|
Пусть M — гладкое компактное многообразие со слоением Φ,
g — риманова метрика на M,
F ⊂ TM — касательное расслоение
к Φ и H — ортогональное дополнение к F. Обозначим соответственно
через gF и gH ограничение
метрики g на F и H .
Тем самым, g = gF ⊕ gH.
Рассмотрим семейство римановых метрик на M :
gh = gF ⊕ h-2 gH,
h > 0.
Под адибатическим пределом мы понимаем исследование асимптотического поведения компактных римановых
многообразий (M,gh) при h → 0.
В докладе будут изложены результаты, касающиеся асимптотического поведения спектра оператора
Лапласа Δh на дифференциальных формах на римановом многообразии
(M,gh) в адиабатическом пределе. Если слоение Φ
риманово, получена асимптотическая формула для функции распределения собственных значений
оператора Δh при h → 0.
В этом случае также показано, что число так называемых «малых» собственных значений
оператора Δh при h → 0
выражается в терминах дифференцируемой спектральной последовательности слоения, а асимптотики соответствующих собственных форм
приводят к описанию этой спектральной последовательности типа теории Ходжа. Аналогичные результаты получены для некоторых
примеров неримановых слоений, например, для одномерных однородных слоений на компактных римановых многообразиях Гейзенберга.
|
