|
Хроматическим числом пространства с запрещенным расстоянием $ d$ называется минимальное количество $ N$ цветов, достаточное для раскраски всех точек
пространства в $ N$ цветов так, чтобы любые две точки на расстоянии $ d$ имели разные цвета. Исследование хроматических чисел
вещественных (и рациональных) пространств проводится достаточно давно, при этом в вещественном случае точный ответ не известен даже в случае двумерной
плоскости, а при стремлении размерности к бесконечности хроматическое число растет экспоненциально, хотя зазор между известными нижней и верхней
асимптотическими оценками довольно велик. В рациональном случае оценки также экспоненциальны, хотя в малых размерностях числа раскрасок
(при определенном запрещенном расстоянии) можно вычислить явно. Случай целочисленных решеток изучен мало. Автору удалось доказать, что,
в отличие от вещественного и рационального случая хроматическое число $ n$-мерной целочисленной решетки с запрещенным расстоянием
$ \sqrt{2d}$, $ d$ - простое (случай корня из нечетного числа с очевидностью допускает раскраску
в $ 2$ цвета) растет как $ n^d$ с точностью до постоянной, от $ n$ не зависящей. Вычислены некоторые примеры хроматических чисел в малых
размерностях, хотя в целочисленном случае хроматические числа очень сильно зависят от арифметических свойств запрещенных расстояний.
Предложен подход к изучению хроматических чисел для пространств и решеток над различными подкольцами и пополями вещественных и рациональных чисел.
Также будет рассказано о некоторых случаях хроматических чисел для РАЗРЕШЕННЫХ расстояний, где рассматриваются раскраски, для которых любые две точки
одного цвета находятся на некотором расстоянии из заданного списка (скажем, $ \sqrt{2d}$, где $ a$ - фиксированное натуральных число,
$ b$ пробегает множество всех натуральных чисел). Предлагается множество нерешенных задач с простыми формулировками.
|
