Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/spec/09-10-21.pdf Дата изменения: Mon Oct 19 20:09:35 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:35:44 2016 Кодировка: Windows-1251

О ВЛОЖИМОСТИ ОРИЕНТИРУЕМЫХ

Будем ное ориентируемое 3-многообразие с (непустым) краем. В докладе будет доказан следующий результат:
Теорема 1.

3-МНОГООБРАЗИЙ С КРАЕМ В ЗАМКНУТЫЕ ОРИЕНТИРУЕМЫЕ 3-МНОГООБРАЗИЯ Дмитрий Тонконог рассматривать группы гомологий над произвольным полем. Пусть M компакт-

Если M вложено в замкнутое ориентируемое QEмногообразие QD то dim H1 (Q) r(M ) := dim H1 (M ) - min{ 1 ћ dim H1 ( M ), rk i}D где i : H1 ( M ) H1 (M ) " гомоморфизмD инE 2 дуцированный включениемF Более тогоD существует замкнутое ориентируемое QEмногообразие QD содержащее M и такое что dim H1 (Q) = r(M )F Следствие 2. Компактное ориентируемое QEмногообразие M с краем вложимо в некотоE рую гомологическую QEсферу если и только если 2 dim H1 (M ) dim H1 ( M ) и индуцированный включением гомоморфизм i : H1 ( M ) H1 (M ) сюрьективенF Следствие 3. Следующая задача алгоритмически разрешимаX По данному PEполиэдру опреE делитьD вложим ли он в некоторую @не фиксированную заранееA гомологическую QEсферуF

Следствие 3 имеет место в силу Следствия 2 и того факта, что всякий полиэдр имеет конечное число утолщений [BRS99]. Отметим, что алгоритмические вопросы в маломерной топологии являются актуальными [MTW09]. Из теоремы 1 в докладе будет получен ряд следствий в другом направлении. ОриентируеE мым родом графа G называется минимальное число g такое, что граф G вложим в сферу с g ручками [MT01].
Следствие 4.

Пусть G " граф ориентируемого рода g F Если полиэдр G Ч S 1 вложен в замкнутое ориентируемое QEмногообразие QD то dim H1 (Q) 2g F Более тогоD существует замкнутое ориентируемое QEмногообразие QD содержащее G Ч S 1 и такое что dim H1 (Q) = 2g F Например, полиэдр K5 Ч S 1 (где K5 полный граф на пяти вершинах) вложим в некоторое замкнутое ориентируемое 3-многообразие Q такое, что dim H1(Q) = 2 и не вложим в замкнутые

ориентируемые 3-многообразия с размерностью первой группы гомологий 0 или 1 (в частности, не вложим в R3). Этот результат был получен выпускником кафедры Ашумом Каибхановым [Ka]. Проблема вложимости графов в евклидовы пространства подробно изучена в [Sk03]. [BRS99] hF epo xF frodskyD eF kopenkov, A classication of 3-thickenings of 2-polyhedra, vsD Topol. Appl. 1999. 94. P. 307314. [MTW09] tF wtou wF nerD F gner Hardness of embedding simplicial complexes in sekD d R , Preprint, arXiv:0807.0336 [cs.CG] [MT01] fF wohr nd gF homssen, Graphs on Surfaces, Johns Hopkins Univ. Press, 2001. [Ka] eF uikhnov, The product of a nonplanar graph and the circle does not embed into the 3-space, Preprint. [Sk03] wF kopenkov, Embedding products of graphs into Euclidean spaces. Fund. Math. 2003. 179. P. 191-198.

1