Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://halgebra.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetch.php/specialcourses:lnd_pogudin.pdf Дата изменения: Wed Feb 13 11:26:38 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:13:41 2016 Кодировка: Windows-1251

Автоморфизмы алгебры

k [x, y ]

и локально нильпотентные

дифференцирования этой алгебры.

Вс? последующее следует книге Arno van den Essen "Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture". Рассмотрим два класса автоморфизмов алгебры k[x, y]: 1. невырожденные линейные преобразования пространства x, y ; 2. Преобразования вида X = x, Y = y + f (x). Автоморфизм, получающийся композицией несколькиз автоморфизмов данного вида будем называть ручным. (Jung van der Kulk) Все автоморфизмы алгебры k[x, y] ручные. Эту теорему будем доказывать при помощи следующего утверждения о локально нильпотентных дифференцированиях. (Rentschler) Пусть D ненулевое локально нильпотентное дифференцирование алгебры k[x, y]. Тогда существует такой ручной автоморфизм h и многочлен f k[y], что h-1Dh =
Теорема. Теорема.

f (y )

x

Выведем отсюда, что любой автоморфизм k[x, y] ручной. Рассмотрим автоморфизм и пусть он переводит x в X и y в Y . Тогда дифференцирование X локально нильпотентно, а значит существует ручной автоморфизм h и многочлен f (y), что h-1 X h = f (y)x. Но для g k[x, y] будет выполнено h-1 X h(g) = 0 тогда и только тогда, когда h(g) Ker X = k[Y ], то есть Ker h-1 X h = k [h-1 Y ]. С другой же стороны, f (y )x = k [y ], то есть h-1 Y = cy + d для некоторых c k , d k , то есть Y = ch(y) + d. Теперь заметим, что (h-1 X h)(h-1(X )) = 1, то есть f (y)x(h-1X ) = 1, откуда x(h-1X ) k. Получается, что X = c h(X ) + d (h(Y )). В конечном итоге имеем: (X, Y ) = (c h(x) + d (h(y)), ch(x) + d), откуда следует, что автоморфизм F также ручной. Что и требовалось. На алгебре k[x1, . . . , xn] каждому ненулевому вектору w Zn соответсвует w -градуировка, в которой моном с вектором степеней s принадлежит компоненте веса s, w . Заметим, что любое дифференцирование в любой такой градуировке однозначно раскладывается в сумму однородных компонент. Кроме того, из локальной нильпотентности этого дифференцирования следуют локальная нильпотентность старшего и младшего членов в этой градуировке. Пусть D дифференцирование на кольце градуированном Z, и D старший член в разложении D на однородные компоненты. Если D однороден в градуировке Zn и имеет там степень (s1, . . . , sn) с si 0, то D не локально нильпотентно. Доказательство. Тривиальным образом проверяется ненильпотентность D, откуда утверждение леммы следует, так как локальная нильпотентность D влекла бы локальную нильпотентность D.
Лемма.

Далее мы все время рассматриваем кольцо k[x, y]. Через supp D будем обозначать носитель координаты ненулевых компонент D в Z2 градуировке. Пусть D локально нильпотентно. Тогда выполнено одно из трех утверждений: 1. D = f (x)y ;
Лемма.

D

1


2. D = f (y)x; 3. Существуют такие s0, t0 0, что (s0, -1), (-1, t0) supp D. Кроме того, в этом случае supp D содержится в треугольнике с вершинами (-1, -1), (s0 , -1), (-1, t0 ). Доказательство. Пусть p полная степень D. Случай p = -1 очевиден. Тогда через l обозначим прямую s + t = p. Имеется следующие случаи: 1. l содержит точку вида (-1, t0). По определению l все точки supp D лежат не выше не?. Будем поворачивать l вокруг (-1, t0) по часовой стрелке до попадания туда хотя бы ещ? одной точки из supp D. Если этого попадания не случилось до совпадения с осью ординат, то мы получили первый случай из формулировки. Пусть мы встретили точку (s1, t1) supp D и s 0.Из таких точек возьмем ту, у которой вторая координата минимальна (е? и обозначим через (s1, t1)). Достаточно показать, что t1 = -1 тогда мы попадем в третий случай из формулировки. Если же t1 > -1, то повернем l по часовой стрелке на малый угол так, чтобы получить прямую l такую, чтобы l supp D = {(s1, t1)} , а остальные точки supp D лежали бы под этой прямой. Получим градуировку, противоречащую локальной нильпотентности. 2. l содержит точку вида (s0, -1). Аналогично. 3. l содержит точки только с неотрицательными координатами. Тогда возьмем из них ту, у которой вторая минимальна и придем к противоречию аналогично первому случаю.
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы. Доказательство. Рассмотрим локально нильпотентное дифференцирование D. Если оно попадает в первый или второй случай в формулировке предыдущей леммы, то доказывать особо нечего. Пусть тогда точки (s0, -1) и (-1, t0) как в лемме. Будем доказыать утверждение индукцией по s0 + t0 . Рассмотрим прямую l, проходящую через эти две точки. Е? уравнение имеет вид (t0 + 1)s + (s0 + 1)t = p, где p = s0 t0 - 1. Рассмотрим w -градуировку с векторм w = (t0 + 1, s0 + 1). Пусть Dw старший член в однородном разложении D. Тогда он локально нильпотентен. Представим его а виде Dw = gD1, где D1 = ax + by и a взаимно просто с b. Тогда D1 локально нильпотентное дифференцирование, а g лежит в его ядре. В силу w-однородности D1, a, b и g также w-однородны. Нам хочется, чтобы либо a(0) = 0, либо b(0) = 0. Для этого отвлечемся на соответствующую лемму: Пусть D = ax + by локально нильпотентное дифференцирование, a и b взаимно просты. Тогда либо a(0) = 0, либо b(0) = 0. Доказательство. Докажем просто, что у D есть слайс. Предположим противное. Из локальных слайсов выберем локальный слайс p наименьшей полной степени. Пусть q неприводимый делитель Dp. Тогда D продолжается на k[x, y]/(q). Более того, в силу взаимной простоты a и b, продолжение не равно нулю. Эта алгебра имеет степень трансцендентности 1 и является областью целостности. Тогда ядро D на ней изоморфно k. Так как образ p просле факторизации по (q) попадает в ядро, получаем представление p = + hq для некоторого многочлена h и скаляра . Применив к этому равенству D, получим Dp = qDh. Но тогда Dh Ker D и степень h меньше степени p. Противоречие.
Лемма.

2


Значит, a(0) = 0 или b(0) = 0. Для определенности будем считать, что a(0) = 0. Кроме того, в D1 входит слагаемое вида cxr y . Так как D1 однородно, степени остальных слагаемых должны лежать на прямой, соединяющей точки (-1, 0) и (r, -1), но там просто нет больше точек. Стало c быть, D1 = dx + cxr my , а ядро его имеет вид k[dy - r+1 xr+1]. Тогда в силу однородности g получаем c g = f dy - r+1 xr+1 . c Рассмотрим автоморфизм, переводящий X в x, а Y в dy - r+1 xr+1. После его применения Dw примет вид f Y mX , то есть t0 не изменится. То, что раньше давало точку (s0, -1) войдет сюда, а занчит s0 уменьшится. Таким образом, мы можем воспользоваться предположением индукции.

3