! цеE лые числаD при этом p ! D q > F При составлении уравнений учитывают особенности поведения фазы луча при касании каустик и отражении от поверхностейF Каждое касание каустики добавляет фазу = D а отражение добавляет F Эти же уравнения можно получить методомD предложенным ВFПFБыковым PID при этом полученные формально решения эйконала приE обретают наглядную интерпретациюF Интеграл для соответствует разниE це в длине двух геодезических путей на каустической поверхности c между двумя точками P1 c ; c ; 1 и P2 c ; c ; 2 @рисFIAF Первый путь слеE дует от окружностиD по которой пересекаются каустические поверхности c

H

I

P

a@

A

a@

A

IP


и c вдоль c к границе поверхности резонатора s D отражается от нее и возвращается обратно на ту же окружностьD а второй ! дуга окружности между точками P1 и P2 F Интеграл для соответствует разнице длин пуE H тейD первый из которых идет по поверхности c от точки P1 D спускается H D а второй дуге окружности между к c и возвращается к c в точке P2 H H точками P1 и P2 F Третий интеграл соответствует просто длине окружности пересечения каустических поверхностей c и c F В итогеD для мы имеем один каустический сдвиг фазы = на c и одно отражение от поверхноE сти сфероидаD для имеем каустический сдвиг ? = на c и на c D не имеет дополнительных сдвигов фазыF Такая интерпретация является более общей и справедлива и в тех случаяхD когда в явном виде не удается выписать решения эйконалаF Выписанные интегралы можно выразить через эллиптическиеD что вряд ли интересноX

P

P

P

где z ; k D z ; k D z ; ; k ! эллиптические интегралы первогоD второго и третьего рода QF Однако в случае мод типа шепчущей галереиD когда c ( и s c ( s D можно разложить в ряд и проинтегрироватьD используя подстановE 2 2 ки c D 2 c =c F В итогеD выражая s через параметры сфероидаD получаемX

p@ A i@ A ?@ a sin

p p nd 2 2 @A a Ѓ P 0 i s ; sc s@I c Ap c c c p p ! s 2 sc 2 2 2 @c sc A@I c A? ; c ; c pc nd 2 sc 2 @A a Ѓ P 0 i ; s@I c Ap c c c p ! 2 sc 2 2 2 @c sc A@I c A? ; c ; ;



ps ps ; c c p


c



sc ; c c

A

c

c

@QTA

I

a@
nb
3

A

p pI C 2 @I C A@b2 a2 A=b2 0 c a Pa2 pI C @I C 0 C @ 0Ab2 =a2ApI C d 0 2 2 2 2 nb3 P a Pa2 pI C Q 3=2 IHaIS 2Rb 5=2 C a Q 2b 3=2c2 a b 0


!

CO@

72

=

2 4 ; c 5=2 ; c 3=

2

2 a nd c P 2

d I sin a nd c c P C R P C @Pc sA@R sin R A c P TR c T C @Vc Rsc IA@IP C sin Q sin R Q sin P A ISQT c C O@c A?
2 2 2 4 2 4 6



os

2

q

2 2 c sc 2 c sin2

A

sin

2

@QUA

4 c

IQ


a ;
Теперь мы должны решить следующую систему уравненийX

k

k

? a Pk @ A pI C 9 QaPb nka a P@q I=RA ? a k @PA
0 3 3 0

3 0 =


2

I Sa S P a
2 2

b2

0

2 2 2 b P 2a r b



k

a P@p C I=PA r p nka ? a Pk a P pI C I @b a a A I a Pjmj;
0 2 2 0 2

2 2 nk 2 9 pI Cb r I C a VC2b b 0



r

2

2 r

@QVA

Используя метод последовательных приближенийD начинаяD напримерD с (0) (0) (0) эту систему можно разрешитьX грубой оценки nk0 a `D 0 D r

r

2

a a @Pp C IA b a q b
2

a `

4

aH
3

1

IC

0

a2 ` 2=
53

nka

3 где для удобства сравнения мы ввели коэффициенты q 2 q 1 2=3 F 4 Первые три члена в разложении для y nk a были вычислены различE ными способами ранее в работах PPD PID PQD PRD а три последних получены впервыеF Для проверки аналитических результатов мы решали скалярную задачу с нулевыми граничными условиями на собственные частоты в сфероиде для моды с l m методом конечных элементов @piwA @РисF UAF Как видE ноD полученное нами аналитическое приближение значительно лучшеD чем теD что были получены ранееF Расхождения ряда для большой величины эксцентриситета объясняется темD что приближение для интеграловD котоE рое мы использовалиD становится в этом случае не удовлетворительнымD но методD тем не менееD не теряет своей силыF Точнее говоряD в этом случае c становится сравнимо по величине с c и не может быть использовано в разложении как малый параметрF

CO@` = ` a nka a ` q P q Pp@a b b A C IP
3 3 3

P A

C O@` A Pb P 4 5 q @Sa Qb A ` = I Sb P
2 2 2 2 23 2 3

q @b

aH

2

a2 A `

23

=5

1=

a3



Pp@a bA C a C Qq ` C Pb PH P = ` C O@` A; P
2 23 1

1

=

3

@QWA

a

a@

A

a a IHH

IR


Если положить a bD то все шесть членов ряда совпадут с разложением нулей функции Бесселя со следующим отличиемX IA в квазиклассическом разложении на месте нулей функции Эйри q 9 @EPFQQVIDERFHVUWDESFSPHTD FFFA стоят аналитические выражения q @q q 9 EHFHIUY EHFHHTIY EHFHHQQD FFFAF Это связано с темD что на каустической поверхности метод эйконала не раE ботает и нужно пользоваться более точным разложением с использованием функций Эйри PQD поэтомуD чтобы улучшить наше решение при больших `D можно и в нем формально заменить q на q F При малых же ` < квазиклассическое разложение оказывается точнее @РисF VAF Для приложений полезно рассчитать зависимость расстояния между соE седними модами от трех индексовX

a

SHH

@! ! @`

9 ` 1 I C Q P 4 I @ ! 9 b a ` 1 I q @a C PbA@a bA ` ! @m b T b2 P
@! ! @q

I

4

q ` 2=

3

5

@RHA
23

=5

I

2 Эти приближения Из разложения решения уравнения эйконала в сфере можно показатьD что квазиклассическое приближение имеет ошибку порядка O ` 1 D такого же порядка должна быть ошибка при подстановке векторных уравнений вместо скалярныхF Таким образомD если размер резонатора составляет окоE ло сотни микрометровD то относительная погрешность будет порядка 6 F ИнтересноD что в случаеD когда a b @сплюснутый сфероид с эксценE p триситетом : D разность между собственными частотами в первом поE рядке приближения между модами с одним и тем же `D которую определяет третий членD становится равной разнице между частотами при разных ` и одних и тех же ` m @область свободной дисперсииAF Разница возникает только в членах порядка F Эта ситуация похожа на случайD который эксE периментально наблюдался в PPF Такое новое вырождение может иметь простую квазигеометрическую интерпретацию E как и в случае со сферойD геодезические линииD наклоненные к экваторуD становятся замкнутымиD возE вращаются в ту же точку после полного оборотаD но пересекают экватор не дваждыD как в случае сферыD а четыре разаF

Rq ` 9 Pp P IC S P q имеют точность порядка O@l AF
`
23



=4



23

=5

@A

H US

aP

IH

Список литературы
I tF uellerD ennF hysF 4D IVH @IWSVAF P tFfF uellerD FsF uinowD ennF hysF 9D PR @IWTHAF

IS


РисF PX Сравнение точности вычислений собственных частот в сфероиде по формуле QW @кружкиA и численно методом конечных элементов @крестикиA для ` m F Для сравнения показан @треугольникиA результат известE ных ранее аппроксимацийF

a a IHH

Q МF Абрамовиц и ИF СтиганD МоскваD IWUWF

Справочник по специальным функциям

с формулами, графиками и математическими таблицами

D НаукаD

R ВFМFБабичD НFСFГригорьеваD Записки научных семинаров ЛОМИ RP 34D IP @IWUQAF S FiFvngerD rnstions of the emerin wthemtil oiety @IWRWAF T eFiF pominD wFvF qorodetskyD siii tFeleted opis in i U МFЛF ГородецкийD АFЕFФоминD КвантF электроника V F tnswmyD siii rnsF entF ropF W FesnoD qFmmotoD epplF yptF
14 52 37 12 67

D RTI

D QQ @PHHTAF

D ITU @PHHUAF

D PRUR @PHHRAF

D PW @IWUSAF
204

IH FqF prfonovD xFF oshhinnikovD estrophysF nd pe iF @IWWQAF

D IW

II eFghrlmopoulosD hFsFpotidisD gFF wsslsD gomputF hysF gommF 139D ISQ @PHHIAF IP FgFqF de woresD vFqF quimr? esD epplF yptF
41

D PWSS @PHHPAF
51

IQ vF viD F viD wF veongD siii rnsF wirowve heory ehF @PHHQAF IT

D WPP


IR vF ussoD

The forgotten revolution

D pringerD ferlinD PHHRF
и кулоновские сферо-

IS F F ИFВFКомаровD ЛFИFПономаревD Сфероидальные идальные функцииD МFD НаукаD IWUTF IT wF vFviD FungD Spheroidal tohn iley 8 onsD PHHPF

Wave Functions in Electromagnetic Theory

D

IU FgFqF de woresD vFqF quimr? esD tF of untittive petrosopy nd ditive rnsfer 79-80D WUQ @PHHQAF IV FgFqF de woresD vFqF quimr? esD tF of untittive petrosopy nd ditive rnsfer 74D USU @PHHPAF IW wF vF qorodetsky nd F F slhenkoD yptF gommF PH ВFМF БабичD ВFСF БулдыревD Асимптотические фракции коротких волнD МFX НаукаD IWUPF
113

D IQQ @IWWRAF

методы в задачах ди-

PI ВFПF БыковD Электроника больших мощностей 4D TT @IWTSAF PP F F F F F slhenkoD wF vF qorodetsky nd vF wlekiD yptF vettF PST @PHHIAF PQ ЛFАF ВайнштейнD Электроника больших мощностей 3D IUT @IWTRAF PR F F ВайнштейнD Открытые Советское радиоD IWTTF
резонаторы и открытые волноводы

26

D

D МFD

IU