«Новая хронология» с точки зрения математической статистики

А. Ю. Андреев

Авторы «Новой хронологии» неоднократно подчеркивают, что все их результаты базируются на мощном фундаменте современных математических методов. Математические результаты авторов, обнаруживающие хронологические сдвиги и параллели, обладают с их точки зрения, абсолютной статистической достоверностью. Такого рода заявления вызывают у читателей, привыкших уважать математику, невольное и глубокое доверие. И даже если исторические выводы «Новой хронологии» им могут показаться чересчур смелыми, математическая основа работы укрепляет читателей во мнении, что «в этом что-то есть».

Все эти утверждения авторского коллектива, возглавляемого академиком А. Т. Фоменко, весьма ответственны. Они подразумевают у авторов высокую культуру владения статистическими методами, т.е. во-первых, умение получить с помощью этих методов корректный результат, и, во-вторых, указать на границы его применимости, меру возможной ошибки, дать читателю четкий критерий значимости результата. Все эти требования содержатся в любой методике современной статистики. Они тем более важны, поскольку (как мы подробно расскажем ниже) методы, используемые авторами, являются их собственным изобретением, не похожим ни на одну из стандартных статистических процедур.

Между тем, намеренно или случайно, но собственно математическая сторона трудов по «Новой хронологии» мало доступна широкому читателю. С одной стороны, большинство книг А. Т. Фоменко и его соавторов, вышедших в последнее время, содержит в названии или предисловии упоминание о «новых математических методах», однако их научное, подробное описание полностью отсутствует, и авторы сразу сосредотачиваются на результатах, точнее на своей исторической интерпретации того, что, как они уверяют, неопровержимо доказано математикой — но в других работах.

В поисках этих работ, мы обратились к одной из первых монографий А. Т. Фоменко ¹, которая, действительно, содержит изложение статистической методики, обосновывающей его результаты. Нельзя не отметить, что и в этой книге, посвященной, как указано в аннотации, «новому научному направлению в современной прикладной статистике», вместо подробных и точных формул, которые бы явно показали как получены результаты, мы находим лишь многословные качественные описания способов расчета (за точными же формулами автор отсылает к практически недоступным широкому читателю специальным сборникам). Поэтому даже критически настроенные читатели должны удовлетворяться лишь внешним правдоподобием рассуждений и принимать предлагаемые им числа на веру.

Мы хотели бы вывести читателей Фоменко из такого положения, и с формулами в руках проанализировать предложенную им статистическую методику и достоверность результатов. Тем самым, мы берем на себя математическую работу, которую должен был бы предъявить читателю сам автор, если он действительно ставит целью обосновать свое «новое научное направление» в статистике.

Метод локальных максимумов

В данной статье мы сосредоточимся на анализе одной из «новых статистических методик», предложенных А. Т. Фоменко для распознавания «дубликатов» и хронологических сдвигов в истории — принципа корреляции локальных максимумов ². Изложим вначале общую схему метода, для того чтобы уяснить, какую именно статистическую задачу решает автор.

Пусть имеются две «хроники» — т.е. два текста с погодным изложением событий, описывающие промежутки времени равной протяженности. Целью метода является определить, могут ли эти хроники описывать одни и те же события. В случае положительного ответа, даже если данные хроники относятся к разным историческим эпохам, события в них объявляются тождественными, а эпохи — совпадающими с некоторым хронологическим сдвигом. Важнейшим результатом применения этого метода является утверждение о том, что средневековая история Рима (изложенная по книге Ф. Грегоровиуса «История города Рима в средние века») и его античная история, (содержащаяся в труде Тита Ливия «От основания города») говорят об одних и тех же событиях, сдвиг между которым составляет 1053 года.

Следующая схема дает представление о последовательности шагов метода:

На первом шаге текст с погодным изложением преобразуется в последовательность чисел, каждое из которых является функцией информации, содержащейся в хронике под данным годом. В качестве такой функции, по мнению автора, можно выбирать количество страниц, соответствующих каждой погодной записи, либо количество строк в записи, либо количество знаков, либо количество собственных имен в записи и т.д. Критический анализ этих способов измерения информации у автора полностью отсутствует, хотя очевидно, что они зависят от языка хроники, характера излагаемых событий, а число строк или страниц — даже от формата издания, что особенно сказывается в коротких записях. В нашей работе мы, стараясь сосредоточиться на математической критике метода, будем опускать подобные «мелочи». Тем не менее, встречи с ними в работах Фоменко происходят многократно и существенно снижают культуру изложения его методик.

Второй шаг метода состоит в определении «локальных максимумов» для указанной выше последовательности чисел. Именно наборы максимумов хроник и будут сравниваться в последующих процедурах. Тем самым постулируется принцип — если наборы максимумов информации в хрониках совпадают, то эти хроники описывают один и тот же период времени. Опять-таки заметим, хотя этот принцип, мягко говоря, спорен с исторической точки зрения. Ведь история — это не просто набор замечательных дат, а такой принцип полностью отвергает сравнение содержательной стороны событий. Однако, здесь мы не будем углубляться в его критику, а примем предположения Фоменко «как есть».

Таким образом, на третьем шаге из двух исходных сравнивавшихся хроник получают две последовательности дат — локальных максимумов этих хроник. Интересно, что автор не дает никакого определения, какую дату можно считать максимумом, т.е. насколько сильно информация, ей соответствующая, должна отличаться от информации за смежные годы. Вместо этого он предлагает проводить «сглаживание» исходной числовой последовательности, т.е. в каждой точке заменять исходное значение на среднее арифметическое для значений некоторого набора соседних с ней точек ³. В результате сглаживания, по мнению автора, выявятся основные максимумы, причем каждый из них будет достигаться только в одном конкретном году.

Указанная математическая процедура вызывает следующие законные возражения: 1) преобразование информации путем «сглаживания» искажает информацию, содержащуюся в исходной хронике, и лишено всякого исторического смысла. Например, если в летописи после двух кратких погодных записей, дано, скажем, под 1152 годом описание похода некоего князя на половцев, в 1153 г. написано, что «бысть тишина», а в 1154 г. представлен, скажем, подробный рассказ о кончине князя, после чего опять записи краткие, то 1154 г. и является локальным максимумом информации (см. рис.). Но «сглаживание» изменит картину: здесь покажется, что после краткого описания похода 1152 г. следует некое более подробное сообщение, которое превосходит в объеме даже подробную повесть 1154 г., т.е. информация 1153 г. (в летописи — просто отсутствующая) вдруг окажется локальным максимумом; 2) совершенно необязательно максимум информации достигается только в одном конкретном году. Разве нельзя себе представить, например, двух или трехлетний поход, описанный равномерно, с одинаковой степенью подробности? К какому году тогда отнести «локальный» максимум?

Вместе с тем мы готовы согласиться с автором — все эти искажения не слишком сильно нарушают общую картину распределения информации и выбор максимумов. Однако, они предоставляют значительный простор для привязки максимума к той или иной дате, т.е. допускают ошибку в его определении на несколько лет, что малозначительно само по себе, но играет большую роль при вычислении последующих «коэффициентов связи» хроник, которые чрезвычайно чувствительны к этим ошибкам. Как мы вскоре убедимся, достаточно несколько подвинуть максимумы в благоприятную сторону, чтобы на несколько порядков изменить «достоверность» совпадения хроник.

Стандартные статистические коэффициенты

Мы, наконец, можем обратиться к центральной математической процедуре метода — сравнению наборов локальных максимумов. Обратим внимание, что с этого момента автор переходит от сравнения абсолютных дат локальных максимумов к сравнению относительных промежутков между ними. Максимумы делят полный отрезок времени, охватываемый хроникой, на несколько частей, и набор длин этих промежутков между максимумами автор обозначает X_i для первой и Y_i для второй хроники. Очевидно, что чисел в этом наборе на единицу больше, чем числа максимумов (например, три максимума делят хронологический отрезок на четыре части). Но самое главное: хроники, у которых относительное расположение наборов максимумов полностью совпадает, обладают одинаковыми последовательностями X_i и Y_i, т.е.

Ясно, однако, что в действительности корреляция максимумов у разных хроник, даже описывающих одни и те же события, не может быть полной. Поэтому статистическая задача автора — оценить выполнение соотношения (1) для рядов X_i и Y_i (т.е. найти «степень близости» хроник) с помощью некоторой математической процедуры.

Отметим, что искомая связь (1) имеет предельно простой вид, она линейна, следовательно для ее оценки годится практически любой из существующих в статистике коэффициентов взаимосвязи. Приведем только два из них: коэффициент линейной корреляции (это самый известный и распространенный из статистических коэффициентов) и коэффициент регрессии, который находят по методу наименьших квадратов.

Коэффициент линейной корреляции рядов X_i и Y_i вычисляется по формуле:

В случае существования линейной связи r по модулю близко к единице, в обратном случае — к нулю. Важно, что коэффициент имеет уровень значимости, т.е. такое значение, начиная с которого можно уверенно говорить о существовании корреляции:

где n — число членов рядов X_i и Y_i, а число t определяется вероятностью, с которой мы хотим быть уверены в значимости корреляции (например, для 50% уверенности в существовании связи t = 0.6, для 99% — t = 3).

Коэффициент регрессии по своему смыслу — это угловой коэффициент прямой, которая наиболее близко проходит через точки с координатами (X_i, Y_i). Когда все n точек не лежат на одной прямой, ее проводят так, чтобы сумма квадратов расстояний от этих точек до прямой была минимальной. Формула для коэффициента регрессии более сложна, чем для линейной корреляции, поэтому мы ее не приводим, подчеркнем только, что и здесь важна мера ошибки коэффициента регрессии, т.е. насколько хорошо указанные точки «ложатся» на прямую линию. Значения коэффициентов регрессии и линейной корреляции хорошо согласуются между собой — если коэффициент корреляции показывает наличие линейной связи переменных, то и ошибка коэффициента регрессии мала и наоборот.

Почему же автор не использует эти или иные статистические коэффициенты для оценки связи (1)? Мы не найдем в его книге ответа на этот вопрос. Вместо известных коэффициентов А. Т. Фоменко вводит свою собственную меру близости для рядов максимумов Л(X, Y). С его точки зрения, эта мера носит вероятностный характер, т.е. определяет «вероятность случайного совпадения лет» в сравниваемых рядах (мы чуть ниже проанализируем это утверждение). Впрочем, чем бы она ни была, если эта мера вводится корректно, то ее результаты должны согласовываться с приведенными выше коэффициентами.

Коэффициент Л(X, Y) и его свойства

Чтобы это проверить, опишем, как вычисляется Л(X, Y). Идея получения этого коэффициента состоит в сравнении некоторых объемов в n-мерном пространстве, где размерность пространства n совпадает с наибольшей из длин рядов X_i и Y_i. Данным рядам сопоставляются соответственно две точки n-мерного пространства X (X₁, X₂, … , X_n) и Y (Y₁, Y₂, … , Y_n). Между этими точками (как и в обычном двух и трехмерном пространстве) определяется декартово расстояние

Сразу же обращает на себя внимание вопрос — как быть в случае, если число максимумов в анализируемых хрониках различно? Корректная статистическая процедура требовала бы, чтобы сравнивались ряды с наименьшей из двух длин, т.е. из большего ряда выбирались бы последовательности чисел с длиной равной длине меньшего ряда, затем для каждой пары вычислялся бы коэффициент корреляции и делались бы соответствующие выводы о возможности линейной связи. Однако, автор идет по совершенно иному пути (ничем это не мотивируя) — выбирает наибольшую длину и предлагает считать в меньшем из рядов некоторые максимумы кратными, т.е. слившимися в одну точку, а соответствующие недостающие координаты X_i — равными 0. Ясно, что никакого исторического смысла такой кратный максимум не имеет, что же касается математической стороны, то очевидна неоднозначность процедуры выбора кратных максимумов, которая существенно влияет на подсчет Л(X, Y), о чем мы еще скажем ниже.

Таким образом, координаты точек X и Y являются целыми положительными числами или нулями, и при этом удовлетворяют условию

где А — полная длина хронологического отрезка, который описывают хроники. Напомним, что по условию, обе хроники описывают одинаковые по продолжительности промежутки времени. Поскольку числа X_i являются расстояниями между соседними максимумами хроники, их полная сумма и должна равняться полной временной протяженности хроники, т.е. А. То же справедливо и для второй хроники Y_i.

Множество точек с целочисленными неотрицательными координатами, удовлетворяющими условию (4), автор обозначает Ш и придает ему смысл полного набора всех возможных хроник, которые описывают хронологический промежуток длины A. Каждой точке множества Ш соответствует некоторый набор максимумов, а ему, в свою очередь, некоторая «виртуальная» хроника, что и позволяет автору придать вводимому ниже коэффициенту вероятностную интерпретацию.

Коэффициент Л(X, Y) равен отношению количества точек из множества Ш, которые лежат к точке X ближе чем точка Y (в смысле декартового расстояния (3)), к полному числу точек множества Ш. Последнее число, как только что говорилось, по мысли автора — это полное число возможных хроник на данном отрезке длиной A. Величина Л(X, Y) называется «вероятностью случайного совпадения лет» (ВССЛ). Таким образом, если, например, Л(X, Y) = 10⁻⁶, то это должно означать, что из миллиона наугад взятых хроник, описывающих промежуток времени данной длины, только одна находится к хронике X также «близко», как и хроника Y. Отсюда легко сделать вывод — раз чрезвычайно мала вероятность того, что столь близкое совпадение хроник X и Y случайно, то они обязаны описывать одни и те же события, что и требуется доказать автору.

Неправда ли, все это звучит весьма убедительно? И, конечно, нельзя упрекнуть читателей, которые, не проникая глубже в методику Фоменко, остаются здесь вполне убежденными в достоверности оценок, получаемых с помощью Л(X, Y). И, однако, это не так.

Начнем, сперва, с возражений чисто теоретического характера. Замечательным свойством меры Л(X, Y) является ее некоммутативность, поскольку в общем случае

Чтобы в этом убедиться, достаточно простейшего примера: А=2, n=2, X(2, 0), Y(1, 1), тогда Л(X, Y)=2/3, а Л(X, Y)=1. Некоммутативность ставит под сомнение саму возможность сделать из этого коэффициента какой-нибудь вывод, ведь если хроника X близка к Y по мере Л(X, Y), то вовсе необязательно, что Y также близка к X по мере Л(X, Y). Очевидно, что автору необходимо как минимум каждый раз, сравнивая хроники, определять обе меры и предъявлять их читателю, а если они совпадают, специально оговаривать этот случай. К сожалению, мы не найдем этого в цитируемой книге. Только в 3-ем ее издании (1999 г.) мы видим, что автор заменяет Л(X, Y) на среднее значение Л(X, Y) и Л(Y, X), с помощью этого добиваясь коммутации. Однако, замечательно, что при этом автором не исправлено ни одно из посчитанных еще в 1-м издании книги конкретных значений коэффициента, что вызывает у читателя законные вопросы.

Вторым важным замечанием является отсутствие связи между выводами, получаемыми с помощью Л(X, Y), и выводами, которые дают стандартные коэффициенты линейной корреляции и регрессии. Убедимся в этом на конкретном примере. Здесь и далее в примерах мы будем полагать значения А=450 лет, и n=15 — эти числа, с одной стороны, удобны для вычислений, а с другой, почти не отличаются от параметров ключевой «совпадающей» пары «Новой хронологии»: Тит Ливий — Грегоровиус (см. ниже). Рассмотрим следующие два ряда по 15 чисел с суммой 450 (они были получены, да поверит нам читатель, не подбором, а наугад, с использованием датчика случайных чисел ⁴)

Даже при тщательном взгляде на ряды, увидеть в них какую-либо корреляцию, напоминающую связь (1), сложно. Об этом же свидетельствует и коэффициент линейной корреляции, дающий малое значение, равное

При этом, чтобы сделать вывод о существовании связи хотя бы с 50% вероятностью (см. (2')), требовалось бы значение r  по модулю превосходящее 0.6/ √ 15 = 0.185, достоверная же оценка существования корреляции (на уровне 99%), требует значений коэффициента |r| > 3/ √ 15 = 0.77.

Вычисление регрессионной связи рядов X и Y иллюстрирует следующий рисунок. На нем отсутствует какое-либо выделенное направление в распределении точек, соответствовавшее бы их линейной связи, что и доказывают следующие статистические показатели. Прямая, подобранная по методу наименьших квадратов (см. рис.), обладает коэффициентом регрессии

(в случае связи (1) этот коэффициент с необходимостью равнялся бы единице). При этом средняя ошибка коэффициента регрессии m = 0.268, т.е. более чем в два раза превосходит абсолютное значение самого коэффициента, что не позволяет говорить о какой-либо значимости линейной связи.

Итак, и коэффициент линейной корреляции, и коэффициент регрессии отвергают возможность существования связи (1) для данных рядов X и Y. Тем не менее удивительным будет узнать, что коэффициент Л(X, Y) определяет эти ряды как зависимые друг от друга, с вероятностью случайного совпадения не более 2 шансов на миллион (Л(X, Y) < 2×10⁻⁶).

Происхождение «малых чисел»

Расскажем подробнее, как получается эта оценка. Для n, много больших единицы при вычислении Л(X, Y) автор заменяет подсчет целочисленных точек вычислением объемов соответствующих множеств, т.е.

Здесь V_n−1(Ш') — (n−1)-мерный объем множества Ш', которое состоит уже не только из целочисленных, но из всех n-мерных точек с неотрицательными координатами, удовлетворяющих условию (4), а V_n−1(X, r) — (n−1)-мерный объем той части Ш', точки которой лежат ближе к точке X, чем расстояние r до точки Y, вычисленное согласно (3). Из элементарных геометрических формул легко найти, что,

Величина же V_n−1(X, r) равна объему некоторой части (n−1)-мерного шара с центром в точке X и радиусом r (весь этот шар лежит в (n−1)-мерной гиперплоскости, заданной условием (4), но может содержать точки с отрицательными координатами, поэтому в множество Ш' входит только часть шара). Ясно, что V_n−1(X, r) не может превосходить полного объема (n−1)-мерного шара радиуса r, который легко вычисляется, и таким образом имеем (для нечетных n, как в нашем примере)

Подставляя эту оценку в формулу (5) мы получим искомую границу сверху на значение Л(X, Y) ⁵

Неравенство (8) переходит в равенство, если шар V_n−1(X, r) целиком лежит в множестве Ш. Когда это же выполнено и для V_n−1(Y, r), то мера коммутативна и

Оценка (8) играет большую роль для понимания смысла и значимости коэффициента Л(X, Y).

1) Она объясняет происхождение «малых чисел», которые постоянно встречаются в работах Фоменко, и якобы, гарантируют его результатам абсолютную достоверность. Дело в том, что в (8) отношение r/A, будучи числом меньшим единицы, возводится в большую степень (n−1) и соответственно, по известному математическому свойству, становится очень малым. Так, в нашем примере, r=33.3 года, r/A= 0,074, но после возведения в 14 степень верхняя граница коэффициента Л(X, Y) оказывается равной e = 2×10⁻⁶.

2) Обнаруживается «сверхчувствительность» коэффициента к изменениям положения максимумов. Например, если расстояние — изменится на один год, то пользуясь формулой (8') для коммутативных коэффициентов, можно оценить относительное изменение коэффициента Л(X, Y)

Полагая в нашем примере Dr = 1 год, r = 33 года, получим, что значение коэффициента изменится на 43%, т.е. почти наполовину. Впечатляют оценки и для больших изменений: если расстояние изменить на 50% (уменьшить вполовину), то e уменьшится в 2¹⁴, т.е. более чем в 16 тысяч раз! Эти изменения совершенно не сопоставимы к обычной чувствительностью статистических коэффициентов (например, чувствительность коэффициента корреляции просто линейно связана с изменениями начальных данных).

Значение Л(X, Y) имеет высокую чувствительность и к числу n (т.е. к изменениям числа максимумов и соответствующего количества членов ряда X_i или Y_i), Для обычных статистических коэффициентов (см. (2')) значимость обратно пропорциональна √ n, и, если n много больше единицы, то при небольшом его изменении оценки значимости коэффициентов корреляции или регрессии практически не изменятся. В то же время, скажем, если в нашем примере мы произвольно выделим еще по 2 новых максимума в каждой из "хроник" X и Y (т.е. изменим n с 15 до 17), то расстояние r при этом изменится не слишком значительно, зато уровень коэффициента Л(X, Y) упадет в 2 раза. Из (8') для коммутативных коэффициентов следует:

Таким образом, падение будет тем больше, чем меньше «расстояние» между X и Y, так, например, для r = 15 лет при том же изменении n уровень коэффициента Л(X, Y) упадет уже в 10 раз. Следовательно, при сопоставлении разных пар хроник с разным числом локальных максимумов значения коэффициентов Л(X, Y) несопоставимы друг с другом, поскольку каждый раз уровень значимости коэффициента должен определяться отдельно, в зависимости от числа n. В указанной книге А. Т. Фоменко такой анализ отсутствует.

Итак, чувствительность коэффициента Л(X, Y) служит существенной проблемой и обостряет проблему интерпретации результата, в то же время обычные статистические коэффициенты полностью лишены этого недостатка.

3) Разберем теперь некоторые конкретные значения коэффициента. Предположим, что в двух хрониках соответствующие промежутки между максимумами отличаются не более чем на D лет, т.е. для любого номера i

Если считать, что хроники описывают одинаковые события, то величина D имеет смысл наибольшей ошибки хрониста при определении промежутка между последовательными событиями (максимумами). Подставляя неравенства (9) в расстояние (3), получаем, что r ≤ √ n, что в свою очередь позволяет подставить это расстояние в неравенство (8). Окончательно, мы получаем зависимость e(D), график которой в логарифмическом масштабе изображен на рисунке (здесь по-прежнему, A=450, n=15; по вертикальной оси отложен десятичный логарифм от e).

Из графика видно, что Л(X, Y) не превосходит 1% при D = 16 лет. Иными словами, все хроники на данном отрезке, в которых максимумы различаются не более, чем на 16 лет, можно считать совпадающими, с вероятностью случайного совпадения 1 шанс из 100. Не будем обсуждать с исторической точки зрения, могут ли хроники, описывающие одинаковые события, различаться во датировках на 16 лет (ответ, конечно, зависит от древности хроник), но обратим внимание, что эта ошибка превосходит половину среднего временного промежутка между последовательными событиями X_ср = Y_ср = A/n = 30 лет. Итак, располагая события по хронологической оси, создатель хроники может допускать ошибки более 50% в определении каждого промежутка, и тем не менее хроники будут трактованы как совпадающие с вероятностью в 99%. Очевидно, что коэффициент Л(X, Y), с одной стороны, для действительно зависимых хроник, позволяет хронисту делать огромные ошибки, с другой стороны в пределы этих ошибок могут попасть и совершенно независимые хроники, которые придется интерпретировать как совпадающие с вероятностью 99%.

К чести автора, надо заметить, что вероятность 99% он еще не считает абсолютной для определения тождественности хроник, а существенно опускает границы значимости своего коэффициента. Это делается им на основании «вычислительного эксперимента». В частности, он замечает, что «для независимых текстов число Л(X, Y) колеблется от 1 до ? при количестве локальных максимумов от 10 до 15» (заметим, что в последнем случае, когда независимые тексты имеют ВССЛ равной 1/100, как раз и должно реализоваться одно «случайное совпадение» из 100!). Эти значения «разительно отличаются от типичных значений 10⁻¹²–10⁻⁶ для заведомо зависимых текстов (с аналогичным количеством максимумов)» ⁶. Из слов автора следует, что рассмотренный нами выше пример с Л(X, Y) < 2×10⁻⁶ (выбранный, как говорилось, наугад), на самом деле соответствует заведомо зависимым текстам! При этом, и в нашем примере максимальная ошибка D = 16 лет (хотя и достигается не по всем координатам) превосходит половину среднего расстояния между максимумами.

Приведенный нами пример, в котором пара хроник с отсутствующей по стандартным статистическим критериям корреляцией, тем не менее, соответствует зависимым текстам, не только говорит о завышенных автором уровнях значимости, но и вообще ставит под сомнение корректность оценок его «вычислительного эксперимента». Правда, чуть ниже автор еще раз оговаривается, что зависимыми можно считать тексты с коэффициентом меньше 10⁻⁸. На нашем графике этому значению Л(X, Y) соответствует D = 6 лет, т.е. определяя промежутки между узловыми событиями, наш хронист может ошибаться всего лишь на 20% от среднего расстояния между ними. И эта оценка также представляется нам завышенной: с точки зрения статистики разумно допустить не более чем 5% ошибку хрониста, которой на графике соответствует уровень значимости коэффициента, при данном числе максимумов равный 10⁻¹⁶.

Обобщая вышесказанное, мы делаем вывод: «малые значения» коэффициента вытекают из самой его структуры (в частности сверхчувствительности к отклонениям), и еще не обеспечивают достоверности результата.

4) Наконец, мера близости оказывается не транзитивной, т.е. если точка X близка к точке Y, а точка Y — к точке Z, но в общем случае не всегда точка X близка к Z. Покажем это для коммутативных коэффициентов. Рассмотрим три «хроники» X, Y и Z, которые а) лежат на одной прямой в n-мерном пространстве, б) достаточно близко друг к другу и «глубоко» внутри множества Ш, чтобы их коэффициенты коммутировали, и в) так, что расстояния между X и Y и расстояния между Y и Z одинаковы и равны r. Поскольку точки лежат на одной прямой, то тогда расстояние между X и Z будет равно 2r.

Для коммутативных коэффициентов имеем Л(X, Y) = Л(Y, Z) = e, где e вычислено по формуле (8'). Мы можем положить, например, e = 10⁻⁸, и тогда хроники X, Y и Y, Z интерпретируются как «заведомо зависимые» (при числе максимумов от 10 до 15). Но, подставляя в (8') расстояние между точками X и Z, равное 2r, получаем

что дает, скажем, в нашем модельном примере при 14 максимумах (n=15):

Итак, мера между X и Z отличается от меры точек-соседей более чем в 10 тысяч раз! Хотя пары X, Y и Y, Z считаются «заведомо зависимы», оценка связи X и Z находится далеко выше границы зависимых хроник, и приближается к значениям независимых. Отметим, что сам автор не только не оговаривает эти проблемы, но даже в своей книге неявно пользуется транзитивностью коэффициента, например, рассуждая о возможности продолжить книгу Тита Ливия учебником В. С. Сергеева (см. ниже) ⁷.

Вероятностная интерпретация

Мы неоднократно упоминали «вероятность» случайного совпадения максимумов в хрониках, которую автор получает, вычисляя коэффициент Л(X, Y). Но очередное возражение, которые мы сейчас сделаем, состоит в том, что такая интерпретация Л(X, Y) является крайне неточной, и величина ее ошибки опять-таки сильно зависит от параметров A и n.

В самом деле, если эта интерпретация верна, необходимо, чтобы анализируя случайно выбранную хронику методом локальных максимумов, можно было с равной вероятностью получить любую точку из множества Ш, иначе говоря распределение «виртуальных» хроник (длины А лет) по множеству Ш было бы равномерно. Вот доводы автора: «Равномерность распределения случайного вектора C на множестве Ш может быть обоснована тем, что вектор С изображает точки максимумов функции объема »глав« текстов, описывающих заданный период (A, B), а поскольку наша модель воспроизводит механизм потери и утраты информации, то равновероятна утрата любого документа, описывающего какие-то события из (A, B). При гибели, например, архива, равновероятно уничтожение любого текста» ⁸.

Из этого рассуждения можно уяснить — автор предполагает, что каждой точке множества Ш соответствует некоторая своя «виртуальная» хроника, и поскольку вероятность сохранения или утраты любой хроники одинакова, то и вероятность встречаемости каждой точки из Ш одинакова. Это было бы верно, но, к сожалению для автора, целые группы точек из множества Ш соответствуют всего одной «виртуальной» хронике.

Это напрямую связано с ничем не мотивированным предположением автора о существовании кратных максимумов и, соответственно, наличием наборов X_i с нулевыми координатами. Если «виртуальная» хроника имеет m различных максимумов (m < n−1), то она допускает (с учетом того, что первое и последнее значения ряда — т.е. соответственно, расстояния от начала (конца) отрезка до первого (последнего) максимума — фиксированы) С^m−1_n−2 = (n−2)!/(m−1)! (n−m−1)! способов расстановки кратных максимумов, и следовательно, ровно столько точек из множества Ш, содержащих на месте кратных максимумов нулевые координаты, и соответствует этой хронике. Утрата этой «виртуальной» хроники (равновероятная среди других) немедленно влечет за собой утрату не одной, а всех С^m−1_n−2 точек из множества Ш. Поэтому равномерность распределения случайного вектора по множеству Ш нарушается, а точки с нулевыми координатами имеют меньший статистический вес, чем остальные.

Легко оценить общее количество точек, в которых нарушена равномерность распределения. С помощью элементарной комбинаторики можно найти, что полное число точек в множестве Ш равно Cⁿ⁻¹_A+n−1, а число точек в Ш, имеющих все координаты ненулевыми, — Cⁿ⁻¹_A. Их отношение равно

Для наших модельных параметров A=450, n=15 получаем q=65%, а это значит что для прочих (1−q) = 35% точек множества Ш, имеющих одну или несколько нулевых координат, равномерность распределения не выполняется.

Однако, и оставшиеся ненулевые точки отнюдь не все встречаются с равной вероятностью. Дело в том, что, поскольку автор требует существования локального максимума лишь в одной точке, то в числовых последовательностях не может встречаться расположение максимумов в двух идущих подряд датах, промежуток между которыми — 1 год. Это значит, что точки множества Ш, у которых одна из координат (кроме первой и последней) равна 1, вообще не соответствуют никакой «виртуальной» хронике.

Наконец, не можем не отметить, еще одну особенность применения кратных максимумов. Автор пишет, что перебрав все варианты их расстановки и вычислив для каждого соответствующие коэффициенты, «в качестве Л(X, Y) возьмем наименьшее из всех получившихся таким образом чисел» ⁹. Однако, почему наименьшее, когда статистическая корректность требует из всех оценок выбирать наиболее осторожную, которая соответствует наибольшему из коэффициентов, или, в крайнем случае, усреднять оценки, но уж никак не брать из них наилучшую.

Проведенный анализ, на наш взгляд, убедительно доказывает статистическую некорректность применения методики локальных максимумов для анализа «совпадения» хроник и получения соответствующих «хронологических сдвигов». Разобранные выше основные возражения — несоответствие результатов методики стандартным статистическим коэффициентам, сверхчувствительность и внутренняя природа появления «малых чисел», некорректность вероятностной интерпретации, а также множество более мелких замечаний отвергают возможность использования Л(X, Y) для получения значимых статистических результатов (по крайней мере, без дополнительного и тщательного анализа). Тем не менее, мы не ограничимся этими возражениями, и последнюю часть работы посвятим разбору сопоставления по методике Фоменко хроник Тита Ливия и Ф. Грегоровиуса, чтобы на конкретном материале доказать недостоверность полученного им «базового хронологического сдвига».

Мера близости «хроник» Тита Ливия и Грегоровиуса

Активно используемый в книгах по «Новой хронологии» результат состоит в следующем: хроника средневековой истории Рима, изложенная Ф. Грегоровиусом (начиная с 300 г. н.э.), совпадает с хроникой Тита Ливия с ВССЛ 6×10⁻¹⁰ (на отрезке с 1 до 461 г. от основания Рима, т.е. с 753 по 293 г. до н.э.), а также совпадает с объединением книги Тита Ливия и «Очерков по истории древнего Рима» В. С. Сергеева (еще на более широком отрезке с 1 до 519 г. от основания Рима) с ВССЛ 6×10⁻¹¹. Тем самым с почти «абсолютной» достоверностью события средневековой и античной истории Рима совпадают, являясь историческими «дубликатами» со сдвигом в 1053 г. Проверим этот результат.

Уже при первом взгляде на анализируемые автором тексты, видны их особенности, не укладывающиеся в стандартную схему методики.

Сочинение Тита Ливия, действительно, можно считать примером погодного изложения событий, но с определенного момента, а именно, с 245 г. — первого года римской республики, когда был установлен ее государственный строй, и в частности, ежегодная смена консулов. Именно с избрания консулов на следующий год и начинает любую свою «погодную» запись Ливий. По этому избранию можно всегда определить начало следующего года и сопоставить каждой записи соответствующий год от основания Рима.

Такая хронологическая сетка и была проставлена в использованном автором издании, и сделана это было не Ливием, как ошибочно пишет Фоменко, а редактором перевода ¹⁰. В некоторых местах эта сетка имеет пробелы (что является недостатком не Ливия, а данного издания, причем кое-где даты редактора на полях пропущены просто по ошибке, что видно в сравнении с 1-м изданием того же перевода, вышедшим в 1894 г.), и тогда Фоменко ошибочно считает, что Ливий объединяет несколько погодных записей в одну. На самом же деле все отдельные записи соответствующих лет легко восстанавливаются по тексту, из упоминаний консулов на новый год, иные же единичные исключения (как, например, 378–383 годы, когда выборы не проводились) специально оговорены Ливием. Мы сразу указываем на это, как на источник большого количества ошибок Фоменко: при проверке оказывается, что почти все трактовки им записей как «слитных» за несколько лет — неправильны.

Но самое интересное, что весь царский период в истории Ливия (отрезок от 1 до 244 года от основания города) погодной сетки не имеет. Историком вычислены лишь продолжительности царствований семи римских царей. Поэтому все события этого периода, который составляет большую половину всего хронологического промежутка анализируемых книг Тита Ливия (с 1 по 461 г. от основания Рима), датируются весьма приближенно, лишь «с точностью до царствования», не говоря о возможных неточностях в определении самих длин царствований.

Книга Ф. Грегоровиуса также, в строгом смысле, не является трудом с погодным записями, и никакой погодной сетки в ней нет. Однако, она находится даже ближе к погодному изложению, чем Тит Ливий, поскольку на всем рассматриваемом временном промежутке представляет последовательный пересказ событий с указанием их дат.

Но зато третья из использованных Фоменко книг — пособие В. С. Сергеева ¹¹, вообще ни в каком смысле не является погодным изложением событий, да и не может таковым являться, поскольку предназначено для учебных целей. Сведения с 753 по 235 г. до н.э. (1 по 519 г. от основания Рима, период, который интересует Фоменко) изложены здесь в гл.1–3 всего на 66 страницах (с. 28–94) в кратких очерках, что совершенно несопоставимо с многотомным изложением Ливия и Грегоровиуса. Главы состоят из общих параграфов типа «Социальная организация древнеримской общины», «Демократизация социально-политического строя римской республики», «Италийская федерация», и меньшего числа последовательных очерков событий типа «Объединение Италии под гегемонией Рима», «Первая пуническая война». Одни и те же события, даты и имена упоминаются в разных главах, например, царскому периоду посвящена глава «Семь римских царей», но в отдельной главе разобраны «Реформы Сервия Туллия», и события царствования Тарквиния Гордого упоминается в обеих главах. Даты событий приводятся не в хронологическом порядке (например, о деятельности Аппия Клавдия как цензора 312 года рассказывается после того как дан очерк самнитских войн с 343 по 290 гг. и т.д.). Добавим, что объемы очерков не превышают нескольких страниц, охватывая периоды по 100–200 лет.

В таких условиях не только обычным методом подсчета страниц, но и каким-либо другим методом построить «погодную» шкалу объема информации от каждого отдельного года невозможно. Можно, например, считать строки, посвященные тому или иному году в тексте, но как это сделать, если в одном предложении могут упоминаться события даже не одного а нескольких десятилетий! Даже в последовательных очерках многие фразы носят характер вроде: «В 327 г. началась вторая самнитская война (327–304), и как ее продолжение третья самнитская война (298–290)» ¹². С другой стороны, большинство сведений, описывающих устройство и должности римской республики, отношения Рима с италийскими городами и др. вообще не датированы, потому что являются обобщением сведением, взятых из самых разных мест Ливия. Однозначный вывод отсюда — датировать максимумы с точностью до года (и даже десятилетия) в книге Сергеева невозможно.

Таким образом, мы не рассматриваем за явной некорректностью продолжение истории Тита Ливия кратким учебником Сергеева, и будем проверять только первый результат Фоменко: совпадение хроник Ливия и Грегоровиуса с ВССЛ, равной 6×10⁻¹⁰.

Здесь приходится отметить: в первом (1990 г.) и втором (1996 г.) издании Фоменко (на которые опирались многочисленные последующие интерпретации) автор не сделал ничего, чтобы утвердить свой результат как научно значимый. Все графики «информационных» функций объема данных хроник приводятся им, нарисованные от руки (!), без отметок по осям, т.е., фактически, не как графики, а просто картинки. По ним определить с точностью до года положение максимумов, а потом проверить прямым вычислением ВССЛ невозможно.

Поэтому автор данной статьи потратил немало времени на то, чтобы самостоятельно получить функцию объема для истории Тита Ливия. Однако, познакомившись с 3-ем изданием книги А. Т. Фоменко (1999 г.), я к немалой радости обнаружил в приложениях подробные функции объема Ливия и Грегоровиуса, которыми пользовался сам автор ¹³. Такой шаг нельзя не приветствовать, потому что именно с этого момента его результат становился научно значимым, а проверка — возможной, чем мы сейчас и займемся.

К сожалению, приведя функции объема, Фоменко все равно не опубликовал конкретные значения максимумов, которыми он использовал при вычислении ВССЛ. Поэтому, за этим неизбежно приходится обратиться к «усредненной» функции из первых изданий (см. рис.). На ней мы ясно видим 13 локальных максимумов, а сопоставление с Приложением 4.2 3-го издания ¹⁴ позволяет их точно датировать. Т.о. зафиксируем, что они падают на 38, 105–109, 139, 220, 244, 259–260, 305, 351, 364, 373, 411, 429 и 458–461 гг. от основания Рима. Такое же сопоставление для книги Ф. Грегоровиуса датирует его максимумы (которых то же 13) в 331–337, 410, 455, 527–529, 537, 547, 600–604, 630, 663, 689, 707, 726–731, 755 гг. н.э. Эти два набора максимумов действительно близки, и их ВССЛ мала.

Однако, сравнение функции из Приложения 4.2. с первоисточником приводит к любопытному результату. Оказывается, что А. Т. Фоменко допустил 14 ошибок, влияющих на определение положения максимумов, не говоря уже о других, менее значимых неточностях. Описание всех его ошибок привело бы к чрезмерному увеличению этой статьи, и мы посвятим этому отдельную публикацию, здесь же остановимся только на наиболее характерных их типах.

1) Пропуск локального максимума. Так, например, Фоменко объединяет погодные записи 432–437 г. в одну, которая находится на с. 161–198, т.2 указанного издания истории Ливия. На самом деле, запись 432 г. заканчивается в конце 8-ой книги на с. 165. 9-ая книга Ливия начинается со слов «в следующем затем году» и новыми именами консулов Т. Ветурия Кальвина и Сп. Постумия на 433 г., затем о новом избрании консулов Кв. Публилия Филона и Л. Папирия Курсора говорится на 176 с. (434 г.) и последовательное изложение событий этого года идет до начала 189 с. Там упомянуто избрание новых консулов на ближайших комициях (Л. Папирий и Кв. Авлий Церретан на 435 г.). Консулы заканчивают описываемую войну, а с начала с. 191 Тит Ливий начинает специально оговоренное им отступление, посвященное Александру Македонскому и возможным последствиям его столкновения с Римом. Оно идет до с. 197, где опять говорится о новом избрании консулов (М. Фолий Флакцион и Л. Плавтий Венокс на 436 г.) Наконец на с. 198 речь о новых консулах Г. Юнии Бубульке и Кв. Эмилии Барбуле (437 г.), а в конце 198 г. начинается новый 438 год с диктатором Л. Эмилием.

Т.о. в разобранном тексте пропущен максимум 433–444 г., поскольку 433 году посвящено 11 cтр. (и соответствующая функция, введенная Фоменко — 12f = 132), а 434 году — 12.2 стр., (12f = 146). Оба этих значения функции сравнимы с ее значениями в ближайших максимумах 429 и 458–461 гг. Причиной ошибки была опущенная здесь на полях хронологическая сетка. Отметим, также, что не разбивая запись, Фоменко здесь (и в нескольких других местах) проигнорировал очевидный факт, что каждая новая книга Ливия в данном отрезке начинается с новой погодной записи.

Из-за схожих ошибок пропущены оказались максимумы 245–247, 294, 414, 444 г.

2) Появление «ложного» максимума. А вот пример обратной природы: записи 373 и 374 г. у Фоменко объединены в одну за 373 г. (с. 27–36, т.2), и указано, что 374 г. у Ливия не описан. На самом же деле, запись 373 г. заканчивается на с. 32 внизу, и начинается запись 374 г., с упоминанием о новых выборах (чему соответствует и незамеченная Фоменко отметка редактора на полях). Т.о. вместо максимума 373 г. (объем 8.8 стр., 12f = 106) получаются две записи 373 (объем 5.4 с., 12f = 65) и 374 (объем 3.4 12f = 41), и максимум оказывается ложным.

3) Исчезновение максимума при «усреднении». Максимум 358 г. (обширный рассказ Ливия о диктаторстве Камилла и взятие Вей) — объем 10.3 стр., 10f = 103, хотя и правильно отмечен Фоменко в его функции объема, но на «усредненном» графике из первого издания оказывается размытым и как бы присоединяется к соседнему максимуму 364 г. Что именно за усреднение здесь применялось — неясно, поскольку на построенных нами графиках 3-х точечного усреднения максимум 358 г. виден очень отчетливо. По своему значению функции он совсем немного уступает, например, ближайшему из выделенных Фоменко максимумов — 351 г. (10f = 128).

Таким же образом при «усреднении» были потеряны максимумы 308–309 и 369 г.

4) Максимумы «царского» периода.В приведенном списке обращает внимание, что 5 из 13 максимумов относится к «царскому» периоду, о проблемах с хронологической сеткой которого мы уже говорили. Для точного датирования этих максимумов Фоменко прибегает, на наш взгляд, к весьма некорректным приемам. Разберем один из них на примере максимума 105–109 гг.

Речь идет о царствовании Тулла Гостилия (83–114 г. от основания Рима), продолжительность которого 32 года. Фоменко делит текст Ливия на 7 разных сюжетов, и получает, что на каждый из них приходится по 4.5 года. Далее объем каждого сюжета делится на 4.5 и получается искомое значение функции. При этом максимум приходится на 6-й сюжет (война с сабинянами), который соответственно, и помещается под 105–109 гг.

Однако, «сюжеты», выделенные Фоменко, совершенно не равнозначны:

1. «смерть Нумы» (упоминание в начале 22 главы, на с. 36, т.1);
2. «общая характеристика Тулла Гостилия» (всего лишь одна фраза на с. 36: «Этот не только не походил на своего предшественника, но был еще воинственнее Ромула. Побуждали его к тому столько же его возраст и силы, сколько слава деда»);
3. «Государство слабеет от мира. Поиски поводов к войне» — также одно предложение на с. 36, которому Фоменко почему-то приписывает объем в 1 стр.
4. «Угон скота. Переговоры и их разрыв. Подготовка к войне» — занимает, действительно, 1 стр., до конца 22 главы, и неразрывно связан со следующим сюжетом.
5. «Война с альбанцами» — у Фоменко он имеет 10f = 3, но на самом деле включает главы 23–26, (всего 8,5 с.), из которых большая часть (гл. 24–26, 7 стр.) посвящена битве Горациев с Куриациями (т.е. событиям в течение одного года). После этого, в гл.27–29 идет пропущенная в сюжетах Фоменко вторая война с Альбой и разрушение города (объем 4,8 стр.) Таким образом, полный объем «альбанского» сюжета — 13.3 стр., и даже после деления на 4.5 это дает 10f = 30, в то время как Фоменко приписывает этому сюжету значение функции в 10 раз меньшее.
6. «война с сабинянами» — у Фоменко здесь локальный максимум с 10f = 5, на самом деле сюжет занимает одну главу 30 (1,6 стр.) и 10f = 16/4.5 = 3.5, что существенно меньше, чем в предыдущем сюжете и никакого максимума здесь нет.
7. Наконец, последний сюжет «извержение вулкана, моровая язва, смерть Тулла» относится к гл.31 (объем 1.2 стр., 10f = 3)

Итак, на самом деле, в рассмотренном отрывке имеется не более 4 равноценных сюжетов (две войны с Альбой, война с сабинянами и «моровая язва и смерть Тулла». Следуя методике самого Фоменко мы делим отрезок на 4 равные части, и получаем максимум на первом отрезке (приготовления и первая война с Альбой) т.е. 83–90 гг. с 10f = 95/8 = 12.

Нам трудно судить, что послужило причиной столь сильно искажения первоисточника — невнимательность или сознательный обман читателей.

Той же природы искажения мы встречаем в максимуме 38 г., связанном со смертью Ромула (на самом деле, его объем существенно уступает предшествующему рассказу о «похищении сабинянок», события которого длились, очевидно, не более года, но точно датировать их нельзя, а на основании того, что, как пишет Ливий, «Рим уже достиг определенной степени могущества», их можно поместить, скажем, в пределах 10–30 гг.). Максимум 139 г. — просто ложный, поскольку к этому году Фоменко присоединяет все известия о Тарквинии Старом, которые у Ливия не относятся к определенному году (гл.34), а наоборот, подчеркивается, что описан некий промежуток жизни Тарквиния в Риме. Таким же ложным оказывается и максимум 220 г. Единственный максимум, выделенный Фоменко в Приложении 4.2., с которым можно согласиться — это события 176 г. (смерть Тарквиния), объем которых действительно превосходит смежные сюжеты. Но, поразительно — именно этого максимума мы не найдем на «усредненной» функции из 1-го издания книги Фоменко.

Наконец, приведем последнюю трогательную деталь, говорящую о «точности» подсчетов А. Т. Фоменко. Он сравнивает число типографских знаков в двух томах имевшейся у него книги (которые, действительно, разного формата), и благодаря этому вводит разные коэффициенты 10f для функций объема 1-го тома и 12f — для 2-го тома. Но ведь оба тома содержат большое количество примечаний, набранных мелким шрифтом и меняющих число знаков на странице (причем иногда объем примечаний на странице сопоставим с объемом собственного текста Ливия)!

Ниже приведен график исправленной функции объема с выполненным по методике Фоменко 3-х точечным сглаживанием. На ней видны правильные максимумы Ливия, которые имеют вид ¹⁵:

Их оказывается 17, и коэффициент ВССЛ с максимумами Грегоровиуса не падает ниже 10⁻². Даже если мы, проводя очень «широкое» сглаживание, и в соответствии с картинкой Фоменко, объединим 358, 364, 369 в один широкий максимум «галльской войны» 358–369, максимумы 305 и 308–309 — в широкий максимум «децемвиров» 304–310, а 429, 433–434 — в максимум 429–434 («самнитские войны»), то и тогда окончательный набор 13 максимумов

будет отличаться от представленного выше по Фоменко. Для последнего набора ВССЛ «Ливий — Грегоровиус» находится в пределах 10⁻³–10⁻², т.е. на границе коэффициента, характерного для независимых текстов (ANDREEV4.GIF).

Итак, наш анализ представленной Фоменко методики локальных максимумов позволяет сделать два вывода: 1) коэффициент Л(X, Y), трактуемый как «вероятность случайного совпадения лет» (ВССЛ), не удовлетворяет требованиям, предъявляемым для стандартных статистических коэффициентов, и интерпретация его результатов сталкивается к серьезными трудностями, требующими тщательного и кропотливого решения в каждом отдельном случае; 2) даже принимая ВССЛ как меру «совпадения» хроник, с учетом исправленных ошибок близость текстов по истории древнего и средневекового Рима не дает оснований утверждать об их зависимости друг от друга.

В данной статье мы провели разбор всего одного из методов Фоменко, и показали, что декларируемая «абсолютная» достоверность результатов здесь отнюдь не соблюдается. Метод локальных максимумов был выбран по причине его ясного геометрического смысла, в то время как другие методики подвержены большей критике уже на самой стадии их построения. Вычислительная же природа появления «малых чисел», например, в коэффициенте совпадения династий ВССД аналогична ВССЛ, и ошибок там допущено не меньше, о чем расскажет следующая статья сборника. Конечно, авторы «Новой хронологии» могут нам возразить, что их результаты держатся на совокупности всех их методов. Однако, показав, какое огромное количество ошибок и некорректных утверждений содержит применение всего одного из основных методов, мы еще раз напоминаем, что каждый из методов необходимо тщательно обосновывать, и что без такой элементарной культуры статистических расчетов, любые полученные результаты, какими бы привлекательными они не казались, теряют всякий смысл.

1. Фоменко А. Т. Методы статистического анализа  нарративных текстов и приложения к хронологии. М., 1990. В 1996 г. вышло с свет 2-е издание этой книги под названием «Методы математического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии», а в 1999 г. — 3-е, расширенное издание «Методы статистического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии», Т.1–2. Основные особенности изложения математических методов во всех трех изданиях совпадают. В нашей статье мы опираемся на 1-е издание книги, поскольку именно на него дается большая часть математических отсылок в книгах по «Новой  хронологии», но будем оговаривать некоторые исправления, внесенные в других изданиях.
2. Фоменко А. Т. Методы статистического анализа  нарративных текстов и приложения к хронологии. М., 1990, гл.3. В других книгах по «новой хронологии», даже математического характера, напр. Фоменко А. Т. Глобальная хронология. (Исследования  по  истории древнего мира и  средних веков.  Математические  методы  анализа источников. Глобальная хронология). М., 1993, описанию статистических процедур посвящено всего несколько страниц, без всяких формул и разъяснений.
3. Из 3-его издания (т.1, с. 376) становится ясно, что автор предлагает здесь простое 3-х точечное сглаживание, т.е. среднее арифметическое значений в самой точке и двух ее соседях. Однако, «сглаженные» функции объема хроник, которые он рисует, позволяют в этом усомниться — см. ниже.
4. Все вычисления нашей статьи проводятся с помощью стандартных функций программы Microsoft Excel 97.
5. Ср. Фоменко А. Т. Некоторые статистические закономерности распределения плотности информации в текстах со шкалой // Семиотика и информатика. М., 1980. Вып.15. С. 107.
6. Фоменко А. Т. Методы статистического анализа  нарративных текстов и приложения к хронологии. М., 1990. С. 110.
7. Приведенный пример еще раз показывает, что основные «неприятности» коэффициента Л(X, Y) возникают из-за того, что мера, предложенная автором, получена с помощью возведения евклидового расстояния ?(X, Y) между точками в некую «большую» степень. Между тем, это расстояние само по себе уже служит мерой близости точек, и для него выполняются свойства коммутативности и транзитивности («неравенство треугольника») — математически это означает, что ?(X, Y) является метрикой пространства R_n. Мера же Л(X, Y), как мы показали, не является метрикой, именно поэтому в ее интерпретации как статистического коэффициента заключены серьезные проблемы.
8. Указ. соч. С. 109.
9. Указ. соч. С. 108.
10. Автор работал лишь с определенным изданием книги: Тит Ливий, «Римская история от основания города». Т.1–6, М., 1897–1903. Пер. П. Адрианова, 2-е издание.
11. В. С. Сергеев. «Очерки по истории древнего Рима». Учебное пособие для исторических факультетов. Ч.1. М., 1938. ОГИЗ.
12. Указ.соч. С. 65.
13. Функцию объема Тита Ливия Фоменко приводит уже во втором издании, но без необходимых пояснений, которые бы давали возможность ее проверить.
14. Фоменко А. Т. «Методы статистического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии». М., 1999. Т.2. С. 820–827.
15. В соответствии с вводимым в 3-ем издании критерием на второй половине графика их значения превышают 60.