|
Содержание курса | Литература
Интегральные преобразования.
Механико-математический факультет МГУ, кафедра математического анализа,
тел.939-18-01.
Авторы - проф. Прилепко Алексей Иванович, доц. Печенцов Александр Сергеевич.
Курс читается в 6 семестре для студентов специальности 011200 - геофизика.
Объем курса - 60 часов лекций.
Форма контроля. Курс завершается экзаменом.
Аннотация. Целью преподавания дисциплины является подготовка студентов к работе в области
теории, практики и интерпретации геофизических исследований с использованием интегральных преобразований. Задачей
курса является освоение основных понятий и методов интегральных преобразований.
Вверх
Содержание курса.
Ряды Фурье и преобразования Фурье.
- Общие ряды Фурье. Неравенство и равенство Бесселя. Разложение в ряд Фурье и нахождение его коэффициентов.
- Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье, нахождение его коэффициентов. Амплитудный и фазовый спектры
периодических функций и их свойства.
- Прямое и обратное преобразование Фурье. Кратное преобразование Фурье и его обращение.
- Регулярные и сингулярные обобщенные функции в D’. d -функция Дифференцирование обобщенных функций.
- Пространство S - быстроубывающих функций. Пространство S’ - медленно растущих обобщенных функций.
- Кратное преобразование Фурье в S. Преобразование Фурье медленно растущих распределений. Свертка обобщенных
функций.
- Функция Шеннона, ее преобразование Фурье. Сигнал с ограниченным спектром. Теорема Пели-Винера в комплексной
плоскости о финитности спектра.
- Теорема Котельникова (теорема отсчетов) для сигналов с ограниченным спектром.
- Предварительные понятия о фильтрации сигналов 1-ого, 2-ого, 3-его рода (неслучайные сигналы).
- Дискретное и быстрое преобразование Фурье.
- Преобразование Фурье f « F. Обратное преобразование Фурье (основная
теорема для непрерывных функций).
- Спектр сигнала, амплитудный и фазовый спектры непериодических сигналов и их свойства.
- Свойства преобразования Фурье (линейность от производной, интегрирование сигнала, производная образа, свойство
подобия оригинала и отображения).
- Свертка. Образ Фурье от свертки.
- Взаимнокорреляционная и автокорреляционная функции для неслучайных сигналов. Спектр мощности сигнала.
Преобразование Лапласа.
- Оригинал и изображение одностороннего преобразования Лапласа. Аналитичность изображения.
- Формула обращения преобразования Лапласа в связи с преобразованием Фурье.
- Свойства преобразования Лапласа (линейность, дифференцируемость оригинала, интегрирование изображения, дифференцируемость
изображения).
- Свертка оригиналов. Образ Лапласа от свертки. Теорема умножения (свертка изображений).
- Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы.
- Теоремы разложения Хевисайда (без вывода). Вычисление оригиналов и изображений.
- Физически реализуемые сигналы. Условия физической реализуемости сигнала по его спектру (без вывода).
- Теорема Пели-Винера в вещественной области (необходимое и достаточное условие, чтобы амплитуда была данной
для Ф.Р.С.).
- Преобразование Гильберта. Гильбертова пара.
- Двухстороннее преобразование Лапласа, связь с преобразованием Фурье.
- Дискретные последовательности, их Z-преобразование и дискретное преобразование Лапласа.
- Применение преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям n-ого порядка. Интеграл Дюамеля.
- Импульсная (весовая) функция. Передаточная и переходная функции, их связь.
- Понятие системы передачи сигналов: вход, выход, свертка. Разомкнутые и замкнутые системы, их передаточные
функции.
- Реакция звена на гармоническое воздействие. Периодический сигнал вход-выход. Связь между амплитудами и фазами
периодических сигналов вход-выход.
Случайные процессы.
- Элементы теории вероятностей. Среднее. Распределение вероятностей (мера). Непрерывное и дискретное распределение.
Дисперсия. d (x)-стандартное отклонение.
- Случайные процессы. Среднее по времени. Вззаимнокорреляционные и автокорреляционные функции по времени. Стационарные
сигналы.
- Спектральные плотности (мощности) взаимнокорреляционных и автокорреляционных функций.
- Среднее. Взаимнокорреляционные и автокорреляционные функции по вероятности. Их спектральные плотности.
- Стационарные и эргодические случайные сигналы.
- Понятие о фильтрации случайных сигналов, вход, выход, помеха. Уравнение Винера-Хопфа и его решение (без вывода).
Различные вопросы интегральных преобразований.
- Интегральные преобразования Абеля и Радона (простейшие понятия без вывода).
- Многомерная теорема отсчетов Котельникова (без вывода). Фильтрация низких частот неслучайных сигналов.
- Ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма -Лиувилля.
- Полиномы Лежандра и ряды Фурье по ним.
- Функции Бесселя. Уравнение цилиндрических функций, метод нахождения решений (без вывода).
- Ассимптотические ряды. Единственность нахождения коэффициентов.
- Сложение и умножение ассимптотических рядов.
- Ассимптотика дифференциальных уравнений и специальных функций.
- Шаровые и сферические функции. Их представление (без вывода).
- Ряды Фурье по сферическим функциям.
Вверх
Литература.
- Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Курс математического анализа. Т.1,2.М., Наука, 1982.
- Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математически анализ. Т.1,2.М., МГУ, 1985.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972.
- Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
Вверх | Содержание
курса | Литература
|
