Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://en.cs.msu.ru/sites/cmc/files/docs/geometr.pdf Дата изменения: Wed Oct 7 12:42:56 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:52:28 2016 Кодировка:

w \TOM RAZDELE METODI^ESKOGO POSOBIQ MY OSTANOWIMSQ NA LI X NEKOTORYH WOPROSAH KOLXNOGO KURSA GEOMETRII, KOTORYE, NA NA WZGLQD, MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY PRI IZU^ENII NEKOTORYH RAZDELOW WYS EJ MATEMATIKI, W ^ASTNOSTI, ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. bOLEE PODROBNOE IZLOVENIE WOPROSOW GEOMETRII MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W RANEE IZDAWAW IHSQ KNIGAH a.b. bUDAKA I b.m. }EDRINA PO PODGOTOWKE K USTNOMU WSTUPITELXNOMU \KZAMENU PO MATEMATIKE NA FAKULXTET wmk mgu. pOSLEDNEE IZDANIE BYLO W 2007 G. POD NAZWANIEM "|LEMENTARNAQ MATEMATIKA. mETODI^ESKIE UKAZANIQ K OTWETAM NA TEORETI^ESKIE WOPROSY BILETOW USTNOGO \KZAMENA PO MATEMATIKE", m: "makspress" (SM. 1]). w SWQZI S IZLOVENIEM LI X ^ASTI WOPROSOW GEOMETRII, KOTORYE WYNOSILISX NA USTNYJ WSTUPITELXNYJ \KZAMEN PO MATEMATIKE NA FAKULXTET wmk (DO 2008 G.) WOZMOVNY W OTDELXNYH SLU^AQH SSYLKI NA TEOREMY, IZLOVENNYE W POSOBII POZDNEE, ^EM W TEKU]EM PUNKTE, ILI WOOB]E W POSOBII NE IZLOVENNYE. oDNAKO \TI TEOREMY W SWOEM DOKAZATELXSTWE NA DANNU@ DOKAZYWAEMU@ TEOREMU ILI KAKIE-LIBO WYWODY IZ NEE NIKAK NE OPIRA@TSQ. sTALO BYTX, OB]AQ LOGI^ESKAQ STRUKTURA OSWE]ENIQ WOPROSOW \LEMENTARNOJ GEOMETRII PRI \TOM NE NARU ENA. oTMETIM, ^TO L@BOJ POSLEDOWATELXNO IZLAGAEMYJ KURS GEOMETRII DOLVEN STROITXSQ NA BAZE RQDA WWODIMYH PERWI^NYH (NEOPREDELQEMYH) PONQTIJ I AKSIOM. w KA^ESTWE TAKIH PONQTIJ WYSTUPA@T: TO^KA, PRQMAQ, PLOSKOSTX. sFORMULIRUEM OPREDELENIQ TREUGOLXNIKA (KONTURNOGO I PLOSKOGO KAK ^ASTI PLOSKOSTI), SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU, MEDIANY, BISSEKTRISY I WYSOTY TREUGOLXNIKA. pONQTIE PLOSKOGO TREUGOLXNIKA OSNOWYWAETSQ NA UTWERVDENII O TOM, ^TO WSQKAQ PRQMAQ, LEVA]AQ W NEKOTOROJ PLOSKOSTI, DELIT EE NA DWE POLUPLOSKOSTI. |TO UTWERVDENIE MOVET WYSTUPATX W KA^ESTWE KAK TEOREMY, TAK I AKSIOMY W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKAQ IZ SISTEM AKSIOM LEVIT W OSNOWE POSTROENIQ KURSA GEOMETRII. pRI \TOM DWE TO^KI, NE LEVA]IE NA UKAZANNOJ PRQMOJ, S^ITA@TSQ LEVA]IMI W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH (W ODNOJ POLUPLOSKOSTI) OTNOSITELXNO \TOJ PRQMOJ, ESLI OTREZOK S KONCAMI W \TIH TO^KAH IMEET WNUTRENN@@ TO^KU, LEVA]U@ NA UKAZANNOJ PRQMOJ, TO ESTX EE PERESEKAET (NE IMEET WNUTRENNIH TO^EK NA \TOJ PRQMOJ, TO ESTX EE NE PERESEKAET).
93 3:1. tEOREMY O PERESE^ENII MEDIAN, PERESE^ENII BISSEKTRIS I PERESE^ENII WYSOT TREUGOLXNIKA. nEKOTORYE ANALOGI TEOREMY O PERESE^ENII MEDIAN TREUGOLXNIKA DLQ TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

3.

gEOMETRIQ


nAPOMNIM, KAK WWODQTSQ OPREDELENIQ OTREZKA I LU^A, ISPOLXZUEMYE W DALXNEJ IH RASSUVDENIQH. oTREZKOM PRQMOJ BUDEM NAZYWATX WSQKOE MNOVESTWO TO^EK \TOJ PRQMOJ, SOSTOQ]EE IZ DWUH TO^EK I WSEH TO^EK \TOJ PRQMOJ, LEVA]IH MEVDU* 1 \TIMI DWUMQ TO^KAMI. eSLI TO^KI A I B SOWPADA@T (A B ), TO OTREZOK AA ILI B B NAZYWAETSQ NULEWYM, ESLI TO^KI A I B | RAZLI^NYE (A 6 B ), TO OTREZOK AB (OTREZOK PRQMOJ) BUDEM NAZYWATX NENULEWYM. kAVDU@ TO^KU PRQMOJ (AB ), LEVA]U@ MEVDU TO^KAMI A I B , BUDEM NAZYWATX WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AB . kAVDU@ TO^KU PRQMOJ (AB ), OTLI^NU@ OT TO^KI A I OT TO^KI B I NE LEVA]U@ MEVDU TO^KAMI A I B , BUDEM NAZYWATX WNE NEJ TO^KOJ OTREZKA AB . sAMI TO^KI A I B , OPREDELQ@]IE OTREZOK AB , BUDEM NAZYWATX KONCAMI OTREZKA AB (SM. RIS. 3.1). RIS. 3.1 nA RIS. 3.1 AB | NENULEWOJ OTREZOK, C | EGO WNUTRENNQQ TO^KA, D | EGO WNE NQQ TO^KA, E E | NULEWOJ OTREZOK (TO^KA). pONQTIE LU^A OSNOWYWAETSQ NA UTWERVDENII O TOM, ^TO WSQKAQ TO^KA, LEVA]AQ NA NEKOTOROJ PRQMOJ, DELIT EE NA DWE POLUPRQMYE W TOM SMYSLE, ^TO WSQKIE DWE TO^KI ODNOJ POLUPRQMOJ (RAZNYH POLUPRQMYH) NE RAZDELQ@TSQ (RAZDELQ@TSQ) UKAZANNOJ TO^KOJ, TO ESTX UKAZANNAQ TO^KA NE LEVIT (LEVIT) MEVDU \TIMI DWUMQ TO^KAMI. e]E SOOTWETSTWENNO GOWORQT, ^TO DWE TO^KI PRQMOJ NE RAZDELQEMYE (RAZDELQEMYE) DANNOJ TO^KOJ PRQMOJ LEVAT PO ODNU STORONU (PO RAZNYE STORONY) OTNOSITELXNO \TOJ TO^KI. |TO UTWERVDENIE MOVET WYSTUPATX W KA^ESTWE KAK TEOREMY, TAK I AKSIOMY W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKAQ IZ SISTEM AKSIOM LEVIT W OSNOWE POSTROENIQ KURSA GEOMETRII. pUSTX NA PRQMOJ a WYBRANY TO^KI O I A (O 6 A). lU^OM (POLUPRQMOJ), OPREDELENNYM UKAZANNYMI TO^KAMI, NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK PRQMOJ a, RASPOLOVENNYH WMESTE S TO^KOJ A PO ODNU STORONU OTNOSITELXNO TO^KI O, WKL@^A@]EE W SE BQ I TO^KU A (OBOZNA^AETSQ OA). tO^KA O NAZYWAETSQ NA^ALOM LU^A, EE S^ITA@T GRANICEJ LU^A, A TAKVE TO^KOJ PRILOVENIQ UKAZANNOGO LU^A. eSLI TO^KU O S^ITATX NE PRINADLEVA]EJ UKAZANNOMU W \TOM OPREDELENII MNOVESTWU, TO TAKOJ LU^ NAZYWA@T OTKRYTYM LU^OM, A ESLI TO^KU O S^ITATX PRINADLEVA]EJ UKAZANNOMU MNOVESTWU, TO TAKOJ LU^ NAZYWA@T ZAMKNUTYM LU^OM.
1 * "lEVATX MEVDU" WYSTUPAET PRI DANNOJ SHEME IZLOVENIQ GEOMETRII W KA^ESTWE PERWI^NOGO (NE OPREDELQEMOGO) PONQTIQ.

94


dOGOWORIMSQ, ^TO ESLI RASSMATRIWATX ZAMKNUTYJ LU^, TO \TO WSEGDA OGOWARIWATXSQ, ESLI RE^X IDET PROSTO O LU^E, TO POD \TIM PODRAZUMEWATXSQ OTKRYTYJ LU^. oTMETIM, ^TO W OTLI^II OT OTREZKA, W OBOZNA^ENII KOTOROGO ]ESTWENEN PORQDOK EGO KONCOW, W OBOZNA^ENII LU^A DWUMQ BUKWAMI NA PERWOE MESTO BUDET STAWITXSQ EGO NA^ALO.

BUDET BUDET NE SUWSEGDA

RIS. 3.2 A RIS. 3.2 B sFORMULIROWANNOE UTWERVDENIE O RAZDELENII TO^KOJ, LEVA]EJ NA PRQMOJ a, EE NA DWE POLUPRQMYE OZNA^AET, ^TO NA PRQMOJ a OPREDELENY DWA LU^A | LU^ OA I LU^ OA0, GDE A0 ; O; A 2 a I O 2 A0 A. pRI \TOM WAVNO OTMETITX, ^TO LU^I OA I OB , GDE O 62 AB TOVDESTWENNY, TO ESTX PREDSTAWLQ@T SOBOJ ODNO I TO VE MNOVESTWO TO^EK NA PRQMOJ a (ODIN I TOT VE LU^), LU^I OA0 I OB 0 TAKVE TOVDESTWENNY, GDE O 2 AA0 I O 2 B B 0 (SM. RIS. 3.2 A, 3.2 B). eSLI TO^KI A0 , O, A LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ a I O 2 A0 A, TO LU^I OA I OA0 NAZYWA@TSQ WZAIMNO DOPOLNITELXNYMI, KAVDYJ IZ NIH NAZYWAETSQ DOPOLNITELXNYM PO OTNO ENI@ K DRUGOMU. eSLI ODIN IZ WZAIMNO DOPOLNITELXNYH LU^EJ OBOZNA^ITX h, TO DRUGOJ IZ NIH OBOZNA^AETSQ h (SM. RIS. 3.2 A). oPREDELENIE 1. tREUGOLXNIKOM NAZYWAETSQ FIGURA, SOSTOQ]AQ IZ TREH TO^EK, NE LEVA]IH NA ODNOJ PRQMOJ, I TREH POPARNO SOEDINQ@]IH IH OTREZKOW. uKAZANNYE TO^KI NAZYWA@TSQ WER INAMI TREUGOLXNIKA, A UKAZANNYE OTREZKI NAZYWA@TSQ STORONAMI TREUGOLXNIKA (SM. RIS. 3.3 A). eSLI, NAPRIMER, OBOZNA^ITX BUKWAMI A, B , C WER INY TREUGOLXNIKA, TO SAM TREUGOLXNIK OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM 4AB C . gOWORQT, ^TO WER INA A (STORONA B C ) PROTIWOLEVIT STORONE B C (WER INE A), ANALOGI^NO PROTIWOLEVA]IMI DRUG DRUGU QWLQ@TSQ WER INA B I STORONA AC , WER INA C I STORONA AB . oTMETIM, ^TO WO MNOGIH SLU^AQH PORQDOK WER IN W TREUGOLXNIKE NE QWLQETSQ SU]ESTWENNYM, PO\TOMU OBOZNA^ENIQ 4AB C , 4B C A, 4C B A I T.P. PREDSTAWLQ@T SOBOJ ODIN I TOT VE TREUGOLXNIK. oDNAKO W TEH SLU^AQH, KOGDA BUDET SU]ESTWENEN PORQDOK WER IN ILI STORON TREUGOLXNIKA, \TO SPECIALXNO OGOWARIWAETSQ. oPREDELENIE 2. wNUTRENNEJ TO^KOJ 4AB C (TO^KOJ, LEVA]EJ WNUTRI 4AB C ) NAZYWAETSQ WSQKAQ TO^KA X , KOTORAQ 1) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNO PRQMOJ (AB ), ^TO I TO^KA C ;
95


2) LEVIT PRQMOJ (B C ), 3) LEVIT PRQMOJ (AC ),

VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNO TO^KA A ; VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNO TO^KA B . oPREDELENIE 20. wNUTRENNEJ OBLASTX@ TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH EGO WNUTRENNIH TO^EK. pRI \TOM SAM TREUGOLXNIK: EGO STORONY (WSE WNUTRENNIE TO^KI EGO STORON) I WER INY NAZYWA@T GRANICEJ WNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO TREUGOLXNIKA.

W TOJ ^TO I W TOJ ^TO I

RIS

. 3.3

A

RIS

. 3.3

B

RIS

. 3.3

W

sM. RIS. 3.3 B, NA KOTOROM WNUTRENNQQ OBLASTX TREUGOLXNIKA ZA TRIHOWANA TROJNOJ TRIHOWKOJ. oPREDELENIE 3. tO^KOJ, LEVA]EJ NA STORONE TREUGOLXNIKA, NAZYWAETSQ WSQKAQ TO^KA Y , QWLQ@]AQSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ \TOJ STORONY. oPREDELENIE 4. wSQKAQ TO^KA X 0 PLOSKOSTI (AB C ) NAZYWAETSQ WNE NEJ TO^KOJ 4ABC (TO^KOJ, LEVA]EJ WNE 4ABC ), ESLI ONA NE QWLQETSQ EGO WNUTRENNEJ TO^KOJ, NE LEVIT NI NA ODNOJ IZ EGO STORON I NE SOWPADAET NI S ODNOJ IZ EGO WER IN. oPREDELENIE 5. wSQKIJ TREUGOLXNIK, OB_EDINENNYJ SO SWOEJ WNUTRENNEJ OBLASTX@ (MNOVESTWOM WSEH EGO WNUTRENNIH TO^EK), NAZYWAETSQ PLOSKIM TREUGOLXNIKOM. oPREDELENIE 6. wNUTRENNIM UGLOM TREUGOLXNIKA AB C PRI WER INE A NAZYWAETSQ UGOL \B AC , WNUTRENNQQ OBLASTX KOTOROGO SODERVIT W SEBE WNUTRENN@@ OBLASTX \TOGO TREUGOLXNIKA. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ WNUTRENNIE UGLY PRI WER INAH B I C . pRI \TOM POD WNUTRENNEJ OBLASTX@ UGLA (OSTROGO, PRQMOGO, TUPOGO KAK FIGURY, OBRAZOWANNOJ DWUMQ LU^AMI, IME@]IMI OB]EE NA^ALO | SOOTWETSTWENNO STORONAMI I WER INOJ UGLA) PONIMAETSQ PERESE^ENIE OTKRYTYH* 2 POLUPLOSKOSTEJ OTNOSITELXNO PRQMYH, SODERVA]IH STORONY UGLA. o PONQTIQH OSTROGO, PRQMOGO I TUPOGO UGLOW SM. NIVE W P. 3:2.
2

* sAMI PRQMYE W POLUPLOSKOSTI NE WKL@^ENY.

96


uGOL, OB_EDINENNYJ SO SWOEJ WNUTRENNEJ OBLASTX@, NAZYWAETSQ PLOSKIM UGLOM. nA RIS. 3.3 B ILL@STRIRU@TSQ OPRELELENIQ 2 | 5, A NA RIS. 3.3 W ILL@STRIRUETSQ OPRELELENIE 6, WNUTRENNIMI UGLAMI 4AB C BUDUT UGLY: \B AC , \AB C , \AC B . oPREDELENIE 7. sEREDINNYM PERPENDIKULQROM K OTREZKU NAZYWAETSQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ SEREDINU OTREZKA I PERPENDIKULQRNAQ EMU (TO ESTX OBRAZU@]AQ PRQMOJ UGOL S SOVERVA]EJ EGO PRQMOJ). oPREDELENIE 8. mEDIANOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ WERINY, NAZYWAETSQ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ \TU WER INU S SEREDINOJ PROTIWOLEVA]EJ EJ STORONY TREUGOLXNIKA. oPREDELENIE 9. bISSEKTRISOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ WER INY, NAZYWAETSQ OTREZOK BISSEKTRISY WNUTRENNEGO UGLA TREUGOLXNIKA, SOEDINQ@]IJ \TU WER INU S TO^KOJ NA PROTIWOLEVA]EJ EJ STORONE. oPREDELENIE 90 . bISSEKTRISOJ UGLA NAZYWETSQ LU^, PROHODQ]IJ WO WNUTRENNEJ OBLASTI UGLA, WER INA KOTOROGO SOWPADAET S WER INOJ UGLA, DELQ]IJ SOOTWETSTWU@]IJ PLOSKIJ UGOL NA DWA RAWNYH PLOSKIH UGLA. mOVNO DOKAZATX, ^TO KAVDYJ NENULEWOJ UGOL* 3 IMEET EDINSTWENNU@ BISSEKTRISU; KAVDYJ LU^ S WER INOJ W WER INE UGLA PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI UGLA (OSTROGO, PRQMOGO, TUPOGO) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ON IMEET OB]U@ WNUTRENN@@ TO^KU S L@BYM OTREZKOM, KONCY KOTOROGO NE SOWPADA@T S WER INOJ UGLA, A LEVAT: ODIN NA ODNOJ STORONE UGLA, DRUGOJ | NA DRUGOJ EGO STORONE. oPREDELENIE 10. wYSOTOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ WERINY, NAZYWAETSQ PERPENDIKULQR,** 4 PROWEDENNYJ IZ \TOJ WER INY K PRQMOJ, KOTORAQ SODERVIT PROTIWOLEVA]U@ STORONU TREUGOLXNIKA. tEOREMA 1. sEREDINNYE PERPENDIKULQRY K STORONAM PROIZWOLXNOGO TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE.

RIS
3 4

. 3.4

*o NULEWOM I NENULEWOM UGLE SM. P. 3:2, GDE GOWORITSQ OB IZMERENII UGLOW. **zDESX POD \TIM PONIMAETSQ OTREZOK ODNOJ PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ DRUGOJ, NA \TOJ DRUGOJ PRQMOJ LEVIT ODIN IZ KONCOW UKAZANNOGO OTREZKA.

97


pUSTX W 4AB C AD = DB ; B E = E C; C F = F A. ~EREZ TO^KI D I E W PLOSKOSTI (AB C ) PROWEDEM SOOTWETSTWENNO nc ? (AB ); na ? (B C ) (SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX \TIH PERPENDIKULQROW MOVET BYTX DOKAZANO). pOSKOLXKU PRQMYE (B A) I (B C ) RAZLI^NYE, TO^KI D I E OTLI^NY OT TO^KI B , \TI TO^KI RAZLI^NY. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO PRQMYE na I nc SOWPADA@T, TO \TO BUDET OZNA^ATX, ^TO K PRQMOJ na nc IZ TO^KI B PROWEDENY DWA PERPENDIKULQRA (B D) I (B E ), ^TO NEWOZMOVNO. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO na k nc , TO IZ (B A) ? nc ) (B A) ? na . tAK KAK (B C ) ? na , TO^KA B 62 na , TO POLU^AEM, ^TO IZ TO^KI B NA PRQMU@ na PROWEDENY DWA PERPENDIKULQRA: (B C ) I (B A), ^TO TAKVE NEWOZMOVNO. sLEDOWATELXNO, OSTAETSQ EDINSTWENNAQ WOZMOVNOSTX, na \ nc O (TO^KU PERESE^ENIQ SEREDINNYH PERPENDIKULQROW K STORONAM B A I B C MY OBOZNA^ILI ^EREZ O). aNALOGI^NYM OBRAZOM MY DOKAVEM PERESE^ENIE PERPENDIKULQROW nc I nb , na I nb , OTKUDA SLEDUET, ^TO WSE \TI PERPENDIKULQRY | RAZLI^NYE PRQMYE. w SILU SWOJSTWA SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU OA = OB I OB = OC , W SILU TRANZITIWNOSTI OTNO ENIQ RAWENSTWA OTREZKOW OTS@DA SLEDUET, ^TO OA = OC . w SILU PRIZNAKA SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU TO^KA O LEVIT NA SEREDINNOM PERPENDIKULQRE nb K OTREZKU AC . sLEDOWATELXNO, TAK KAK WSE \TI PERPENDIKULQRY na ; nb; nc | RAZLI^NYE PRQMYE, TO^KA O IH EDINSTWENNAQ OB]AQ TO^KA (TO^KA PERESE^ENIQ). tEOREMA 1 DOKAZANA. nAPOMNIM, ^TO OKRUVNOSTX@ NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK PLOSKOSTI, RASPOLOVENNYH NA RAWNOM POLOVITELXNOM RASSTOQNII OT NEKOTOROJ FIKSIROWANNOJ TO^KI \TOJ PLOSKOSTI (CENTRA OKRUVNOSTI). pOD RADIUSOM OKRUVNOSTI PONIMAETSQ OTREZOK S KONCAMI NA L@BOJ TO^KE OKRUVNOSTI I W CENTRE OKRUVNOSTI, A TAKVE | RASSTOQNIE OT CENTRA OKRUVNOSTI DO L@BOJ TO^KI NA OKRUVNOSTI. oKRUVNOSTX NAZYWAETSQ OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA ILI MNOGOUGOLXNIKA, ESLI WSE EGO WER INY LEVAT NA \TOJ OKRUVNOSTI. sLEDSTWIE. tO^KA PERESE^ENIQ SEREDINNYH PERPENDIKULQROW K STORONAM TREUGOLXNIKA | CENTR OPISANNOJ OKOLO NEGO OKRUVNOSTI, POSKOLXKU SOGLASNO TEOREME O PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ K OTREZKU, PROHODQ]EJ ^EREZ EGO SEREDINU, WSE EE TO^KI RAWNOUDALENY OT KONCOW \TOGO OTREZKA.

dOKAZATELXSTWO

RIS

. 3.5

A

RIS

. 3.5 98

B

RIS

. 3.5

W


sTALO BYTX, TO^KA PERESE^ENIQ SEREDINNYH PERPENDIKULQROW K STORONAM TREUGOLXNIKA RAWNOUDALENA OT WSEH EGO WER IN. nA RIS. 3.5 A, B, W POKAZANO RASPOLOVENIE CENTRA OKRUVNOSTI, OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA W ZAWISIMOSTI OT TOGO, QWLQETSQ LI ON OSTROUGOLXNYM, PRQMOUGOLXNYM I TUPOUGOLXNYM. w UPOMQNUTOJ WY E KNIGE 1], A TAKVE I WO MNOGIH U^E BNIKAH GEOMETRII \TI FAKTY OBOSNOWANY. e]E W UPOMQNUTOJ KNIGE, A TAKVE W KNIGE a.w. pOGORELOWA "|LEMENTARNAQ GEOMETRIQ", m: "nAUKA", 1977 (SM. 2]) MOVNO NAJTI DOKAZATELXSTWA SLEDU@]IH WAVNYH TEOREM 2 I 3. w DANNYH DOKAZATELXSTWAH GOWORITSQ O NEKOTORYH MOMENTAH, KOTORYE MOVNO DOKAZATX, W UPOMQNUTYH KNIGAH \TI WSE MOMENTY OBOSNOWANY. tEOREMA 2. dWE MEDIANY PROIZWOLXNOGO TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI).

RIS. 3.6 B pUSTX W 4AB C AD I C F | DWE MEAF = F KAK TO^KI D I F | SEREDINY STORON B C I AB SOOTWETSTWENNO, TO MOVNO DOKAZATX, ^TO \TO WNUTRENNIE TO^KI OTREZKOW B C I AB . tAK KAK TO^KA A NE LEVIT NA PRQMOJ (B C ), TO LU^ AD PERESEKAET OTREZOK B C W EGO WNUTRENNEJ TO^KE D, A POTOMU TO^KI B I C RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD). dALEE, TAK KAK TO^KA F LEVIT MEVDU TO^KAMI A I B , TO TO^KA A NE LEVIT MEVDU TO^KAMI F I B , A POTOMU \TI TO^KI RASPOLOVENY NA ODNOM LU^E S NA^ALOM W TO^KE A I, STALO BYTX, ONI RASPOLOVENY W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD). sLEDOWATELXNO, TO^KI C I F LEVAT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD), A POTOMU OTREZOK C F PERESEKAET PRQMU@ (AD) W NEKOTOROJ WNUTRENNEJ TO^KE O 2 C F . aNALOGI^NYM OBRAZOM DOKAZYWAETSQ PERESE^ENIE OTREZKA AD I PRQMOJ (C F ). w SILU EDINSTWENNOSTI TO^KI PERESE^ENIQ PRQMYH (AD) I (C F ) TO^KA O | TO^KA PERESE^ENIQ OTREZKOW AD I C F . mOVNO TAKVE DOKAZATX, ^TO TO^KA O LEVIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI 4AB C . tO^NO TAKVE DOKAZYWAETSQ PERESE^ENIE KAVDOJ IZ MEDIAN AD I C F S TRETXEJ MEDIANOJ 4AB C . tEOREMA 2 DOKAZANA. tEOREMA 3. dWE BISSEKTRISY PROIZWOLXNOGO TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI). dOKAZATELXSTWO sM. RIS. 3.6 B. pUSTX W 4AB C AD I C F | BISSEKTRISY. w SILU OPREDEdOKAZATELXSTWO. DIANY, B D = DC , . 3.6 A. B . tAK 99

RIS. 3.6 A sM. RIS


LENIQ BISSEKTRISY TREUGOLXNIKA OTREZOK AD LEVIT NA LU^E AD (c NA^ALOM W TO^KE A), KOTORYJ QWLQETSQ BISSEKTRISOJ \B AC . sOGLASNO OPREDELENI@ LU^ AD PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI \B AC , A POTOMU SOGLASNO SFORMULIROWANNOMU UTWERVDENI@ LU^ AD PERESE^ET OTREZOK B C W NEKOTOROJ EGO WNUTRENNEJ TO^KE D. aNALOGI^NYM OBRAZOM LU^ C F (c NA^ALOM W TO^KE C ) PERESE^ET OTREZOK AB W NEKOTOROJ EGO WNUTRENNEJ TO^KE F . dALEE DOKAZATELXSTWO PROWODITSQ TO^NO TAK VE (BUKWALXNO DOSLOWNYM POWTORENIEM), ^TO I DOKAZATELXSTWO TEOREMY 2. tAKIM VE OBRAZOM DOKAZYWAETSQ PERESE^ENIE KAVDOJ IZ BISSEKTRIS AD I C D S TRETXEJ BISSEKTRISOJ 4AB C . mOVNO TAKVE, KAK I W TEOREME 2 DOKAZATX, ^TO TO^KA PERESE^ENIQ BISSEKTRIS TREUGOLXNIKA LEVIT W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI. tEOREMA 3 DOKAZANA. tEOREMA 4. mEDIANY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE, KOTORAQ DELIT KAVDU@ MEDIANU NA OTREZKI, DLINY KOTORYH OTNOSQTSQ KAK 2 : 1, S^ITAQ OT WER INY, IZ KOTOROJ ONA PROWEDENA.

RIS. 3.7 A dOKAZATELXSTWO RIS. 3.7 B sM. RIS. 3.7 A. rASSMOTRIM W 4AB C MEDIANY AD I C F . w SILU TEOREMY 2 ONI (KAK OTREZKI) PERESEKA@TSQ W NEKOTOROJ TO^KE O. sOEDINIM OTREZKOM TO^KI D I F . pOSKOLXKU AD I C F | MEDIANY, TO^KI D I F | SEREDINY STORON B C I AB , A POTOMU DF | SREDNQQ LINIQ 4AB C . w SILU TEOREMY 3 (SM. NIVE P. 3:7) DF k AC I jDF j : jAC j = 1 : 2. tAK KAK (DF ) k (AC ) I TO^KI C I F (A POTOMU I LU^I AC I DF ) NAHODQTSQ W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD), TO \ADF I \DAC | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE UGLY PRI (DF ) k (AC ) I SEKU]EJ (AD), A W SILU SWOJSTW PARALLELXNYH PRQMYH (SM. NIVE P. 3:5) \ADF = \DAC . aNALOGI^NYM OBRAZOM POKAZYWAETSQ, ^TO \DF C I \F C A | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE UGLY PRI (DF ) k (AC ) I SEKU]EJ (C F ), SLEDOWATELXNO, \DF C = \F C A. iTAK, 4F OD 4AOC (PO DWUM UGLAM). sLEDOWATELXNO, 2jADj jAOj jC Oj jAC j 2 jODj = jOF j = jF Dj = 1 ) jAOj = 3 . aNALOGI^NYM OBRAZOM, PROWODQ TRETX@ MEDIANU B E , MY DOKAVEM, ^TO ONA PERESE^ETSQ, NAPRIMER, S MEDIANOJ AD W TAKOJ TO^KE O0 , ^TO jAO0j = = 2jADj : 3. sLEDOWATELXNO, jAO0j = jAOj ) AO0 = AO, A POTOMU TO^KI O I O0 SOWPADA@T. iTAK, WSE TRI MEDIANY 4AB C : AD; B E ; C F PERESEKLISX
100


AO O TO^KE O (SM. RIS. 3.7 B) I jjODjj = jjC Ojj = jjB Ojj = 2 . OF OE 1 zAME^ANIE. mOVNO DOKAZATX, ^TO O | WNUTRENQQ TO^KA 4AB C . tEOREMA 4 POLNOSTX@ DOKAZANA. rASSMOTRIM NEKOE OBOB]ENIE TEOREMY 4 NA SLU^AJ TREUGOLXNOJ PIRAMIDY. pUSTX AB C D | TREUGOLXNAQ PIRAMIDA, A | EE WER INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (B C D), A0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (B C D); B | EE WER INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (AC D), B 0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (AC D); C | EE WER INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (AB D), C 0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (AB D); D | EE WER INA, PROTIWOLEVA]AQ GRANI (AB C ), D0 | TO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN GRANI (AB C ). bUDEM NAZYWATX OTREZKI AA0 , B B 0 , C C 0, DD0 MEDIATRISSAMI TREUGOLXNOJ PIRAMIDY AB C D. tEOREMA 40 . mEDIATRISSY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE, KOTORAQ DELIT KAVDU@ IZ NIH NA OTREZKI, DLINY KOTORYH OTNOSQTSQ KAK 3 : 1, S^ITAQ OT WER INY, IZ KOTOROJ ONI PROWEDENY.

sM. RIS. 3.8. w GRANI AG I DF , C 0 | TO^KA IH PERESE^ANIQ. w GRANI C G I DE , A0 | TO^KA IH PERESE^ENIQ. w PLOSKOSTI 4AGC BUDUT PROHODITX MEDIATRISSY AA0 I C C 0. pOSKOLXKU SOGLASNO TEOREME 4 AC 0 = 2AG=3, C A0 = 2C G=3, TO^KI C 0 I A0 QWLQ@TSQ WNUTRENNIMI TO^KAMI STORON SOOTWETSTWENNO AG I C G. sTALO BYTX, PO ANALOGII S RASSUVDENIQMI A DOKAZATELXSTWAH TEOREM 2 I 3 DOKAZYWAETSQ, ^TO MEDIATRISSY AA0 I C C 0 BUDUT PERESEKATXSQ W NEKOJ TO^KE O. rASSMATRIWAQ TREUGOLXNIKI 4C 0DA0 I 4F DE , POLU^AEM, ^TO ONI PODOBNY, POSKOLXKU IME@T OB]IJ UGOL \F DE I SOGLASNO TEOREME jC 0Gj = jA0Gj = 2 . sTALO BYTX, \A0 C 0G = \E F G, A POSKOLXKU \TI 4 jF Gj jE Gj 3
101

RIS. 3.8 dOKAZATELXSTWO (ADB ) PROWEDEM MEDIANY (C DB ) PROWEDEM MEDIANY


UGLY QWLQ@TSQ PRI 0 PRQMYH (C 0A0 ) I (E F ), POLU^AEM IH PARALLELXNOSTX jC 0A j = 2 . pOSKOLXKU W SILU SWOJSTW SREDNEJ LINII TRE(C 0 A0 k E F ) I jF E j 3 UGOLXNIKA AC k E F I E F = AC =2 SOGLASNO OTNO 0ENI@ TRANZITIWNOSTI 00 0A PARALLELXNOSTI PRQMYH C 0A0 k AC I jjC Ajj = jjC E jj jjF Ejj = 2 1 = 1 . AC F AC 3 2 3 sTALO BYTX, W SOOTWETSTWII S TEORIEJ PODOBIQ TREUGOLXNIKOW 4OC 0A0 0 0 00 4OC A I jjOC jj = jjOA jj = jjC Ajj = 1 . aNALOGI^NYM OBRAZOM, PROWODQ OC OA AC 3 TRETX@ MEDIATRISSU DD0 , MY DOKAVEM, ^TO ONA PERESE^ETSQ, NAPRIMER, S MEDIATRISSOJ AA0 W TAKOJ TO^KE O0 , ^TO jAO0j = 3jAA0j : 4. sLEDOWATELXNO, jAO0j = jAOj ) AO0 = AO, A POTOMU TO^KI O I O0 SOWPADA@T. aNALOGI^NAQ SITUACIQ BUDET I S ^ETWERTOJ MEDIATRISSOJ B B 0 . iTAK, WSE ^ETYRE MEDIATRISSY TETRA\DRA AB C D : AA0; B B 0 ; C C 0; DD0 PERESEKLISX W TO^KE O (SM. RIS. 3.8) I jAOj = jB Oj = jC Oj = jDOj = 3 . jOA0j jOB 0j jOC 0j jOD0j 1 tEOREMA 40 DOKAZANA. tEOREMA 5. bISSEKTRISY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE.

RIS. 3.9 A RIS. 3.9 B dOKAZATELXSTWO sM. RIS. 3.9 A. rASSMOTRIM W 4AB C BISSEKTRISY AD I C F . w SILU TEOREMY 3 ONI (KAK OTREZKI) PERESEKA@TSQ W NEKOTOROJ TO^KE O, \TA TO^KA NAHODITSQ WO WNUTRENNEJ OBLASTI TREUGOLXNIKA AB C , A POTOMU | WO WNUTRENNEJ OBLASTI KAVDOGO IZ EGO WNUTRENNIH UGLOW. w SILU TOGO, ^TO BISSEKTRISA UGLA | MNOVESTWO WSEH TO^EK, RAWNOUDALENNYH OT STORON UGLA, LU^I AD I C F | BISSEKTRISY \B AC I \B C A SOOTWETSTWENNO, TO (O; (AC )) = (O; (AB ))* 5 I (O; (AC )) = (O; (B C )). sLEDOWATELXNO, (O; (AB )) = (O; (B C )) I TAK KAK O | WNUTRENNQQ TO^KA \AB C , TO O LEVIT NA BISSEKTRISE B E \AB C (SM. RIS. 3.9 B). iTAK, WSE TRI BISSEKTRISY 4AB C AD, B E , C F PERESEKLISX W ODNOJ I TOJ VE TO^KE O. oTMETIM, ^TO ESLI BY MY RASSMATRIWALI, NAPRIMER, TO^KU O0 PERESE^ENIQ BISSEKTRIS
5 * (O ; (AB )) | RASSTOQNIE OT TO^KI O DO PRQMOJ (AB ), ONO PO OPREDELENI@ ESTX DLINA OTREZKA PERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZ TO^KI O NA PRQMU@ (AB ).

102


AD I B E , TO TAKVE DOKAZALI, ^TO ONA OKAZALASX BY NA BISSEKTRISE C F . w SILU EDINSTWENNOSTI BISSEKTRIS UGLOW I EDINSTWENOSTI TO^KI PERESE^ENIQ PRQMYH TO^KI O I O0 SOWPADUT. tEOREMA 5 POLNOSTX@ DOKAZANA. tO^KA PERESE^ENIQ BISSEKTRIS UGLOW TREUGOLXNIKA | CENTR WPISANNOJ W NEGO OKRUVNOSTI, POSKOLXKU SOGLASNO TEOREME O BISSEKTRISE UGLA KAK MNOVESTWE TO^EK, RAWNOUDALENNYH OT STORON UGLA, TO^KA PERE^E^ENIQ BISSEKTRIS UGLOW TREUGOLXNIKA I BUDET RAWNOUDALENA OT STORON TREUGOLXNIKA. pRI \TOM OKRUVNOSTX NAZYWAETSQ WPISANNOJ W TREUGOLXNIK ILI MNOGOUGOLXNIK, ESLI WSE EGO STORONY KASA@TSQ \TOJ OKRUVNOSTI (TO ESTX KAVDAQ IZ STORON IMEET S \TOJ OKRUVNOSTX@ EDINTWENNU@ OB]U@ TO^KU). pRI \TOM RADIUS OKRUVNOSTI, PROWEDENNYJ W TO^KU KASANIQ, PERPENDIKULQREN KASATELXNOJ, DLINA VE \TOGO RADIUSA | PERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZ CENTRA OKRUVNOSTI NA STORONY TREUGOLXNIKA, QWLQETSQ PO OPREDELENI@ RASSTOQNIEM OT CENTRA OKRUVNOSTI DO STORONY TREUGOLXNIKA, W DANNOM SLU^AE WSE TRI RASSTOQNIQ RAWNY).

RIS. 3.10 wYSOTY TREUGOLXNIKA (ILI SODERVA]IE IH PRQMYE) PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE.
tEOREMA
6.

A RIS. 3.11 B dOKAZATELXSTWO sM. RIS. 3.11 A. pROWEDEM W PLOSKOSTI (AB C ) ^EREZ TO^KU A PRQMU@ a k (B C ), ^EREZ TO^KU B PRQMU@ b k (AC ) I ^EREZ TO^KU C PRQMU@ c k (AB ). dOKAVEM, ^TO L@BYE DWE IZ \TIH PRQMYH PERESEKA@TSQ. rASSMOTRIM PRQMYE a I b. pRQMYE a I b NE SOWPADA@T, TAK KAK TO^KA B 62 a, NO B 2 b. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO b k a, TO W SILU TRANZITIWNOSTI SWOJSTWA PARALLELXNOSTI PRQMYH (AC ) k b; b k a; a k (B C ) ) (AC ) k (B C ), ^TO PROTIWORE^IT PERESE^ENI@ PRQMYH (AC ) I (B C ) W TO^KE C . iTAK, PRQMYE a I b PERESEKA@TSQ W TO^KE C 0. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO PRQMYE a I c PERESEKA@TSQ W TO^KE B 0 , I PRQMYE b I c PERESEKA@TSQ W TO^KE A0 .
. 3.11 103

RIS


w KNIGE 1] DOKAZANO, ^TO WSE TO^KI A0, B 0 , C 0 | RAZLI^NYE; TO^KA I PRQMAQ a (B 0 C 0) BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ); TO^KA B 0 I PRQMAQ b (A0 C 0) BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AC ); TO^KA C 0 I PRQMAQ c (A0 B 0 ) BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AB ), TO ESTX DEJSTWITELXNO IMEET MESTO TO, ^TO IZOBRAVENO NA RIS. 3.11 A I B. w ^ETYREHUGOLXNIKE C 0B C A C 0 B k AC; C 0A k B C , SLEDOWATELXNO, 0B C A | PARALLELOGRAMM, A POTOMU C 0A = B C . w ^ETYREHUGOLXNIKE C AB C B 0 B C k AB 0 ; AB k B 0 C , SLEDOWATELXNO, AB C B 0 | PARALLELOGRAMM, A POTOMU AB 0 = B C . iZ C 0A = B C I AB 0 = B C WYTEKAET C 0 A = AB 0 , TO ESTX TO^KA A | SEREDINA OTREZKA C 0B 0 . aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO C 0B = B A0 I A0C = C B 0 , TO ESTX TO^KA B | SEREDINA OTREZKA A0 C 0 I TO^KA C | SEREDINA OTREZKA A0 B 0 . sEREDINNYJ PERPENDIKULQR K OTREZKU B 0 C 0 BUDET PERPENDIKULQREN I K PARALLELXNOJ EMU PRQMOJ (B C ) (W SILU SWOJSTW PARALLELXNYH PRQMYH (SM. NIVE P. 3:5)), PO TOJ VE PRI^INE SEREDINNYJ PERPENDIKULQR K OTREZKU A0 B 0 BUDET PERPENDIKULQREN I K PARALLELXNOJ EMU PRQMOJ (AB ), cEREDINNYJ PERPENDIKULQR K OTREZKU A0 C 0 BUDET PERPENDIKULQREN I K PARALLELXNOJ EMU PRQMOJ (AC ). w SILU TEOREMY 1 SEREDINNYE PERPENDIKULQRY K STORONAM 4A0B 0 C 0 PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE O, KOTORAQ I BUDET TO^KOJ PERESE^ENIQ PRQMYH, SODERVA]IH WYSOTY 4AB C . tEOREMA 6 DOKAZANA. oPREDELENIE 5. tO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH, SODERVA]IH WYSOTY TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ ORTOCENTROM \TOGO TREUGOLXNIKA. nA RIS. 3.11 W, G, D PROILL@STRIROWANY SLU^AI RASPOLOVENIQ ORTOCENTRA TREUGOLXNIKA: W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI, KOGDA TREUGOLXNIK OSTROUGOLXNYJ, W WER INE PRQMOGO UGLA, KOGDA TREUGOLXNIK PRQMOUGOLXNYJ (W \TOM SLU^AE DWE EGO WYSOTY SOWPADA@T S EGO STORONAMI | KATETAMI), WO WNE NEJ OBLASTI, KOGDA TREUGOLXNIK TUPOUGOLXNYJ.
zAME^ANIE.

A0

RIS. 3.11 W RIS. 3.11 G RIS pODROBNYE OBOSNOWANIQ \TIH RASPOLOVENIJ SM. W KNIGE

. 3.11 1].

D

104


3:2. pROPORCIONALXNOSTX OTREZKOW W PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE. tEOREMA pIFAGORA

w DANNOM P. I W POSLEDU@]IH RASSUVDENIQH MY BUDET ISPOLXZOWATX WAVNOE PONQTIE DLINY OTREZKA. dLINOJ NENULEWOGO OTREZKA NAZYWAETSQ POSTAWLENNOE W SOOTWETSTWIE OTREZKU POLOVITELXNOE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM: 1) sU]ESTWUET OTREZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA 1 (TAKOJ OTREZOK E]E NAZYWA@T MAS TABNYM OTREZKOM ILI EDINICEJ IZMERENIQ OTREZKOW). 2) rAWNYE OTREZKI (OTREZKI KOTORYE MOGUT SOWPASTX PRI NALOVENII* 6) IME@T RAWNYE DLINY. 3) dLINA SUMMY** 7 RAWNA SUMME IH DLIN. 4) dLINA NULEWOGO OTREZKA S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@ (^ISLU 0). pRI \TOM NULEWYE OTREZKI S^ITA@TSQ RAWNYMI I SUMMA L@BOGO OTREZKA AB S NULEWYM OTREZKOM (SKAVEM, E E ) PO OPREDELENI@ RAWNA OTREZKU AB . w KURSAH WYS EJ GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO TAKOE OPREDELENIE DLINY OTREZKA KORREKTNO, TO ESTX MOVET BYTX PODOBNYM OBRAZOM WWEDENO. pRI \TOM TAKOJ PODHOD K WWEDENI@ DLINY OTREZKA NE QWLQETSQ EDINSTWENNYM, W RQDE KOLXNYH U^E BNIKOW NABL@DAETSQ INOJ PODHOD. oBOZNA^AETSQ DLINA OTREZKA AB : jAB j, jAB j def (A; B ) | OBOZNA^ENIE RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI A I B . = sOWER ENNO ANALOGI^NO WWODITSQ PONQTIE WELI^INY (MERY) UGLA. pRI \TOM RAWNYMI UGLAMI NAZYWA@TSQ UGLY, KOTORYE MOGUT BYTX SOWME]ENY (MOGUT SOWPASTX) PRI NALOVENII. pRI \TOM SOWPADUT STORONY UGLOW I IH WNUTRENNIE OBLASTI. sUMMOJ DWUH NENULEWYH UGLOW (IH STORONY | NESOWPADA@]IE LU^I) \C OA I \B OC NAZYWAETSQ UGOL \B OA (ON MOVET BYTX OBOZNA^EN I KAK \AOB ), O | WER INA UGLOW, TO^KI A, B I C LEVAT NA RAZLI^NYH STORONAH SOOTWETSTWU@]IH UGLOW, PRI^EM LU^ OC PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI UGLA \AOB . pRI \TOM OTREZOK UGOL \AOB S^ITAETSQ PO OPREDELENI@ BOLX E KAVDOGO IZ UGLOW \AOC I \C OB , A KAVDYJ IZ NIH W SWO@ O^EREDX S^ITA@TSQ MENX E UGLA \AOB .
6 * pRI PODOBNOM PODHODE K POSTROENI@ KURSA GEOMETRII "NALOVENIE" QWLQETSQ PERWI^NYM PONQTIEM, A OTNO ENIE RAWENSTWA | OPREDELQETSQ. 7 ** sUMMOJ DWUH NENULEWYH OTREZKOW AC I C B NAZYWAETSQ OTREZOK AB , GDE TO^KA C LEVIT MEVDU TO^KAMI A I B (NA PRQMOJ (AB )), PRI \TOM OTREZOK AB S^ITAETSQ PO OPREDELENI@ BOLX E KAVDOGO IZ OTREZKOW AC I C B , A KAVDYJ IZ NIH W SWO@ O^EREDX S^ITA@TSQ MENX E OTREZKA AB . sUMMOJ PROIZWOLXNYH OTREZKOW DE I F G S^ITAETSQ OTREZOK, RAWNYJ SUMME OTREZKOW AC I C B , GDE TO^KA C LEVIT MEVDU TO^KAMI A I B NA PRQMOJ AB I SOOTWETSTWENNO DE = AC , F G = C B .

105


eSLI \AOB + \B OA0 = \AOA0 , GDE \AOA0 | RAZWERNUTYJ UGOL (UGOL, OBRAZOWANNYJ WZAIMNO DOPOLNITELXNYMI LU^AMI, W KA^ESTWE WNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO UGLA BERETSQ ODNA IZ POLUPLOSKOSTEJ OTNOSITELXNO PRQMOJ, SODERVA]EJ UKAZANNYE LU^I), TO \AOB I \B OA0 NAZYWA@TSQ SMEVNYMI. uGLY \AOB I \B 0 OA0 , GDE PARY LU^EJ OA, OA0 I OB , OB 0 QWLQ@TSQ WZAIMNO DOPOLNITELXNYMI, NAZYWA@TSQ WERTIKALXNYMI. sUMMA PROIZWOLXNYH UGLOW \DE F I \GH J S^ITAETSQ RAWNOJ UGLU \AOB , GDE \DE F = \AOC , \GH J = \C OB , GDE LU^ OC PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI UGLA \AOC . mERA NULEWOGO UGLA (UGLA, OBRAZOWANNOGO SOWPADA@]IMI LU^AMI S OTSUTSTWU@]EJ WNUTRENNEJ OBLASTX@) S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@ (^ISLU 0). nULEWYE UGLY PO OPREDELENI@ S^ITA@TSQ RAWNYMI I SUMMA L@BOGO UGLA I NULEWOGO UGLA S^ITAETSQ RAWNOJ DANNOMU UGLU. kAVDYJ NENULEWOJ UGOL S^ITAETSQ PO OPREDELENI@ BOLX E NULEWOGO UGLA, A W SWO@ O^EREDX NULEWOJ UGOL S^ITAETSQ PO OPREDELENI@ MENX E NENULEWOGO UGLA. uGOL, RAWNYJ SWOEMU SMEVNOMU UGLU, NAZYWAETSQ PRQMYM, UGOL, BOLX E NULEWOGO UGLA, NO MENX E PRQMOGO UGLA NAZYWAETSQ OSTRYM, UGOL, BOLX E PRQMOGO UGLA, NO MENX E RAZWERNUTOGO UGLA NAZYWAETSQ TUPYM.

RIS. 3.12 A RIS. 3.12 B RIS. 3.12 W nA RIS. 3.12 A \AOB I \A0 OB | SMEVNYE, \AOB | OSTRYJ, \A0 OB | TUPOJ, NA RIS. 3.12 B \AOB I \A0 OB | PRQMYE UGLY, NA RIS. 3.12 W \1, \3 I \2, \4 | PARY WERTIKALXNYH UGLOW. nAIBOLEE RASPROSTRANENNYMI MERAMI UGLOW QWLQ@TSQ: GRADUSNAQ MERA, EDINICEJ IZMERENIQ W NEJ (UGOL W 1 ) QWLQETSQ 1=90 ^ASTX PRQMOGO UGLA I RADIANNAQ MERA UGLA, EDINICA IZMERENIQ W NEJ (UGOL W 1 RADIAN) | CENTRALXNYJ UGOL (ON OBRAZOWAN DWUMQ LU^AMI, SODERVA]IMI RADIUSY OKRUVNOSTI S WER INOJ W CENTRE OKRUVNOSTI) TAKOJ, ^TO DLINA DUGI OKRUVNOSTI, RASPOLOVENNOJ WNUTRI NEGO, RAWNA RADIUSU OKRUVNOSTI. w RAZDELE "tRIGONOMETRIQ" PRIWODQTSQ SOOTNO ENIQ, WYRAVA@ IE GRADUSNU@ I RADIANNU@ MERY UGLA MEVDU SOBOJ. oBOZNA^AETSQ WELI^INA UGLA \AOB : AOB . pUSTX IME@TSQ TRI POLOVITELXNYH ^ISLA a, b I c. gOWORQT, ^TO ^ISLO c ESTX SREDNEE PROPORCIONALXNOE MEVDU ^ISLAMI a I b, ESLI a :p = c : b. c sRAZU OTMETIM, ^TO RAWENSTWO a : c = c : b , c2 = a b , c = a b, TO ESTX c ESTX SREDNEE GEOMETRI^ESKOE DWUH ^ISEL a I b.

\

106


tEOREMA 1. eSLI IZ WER INY PRQMOGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA NA PRQMU@, SODERVA]U@ EGO GIPOTENUZU, PROWEDEN PERPENDIKULQR, TO OSNOWANIE \TOGO PERPENDIKULQRA QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ GIPOTENUZY. dOKAZATELXSTWO pOSKOLXKU OBA WNUTRENNIE UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA (POMIMO PRQMOGO UGLA) QWLQ@TSQ OSTRYMI, TO \TO OSNOWANIE PERPENDIKULQRA NAHODITSQ NA KAVDOM IZ LU^EJ S NA^ALOM KAK W ODNOM, TAK I W DRUGOM KONCE GIPOTENUZY. a \TO I OZNA^AET, ^TO ONO LEVIT MEVDU KONCAMI GIPOTENUZY, TO ESTX QWLQETSQ EE WNUTRENNEJ TO^KOJ. tEOREMA 1 DOKAZANA. oPREDELENIE 1. tREUGOLXNIK NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNYM, ESLI U NEGO ESTX WNUTRENNIJ PRQMOJ UGOL. sTORONA, PROTIWOLEVA]AQ PRQMOMU UGLU, NAZYWAETSQ GIPOTENUZOJ, A OSTALXNYE STORONY KATETAMI. tEOREMA 2. pUSTX a; b | DLINY KATETOW, c | DLINA GIPOTENUZY PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA, hc | DLINA WYSOTY, PROWENNOJ IZ WER INY PRQMOGO UGLA NA GIPOTENUZU, ca | DLINA PROEKCII KATETA DLINY a NA GIPOTENUZU, cb | DLINA PROEKCII KATETA DLINY b NA GIPOTENUZU. tOGDA hc = cb , h2 = c c , h = pc c ; (1) ab ab c c ca h ca = a c , a2 = c c , a = pc c ; (2) a a ca = bc , b2 = c c , b = pc c : b (3) b b bc w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 1 UTWERVDENIQ TEOREMY OZNA^A@T, ^TO: 1) DLINA WYSOTY, PROWEDENNOJ IZ WER INY PRQMOGO UGLA NA GIPOTENUZU, ESTX SREDNQQ PROPORCIONALXNAQ MEVDU DLINAMI OTREZKOW, NA KOTORYE OSNOWANIE \TOJ WYSOTY RAZBIWAET GIPOTENUZU (W FORMULIROWKE TEOREMY MY NAZWALI \TI OTREZKI PROEKCIQMI KATETOW NA GIPOTENUZU); 2) DLINA KAVDOGO KATETA ESTX SREDNQQ PROPORCIONALXNAQ MEVDU DLINOJ GIPOTENUZY I DLINOJ PROEKCII \TOGO KATETA NA GIPOTENUZU.

(

D 2 (AB

sM. RIS

. 3.12. pUSTX W TREUGOLXNIKE AB C \C | )), PO DOKAZANNOMU W TEOREME 1 TO^KA D | 107

RIS. 3.12 dOKAZATELXSTWO

PRQMOJ, C D ? AB OSNOWANIE PERPENDI

-


KULQRA, PROWEDENNOGO IZ WER INY PRQMOGO UGLA C NA GIPOTENUZU, QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA (GIPOTENUZY) AB . sLEDOWATELXNO, RASSMATRIWAQ PRQMOUGOLXNYE 4AC D I 4AC B , U KOTORYH SOOTWETSTWENNO \ADC I \AC B | PRQMYE, W SILU RAWENSTWA PRQMOMU UGLU SUMMY OSTRYH WNUTRENNIH UGLOW W PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE IMEEM : \AC D + \C AD = = \C B D + \C AD, OTKUDA \AC D = \C B D. sOWER ENNO ANALOGI^NO, RASSMATRIWAQ PRQMOUGOLXNYE 4B C D I 4AC B , DOKAVEM, ^TO \B C D = = \C AD. dALEE, DOKAZATELXSTWO TEOREMY MOVNO PROWODITX DWOQKIM OBRAZOM. rASSMATRIWAQ 4AC D I 4C B D, POLU^IM, ^TO ONI PODOBNY, KAK IME@]IE RAWNYE OSTRYE WNUTRENNIE UGLY, IZ RAWENSTWA OTNO ENIJ DLIN IH SHODSTWENNYH STORON WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA (1); ZATEM RASSMATRIWAQ 4AC D I 4AB C , POLU^IM, ^TO ONI PODOBNY, KAK IME@]IE OB]IJ OSTRYJ WNUTRENNIJ UGOL (\A), IZ RAWENSTWA OTNO ENIJ DLIN IH SHODSTWENNYH STORON WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA (3); NAKONEC, RASSMATRIWAQ 4B C D I 4B AC , POLU^IM, ^TO ONI PODOBNY, KAK IME@]IE OB]IJ OSTRJ WNUTRENNIJ UGOL (\B ), TAKVE IZ RAWENSTWA OTNO ENIJ DLIN IH SHODSTWENNYH STORON WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA (2). wTOROJ SPOSOB. pO DOKAZANNOMU AC D = C B D = ; B C D = C AD = , OTKUDA (SM. RIS. 3.12) IZ PRQMOUGOLXNYH 4B C D I 4AC D hc = cb ) (1) ; tg = ca hc IZ PRQMOUGOLXNYH 4AC D I 4AB C : cos = cbb = b ) (3) ; c IZ PRQMOUGOLXNYH 4B C D I 4AB C : cos = caa = a ) (2). c tEOREMA 2 POLNOSTX@ DOKAZANA. sLEDSTWIE. oTNO ENIE KWADRATOW DLIN KATETOW RAWNO OTNO ENI@ DLIN IH PROEKCIJ NA GIPOTENUZU. |TO UTWERVDENIE SLEDUET IZ (2) I (3) SL2EDU@]IM OBRAZOM: a2 = c ca ; b2 = c cb ) a2 = c ca = ca . b c cb cb tEOREMA 3 (pIFAGORA). w L@BOM PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE KWADRAT DLINY GIPOTENUZY RAWEN SUMME KWADRATOW DLIN EGO KATETOW, TO ESTX, ESLI a I b | DLINY EGO KATETOW, A c | DLINA EGO GIPOTENUZY, TO

\\ \\

wOSPOLXZOWAW ISX REZULXTATOM PREDYDU]EJ TEOREMY, PO^LENNO SKLADYWAQ RAWENSTWA a2 = c ca ; b2 = c cb, POLU^IM S U^ETOM TOGO, ^TO ca +cb = c, a2 + b2 = c (ca + cb ) = c c = c2. tEOREMA 3 DOKAZANA. sLEDSTWIE. iMEET MESTO RAWENSTWO sin2 + cos2 = 1, GDE | WELI^INA OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA (OSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO).
108

c2 = a2 + b2

.

dOKAZATELXSTWO


a2 + b2 = c2 = 1. c2 c2 tEOREMA 4 (OBRATNAQ TEOREMA pIFAGORA). eSLI W TREUGOLXNIKE SUMMA KWADRATOW DLIN DWUH STORON RAWNA KWADRATU DLINY TRETXEJ STORONY, TO TREUGOLXNIK | PRQMOUGOLXNYJ.
sin2 + cos2 = 2+ 2= cc

iZ OPREDELENIJ SINUSA (sin def a=c) I KOSINUSA (cos def b=c) (SM. RIS. = = 3.12) WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA WYTEKAET, ^TO
a2 b2

pUSTX W 4AB C jAB j2 = jAC j2 + jB C j2, DOKAVEM, ^TO \C | PRQMOJ. dLQ \TOGO RASSMOTRIM 4A0B 0 C 0 , U KOTOROGO A0C 0 = AC; B 0 C 0 = B C I \C 0 | PRQMOJ. tAKOJ TREUGOLXNIK MOVNO POSTROITX, WYBIRAQ NA NEKOTOROJ PRQMOJ TO^KU C 0, OTKLADYWAQ NA KAKOM-NIBUDX EE LU^E S NA^ALOM W TO^KE C 0 OTREZOK C 0 A0 = C A, ZATEM PROWODIM LU^, PERPENDIKULQRNYJ PRQMOJ (C 0 A0), NA \TOM LU^E S NA^ALOM W TO^KE C 0 OTKLADYWAEM OTREZOK C 0B 0 = C B , SOEDINQEM OTREZKOM TO^KI A0 I B 0 . 4A0B 0 C 0 | PRQMOUGOLXNYJ S PRQMYM UGLOM \C 0, W SILU TEOREMY pIFAGORA jA0B 0 j2 = jA0C 0j2 + jB 0 C 0j2 = = jAC j2 + jB C j2 = jAB j2 , jA0 B 0 j = jAB j. pOLU^ILI, ^TO 4AB C = = 4A0 B 0 C 0 (PO TREM STORONAM), SLEDOWATELXNO, \C = \C 0 , A POTOMU \C | PRQMOJ I 4AB C | PRQMOUGOLXNYJ. tEOREMA 4 DOKAZANA. zAME^ANIE. uTWERVDENIE OBRATNOJ TEOREMY pIFAGORA MOVNO POLU^ITX I IZ TEOREMY KOSINUSOW (SM. NIVE, P. 3:4).
3:3. sWOJSTWO OTREZKOW, NA KOTORYE BISSEKTRISA TREUGOLXNIKA DELIT PROTIWOPOLOVNU@ STORONU

dOKAZATELXSTWO

oPREDELENIQ TREUGOLXNIKA I BISSEKTRISY TREUGOLXNIKA SM. STWENNO W P. 3:1. tEOREMA 1. eSLI W TREUGOLXNIKE AB C PROWEDENA BISSEKTRISA AD, TO ONA DELIT PROTIWOLEVA]U@ WER INE A STORONU B C NA B D I DC , PROPORCIONALXNYE PRILEVA]IM WER INE A STORONAM AB AC I AC , TO ESTX jjB Djj = jjC Djj , jjAB jj = jjB Djj ; D 2 B C . AC CD

SOOTWET

-

UGLA A, OTREZKI AB

RIS

. 3.13

A

RIS

. 3.13

B

RIS

. 3.13

W

109


sM. RIS. 3.13 A. ~EREZ TO^KU C PROWEDEM PRQMU@ (C E ) k (AD), E TO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH (C E ) I (B A). tAKAQ TO^KA E SU]ESTWUET W SILU PARALLELXNOSTI (AD) I (C E ), TOGO ^TO A (AD) \ (B E ) I SLEDSTWIQ IZ AKSIOMY PARALLELXNOSTI PRQMYH (SM. P. 3:5). tAK KAK AD | BISSEKTRISA UGLA A (STALO BYTX, LU^, PROHODQ]IJ WNUTRI UGLA A), D (AD) \ (B C ), STALO BYTX, TO^KA D LEVIT MEVDU TO^KAMI B I C . sLEDOWATELXNO, TO^KA A LEVIT MEVDU TO^KAMI B I E . 4B AD 4B E C , POTOMU jB Dj : jDC j = jB Aj : jAE j. w SILU SWOJSTW PARALLELXNOSTI PRQMYH WYTEKAET, ^TO \AC E = \C AD KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (C E ) k (AD) I SEKU]EJ (AC ), \B AD = \B E C KAK SOOTWETSTWENNYE PRI (C E ) k (AD) I SEKU]EJ (B E ). pO USLOWI@ \B AD = \C AD, SLEDOWATELXNO W SILU SWOJSTWA TRANZITIWNOSTI OTNO ENIQ RAWENSTWA UGLOW \AC E = \AE C , A POTOMU W SILU PRIZNAKA RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA 4C AE | RAWNOBEDRENNYJ, U KOTOROGO AC = AE , OTKUDA jAC j = jAE j. sLEDOWATELXNO, W SILU RAWENSTWA jB Dj : jDC j = jB Aj : jAE j POLU^AEM RAAB AB AC WENSTWA jjAC jj = jjB Djj , jjB Djj = jjC Djj . CD tEOREMA 1 DOKAZANA. sPRAWEDLIWA I TEOREMA, OBRATNAQ TEOREME 1. tEOREMA 10. eSLI W PLOSKOM TREUGOLXNIKE AB C PROWEDEN OTREZOK AD TAKOJ, ^TO D 2 B C , (D | WNUTRENNQQ TO^KA STORONY B C I WYPOLNQETAB SQ SOOTNO ENIE jjAC jj = jjB Djj , TO AD | BISSEKTRISA TREUGOLXNIKA AB C , CD PROWEDENNAQ IZ EGO WER INY B . dOKAZATELXSTWO sHEMA RASSUVDENIJ ANALOGI^NA, NAPRIMER, OBOSNOWANI@ PROHOVDENIQ MEDIANY TREUGOLXNIKA ^EREZ TO^KU PERESE^ENIQ DWUH DRUGIH EGO MEDIAN. pROWODQ IZ WER INY A BISSEKTRISU TREUGOLXNIKA AD0 , POLU^IM, ^TO D0 | WNUTRENNQQ TO^KA STORONY B C I PO DOKAZANNOMU W TEOREME 1 IMEEM jAB j = jB D0 j . sOPOSTAWLQQ \TO S RAWENSTWOM jAB j = jB Dj , NETRUDNO jAC j jC D0 j jAC j jC Dj POLU^ITX, ^TO jB Dj = jB D0 j, STALO BYTX, B D = B D0 , A POTOMU D0 D. sLEDOWATELXNO, AD | BISSEKTRISA 4AB C , PROWEDENNAQ IZ EGO WER INY B . tEOREMA 10 DOKAZANA. mOVNO DOKAZATX TEOREMU, WYRAVA@]U@ ANALOGI^NOE SWOJSTWO BISSEKTRISY WNE NEGO UGLA TREUGOLXNIKA. tEOREMA 2. eSLI W TREUGOLXNIKE AB C STORONY AB I AC NE RAWNY, TO BISSEKTRISA AD EGO WNE NEGO UGLA A PERESEKAET PRQMU@ (B C ) W TO^KE D, QWLQ@]EJSQ WNE NEJ TO^KOJ OTREZKA B C TAKOJ, ^TO RASSTOQNIQ OT TO^KI D DO TO^EK A I C PROPORCIONALXNY DLINAM STORON AB I AC , TO ESTX
110

dOKAZATELXSTWO


jB Dj = jC Dj , jAB j = jB Dj . jAB j jAC j jAC j jC Dj eSLI VE AB = AC , TO BISSEKTRISA WNE NEGO UGLA A PARALLELXNA B C . dOKAZATELXSTWO MOVNO NAJTI W KNIGE 1], E]E W U^E BNIKE GEOMETRII a.p. kISELEWA I DR. ISTO^NIKAH. sM. ILL@STRACI@ \TOJ TEOREMY NA RIS. 3.13 B I W. nA RIS. 3.13 B PROILL@STRIROWAN SLU^AJ, KOGDA STORONA AC MENX E STORONY AB . pRIWEDEM (S WYWODOM) DWE FORMULY, WYRAVA@]IE DLINU BISSEKTRISY UGLA TREUGOLXNIKA, ODNU IZ NIH SEJ^AS, DRUGU@ W SLEDU@]EM PUNKTE.

RIS. 3.13 G sM. RIS. 3.13 G. b = jAC j; a = jB C j; lc = jC Dj; AC D = B C D = = =2. sOGLASNO FORMULE WY^ISLENIQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA PO IZWESTNYM DLINAM EGO STORON I WELI^INE UGLA MEVDU NIMI, PRIMENQQ FORMULU SINUSA DWOJNOGO ARGUMENTA, POLU^IM: S4AC B = S4AC D + S4BC D , ab sin = blc sin =2 + alc sin =2 , 2 2 2 WYWODE \TOJ FORMULY DLQ DLINY BISSEKTRISY TREUGOLXNIKA BYLO ISPOLXZOWANO TRETXE USLOWIE, FIGURIRU@]EE W OPREDELENII PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY (ONA PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO WSEH TO^EK EE GRANICY, OB_EDINENNOE SO WSEMI EE WNUTRENNIMI TO^KAMI), KOTOROE IMEET WID. pLO]ADX@ PLOSKOJ FIGURY NAZYWAETSQ POSTAWLENNOE EJ W SOOTWETSTWIE POLOVITELXNOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO, OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) SU]ESTWUET PLOSKAQ FIGURA PLO]ADI, RAWNOJ 1 (EDINICA IZMERENIQ), TAKOJ FIGUROJ QWLQETSQ KWADRAT, IME@]IJ RAWNU@ 1 (EDINICE IZMERENIQ DLIN) DLINU STORONY; 2) RAWNYE PLOSKIE FIGURY IME@T RAWNYE PLO]ADI; 3) ESLI PLOSKAQ FIGURA RAZBIWAETSQ NA ^ASTI (PLOSKIE FIGURY), NIKAKIE DWE IZ KOTORYH NE IME@T OB]IH WNUTRENNIH TO^EK, TO PLO]ADX \TOJ PLOSKOJ FIGURY RAWNA SUMME PLO]ADEJ EE ^ASTEJ.
111

\\
=

, ab

cos = 2 2 zAME^ANIE. pRI

sin

(a + b)lc sin 2

=2 , f

sin

2

> 0g , lc

2ab cos . (a + b) 2


3:4. tEOREMY KOSINUSOW I SINUSOW DLQ TREUGOLXNIKA. pRIMENENIQ TEOREMY KOSINUSOW.

pRI \TOM PLO]ADX FIGURY, SOSTOQ]EJ IZ KONE^NOGO KOLI^ESTWA TO^EK OTREZKOW, DUG, LINIJ I T.P., PO OPREDELENI@ S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@.

,

oPREDELENIQ TREUGOLXNIKA I KOSINUSA WELI^INY UGLA W TREUGOLXNIKE SM. SOOTWETSTWENNO W PREDYDU]IH PUNKTAH I RAZDELE "tRIGONOMETRIQ". tEOREMA 1 (KOSINUSOW). w PROIZWOLXNOM TREUGOLXNIKE KWADRAT DLINY STORONY RAWEN SUMME KWADRATOW DLIN DWUH DRUGIH STORON MINUS UDWOENNOE PROIZWEDENIE DLIN \TIH STORON NA KOSINUS WELI^INY UGLA MEVDU NIMI. GDE | WELI^INA UGLA, PROTIWOLEVA]EGO STORONE S DLINOJ c, a I b DLINY DRUGIH STORON TREUGOLXNIKA.
c2 = a2 + b2
2ab cos , |

RIS

. 3.14

A

pUSTX W 4AB C = AC PQTX SLU^AEW. oTMETIM, ^TO NA RIS. 3.14 A, B, W, G, D OBOZNA^ENIQ a; b; c; a0 ; b0 ; c0 ; h OZNA^A@T DLINY SOOTWETSTWU@]IH OTREZKOW. sM. RIS. 3.14 A. \C I \B | OSTRYE, TOGDA OSNOWANIE WYSOTY AD 4AB C , PROWEDENNOJ IZ WER INY A NA PRQMU@ (C B ), LEVIT NA STORONE C B . |TO DOKAZYWAETSQ TO^NO TAKVE, KAK I TEOREMA 1 W P. 3:2. iZ PRQMOUGOLXNOGO 4ADB PO TEOREME pIFAGORA h2 = c2 (c0 )2 , A TAK KAK TO^KA D LEVIT MEVDU TO^KAMI B I C , TO c0 = a b0 . s DRUGOJ STORONY, IZ PRQMOUGOLXNOGO 4AC D PO TEOREME pIFAGORA h2 = b2 (b0 )2 I PO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA b0 = b cos . sLEDOWATELXNO, c2 (a b0 )2 = b2 (b0 )2 , c2 a2 + 2ab0 (b0)2 = b2 (b0 )2 , , c2 = a2 + b2 2ab0 = a2 + b2 2ab cos . sM. RIS. 3.14 B. \C | OSTRYJ, \B | TUPOJ, TOGDA SMEVNYJ S NIM \AB D | OSTRYJ. w SILU TEOREMY 1 P. 3:2 OSNOWANIE D WYSOTY AD 4AB C I 4AB D, PROWEDENNOJ IZ WER INY A NA PRQMU@ (C B ), LEVIT NA LU^E B D, DOPOLNITELXNOM LU^U B C . sLEDOWATELXNO, TO^KA B LEVIT MEVDU TO^KAMI C I D. iZ PRQMOUGOLXNOGO 4AC D PO TEOREME pIFAGORA h2 = = b2 (b0)2 , A TAK KAK TO^KA B LEVIT MEVDU TO^KAMI C I D, TO c0 = b0 a. pO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA b0 = b cos . s DRUGOJ STORONY, IZ PRQMOUGOLXNOGO 4AB D PO TEOREME pIFAGORA h2 = c2 (c0 )2 .
112

\

RIS. 3.14 B dOKAZATELXSTWO B . rASSMOTRIM

RIS

. 3.14

W


sLEDOWATELXNO, b2 (b0 )2 = c2 (c0 )2 , c2 = (c0 )2 + b2 (b0)2 , , c2 = (b0 a)2 + b2 (b0 )2 = (b0)2 + a2 2ab0 + b2 (b0 )2 , , c2 = a2 + b2 2ab cos . sM. NIVE RIS. 3.14 G. \C | OSTRYJ, \B | PRQMOJ, TOGDA PO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA I TEOREME pIFAGORA a = b cos I c2 = b2 a2 = b2 + a2 2a2 = a2 + b2 2ab cos . sM. WY E RIS. 3.14 W. \C | TUPOJ, TOGDA SMEVNYJ S NIM \B C D | OSTRYJ I \A | OSTRYJ. w SILU TEOREMY 1 P. 3:2 OSNOWANIE D WYSOTY B D 4AB C I 4C B D, PROWEDENNOJ IZ WER INY B NA PRQMU@ (AC ), LEVIT NA LU^E C D, DOPOLNITELXNOM LU^U C A. sLEDOWATELXNO, TO^KA C LEVIT MEVDU TO^KAMI A I D. iZ PRQMOUGOLXNOGO 4C B D PO TEOREME pIFAGORA h2 = = a2 (a0 )2 , A TAK KAK TO^KA C LEVIT MEVDU TO^KAMI A I D, TO c0 = = a0 + b. pO OPREDELENI@ KOSINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA I SOOTNO ENI@ MEVDU KOSINUSAMI WELI^IN SMEVNYH UGLOW a0 = a cos(180 )= = a cos = a cos . s DRUGOJ STORONY, IZ PRQMOUGOLXNOGO 4AB D PO TEOREME pIFAGORA h2 = c2 (c0)2 . sLEDOWATELXNO, a2 (a0)2 = c2 (c0 )2 , , c2 = (c0 )2 + a2 (a0)2 , c2 = (a0 + b)2 + a2 (a0 )2 = = (a0 )2 + 2a0 b + b2 + a2 (a0)2 , c2 = a2 + b2 2ab cos . sM. RIS. 3.14 D. \C | PRQMOJ, PO TEOREME pIFAGORA c2 = a2 + b2. tAK b KAK cos = 0 ( = C = 90 ), TO RAWENSTWO c2 = a2 + b2 2ab cos BUDET SPRAWEDLIWO I W \TOM SLU^AE. tEOREMA KOSINUSOW POLNOSTX@ DOKAZANA. sLEDSTWIE 1. s POMO]X@ TEOREMY KOSINUSOW MOVNO DOKAZATX SWOJSTWO 6 PARALLELOGRAMMA (SM. NIVE P. 3:6) sUMMA KWADRATOW DLIN DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA RAWNA SUMME KWADRATOW DLIN EGO STORON.

RIS

. 3.14

G

sM. RIS. 3.14 E. w SILU SWOJSTW PARALLELOGRAMMA (SM. TEOREMU 4 P. 3:7) b + B = 180 , jADj = jB C j; jAB j = jC Dj. pO TEOREME KOSINUSOW DLQ Ab TREUGOLXNIKOW AB C I AB D b jAC j2 = jAB j2 + jB C j2 2jAB j jB C j cos(B ); b jB Dj2 = jAB j2 + jADj2 2jAB j jADj cos(A): sKLADYWAQ PO^LENNO \TI RAWENSTWA, S U^ETOM jADj = jB C j; jAB j = jC Dj I b b cos(B ) = cos(A) POLU^IM: jAC j2 + jB Dj2 = jAB j2 + jAB j2 + jB C j2 + jADj2 = 2 + jC Dj2 + jB C j2 + jADj2 . sLEDSTWIE 1 DOKAZANO. = jAB j sLEDSTWIE 2. iMEET MESTO FORMULA DLQ WY^ISLENIQ DLINY MEDIANY
113

RIS. 3.14 D dOKAZATELXSTWO

RIS.

3.14

E


TREUGOLXNIKA, WYRAVENNOJ ^EREZ DLINY EGO STORON (SM. RIS. 3.14 Z NA PRIMERE WY^ISLENIE DLINY MEDIANY TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ K EGO STORONE p2 2 2 DLINY b) mb = 2a +22c b : |TO RAWENSTWO POLU^AETSQ, ESLI DOSTROITX TREUGOLXNIK NA UKAZANNOM RIS. DO PARALLELOGRAMMA, DIAGONALQMI KOTOROGO BUDUT STORONA AC S DLINOJ b I UDWOENNAQ MEDIANA \TOGO TREUGOLXNIKA, DLINA KOTOROJ BUDET 2mb , IZ RAWENSTWA (2mb )2 + b2 = 2a2 + 2c2.

RIS. 3.14 V RIS. 3.14 Z nA OSNOWE TEOREMY KOSINUSOW DOKAVEM FORMULU, WYRAVA@]U@ DLINU BISSEKTRISY UGLA W TREUGOLXNIKE ^EREZ DLINY EGO STORON (SM. RIS. 3.14 V). nA \TOM RIS a; c; ba ; bc ; b = ba + bc | DLINY SOOTWETSTWU@]IH STORON 4AB C; 4AB B1 I 4C B B1 , lb | DLINA MEDIANY 4AB C , PROWEDENNOJ IZ 2 WER INY B : lb = ac ba bc. dOKAZATELXSTWO. iZ TEOREMY KOSINUSOW DLQ 4AB B1 I 4C B B1 SLEDUET I ZATEM WY^ITAQ IZ PERWOGO 2 c lb (c a). u^ITYWAQ, ^TO W SILU SWOJSTWA BISSEKTRISY UGLA TREUGOLXNIKA (SM. P. 3:3) bc a = ba c, 2 OTKUDA lb (a c) = (ac ba bc)(a c). eSLI a = c, TO, DELQ POSLEDNEE RAWENSTWO 6 2 NA a c, IMEEM lb = ac ba bc, ESLI VE a = c, TO ba = bc = b=2, I POTOMU 2 lb = a2 b2=4 = ac babc , ^TO I TRE BOWALOSX DOKAZATX. iZ POLU^ENNOGO SOOTNO ENIQ, PRIMENENNOGO K DLINE BISSEKTRISY la TREUGOLXNIKA AB C (SM. RIS. 3.14 Z), POLU^AEM S U^ETOM WYRAVENIJ DLQ DLIN OTREZKOW jB E j = ca = b ac c I jE C j = cb = b ab c SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ +# " p+ a 2 ILI l = bc(b + c a)(b + c + a) . 2 la : la = bc 1 b + c a b+c pRIMENQQ TEOREMU KOSINUSOW, MOVNO WYWESTI FORMULU gERONA WYRAVENIQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA ^EREZ DLINY EGO STORON. pRI \TOM MY, U^ITYWAQ, ^TO | WELI^INA UGLA TREUGOLXNIKA, STALO BYTX, 0 < < 180 , A POTOMU sin > 0, ISPOLXZUEM SOOTNO ENIE, WYTEKA@]EE IZ OSNOWNOGO p TRIGONOMETRI^ESKOGO TOVDESTWA sin = + 1 cos2 . sM. RIS. 3.14 Z.
114

2 b2 = c2 + lb 2lb c cos c 2 = a2 + l2 2lb a cos ba uMNOVAQ PERWOE RAWENSTWO NA a, WbTOROE NA b RAWENSTWA WTOROE, POLU^AEM b2 a b2 c = ac2 a2 c a

; :


= =

p2 (a (b pOPUTNO PROWEDENNOJ IZ EGO WER INY B K EGO PROTIWOLEVA]EJ STORONE DLINY b p c)( 2S4ABC hb = b , OTKUDA hb = (a + c b)(a + b 2b b + c a)(a + b + c) . wWEDEM OBOZNA^ENIQ: P = a + b + c | PERIMETR TREUGOLXNIKA (SUMMA b DLIN EGO STORON), p = a + 2 + c | POLUPERIMETR TREUGOLXNIKA, TOGDA a + b c = a + b + c 2c = 2p 2c = 2(p c), ANALOGI^NO a + c b = = 2(p b), b + c a = 2(p a), a + b + c = 2p. pODSTAWLQQ IH W POLU^ENNU@ WY E FORMULU DLQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA AB C , POLU^AEM FORMULU gERONA PLO]ADI TREUGOLXNIKA, WYRAVENNU@ ^EREZ DLINY EGO STORON p S4 AB C = p(p a)(p b)(p c), GDE p | POLUPERIMETR \TOGO TREUGOLXNIKA. pRI \TOM SLEDUET OTMETITX, ^TO W SILU NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA a + b > c; a + c > b; b + c > a, OTKUDA p a > 0; p b > 0; p c > 0. zAME^ANIE. wY E, W P. 3:2 OTME^ALOSX, ^TO SPRAWEDLIWOSTX OBRATNOJ TEOREMY pIFAGORA MOVNO POLU^ITX I IZ TEOREMY KOSINUSOW. |TO POLU^AETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: ESLI a, b, c | DLINY STORON TREUGOLXNIKA, I | WELI^INA UGLA MEVDU STORONAMI DLIN a, b (ILI UGLA, PROTIWOLEVA]EGO STORONE S DLINOJ c), TO PO TEOREME KOSINUSOW DLQ \TOGO TREUGOLXNIKA c2 = a2 + b2 2ab cos I RAWENSTWA c2 = a2 + b2 POLU^AEM, ^TO TAK KAK a > 0 I b > 0 cos = 0. sLEDOWATELXNO, = 90 , A POTOMU UGOL MEVDU STORONAMI DLIN a, b | PRQMOJ, SLEDOWATELXNO TREUGOLXNIK | PRQMOUGOLXNYJ. tEOREMA 2 (SINUSOW). sTORONY TREUGOLXNIKA PROPORCIONALXNY SINUSAM WELI^IN PROTIWOLEVA]IH UGLOW, PRI^EM OTNO ENIE DLINY STORONY TREUGOLXNIKA K SINUSU WELI^INY PROTIWOLEVA]EGO EJ UGLA ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ, RAWNAQ DLINE DIAMETRA OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA OKRUVNOSTI, TO ESTX ESLI a; b; c | DLINY STORON TREUGOLXNIKA, ; ; | WELI^INY PROTIWOLEVA]IH IM UGLOW, TO a = b = c = 2R, sin sin sin GDE R | RADIUS (DLINA RADIUSA) OPISANNOJ OKOLO TREUGOLXNIKA OKRUVNOSTI.
115

S4ABC = bc sin = bc p 22 2 2 2 22 4b c (b + c a)

(b2 + c2 a2 )2=4b2c2 = 2 2 p (2bc b2 c2 + a2)(2bc + b2 + c2 a2 ) = = 4 4 2)((b + c)2 a2) p(a + c b)(a + b c)(b + c a)(a + b + c) c) = . 4 4 MY POLU^AEM WYRAVENIE DLQ DLINY WYSOTY TREUGOLXNIKA AB C , 1 =

p

cos2

p bc 1


dOKAZATELXSTWO

RIS. 3.15 A RIS. 3.15 B RIS. 3.15 W oPI EM OKRUVNOSTX OKOLO TREUGOLXNIKA AB C OKRUVNOSTX (O; R) (O | CENTR OKRUVNOSTI, R > 0 | EE RADIUS). tOGDA WSE WNUTRENNIE UGLY 4AB C STANOWQTSQ WPISANNYMI W \TU OKRUVNOSTX UGLAMI. nAPOMNIM, ^TO UGLOM, WPISANNYM W OKRUVNOSTX, NAZYWAETSQ UGOL, WERINA KOTOROGO LEVIT NA \TOJ OKRUVNOSTI, A EGO STORONY PERESEKA@T OKRUVNOSTX (STALO BYTX, IME@T S OKRUVNOSTX@ KROME WER INY E]E PO ODNOJ OB]EJ TO^KE). |TOT UGOL IZMERQETSQ POLOWINOJ DUGI OKRUVNOSTI, NA KOTORU@ ON OPIRAETSQ. |TO OZNA^AET, ^TO MERA WPISANNOGO UGLA (GRADUSNAQ, RADIANNAQ) RAWNA POLOWINE MERY (SOOTWETSTWENNO GRADUSNOJ, RADIANNOJ) DUGI, WNUTRENNIE TO^KI KOTOROJ LEVAT WO WNUTRENNEJ \TOGO OBLASTI UGLA, A KONCY \TOJ DUGI LEVAT NA STORONAH UGLA. rASSMOTRIM SLU^AI. \B AC | OSTRYJ (SM. RIS. 3.15 A), TOGDA DUGA ^ B mC , NA KOTORU@ OPIRAETSQ UGOL \B AC , MENX E POLUOKRUVNOSTI, SLEDOWATELXNO, CENTR O I WER INA A LEVAT W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ). pO\TOMU, ESLI PROWESTI DIAMETR B A1 , TO WSE EGO TO^KI (KROME TO^KI B ), W TOM ^ISLE I KONEC A1 OKAVUTSQ W TOJ VE POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ), ^TO I TO^KA A, STALO BYTX, TO^KI A I A1 BUDUT WNUTRENNIMI TO^KAMI ODNOJ DUGI ^ B nC , DOPOLNITELXNOJ PO OTNO ENI@ K DUGE ^ C mB . tAKIM OBRAZOM, \B AC I \B A1 C | WPISANNYE W OKRUVNOSTX UGLY, OPIRA@]IESQ NA ODNU DUGU ^ B mC , A POTOMU \B AC = \B A1 C , OTKUDA B A1 C = B AC = . w TREUGOLXNIKE B A1 C \A1 C B PRQMOJ, TAK KAK OPIRAETSQ NA DIAMETR B A1 . sOGLASNO OPREDELENI@ SINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA a = jB C j = jB A1 j sin = 2R sin . \B AC | TUPOJ (SM. RIS. 3.15 B), TOGDA DUGA ^ B mC , NA KOTORU@ OPIRAETSQ UGOL \B AC , BOLX E POLUOKRUVNOSTI, SLEDOWATELXNO, CENTR O I WER INA A LEVAT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ). pO\TOMU, ESLI PROWESTI DIAMETR B A1 , TO WSE EGO TO^KI (KROME TO^KI B ), W TOM ^ISLE I KONEC A1 OKAVUTSQ W TOJ VE POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ), ^TO I CENTR O, STALO BYTX, TO^KI A I A1 BUDUT WNUTRENNIMI TO^KAMI WZAIMNO DOPOLNITELXNYH DUG ^ C mB I ^ C nB . tAKIM OBRAZOM, \B AC I \B A1 C | WPISANNYE W OKRUVNOSTX UGLY, OPIRA@]IESQ NA WZA-

\\

116


IMNO DOPOLNITELXNYE DUGI ^ B mC I ^ B nC , A POTOMU ESLI B AC = , TO B A1 C = 180 . w TREUGOLXNIKE B A1 C \A1 C B PRQMOJ, TAK KAK OPIRAETSQ NA DIAMETR B A1 . sOGLASNO OPREDELENI@ SINUSA WELI^INY OSTROGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA I RAWENSTWU sin(180 ) = sin a = jB C j = jB A1 j sin(180 ) = 2R sin . eSLI \B AC | PRQMOJ (SM. RIS. 3.15 W), TO B C | DIAMETR OPISANNOJ OKRUVNOSTI, B AC = = 90 . tAK KAK jB C j = a = 2R I sin 90 = 1 TO RAWENSTWO a = jB C j = 2R sin WERNO I W \TOM SLU^AE. rAWENSTWA b = jAC j = 2R sin ; c = jAB j = 2R sin DOKAZYWA@TSQ ANALOGI^NO. tEOREMA SINUSOW DOKAZANA. zAME^ANIE. nA OSNOWE TEOREMY SINUSOW MOVNO DOKAZATX, ^TO W TREUGOLXNIKE PROTIW BOLX EJ (MENX EJ) STORONY LEVIT BOLX IJ (MENX IJ) UGOL, OTKUDA, W ^ASTNOSTI, WYTEKAET, ^TO W PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE GIPOTENUZA | NAIBOLX AQ STORONA, A W TUPOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE NAIBOLX AQ STORONA LEVIT PROTIW TUPOGO UGLA. oB \TOM SM. W U^E BNIKE a.w. pOGORELOWA "gEOMETRIQ", x12, P. 111 I RAZOBRANNU@ W TEKSTE U^E BNIKA (W \TOM VE x) ZADA^U 17. oDNAKO \TI SOOTNO ENIQ MEVDU STORONAMI I UGLAMI TREUGOLXNIKA MOGUT BYTX DOKAZANY I BEZ TEROREMY SINUSOW, O ^EM MOVNO PRO^ITATX, NAPRIMER, W U^E BNIKE GEOMETRII a.p. kISELEWA. ~ITATELQM PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO SFORMULIROWATX I DOKAZATX TEOREMU, OBRATNU@ TEOREME SINUSOW.

\

\

\

iZ AKSIOMY O TOM, ^TO ^EREZ DWE RAZLI^NYE TO^KI MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PRQMU@, WYTEKAET, ^TO DWE RAZLI^NYE PRQMYE NA PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE IME@T NE BOLEE ODNOJ OB]EJ TO^KI. oPREDELENIE 1. dWE PRQMYE, IME@]IE EDINSTWENNU@ OB]U@ TO^KU, NAZYWA@TSQ PERESEKA@]IMISQ, UKAZANNAQ TO^KA NAZYWAETSQ IH TO^KOJ PERESE^ENIQ. oBOZNA^A@TSQ a \ b ILI a \ b M (M | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH a I b). iZ AKSIOMY O TOM, ^TO ^EREZ TRI TO^KI, NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX WYTEKAET, ^TO ^EREZ PRQMU@ I NE LEVA]U@ NA NEJ TO^KU, TAK VE KAK I ^EREZ DWE PERESEKA@]IESQ PRQMYE PROHODIT ODNA I TOLXKO ODNA (EDINSTWENNAQ) PLOSKOSTX. oPREDELENIE 2. dWE PRQMYE NA PLOSKOSTI NAZYWA@TSQ PARALLELXNYMI, ESLI ONI NE IME@T OB]IH TO^EK (NE PERESEKA@TSQ) oBOZNA^A@TSQ a k b. iZ \TOGO OPREDELENIQ NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET, ^TO a k b , b k a. iZ OPREDELENIQ 2 I UTWERVDENIQ O RAZBIENII NA DWE POLUPLOSKOSTI PRQMOJ, LEVA]EJ NA PLOSKOSTI, WYTEKAET, ^TO KAVDAQ IZ DWUH RAZLI^NYH PA117

3:5.

tEOREMY O PARALLELXNYH PRQMYH NA PLOSKOSTI


RALLELXNYH PRQMYH CELIKOM RASPOLAGAETSQ W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO DRUGOJ PRQMOJ, POSKOLXKU W PROTIWNOM SLU^AE \TI PRQMYE PERESEKALISX BY.

RIS. 3.16 B RIS. 3.16 W TO^KU, NE LEVA]U@ NA DANNOJ PRQMOJ, NELXZQ PROWESTI NA PLOSKOSTI (PROHODQ]EJ ^EREZ UKAZANNYE TO^KU I PRQMU@) BOLEE ODNOJ PRQMOJ, PARALLELXNOJ DANNOJ. sLEDSTWIE. eSLI NEKOTORAQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ W PLOSKOSTI NEKOTORYH DWUH PARALLELXNYH PRQMYH, PERESEKAET ODNU IZ NIH, TO ONA PERESEKAET I DRUGU@. w KA^ESTWE TEOREMY MOVNO DOKAZATX, ^TO ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA DANNOJ PRQMOJ, MOVNO PROWESTI NA PLOSKOSTI (PROHODQ]EJ ^EREZ UKAZANNYE TO^KU I PRQMU@) PO KRAJNEJ MERE ODNU PRQMU@, PARALLELXNU@ DANNOJ. w ^ASTNOSTI, \TO MOVET BYTX OBOSNOWANO PUTEM RE ENIQ SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^I NA POSTROENIE CIRKULEM I LINEJKOJ. sLEDSTWIE. iZ AKSIOMY PARALLELXNOSTI PRQMYH I UKAZANNOJ TEOREMY WYTEKAET, ^TO ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA PRQMOJ (W PLOSKOSTI, SODERVA]EJ \TU TO^KU I PRQMU@), MOVNO PROWESTI W UKAZANNOJ PLOSKOSTI EDINSTWENNU@ PRQMU@, PARALLELXNU@ DANNOJ. sTALO BYTX, UVE DWUH TAKIH PARALLELXNYH PRQMYH PROWESTI NELXZQ. oT PROTIWNOGO NESLOVNO DOKAZATX, ^TO DWE RAZLI^NYE PRQMYE NA PLOSKOSTI, PARALLELXNYE TRETXEJ PRQMOJ NA \TOJ PLOSKOSTI, PARALLELXNY. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ TREH PRQMYH W PROSTRANSTWE. oPREDELENIQ 3. pUSTX DANY DWE PRQMYE a I b, LEVA]IE W ODNOJ PLOSKOSTI. a) pRQMAQ c, PERESEKA@]AQ KAVDU@ IZ NIH I NE PROHODQ]AQ ^EREZ IH OB]U@ TO^KU (ESLI TAKAQ ESTX), NAZYWAETSQ SEKU]EJ.

RIS. 3.16 A aKSIOMA. ~EREZ

RIS

. 3.16

G
118

RIS

. 3.16

D


b) pARY UGLOW \ 3 I \ 5 ; \ 4 I \ 6 (\ 1 I \ 7 ; \ 2 I \ 8) NAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI (WNE NIMI) ODNOSTORONNIMI. w) pARY UGLOW \ 3 I \ 6 ; \ 4 I \ 5 (\ 1 I \ 8 ; \ 2 I \ 7) NAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI (WNE NIMI) NAKREST LEVA]IMI. g) pARY UGLOW \ 1 I \ 5 ; \ 2 I \ 6 ; \ 3 I \ 7 ; \ 4 I \ 8 NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNYMI.

RIS. 3.16 E RIS. 3.16 V oTMETIM HARAKTERNYE OSOBENNOSTI NAKREST LEVA]IH I ODNOSTORONNIH UGLOW (SM. RIS. 3.16 G, D, NA KOTORYH NE OBOZNA^ENY TO^KI A0 c \ a I B0 c \ b). u NAKREST LEVA]IH UGLOW (KAK WNUTRENNIH, TAK I WNE NIH) OBRAZU@]IE IH LU^I NA PRQMYH a I b (A0A I B0 B 0 ILI A0 A0 I B0 B ) RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ c. u ODNOSTORONNIH UGLOW (KAK WNUTRENNIH, TAK I WNE NIH) OBRAZU@]IE IH LU^I NA PRQMYH a I b (A0A I B0 B ILI A0 A0 I B0 B 0 ) RASPOLOVENY W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ c. u WNUTRENNIH UGLOW (KAK NAKREST LEVA]IH, TAK I ODNOSTORONNIH) OBRAZU@]IE IH LU^I NA PRQMOJ c (A0 D I B0 D) TAKOWY, ^TO TO^KA D LEVIT MEVDU TO^KAMI A0 I B0 . u WNE NIH UGLOW (KAK NAKREST LEVA]IH, TAK I ODNOSTORONNIH) OBRAZU@]IE IH LU^I NA PRQMOJ c (A0 Da I B0 Db ) TAKOWY, ^TO TO^KA Da I TO^KA Db NE LEVAT MEVDU TO^KAMI A0 I B0 . tEOREMA 1 (PRIZNAKI PARALLELXNOSTI PRQMYH). eSLI KAKIE-NIBUDX DWA WNUTRENNIH ILI DWA WNE NIH NAKREST LEVA]IH UGLA RAWNY, ILI SUMMA KAKIH-NIBUDX WNUTRENNIH ILI WNE NIH ODNOSTORONNIH UGLOW RAWNA RAZWERNUTOMU UGLU (SUMMA GRADUSNYH (RADIANNYH) MER \TIH UGLOW RAWNA 180 ( )), ILI KAKIE-NIBUDX DWA SOOTWETSTWENNYH UGLA RAWNY, TO PRQMYE PARALLELXNY. sLEDSTWIE. dWE RAZLI^NYE PRQMYE NA PLOSKOSTI, PERPENDIKULQRNYE TRETXEJ PRQMOJ, PARALLELXNY. tEOREMA 2 (SWOJSTWO PARALLELXNYH PRQMYH), OBRATNAQ TEOREME 1. eSLI DWE PARALLELXNYE PRQMYE PERESE^ENY TRETXEJ PRQMOJ (SEKU]EJ), TO RAWNY UGLY: WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE, WNE NIE NAKREST LEVA]IE, SOOTWETSTWENNYE, A RAZWERNUTOMU UGLU RAWNY: SUMMA WNUTRENNIH
119


ODNOSTORONNIH UGLOW, SUMMA WNE NIH ODNOSTORONNIH UGLOW (SUMMA IH GRADUSNYH (RADIANNYH) MER RAWNA 180 ( )). sLEDSTWIE. eSLI PRQMAQ, LEVA]AQ W PLOSKOSTI DWUH PARALLELXNYH PRQMYH, PERPENDIKULQRNA ODNOJ IZ NIH, TO ONA PERPENDIKULQRNA I DRUGOJ. dOKAZATELXSTWA \TIH TEOREM I IH SLEDSTWIJ MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W KNIGE 1] I MNOGIH U^E BNIKAH GEOMETRII.
3:6. nEKOTORYE TEOREMY O ^ETYREHUGOLXNIKAH: PRIZNAKI PARALLELOGRAMMA, SWOJSTWA PARALLELOGRAMMA, TOVDESTWO PARALLELOGRAMMA. ~ASTNYE WIDY PARALLELOGRAMMOW

rASSMATRIWAEMYE ZDESX I DALEE ^ETYREHUGOLXNIKI QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI MNOGOUGOLXNIKOW S n > 3 STORONAMI (n- UGOLXNIKOW PRI n = 4). tREUGOLXNIK | n- UGOLXNIK PRI n = 3. mY PRIWEDEM RQD OPREDELENIJ, SWQZANNYH S MNOGOUGOLXNIKOM.

RIS. 3.17 A RIS. 3.17 B oPREDELENIE 1. gEOMETRI^ESKAQ FIGURA (LINIQ) NA PLOSKOSTI, OBRAZUEMAQ OTREZKAMI A0 A1 ; A1A2 ; :::; An 1An , RASPOLOVENNYMI TAK, ^TO KONEC i-GO OTREZKA (TO^KA Ai ) QWLQETSQ NA^ALOM i + 1-GO OTREZKA (i = 1; 2; :::; n 1; n > 2) I PRI WSEH \TIH i > 1 OTREZKI Ai 1Ai I Ai Ai+1 NE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, NAZYWAETSQ LOMANOJ (LOMANOJ LINIEJ) I OBOZNA^AETSQ A0 A1A2 :::An 1An . uKAZANNYE OTREZKI NAZYWA@TSQ STORONAMI (ILI ZWENXQMI) LOMANOJ, A TO^KI A0 ; A1; :::; An | WER INAMI LOMANOJ. wNUTRENNIE TO^KI STORON LOMANOJ I WER INY LOMANOJ NAZYWA@T TO^KAMI LOMANOJ. oPREDELENIE 1 a. lOMANAQ NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI EE KONCY A0 I An SOWPADA@T (QWLQ@TSQ ODNOJ TO^KOJ), PRI \TOM OTREZKI A0 A1 I An 1An NE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. oPREDELENIE 1 b. lOMANAQ NAZYWAETSQ PROSTOJ, ESLI ONA NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ (TO ESTX NIKAKIE IZ EE WER IN NE SOWPADA@T, NIKAKAQ IZ EE WER IN NE QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ KAKOJ-LIBO IZ EE STORON I NIKAKAQ PARA EE STORON NE IMEET OB]EJ WNUTRENNEJ TO^KI (TO ESTX NE
120


PERESEKAETSQ)). w ZAMKNUTOJ PROSTOJ LOMANOJ SOWPADA@T TOLXKO PERWYJ I POSLEDNIJ KONCY. oPREDELENIE 2. mNOGOUGOLXNIKOM (PROSTYM MNOGOUGOLXNIKOM) NAZYWAETSQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ (PROSTAQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ). wER INY LOMANOJ NAZYWA@TSQ WER INAMI MNOGOUGOLXNIKA, A ZWENXQ LOMANOJ | STORONAMI MNOGOUGOLXNIKA. oBOZNA^AETSQ A1A2 :::An. oTREZKI, SOEDINQ@]IE NE SOSEDNIE WER INY (TO ESTX WER INY, NE QWLQ@]IESQ KONCAMI ODNOGO ZWENA) MNOGOUGOLXNIKA, NAZYWA@TSQ DIAGONALQMI (SM. RIS. 3.17 B). wS@DU W DALXNEJ EM, ESLI NE OGOWORENO PROTIWNOE, MY BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO PROSTYE MNOGOUGOLXNIKI I POD TERMINOM "MNOGOUGOLXNIK" BUDET PONIMATXSQ PROSTOJ MNOGOUGOLXNIK. oPREDELENIE 3. mNOGOUGOLXNIK S n WER INAMI I n STORONAMI NAZYWAETSQ n-UGOLXNIKOM (n > 3). wY E NA RIS. 3.17 A IZOBRAVENA LOMANAQ, NE QWLQ@]AQSQ ZAMKNUTOJ I NE QWLQ@]AQSQ PROSTOJ, NA RIS. 3.17 B IZOBRAVENA PROSTAQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ | MNOGOUGOLXNIK, NE QWLQ@]IJSQ WYPUKLYM. oPREDELENIE 4. pERIMETROM MNOGOUGOLXNIKA ILI LOMANOJ NAZYWAETSQ SUMMA DLIN EGO STORON (SOOTWETSTWENNO) SUMMA DLIN EE ZWENXEW. oPREDELENIE 5. mNOGOUGOLXNIK NAZYWAETSQ WYPUKLYM, ESLI ON LEVIT CELIKOM W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO L@BOJ PRQMOJ, SODERVA]EJ EGO STORONU. pRI \TOM SAMA PRQMAQ S^ITAETSQ PRINADLEVA]EJ POLUPLOSKOSTI. oPREDELENIE 6. oB]AQ ^ASTX POLUPLOSKOSTEJ, FIGURIRU@]IH W PREDYDU]EM OPREDELENII, BEZ STORON WYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA NAZYWAETSQ EGO WNUTRENNEJ OBLASTX@, A OSTALXNAQ ^ASTX PLOSKOSTI TAKVE BEZ EGO STORON | EGO WNE NEJ OBLASTX@. oPREDELENIE 7. wNUTRENNQQ OBLASTX WYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA WMESTE S EGO STORONAMI NAZYWAETSQ PLOSKIM WYPUKLYM MNOGOUGOLXNIKOM.

RIS. 3.17 W RIS. 3.17 G nA PRIWEDENNYH RIS. 3.17 W I G WNUTRENNIE OBLASTI MNOGOUGOLXNIKOW ZA TRIHOWANY. o WNUTRENNEJ OBLASTI NEWYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA SM. NI VE, W DOPOLNITELXNOJ ^ASTI \TOGO WOPROSA.
121

-


oPREDELENIE 8. wNUTRENNIM UGLOM PRI WER INE Ai (i = 1; 2; :::n) MNOGOUGOLXNIKA A1 A2 :::An NAZYWAETSQ UGOL, OBRAZOWANNYJ POLUPRQMYMI Ai Ai 1 I Ai Ai+1 (i = 2; 3; :::; n 1), POLUPRQMYMI A1 A2 I A1 An (PRI i = 1) I POLUPRQMYMI An An 1 I An A1 (PRI i = n). pRI \TOM WNUTRENNEJ OBLASTX@ \TOGO UGLA S^ITAETSQ TA ^ASTX PLOSKOSTI, KOTORAQ SODERVIT WNUTRENN@@ OBLASTX MNOGOUGOLXNIKA. wNUTRENNIJ UGOL PLOSKOGO MNOGOUGOLXNIKA OPREDELQETSQ TAKIM VE OBRAZOM WMESTE S PRISOEDINENNOJ K NEMU EGO WNUTRENNEJ OBLASTX@ (TO ESTX KAK PLOSKIJ UGOL). wNUTRENNEJ TO^KOJ MNOGOUGOLXNIKA S^ITAETSQ WSQKAQ TO^KA, LEVA]AQ W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI. aNALOGI^NO OPREDELENIQM 20, 3, 4 P. 3:1 OPREDELQ@TSQ GRANICA MNOGOUGOLXNIKA, TO^KA, LEVA]AQ NA STORONE MNOGOUGOLXNIKA, WNE NQQ TO^KA MNOGOUGOLXNIKA. pUSTX AB C D | ^ETYREHUGOLXNIK. oPREDELENIE 9. sTORONY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI, ESLI ONI NE IME@T OB]IH WER IN. oPREDELENIE 10. sTORONY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ SMEVNYMI, ESLI ONI IME@T OB]U@ WER INU. oPREDELENIE 11. wER INY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI, ESLI ONI NE QWLQ@TSQ KONCAMI ODNOJ IZ EGO STORON. oPREDELENIE 12. uGLY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI, ESLI IH WER INY QWLQ@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI WER INAMI ^ETYREHUGOLXNIKA. oPREDELENIE 13. w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 2 DIAGONALX@ ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWAETSQ OTREZOK S KONCAMI W EGO PROTIWOLEVA]IH WERINAH.

RIS. 3.18 A RIS. 3.18 B RIS. 3.18 W oBY^NO PRI WYPISYWANII OBOZNA^A@]IH ^ETYREHUGOLXNIK WER IN IH PORQDOK TAKOW, ^TO PROTIWOLEVA]IE WER INY NE STOQT RQDOM. tAK, NAPRIMER, ODIN I TOT VE ^ETYREHUGOLXNIK AB C D MOVET BYTX OBOZNA^EN KAK
122


B C DA, C DAB , DAB C , DC B A, C B AD, B ADC , ADC B , EGO PROTIWOLEVA]IMI WER INAMI BUDUT: PARA WER IN A I C , A TAKVE PARA WER IN B I D, EGO PROTIWOLEVA]IMI STORONAMI BUDUT PARA STORON AB I C D I PARA STORON AD I B C , EGO SMEVNYMI STORONAMI BUDUT STORONY AB I B C , B C I C D, C D I AD, EGO DIAGONALQMI BUDUT OTREZKI AC I B D. oDNAKO W ^ETYREHUGOLXNIKE AC B D OTREZKI AC I B D UVE BUDUT STORONAMI, PROTIWOLEVA]IMI STORONAMI BUDUT PARA STORON AC I B D I PARA STORON B C I AD, A OTREZKI AB I C D | DIAGONALQMI. pO\TOMU ^ETYREHUGOLXNIK AC B D UVE DRUGOJ, NEVELI ^ETYREHUGOLXNIK AB C D. sM. RIS. 3.18 A, B. nA RIS. 3.18 W IZOBRAVEN ^ETYREHUGOLXNIK AB DC , U KOTOROGO PROTIWOPOLOVNYE STORONY AC I B D OKAZALISX DAVE PERESEKA@]IMISQ.

RIS. 3.18 G RIS. 3.18 D mOVNO DOKAZATX SLEDU@]IE TEOREMY. tEOREMA 1. u WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA DIAGONALI PERESEKA@TSQ, TO ESTX IME@T OB]U@ WNUTRENN@@ TO^KU (TO^KU IH PERESE^ENIQ), KOTORAQ NAHODITSQ WO WNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA. zAME^ANIE 1. oTMETIM, ^TO WSQKAQ WNUTRENNQQ TO^KA DIAGONALI WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA (I WOOB]E WYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA) PRINADLEVAT WNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA (MNOGOUGOLXNIKA), A WSQKAQ WNE NQQ TO^KA UKAZANNOJ DIAGONALI NAHODITSQ WO WNE NEJ OBLASTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA (MNOGOUGOLXNIKA). zAME^ANIE 2. uTWERVDENIE TEOREMY 1 I ZAME^ANIE 1 NE WERNY DLQ NEWYPUKLYH ^ETYREHUGOLXNIKOW (SM. RIS. 3.18 A, B, W). tEOREMA 2 (OBRATNAQ TEOREME 1). eSLI W ^ETYREHUGOLXNIKE DIAGONALI PERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI), TO \TOT ^ETYREHUGOLXNIK WYPUKLYJ. dOKAZATELXSTWA TEOREM 1 I 2 I ZAME^ANIJ K TEOREME 1 MOVNO NAJTI W KNIGE 1]. w PREDYDU]EM P. 3:5 BYLI PRIWEDENY WAVNYE PONQTIQ, SWQZANNYE S PERESEKAEMOSTX@ I PARALLELXNOSTX@ PRQMYH, I SFORMULIROWANY OSNOWNYE PRIZNAKI I SWOJSTWA (A STALO BYTX, KRITERII) PARALLELXNOSTI PRQMYH. nEKOTORYE IZ NIH BUDUT PRIMENENY W \TOM PUNKTE.
123


RIS. 3.19 A pARALLELOGRAMM | \TO ^ETYREHUGOLXNIK, U KOTOROGO PROTIWOPOLOVNYE STORONY POPARNO PARALLELXNY (TO ESTX LEVAT NA PARALLELXNYH PRQMYH). oBOZNA^AETSQ PARALLELOGRAMM ZNAKOM #. sWOJSTWA PARALLELOGRAMMA. tEOREMA 3. pARALLELOGRAMM | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK.
oPREDELENIE
6.

sM. RIS. 3.19 A. pUSTX AB C D | #, AD k B C; AB k C D, TOGDA KAK OTME^ALOSX WY E, POSLE OPREDELENIQ 2 P. 3.5 WSQ PRQMAQ (B C ) BUDET RASPOLAGATXSQ W ODNOJ POLUPLOSKOSTI PLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD). sTALO BYTX, W ^ASTNOSTI, W \TOJ VE POLUPLOSKOSTI BUDUT LEVATX TO^KI B I C , A POTOMU | I LU^ AB , I OTREZOK AB , I LU^ DC , I OTREZOK DC , TO ESTX #AB C D OKAZALSQ W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD), SODERVA]EJ EGO STORONU AD. sOWER ENNO ANALOGI^NO MY DOKAVEM RASPOLOVENIE #AB C D W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ), W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AB ) I W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (DC ). w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 4 \TO OZNA^AET, ^TO #AB C D | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK. tEOREMA 3 DOKAZANA. sLEDSTWIE. dIAGONALI PARALLELOGRAMMA PERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI) W NEKOTOROJ TO^KE EGO WNUTRENNEJ OBLASTI (SM. RIS. 3.19 A). |TO UTWERVDENIE SRAZU WYTEKAET IZ TEOREM 1 I 3 \TOGO WOPROSA. tEOREMA 4. w PARALLELOGRAMME: 1) DIAGONALX DELIT EGO NA DWA RAWNYH TREUGOLXNIKA; 2) PROTIWOPOLOVNYE STORONY RAWNY; 3) PROTIWOPOLOVNYE UGLY RAWNY; 4) SUMMA UGLOW, PRILEVA]IH ODNOJ STORONE, RAWNA RAZWERNUTOMU UGLU (SUMMA IH GRADUSNYH (RADIANNYH) MER RAWNA 180 ( )); 5) DIAGONALI PERESEKA@TSQ I W TO^KE PERESE^ENIQ DELQTSQ POPOLAM; 6) SUMMA KWADRATOW DLIN DIAGONALEJ RAWNA SUMME KWADRATOW DLIN WSEH EGO STORON.
dOKAZATELXSTWO

dOKAZATELXSTWO

124


-

RIS. 3.20 B dOKAZATELXSTWA sM. RIS. 3.20 A. pUSTX AB C D | #, AD k B C; AB k C D, B D | DIAGONALX, RASSMOTRIM 4AB D I 4DB C , U NIH STORONA B D | OB]AQ, \1 = = \4 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (AB ) k (C D) I SEKU]EJ (B D), \2 = \3 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (B C ) k (AD) I SEKU]EJ (B D), SLEDOWATELXNO, 4AB D = 4C DB (PO WTOROMU PRIZNAKU, TO ESTX PO STORONE I DWUM PRILEVA]IM EJ UGLAM). tAK KAK W RAWNYH TREUGOLXNIKAH PROTIW SOOTWETSTWENNO RAWNYH UGLOW (STORON) LEVAT SOOTWETSTWENNO RAWNYE STORONY (UGLY), TO AB = C D; B C = AD I \A = \C . pROWODQ DRUGU@ DIAGONALX AC , MY ANALOGI^NYM OBRAZOM DOKAVEM, ^TO \B = \D. oTMETIM, ^TO TAK KAK \B = \1 + \2; \D = \3 + \4, TO OTS@DA WYTEKAET RAWENSTWO UGLOW B I D. tAKIM OBRAZOM, DOKAZANY PERWYE TRI SWOJSTWA PARALLELOGRAMMA. ~ETWERTOE SWOJSTWO WYTEKAET IZ SWOJSTW PARALLELXNYH PRQMYH (SM. WY E P. 3:5 TEOREMA 2). sM. RIS. 3.20 B. pERESE^ENIE DIAGONALEJ U #AB C D DOKAZANO WY E (SM. SLEDSTWIE TEOREMY 3), PUSTX O AC \ B D. rASSMOTRIM 4AOD I 4C OB , U NIH \1 = \3 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI AD k B C I SEKU]EJ B D, \2 = \4 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI AD k B C I SEKU]EJ AC , AD = B C PO DOKAZANNOMU, SLEDOWATELXNO 4AOD = 4C OB (PO WTOROMU PRIZNAKU), A POTOMU SOOTWETSTWENNO OC = OA I OB = OD. iTAK, PERWYE PQTX SWOJSTW PARALLELOGRAMMA DOKAZANY. {ESTOE SWOJSTWO O SOOTNO ENII KWADRATOW DLIN DIAGONALEJ I STORON PARALLELOGRAMMA DOKAZANO WY E, W P. 3:4 KAK SLEDSTWIE TEOREMY KOSINUSOW DLQ TREUGOLXNIKA. pRIZNAKI PARALLELOGRAMMA.
. 3.20

RIS

A

W RIS. 3.20 G RIS. 3.20 D tEOREMA 5. eSLI U WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA DWE STORONY PARALLELXNY I RAWNY, TO ON | PARALLELOGRAMM.
. 3.20 125

RIS


sM. RIS. 3.20 W. pUSTX U ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D: AD k B C I AD = B C , PROWEDEM W AB C D DIAGONALX B D, W SILU WYPUKLOSTI AB C D \TA DIAGONALX BUDET NAHODITXSQ W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI, 4AB D I 4C DB BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH PLOSKOSTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA OTNOSITELXNO PRQMOJ (B D). rASSMOTRIM 4ADB I 4DB C , U NIH \1 = \2 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (B C ) k (AD) I SEKU]EJ (B D), AD = B C PO USLOWI@, B D | OB]AQ STORONA, SLEDOWATELXNO, 4C DB = 4ADB (PO PERWOMU PRIZNAKU | PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI). sLEDOWATELXNO, TAK KAK W RAWNYH TREUGOLXNIKAH PROTIW RAWNYH STORON (UGLOW) LEVAT RAWNYE UGLY (STORONY), \AB D = \B DC , A POTOMU W SILU PRIZNAKA PARALLELXNOSTI PRQMYH (AB ) k (C D), POSKOLXKU \AB D I \B DC | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI PRQMYH (AB ) I (C D) I SEKU]EJ (B D), SLEDOWATELXNO, U ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D AD k B C I AB k C D, A POTOMU PO OPREDELENI@ 6 ON | PARALLELOGRAMM. tEOREMA 5 DOKAZANA. tEOREMA 6. eSLI U WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA PROTIWOLEVA]IE STORONY POPARNO RAWNY, TO ON | PARALLELOGRAMM. pUSTX U ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D: AB = C D I AD = B C , PROWEDEM W AB C D DIAGONALX B D, W SILU WYPUKLOSTI AB C D \TA DIAGONALX BUDET NAHODITXSQ WO EGO WNUTRENNEJ OBLASTI, 4AB D I 4B C D BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH PLOSKOSTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA OTNOSITELXNO PRQMOJ (B D). rASSMOTRIM 4AB D I 4C DB , U NIH STORONA B D | OB]AQ, AB = C D I AD = B C , SLEDOWATELXNO, 4AB D = = 4C DB (PO TRETXEMU PRIZNAKU | PO TREM STORONAM). sLEDOWATELXNO, TAK KAK W RAWNYH TREUGOLXNIKAH PROTIW RAWNYH STORON LEVAT RAWNYE UGLY, \1 = \4; \2 = \3, A POTOMU W SILU PRIZNAKA PARALLELXNOSTI PRQMYH (AB ) k (C D), POSKOLXKU \1 I \4 | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI PRQMYH (AB ) I (C D) I SEKU]EJ (B D), (B C ) k (AD), POSKOLXKU \2 I \3 | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI PRQMYH (B C ) I (AD) I SEKU]EJ (B D), SLEDOWATELXNO U ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D: AD k B C I AB k C D, A POTOMU PO OPREDELENI@ 6 ON | PARALLELOGRAMM. tEOREMA 6 DOKAZANA. tEOREMA 7. eSLI W ^ETYREHUGOLXNIKE DIAGONALI PERESEKA@TSQ I TO^KOJ PERESE^ENIQ DELQTSQ POPOLAM (NA DWA RAWNYH OTREZKA), TO ON | PAdOKAZATELXSTWO RALLELOGRAMM. sM. RIS. 3.20 D. pUSTX U ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D: AC I B D | DIAGONALI, O | TO^KA IH PERESE^ENIQ, W SILU TEOREMY 2 AB C D | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK. rASSMOTRIM PARU TREUGOLXNIKOW AOD I C OB , U NIH OA = OC; OB = OD PO USLOWI@, \B OC = \AOD KAK WERTIKALXNYE,
126

dOKAZATELXSTWO

sM. RIS

. 3.20 G.

dOKAZATELXSTWO


SLEDOWATELXNO PO PERWOMU PRIZNAKU RAWENSTWA TREUGOLXNIKOW 4AOD = = 4C OB , A POTOMU AD = B C . aNALOGI^NO, RASSMATRIWAQ PARU TREUGOLXNIKOW AOB I C OD, U KOTORYH OA = OC; OB = OD PO USLOWI@, \AOB = = \C OD KAK WERTIKALXNYE, MY TAKVE POLU^IM, ^TO (PO PERWOMU PRIZNAKU) \TI TREUGOLXNIKI RAWNY, A POTOMU AB = C D. sLEDOWATELXNO, U ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D PROTIWOPOLOVNYE STORONY OKAZALISX POPARNO RAWNY, A POTOMU W SILU TEOREMY 6 AB C D | PARALLELOGRAMM. tEOREMA 7 DOKAZANA. tEOREMA 8. eSLI W WYPUKLOM ^ETYREHUGOLXNIKE PROTIWOPOLOVNYE UGLY POPARNO RAWNY, TO ON | PARALLELOGRAMM. pUSTX W ^ETYREHUGOLXNIKE AB C D: \A = \C; \B = \D, W SILU TEOREMY 3 P. 3:5 SUMMA WSEH WNUTRENNIH UGLOW WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA AB C D RAWNA UDWOENNOMU RAZWERNUTOMU UGLU, TO ESTX | POLNOMU UGLU. tAK KAK IZ RAWENSTW \A = \C I \B = \D SLEDUET, ^TO \A + \B = \C + \D I RAWNY \TI SUMMY RAZWERNUTOMU UGLU, OTKUDA WYTEKAET, ^TO AB k C D, ANALOGI^NO \A + \D = \C + \B I RAWNY \TI SUMMY TAKVE RAZWERNUTOMU UGLU, OTKUDA SLEDUET, ^TO AD k B C , SLEDOWATELXNO AB C D | PARALLELOGRAMM. tEOREMA 8 DOKAZANA. oTMETIM E]E ZAME^ANIE K TEOREME 5, WYRAVA@]EJ PRIZNAK PARALLELOGRAMMA. zAME^ANIE. w USLOWII TEOREMY 5 MOVNO NE TRE BOWATX WYPUKLOSTI ^ETYREHUGOLXNIKA, DOSTATO^NO POTRE BOWATX, ^TOBY ON BYL PROSTYM (SM. WY E OPREDELENIE 2).
dOKAZATELXSTWO

RIS. 3.21 A RIS. 3.21 B RIS. 3.21 W rASSMOTRIM NEKOTORYE ^ASTNYE SLU^AI PARALLELOGRAMMOW S DOKAZATELXSTWOM NEKOTORYH IH SWOJSTW. oPREDELENIE 7. pRQMOUGOLXNIKOM NAZYWAETSQ PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO HOTQ BY ODIN WNUTRENNIJ UGOL PRQMOJ. iZ \TOGO OPREDELENIQ I SWOJSTW UGLOW PARALLELOGRAMMA (SM. WY E TEOREMU 4, SWOJSTWA 3) I 4) WYTEKAET, ^TO ESLI W PARALLELOGRAMME IMEETSQ PRQMOJ UGOL, TO PROTIWOLEVA]IJ EMU UGOL TAKVE PRQMOJ I OSTALXNYE DWA UGLA, KAK PRILEVA]IE K ODNOJ STORONE \TOGO PARALLELOGRAMMA I SOSTAWLQ@]IE W SUMME S NIM RAZWERNUTYJ UGOL, TOVE PRQMYE. sLEDOWATELXNO, W PARALLELOGRAMME WSE UGLY | PRQMYE.
127


zAME^ANIE. tRADICIONNO W U^E BNOJ I SPRAWO^NOJ LITERATURE PRQMOUGOLXNIK OPREDELQETSQ KAK PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO WSE UGLY PRQMYE. oDNAKO, KAK WIDNO IZ PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ, TAKOE "PEREOPREDELENNOE" OPREDELENIE PRQMOUGOLXNIKA PO SUTI DELA QWLQETSQ TEOREMOJ, DOKAZYWAEMOJ NA OSNOWE OPREDELENIQ 7 I SWOJSTW UGLOW PARALLELOGRAMMA. oTMETIM, ^TO PRQMOUGOLXNIK KAK ^ASTNYJ SLU^AJ PARALLELOGRAMMA OBLADAET WSEMI EGO SWOJSTWAMI (SM. WY E TEOREMU 4), ODNAKO EGO DIAGONALI OBLADA@T SWOJSTWOM, KOTORYM DIAGONALI PROIZWOLXNOGO PARALLELOGRAMMA, WOOB]E GOWORQ, NE OBLADA@T. a IMENNO, IMEET MESTO TEOREMA. tEOREMA 9. dIAGONALI PRQMOUGOLXNIKA RAWNY.

sM. RIS. 3.21 A. rASSMOTRIM TREUGOLXNIKI AB D I ADC , U KOTORYH STORONA AD | OB]AQ, AB = DC PO SWOJSTWU PARALLELOGRAMMA, \B AD = = \C DA KAK PRQMYE UGLY, SLEDOWATELXNO, 4AB D = 4ADC PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI, A POTOMU AC = B D. tEOREMA 9 DOKAZANA. iMEET MESTO I OBRATNAQ TEOREMA. tEOREMA 90 . eSLI W PARALLELOGRAMME DIAGONALI RAWNY, TO ON | PRQMOUGOLXNIK. dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY PROWODITSQ NA OSNOWE RAWENSTWA TREUGOLXNIKOW DAB I ADC PO TREM STORONAM, OTKUDA WYTEKAET RAWENSTWO UGLOW DAB I ADC . pOSKOLXKU W SILU PARALLELXNOSTI STORON AB I DC \DAB + \ADC | RAZWERNUTYJ UGOL, TO KAVDYJ IZ UGLOW \DAB I \ADC | PRQMOJ, \TO PO OPREDELENI@ 7 OZNA^AET, ^TO AB C D | PRQMOUGOLXNIK. oPREDELENIE 8. rOMBOM NAZYWAETSQ PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO HOTQ BY DWE SMEVNYE STORONY RAWNY. iZ \TOGO OPREDELENIQ I SWOJSTW STORON PARALLELOGRAMMA (SM. WY E TEOREMU 4, SWOJSTWO 2) WYTEKAET, ^TO ESLI W PARALLELOGRAMME HOTQ BY DWE SMEVNYE STORONY RAWNY, TO IM BUDUT RAWNY I DRUGIE DWE EGO STORONY KAK SOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYE IM. sLEDOWATELXNO, W ROMBE WSE STORONY RAWNY. zAME^ANIE. tRADICIONNO W U^E BNOJ I SPRAWO^NOJ LITERATURE ROMB OPREDELQETSQ KAK PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO WSE STORONY RAWNY. oDNAKO, KAK WIDNO IZ TOLXKO ^TO PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ, TAKOE "PEREOPREDELENNOE" OPREDELENIE ROMBA PO SUTI DELA QWLQETSQ TEOREMOJ, DOKAZYWAEMOJ NA OSNOWE OPREDELENIQ 8 I SWOJSTW STORON PARALLELOGRAMMA. oTMETIM, ^TO ROMB KAK ^ASTNYJ SLU^AJ PARALLELOGRAMMA OBLADAET WSEMI EGO SWOJSTWAMI (SM. WY E TEOREMU 4), ODNAKO EGO DIAGONALI OBLADA@T SWOJSTWAMI, KOTORYMI DIAGONALI PROIZWOLXNOGO PARALLELOGRAMMA, WOOB]E GOWORQ, NE OBLADA@T. a IMENNO, IMEET MESTO TEOREMA.
128

dOKAZATELXSTWO


tEOREMA 10. dIAGONALI ROMBA QWLQ@TSQ BISSEKTRISAMI EGO WNUTRENNIH UGLOW I WZAIMNO PERPENDIKULQRNY.

sM. RIS. 3.21 B. rASSMOTRIM TREUGOLXNIKI AB D I C B D, KAVDYJ IZ NIH QWLQETSQ RAWNOBEDRENNYM S OB]IM OSNOWANIEM B D. tAK KAK W SILU SWOJSTWA DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA (SM. TEOREMU 4, SWOJSTWO 5) OB = = OD OA I OC | MEDIANY 4AB D I 4C B D SOOTWETSTWENNO. sLEDOWATELXNO, W SILU SWOJSTW RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA (SM. WY E WOPROS 2) \DAO = \B AO; \DC O = \B C O I AC ? B D. aNALOGI^NYM OBRAZOM, RASSMATRIWAQ 4AB C I 4ADC , DOKAVEM RAWENSTWA UGLOW: \AB O = \C B O, \ADO = \C DO. tEOREMA 10 DOKAZANA. iMEET MESTO I OBRATNAQ TEOREMA. tEOREMA 100. eSLI W PARALLELOGRAMME DIAGONALI WZAIMNO PERPENDIKULQRNY ILI HOTQ BY ODNA IZ EGO DIAGONALEJ QWLQETSQ BISSEKTRISOJ HOTQ BY ODNOGO IZ EGO WNUTRENNIH UGLOW, TO ON | ROMB. eSLI W PARALLELOGRAMME AB C D DIAGONALI AC I B D WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, TO, RASSMATRIWAQ, NAPRIMER, 4AB C , U KOTOROGO WYSOTA B O (PO USLOWI@) QWLQETSQ MEDIANOJ (PO SWOJSTWU DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA), POLU^IM, ^TO ON RAWNOBEDRENNYJ (AB = B C ), W SILU OPREDELENIQ 8 \TO OZNA^AET, ^TO AB C D | ROMB. pUSTX W PARALLELOGRAMME AB C D DIAGONALX AC QWLQETSQ BISSEKTRISOJ UGLA A, TOGDA \B AC = \DAC , POSKOLXKU W SILU PARALLELXNOSTI STORON AD I B C , WYTEKA@T RAWENSTWA UGLOW \B AC = \AC D, OTKUDA W SILU TRANZITIWNOSTI RAWENSTWA UGLOW \DAC = \AC D, A POTOMU 4ADC | RAWNOBEDRENNYJ, AD = DC , POLU^ILI, ^TO W PARALLELOGRAMME AB C D RAWNY DWE SMEVNYE STORONY AD I DC , SLEDOWATELXNO W SILU OPREDELENIQ 8 AB C D | ROMB. tEOREMA 100 POLNOSTX@ DOKAZANA. oPREDELENIE 9. kWADRATOM NAZYWAETSQ PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO HOTQ BY ODIN WNUTRENNIJ UGOL PRQMOJ I HOTQ BY DWE SMEVNYE STORONY RAWNY (SM. RIS. 3.21 W). iZ \TOGO OPREDELENIQ I OPREDELENIJ 7 I 8 WYTEKAET, ^TO KWADRAT | \TO PARALLELOGRAMM, KOTORYJ QWLQETSQ I PRQMOUGOLXNIKOM, I ROMBOM. pO\TOMU ON OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI PARALLELOGRAMMA, PRQMOUGOLXNIKA I ROMBA, W ^ASTNOSTI WSE EGO STORONY RAWNY, A WSE EGO WNUTRENNIE (I WNE NIE) UGLY | PRQMYE; EGO DIAGONALI OBLADA@T WSEMI SWOJSTWAMI DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA, PRQMOUGOLXNIKA I ROMBA, TO ESTX, W ^ASTNOSTI, ONI RAWNY, WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, QWLQ@TSQ BISSEKTRISAMI EGO WNUTRENNIH UGLOW. mOVNO SFORMULIROWATX I DOKAZATX ANALOGI^NYE TEOREMAM 90 I 100 PRIZNAKI KWADRATA. nAPRIMER, ESLI U PARALLELOGRAMMA DIAGONALI RAWNY I WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, TO ON KWADRAT.
129 dOKAZATELXSTWO

dOKAZATELXSTWO


zAME^ANIE. kWADRAT MOVNO OPREDELITX I KAK PRQMOUGOLXNIK, U KOTOROGO HOTQ BY DWE SMEVNYE STORONY RAWNY, I KAK ROMB, U KOTOROGO HOTQ BY ODIN WNUTRENNIJ UGOL PRQMOJ. wY E WWODILOSX OPREDELENIE RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PRQMOJ KAK DLINA OTREZKA PERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZ \TOJ TO^KI NA PRQMU@. dOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU.

RIS. 3.21 G tEOREMA 11. eSLI DWE PRQMYE PARALLELXNY, TO RASSTOQNIQ OT L@BOJ TO^KI ODNOJ IZ \TIH PRQMYH DO DRUGOJ PRQMOJ RAWNY. dRUGIMI SLOWAMI, WSE TO^KI ODNOJ IZ PARALLELXNYH PRQMYH ODINAKOWO UDALENY OT DRUGOJ IZ \TIH PRQMYH, \TO OZNA^AET, ^TO PARALLELXNYE PRQMYE WEZDE ODINAKOWO UDALENY ODNA OT DRUGOJ. sM. RIS. 3.21 G. pUSTX (AB ) k (C D), OPUSTIM IZ TO^KI M 2 (AB ) PERPENDIKULQR M P NA PRQMU@ (C D), TO^KA P 2 (C D) | OSNOWANIE PERPENDIKULQRA M P , OPUSTIM TAKVE IZ TO^KI N 2 (AB ); N 6 M PERPENDIKULQR N Q NA PRQMU@ (C D), TO^KA Q 2 (C D) | OSNOWANIE PERPENDIKULQRA N Q. kAK OTME^ALOSX WY E, W SLEDSTWIQH IZ TEOREM 3 I 4 P. 3:5 IZ TOGO, ^TO (M P ) ? (C D) I (N Q) ? (C D) WYTEKAET, ^TO (M P ) k (N Q), (M P ) ? (AB ) I (N Q) ? (AB ) A TAK KAK (AB ) k (C D), TO ^ETYREHUGOLXNIK AB C D | PARALLELOGRAMM, PRI^EM S PRQMYMI WNUTRENNIMI UGLAMI, TO ESTX | PRQMOUGOLXNIK. sLEDOWATELXNO, W SILU WTOROGO SWOJSTWA PARALLELOGRAMMA (SM. WY E TEOREMU 4) M P = N Q ) jM P j = jN Qj. tEOREMA 11 DOKAZANA. nA OSNOWE REZULXTATA \TOJ TEOREMY MOVNO WWESTI OPREDELENIE RASSTOQNIQ MEVDU PARALLELXNYMI PRQMYMI. oPREDELENIE 10. pUSTX PRQMYE a I b PARALLELXNY (SM. RIS. 3.21 G). rASSTOQNIEM MEVDU PARALLELXNYMI PRQMYMI a I b NAZYWAETSQ DLINA IH OB]EGO PERPENDIKULQRA (TO ESTX OTREZKA PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ IM, KONCY KOTOROGO LEVAT NA \TIH PRQMYH). oBOZNA^ENIQ (a; b) ILI ((AB ); (C D)), (a; b) = ((AB ); (C D)) = jM P j = jN Qj.
dOKAZATELXSTWO

130


3:7. sWOJSTWA SREDNEJ LINII TREUGOLXNIKA. sWOJSTWA SREDNEJ LINII TRAPECII oPREDELENIE 1. tRAPECIEJ NAZYWAETSQ ^ETYREHUGOLXNIK, * 8 U KOTO-

ROGO PO KRAJNEJ MERE DWE STORONY PARALLELXNY. iZ \TOGO OPREDELENIQ WYTEKAET, ^TO PARALLELOGRAMM QWLQETSQ TRAPE CIEJ (TO ESTX # | ^ASTNYJ SLU^AJ TRAPECII). sM. RIS. 3.22 A, B.

-

RIS. 3.22 A RIS. 3.22 B RIS. 3.22 W RIS. 3.22 G pARALLELXNYE STORONY TRAPECII NAZYWA@TSQ EE OSNOWANIQMI, A DWE DRUGIE STORONY | EE BOKOWYMI STORONAMI. eSLI BOKOWYE STORONY TRAPECII RAWNY, NO ILI NE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ, ILI PERPENDIKULQRNY ODNOMU IZ EE OSNOWANIJ, TO ONA NAZYWAETSQ RAWNOBEDRENNOJ (RAWNOBOKOJ ILI RAWNOBO^NOJ). sM. RIS. 3.22 W. eSLI TRAPECIQ IMEET HOTQ BY ODIN PRQMOJ UGOL, TO ONA NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNOJ. sM. RIS. 3.22 G. tAK KAK (SM. DOKAZATELXSTWO TEOREMY 11 P. 3:6) WSE OTREZKI S KONCAMI NA OSNOWANIQH TRAPECII, KOTORYE LEVAT NA PRQMYH, PERPENDIKULQRNYH \TIM OSNOWANIQM, RAWNY MEVDU SOBOJ, TO MOVNO OPREDELITX WYSOTU TRAPECII, KAK L@BOJ TAKOJ OTREZOK. iMEET MESTO TEOREMA. tEOREMA 1. tRAPECIQ | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK. dOKAZATELXSTWO SM. W KNIGE 1]. sLEDSTWIE. w SILU TEOREMY 1 P. 3:6 DIAGONALI TRAPECII (KAK OTREZKI) PERESEKA@TSQ I TO^KA IH PERESE^ENIQ NAHODITSQ WO WNUTRENNEJ OBLASTI TRAPECII. tEOREMA 2. u RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII WNUTRENNIE UGLY PRI KAVDOM IZ OSNOWANIJ RAWNY I DIAGONALI RAWNY.
* nAPOMNIM, ^TO POD TERMINOM "^ETYREHUGOLXNIK" MY PONIMAEM PROSTOJ MNOGOUGOLXNIK S ^ETYRXMQ STORONAMI, OPREDELENIE PROSTOGO MNOGOUGOLXNIKA SM. WY E, W P. 3:6.
8

131


rASSMOTRIM RAWNOBEDRENNU@ TRAPECI@ AB C D, U KOTOROJ AD k B C I AB = C D (SM. RIS. 3.22 W). pUSTX B E ? AD I C F ? AD, W SILU TEOREMY 11 P. 3:6 B E = C F , A POTOMU PO KATETU I GIPOTENUZE 4AB E = = 4DC F . sLEDOWATELXNO, \B AD = \C DA, A POTOMU I \AB C = \DC B . eSLI PROWESTI W \TOJ TRAPECII DIAGONALI AC I B D, TO RASSMATRIWAQ 4AB D I 4DC A, U KOTORYH AB = C D; AD | OB]AQ STORONA \B AD = = \C DA, POLU^IM, ^TO ONI RAWNY PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI. sLEDOWATELXNO, AC = B D. oPREDELENIE 2. sREDNEJ LINIEJ TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ OTREZOK S KONCAMI NA SEREDINAH (SOEDINQ@]IJ SEREDINY) DWUH EGO STORON. oPREDELENIE 3. sREDNEJ LINIEJ TRAPECII NAZYWAETSQ OTREZOK S KONCAMI NA SEREDINAH (SOEDINQ@]IJ SEREDINY) EE BOKOWYH STORON. tEOREMA 3. sREDNQQ LINIQ TREUGOLXNIKA, SOEDINQ@]AQ SEREDINY DWUH KAKIH-LIBO EGO STORON, PARALLELXNA TRETXEJ STORONE I RAWNA EE POLOWINE. tEOREMA 4. sREDNQQ LINIQ TRAPECII PARALLELXNA EE OSNOWANIQM I RAWNA IH POLUSUMME.

dOKAZATELXSTWO

RIS. 3.23 A dOKAZATELXSTWO TEOREMY 3 fORMULIROWKA TEOREMY 3 OZNA^AET, ^TO PRQMAQ, SODERVA]AQ SREDN@@ LINI@ TREUGOLXNIKA, PARALLELXNA PRQMOJ, SODERVA]EJ EGO TRETX@ STORONU. sM. RIS. 3.23 A. pUSTX W 4AB C DE | SREDNQQ LINIQ, KOTORAQ SOEDINQET OTREZKOM SEREDINY D I E STORON AB I B C SOOTWETSTWENNO. tOGDA PO OPREDELENI@ 2 AD = DB , C E = E B . oTLOVIM NA POLUPRQMOJ, DOPOLNITELXNOJ OTNOSITELXNO POLUPRQMOJ E D, OTREZOK E F = E A, STALO BYTX, TO^KI D I F BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ). a POSKOLXKU D | SEREDINA STORONY AB , TO TO^KI A I D BUDUT W ODNOJ PLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ), TOGDA TO^KI A I F BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ). sTALO BYTX, LU^I B A I C F BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ), A POTOMU \AB C I \B C F BUDUT WNUTRENNIMI NAKREST LEVA]IMI UGLAMI PRI PRQMYH (B A) I (C F ) I SEKU]EJ (B C ). dALEE, W TREUGOLXNIKAH E DB I
132


E F C : \DE B

= \F E C KAK WERTIKALXNYE, STORONY B E = E C SOGLASNO USLOWIQM TEOREMY, STORONY DE = E F PO POSTROENI@. sLEDOWATELXNO, 4E DB = 4E F C (PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI), STALO BYTX, STORONY C F = DB I \DB E = \E C F . sOGLASNO SOOTWETSTWU@]EMU PRIZNAKU PARALLELXNOSTI PRQMYH (SM. P. 3:5) C F k B D, A, STALO BYTX, I C F k DA, DALEE, POSKOLXKU PO USLOWI@ DB = AD, TO C F = DA. tAKIM OBRAZOM, W ^ETYREHUGOLXNIKE ADF C ESTX PARA PROTIWOPOLOVNYH PARALLELXNYH I RAWNYH STORON, A POTOMU ADF C | PARALLELOGRAMM, OTKUDA UVE SLEDUET PARALLELXNOSTX DE I AC I RAWENSTWO STORON AC = DF . pO POSTROENI@ DF = 2DE , STALO BYTX, I AC = 2DE , OTKUDA DE = AC , jDE j = jAC j . 2 2 tEOREMA 3 DOKAZANA.

RIS. 3.23 B dOKAZATELXSTWO TEOREMY 4 fORMULIROWKA TEOREMY 4 OZNA^AET, ^TO PRQMAQ, SODERVA]AQ SREDN@@ LINI@ TRAPECII PARALLELXNA PRQMYM, SODERVA]IM EE OSNOWANIQ. sM. RIS. 3.23 B. pUSTX AB C D | TRAPECIQ, AD k B C , M N | EE SREDNQQ LINIQ, KOTORAQ SOEDINQET OTREZKOM SEREDINY M I N STORON AB I C D SOOTWETSTWENNO. tOGDA PO OPREDELENI@ 3: AM = M B , C N = N D. pROWEDEM PRQMU@ ^EREZ TO^KI B I N , TAK KAK TO^KI B , C I N NE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, TO TO^KA B | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH (B C ) I (B N ). w SILU SLEDSTWIQ IZ AKSIOMY PARALLELXNOSTI PRQMYH TAK KAK (B C ) k (AD), TO PRQMAQ (B N ) PERESE^ET PRQMU@ (AD) W NEKOTOROJ TO^KE E . w SILU WYPUKLOSTI TRAPECII AB C D (SM. TEOREMU 1) TO^KI B I N LEVAT W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD). sLEDOWATELXNO, TO^KI E I N | RAZLI^NYE. tO^KA E TAK VE OTLI^NA OT TO^KI D, POSKOLXKU W PROTIWNOM SLU^AE PRQMYE (C D) I (B E ) SOWPADALI BY, A \TO NE TAK. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO TO^KA E LEVIT NA LU^E (DA), TO TOGDA OTREZOK B E CELIKOM LEVAL BY W POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (C D) I NE MOG BY PERESEKATX STORONU C D W TO^KE N . tAKIM OBRAZOM, TO^KA E LEVIT NA LU^E, DOPOLNITELXNOM LU^U DA, STALO BYTX, TO^KA D LEVIT MEVDU TO^KAMI A I E , LU^I DE I DA BUDUT W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (B C ), A POTOMU \N E D I \N B C BUDUT WNUTRENNIMI NAKREST LEVA]IMI PRI (AD) k (B C ) I SEKU]EJ (B E ).
133


rASSMOTRIM 4B N C I 4E N D. u NIH \B N C = \DN E KAK WERTIKALXNYE, \N C B = \N DE KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (C B ) k (DE ) I SEKU]EJ (C D), C N = N D PO USLOWI@. sLEDOWATELXNO, 4B N C = 4E N D PO STORONE I DWUM PRILEVA]IM EJ UGLAM, A POTOMU B N = N E I B C = DE KAK STORONY, LEVA]IE PROTIW SOOTWETSTWENNO RAWNYH UGLOW. tAKIM OBRAZOM, DLQ 4AB E : M N | SREDNQQ LINIQ, A PO\TOMU PO TEOREME 2 M N = = AE =2 = (AD + DE )=2 = (AD + B C )=2. tEOREMA 4 POLNOSTX@ DOKAZANA. zAME^ANIE 1. pRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 4 MY NIGDE NE ISPOLXZOWALI PARALLELXNOSTX ILI NE PARALLELXNOSTX BOKOWYH STORON TRAPECII AB I C D. w SLU^AE AB k C D WYTEKALO BY, ^TO AM = M B = AB =2 = C D=2 = = C N = N D, OTKUDA W SILU AM k DN ; M B k N C SLEDOWALO, ^TO AM N D I M B C N | PARALLELOGRAMMY, A POTOMU AD k M N k B C I AD = M N =
=

PRIMENITELXNO K PARALLELOGRAMMU WERNA I TEOREMA O PLO]ADI TRAPECII (ONA RAWNA PROIZWEDENI@ DLINY SREDNEJ LINII TRAPECII NA DLINU EE WYSOTY), TO ESTESTWENNO S^ITATX PARALLELOGRAMM ^ASTNYM SLU^AEM TRAPECII, ^TO NE WO WSEH U^E BNIKAH PRINQTO. zAME^ANIE 3. pOSKOLXKU OKOLO L@BOJ RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII (W SMYSLE OPREDELENIQ 1) MOVNO OPISATX OKRUVNOSTX, A OKOLO PARALLELOGRAMMA, NE QWLQ@]EGOSQ PRQMOUGOLXNIKOM, OPISATX OKRUVNOSTX NELXZQ, TO PO\TOMU W OPREDELENII RAWNOBEDRENNOJ TRAPECII USLOWIE NEPARALLELXNOSTI ILI PERPENDIKULQRNOSTI HOTQ BY ODNOMU IZ EE OSNOWANIJ BOKOWYH STORON QWLQETSQ SU]ESTWENYM.
3:8. fORMULA DLQ WY^ISLENIQ RASSTOQNIQ MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI. uRAWNENIE OKRUVNOSTI

BC

= (AD + B C )=2. zAME^ANIE 2. pOSKOLXKU

dLQ WYWODA FORMULY RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEOBHODIMO RASSMOTRETX WOPROS I O RASSTOQNII MEVDU TO^KAMI NA ^ISLOWOJ OSI (^ISLOWOJ PRQMOJ ILI KOORDINATNOJ PRQMOJ). nAPOMNIM OPREDELENIE ^ISLOWOJ PRQMOJ. oPREDELENIE 1. pUSTX NA NEKOTOROJ PRQMOJ a WYBRANY: TO^KA O | NA^ALO OTS^ETA, MAS TABNYJ OTREZOK OE , GDE TO^KI O I E RAZLI^NYE, DLINA KOTOROGO S^ITAETSQ RAWNOJ EDINICE (EDINICA IZMERENIQ OTREZKOW), I POLOVITELXNOE (OT TO^KI O K TO^KE E ) I PROTIWOPOLOVNOE EMU OTRICATELXNOE NAPRAWLENIQ. tOGDA \TU PRQMU@ NAZYWA@T ^ISLOWOJ ILI

KOORDINATNOJ PRQMOJ

.

RIS

. 3.24 134

A


nAPOMNIM TEOREMU OB OBOSNOWANII KOORDINATNOGO METODA NA PRQMOJ. tEOREMA 1. mEVDU MNOVESTWAMI WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL R I WSEH TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ (OSI) M MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE, PRI^EM ESLI PRQMAQ RASPOLOVENA GORIZONTALXNO, TO IZ DWUH TO^EK M1 I M2 NA \TOJ PRQMOJ LEVA]EJ PRAWEE (LEWEE) SOOTWETSTWUET BOLX EE (MENX EE) DEJSTWITELXNOE ^ISLO I NAOBOROT, IZ DWUH DEJSTWITELXNYH ^ISEL BOLX EMU (MENX EMU) IZ NIH SOOTWETSTWUET TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, LEVA]AQ PRAWEE (LEWEE). dEJSTWITELXNOE ^ISLO x, WZAIMNO ODNOZNA^NO SOOTWETSTWU@]EE TO^KE M NA ^ISLOWOJ OSI, NAZYWAETSQ KOORDINATOJ (^ISLOWOJ KOORDINATOJ) \TOJ TO^KI. oBOZNA^AETSQ M (x). tO^KE O | NA^ALU OTS^ETA SOOTWETSTWUET ^ISLO 0, TO ESTX O(0), TO^KE E SOOTWETSTWUET ^ISLO 1, TO ESTX E (1) (SM. RIS. 3.34 A). pODROBNEE OB \TOJ TEOREME I WSEH FIGURIRU@]IH W NEJ TERMINAH MOVNO NAJTI W KNIGE 1]. oPREDELENIE 2. rASSTOQNIEM MEVDU DWUMQ TO^KAMI M I N ILI NA PRQMOJ, ILI NA PLOSKOSTI, ILI W PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA M N , TO ESTX jM N j . oBOZNA^AETSQ RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI M I N tAKIM OBRAZOM, (M ; N ) df jM N j I ONO POLOVITELXNO WO WSEH SLU^AQH = KROME SLU^AQ SOWPADENIQ TO^EK, KOGDA ONO RAWNO NUL@. oTMETIM, ^TO SPRAWEDLIWA TEOREMA O TOM, ^TO 8a > 0 OT DANNOJ TO^KI NA DANNOJ POLUPRQMOJ (TO ESTX NA POLUPRQMOJ S NA^ALOM W DANNOJ TO^KE) MOVNO OTLOVITX EDINSTWENNYJ OTREZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA a. pRI \TOM MOVNO UBEDITXSQ, ^TO ESLI W KA^ESTWE NA^ALXNOJ TO^KI POLUPRQMOJ WYSTUPAET NA^ALO OTS^ETA O, IMENNO TO^KA M | M (a), LEVA]AQ PRAWEE TO^KI O, TAKOWA, ^TO jOM j = a, I IMENNO TO^KA M 0 | M 0( a), LEVA]AQ ~ LEWEE TO^KI O, TAKOWA, ^TO jOM 0j = a. tO^EK M NA ^ISLOWOJ OSI, OTLI^NYH ~ KAK OT M , TAK I OT M 0 TAKIH, ^TO jOM j = a, NE SU]ESTWUET. sLEDOWATELXNO, ESLI ^ISLO x 2 R QWLQETSQ KOORDINATOJ TO^KI M NA ^ISLOWOJ OSI, TO (O; M ) = jOM j = jxj. tAKIM OBRAZOM, GEOMETRI^ESKIJ SMYSL MODULQ DEJSTWITELXNOGO ^ISLA x | RASSTOQNIE OT TO^KI M NA ^ISLOWOJ OSI S KOORDINATOJ x DO TO^KI O | NA^ALA OTS^ETA NA \TOJ OSI. tEOREMA 2. pUSTX M1 (x1 ) I M2 (x2 ) | TO^KI NA ^ISLOWOJ OSI SO SWOIMI KOORDINATAMI. tOGDA (M1 ; M2 ) = jM1 M2 j = jx2 x1j. rASSMOTRIM SLEDU@]IE SLU^AI: a) M1 A(a); M2 B (b). sM. RIS. 3.24 A, GDE TO^KA A LEVIT NE LEWEE TO^KI O NA ^ISLOWOJ OSI, TO ESTX ILI A O, ILI A LEVIT PRAWEE O, A TO^KA B LEVIT PRAWEE TO^KI A. w SILU TEOREMY 1: b > a > 0. pRI UKAZAN135 dOKAZATELXSTWO (M ;

N

).


NYH USLOWIQH PRI RASPOLOVENII TO^KI A PRAWEE TO^KI O \TA TO^KA BUDET LEVATX MEVDU TO^KAMI O I B , A POTOMU W SILU OPREDELENIJ SUMMY OTREZKOW, DLINY OTREZKA, SWOJSTW DLINY OTREZKA W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE (W TOM ^ISLE I KOGDA A O) OB = OA + AB ) jOB j = jOAj + jAB j , , jAB j = jOB j jOAj = jbj jaj = b a = jb aj = ja bj. b) M1 M (x); M2 N (y). CM. RIS. 3.24 A, GDE TO^KA N LEVIT NE PRAWEE TO^KI O NA ^ISLOWOJ OSI, TO ESTX ILI N O, ILI N LEVIT LEWEE O, A TO^KA M LEVIT LEWEE TO^KI N . w SILU TEOREMY 1: x < y 6 0. pRI UKAZANNYH USLOWIQH PRI RASPOLOVENII TO^KI N LEWEE TO^KI O \TA TO^KA BUDET LEVATX MEVDU TO^KAMI O I M , A POTOMU ANALOGI^NO SLU^A@ a) W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE (W TOM ^ISLE I KOGDA N O) OM = ON + N M ) jOM j = jON j + +jN M j , jN M j = jOM j jON j = jxj jyj = x + y = jy xj = jx yj. w) M1 N (y); M2 A(a). CM. RIS. 3.24 A, GDE TO^KA N LEVIT LEWEE TO^KI O NA ^ISLOWOJ OSI, A TO^KA A LEVIT PRAWEE TO^KI O. w SILU TEOREMY 1: y < 0 < a. pRI UKAZANNOM RASPOLOVENII TO^EK N , O I A TO^KA O BUDET LEVATX MEVDU TO^KAMI N I A, A POTOMU N A = N O + OA ) jN Aj = = jON j + jOAj = jyj + jaj = y + a = ja yj = jy aj. g) M1 M2 , x1 = x2 (W SILU TEOREMY 1). pRI \TOM df df (M1 ; M2) = jM1 M2 j = 0 = jx2 x1 j. tEOREMA 2 POLNOSTX@ DOKAZANA. oPREDELENIE 3. oTREZOK AB NAZYWAETSQ NAPRAWLENNYM, ESLI ON ZA! DAN UPORQDO^ENNOJ PAROJ * 9 TO^EK A I B . oBOZNA^AETSQ AB ILI AB . w \TIH OBOZNA^ENIQH TO^KA A PERWAQ (NA^ALXNAQ), TO^KA B WT!RAQ (KONE^NAQ). O eSLI TO^KI A I B RAZLI^NYE, TO NAPRAWLENIE WEKTORA AB (OT NA^ALXNOJ TO^KI A K KONE^NOJ TO^KE B ) S^ITAETSQ TAKIM, PRI KOTOROM NA WYBRANNOM NAPRAWLENII NA PRQMOJ (AB ) TO^KA A PRED ESTWUET TO^KE B (PO POWODU PONQTIQ "PRED ESTWUET" SM. 1], o11 STR. 158). eSLI TO^KI A I B SOWPADA@T (A B ), TO NAPRAWLENNYJ OTREZOK AA ! ILI AA NAZYWAETSQ NULEWYM. nAPRAWLENIE NULEWOGO WEKTORA S^ITAETSQ NEOPREDELENNYM.!dLQ NULEWYH NAPRAWLENNYH OTREZKOW ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ 0 ILI 0 . dLQ NAPRAWLENNYH OTREZKOW WWODITSQ PONQTIE DLINY, IME@]EE TAKOJ VE SMYSL, ^TO I DLQ OBY^NOGO OTREZKA AB . dLINA NAPRAWLENNOGO OTREZKA OBOZNA^AETSQ jAB j. s U^ETOM TOGO, ^TO DLINA OTREZKA AB OBOZNA^ALASX jAB j, jAB j = jAB j. pO\TOMU DLINA L@BOGO NENULEWOGO NAPRAWLENNOGO OTREZKA | ^ISLO POLOVITELXNOE, A DLINA NULEWOGO WEKTORA RAWNA NUL@ (jAAj = 0).
9 * pARA TO^EK S^ITAETSQ UPORQDO^ENNOJ, ESLI UKAZANO, KAKAQ IZ NIH | PERWAQ, A KAKAQ IZ NIH | WTORAQ.

136


-

RIS. 3.24 B pUSTX NEKOTORYJ NAPRAWLENNYJ OTREZOK M1M2 ILI LEVIT NA ^ISLOWOJ OSI, ILI LEVIT NA PRQMOJ, PARALLELXNOJ ^ISLOWOJ OSI. tOGDA x1 I x2 | KOORDINATY TO^EK M1 I M2 SOOTWETSTWENNO (W SLU^AE PRINADLEVNOSTI ^ISLOWOJ OSI OTREZKA M1 M2 ), ILI x1 I x2 | KOORDINATY TO^EK M1x I M2x , GDE M1x I M2x | OSNOWANIQ PERPENDIKULQROW, PROWEDENNYH IZ TO^EK M1 I M2 (PROEKCIJ TO^EK M1 I M2 ) SOOTWETSTWENNO, NA ^ISLOWU@ OSX. oPREDELENIE 4. wELI^INOJ NAPRAWLENNOGO OTREZKA M1M2 NAZYWAETSQ ^ISLO, RAWNOE x2 x1 , GDE x1 I x2 | KOORDINATY TO^EK NA^ALA I KONCA UKAZANNOGO NAPRAWLENNOGO OTREZKA (ILI IH PROEKCIJ) NA ^ISLOWOJ OSI. wELI^INA NAPRAWLENNOGO OTREZKA M1 M2 OBOZNA^AETSQ M1 M2 , PRI \TOM SU]ESTWENEN PORQDOK TO^EK M1 I M2 (W OTLI^II OT OBY^NOGO OTREZKA M1 M2 ). iZ \TOGO OPREDELENIQ WYTEKAET, ^TO PRI M1 6 M2 M1 M2 = jM1 M2j, ESLI NAPRAWLENIE M1M2 SOWPADAET S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM ^ISLOWOJ OSI (TO ESTX TO^KA M1 ILI EE PROEKCIQ PRED ESTWUET TO^KE M2 ILI EE PROEKCII NA ^ISLOWU@ OSX), I M1 M2 = jM1 M2 j, ESLI NAPRAWLENIE M1 M2 PROTIWOPOLOVNO POLOVITELXNOMU NAPRAWLENI@ (SOWPADAET S OTRICATELXNYM NAPRAWLENIEM) ^ISLOWOJ OSI (TO ESTX TO^KA M2 ILI EE PROEKCIQ PRED ESTWUET TO^KE M1 ILI EE PROEKCII NA ^ISLOWU@ OSX). eSLI M1 M2 , x1 = x2 (M1 M2 | NULEWOJ), TO EGO WELI^INA RAWNA NUL@ (M1 M1 = M2 M2 = 0). eSLI IZMENITX PORQDOK KONCOW NAPRAWLENNOGO OTREZKA, TO EGO DLINA NE IZMENITSQ, A WELI^INA IZMENIT ZNAK NA PROTIWOPOLOVNYJ M1 M2 = M2 M1 ; jM1M2 j = jM2M1 j. wY E, NA RIS. 3.24 B AB = jAB j = jb aj = b a; M N = jM N j = jy xj = (y x) = x y; OE = jOE j = 1 0 = 1. oPREDELENIE 5. eSLI NA NEKOTOROJ PLOSKOSTI ZADANY DWE WZAIMNO PERPENDIKULQRNYE ^ISLOWYE PRQMYE S OB]IM NA^ALOM OTS^ETA (TO^KOJ O IH PERESE^ENIQ), RAWNYMI NA \TIH OSQH EDINICAMI IZMERENIQ OTREZKOW (TO ESTX EDINYM MAS TABOM NA WSEJ PLOSKOSTI), TO GOWORQT, ^TO NA \TOJ PLOSKOSTI ZADANA DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT, \TA PLOSKOSTX NAZYWAETSQ KOORDINATNOJ PLOSKOSTX@, A \TI OSI NAZYWA@TSQ KOORDINATNYMI OSQMI, TO^KA O NAZYWAETSQ NA^ALOM

KOORDINAT

eSLI ODNA IZ \TIH OSEJ RASPOLOVENA GORIZONTALXNO | OSX ABSCISS, A DRUGAQ | WERTIKALXNO | OSX ORDINAT, TO POLOVITELXNOE (OTRICATELXNOE)
137

.


NAPRAWLENIQ NA NIH WYBRANY SOOTWETSTWENNO WPRAWO (WLEWO) I WWERH (WNIZ) OT TO^KI O. oSX ABSCISS OBOZNA^AETSQ Ox, OSX ORDINAT OBOZNA^AETSQ Oy, KOORDINATNAQ PLOSKOSTX OBOZNA^AETSQ Oxy. tEOREMA 3. mEVDU MNOVESTWAMI WSEH TO^EK M KOORDINATNOJ PLOSKOSTI I WSEH UPORQDO^ENNYH PAR DEJSTWITELXNYH ^ISEL (x; y) MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. sHEMU DOKAZATELXSTWA \TOJ TEOREMY SM. 1], STR. 304 | 306. uPORQDO^ENNU@ PARU ^ISEL (x; y), GDE x; y 2 R NAZYWA@T KOORDINATAMI TO^KI M NA PLOSKOSTI, OBOZNA^A@T M (x; y), x | ABSCISSA TO^KI M , y | ORDINATA TO^KI M . tO^KA O | NA^ALO KOORDINAT IMEET KOORDINATY RAWNYE NUL@, TO ESTX O(0; 0) (SM. RIS. 3.25 A). kOORDINATY TO^KI M (x; y) | KOORDINATY EE PROEKCIJ NA OSI ABSCISS Mx (x) I NA OSI ORDINAT My (y) SOOTWETSTWENNO (SM. RIS. 3.25 A). oTMETIM, ^TO DWE UPORQDO^ENNYE PARY ^ISEL (x1 ; y1) I (x2 ; y2) S^ITA@TSQ SOWPADA@]IMI (RAZLI^NYMI), ESLI x1 = x2; , (x2 x1 )2+ x1 = x2 ; , (x2 x1 )2 + 6 y =y +(y y )2 = 0 y 6= y +(y y )2 > 0 :
1 2 2 1 1 2 2 1

RIS. 3.25 A tEOREMA 4. pUSTX

jM1 M2 j

M1

=(

M1 (x1 ; y1) ; M2 | M2 (x2; y2 ), TOGDA p M1 ; M2) = (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 :
|

RIS

. 3.25

B

RIS

. 3.25

W

pUSTX TO^KI M1 I M2 RAZLI^NYE. rASSMOTRIM SLEDU@]IE SLU^AI. a) (M1 M2 ) k Ox ILI (M1 M2 ) 2 Ox, TOGDA TAK KAK Ox ? Oy, TO W SILU SLEDSTWIQ IZ TEOREMY 4 P. 3:5 (M1 M2 ) ? Oy. pUSTX M0 (y0 ) (M1 M2 ) \ Oy, M0 | SOWPADA@]IE PROEKCII TO^EK M1 I M2 NA OSX Oy, PO\TOMU ORDINATY TO^EK M1 I M2 RAWNY, y1 = y2 = y0 ) y2 y1 = 0 (SM. RIS. 3.25 B). eSLI OTREZOK M1 M2 2 Ox, TO W SILU TEOREMY 2 O RASSTOQNII MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA ^ISLOWOJ PRQMOJ jM1M2 j = jx2 x1j. eSLI OTREZOK M1 M2 2 Ox, TO ESLI OPUSTITX IH \TIH TO^EK PERPENDIKU= LQRY NA OSX Ox, M1x I M2x | OSNOWANIQ \TIH PERPENDIKULQROW, MY POLU^IM PRQMOUGOLXNIK M1x M1 M2 M2x, U KOTOROGO (PO SOOTWETSTWU@]EMU SWOJSTWU) STORONY M1x M2x I M1 M2 RAWNY, OTKUDA I W SILU TEOREMY 2 jM1 M2j = jM1x M2xj = jx2 x1j. sLEDOWATELXNO, W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE:
138

dOKAZATELXSTWO


p p x1j = (x2 x1)2 = (x2 x1)2 + 02 = = (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 : b) (M1 M2 ) k Oy ILI (M1 M2 ) 2 Oy, TOGDA TAK KAK Ox ? Oy, TO W SILU SLEDSTWIQ IZ TEOREMY 4 P. 3:5 (M1 M2 ) ? Ox. pUSTX M0 (x0 ) (M1 M2 ) \ Ox, M0 | SOWPADA@]IE PROEKCII TO^EK M1 I M2 NA OSX Ox, PO\TOMU ABSCISSY TO^EK M1 I M2 RAWNY, x1 = x2 = x0 ) x2 x1 = 0 (SM. RIS. 3.25 W). eSLI OTREZOK M1 M2 2 Oy, TO W SILU TEOREMY 2 O RASSTOQNII MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA ^ISLOWOJ PRQMOJ jM1M2 j = jy2 y1 j. eSLI OTREZOK M1 M2 2 Oy, TO, OPUSKAQ IH \TIH TO^EK PERPENDIKULQRY NA OSX Oy, = M1y I M2y | OSNOWANIQ \TIH PERPENDIKULQROW, MY POLU^IM PRQMOUGOLXNIK M1y M1 M2 M2y , U KOTOROGO (PO SOOTWETSTWU@]EMU SWOJSTWU) STORONY M1y M2y I M1 M2 RAWNY, OTKUDA I W SILU TEOREMY 2: jM1M2 j = jM1y M2y j = = jy2 y1 j. sLEDOWATELXNO, W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE: p p (M1 ; M2 ) = jM1 M2j = jy2 y1 j = (y2 y1 )2 = 02 + (y2 y1 )2 = p = (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 :
(M1 ;

M2

)=

jM1M2 j = jx p

2

RIS. 3.25 G RIS. 3.25 D w) (M1 M2 ) 6k Ox I (M1 M2 ) 6k Oy (SM. RIS. 3.25 G). ~EREZ TO^KU M1 PROWEDEM PRQMU@ `1 k Ox (ESLI M1 2 Ox, TO `1 Ox), ^EREZ TO^KU M2 PROWEDEM PRQMU@ `2 k Oy (ESLI M2 2 Oy, TO `2 Oy). tAK KAK `1 k Ox ILI `1 Ox, TO W SILU Ox ? Oy I SLEDSTWIQ IZ TEOREMY 4 P. 3:5 `1 ? Oy, A TAK KAK `2 k Oy ILI `2 Oy, TO W SILU TOGO VE SLEDSTWIQ `1 ? `2 . sLEDOWATELXNO, PRQMYE `1 I `2 PERESEKUTSQ W NEKOTOROJ TO^KE N . |TA TO^KA N OTLI^NA KAK OT TO^KI M1 , TAK I OT TO^KI M2 . pREDPOLAGAQ PROTIWNOE, ^TO, NAPRIMER, N M1 POSKOLXKU N 2 `2 , TO I M1 2 `2 . a TAK KAK M2 2 `2 I M1 6 M2 , TO `2 (M1 M2 ). pOSLEDNEE OBSTOQTELXSTWO OZNA^AET, ^TO (M1 M2 ) k Oy, ^TO PROTIWORE^IT RASSMATRIWAEMOMU SLU^A@. aNALOGI^NO USTANAWLIWAETSQ NEWOZMOVNOSTX SOWPADENIQ TO^EK M2 I N . pUSTX N | N (x0 ; y0). tAK KAK (M1 N ) k Ox, TO SOGLASNO SLU^A@ a) y0 = y1 , A TAK KAK (M2 N ) k Oy, TO SOGLASNO SLU^A@ b) x0 = x2, SLEDOWATELXNO, N | N (x2; y1 ). iZ USLOWIJ N 6 M1 I N 6 M2 SOOTWETSTWENNO WYTEKAET, ^TO
139


x =x 6 , x1 6= x2 I y 2 6= y 2 ; , y1 = y2 : 6 1 2 tAKIM OBRAZOM, POPUTNO USTANOWLENO, ^TO IZ USLOWIJ M1 (x1 ; y1) 6 M2 (x2 ; y2) I M1 M2 6k Ox, M1 M2 6k Oy, WYTEKAET, ^TO x1 = x2 ; 6 y1 6= y2 : oTMETIM, ^TO (M1 M2 ) k Ox(Oy) , y2 = y1 (x1 = x2), OTKUDA WYTEKAET OBRATNOE K SFORMULIROWANNOMU PERED \TIM UTWERVDENIE x1 = x2; ) M1 M2 6k Ox; 6 y1 6= y2 M1 M2 6k Oy : 4M1 N M2 | PRQMOUGOLXNYJ, TAK KAK (M1 N ) ? (N M2 ), PO DOKAZANNOMU W SLU^AQH a) I b) jM1 N j = jx2 x1j; jN M2j = jy2 y1 j, SLEDOWATELXNO PO TEOREME pIFAGORA DLQ 4p1 N M2 I W SLU^AE w)pOLU^AEM, ^TO M P (M1 ; M2) = jM1 M2 j = jM1 N j2 + jN M2 j2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 : oSTALOSX RASSMOTRETX POSLEDNIJ, PROSTEJ IJ SLU^AJ, KOGDA M1 M2 . w SILU TEOREMY 3 \TO OZNA^AET, ^TO KOORDINATY \TIH TO^EK SOWPADA@T, TO ESTX x1 = x2 , (x2 x1) = 0 I y1 = y2 , (y2 y1 ) = 0. tAK KAK PO OPREDELENI@ W \TOM SLU^AE (p 1 ; M2) = jM1M2p= 0, TO Mp j 2 + 02 = (x2 x1)2 + (y2 y1 )2 : (M1 ; M2) = jM1M2 j = 0 = 0 = 0 tEOREMA 4 POLNOSTX@ DOKAZANA. uRAWNENIE OKRUVNOSTI. sFORMULIRUEM (E]E RAZ) OPREDELENIE OKRUVNOSTI. oPREDELENIE 6. oKRUVNOSTX@ NAZYWAETSQ FIGURA, SOSTOQ]AQ IZ WSEH TO^EK PLOSKOSTI, RASPOLOVENNYH NA RAWNOM POLOVITELXNOM RASSTOQNII OT NEKOTOROJ FIKSIROWANNOJ TO^KI \TOJ PLOSKOSTI. uKAZANNAQ TO^KA NAZYWAETSQ CENTROM OKRUVNOSTI. rADIUSOM OKRUVNOSTI NAZYWAETSQ L@BOJ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ TO^ KU OKRUVNOSTI S EE CENTROM, A TAKVE RADIUSOM NAZYWAETSQ RASSTOQNIE (DLINA OTREZKA) OT L@BOJ TO^KI OKRUVNOSTI DO EE CENTRA. zAME^ANIE. tRE BOWANIE POLOVITELXNOSTI RASSTOQNIQ W OPREDELENII 6 WYZWANO TEM, ^TO ESLI BY \TO RASSTOQNIE RAWNQLOSX NUL@ (A \TO WOZMOVNO MEVDU SOWPADA@]IMI TO^KAMI), TO TOGDA OKRUVNOSTX@ (S NULEWYM RADIUSOM) MOGLA BYTX I WSEGO ODNA TO^KA. tRADICIONNO ODNU TO^KU NE PRINQTO S^ITATX OKRUVNOSTX@. w SILU DOKAZANNOJ TEOREMY 4 O RASSTOQNII MEVDU DWUMQ TO^KAMI NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI I OPREDELENIQ 6 TO^KA M (x; y) PRINADLEVIT OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE M0 (x0; y0 ) RADIUSA R > 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA (M ; M0 ) = R ILI (x x0)2 + (y y0 )2 = R2. sLEDOWATELXNO, URAW; 140

x1 = x2 6 y1 6= y1

-


(

w SLU^AE PROSTRANSTWA KROME SITUACII, KOGDA DWE PRQMYE NAHODQTSQ W ODNOJ PLOSKOSTI I NE IME@T OB]IH TO^EK (TO ESTX PARALLELXNY), WOZMOVNO I TAKOE RASPOLOVENIE PRQMYH, KOGDA ONI NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI. oPREDELENIE 1. pRQMYE W PROSTRANSTWE, KOTORYE NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, NAZYWA@TSQ SKRE]IWA@]IMISQ.

3:9. pRIZNAK PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI. tEOREMA OB OB]EM PERPENDIKULQRE K DWUM SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM. tEOREMA O TREH PERPENDIKULQRAH

NENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE M0 (x0 ; y0) RADIUSA R > 0 IMEET WID SM. WY E RIS. 57 D) (x x0 )2 + (y y0 )2 = R2. eSLI M0 | O(0; 0), TO ESTX x0 = y0 = 0, TO SLEDOWATELXNO, x2 + y2 = R2 | URAWNENIE OKRUVNOSTI RADIUSA R S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT.

RIS. 3.26 B RIS. 3.26 W SU]ESTWOWANII SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH). eSLI ODNA IZ DWUH PRQMYH LEVIT W NEKOTOROJ PLOSKOSTI, A DRUGAQ IZ \TIH PRQMYH PERESEKAET \TU PLOSKOSTX W TO^KE, NE LEVA]EJ NA PERWOJ PRQMOJ, TO TAKIE PRQMYE QWLQ@TSQ SKRE]IWA@]IMISQ. sM. RIS. 3.26 A. pUSTX PRQMAQ a LEVIT W PLOSKOSTI , PRQMAQ b PERESEKAET PLOSKOSTX W TO^KE C . sLEDUET OTMETITX, ^TO PODOBNAQ KONFIGURACIQ SU]ESTWUET. eSLI PROWESTI ^EREZ TO^KI A I B PRQMU@ a (PO SOOTWETSTWU@]EJ AKSIOME SM. 1], RAZDEL II, P. 2.3.0) ONA BUDET LEVATX W PLOSKOSTI , TO^KA C (SU]ESTWOWANIE TAKOJ TO^KI C TAKVE GARANTIRUETSQ ODNOJ IZ AKSIOM, SM. 1], RAZDEL II, P. 2.3.0), A TAKVE ESLI ^EREZ TO^KI C I D (D 62) PROWESTI PRQMU@ b, TO PRQMAQ b NE BUDET LEVATX W PLOSKOSTI , TAK KAK W PROTIWNOM SLU^AE TO^KA D LEVALA BY W PLOSKOSTI , ^TO NEWERNO. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO SU]ESTWUET NEKOTORAQ PLOSKOSTX , SODERVA]AQ PRQMYE a I b, A STALO BYTX, I WSE ^ETYRE TO^KI A, B , C , D, TO W SILU EDINSTWENNOSTI PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI A, B , C , PLOSKOSTI I SOWPADUT, STALO BYTX, TO^KA D DOLVNA BUDET OKAZATXSQ W PLOSKOSTI , ^TO NEWERNO. sLEDOWATELXNO, PRQMYE a I b NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, A POTOMU ONI SKRE]IWA@TSQ. tEOREMA 1 DOKAZANA.
141 dOKAZATELXSTWO

. 3.26 A tEOREMA 1 (O

RIS


zAME^ANIE. sKRE]IWA@]IESQ PRQMYE NE IME@T OB]IH TO^EK. |TO LEGKO DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO. pREDPOLAGAQ SU]ESTWOWANIE OB]EJ TO^KI U \TIH PRQMYH, MY POLU^IM, ^TO ESLI \TI PRQMYE RAZLI^NY, TO ONI LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, ESLI \TI PRQMYE SOWPADA@T (A \TO PRI NALI^II U NIH DWUH RAZLI^NYH OB]IH TO^EK), TO ^EREZ NIH PROHODIT BESKONE^NOE MNOVESTWO PLOSKOSTEJ. tEOREMA 2. ~EREZ KAVDU@ IZ DWUH SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX, PARALLELXNAQ DRUGOJ PRQMOJ, PRI^EM \TI PLOSKOSTI PARALLELXNY. dOKAZATELXSTWO sM. RIS. 3.26 B. pUSTX a (AB ) I b (C D) | DWE SKRE]IWA@]IESQ PRQMYE. dOKAVEM, ^TO, NAPRIMER, ^EREZ PRQMU@ (C D) PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX, PARALLELXNAQ PRQMOJ (AB ). pROWEDEM ^EREZ TO^KU C PRQMU@ a0 (C E ), PARALLELXNU@ PRQMOJ a, tAK KAK b 6k a, TO PRQMYE b I a0 | RAZLI^NYE. pOSKOLXKU \TI PRQMYE IME@T OB]U@ TO^KU C , TO C | TO^KA IH PERESE^ENIQ. ~EREZ PRQMYE a0 I b MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX (OBOZNA^IM EE ZA ), PRI \TOM, TAK KAK PRQMYE a I b SKRE]IWA@TSQ, a NE LEVIT W PLOSKOSTI . tAK KAK a k a0 , a0 2 , TO a k . sU]ESTWOWANIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ PRQMU@ b, PARALLELXNO PRQMOJ a, DOKAZANO. dOKAVEM EE EDINSTWENNOSTX. pREDPOLOVIM, ^TO ^EREZ PRQMU@ b PROHODIT E]E ODNA PLOSKOSTX 0 6 , PARALLELXNAQ PRQMOJ a. s ODNOJ STORONY, \TA PLOSKOSTX PROHODIT ^EREZ TO^KU C , S DRUGOJ STORONY, ONA NE SODERVIT PRQMU@ a0 (INA^E ONA SOWPADALA BY S PLOSKOSTX@ ). sLEDOWATELXNO, PLOSKOSTX 0 PERESEKAET PRQMU@ a0 , TAK KAK a0 k a, TO PLOSKOSTX 0 PERESEKAET PRQMU@ a, PRI LI K PROTIWORE^I@ S TEM, ^TO a k 0 . pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI k a TAKOJ, ^TO b 2 I PRQMYE a I b SKRE]IWA@TSQ. aNALOGI^NYM OBRAZOM, PROWODQ ^EREZ TO^KU A 2 a PRQMU@ b0 k b I ZATEM ^EREZ PRQMYE a I b0 | PLOSKOSTX , MY POLU^IM, ^TO b k (SM. RIS. 3.26 W). eDINSTWENNOSTX \TOJ PLOSKOSTI DOKAZYWAETSQ TO^NO TAK VE, KAK DOKAZYWAETSQ EDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI . dALEE, POLU^IW, ^TO W PLOSKOSTI IME@TSQ DWE PERESEKA@]IESQ PRQMYE b I a0 SOOTWETSTWENNO PARALLELXNYE PRQMYM b0 I a, LEVA]IM W PLOSKOSTI , A POTOMU BUDEM IMETX, ^TO k . tEOREMA 2 POLNOSTX@ DOKAZANA.

RIS. 3.27 A RIS. 3.27 B RIS. 3.27 W oTMETIM TRI WOZMOVNYH WZAIMNYH RASPOLOVENIQ DWUH PRQMYH W PROSTRANSTWE: A) PRQMYE PERESEKA@TSQ (IME@T EDINSTWENNU@ OB]U@ TO^KU), ^EREZ NIH PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX (SM. RIS. 3.27 A);
142


B) PRQMYE PARALLELXNY (ONI LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI I NE IME@T OB]IH TO^EK), PLOSKOSTX, W KOTOROJ ONI LEVAT, EDINSTWENNAQ (SM. RIS. 3.27 B); W) PRQMYE SKRE]IWA@TSQ (ONI NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI I NE IME@T OB]IH TO^EK, SM. RIS. 3.27 W). zAME^ANIE. eDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI, W KOTOROJ LEVAT PARALLELXNYE PRQMYE, OBOSNOWYWAETSQ TAK. pUSTX a I b | PARALLELXNYE PRQMYE. wYBEREM PROIZWOLXNYE DWE TO^KI NA PRQMOJ a I ODNU TO^KU NA PRQMOJ b. ~EREZ \TI TRI TO^KI PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX. pRQMAQ a LEVIT W \TOJ PLOSKOSTI. w SILU EDINSTWENNOSTI PRQMOJ W PROSTRANSTWE, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA DRUGOJ PRQMOJ, KOTORAQ PARALLELXNA \TOJ DRUGOJ PRQMOJ, WSQKAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ PRQMOJ a I PROHODQ]AQ ^EREZ TRETX@ TO^KU, MOVET TOLXKO SOWPADATX S PRQMOJ b, PO\TOMU PRQMAQ b LEVIT W POSTROENNOJ PLOSKOSTI. pREDPOLAGAQ, ^TO ^EREZ \TI PRQMYE PROJDET E]E ODNA PLOSKOSTX, MY POLU^IM, ^TO ONA PROJDET I ^EREZ WYBRANNYE WY E TRI TO^KI, TEM SAMYM, POLU^IM PROTIWORE^IE S TEM, ^TO ^EREZ TRI TO^KI, NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, PROHODIT TOLXKO ODNA PLOSKOSTX. |TO PROTIWORE^IE DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ PARALLELXNYE PRQMYE. pRI PERESE^ENII DWUH PRQMYH a I b OBRAZU@TSQ ^ETYRE UGLA, IME@]IE OB]U@ WER INU W TO^KE PERESE^ENIQ \TIH PRQMYH. iZ NIH DWE PARY WERTIKALXNYH UGLOW, A TAKVE ^ETYRE PARY SMEVNYH UGLOW. w SILU RAWENSTWA WERTIKALXNYH UGLOW NERAWNYMI MOGUT BYTX TOLXKO SMEVNYE UGLY, PRI USLOWII, ^TO ODIN IZ NIH OSTRYJ, DRUGOJ | TUPOJ. oSTRYJ UGOL QWLQETSQ MENX IM IZ \TIH UGLOW, TUPOJ | BOLX IM IZ NIx. sOOTWETSTWU@]IE OPREDELENIQ I UTWERVDENIQ SM. PODROBNEE W KNIGE 1]. dOGOWORIMSQ WS@DU W DALXNEJ EM UGLOM MEVDU PERESEKA@]IMISQ NE PERPENDIKULQRNYMI PRQMYMI S^ITATX MENX IJ IZ UGLOW, OBRAZU@]IHSQ PRI IH PERESE^ENII. eSLI \TI PRQMYE WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, TO UGOL MEVDU NIMI PRQMOJ. uGOL MEVDU PARALLELXNYMI ILI SOWPADA@]IMI PRQMYMI BUDEM S^ITATX NULEWYM. oPREDELENIE 2. uGLOM MEVDU SKRE]IWA@]IMISQ PRQMYMI NAZYWAETSQ UGOL MEVDU PERESEKA@]IMISQ PRQMYMI, KOTORYE SOOTWETSTWENNO PARALLELXNY DANNYM SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM. pRI \TOM MEROJ TAKOGO UGLA ESTESTWENNO S^ITATX MERU UGLA MEVDU SOOTWETSTWENNO PARALLELXNYMI IM PERESEKA@]IMISQ PRQMYMI (SM. RIS. 3.27 W). w U^E BNIKAH GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO \TOT UGOL NE ZAWISIT OT TOGO, KAKIE BERUTSQ PERESEKA@]IESQ PRQMYE I GDE RASPOLOVENA IH TO^KA PERESE^ENIQ.
143


KULQRNYMI, ESLI UGOL MEVDU NIMI PRQMOJ

oPREDELENIE

3.

dWE PRQMYE W PROSTRANSTWE NAZYWA@TSQ
.

PERPENDI

-

RIS. 3.28 A RIS. 3.28 B tEOREMA 3. eSLI ODNA IZ DWUH PARALLELXNYH PRQMYH PERPENDIKULQRNA TRETXEJ PRQMOJ, TO I DRUGAQ IZ NIH PERPENDIKULQRNA \TOJ PRQMOJ. pUSTX a, b I c | PRQMYE W PROSTRANSTWE, a k b, a ? c. tRE BUETSQ DOKAZATX, ^TO b ? c. sM. RIS. 3.28 A. dLQ \TOGO ^EREZ PROIZWOLXNU@ TO^KU M PROSTRANSTWA, NE PRINADLEVA]U@ NI ODNOJ IZ PRQMYH a, b I c, PROWEDEM PRQMYE (M A) k a, (M C ) k c. pO OPREDELENI@ PERPENDIKULQRNOSTI PRQMYH W PROSTRANSTWE \AM C | PRQMOJ. tAK KAK (M A) k a, a k b, TO (M A) k b, SOGLASNO OPREDELENIQM 2 I 3 b ? c. tEOREMA 3 DOKAZANA. zAME^ANIE. sU]ESTWOWANIE TO^KI M W DOKAZATELXSTWE TEOREMY 3 SLEDUET IZ SLEDU@]IH RASSUVDENIJ. eSLI PRQMYE a, b I c LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, TO W KA^ESTWE TO^KI M MOVNO WZQTX PROIZWOLXNU@ TO^KU, NE LEVA]U@ W \TOJ PLOSKOSTI. eSLI PRQMAQ c NE LEVIT W PLOSKOSTI PARALLELXNYH PRQMYH a I b, TO c IMEET NE BOLEE ODNOJ OB]EJ TO^KI S PLOSKOSTX@ . wYBEREM, NAPRIMER, TO^KU A NA PRQMOJ a, KOTORAQ NE LEVIT NA PRQMOJ c I TO^KU C NA PRQMOJ c TAKU@, ^TO C NE LEVIT W PLOSKOSTI (O^EWIDNO, ^TO A 6 C ). w KA^ESTWE TO^KI M MOVNO WZQTX, NAPRIMER, SEREDINU OTREZKA AC , M 6 A, M 6 C . tO^KA M 62 (W PROTIWNOM SLU^AE WSQ PRQMAQ (AM ), W TOM ^ISLE I TO^KA C BUDET W PLOSKOSTI , ^TO NEWERNO), SLEDOWATELXNO M 62 a I M 62 b, TO^KA M TAKVE NE LEVIT NA PRQMOJ c (W PROTIWNOM SLU^AE PRQMAQ (C M ) c, A POTOMU A 2 c, ^TO NEWERNO). oPREDELENIE 4. pRQMAQ, PERESEKA@]AQ PLOSKOSTX, NAZYWAETSQ PERPENDIKULQRNOJ \TOJ PLOSKOSTI, ESLI ONA PERPENDIKULQRNA L@BOJ PRQMOJ, KOTORAQ LEVIT W DANNOJ PLOSKOSTI. pRI \TOM TAKVE PLOSKOSTX NAZYWAETSQ PERPENDIKULQRNOJ UKAZANNOJ PRQMOJ.
dOKAZATELXSTWO

144


RIS. 3.28 W RIS. 3.28 G tEOREMA 4. eSLI ODNA IZ DWUH PARALLELXNYH PRQMYH PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI, TO I DRUGAQ IZ NIH PERPENDIKULQRNA \TOJ PLOSKOSTI. pUSTX a, b | PRQMYE W PROSTRANSTWE, a k b, | PLOSKOSTX, a ? . tRE BUETSQ DOKAZATX, ^TO b ? . sM. RIS. 3.28 B. pROWEDEM W PLOSKOSTI PROIZWOLXNU@ PRQMU@ m. w SILU PROIZWOLXNOSTI PRQMOJ m I OPREDELENIQ 4 SLEDUET a ? m, A W SILU TEOREMY 3 WYTEKAET, ^TO b ? m. w SILU PROIZWOLXNOSTI PRQMOJ m I OPREDELENIQ 4 SLEDUET, ^TO b ? . tEOREMA 4 DOKAZANA. iMEET MESTO I OBRATNAQ TEOREMA. tEOREMA 5. eSLI DWE PRQMYE PERPENDIKULQRNY PLOSKOSTI, TO ONI PARALLELXNY. dOKAZATELXSTWO sM. RIS. 3.28 W I G. pUSTX PRQMYE a I b PERPENDIKULQRNY PLOSKOSTI , TRE BUETSQ DOKAZATX, ^TO ONI PARALLELXNY. pROWEDEM ^EREZ NEKOTORU@ TO^KU M 2 b PRQMU@ b1, PARALLELXNU@ PRQMOJ a. w SILU TEOREMY 4: b1 ? . dOKAVEM, ^TO PRQMYE b1 I b SOWPADA@T, TOGDA BUDET SLEDOWATX a k b. pREDPOLOVIM, ^TO PRQMYE b I b1 NE SOWPADA@T, TOGDA ONI PERESEKA@TSQ W TO^KE M I ^EREZ NIH MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX . pOSKOLXKU SOGLASNO OPREDELENI@ 4: PRQMAQ b I PLOSKOSTX PERESEKA@TSQ, TO ONI IME@T OB]U@ TO^KU. sLEDOWATELXNO, PLOSKOSTI I IME@T OB]U@ TO^KU I POTOMU ONI IME@T OB]U@ PRQMU@ c, PO KOTOROJ ONI PERESEKA@TSQ. tAK KAK b ? I b1 ? , TO W SILU OPREDELENIQ 4 b ? c I b1 ? c, POLU^ILI, ^TO IZ TO^KI M K PRQMOJ c W PLOSKOSTI PROWEDENO DWA PERPENDIKULQRA, ^TO NEWOZMOVNO. sLEDOWATELXNO, b1 b ) a k b. tEOREMA 5 DOKAZANA. tEOREMA 6 (PRIZNAK PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI). eSLI PRQMAQ PERPENDIKULQRNA DWUM PERESEKA@]IMSQ PRQMYM, LEVA]IM W PLOSKOSTI, TO ONA PERPENDIKULQRNA DANNOJ PLOSKOSTI.
dOKAZATELXSTWO

145


RIS

. 3.29

A

RIS

. 3.29

B

sM. RIS. 3.29 B. rASSMOTRIM PRQMU@ a, TAKU@, ^TO a ? m, a ? n, m; n 2 ; m \ n O (m I n | UKAZANNYE W USLOWII TEOREMY PRQMYE, O | TO^KA IH PERESE^ENIQ). tRE BUETSQ DOKAZATX, ^TO PRQMAQ a PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI (a ? ). dLQ \TOGO (SOGLASNO OPREDELENI@ 4) DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO PRQMAQ a PERPENDIKULQRNA PROIZWOLXNOJ PRQMOJ q, LEVA]EJ W PLOSKOSTI . rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA PRQMAQ a PROHODIT ^EREZ TO^KU O, PRI^EM q 6 m I q 6 n. * 10 ~EREZ TO^KU O W PLOSKOSTI PROWEDEM PRQMU@ l k q (ESLI OKAZALOSX, ^TO q PROHODIT ^EREZ TO^KU O, TO W KA^ESTWE PRQMOJ l MOVNO WZQTX PRQMU@ q). wYBEREM NA PRQMOJ a TO^KU A, OTLI^NU@ OT TO^KI O I NA DOPOLNITELXNOM PO OTNO ENI@ K LU^U OA LU^E OB WYBEREM TO^KU B TAKU@, ^TO OB = OA TEM SAMYM, TO^KA O BUDET SEREDINOJ OTREZKA AB . pROWEDEM W PLOSKOSTI PRQMU@ p, PERESEKA@]U@ PRQMYE l, m I n SOOTWETSTWENNO W TO^KAH L, M I N . pODROBNEE OB \TOM SM. W KNIGE 1]. dLQ OPREDELENNOSTI BUDEM S^ITATX, ^TO TO^KA N NA PRQMOJ p LEVIT MEVDU TO^KAMI L I M . pRQMYE m I n QWLQ@TSQ SEREDINNYMI PERPENDIKULQRAMI, PROWEDENNYMI SOOTWETSTWENNO W PLOSKOSTQH (AM B ) I (AN B ), K OTREZKU AB . w SILU SWOJSTWA SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU AM = B M I AN = B N . w 4AM N I 4B M N TAKVE STORONA M N | OB]AQ. sLEDOWATELXNO, 4AM N = 4B M N (PO TREM STORONAM), A POTOMU \AM L = \B M L. dALEE, RASSMOTRIM 4AM L I 4B M L, U NIH STORONA M L | OB]AQ, AM = B M , \AM L = \B M L, SLEDOWATELXNO, 4AM L = 4B M L (PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI), A POTOMU AL = B L. pOSLEDNEE RAWENSTWO OZNA^AET, ^TO 4ALB | RAWNOBEDRENNYJ, OL | EGO MEDIANA, PROWEDENNAQ K OSNOWANI@ AB , KOTORAQ (SOGLASNO SWOJSTWAM RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA) QWLQETSQ WYSOTOJ. tAKIM OBRAZOM, a (AB ) ? (OL) l. w
10 * sU]ESTWOWANIE TAKOJ PRQMOJ q MOVNO POLU^ITX, NAPRIMER, WYBIRAQ NA KAVDOJ IZ PRQMYH m I n TO^KI M I N , OTLI^NYE OT TO^KI O IH PERESE^ENIQ, SOEDINQQ IH PRQMOJ, ZATEM, WYBIRAQ NA PRQMOJ (M N ) OTLI^NU@ OT M I N TO^KU L I PROWODQ PRQMU@ q (OL).

dOKAZATELXSTWO

146


SLU^AE l q SRAZU SLEDUET, ^TO a ? q. w SLU^AE l k q TAK KAK PO DOKAZANNOMU l ? a, TO W SILU TEOREMY 3: a ? q. w SILU PROIZWOLXNOSTI WYBRANNOJ PRQMOJ q 2 I OPREDELENIQ 4 SLEDUET, ^TO PRQMAQ a ? . rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA PRQMAQ a NE PROHODIT ^EREZ TO^KU O. pROWEDEM ^EREZ TO^KU O PRQMU@ a1 k a, W SILU TEOREMY 3 a1 ? m I a1 ? n, PO DOKAZANNOMU W PREDYDU]EM SLU^AE a1 ? , TEPERX W SILU TEOREMY 4 POLU^AEM, ^TO a ? . tEOREMA 6 POLNOSTX@ DOKAZANA. zAME^ANIE. uTWERVDENIE, OBRATNOE TEOREME, 6 NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET IZ OPREDELENIQ 4. oPREDELENIE 5. oB]IM PERPENDIKULQROM DWUH SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH NAZYWAETSQ OTREZOK S KONCAMI NA \TIH PRQMYH, QWLQ@]IJSQ PERPENDIKULQROM K KAVDOJ IZ NIH (TO ESTX \TOT OTREZOK LEVIT NA PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ KAVDOJ IZ \TIH SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH).

RIS. 3.30 dWE SKRE]IWA@]IESQ PRQMYE IME@T OB]IJ PERPENDIKULQR, I PRITOM TOLXKO ODIN. oN QWLQETSQ OB]IM PERPENDIKULQROM PARALLELXNYH PLOSKOSTEJ, PROHODQ]IH ^EREZ \TI PRQMYE.
tEOREMA
7.

pUSTX a I b | DANNYE SKRE]IWA@]IESQ PRQMYE. sOGLASNO TEOREME 2 ^EREZ PRQMU@ a PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX , PARALLELXNAQ PRQMOJ b, A ^EREZ PRQMU@ b PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX , PARALLELXNAQ PRQMOJ a, PRI^EM k . iZ PROIZWOLXNOJ TO^KI C 2 a PROWEDEM PRQMU@ (C D) ? , TOGDA W SILU OPREDELENIQ 4: (C D) ? b, A TAKVE SILU TEOREMY 8 (C D) ? (OTKUDA (C D) ? a), D 2 . eSLI OKAZALOSX, ^TO D 2 b, TO (C D) I ESTX OB]IJ PERPENDIKULQR K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM a I b. pREDPOLOVIM, ^TO TO^KA D 62 b. tAK KAK PRQMAQ (C D) IMEET OB]U@ TO^KU S PLOSKOSTX@ , A PRQMAQ a NE IMEET S NEJ OB]IH TO^EK, TO \TI PRQMYE RAZLI^NY. sLEDOWATELXNO, ONI PERESEKA@TSQ W TO^KE C . pROWEDEM ^EREZ PRQMYE a I (C D) PLOSKOSTX , KOTORAQ PERESE^ET PLOSKOSTX PO PRQMOJ (DB ) k a. pRQMAQ (DB ) PERESE^ET PRQMU@ b 2 W TO^KE B (ESLI PREDPOLOVITX, ^TO (DB ) k b, TO a k b, A \TO NEWERNO). ~EREZ TO^KU B PROWEDEM PRQMU@ (B A) k (DC ), SLEDOWATELXNO, PRQMAQ (B A) 2 , A POTOMU
147

dOKAZATELXSTWO


\TA PRQMAQ PERESE^ET PRQMU@ a W TO^KE A. w SILU TEOREMY 4: (B A) ? , A W SILU k I (SM. NIVE) TEOREMY 8: (B A) ? . tAKIM OBRAZOM, (B A) ESTX OB]IJ PERPENDIKULQR K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM a I b. dOKAVEM EDINSTWENNOSTX OB]EGO PERPENDIKULQRA K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM a I b. dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWUET E]E ODIN OB]IJ PERPENDIKULQR (A0 B 0 ) K \TIM PRQMYM. pUSTX PRQMAQ (B E ) k a, ((B E ) | PRQMAQ PERESE^ENIQ PLOSKOSTEJ I ). tOGDA TAK KAK PRQMYE (AB ) I (A0 B 0 ) PERPENDIKULQRNY a I b, TO ONI BUDUT PERPENDIKULQRNY PERESEKA@]IMSQ PRQMYM (B E ) I b W PLOSKOSTI I POTOMU W SILU TEOREMY 5: (AB ) k (A0 B 0 ), STALO BYTX TO^KI A I A0 RAZLI^NYE, A TAKVE TO^KI B I B 0 RAZLI^NYE I WSE ONI LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI. sLEDOWATELXNO, PRQMYE a (AA0 ) I b (B B 0 ) LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, ^TO NEWERNO, TAK KAK PRQMYE a I b SKRE]IWA@TSQ. tEM SAMYM EDINSTWENNOSTX OB]EGO PERPENDIKULQRA K DWUM SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM DOKAZANA. pERPENDIKULQRNOSTX PRQMOJ (AB ) KAVDOJ IZ PLOSKOSTEJ I BYLA USTANOWLENA W PROCESSE DOKAZATELXSTWA TEOREMY. tEOREMA 7 POLNOSTX@ DOKAZANA. oPREDELENIE 6. dLINA OB]EGO PERPENDIKULQRA K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM NAZYWAETSQ RASSTOQNIEM MEVDU \TIMI PRQMYMI, A TAKVE | RASSTOQNIEM MEVDU SOOTWETSTWU@]IMI PARALLELXNYMI PLOSKOSTQMI. iME@T MESTO SLEDU@]IE TEOREMY O PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI, DOKAZATELXSTWA KOTORYH MOVNO NAJTI W U^E BNIKAH GEOMETRII, NAPRIMER, a.p. kISELEWA. tEOREMA 8. eSLI PRQMAQ PERPENDIKULQRNA K ODNOJ IZ DWUH PARALLELXNYH PLOSKOSTEJ, TO ONA PERPENDIKULQRNA I DRUGOJ IZ NIH. tEOREMA 9 (OBRATNAQ TEOREME 8). eSLI DWE PLOSKOSTI PERPENDIKULQRNY K ODNOJ PRQMOJ, TO ONI PARALLELXNY. tEOREMA 10. ~EREZ WSQKU@ TO^KU PROSTRANSTWA MOVNO PROWESTI K DANNOJ PLOSKOSTI EDINSTWENNU@ PERPENDIKULQRNU@ EJ PRQMU@. tEOREMA 11. ~EREZ WSQKU@ TO^KU PROSTRANSTWA MOVNO PROWESTI K DANNOJ PRQMOJ EDINSTWENNU@ PERPENDIKULQRNU@ EJ PLOSKOSTX. tEOREMA O TREH PERPENDIKULQRAH sFORMULIRUEM RQD OPREDELENIJ, KOTORYE BUDUT ISPOLXZOWANY PRI DOKAZATELXSTWE \TOJ TEOREMY. pUSTX DANY PLOSKOSTX I NE LEVA]AQ NA NEJ TO^KA. oPREDELENIE 7. pERPENDIKULQROM, PROWEDENNYM IZ DANNOJ TO^KI NA DANNU@ PLOSKOSTX, NAZYWAETSQ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ DANNU@ TO^KU S TO^KOJ PLOSKOSTI, I LEVA]IJ NA PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ PLOSKOSTI. kONEC \TOGO OTREZKA, LEVA]IJ W PLOSKOSTI, NAZYWAETSQ OSNOWANIEM PERPENDIKULQRA. dLINA \TOGO PERPENDIKULQRA NAZYWAETSQ RASSTOQ-

NIEM OT TO^KI DO PLOSKOSTI

.

148


oPREDELENIE 8. nAKLONNOJ K DANNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ PRQMAQ l, NE QWLQ@]AQSQ NI PERPENDIKULQRNOJ, NI PARALLELXNOJ \TOJ PLOSKOSTI. oTREZOK, SOEDINQ@]IJ TO^KU A S TO^KOJ NA PLOSKOSTI I LEVA]IJ NA PRQMOJ l, NAKLONNOJ K PLOSKOSTI , NAZYWAETSQ OTREZKOM NAKLONNOJ.

zAME^ANIE. ~ASTO DLQ UPRO]ENIQ TERMINOLOGII POD NAKLONNOJ, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ TO^KI A K PLOSKOSTI PODRAZUMEWA@T IMENNO OTREZOK NAKLONNOJ, ODNIM IZ KONCOW KOTOROGO QWLQETSQ TO^KA A. dRUGOJ KONEC \TOGO OTREZKA, LEVA]IJ NA PLOSKOSTI , NAZYWAETSQ OSNOWANIEM NAKLONNOJ. oPREDELENIE 9. oTREZOK, SOEDINQ@]IJ OSNOWANIQ PERPENDIKULQRA I NAKLONNOJ, PROWEDENNYH IZ ODNOJ I TOJ VE TO^KI K PLOSKOSTI, NAZYWAETSQ

PROEKCIEJ NAKLONNOJ.

zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO PpQMAQ I OTpEZOK NAZYWA@TSQ PEpPENDIKULQpNYMI, ESLI \TA PpQMAQ PEpPENDIKULQpNA TOJ PpQMOJ, NA KOTOpOJ pASPOLOVEN OTpEZOK. pLOSKOSTX I OTpEZOK NAZYWA@TSQ PEpPENDIKULQpNYMI, ESLI \TA PLOSKOSTX PEpPENDIKULQpNA PpQMOJ, NA KOTOpOJ pASPOLOVEN \TOT OTpEZOK.

RIS. 3.31 O TREH PERPENDIKULQRAH). eSLI PRQMAQ, PROWEDENNAQ NA PLOSKOSTI, PERPENDIKULQRNA PROEKCII NAKLONNOJ, TO ONA PERPENDIKULQRNA \TOJ NAKLONNOJ. dOKAZATELXSTWO sM. RIS. 3.31. pUSTX AH | PERPENDIKULQR, PROWEDENNYJ IZ TO^KI A K PLOSKOSTI , TO^KA H | OSNOWANIE \TOGO PERPENDIKULQRA. AM | OTREZOK NAKLONNOJ, PROWEDENNOJ IZ TO^KI A K PLOSKOSTI , TO^KA M | OSNOWANIE \TOJ NAKLONNOJ, OTREZOK H M | PROEKCIQ \TOJ NAKLONNOJ, PRQMAQ a PERPENDIKULQRNA PROEKCII H M . tO^KI H , M I A | RAZLI^NYE, TAK KAK A 62 , H; M 2 , PO\TOMU H 6 A I M 6 A I TAKVE A 62 (H M ) ; H 6 M , TAK KAK H | OSNOWANIE PERPENDIKULQRA (ON EDINSTWENEN), M | OSNOWANIE NAKLONNOJ (PO\TOMU AM 6? ). tAKIM OBRAZOM, ^EREZ NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ TO^KI A, H I M MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX . w SILU TEOREMY 1 TAK KAK PRQMAQ (AH ) ? I (AH ) 2 , TO PLOSKOSTX ? . sOGLASNO OPREDELENI@ PERPENDIKULQRNYH PRQMOJ I PLOSKOSTI a ? (H A), W TO VE WREMQ PO USLOWI@ a ? (H M ). pOSKOLXKU PRQMYE (H M ) I (H A) | RAZLI^NYE I IME@T OB]U@ TO^KU H , TO ONI W NEJ PERESEKA@TSQ, A POTOMU W SILU PRIZNAKA PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI PRQMAQ a ? . sLEDOWATELXNO a ? (AM ). tEOREMA 2 DOKAZANA.
tEOREMA
12

(

149


tEOREMA 13 (OBRATNAQ TEOREME 12). eSLI PRQMAQ NA PLOSKOSTI PERPENDIKULQRNA NAKLONNOJ, TO ONA PERPENDIKULQRNA I PROEKCII \TOJ NAKLONNOJ.

sM. RIS. 3.31. oNO PROWODITSQ ANALOGI^NO DOKAZATELXSTWU TEOREMY 2. oTLI^IE LI X W TOM, ^TO WMESTO a ? (H M ) TEPERX PO USLOWI@ a ? (AM ), PRQMYE (M A) I (H A) | RAZLI^NYE I IME@T OB]U@ TO^KU A, PO\TOMU ONI W NEJ PERESEKA@TSQ, STALO BYTX, W SILU TEOREMY 6 (PRIZNAKA PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI) PRQMAQ a ? . sLEDOWATELXNO a ? (M H ). tEOREMA 3 DOKAZANA. zAME^ANIE 1. tEOREMY 12 I 13 DOKAZANY DLQ PROIZWOLXNOJ PRQMOJ a, LEVA]EJ W PLOSKOSTI , PERPENDIKULQRNOJ SOOTWETSTWENNO PROEKCII NAKLONNOJ I SAMOJ NAKLONNOJ. pROHOVDENIE PRQMOJ a ^EREZ OSNOWANIE NAKLONNOJ, TO^KU M NE PREDPOLAGALOSX. nA RIS. 3.31 IZOBRAVEN SLU^AJ PRQMOJ l ? H M I l ? AM , W ^ASTNOSTI, DLQ NEE SPRAWEDLIWY UTWERVDENIQ TEOREM 12 I 13. zAME^ANIE 2. sMYSL NAZWANIQ TEOREM 12 I 13 "O TREH PERPENDIKULQRAH" ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W NIH IDET RE^X O PERPENDIKULQRE, PROWEDENNOM IZ TO^KI K PLOSKOSTI I O PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ K NAKLONNOJ I K PROEKCII \TOJ NAKLONNOJ. sLEDUET TAKVE PRIWESTI OPREDELENIE UGLA MEVDU PRQMOJ I PLOSKOSTX@, KOTOROE ^ASTO PRIMENQETSQ PRI RE ENII ZADA^. pUSTX DANY PLOSKOSTX I NEKOTORAQ PRQMAQ (AB ), QWLQ@]AQSQ NAKLONNOJ K \TOJ PLOSKOSTI I PERESEKA@]AQ EE W TO^KE A. oPREDELENIE 11. uGLOM MEVDU PRQMOJ (AB ) (TO^NEE POLUPRQMOJ B A) I PLOSKOSTX@ NAZYWAETSQ OSTRYJ UGOL MEVDU \TOJ POLUPRQMOJ I PRQMOJ, SODERVA]EJ PROEKCI@ NA PLOSKOSTX L@BOGO OTREZKA B A c KONCOM B NA \TOJ POLUPRQMOJ. |TOT UGOL OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO ON QWLQETSQ NAIMENX IM SREDI WSEH UGLOW, KOTORYE NAKLONNAQ (AB ) OBRAZUET S PRQMYMI, PROWEDENNYMI W PLOSKOSTI ^EREZ OSNOWANIE B \TOJ NAKLONNOJ (SM. RIS. 3.32). oBOSNOWANIE \TOGO FAKTA SM., NAPRIMER, W U^E BNIKE a.p. kISELEWA.

dOKAZATELXSTWO

RIS

. 3.32

150