|
Целью настоящего доклада является демонстрация следующего принципа: если
диаграмма объекта достаточно
сложна, то она присутствует в виде поддиаграммы внутри любой
эквивалентной ей диаграммы.
Квантовый sl(3)-инвариант (скобка Куперберга) представляет собой
инвариант классических узлов, который строится следующим образом:
сначала диаграмма узла представляется в виде линейной комбинации графов,
а затем с помощью упрощающих соотношений графы упрощаются, и на них
вычисляются значения - полиномы Лорана от одной переменной.
Аналогично строятся два других инварианта, соответствующие алгебрам Ли
ранга 2.
В виртуальном (неэллиптическом) случае не всякий граф допускает такое
упрощение. Это позволяет строить более сильные инварианты, исходя из
того, что инвариантом сложного (неупрощаемого) графа является сам граф.
Свободные узлы и зацепления - комбинаторное упрощение виртуальных узлов,
основанное на понятии гауссовой диаграммы.
В итоге получается серия новых инвариантов виртуальных узлов, свободных
узлов, а также гомотопических классов погружений графов валентности три
в двумерные поверхности.
Отличительной чертой таких инвариантов является то, что их значениями
являются графы, что позволяет сводить различные вопросы о свойствах
объектов к свойствам их конкретных представителей. В частности, если
диаграмма виртуального узла (погружение графа в поверхность) довольно
сложна, то она 'присутствует в виде образца' в любой изотопной
(гомотопной) ей диаграмме.
В результате мы получим полную классификацию широкого класса свободных
зацеплений в явных терминах.
Будет предложен ряд задач исследовательского характера.
|
