Математика: Рогатая сфера (сфера Александера).
Изображена так называемая "рогатая сфера" или "сфера Александера" - объект, хорошо известный в трехмерной топологии и в топологии многообразий. Он позволяет наглядно продемонстрировать один из важных фактов в теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово пространство. Хорошо известно, что если двумерная сфера гладко вложена в трехмерное евклидово пространство (т.е. вложена как гладкая несамопересекающаяся поверхность), то она разбивает пространство на две открытые области. Одна из них гомеоморфна трехмерному шару, а другая - дополнению к этому шару в пространстве. Важной характеристикой этих областей является их односвязность. Это означает, что любой непрерывный замкнутый путь (т.е. петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку.
Интуитивно очевидным кажется следующее предположение: односвязность этих двух областей остается справедливой и для топологических (т.е. непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово пространство. Напомним, что такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. (Гомеоморфизм - это взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение). Однако здесь интуиция нас обманывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены существенно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких (так называемых "диких") вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским.
Такое вложение строится последовательно, поэтапно и является "пределом" (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому - локально плоских) вложений. Нужно "зацепить пальцы рук" как показано на рисунке, причем пальцы не должны касаться друг друга. После этого из "конца" каждого пальца" вырастают два новых пальца (меньшего размера), которые также зацепляются, не касаясь друг друга. И так далее. На каждом шаге число вновь вырастающих пальцев удваивается. В результате вложение усложняется. "Переходя к пределу", мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оказывается, оно не является локально плоским в бесконечном числе точек. Замечательным обстоятельством является тот факт, что получившаяся "рогатая сфера" разбивает трехмерное евклидово пространство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая - неодносвязна.
мифология
Узлам в древности придавался глубокий мистический смысл (в частности, заузливанию пальцев и т.п.). С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног (когда вы усаживаетесь поудобнее), - противодействует свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, который изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в магических и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывается, вероятно, на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове или на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам (тоже - важный топологический объект). Вероятно поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).