Научные интересы: алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел, динамические системы, теория нормирований, группы Брауэра, соответствие Кричевера, высшие локальные поля, адели.

Локальные поля естестственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.

Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана $\mathbb C((z))$, элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на римановой поверхности в ряд по локальному параметру $z$ в аналитической окрестности точки, и поле p-адических чисел $\mathbb Q_p$, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел $\mathbb Q$ по неархимедову $p$-адическому нормированию.

Несколько позже (в тридцатых годах прошлого века) появились уже и первые примеры локальных тел. Это были конечномерные тела над классическими локальными полями, которые были полностью исследованы Хассе, Брауэром, Нетер и Албертом. К этому же периоду относятся работы Витта о телах над полными дискретно нормированными полями, положившие начало исследованиям по телам над гензелевыми полями, основные результаты о структуре которых были получены сравнительно недавно Джекобом-Уодствортом. Витту же принадлежит идея естественного сопоставления телам алгеброгеометрических объектов.

В середине 70-x годов прошлого века А.Н.Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ($n$-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является $(n-1)$-мерное локальное поле.

Один из типичных примеров такого поля — это поле итерированных рядов Лорана $k((z_1))((z_2))\dots((z_n))$. Элементы $z_1,\dots z_n$ называются локальными параметрами этого поля. Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на $1$-мерных схемах на случай многомерных схем. При помощи $n$-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой.

В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило еще в одном направлении. Это применение в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера–Сато–Вилсона на кривой, которое помогло установить связь между решениями одного известного уравнения математической физики — уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) — коммутативными подкольцами в кольце дифференциальных операторов и некоторыми алгебро-геометрическими данными. Найденная связь помогла решить проблему Шоттки выделения якобианов алгебраических кривых среди торов, а также старую проблему классификации коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов.

В недавних работaх А.Н.Паршина были развиты идеи, заложенные в соответствии Кричевера–Сато–Вилсона для кривых, на случай многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей. В них, в частности, было обобщено понятие многомерного локального поля и предложено классифицировать такие объекты. Там же были сделаны первые шаги в этом направлении.

В качестве основополагающего примера в этих работах было кольцо псевдодифференциальных операторов, играющее важную роль при решении иерархии КП, a в качестве первых примеров многомерных локальных тел были рассмотрены тела псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных.

Ряд работ А.Б.Жеглова был посвящен исследованию многомерных локальных тел. В частности, была получена классификация расщепимых локальных тел с коммутативным телом вычетов с точностью до непрерывного автоморфизма с случае тел нулевой характеристики. В случае тел положительной характеристики вопрос о классификации остается открытым, однако, в этом случае были получены новые результаты о строении группы Брауэра над полями лорановских рядов с произвольным полем вычетов. В частности, удалось доказать гипотезу М.Артина о равенстве экспоненты и индекса для тел над $C_2$-полями, в случае тел над полями, указанными выше. Стоит отметить, что в общем случае гипотеза остается открытой и представляет большой интерес среди специалистов, занимающихся алгебраической теорией чисел и К-теорией. Недавно она была доказана М.Артиным и А.Де Йонгом в еще одном важном случае тел над полями функций рационально связных алгебраических поверхностей над алгебраически замкнутыми полями.

Для некоторых тел из списка классификации были выведены новые уравнения, обобщающие уравнение КП. Их физический смысл пока неясен.

В существующем обобщении соответствия Кричевера, предложенном А.Н.Паршиным и Д.В.Осиповым, определена конструкция, сопоставляющая обобщенному набору геометрических данных на $n$-мерном алгебраическом многообразии подпространство в $n$-мерном локальном поле. Эта конструкция дает гипотетическое обобщение части соответствия Кричевера между геометрическими данными и точками грассманиана. Стоит отметить, что построение искомого грассманиана даже для двумерного поля является сложной и пока нерешенной задачей. Она интересна специалистам из разных областей математики.

Многомерные иерархии КП возникают естественным образом при попытке обобщения классической алгебраической теории Сато уравнений КП в высшие размерности. Они были введены А.Н.Паршиным по аналогии с одномерным случаем как динамические системы на некотором бесконечномерном многообразии. B двумерном случае имеет смысл рассматривать различные подсистемы обобщенной иерархии, для которых оказывается возможным доказать разрешимость задачи Коши и построить явные формальные решения. Доказательство разрешимости и явные решения получаются в результате обобщения разложения Биркгофа, предложенного в статье М.Муласе, где в свое время этим методом была доказана разрешимость задачи Коши и построены явные решения обычной и супер иерархий КП. Этому посвящены работы [9], [10] А.Б.Жеглова.

Связь некоторых решений обобщенных иерархий КП и геометрических данных, обобщающих данные на алгебраических поверхностях, описана в совместных работах А.Б.Жеглова с Д.В.Осиповым и H.Kurke, см. [7], [11]-[13].

Стоит отметить, что дальнейшие исследования в этом направлении представляют особый интерес, так как могут привести к решению ряда задач из разных областей, прежде всего - задач, аналогичных задачам, решенным в одномерном случае, упоминавшихся выше, а также к нахождению новых нетривиальных уравнений в частных производных, имеющих явные решения, и решению некоторых проблем из теории интегрируемых систем (конечномерных и бесконечномерных). При этом используются знания и методы из многих областей математики, таких как алгебраическая геометрия, теория диф. уравнений, дифференциальная алгебра, теория представлений, К-теория, и т.д.

Еще одна задача, которая входит в сферу интересов А.Б.Жеглова - описание возможных топологических типов вещественных трехмерных многообразий, возникающих как поверхности уровней интегралов интегрируемых систем. К решению этой задачи стало возможно применять разные сильные результаты из алгебраической геометрии после серии интересных работ Я.Коллара о гипотезе Нэша. В настоящее время вместе со студентами кафедры идет работа по исследованию возможных топологических типов пресечения трех квадрик в шестимерном пространстве. Даже в этом случае ответ до конца не ясен.