Теория симметрии кристаллов

I.3.2. Основные формулы сферической тригонометрии

Рис. 8

Теорема косинусов. Теорема косинусов, впервые доказанная Альбатегнием в Х в., устанавливает зависимость между тремя сторонами (а, в, с) и одним из углов (А, В или С) сферического треугольника.

Косинус стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других его сторон, сложенному с произведением синусов тех же сторон на косинус угла между ними:

cos a = cos в ^. cos c + sin в ^. sin c ^. cos A.

Докажем эту теорему.

Пусть АВС - сферический треугольник (рис. 7), стороны в и с которого меньше 90^o . Соединив его вершины с центром сферы О, получим центральные углы а, в и с, пропорциональные величинам дуг, на которые они опираются, и численно равные сторонам сферического треугольника: СВ = а, АС = в, АВ = с.

Сферический угол, например между дугами СА и АВ (угол САВ), измеряется углом между касательными к этим дугам (АМ и АN) в точке их пересечения (А). Пересечения этих касательных с продолжениями радиусов ОВ и ОС дадут точки М и N. Из возникших плоских треугольников АМN и ОМN по формуле косинусов находим

Рис. 9

MN² = AM² + AN² - 2 AM ^. AN ^. cos A,

MN² = OM² + ON² - 2 OM ^. ON ^. cos a,

откуда

АМ² + AN² - 2 AM ^. AN ^. cos A =

= OM² + ON² - 2 OM ^. ON ^. cos a,

2 OM ^. ON ^. cos a = OM² + ON² - AM² - AN² + 2AM ^. AN ^. cos A. (1)

Из плоских прямоугольных треугольников АОМ и AON следует

ОМ² = ОА² + АМ² и ON² = OA² + AN².

Подставив эти значения в правую часть равенства (1), получим

2 ОМ ^. ON ^. cos a = OA² + AM² + OA²+ AN² - AM² - AN² +

+ 2 AM ^. AN ^. cos A,

OM ^. ON ^. cos a = OA² + АМ ^. AN ^. cos A. (2)

Из полученного равенства (2) найдем выражение для cos a:

cos a = (3)

Из рис. 7 видно, что

cos c, cos в, sin c, sin в.

Подставив эти значения в формулу (3), получим

cos a = cos с ^. cos в + sin с ^. sin в ^. cos A,

что и требовалось доказать.

Аналогично выводятся формулы для сторон в и с сферического треугольника АВС:

cos b = cos a ^. cos c + sin a ^. sin c ^. cos B,

cos c = cos a ^. cos в + sin a ^. sin в ^. cos C.

Следует оговорить, что выведенные формулы для сферических треугольников со сторонами в и с, меньшими 90^o , могут быть использованы и для треугольников со сторонами любой длины.

Из формул косинусов сторон сферического треугольника (а, в, с) выводятся все необходимые в дальнейшем формулы сферической тригонометрии. Например, формулы косинусов углов сферического треугольника (А, В или С) получаются при помощи введения полярного треугольника, т.е. треугольника А'В' С' (рис. 8), вершины которого служат полюсами сторон (дуг) исходного сферического треугольника АВС. Угол А данного сферического треугольника АВС и соответствующая ему сторона а' полярного с ним треугольника  А'В' С'в сумме составляют 180^o , т.е. А + а'= 180^o .

Для доказательства этого положения обратимся к рис. 8. Продолжим стороны АВ и АС сферического треугольника АВС до пересечения со стороной B'C' полярного с ним треугольника A'B'C' в точках М и N. Так как вершина А есть полюс дуги B'C' , то дуга MN служит мерой угла А: А = MN¹⁾. Дуга В' С' , соответствующая стороне а' полярного треугольника, разбита точками М и N на три части, т.е. а' = B' M + MN + NC' . Cледовательно, А + а' = В' М + MN + MN + + NC' = B' N + MC' . А так как точки В' и С' служат полюсами дуг АС и АВ соответственно, то B' N = 90^o , MC' = 90^o . Следовательно, А + а' = 90^o + 90^o = 180^o , что и требовалось доказать. Таким образом,

А + а' = 180^o ,

В + в' = 180^o , (4)

С + с' = 180^o .

Аналогично доказывается и положение о том , что сторона (а) данного сферического треугольника и соответствующий ей угол полярного с ним треугольника (А' ) в сумме составляют 180^o , т.е.

а + А'= 180^o ,

в + В' = 180^o , (5)

с + С' = 180^o .

Выведенные особенности взаимно полярных сферических треугольников позволяют распространить формулы для сторон сферического треугольника с соответствующими изменениями на его углы, и наоборот. Hапример, взяв за основу формулу косинуса стороны сферического треугольника

cos a' = cos в' ^. cos c' + sin в' ^. sin c' ^. cos A'

и учтя только что выведенные закономерности (4) и (5), можем записать

cos(180^o - A) = cos(180^o - B) ^. cos(180^o - C) +

+ sin(180^o - B) ^. sin(180^o - C) ^. cos(180^o - a).

После приведения тригонометрических функций получаем

- cos A = cos B ^. cos C - sin B ^. sin C ^. cos a ,

или

cos A = - cos B ^. cos C + sin B ^. sin C ^. cos a. (6)

Следовательно, косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его углов, взятому с обратным знаком, сложенному с произведением синусов тех же углов на косинус стороны между ними.

Отсюда соответственно

cos a =,

cos в =, (7)

cos c = .

Таким образом, по трем известным углам А, В и С сферического треугольника АВС могут быть вычислены все три его стороны а, в и с.

Подставив в полученные формулы (7) значения элементарных углов поворота пересекающихся поворотных осей симметрии, получим их (углов) кристаллографическую запись:

(8)

где а, в, с - стороны сферического треугольника - служат мерами углов между пересекающимися осями симметрии.

Теорема синусов. Для решения наиболее реальной кристаллографической задачи, когда известны порядки двух пересекающихся под определенным углом осей симметрии и требуется определить положение и порядок третьей - результирующей - оси, необходимо знание еще одной теоремы сферической тригонометрии - теоремы синусов для сферического треугольника.

Синусы сторон сфери-ческого треугольника АВС пропорциональны синусам его углов:

.

Рис. 10

Для доказательства этой теоремы соединим вершины сферического треугольника АВС (рис. 10) с центром сферы О, в результате чего возникнет трехгранный угол ОАВС. Из вершины С опустим перпендикуляр СD на противоположную грань ОАВ трехгранного угла. Из полученной точки D опустим перпендикуляры DN и DM на радиусы ОА и ОВ и соединим прямыми точку С с точками M и N.

Из элементарной геометрии следует, что CN OA ( так как DN OA) и СМ ОВ (так как DM OB). Таким образом, угол CND - это линейный угол двугранного угла СОАВ , соответствующий углу А рассматриваемого сферического треугольника. Точно так же угол CMD - сферический угол В.

Из рассмотрения прямоугольных треугольников NDC и МDC с общим катетом CD получим

CM ^. sin B = CN ^. sin A. (9)

Отрезки CM и CN можно выразить, рассмотрев прямоугольные треугольники ОМС и ONC. Углы МОС и NOC при общей вершине О этих треугольников соответствуют сторонам а и в сферического треугольника АВС. На основании этого можно записать

CM = OC ^. sin a, CN = OC ^. sin в.

Подставив эти выражения в равенство (9), получим

OC ^. sin a ^. sin B = OC ^. sin в ^. sin A.

Откуда sin a ^. sin B = sin A ^. sin в, т.е. Аналогично можно получить

Следовательно,

, (10)

что и требовалось доказать.

Пример. Пусть даны два угла сферического треугольника и сторона между ними: А, В и с . Необходимо найти третий угол С и две стороны а и в.

Угол С находим по формуле косинусов (6):

cos C = - cos A ^. cos B + sin A ^. sin B ^. cos c

и далее а и в - по формуле синусов (10):

Откуда