Статьи Антона Клячко

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/papers.htm
Дата изменения: Sat Feb 27 15:26:48 2016
Дата индексирования: Sat Apr 9 22:28:57 2016
Кодировка: Windows-1251

Некоторые работы Антона А. Клячко

о конечных и бесконечных группах и других вещах

(в том числе совместные работы с учениками, другими близкими научными родственниками и прочими товарищами)

^↓↓^↓

(совместно с А.Б.Томом) Новые топологические методы решения уравнений над группами arXiv:1509.01376	Мы доказываем, что уравнение w(x,y)=1 над гиперлинейной группой (например, над любой конечной группой) G имеет решение в некоторой большей группе H, если слово w(x,y) (в алфавите G`U`{x⁺¹, y⁺¹} ) таково, что слово, получающееся из него стиранием букв, лежащих в G, не лежит во втором члене нижнего центрального ряда свободной группы F(x,y). Если группа G конечна, то группа H также может быть выбрана конечной.
(совместно с А.А.Мкртчян) Странная делимость в группах и в кольцах arXiv:1506.08967	Мы доказываем одну общую теорему о делимости, из которой вытекает, например, что в любой группе число порождающих пар (и троек, и четверок...) всегда делится на порядок коммутанта этой группы. Другое следствие говорит, что число пифагоровых троек (и четверок, и пятерок...) обратимых элементов в ассоциативном кольце всегда делится на порядок мультипликативной группы этого кольца.
(совместно с А.Н.Васильевым) Уравновешенные разложения на множители arXiv:1506.01571	Всякое рациональное число можно разложить в произведение нескольких рациональных чисел, сумма которых равна нулю. Это простое, но нетривиальное, утверждение предлагалось в качестве задачи на олимпиаде для школьников. Однако неизвестно, можно ли здесь слово нескольких заменить на четырех. Мы полностью решаем аналогичные вопросы в конечных полях и в некоторых других кольцах, например, в алгебрах комплексных и вещественных матриц, а также формулируем несколько открытых вопросов.
(совместно с А.К.Монгуш) Финитно аппроксимируемые алгоритмически конечные группы, их подгруппы и прямые произведения Мат. заметки, 2015, 98:3, 372-377 arXiv:1402.0887	Мы строим конечно порожденную бесконечную рекурсивно представленную финитно аппроксимируемую алгоритмически конечную группу G, отвечая тем самым на вопрос Мясникова и Осина. При этом группа G 'сильно бесконечна' и 'сильно алгоритмически конечна', в том смысле, что G содержит бесконечную абелеву нормальную подгруппу, а все конечные декартовы степени группы G алгоритмически конечны (то есть ни для какого n не существует алгоритма, выписывающего бесконечное число попарно различных элементов группы Gⁿ). Мы формулируем также несколько открытых вопросов на эту тему.
(совместно с М.В.Милентьевой) Большое и симметричное: теорема Макаренко-Хухро о тождествах - без тождеств Large and symmetric: The Khukhro-Makarenko theorem on laws - without laws Journal of Algebra, 2015, 424, 222-241 arXiv:1309.0571	Предлагается обобщение теоремы Макаренко-Хухро о больших характеристических подгруппах с тождеством. Из этой обобщенной теоремы выводятся новые результаты о группах, алгебрах, графах и других структурах. Например, про группы мы получаем факт, в некотором смысле двойственный теореме Макаренко-Хухро. А про графы мы получаем аналог этой теоремы, в котором планарность играет роль полилинейного тождества. Мы отвечаем также на один вопрос Макаренко и Шумяцкого.
(совместно с Е.В.Френкель) Коммутатор не может быть степенью в группе без кручения с метрическим условием малого сокращения arXiv:1210.7908	Неединичный коммутатор не может быть истинной степенью в группе без кручения с условием малого сокращения C'(λ) при достаточно маленьких λ.
(совместно с А.Ю.Ольшанским и Д.В.Осиным) О топологизируемых и нетопологизируемых группах On topologizable and non-topologizable groups Topology and its Applications, 2013, 160:16, 2104-2120 arXiv:1210.7895	Группа называется наследственно нетопологизируемой, если никакая ее секция (то есть факторгруппа подгруппы) не допускает недискретной отделимой групповой топологии. Мы строим первые примеры бесконечных наследственно нетопологизируемых групп. Это, в частности, означает, что c-компактность не влечет компактность для топологических групп. Мы также отвечаем на несколько других вопросов Дикраняна и Успенского о c-компактности. С другой стороны, мы предлагаем метод построения топологизируемых групп, основанный на генерических свойствах в пространстве помеченных k-порожденных групп. В качестве приложения мы строим недискретную квазициклическую топологическую группу конечного периода, отвечая тем самым на вопрос Морриса и Образцова.
(совместно с И.В.Аржанцевым, В.В.Батыревым, Е.И.Буниной, Е.С.Голодом, А.Э.Гутерманом, М.В.Зайцевым, А.И.Зобниным, В.Т.Марковым, А.А.Нечаевым, А.Ю.Ольшанским, Е.А.Поршневым и Ю.Г.Прохоровым) Студенческие олимпиады по алгебре на мехмате МГУ МЦНМО, 2012	В эту книжку вошли задачи первых пяти олимпиад (2006-2010) и их решения.
(совместно с А.А.Мкртчян и с дополнением Д.В.Трушина) Сколько наборов элементов группы обладает данным свойством? How many tuples of group elements have a given property? With an appendix by Dmitrii V. Trushin International Journal of Algebra and Computation, 2014, 24:4, 413-428 arXiv:1205.2824	Теорема Гордона-Родригеса-Виллегаса, обобщающая теорему Соломона, говорит, что в любой группе число решений системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если ранг матрицы, составленной из сумм показателей степеней при i-м неизвестном в j-м уравнении, меньше числа неизвестных. Мы обобщаем эту теорему в двух направлениях: во-первых, мы рассматриваем уравнения с коэффициентами, а во-вторых, мы рассматриваем не только системы уравнений, но и произвольные формулы первого порядка в групповом языке (с константами). Из нашей теоремы можно вывести разные забавные факты. Например, число элементов группы, квадраты которых лежат в данной подгруппе, делится на порядок этой подгруппы.
(совместно с В.Брагиным и А.Б.Скопенковым) Когда любая группа из n элементов циклическая? arXiv:1108.5406	В этой заметке, предназначенной для старшеклассников и младшекурсников, совсем элементарными средствами доказывается известный факт: все группы порядка n являются циклическими тогда и только тогда, когда n взаимно просто с φ(n).
(совместно с Е.В.Меньшовой) Тождества аддитивной двоичной арифметики The identities of additive binary arithmetics Electronic Journal of Combinatorics, 2012, 19, #P40 arXiv:1102.5555	Операции произвольной арности, выражающиеся через сложение по модулю 2ⁿ и побитовое сложение по модулю 2, допускают простое описание. Тождества, связывающие эти два сложения, имеют конечный базис. Более того, универсальная алгебра Z/2ⁿZ с этими двумя операциями рационально эквивалентна нильпотентному кольцу и, следовательно, порождает шпехтово многообразие.
(совместно с Д.В.Барановым) Экономное присоединение квадратных корней к группам Сибирский мат. журнал, 2012, 53:2, 250-257 arXiv:1101.3019	Насколько нужно увеличить группу, чтобы в получившейся группе все элементы исходной группы являлись квадратами? Мы даем довольно точный ответ на этот вопрос (наилучшая возможная оценка сверху отличается от полученной оценки не более, чем в два раза) и формулируем несколько открытых вопросов на эту тему.
(совместно с Д.Е.Лурье) Относительная гиперболичность и близкие свойства относительных копредставлений с одним дополнительным образующим и одним соотношением, являющимся истинной степенью унимодулярного слова Relative hyperbolicity and similar properties of one-generator one-relator relative presentations with powered unimodular relator Journal of Pure and Applied Algebra, 2012, 216:3, 524-534 arXiv:1010.4220	Если к нетривиальной группе добавить один образующий и одно соотношение, являющееся истинной степенью слова с единичной суммой показателей степеней при добавленном образующем, то полученная группа будет содержать в качестве подгруппы свободный квадрат исходной группы, а также почти всегда (кроме одного очевидного исключения) будет содержать неабелеву свободную подгруппу. Если исходная группа не имеет инволюций или соотношение является по крайней мере третьей степенью, то полученная группа относительно гиперболична относительно исходной группы и SQ-универсальна.
Комбинаторная теория групп и геометрия Мат. просвещение, 2009, 13, 18-32	В этой статье, предназначенной для детей от пятнадцати до девяноста девяти лет, в популярной форме рассказывается о некоторых связях между комбинаторной теорией групп и геометрией: о геометрической интерпретации вывода следствий из соотношений и о теории малых сокращений.
(совместно с Н.Ю.Макаренко, Ю.Б.Мельниковой и Е.И.Хухро) Инвариантность относительно автоморфизмов и тождества Automorphism invariance and identities Bull. London Math. Soc., 2009, 41:5, 804-816 arXiv:0812.1359	Если внешнее (полилинейное) коммутаторное тождество выполняется в большой подгруппе некоторой группы, то оно выполняется также в некоторой большой характеристической подгруппе. Аналогичные утверждения справедливы для алгебр и их идеалов или подпространств. Варьируя значение слова 'большой', мы получаем много интересных фактов. Для произвольных (неполилинейных) тождеств аналогичные утверждения, вообще говоря, неверны. В качестве приложения полученных результатов мы получаем неулучшаемую оценку на ступень почти разрешимости расширений почти разрешимых групп при помощи почти разрешимых.
(совместно с Ю.Б.Мельниковой) Короткое доказательство теоремы Макаренко-Хухро о больших характеристических подгруппах с тождеством Мат. сборник, 2009, 200:5, 33-36 arXiv:0805.2747	Предлагается короткое доказательство и некоторое усиление теоремы Макаренко-Хухро о том, что каждая группа, почти удовлетворяющая внешнему коммутаторному тождеству, содержит характеристическую подгруппу конечного индекса, удовлетворяющую этому тождеству. Мы получаем также оценку для индекса такой характеристической подгруппы.
Автоморфизмы и изоморфизмы групп и алгебр Шевалле Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras Journal of Algebra, 2010, 324:10, 2608-2619 arXiv:0708.2256	Присоединенная группа Шевалле ранга большего единицы над Q-алгеброй (или похожим кольцом), ее элементарная подгруппа и соответствующее кольцо Ли имеют одинаковые группы автоморфизмов. Эти автоморфизмы явно описаны.
Строение относительных копредставлений с одним соотношением и их центры The structure of one-relator relative presentations and their centres Journal of Group Theory, 2009, 12:6, 923-947 arXiv:math.GR/0701308	Пусть G - нетривиальная группа без кручения и w - слово в алфавите G`U`{x₁⁺¹,..., x_n⁺¹} такое, что слово w', получающееся из w стиранием букв, лежащих в G, не является истинной степенью в свободной группе F(x₁,..., x_n). Мы показываем как свести изучение относительного копредставления H=<G, x₁,..., x_n \| w=1> к случаю n=1. Оказывается, что 'n-мерная' группа H может быть построена из аналогичных 'одномерных' групп при помощи некоторой явной конструкции, отдаленно напоминающей сплетение. В качестве иллюстрации мы доказываем, что при n>1 центр группы H всегда тривиален. При n=1 центр группы H также почти всегда оказывается тривиальным; имеется несколько исключений и все они известны.
SQ-универсальность относительных копредставлений с одним соотношением Мат. сборник, 2006, 197:10, 87-108 arXiv:math.GR/0603468	Если к нетривиальной группе без кручения добавить два образующих и одно произвольное соотношение, то всегда получится SQ-универсальная группа. По ходу доказательства этого утверждения мы устанавливаем еще несколько фактов, имеющих самостоятельный интерес. Например, если к свободному произведению двух нетривиальных групп без кручения добавить один образующий и одно соотношение с единичной суммой показателей степеней при добавленном образующем, то также получится SQ-универсальная группа.
Свободные подгруппы относительных копредставлений с одним соотношением Алгебра и логика, 2007, 46:3, 290-298 arXiv:math.GR/0510582	Пусть G - нетривиальная группа без кручения и w - произвольное слово в алфавите G`U`{x₁⁺¹,..., x_n⁺¹}. Мы доказываем, что при n>1 группа H=<G, x₁,..., x_n \| w=1> всегда содержит неабелеву свободную подгруппу. При n=1 на вопрос о наличии свободных подгрупп в H удается полностью ответить в унимодулярном случае (то есть когда сумма показателей при x₁ в слове w равна единице). В работе обсуждаются также некоторые обобщения этих результатов.
(совместно с А.В.Трофимовым) Число нерешений уравнения в группе и нетопологизируемые группы без кручения The number of non-solutions of an equation in a group Journal of Group Theory, 2005, 8:6, 747-754 arXiv:math.GR/0411156	Показано, что для любой пары кардиналов с бесконечной суммой найдется такая группа и такое уравнение над этой группой, что первый кардинал является числом решений этого уравнения, а второй кардинал является числом нерешений этого уравнения. Построена бесконечная счетная нетопологизируемая группа без кручения.
Гипотеза Кервера-Лауденбаха и копредставления простых групп Алгебра и логика, 2005, 44:4, 399-437 arXiv:math.GR/0409146	Утверждение о том, что из непростой группы нельзя получить неабелеву простую группу путем добавления одного образующего и одного определяющего соотношения, 1) эквивалентно гипотезе Кервера-Лауденбаха; 2) становится верным при дополнительном предположении, что исходная непростая группа либо конечна, либо, напротив того, не имеет кручения.
Как обобщить известные результаты об уравнениях над группами Мат. заметки, 2006, 79:3, 409-419 arXiv:math.GR/0406382	Известные факты о разрешимости уравнений над группами рассматриваются с более общей точки зрения. Доказывается обобщенный аналог теоремы о разрешимости унимодулярных уравнений над группами без кручения, который в качестве частного случая включает в себя многомерный вариант этой теоремы. Доказывается, что для унимодулярных уравнений над группами без кручения выполняется аналог теоремы Магнуса о свободе в том смысле, что существует решение, которое хорошо себя ведет по отношению к свободным сомножителям исходной группы.

Приведенные здесь тексты несколько отличаются от журнальных вариантов.

English versions of my papers, а также работы других авторов по теории групп и иным разделам математики и физики можно найти в арХиве.

Интересные статьи можно еще поискать здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь и здесь.

Рефераты на разные статьи можно попробовать найти здесь, а также здесь и здесь, если у Вас есть доступ.

Полезные книжки и статьи вы можете найти в 'Генезисе' и в Библиотеке мех-мата (и здесь конечно). Можно также воспользоваться этим поисковиком.

Нерешенные пока задачи тоже нетрудно найти. ↑^↑↑