|
Задача о движении твердого тела по горизонтальной плоскости — одна из классических задач теоретической механики.
При построении математической модели этой задачи существенное значение имеет характер взаимодействия тела с плоскостью.
В докладе основное внимание уделяется двум постановкам задачи, соответствующим предположению об идеальности
связей.
В первом случае предполагается, что тело может скользить по плоскости без трения (модель абсолютно гладкой плоскости),
т.е. рассматриваемая система является гамильтоновой с пятью степенями свободы и трехпараметрической группой симметрий
(сдвиг вдоль плоскости и поворот вокруг вертикали). В этой задаче известны два случая интегрируемости
по Лиувиллю:
(а) аналог случая Эйлера (неоднородный шар, центр масс которого совпадает с геометрическим);
(б) аналог случая Лагранжа (тело вращения — динамически и геометрически симметричное тело с одной и той же
осью симметрии).
Во втором случае предполагается, что тело не может скользить по плоскости (модель абсолютно шероховатой плоскости),
т.е. рассматриваемая система является консервативной неголономной системой Чаплыгина с тремя степенями свободы.
В общем случае уравнения движения тела на шероховатой плоскости допускают только интеграл энергии и
не допускают не только никаких дополнительных интегралов, но и инвариантную меру.
В этой задаче тоже известно два случая интегрируемости, аналогичные случаям Эйлера (а)
и Лагранжа (б). В этих случаях существует и инвариантная мера, и дополнительные интегралы.
При этом в задаче о движении тела вращения на шероховатой плоскости (случай б) существуют
два дополнительных интеграла, линейных по компонентам угловой скорости тела, которые, вообще говоря,
не известны в явном виде. Последнее обстоятельство резко усложняет топологический анализ динамики тела вращения
на шероховатой плоскости.
В заключение будут упомянуты некоторые интересные результаты динамики тела на плоскости с трением
(системы с неидеальными связями).
| 