|
Гомотопический прямой предел (hocolim) диаграммы пространств - одно из
основных понятий современной алгебраической топологии, наряду с менее
наглядным гомотопическим обратным пределом (holim). Примеры: hocolim
диаграммы Y <--f-- X --> pt есть конус отображения f; hocolim диаграммы
из одного пространства X и отображения f: X -> X есть тор отображения f;
hocolim бесконечной диаграммы X_1 --f_1--> X_2 --f_2--> X_3 --f_3--> ...
гомотопически эквивалентен телескопу X_[0,\infty), составленному из
цилиндров X_[i,i+1] отображений f_i; hocolim группы G, понятой как
категория с одним объектом pt и морфизмами pt -> pt, индексированными
элементами G (композиция стрелок соответсвует умножению в G) имеет
гомотопический тип классифицирующего пространства BG. Главная ценность
hocolim'а в том, что если все отображения диаграммы являются
корасслоениями (например, включениями подполиэдров), то hocolim
гомотопически эквивалентен обычному прямому пределу (т.е. объединению
пространств диаграммы); в то же время, в самом общем случае когомологии
hocolim'а вычисляются в терминах когомологий пространств, входящих в
диаграмму, а именно, спектральной последовательностью Лере отображения
из hocolim'а в нерв диаграммы (слоями этого отображения являются
пространства, входящие в диаграмму). Например, в случае диаграммы
X <--i-- A --j--> Y, где A - пересечение пространств X и Y, а i,j -
включения, это вычисление дает когомологическую последовательность
Майера-Вьеториса. Подробнее обо всем этом можно прочитать в книгах
Боардмана-Фогта и Бусфилда-Кана или в более доступной статье Фогта
http://www.springerlink.com/content/l11h1n345w71l211/fulltext.pdf
http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002413329
Оказывается, что в случае несчетной индексирующей категории
(не содержащей конфинальной счетной) удовлетворительных определений
holim и hocolim до сих пор не было известно - общепринятый вариант
этих понятий приводит к «вычислениям» с результатом, уже в самых
простейших случаях независимым от аксиом теории множеств ZFC.
Примеры таких категорий возникают в классических определениях
гомологий и когомологий польского (т.е. метризуемого полной метрикой
сепарабельного) пространства Х. Даукер (1954) определил когомологии
(«когомологии Чеха» пространства Х как прямой предел когомологий
нервов пространства X; это прямой предел по категории N(X), состоящей
из нервов открытых покрытий Х и симплициальных отображений между
нервами покрытий, связанных отношением вписанности. Ситников (1950)
определил гомологии пространства Х как прямой предел гомологий (т.е.
гомологий Стинрода) компактных подмножеств X; это прямой предел по
категории C(X), состоящей из всех компактных подмножеств Х и включений
между ними. (При этом в случае C(X) наличие конфинальной счетной
подкатегории равносильно локальной компактности Х, а в случае N(X) -
дискретности Х за вычетом некоторого компакта). В середине 80-х
Миминошвили и Лисица-Мардешич независимо друг от друга решили
переставить в этих классических определениях прямой предел с обратным,
определив тем самым «сильные гомологии» пространства Х как гомологии
holim N(X) (который они рассматривали как симплициальное множество) и
«сильные когомологии» Х как когомологии hocolim C(X). При этом
получилось, например, что в размерности -1 (в которой ординарным
гомологиям лучше бы вообще не появляться) сильные гомологии
произведения N x N^+, где N - счетное дискретное пространство, а
N^+ - его одноточечная компактификация, в предположении аксиомы
собственного форсинга будут нулевыми, а в предположении
континуум-гипотезы - ненулевыми. В обычной теории множеств ZFC
ни одного примера различия между обычными и сильными гомологиями
(или когомологиями) для польских пространств так и не было найдено,
хотя сильным (ко)гомологиям посвящены уже многие десятки статей
и несколько книг.
Результат доклада состоит в том, что для польских простанств «сильные»
гомологии и когомологии можно охарактеризовать как чистое недоразумение.
Более формально, они сводятся к обычным (и в частности становятся
вычислимыми в ZFC), если подправить определения holim и hocolim с
использованием некоторой (польской нульмерной) топологии на индексном
множестве диаграммы; эта топология зависит от выбора счетной базы
топологии на Х. Другими словами, обычные когомологии (Чеха-Даукера),
определенные в терминах когомологий нервов N(X), впервые вычислены для
польских пространств в терминах когомологий компактов C(X), а обычные
гомологии (Стинрода-Ситникова), определенные в терминах гомологий
компактов С(X), - вычислены в терминах гомологий нервов N(X).
Доказательства используют равномерные пространства и новые основания
комбинаторной топологии.
|
