Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/spec/2march.doc Дата изменения: Sat Feb 27 10:09:30 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:32:38 2016 Кодировка: koi8-r

В.О.Мантуров

Четность и кобордизмы свободных узлов

Целью доклада является демонстрация открытого автором год назад
понятия четности и его применениям к различным задачам маломерной
топологии. Основная идея состоит в том, что если некоторый топологический
объект имеет некоторые "перекрестки, особенности, двойные линии", при этом
они допускают естественное разбиение на два класса - четных и нечетных - и
при этом свойство четности правильно себя ведет при естественных
преобразованиях, то это позволяет коренным образом пересмотреть всю
исходную теорию, усиливать известные инварианты, строить новые, строить
функториальные отображения.

Простейшим примером является теория виртуальных узлов. Виртуальный
узел задается своей гауссовой диаграммой, и здесь перекресток виртуального
узла называется четным тогда и только тогда, когда количество хорд,
пересекающих данную, является четным (это лишь ОДИН пример четности для
виртуальных узлов, есть много других, для каждой из которых те же самые
теоремы о четности доказываются точно также). Простейшими примерами теорем
о четности являются следующие: 1)отображение, удаляющее нечетные хорды,
корректно определено
2)если две четные диаграммы эквивалентны, то они эквивалентны посредством
цепочки,
состоящей из четных диаграмм.

С помощью четности были построены первые примеры нетривиальных
"свободных узлов" - упрощения виртуальных узлов, полученного забыванием
стрелок и знаков на гауссовых диаграммах, чем была опровергнута гипотеза
Тураева.

Новой областью применения четности является теория кобордизмов
"свободных узлов". Пусть дан четырехвалентный граф со структурой
противоположных ребер в каждом перекрестке. Можно ли его затянуть
непрерывным образом двумерного диска со стандартными особенностями?
Как оказалось, существует очень простой целочисленный инвариант свободных
узлов, основанный исключительно на понятии четности, который задает
препятствие к существованию таких дисков.

Ключевым обстоятельством является перенос понятия четности на объекты
большей размерности - с перекрестков на одномерных линиях на двойные линии
самопересечения на двумерных поверхностях.

Будет затронут широкий круг нерешенных задач.