Интегрируемые системы, возникающие в физике и механике, давно изучаются с разных точек зрения. Еще классиками были обнаружены случаи интегрируемости в различных задачах, связанных с движением твердого тела (Эйлер, Лагранж, Ковалевская, Кирхгоф, Горячев, Чаплыгин, Стеклов). Были описаны явные процедуры интегрирования этих систем, исследовались алгебраические и аналитические свойства решений. Различные эффекты, выявленные при исследовании интегрируемых систем, привели к возникновения обобщений классических интегрируемых случаев.

Методы качественного анализа интегрируемых систем также активно развивались, начиная с работ Пуанкаре. Многие результаты, как классические, так и более поздние, показывали, что интегрируемые системы не только имеют замечательные алгебраические и аналитические свойства, но и обладают весьма специфической топологией. Так, например, в работах В.В.Козлова были найдены некоторые топологические препятствия к интегрируемости.

Начиная с середины 80-х годов, вопросы, связанные с топологией интегрируемых гамильтоновых систем, активно изучаются в работах А.Т.Фоменко и его учеников. В первых работах А.Т.Фоменко на эту тему (1985–86гг.) был построен аналог теории Морса для функций, являющихся интегралами гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В частности, был описан инвариант, классифицирующий (с топологической точки зрения) интегрируемые гамильтоновы системы на изоэнергетических поверхностях.

В дипломной работе А.А.Ошемкова (1986 г.) этот инвариант был вычислен для одного интегрируемого случая уравнений Эйлера–Пуассона на алгебре Ли $\mathfrak{so}(4)$. Эта интегрируемая система имеет компактное фазовое пространство $S^2\times S^2$ и является аналогом классических интегрируемых случаев Эйлера и Клебша в динамике твердого тела (фазовым пространством которых является кокасательное расслоение к двумерной сфере). По существу, задача, которая решалась при вычислении инварианта, заключалась в исследовании особенностей отображения момента, задаваемого гамильтонианом и дополнительным интегралом исследуемой системы. В частности, было показано, что дополнительный интеграл является боттовским на почти всех изоэнергетических поверхностях, т.е. удовлетворяет условиям невырожденности, аналогичным тем, которые накладываются на функции в обычной теории Морса.

Позднее А.А.Ошемковым были вычислены топологические инварианты и доказана боттовость интегралов для основных классических случаев интегрируемости в динамике твердого тела (случаи Эйлера, Лагранжа, Жуковского, Ковалевской, Горячева–Чаплыгина, Клебша, Стеклова) и некоторых их обобщений (см. [1–3]).

Как уже отмечалось выше, одна из основных задач, возникающих при изучении топологии интегрируемой гамильтоновой системы — исследование ее особенностей, т.е. множества точек, где интегралы зависимы. На отдельной неособой изоэнергетической поверхности интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы множество таких точек есть объединение критических окружностей дополнительного интеграла. Критические уровни дополнительного интеграла, содержащие эти окружности, могут быть устроены достаточно сложно, но их классификация, а также классификация перестроек торов Лиувилля при прохождении этих критических уровней была получена в работах А.Т.Фоменко (см. выше). Если же рассматривать все 4-мерное фазовое пространство интегрируемой гамильтоновой системы, то множество точек, где интегралы зависимы, является двумерным комплексом. При некоторых естественных предположениях о невырожденности особенностей системы (обобщение условия боттовости интеграла) этот комплекс $K$ является объединением двумерных погруженных подмногообразий, пересекающихся (или самопересекающихся) трансверсально.

В работе А.А.Ошемкова [5] описаны некоторые топологические свойства этого «комплекса особенностей» $K$. Структура комплекса $K$ такова, что с помощью симплектической формы можно определить каноническую ориентацию на его двумерных компонентах. Кроме того, симплектическая форма определяет ориентацию на всем 4-мерном фазовом пространстве. Это позволяет рассматривать класс гомологий $[K]$ как сумму классов гомологий, определяемых компонентами комплекса $K$. В работе [5] доказано, что класс гомологий $[K]$ двойственен по Пуанкаре первому классу Чженя $c_1(M)$ фазового пространства $M$, где $c_1(M)$ вычисляется для некоторой почти комплексной структуры $J$ на $M$, согласованной с симплектической формой (можно показать, что класс $c_1(M)$ не зависит от выбора такой структуры $J$). Кроме того, в работе [5] описаны некоторые другие топологические свойства комплекса $K$. Например, получены соотношения, связывающие эйлеровы характеристики двумерных компонент комплекса $K$. и фазового пространства $M$.

Некоторые другие результаты были получены А.А.Ошемковым в связи с комбинаторным (алгоритмическим) перечислением различных инвариантов динамических систем. В работе [4] было введено понятие $f$-графа (это граф, все вершины которого имеют степень 3, а часть ребер ориентирована, причем для каждой вершины имеется ровно одно ``входящее'' и ровно одно ``выходящее'' ребро). Как оказалось, с помощью $f$-графов удобно описывать перестройки торов Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем, а также легко реализовать алгоритм перечисления таких перестроек.

Затем $f$-графы были использованы в работе [6] для классификации потоков Морса--Смейла на двумерных многообразиях. Следует отметить, что классификация таких потоков была проведена ранее в работах М.Пейксото, но там были обнаружены некоторые неточности, что и послужило одним из поводов для написания статьи [6].

Некоторое обобщение понятия $f$-графа было также использовано для алгоритмического перечисления особенностей ранга $0$ интегрируемых гамильтоновых систем, т.е. для топологической классификации инвариантных окрестностей точек, являющихся (невырожденными) положениями равновесия системы (см. [7]).

Еще одно приложение теории топологической классификации было реализовано в работе [8]. В этой работе рассматривается задача о движении точки по стандартной двумерной сфере в поле двух притягивающих центров. Эта задача является аналогом классической задачи двух центров на плоскости, проинтегрированной Эйлером. В работе [8] проведен топологический анализ задачи двух центров на сфере. В частности, описана некоторая регуляризация системы, позволяющая применить методы теории топологической классификации для исследования (регуляризованной) системы, и вычислены инварианты Фоменко--Цишанга. Отметим, что некоторые из этих инвариантов не встречались в исследованных ранее интегрируемых задачах механики и физики.