Методы математической физики
Составители:
- доцент Боголюбов А.Н.
- доцент Кравцов В.В.
- профессор Свешников А.Г.
- профессор Тихонов Н.А.
Ответственный редактор - профессор Бутузов
В.Ф.
1.Физические задачи, приводящие к уравнениям в
частных производных.
2. Классификация уравнений в частных производных
второго порядка.
3. Общая схема метода разделения переменных.
4. Специальные функции математической физики
- 4.1. Цилиндрические функции.
- Уравнение Бесселя. Функции Бесселя. Функции
Ханкеля. Функции Неймана. Общее решение
уравнения Бесселя. Асимптотическое поведение
цилиндрических функций. Цилиндрические функции
чисто мнимого аргумента.
- 4.2. Классические ортогональные полиномы.
- Дифференциальные уравнения. Формула Родрига.
Производящая функция. Полиномы Лежандра.
Присоединенные функции Лежандра. Полиномы
Лагерра. Полиномы Эрмита.
- 4.3. Сферические и шаровые функции.
-
- 5. Краевые задачи для уравнения Лапласа
- Гармонические функции. Фундаментальное решение
уравнения Лапласа. Формула Грина. Основные
свойства гармонических функций (теорема Гаусса,
теорема о среднем, бесконечная
дифференцируемость, принцип максимума). Теоремы
единственности для внутренних и внешних краевых
задач для уравнения Лапласа. Функция Грина для
оператора Лапласа. Гармонические потенциалы.
Свойства потенциалов простого и двойного слоя.
Метод интегральных уравнений для решения
краевых задач. Существование решений основных
краевых задач для уравнения Лапласа.
- 6.Уравнения параболического типа
- Внутренние начально-краевые задачи. Принцип
максимума. Теоремы единственности. Теорема
существования для одномерного случая. Уравнение
теплопроводности на бесконечной прямой и в
неограниченном пространстве. Теорема
единственности. Теорема существования.
Фундаментальное решение. Уравнение
теплопроводности на полубесконечной прямой.
Метод продолжения. Функция Грина. Метод
интегральных преобразований Фурье.
- 7. Уравнения гиперболического типа
- Внутренние начально-краевые задачи. Теоремы
единственности. Теоремы существования в
одномерном случае. Уравнение колебаний на
бесконечной прямой. Метод распространяющихся
волн. Формула Даламбера. Уравнение колебаний на
полубесконечной прямой. Метод продолжений. Метод
интегральных преобразований Фурье. Задачи Коши
для уравнения колебаний в пространстве. Формула
Пуассона. Метод спуска.
- 8. Краевые задачи для уравнения
![](Images/Image282.gif)
- Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа.
Свойства собственных значений и собственных
функций. Собственные функции оператора Лапласа
для простейших канонических областей.
Фундаментальное решение уравнения
. Теоремы единственности
для уравнения
в
ограниченной области. Уравнение
в неограниченной области. Условия
излучения Зоммерфельда. Теорема единственности.
Принцип предельного поглощения.
Примерные задачи математического практикума
1. Изучение специальных функций с помощью
компьютеров.
2. Распространение волн на бесконечной прямой и
отрезке (символьные и численные методы,
графические изображения).
Необходимый минимум для получения
положительной оценки
- Общая схема метода разделения переменных для
однородных и неоднородных задач
(гиперболический, параболический и
эллиптический случаи).
- Постановка задачи Штурма-Лиувилля.
- Уравнение Бесселя и его общее решение.
- Определение классических ортогональных
полиномов.
- Определение присоединенных функций Лежандра,
сферических функций, шаровых функций.
- Определение гармонической функции. Принцип
максимума.
- Постановка внешних и внутренних задач Дирихле и
Неймана для уравнения Лапласа.
- Функция Грина внутренних задач Дирихле и
Неймана в двумерном и трехмерном случаях.
- Определение и основные свойства объемного и
поверхностных потенциалов.
- Общая постановка начально-краевой задачи для
уравнения теплопроводности в ограниченной
области. Принцип максимума.
- Постановка задачи Коши для уравнения
теплопроводности на бесконечной прямой.
Фундаментальное решение.
- Общая постановка начально-краевой задачи для
уравнения колебаний в ограниченной области.
- Постановка задачи Коши для уравнения колебаний
на бесконечной прямой. Формула Даламбера.
- Уравнение Гельмгольца. Фундаментальные решения
на плоскости и в пространстве.
- Условия излучения в двумерном и трехмерном
случае.
Распределение часов курса по темам и видам
работ
|
|
|
Аудиторные
занятия |
Само-стоя- |
? п/п |
Наименование тем и
разделов |
Всего |
в том числе |
тельная |
|
|
часов |
Лекции (час) |
Семинары (час) |
работа |
1 |
Физические задачи, приводящие к
уравнениям в частных производных |
12 |
4 |
2 |
6 |
2 |
Классификация уравнений в
частных производных второго порядка |
7 |
4 |
1 |
2 |
3 |
Общая схема метода разделения
переменных |
14 |
5 |
3 |
6 |
4 |
Специальные функции |
40 |
16 |
8 |
16 |
5 |
Краевые задачи для уравнения
Лапласа |
50 |
14 |
12 |
24 |
6 |
Уравнения параболического типа |
34 |
10 |
8 |
16 |
7 |
Уравнения гиперболического типа |
35 |
11 |
8 |
16 |
8 |
Краевые задачи для уравнения.
u + cu = 0 |
44 |
8 |
12 |
24 |
|
Итого |
236 |
72 |
54 |
110 |
Форма итогового контроля
Зачет и экзамен
Литература
Основная
- Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции
по математической физике. Изд-во МГУ, 2000.
- Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по
математической физике. Изд-во МГУ, 1998.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения
математической физики. Изд-во МГУ, 1999.
Дополнительная
- Арсенин В.Я. Методы математической физики и
специальные функции. М.: Наука, 1984.
- Владимиров В.С. Уравнения математической
физики. М.: Наука, 1988.
- Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник
задач по математической физике. М.: Наука, 1972.