1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕОФИЗИКА

  В 1994–97 годах Е. А. Кудрявцева работала с М. Л. Гервером над следующей задачей математической геофизики. Рас­сматри­ва­ется модель строения Земли, когда скорость $v$ распространения сейсмических волн внутри Земли зависит только от глубины, т. е. $v=v(r)$, $0< r\le R$, где $R$ — радиус Земли, а распространение волн происходит согласно принципу Гюйгенса. На поверхности Земли происходят взрывы и землетрясения, и установлены приборы, регистрирующие сигналы от них. Пусть прибор, установленный на расстоянии $L$ от источника колебаний, зарегистрировал сигнал через время $T$ после начала колебаний. На плоскости $(T,L)$ получаем кривую $T=T(L)$ времен пробега волн внутри Земли, называемую годографом. Возникает классическая обратная задача математической геофизики: по кривой $T=T(L)$ определить функцию $v=v(r)$. С помощью конформного преобразования круга в полуплоскость получаем модель в полуплоскости, где скорость распространения волн также зависит от глубины: $u=u(h)$. Хорошо известно, что если искомая функция $u=u(h)$ не убывает, то решение существует, единственно и выражается через $T=T(L)$ явной интегральной формулой. Однако при наличии волновода — участка $h_0\le h\le h_1$ пониженной скорости — однозначность решения нарушается при $h>h_0$. Таким образом, уже в этой классической постановке задача имеет бесконечно много решений, причем указанная интегральная формула дает однозначное решение до волновода ($h\le h_0$) и нижнюю огибающую графиков всех решений после волноводов ($h\ge H_1$). Поэтому возникает задача нахождения верхней огибающей семейства решений и, в частности, нахождения максимальной глубины $H_1$ волноводов решений.
  Строение решения глубже волновода ($u(h)\ge u(h_0)$, $h\ge h_1$) однозначно выражается через его строение внутри волновода ($0, $h_0\le h\le h_1$), если это решение существует. Возникшая задача аналогична следующей классической задаче вариационного исчисления. Пусть дана конечная положительно-определенная чебышевская система функций $f_i$ на полуоси $[0,\infty)$ и система чисел $p_i,q_i>0$ ($1\le i\le n$). Для каждого натурального $m\le n$ требуется найти максимальное значение функционала

$h_m =h_m(da)=\sum_{i=m}^n q_i \int_0^\infty f_i(t)da(t)$

  2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ  РЕШЕНИЯ  ГАМИЛЬТОНОВЫХ
    СИСТЕМ  И  ПЛАНЕТНЫЕ СИСТЕМЫ СО СПУТНИКАМИ

  В 1997–98 годах Е.А.Кудрявцева исследовала следующую задачу. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом $H$, называемую далее невозмущенной. Пусть $\Lambda$ — гладкое инвариантное подмногообразие фазового пространства, лежащее на регулярной изоэнергетической поверхности $H^{-1}(h)$ и сплошь заполненное замкнутыми траекториями системы. Пусть $\tilde H$ — функция, $C^2$-близкая к $H$, т.е. полученная из $H$ малым возмущением. При указанном возмущении системы подмногообразие замкнутых траекторий, вообще говоря, распадается, но вместо него появляется некоторое число замкнутых траекторий, про которые можно сказать, что они выжили после возмущения. Возникает вопрос: каково минимальное число таких траекторий, где они будут расположены, какие из них будут устойчивы? Эти и другие вопросы о периодических решениях возмущенных систем возникают в многих задачах механики и физики (в частности, в задачах о механических колебаниях, задачах о движении заряженных частиц, а также в задаче о планетно-спутниковой системе, см. ниже).
  Нижние оценки для числа периодических решений возмущенных систем получили А.Пуанкаре (1899), Дж.Риб (1952), F.B.Fuller (1967), J.Moser (1970, 1976), A.Weinstein (1973, 1977, 1978, 1986), В.И.Арнольд (1974), Красинский (1973), M.Bottkol (1977). Наиболее общим является результат А.Вейнстейна (1978), где предполагается, что $\Lambda$ компактно и на нем задано локально-свободное действие окружности $S^1$, все орбиты которого являются замкнутыми траекториями невозмущенной системы и что $\Lambda$ невырождено (условие типа боттовости). Вейнстейн доказал, что в этом случае число замкнутых траекторий возмущенной системы, лежащих на изоэнергетической поверхности $\tilde H^{-1}(h)$, не меньше, чем минимальное число критических орбит $S^1$-инвариантной функции на $\Lambda$. Отметим, что с этой задачей тесно связаны исследования по обобщению геометрической теоремы Пуанкаре о существовании двух неподвижных точек у любого сохраняющего площади отображения плоского кругового кольца на себя, поворачивающего граничные окружности в разные стороны, см. работы J.Birkhoff, J.C.Sikorav (1982, 1987), C.C.Conley, E.Zehnder (1983), A.Floer (1986) и др. В этих обобщениях доказываются аналогичные оценки для некоторых гамильтоновых систем, не обязательно полученных малым возмущением какой-либо системы. Тем не менее, из этих оценок не следует оценка из теоремы Вейнстейна.
  Е.А.Кудрявцева дала \cite {K10} новое, более геометрическое и простое, доказательство теоремы Вейнстейна, аналогичное доказательству Ботткола (1977) и опирающееся на классическую теорему о неявной функции. Она доказала также обобщения теоремы Вейнстейна для следующих двух задач:
  1) когда $\Lambda$ содержит, вобще говоря, точки покоя, и
  2) когда гамильтониан и симплектическая структура имеют вид $H_1(p_1,q_1)+H_2(p_1,p_2,q_1,q_2)$ и $dp_1\wedge dq_1+\varepsilon dp_2\wedge dq_2$.
  Ситуация последнего обобщения возникает в задачах, описывающих системы с «быстрыми» и «медленными» переменными. Это обобщение применимо, например, в следующей задаче о планетной системе со спутниками.
  Периодические решения задачи $N$ тел исследовали в частных случаях G.W.Hill (1878, солнце, планета и спутник), H.Poincar\'e (1899, солнце и две планеты) и позднее Г.А.Красинский (1973, солнце и планеты), В.Н.Тхай (1995, солнце, планета и спутники). Е.А.Кудрявцева \cite{K10} рассматривает частный случай плоской задачи $N$ тел, описывающий движения типа «планетной системы со спутниками» — для солнца и произвольного числа планет и произвольного числа спутников, $N\ge3$. Предполагается, что масса одного тела (Солнца) равна $1$, массы планет имеют порядок $O(\mu)$, и массы спутников имеют порядок $O(\mu\nu)$, где $\mu$ и $\nu$ — малые параметры. Кроме того, расстояния между каждой планетой и ее спутниками много меньше расстояния от Солнца до этой планеты, а угловая скорость обращения планеты вокруг Солнца много меньше угловых скоростей обращения спутников вокруг планеты. Е.А.Кудрявцева доказала \cite {K10}, что при естественном соотношении между малыми параметрами задачи и при условии невырожденности, существует не менее $2^{N-3}$ семейств периодических решений рассматриваемой задачи. В теореме Е.А.Кудрявцевой описаны порождающие симметричные периодические решения, отвечающие так называемым ''парадам'' планет и спутников. Приведены также условия орбитальной устойчивости в линейном приближении для некоторых из периодических решений и доказана необходимость требования условия невырожденности.

  3. ФУНКЦИИ ВЫСОТЫ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

  В 1998 году Е.А.Кудрявцева доказала критерий \cite {K13}, дающий ответ на следующий естественный вопрос. Какие гладкие функции на замкнутых поверхностях $S$, с конечным числом критических точек, можно или нельзя реализовать в виде функций высоты при погружении поверхности в евклидово трехмерное пространство ${\Bbb R}^3$? Вместо функций высоты можно эквивалентным образом рассматривать функции расстояния $\rho_{x_0}(x)$, задающие расстояние от какой-то фиксированной (достаточно далекой от $S$) точки $x_0$ в ${\Bbb R}^3$ до переменной точки $x$ на погруженном (вложенном) подмногообразии $S$ в ${\Bbb R}^3$. Изучение функций высоты на погруженных подмногообразиях полезно для описания фокальных точек этих подмногообразий. Кроме того, задача изучения функций высоты на двумерных поверхностях представляет определенный интерес в связи с теорией интегрируемых гамильтоновых систем и классификации особенностей лиувиллевых слоений, построенной А.Т.Фоменко (1989), А.В.Болсиновым, А.Т.Фоменко и С.В.Матвеевым (1990), А.В.Болсиновым и А.Т.Фоменко (1994, 1997). Нетрудно показать, что каждый отдельно взятый атом (т.е. окрестность $f^{-1}[c-\epsilon ,c+\epsilon ]$ критического уровня $c$ функции Морса $f$) всегда можно так погрузить в ${\Bbb R}^3$, что функция $f$ на нем превратится в функцию высоты. Это утверждение остается справедливым не только для функций Морса, но и для гладкой функции, имеющей лишь конечное число критических точек. Так что локально, т.е. в окрестности каждого отдельного критического уровня функции $f$, никаких препятствий для решения высотной задачи нет. Препятствия появляются только тогда, когда требуется решить задачу в целом, т.е. представить заданную функцию $f$ как функцию высоты сразу на всей двумерной замкнутой поверхности $M_g$ рода $g$. Критерий Е.А.Кудрявцевой \cite {K13} состоит в следующем: если поверхность $S$ ориентируема, то функция $f$ на $S$ с критическими точками $x_1,\dots,x_n$ является функцией высоты в том и только том случае, когда существовуют $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\in\{1,-1\}$, такие, что $\varepsilon_1c_1+\dots+\varepsilon_nc_n=0$, где $c_i$ — индекс точки $x_i$. Если $S$ неориентируема, то функция $f$ всегда является функцией высоты.
  Отметим несколько следствий теорем из \cite {K13}.
  Любую функцию Морса на любой замкнутой двумерной поверхности $S$ (ориентируемой или неориентируемой) всегда можно реализовать как функцию высоты при подходящем погружении $S$ в ${\Bbb R}^3$. То же верно для любой гладкой функции на сфере $S^2$ или на торе $T^2$, имеющей конечное число критических точек (не обязательно функцию Морса), но неверно для остальных ориентируемых замкнутых поверхностей (рода $\ge2$). Стандартную сферу в ${\Bbb R}^3$ можно «вывернуть наизнанку».

  4. ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ТИП ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ МОРСА НА ПОВЕРХНОСТЯХ

  С.В.Матвеев (1998), В.В.Шарко (1998) и Х.Цишанг доказали разными способами, что пространство функций Морса с фиксированными точками локальных минимумов и локальных максимумов и произвольными седловыми точками на замкнутой поверхности $S$ связно. Ю.Бурман исследовал пространство $\tilde F$ гладких функций без критических точек на открытой поверхности $S$ и построил биекцию $\pi_0(\tilde F)\to H^1(M,\d M;{\Bbb Z})$.

  М.Басманова и Е.Кудрявцева исследовали топологию пространства $F$ функций Морса с фиксированными множествами $\{x_1,\dots,x_p\}$, $\{y_1,\dots,y_q\}$, $\{z_1,\dots,z_r\}$ локальных минимумов, локальных максимумов и седловых точек на замкнутой поверхности $S$. Они доказали (2002), в частности, что $F$ не является связным и что инвариант Бурмана не различает все компоненты связности пространства $F$. При этом они опирались на теорию А.Т.Фоменко (1975) о послойной эквивалентности функций Морса на поверхностях.

  Обозначим через $G$ пространство диффеоморфизмов $S$, оставляющих неподвижной каждую точку $\{x_i,y_j,z_k\}$ и сохраняющих локальные ориентации $S$ в этих точках. Диффеоморфизм $h\in G$ назовем допустимым для $f$, если для некоторых $f_i\in F$ и $h_i\in G$, $h_1\ldots h_N$ принадлежит компоненте связности $h$ в $G$, $f_i$ принадлежит компоненте связности $f$ в $F$, и $f_i=f_ih_i$. Обозначим через $A_f$ пространство допустимых диффеоморфизмов для $f$. Две функции назовем подобными, если они имеют одни и те же связные компоненты линий уровня, и одно и то же направление роста. Если $f\in F$ подобна $gh$ для некоторого $h\in G$ (соотв. $h\in A_f$, или $h$ гомотопно в $G$ тождественному отображению), то функции $f,g$ называются послойно эквивалентными (соотв. допустимо послойно эквивалентными, послойно изотопными). Отображение $\tilde K\to K$ между полиэдрами называется обобщенным разветвленным накрытием, если локально оно является отображением «на», и его ограничение на каждую клетку является изоморфизмом клеток.

  М.Басманова и Е.Кудрявцева доказали (2002), что пространство $F$ имеет слабый гомотопический тип $(r-1)$-мерного полиэдра $\tilde K$, где $r$ — число седел. При этом группа $G$ действует на $\tilde K$ автоморфизмами полиедра, так что фактор-пространства $\tilde K$ по $G$ и по действию допустимыми диффеоморфизмами являются $(r-1)$-мерными полиэдрами $K$ и $K'$, где $K$ конечен и связен. При этом клетки $\tilde K$ (соотв. $K'$, $K$) находятся во взаимно-однозначном соответствии с классами послойной изотопности (соотв. допустимой послойной эквивалентности, послойной эквивалентности в $F$. Проекция $K'\to K$ является регулярным накрытием, а проекция $\tilde K\to K'$ — обобщенным разветвленным накрытием, индуцирующим биекцию $\pi_0(\tilde K) \to \pi_0(K')$.

  Другим результатом М.Басмановой и Е.Кудрявцевой является следующее описание (2002) пространства $\pi_0(F) \simeq G/G_f$. Для $f\in F$, обозначим через $G_f$ пространство диффеоморфизмов $h\in G$, таких, что $fh$ принадлежит компоненте связности $f$ в $F$. Для любой функции Морса $f\in F$ можно построить конечное число $N$ диффеоморфизмов $h_1,\dots,h_N\in G$, таких, что $G_f = \langle h\in A_f;\ h_1,\dots,h_N \rangle$. При этом группа $A_f$ допустимых для $f$ диффеоморфизмов конечно порождена и является нормальной в $G_f$, $N= rank G_f/A_f\le rank \pi_1(K)$. Если $M=S^2$, то $N\ge r-1$.

  5. УСТОЙЧИВЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

  В теории А.В.Болсинова и А.Т.Фоменко (1994) о топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях построен полный инвариант топологической сопряженности систем (здесь две системы называются сопряженными, если существует диффеоморфизм, переводящий фазовый поток одной системы в фазовый поток другой системы). Инвариантом является «молекула», на ребрах и вершинах которой поставлены числовые метки. При этом сама молекула является полным инвариантом топологической траекторной эквивалентности систем (здесь системы считаются эквивалентными, если существует диффеоморфизм, переводящий траектории в траектории без сохранения параметра на них). При этом метки гладким образом зависят от системы в классе систем с фиксированной молекулой; эти метки и образуют систему топологических инвариантов. Однако при малом возмущении системы молекула может качественно измениться — некоторые ее атомы распадутся и тем самым увеличится число ее атомов и ребер, а значит, изменится число меток (топологических инвариантов). Более того, при возмущении происходит бифуркация топологических инвариантов — метки на атомах «превращаются» в метки на ребрах, т.е. меняется качественная природа меток. Возникает вопрос: есть ли связь между метками на молекулах до и после возмущения? Иными словами: есть ли «устойчивые топологические инварианты», т.е. инварианты, которые «не замечают» бифуркации — они непрерывно зависят от системы, хотя их природа меняется? С этим связан также вопрос: могут ли топологически несопряженные системы стать сопряженными при сколь угодно малом возмущении?

  Е.А.Кудрявцева \cite {K9} обнаружила связь между устойчивостью инвариантов и топологией атома, распадающегося при рассматриваемом возмущении. Если атом плоский, то устойчивых инвариантов нет, и любые две системы на этом атоме можно сделать топологически сопряженными при подходящих возмущениях. В то же время, Е.А.Кудрявцева \cite {K9} описала две серии атомов, для которых есть устойчивые инварианты: для атомов одного типа («бициклических» атомов) она построила устойчивый $m$-инвариант, а для атомов другого типа — устойчивый $\Lambda$-инвариант. Кроме того, она показала, что для атомов малой сложности ($\le 3$) нет других устойчивых инвариантов.

  При этом оказалось, что устойчивость обнаруженных инвариантов имеет место лишь по отношению к специальным типам возмущений атома: при возмущениях другого типа свойство устойчивости инварианта пропадает. Ю.А.Браилов и Е.А.Кудрявцева (1999) доказали, что максимально симметричные атомы и только они обладают максимальным набором устойчивых (бициклических) $m$-инвариантов, т.е. таким набором инвариантов, что для любого типа возмущения атома существует инвариант набора, который является устойчивым по отношению к возмущениям этого типа. Тем самым, для почти любой пары систем на таких атомах, эти системы нельзя сделать топологически сопряженными ни при каких достаточно малых возмущениях.

  6. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТЯХ И КОМБИНАТОРНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП

  В разных областях топологии и алгебры возник интерес к так называемым нормальным автоморфизмам групп, т.е. автоморфизмам, которые переводят любую нормальную подгруппу в себя. В частности, внутренние автоморфизмы являются нормальными. Магнус показал, что любой нормальный автоморфизм свободной группы является внутренним. Богопольский, Кудрявцева и Цишанг (2002) получили такой же результат для фундаментальных групп поверхностей, отличных от тора и бутылки Клейна (в обоих этих случаях фактор-группа группы нормальных автоморфизмов по внутренним изоморфна ${\Bbb Z}_2$). Методы доказательства — геометрические, и связаны с теорией минимизации числа точек (само)-пересечения кривых на поверхностях.