Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://foroff.phys.msu.ru/phys/programs/sof/sof.htm
Дата изменения: Sun Jul 6 05:19:38 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 22:42:57 2012 Кодировка: koi8-r |
РАЗДЕЛ 1.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ .
Кулоновская калибровка :
1.2. Разложение вектор-потенциала:
1.3.Собственные функции оператора
Лапласа:
1.4.Нормировка собственных функций:
1.5.Канонически сопряженные переменные для электромагнитного поля:
1.6.Уравнения Гамильтона для свободного
электромагнитного поля:
откуда следует:
1.7. Разложение напряженностей
электрического и магнитного полей по
собственным функциям оператора Лапласа:
1.8. Функция Гамильтона свободного
электромагнитного поля:
1.9. Сводка операторов полей
(Шредингеровская картина движения):
1.10. -
представление в квантовой теории
электромагнитного поля:
1.11. Коммутатор для канонически
сопряженных операторов:
1.12. Волновая функция стационарного состояния свободного электромагнитного поля:
1.13. Энергия стационарного состояния электромагнитного поля:
где целое положительное число.
1.14. Среднее значение L величины L в квантовой
теории:
где q - совокупность аргументов волновой
функции .
1.15. Дисперсия D (L) величины L в
квантовой теории:
1.16. Зависимость от времени волновой функции
стационарного состояния:
1.17.Операторы рождения и уничтожения
фотона в моде :
1.18. Оператор числа фотонов моды :
1.19. Оператор энергии моды :
1.20. Свойства операторов рождения и уничтожения
фотонов:
1.21. Коммутаторы операторов рождения и
уничтожения фотонов
1.22. Сводка полевых операторов для свободного
пространства (разложение по плоским волнам ):
где L3 - объем нормировочного пространства, а - единичный вектор поляризации плоской волны типа .
1.23. Импульс электромагнитного поля
РАЗДЕЛ 2
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Цель предлагаемых задач и тестовых вопросов к данному разделу сводится:
К формированию у студента понимания фундаментальных элементарных процессов взаимодействия электромагнитного поля с веществом;
Ввиду того, что сходные по содержанию понятия в таких областях, как квантовая теория излучения, квантовая электроника, радио- и оптическая спектроскопия зачастую используются в различных размерностях, ниже приводятся определения этих терминов и даются, во избежание ошибок при расчетах, их размерности.
1."Золотое" правило Ферми (вероятность перехода в единицу времени из начального состояния квантовой системы k с энергией Ек в конечное состояние m с энергией Еm под действием не зависящего от времени возмущения V
, (2.1)
где Vmk - матричный элемент возмущения (энергии взаимодействия) по невозмущенным состояниям квантовой системы, а r (Еm) - плотность энергетических состояний квантовой системы с энергией Еm.
2.Оператор энергии взаимодействия вещества с квантовым электромагнитным полем
(2.2)
Здесь ek, mk - заряд и масса k- той заряженной частицы вещества, -оператор импульса k-той частицы, - оператор вектор-потенциала в точке расположения k-той частицы, c - скорость света и N - число частиц в веществе.
3.Приближенное выражение для оператора энергии взаимодействия вещества с квантованным электромагнитным полем при условии малости размеров вещества а по сравнению с длиной волны излучения
(2.3)
В этом выражении - соответственно обозначают операторы электрического, магнитного дипольных моментов и тензора электроквадрупольного момента всего вещества; и - операторы электрического и магнитного полей в некоторой центральной точке вещества, ij - декартовы компоненты вектора, - оператор градиента по координате
4. Матричный элемент энергии взаимодействия вещества с квантованным электромагнитным полем для процесса однофотонного излучения в электродипольном приближении
(2.4)
В этом выражении i -мнимая единица, - частота моды поля в объеме L3, - единичный вектор поляризации фотона типа , - матричный элемент дипольного момента по квантовым состояниям вещества с наборами квантовых чисел a и b, а nl - число фотонов в моде типа до процесса взаимодействия с веществом.
На диаграмме процесса однофотонного излучения двойная и одинарная стрелки соответственно обозначают индуцированное (синонимы: вынужденное, стимулированное) и спонтанное излучение.
(2.5)
Диаграмма процесса однофотонного поглощения
(2.6)
Плотность мод (радиационных осцилляторов или осцилляторов поля)
(2.7)
Величина имеет размерность [с /(радстерад)].
Иногда плотность мод используется в размерности [дж-1стерад-1].
(2.8)
Для измерения интенсивности электромагнитного излучения используются величины:
а. Интенсивность излучения I - энергия электромагнитного излучения, приходящаяся на единичное сечение поверхности в единицу времени . Размерность I - [ Вт/ м2 ] .
б. Спектральная интенсивность излучения - интенсивность электромагнитного излучения, приходящаяся на единичный интервал частот. Размерность - [Вт с/(м2 рад)]
в. Спектральная яркость излучения - спектральная интенсивность, приходящаяся на единичный интервал телесного угла в направлении, определяемом углами в сферической системе координат .
Размерность - [Втс/(м2стерадрад)].
(2.9)
(2.10)
где КБ - постоянная Больцмана.
(2.11)
Размерность этого выражения - [с/рад]. Здесь множитель 2 учитывает две поляризации, а - полный телесный угол
(2.12)
Размерность - [джс/(м3радиан)]. Спектральная
яркость связана со спектральной плотностью
энергии поляризованного излучения в единице
объема пространства
соотношением
Суммируя обе части данного равенства по двум независимым поляризациям и подставляя в левую часть соотношение (2.9), для изотропного естественно-поляризованного излучения с широкополосным спектром получаем
где - число фотонов в моде типа .
В случае теплового электромагнитного излучения это выражение совпадает с формулой Планка (2.12).
(2.13)
Размерность [c-1стерадиан -1]. В этом выражении: - число фотонов с поляризацией и частотой в электромагнитном поле перед актом излучения системы; - боровская частота перехода между уровнями квантовой системы E2 и E1; - волновой вектор излученного фотона, - координата k-ой заряженной частицы системы; - число заряженных частиц у квантовой системы; - индексы, обозначающие номера вырожденных состояний соответственно нижнего E1 и верхнего E2 энергетических уровней системы; q1 и q2 - кратности вырождения энергетических уровней E1 и E2. Формула (2.13) получена в предположении, что уровни E2 и E1 не уширены.
В формуле (2.13) с помощью - обозначен матричный элемент оператора по квантовым состояниям и
(2.14)
Электродипольное приближение :
Вероятность излучения (2.13) в электродипольном приближении
(2.15)
При условии независимости матричного элемента дипольного момента от индексов и формула (2.15) принимает стандартное выражение
(2.16)
Вероятность поглощения в единицу времени квантовой системой одного фотона с поляризацией и частотой из падающего электромагнитного поля, вектор распространения которого заключен в пределах единичного телесного угла
(2.17)
Размерность - [ с-1стерадиан-1]. Выражение (2.17) дано в тех же предположениях , что и формула для вероятности излучения (2.16).
В реальной ситуации энергетические уровни квантовой системы уширены, а спектральная линия излучения (поглощения) имеет конечную ширину и описывается нормированным контуром спектральной линии , причем .
Ширина спектральной линии на уровне половинной интенсивности - . Реально . В этом случае для вероятности излучения предпочтительнее пользоваться выражением
(2.18)
с размерностью [ с-1стерадиан-1(радиан/ с )-1 ]. Таким образом, выражение (2.18) имеет следующий физический смысл: вероятность в единицу времени излучения поляризованного фотона (поляризация ) в единичный телесный угол на частоте , которая принадлежит единичному спектральному интервалу в пределах спектральной линии
Вероятность поглощения в единицу времени падающего на квантовую систему из единичного телесного угла поляризованного () фотона с частотой , заключенной в пределах единичного частотного интервала, равна
(2.19)
Размерность -[с-1cтерадиан-1( радиан/с)-1 ] .
18.Сила осциллятора f21 . С помощью этой величины в оптической спектроскопии характеризуют интенсивность спектральной линии, обусловленной квантовыми переходами между состояниями с энергиями E2 и E1
(2.20)
где е и me - заряд и масса электрона, а -боровская частота перехода. Величина f21 возникает при сопоставлении интенсивности спектральной линии спонтанного излучения с интенсивностью излучения классического диполя на собственной частоте . "Доквантовая" физика объясняла излучение атома, моделируя движение электронов в атоме колебаниями классических осцилляторов (диполей) с частотами, образующими характерный для данного атома оптический спектр частот. Энергия классического осциллятора с зарядом е и массой me из-за излучения в окружающее пространство затухает по закону
(2.21)
с характерным временем (2.22)
В квантовой теории этому процессу соответствует спонтанное излучение при переходе атома с уровня E2 на E1 время затухания спонтанного излучения связано с вероятностью излучения Acn (пропорциональна интенсивности) соотношением
(2.23)
Если соотнести классическое и квантовое описания процесса излучения атома на частоте , то удобно представить (2.23) в виде
(2.24)
где определяется (2.22) , а f21 - соотношением (2.20).
Таким образом, чтобы привести в соответствие с экспериментом "доквантовые" представления об излучении атома, пришлось каждый парциальный атомный осциллятор характеризовать дополнительной величиной - силой осциллятора.
Для классического осциллятора, по определению, f21 = 1, а вот для электродипольного перехода в оптике сила осциллятора согласно (2.20) равна (предполагается дебай).
(2.25)
Применение (2.25) предполагает, что атом взаимодействует с изотропным естественно поляризованным излучением. В формуле (2.25) использованы следующие обозначения:
- спектральная плотность электромагнитной энергии в единице объема пространства имеет размерность [ДжС /(м3 радиан],
- вероятность спонтанного излучения атома в единицу времени определяется соотношением (2.23), и - соответственно вероятности излучения и поглощения одного фотона поля в единицу времени на частоте квантового перехода (т.е. в пределах спектральной линии атома); размерность вероятностей - [c-1]. Таким образом, размерность коэффициентов Эйнштейна для вероятностей индуцированного излучения и поглощения равна [м3/(Джс)][радиан/с]. В случае, если атом взаимодействует с тепловым электромагнитным излучением, спектральная плотность энергии определяется формулой Планка (2.12).
Замечание. Вероятности и могут быть получены интегрированием выражений (2.18) и (2.19) по телесному углу и спектру и суммированием по двум независимым поляризациям.
(2.26)
которые вытекают из определения (2.25) и выражений (2.18), (2.19) и (2.23).
(2.27)
В этих соотношениях в левых частях стоят вероятности с размерностями, определяемыми соответственно выражениями (2.18) и (2.19), а - объемная плотность энергии излучения, приходящаяся на единичный телесный угол, с поляризацией и частотой , лежащей в единичном спектральном интервале. , таким образом, имеет размерность
[Дж./(м3стерадиан)][с/радиан].
Отсюда следует, что размерность дифференциальных коэффициентов Эйнштейна для индуцированного излучения и поглощения и - [м3/(Джс)], размерность дифференциального коэффициента Эйнштейна для спонтанного излучения - [1/ сстерадиан] [с/радиан].
(2.28)
и выражения (2.9) , (2.18) и (2.19), из определений (2.27) получаем
(2.29)
23. Для оценки поглощающей способности среды в определенном спектральном диапазоне наряду с вероятностью поглощения фотона используется сечение фотопоглощения. В отличие от вероятности сечение фотопоглощения не зависит от величины поля и является исключительно характеристикой среды.
Сечение фотопоглощения s погл () на частоте есть величина, численно равная отношению вероятности поглощения фотона (см.(2.19)) в размерности [с-1стерад.-1(радиан/с)-1] к потоку падающих фотонов из единичного телесного угла, приходящегося на единичный интервал частот с центром на частоте . Поток фотонов определяется отношением спектральной яркости (см.(2.9)) к величине энергии фотона .
s погл.[м2] (2.30)
Подставляя сюда выражения (2.19) и (2.9), получаем аналитическое выражение для сечения фотопоглощения:
s погл. (2.31)
s изл. [м2] (2.32)
s погл. (2.33)
26.Если для поля задана величина интенсивности I [Вт/м2] , то согласно (2.33) вероятность поглощения в единицу времени определяется выражением
[с-1]=s погл. (2.34)
Формула (2.34) находится с помощью интегрирования по частоте и телесному углу и предполагает остронаправленное узкополосное (по сравнению с шириной спектральной линии ) излучение от внешнего источника (или поле внутри резонатора).
27. Для узконаправленного широкополосного излучения удобно использовать величину спектральной интенсивности (см.пункт 7). В этом случае по сечению определяется вероятность процесса в размерности [с-1(рад/с)-1]
[с-1? (рад/с)-1] = s погл. (2.35)
(2.36)
a ( )=s изл.( ) (2.37)
Усиление в среде возможно при условии
(2.38)
Обратное неравенство в (2.38) означает поглощение в среде, т.е. .
K усил. (2.39)
Если показатель усиления a () не зависит от координаты z (направление распространения волны), то
K усил. (2.40)