Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/papers-sym/atom16stud.pdf Дата изменения: Wed Apr 2 17:21:51 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:45:33 2016 Кодировка: Windows-1251

Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия
Е.А. Кудрявцева, И.М. Никонов, А.Т. Фоменко 2 апреля 2008 г.
Аннотация
В настоящей работе рассматриваются правильные (т.е. максимально симметричные) клеточные разбиения замкнутых ориентированных двумерных поверхностей, т.е. правильные карты или правильные абстрактные многогранники. Эти объекты известны и как максимально симметричные ориентированные атомы. Атом назов?м приводимым, если он является разветвл?нным накрытием над другим атомом, с ветвлениями в вершинах разбиения и (или) центрах граней. Следующие две проблемы возникли в теории интегрируемых гамильтоновых систем: 1) описать неприводимые максимально симметричные атомы; 2) описать все максимально симметричные атомы, накрывающие данный неприводимый максимально симметричный атом. В данной работе эти проблемы решаются в важных случаях. В качестве приложения перечисляются все максимально симметричные ориентированные атомы следующих типов: 1) имеющие не более 30 р?бер; 2) имеющие не более 6 граней; 3) имеющие p или 2p р?бер, где p простое число.

Содержание
1 Введение
1.1 1.2 1.3 1.4 Сложные функции Морса, атомы и клеточные разбиения поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Максимально симметричные атомы . . . . . . . . . . . . . . . . . Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы Некоторые важные серии максимально симметричных ориентированных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2 5 8 9

2 Накрытия и симметрии атомов 3 Регулярные разветвл?нные накрытия атомов 4 Симметричные разветвл?нные накрытия атомов

13 15 19

5 Примитивные максимально симметричные атомы и отображения примитивизации 32 6 Классификация максимально симметричных атомов с данной примитивизацией 36 7 Нахождение примитивных максимально симметричных атомов 47

1


8 Классификация максимально симметричных атомов с не более чем 6 белыми клетками 62 9 Описание максимально симметричных ориентированных атомов данной сложности 68 10 Приложение А. Классификация максимально симметричных ориентированных атомов рода g 2 74 11 Приложение Б. Некоторые задачи. 76

1 Введение
1.1 Сложные функции Морса, атомы и клеточные разбиения поверхностей
Пусть M замкнутая гладкая двумерная вещественная поверхность, и f : M R функция Морса на ней. Функция Морса f , имеющая ровно по одной критической точке на каждом критическом уровне, называется простой. В противном случае f называется сложной функцией Морса. Простую функцию Морса можно определить эквивалентным образом: е? значения во всех критических точках попарно различны. ности N назовем эквивалентными, если существуют два диффеоморфизма : M N и ч : R R , такие, что ч сохраняет ориентацию и f = ч g . Другими словами, f и g получаются друг из друга гладкими заменами координат как в образе, так и в прообразе.

Определение 1.1. Две функции Морса f на поверхности M и g на поверх-

Введем понятие атома. Пусть K связная компонента критического уровня функции Морса f на M , содержащая хотя бы одну критическую точку. Множество K является связным конечным графом, вершины которого имеют степень 0 или 4. Пусть c = f (K ) соответствующее критическое значение и > 0 малое число.

Определение 1.2. Атомом называется связная компонента P M множества, задаваемого неравенством c - f c + , содержащая граф K , и рассматриваемая вместе с заданной на ней функцией Морса f , где > 0 достаточно малое число. Атом называется седловым (соотв. минимаксным), если K содержит седловую критическую точку (соотв. точку локального минимума или максимума) функции f . Все вершины седлового (соотв. минимаксного) атома имеют степень 4 (соотв. 0). Атом называется простым (соотв. сложным), если отвечающая ему функция Морса f |P простая (соотв. сложная). Критические точки функции Морса (т.е. вершины графа K ) называются вершинами атома, а их количество сложностью атома. Если поверхность P ориентируема (соотв. неориентируема), атом называется ориентируемым (соотв. неориентируемым). Если на поверхности P фиксирована ориентация, то соответствующий атом называется ориентированным. Родом атома называется ? род замкнутой поверхности P , получающейся из поверхности P заклеиванием дисками всех компонент края. Два атома (соотв. ориентированных атома) считаются изоморфными, если заданные на них функции Морса эквивалентны, см. Определение 1.1 (соотв. в ориентированном случае диффеоморфизм сохраняет ориентацию). Определение 1.3. Эквивалентным образом атом можно задать как оснащ?нную пару (P, K )# , где P компактная поверхность с краем, K непустой
2


конечный связный граф в P , вершины которого имеют степень 0 или 4, прич?м P \ K является несвязным объединением колец S 1 Ч (0; 1], S 1 Ч {1} P , и множество колец разбито на два подмножества (белые и ч?рные кольца) таким образом, что к каждому ребру графа K примыкают ровно одно белое кольцо и ровно одно ч?рное кольцо. Указанное разбиение колец на белые и ч?рные называется оснащением пары (P, K ), и оснащенная пара обозначается через (P, K )# . Две оснащ?нные пары считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм пар, сохраняющий ориентацию и раскраску. Действительно, по атому однозначно строится оснащенная пара (P, K )# , где белые (соотв. ч?рные) кольца задаются неравенством f > c (соотв. f < c). Верное и обратное: по оснащенной паре (P, K )# однозначно строится атом.

Определение 1.4. (А) Введенное выше (Определения 1.2, 1.3) понятие атома допускает ещ? одну эквивалентную формулировку. Оно получается из Опреде? ления 1.3 заменой поверхности P с краем на замкнутую поверхность P , а белых (соотв. ч?рных) колец на открытые двумерные белые (соотв. ч?рные) клетки. ? То есть, (ориентированный) атом рассматривается как пара (P , K )# (с ориен? тированной поверхностью P ). Изоморфизмом двух пар называется клеточный гомеоморфизм, сохраняющий раскраску (и ориентацию). Изоморфизм пары на себя называется автоморфизмом. (Б) (Ориентированный) атом, полученный из (ориентированного) седлово? го атома X = (P , K )# перекраской белых клеток в ч?рные, а ч?рных в белые, называется двойственным (ориентированному) атому X и обозначается X . Ориентируемый атом назов?м отражаемым, если он имеет автоморфизм, меняющий ориентацию. (В) Две двумерные клетки атома называются смежными, если они имеют общую вершину. Шашечным разбиением белых клеток атома назов?м такое разбиение множества белых клеток на два подмножества, что любые две различные смежные белые клетки принадлежат разным подмножествам. Графом смежности белых клеток атома называется граф, вершины которого взаимно однозначно отвечают белым клеткам атома, и две вершины графа соединены ребром тогда и только тогда, когда отвечающие этим вершинам белые клетки атома смежны.
Построим соответствие между атомами как парами (P, K )# и атомами как ? парами (P , K )# (прич?м индуцированное соответствие между классами эквивалентности таких пар будет взаимно однозначным). Пусть (P, K )# атом в ? смысле Определения 1.3, и P замкнутая поверхность, полученная из P заклейкой дисками граничных окружностей. Объединение ч?рного (белого) кольца с приклеенным к нему диском будем называть ч?рной (белой) клеткой. То? гда на замкнутой поверхности P получаем клеточное разбиение, одномерным остовом которого является граф K , а двумерные клетки описаны выше и раскрашены в два цвета так, что к каждому ребру примыкает ровно одна белая и ровно одна ч?рная клетки (т.е. является шахматной раскраской). Получен? ный клеточный комплекс с шахматной раскраской обозначим через (P , K )# . Он является атомом в смысле Определения 1.4.А.

Определение 1.5. Эквивалентным образом можно задать (ориентированный)

атом как клеточное разбиение связной замкнутой (ориентированной) поверхности (возможно, пустой). Такое клеточное разбиение называется также (ориентированной) картой [HC], [KM, 3.2], или (ориентированным) абстрактным многогранником [MS], [MS0]. Два таких разбиения считаются изоморфными, если имеется (сохраняющий ориентацию) клеточный гомеоморфизм. Опишем клеточное разбиение замкнутой поверхности (на белые двумер? ные клетки), отвечающее паре (P , K )# (при этом индуцированное соответствие 3


между классами эквивалентности атомов и клеточными разбиениями (возможно, пустых) связных поверхностей будет взаимно однозначным). Искомая за? мкнутая поверхность либо совпадает с поверхностью P (см. Определение 1.2) (если имеются ч?рные кольца, т.е. атом либо седловой, либо отвечающий точке ? локального максимума), либо P := (если нет ч?рных колец, т.е. атом отвечает ? точке локального минимума). По седловому атому (P , K )# одномерный остов ? клеточного разбиения поверхности P строится так: в центр каждого ч?рного диска помещаем вершину разбиения, а через каждую вершину атома проводим ребро разбиения, соединяющее центры ч?рных дисков, примыкающих к ? данной вершине с двух сторон. Это разбиение поверхности P совпадает с раз? ? биением на ручки, отвечающим соответствующей функции Морса f на P , где ? получена из f продолжением на диски так, чтобы f имела ? функция Морса f ровно по одной критической точке в каждом диске: локальный максимум (минимум) в центре белого (ч?рного) диска. Минимаксному атому, отвечающему точке локального максимума, сопоставляется клеточное разбиение двумерной ? сферы P = S 2 с ровно двумя клетками: нульмерной и двумерной. Минимаксному атому, отвечающему точке локального минимума, сопоставляется пустое ? клеточное разбиение пустой поверхности P = . ? Обратная операция построение седлового атома (P , K )# по абстрактному многограннику (т.е. по клеточному разбиению замкнутой поверхности) называется операцией усечение, см. 1.4 и рис. 1. При построенном соответствии между (ориентированными) атомами и клеточными разбиениями связных (ориентированных) (возможно, пустых) поверхностей, вершины седлового атома находятся во взаимно-однозначном соответствии с ребрами соответствующего клеточного разбиения, а белые (соотв. ч?рные) кольца седлового атома находятся во взаимно-однозначном соответствии с гранями (соотв. вершинами) клеточного разбиения. Ниже под графом мы понимаем абстрактный граф, в котором могут быть петли и кратные ребра. также как ориентированный f -граф. Иногда его называют также ориентированной хордовой диаграммой. Определение следующее. (А) Конечный связный граф , некоторые ребра которого ориентированы, называется ориентированным f -графом, если все его вершины имеют степень 3, прич?м к каждой его вершине примыкает ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из него. Отметим, что эта вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного ребра, если оно является петлей. (Б) Пусть (P, K )# седловой ориентированный атом, см. Определение 1.3. Около каждой вершины графа K проходит ровно два отрезка белых граничных окружностей. Соединим эту вершину двумя простыми дугами с этими отрезками, см. рис. 2. Граф, получающийся объединением ориентированных белых граничных окружностей поверхности P с указанными дугами, называется ориентированным f -графом (построенным по белым клеткам) данного ориентированного седлового атома. При этом ориентация белых граничных окружностей индуцирована ориентацией поверхности P (с помощью внешней нормали к е? границе). лового критического уровня функции Морса (см. Определение 1.2), то его ориентированный f -граф является объединением граничных окружностей, на которых значение функции превышает критическое значение, с отрезками сепаратрис векторного поля grad f , идущими из критических точек до верхнего края поверхности. 4

Рис. 1

Определение 1.6. Седловой ориентированный атом может быть определен

Рис. 2

Замечание 1.7. Если седловой атом интерпретировать как окрестность сед-


Замечание 1.8. Допуская некоторую вольность изложения, иногда вместо вы-

ражения класс изоморфности атомов будем говорить просто атом, а вместо выражения класс изоморфности ориентированных атомов будем иногда говорить просто ориентированный атом (или атом для краткости). В каждом параграфе терминология будет фиксирована и уточнена в его начале. Например, в формулировках утверждений в 69 под ориентированным атомом пони? ? мается класс изоморфности пар (P , K )# , а в доказательствах пара (P , K )# .

1.2 Максимально симметричные атомы
Ниже (Определение 2.6) определяется группа симметрий Aut(X ) ориентиро? ванного седлового атома X = (P , K )# , см. Определение 1.4.А, а также вводится понятие максимально симметричного ориентированного седлового атома. На языке карт (см. Определение 1.5) такие атомы это правильные конечные карты [K50, с.419], [B27, с.269] (см. также [KM, 8.1]). Дадим ещ? две эквивалентные формулировки этого определения.

Определение 1.9. Максимально симметричный ориентированный седловой атом может быть также определ?н как регулярное разветвл?нное накрытие ? ? : P S 2 (см. Определение 3.1) некоторой замкнутой поверхности P над 2 двумерной сферой с тремя точками ветвления y0 , y1 , y2 S , так что порядок ветвления в любой точке x -1 (y1 ) равен 2. Будем считать, что S 2 = C пополненная комплексная плоскость, y0 = -1, y1 = 0, y2 = 1 C . Два таких ? ? разветвл?нных накрытия 1 : P1 S 2 и 2 : P2 S 2 считаются эквивалент?1 P2 , такой что 1 = 2 h. ? ными, если имеется гомеоморфизм h : P
? По регулярному разветвл?нному накрытию : P S 2 из 1.9 однозначно по? строим максимально симметричный седловой ориентированный атом (P , K )# следующим образом. Рассмотрим на сфере мнимую окружность iR C = S 2 и покрасим полусферу {Re z > 0} S 2 \ iR в белый цвет, а полусферу {Re z < 0} S 2 \ iR в ч?рный цвет. Пусть K = -1 (iR ). Тогда оснащ?нная пара ? (P , K )# с раскраской и ориентацией, индуцированными при отображении из раскраски и ориентации пары (S 2 , iR ), является седловым ориентированным атомом (в смысле Определения 1.4.А), который мы и сопоставим разветвл?нному накрытию . Это да?т взаимно-однозначное соответствие между классами эквивалентности регулярных разветвл?нных накрытий из 1.9 и классами изоморфности максимально симметричных ориентированных седловых атомов.

Определение 1.10. Максимально симметричный ориентированный седловой

атом может быть эквивалентным образом определ?н как тройка (G, a, b), где G конечная группа, a, b G е? образующие, прич?м b2 = 1 = b. Отметим, что задание такой тройки равносильно заданию такого копредставления конечной группы G с двумя образующими, в котором вторая образующая нетривиальна и имеет порядок 2 (т.е. заданию такого эпиморфизма ч : Z Z2 G, что ч(Z2 ) = {1}). Две такие тройки (G1 , a1 , b1 ) и (G2 , a2 , b2 ) считаются эквивалентными, если имеется изоморфизм j : G1 G2 , такой что j (a1 ) = a2 , j (b1 ) = b2 . Опишем тройку (G, a, b), отвечающую максимально симметричному седло? вому ориентированному атому X = (P , K )# . Положим G = Aut(X ), a = ae , b = bA , см. Определение 2.6 и Утверждение 2.8. Как известно, это сопоставление определяет взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфности максимально симметричных ориентированных седловых атомов и классами эквивалентности копредставлений конечных групп с двумя образующими, где вторая образующая имеет порядок 2 (см. на эту тему [B27], [KM], [MS] и [S2006]). 5


Известно, что задание тройки (G, a, b) эквивалентно заданию графа Кэли [C1878a], [C1878b], [KM, 3.3] группы G с образующими a, b. Отметим, что граф Кэли совпадает с f -графом (см. Определение 1.6) ориентированного атома, отвечающего тройке (G, a, b). Следующая классификация максимально симметричных ориентированных атомов рода g 2 была получена (в эквивалентной переформулировке в терминах карт и копредставлений групп) в работах Коксетера [KM], [K48], [K50] и Трельфалля [T32].

Теорема 1.11 (см. Теоремы 1.13, 1.14, 1.17). Максимально симметричные ориентированные атомы рода g 2 классифицируются так. При g = 0 существуют две бесконечные серии Cn , Dn , n 1, где n сложность атома, и пять особых случаев P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , отвечающих платоновым телам, см. Теорему 1.13. При g = 1 имеются три бесконечные серии T(s,t) , T(s,t) , T(s,t) , s > 0, t 0, описанные в Теореме 1.14 (торические ориентированные атомы квадратного, треугольного и шестиугольного типов, соответственно). При g = 2 имеется ровно 10 классов изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов, перечисленные в Теореме 1.17.
В теории автоморфных функций были обнаружены следующие два атома рода 3. Отвечающие им правильные карты состоят из 24 семиугольников (карта Клейна [K1879, с.461-560]) и из 12 восьмиугольников (карта Дика [D1880, с.188 и 510]), соответственно. Эти и другие примеры максимально симметричных атомов можно получить из списков известных правильных конечных карт, см., например, [KM, табл. 8]. Классификация правильных карт на ориентированной поверхности рода 3 получена в работе [Sh59], на поверхности рода 4 в работе [G69], на поверхностях рода 5 и 6 в работе [BG89], на поверхности рода 7 в статье [G78]. Классификация правильных карт на ориентированных поверхностях рода, не превышающего 15, представлена в статье [CD2001]. Настоящая работа мотивирована следующими проблемами, поставленными А.В.Болсиновым и А.Т.Фоменко в работе Некоторые актуальные нерешенные задачи по топологии интегрируемых гамильтоновых систем [BF1, задачи 7 и 23]: Как устроены максимально симметричные 2-атомы, группа симметрий которых является простой, т.е. не содержит нетривиальных нормальных делителей? Такие атомы интересны тем, что их уже нельзя профакторизовать (свернуть) до меньшего максимально симметричного атома. Задача 23, сформулированная А.В.Болсиновым и А.Т.Фоменко, звучит так: Построить теорию лиувиллевых накрытий интегрируемых гамильтоновых систем. Мы скажем, что одно лиувиллево слоение накрывает другое лиувиллево слоение, если соответствующее непрерывное отображение f : Q3 Q3 (здесь Q3 и Q3 означают 1 2 1 2 тр?хмерные изоэнергетические многообразия интегрируемых систем с двумя степенями свободы) переводит слои Лиувилля в слои Лиувилля и является обычным накрытием над дополнением к особым слоям слоения Лиувилля. Не исключено, что на этом пути удастся обнаружить интересные примеры, когда одна известная интегрируемая система лиувиллево накрывает другую известную интегрируемую систему. Выяснить: что такое универсальная накрывающая интегрируемая система с двумя степенями свободы (для определ?нного класса, например, для систем с данным числом особых слоев)? Сколько существует таких универсальных накрывающих интегрируемых систем? Остальные должны получаться из них факторизацией. Ясно, что классифицировать имеет смысл в первую очередь универсальные накрывающие системы. Вариантом этих двух проблем является следующие две задачи: 1) описать неприводимые максимально симметричные атомы, см. Определение 3.5 6


и Следствие 3.6, т.е. не являющиеся накрытиями никаких других (им не изоморфных) максимально симметричных атомов (а потому все остальные максимально симметричные атомы являются их накрытиями); 2) для любых (или хотя бы для неприводимых) максимально симметричных атомов описать все накрывающие их максимально симметричные атомы (или хотя бы достаточно широкий класс таких накрывающих атомов). В первой части работы (2,3) мы уточним, какие именно накрытия здесь имеются в виду, и привед?м их свойства (Утверждения 2.4, 2.5, 2.8, 3.3 и Следствие 3.4). Во второй части настоящей работы (48) частично решаются две упомянутые выше задачи. Более точно, определяются и изучаются отображения типа примитивизации (56) это такие накрытия между максимально симметричными ориентированными атомами (в смысле Определения 1.3), при которых прообраз любой белой граничной окружности связен. В терминах правильных карт такие накрытия называются вполне разветвл?нными [W78]. На самом деле, вместо неприводимых атомов мы вводим и изучаем более широкий класс атомов, названных нами примитивными атомами. Примитивные атомы отличаются от неприводимых атомов следующим: все максимально симметричные атомы являются накрытиями примитивных атомов при помощи отображений типа примитивизации. Первая задача описание примитивных максимально симметричных ориентированных атомов (в смысле Определения 1.4.А) решается нами, например, в следующих частных случаях: 1) такие атомы отобраны из известных серий, см. 1.4, включающих сферические (т.е. рода 0) и торические (т.е. рода 1) атомы, см. пример 5.2; 2) найдены все примитивные максимально симметричные ориентированные атомы с не более чем шестью белыми клетками, см. Теорему 7.11; 3) найдены достаточные условия несуществования таких атомов с данным числом S белых клеток и данным числом d сторон любой белой клетки, а также перечислены такие атомы при d S - 2, см. Теоремы 7.1, 7.4, 1.18. Вторая задача описание отображений типа примитивизации над данным (не обязательно примитивным) максимально симметричным ориентированным атомом решается нами в Теореме 4.15 и Следствиях 5.7, 6.1, 6.2, прич?м в Теореме 4.15 классифицируются накрытия более общего вида. Эти результаты применены к бесконечным сериям атомов 1.4 и к атомам из Теоремы 7.11, см. Следствия 6.46.6, примеры 6.3, 6.7, 6.8 и Утверждения 7.5, 8.18.6. В [W78] дан алгоритм для получения аналогичной классификации вполне разветвл?нных накрытий (т.е. отображений типа примитивизации) над данной правильной картой. Аналог этого алгоритма в терминах копредставлений групп использовался в [G69], [BG89], [G78] для классификации правильных карт рода 47. Однако, в отличие от нашей работы, эти алгоритмы применимы лишь к отдельным атомам, а не к бесконечным семействам атомов. В третьей части работы (89) перечисляются все максимально симметричные ориентированные атомы следующих типов: атомы сложности n 30 (9), атомы, имеющие не более 6 белых колец (8), атомы сложности p или 2p, где p простое число (9). Отметим, что описание (в терминах правильных карт и копредставлений групп) максимально симметричных ориентированных атомов с двумя белыми кольцами имеется в работе Браханы [B27, с.280], а с числом белых колец, не превышающем 5, в работе Гарбе [G69]. В частности, в настоящей работе доказаны следующие теоремы.

7


Теорема А (см. Теорему 4.15). Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом и H конечная абелева группа. Тогда симметричные разветвл?нные накрытия f : X Y с группой монодромии H (см. Определение 4.10) классифицируются наборами

(l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ),

l, m Aut(H ),

q , r, c1 , . . . , c

2g

H,

удовлетворяющими условиям 46 в Теореме 4.15 ниже, где g род атома Y , и наборы рассматриваются с точностью до преобразований (l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ) (l-1 , m-1 , (q ), (r), (c1 ), . . . , (c2g )), Aut(H ).

Теорема Б (см. Теорему 9.2). Пусть n простое число или n {1, 4, 2p}, где
p простое число, p 3 (mod 4) и p = 3. Тогда An , Bn , Cn , Dn пывают собой список всех классов изоморфности максимально ориентированных атомов сложности n (т.е. любой максимально ориентированный атом сложности n принадлежит одному из классов изоморфности ориентированных атомов).
(см. 1.4) исчерсимметричных симметричный перечисленных

1.3 Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы
Атомы в том виде, как было сформулировано в Определении 1.2 выше, впервые возникли в теории интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Понятие атома было введено А.Т.Фоменко [F1], [F2], [F3], [F4]. Затем атомы и связанные с ними проблемы активно изучались в работах А.Т.Фоменко и Х.Цишанга [FZ], [FZ1], А.Т.Фоменко и А.В.Болсинова [BF], [BF1], [BFR], А.Т.Фоменко и А.В.Браилова [BrF], а также в работах А.А.Ошемкова [O], [O1], [O2], [O3], [O4], Е.А.Кудрявцевой [Ku], [Ku2], А.В.Браилова [B], Ю.А.Браилова и Е.А.Кудрявцевой [BK], Н.В.Коровиной [Ko]. Интегрируемая система с двумя степенями свободы определяет в невырожденном (боттовском) случае так называемое слоение Лиувилля 4-мерного симплектического многообразия M 4 , а также каждой тр?хмерной изоэнергетической поверхности Q3 = {H = h = h const}, где H функция Гамильтона соответствующей гамильтоновой системы. Двумерными слоями общего положения являются торы Лиувилля, а особыми слоями двумерные и одномерные комплексы, соответствующие перестройкам торов Лиувилля. Тр?хмерная окрестность U в Q3 особого слоя слоения Лиh увилля вместе со слоением Лиувилля на U называется тр?хмерным атомом. Оказывается, на U определено естественное расслоение Зейферта, слои которого являются окружностями, лежащими в слоях Лиувилля. В общем случае у этого расслоения Зейферта есть особые слои, т.е. оно не является локально тривиальным. Базой этого расслоения Зейферта на U является двумерная поверхность P с краем, расслоенная на одномерные окружности и особые одномерные графы. Окружности являются проекциями торов слоения Лиувилля на базу P , а особые графы проекциями особых слоев слоения Лиувилля. Эта поверхность P является (двумерным) атомом в смысле Определения 1.2. Таким образом, сформулированная выше проблема классификации симметрий (двумерных) атомов напрямую связана с описанием симметрий интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Естественно, аналогичные задачи стоят и для гамильтоновых систем с многими степенями свободы.

8


1.4 Некоторые важные серии максимально симметричных ориентированных атомов
Напомним, что для каждого натурального n существуют следующие 4 класса изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов сложности n, которые обозначим An , Bn , Cn , Dn , см. рис. 3,4. Ориентированные хордовые диаграммы ориентированных атомов этих классов показаны на рис. 5. выражения ориентированный атом класса изоморфности An говорят ориентированный атом An или просто атом An , и аналогично для классов изоморфности Bn , Cn , Dn , см. Замечание 1.8.

Рис.3,4,5

Замечание 1.12. Допуская некоторую вольность изложения, иногда вместо

Названные выше серии ориентированных атомов были обнаружены в теории гамильтоновых систем А.В. Болсиновым и А.Т. Фоменко [BF] (серии Cn , Dn ), Ю.А. Браиловым и Е.А. Кудрявцевой [BK] (серии An , Bn ). В терминах правильных карт эти атомы описаны также в [B27], [KM]. Ориентированные атомы классов Cn и Dn имеют род 0, группу симметрий

Aut(Cn ) = Aut(Dn ) = Zn

Z2 ,

изоморфную группе симметрий правильного n-угольника, Dn = Cn , прич?м Cn состоит из 2 белых n-угольных клеток и n ч?рных двуугольных клеток. Любой ориентированный атом класса An имеет род g = [ n ], циклическую 2 группу симметрий Aut(An ) = Z2n ,

и состоит из одной белой 2n-угольной клетки и из одной либо двух ч?рных клеток (2n-угольника при ч?тном n, или двух n-угольников при неч?тном n). Любой ориентированный атом класса Bn имеет род g = [ n-1 ], абелеву группу 2 симметрий Aut(Bn ) = Zn Z2 , и состоит из двух белых n-угольных клеток и из одной либо двух ч?рных клеток (2n-угольника при неч?тном n, или двух n-угольников при ч?тном n). Отметим, что имеются следующие совпадения классов изоморфности ориентированных атомов:

A1 = D1 ,

B 1 = C1 ,

B2 = C2 = D2 ,

а остальные классы An , Bn , Cn , Dn попарно различны. Кроме того, имеется 6 классов изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов Pi , 1 i 6, см. рис. 6 и 7, отвечающих пяти классическим правильным многогранникам (платоновым телам) и правильному псевдо-многограннику (кеплерову псевдо-додекаэдру [K1619]), где ориентированные атомы получаются из этих многогранников операциями усечение, см. рис. 1. Эти ориентированные атомы имеют группы симметрий

Рис.6,7

Aut(P1 ) = A4 , Aut(P2 ) = Aut(P3 ) = 4 , Aut(P4 ) = Aut(P5 ) = Aut(P6 ) = A5 .
Первые пять атомов имеют род 0, а шестой род 4. Сложность ni атома класса Pi равна числу р?бер соответствующего многогранника, 1 i 6, т.е. n1 = 6, n2 = n3 = 12, n4 = n5 = n6 = 30 для классов изоморфности ориентированных атомов, отвечающих тетраэдру, кубу и октаэдру, а также додекаэдру, икосаэдру и псевдо-додекаэдру, соответственно. Число Si белых клеток (число Si ч?рных клеток) атома Pi равно числу граней (вершин) соответствующего правильного многогранника (т.е. S1 = S1 = 4, S2 = S3 = 6, S3 = S2 = 8, 9


S4 = S5 = S6 = S6 = 12, S5 = S4 = 20). Ориентированные атомы классов Pi и Pi+1 двойственны друг другу, i = 2, 4, а атомы классов P1 и P6 двойственны сами себе, см. Определение 1.4.Б. Ориентированные хордовые диаграммы этих ориентированных атомов показаны на рис. 8 и 9.

Рис.8,9

мально симметричных конечными сериями Cn , ми случаями P1 , P2 , P3 , При этом C2 = D2 , а различны.

Теорема 1.13 ([KM], 5.1 и 8.1). Классы изоморфности сферических макси-

ориентированных атомов исчерпываются двумя бесDn , n 1, где n сложность атома, и пятью особыP4 , P5 , отвечающими платоновым телам, см. выше. остальные указанные классы изоморфности попарно

Опишем три бесконечных серии T(s,t) , T(s,t) , T(s,t) , s > 0, t 0, классов изоморфности торических максимально симметричных ориентированных атомов. Белые клетки атомов первой серии (соответственно второй и третьей серий) являются квадратами (соответственно треугольниками и шестиугольниками). Отметим, что ч?рные клетки атомов первой серии (соответственно второй и третьей серий) являются квадратами (соответственно шестиугольниками и треугольниками). Эти серии будем называть сериями квадратного, треугольного и шестиугольного типов, соответственно. Опишем серию T(s,t) классов изоморфности торических ориентированных атомов квадратного типа. Эта серия параметризована парой целых чисел s, t, таких что s > 0, t 0. При этом s2 + t2 = S , где S количество белых клеток атома. Рассмотрим на ориентированной евклидовой плоскости стандартную целочисленную реш?тку. Рассмотрим разбиение плоскости на квадраты со стороной 1/ 2, которые раскрасим в шахматном порядке в белый и ч?рный цвета так, что центры белых квадратов (клеток) находятся в узлах целочисленной реш?тки, см. рис. 10. Рассмотрим факторпространство плоскости по подреш?тке, порожд?нной парой целочисленных векторов (s, t) и (-t, s), где числа s, t указаны выше. Поскольку разбиение плоскости на белые и ч?рные квадраты инвариантно относительно сдвигов плоскости на целочисленные вектора, полученное факторпространство имеет структуру ориентированного атома. Этот ориентированный атом торический и максимально симметричный, так как группа сдвигов на вектора указанной подреш?тки является нормальной подгруппой в группе симметрий указанного разбиения плоскости на белые и ч?рные квадраты (т.е. в группе, порожд?нной сдвигами на целочисленные вектора и поворотом на угол /2 вокруг начала координат), см. пункт 3 Следствия 3.4. Итак, описанный ориентированный атом назов?м торическим максимально симметричным ориентированным атомом квадратного типа (s, t), и обозначим его класс эквивалентности через T(s,t) . Любой атом этого класса имеет сложность n = 2(s2 + t2 ), ровно S = s2 + t2 белых и S = s2 + t2 ч?рных двумерных клеток. Максимально симметричный ориентированный атом, отвечающий целочисленному вектору (t, s) (вместо (s, t)) получается из описанного выше ориентированного атома заменой ориентации. Отвечающая атому T(2,1) карта на торе имеется в работе Хеффтера [H1891, с.491], она состоит из 5 квадратов. Опишем серию T(s,t) классов изоморфности торических ориентированных атомов треугольного типа. Эта серия параметризована парой целых чисел s, t, таких что s > 0, t 0. При этом 2(s2 + st + t2 ) = S , где S количество белых клеток атома. Рассмотрим стандартное замощение ориентированной евклидовой плоскости равносторонними треугольниками со стороной 1. Вершины этих треугольников образуют реш?тку, в которой выберем следующий базис e1 , e2 . Векторы этого базиса единичные, угол между ними равен /3, и определяемая этим базисом ориентация плоскости положительна. Определим 10

Рис.10


теперь шахматное разбиение плоскости на белые треугольники и ч?рные шестиугольники, см. рис. 11, получающееся из указанного разбиения плоскости на треугольники операцией усечение, см. рис. 1. Эта операция аналогична построению атомов P1 , . . . , P5 по платоновым телам. Отметим, что узлы исходной треугольной реш?тки являются центрами ч?рных шестиугольников (клеток). Рассмотрим теперь подреш?тку, порожд?нную векторами se1 + te2 и -te1 + (s + t)e2 , см. рис. 12, где числа s, t указаны выше. Поскольку разбиение плоскости на белые треугольники и ч?рные шестиугольники инвариантно относительно сдвигов плоскости на целочисленные вектора, полученное факторпространство имеет структуру ориентированного атома. Этот ориентированный атом торический и максимально симметричный, так как группа сдвигов на вектора указанной подреш?тки является нормальной подгруппой в группе симметрий указанного разбиения плоскости на белые треугольники и ч?рные шестиугольники (т.е. в группе, порожд?нной сдвигами на целочисленные вектора и поворотом на угол /3 вокруг начала координат), см. пункт 3 Следствия 3.4. Итак, описанный ориентированный атом назов?м торическим максимально симметричным ориентированным атомом треугольного типа (s, t), и обозначим его класс изоморфности через T(s,t) . Любой атом этого класса имеет сложность n = 3(s2 + st + t2 ), ровно S = 2(s2 + st + t2 ) белых и S = s2 + st + t2 ч?рных двумерных клеток. Максимально симметричный ориентированный атом, отвечающий целочисленному вектору (t, s) (вместо (s, t)) получается из описанного выше ориентированного атома заменой ориентации. Опишем теперь серию T(s,t) классов изоморфности торических ориентированных атомов шестиугольного типа. Эта серия параметризована парой целых чисел s, t, таких что s > 0, t 0. При этом s2 + st + t2 = S , где S количество белых клеток атома. Ориентированные атомы класса T(s,t) получаются из описанных выше ориентированных атомов класса T(s,t) заменой раскраски двумерных клеток белых треугольников на ч?рные, а ч?рных шестиугольников на белые. Любой атом этого класса имеет сложность n = 3(s2 + st + t2 ), ровно S = s2 + st + t2 белых и S = 2(s2 + st + t2 ) ч?рных двумерных клеток. Как и выше, ориентированные атомы шестиугольного типа (t, s) получаются из ориентированных атомов шестиугольного типа (s, t) заменой ориентации. В работе Хивуда [H1890] имеется карта, состоящая из 7 шестиугольников и отвечающая атому T(2,1) , и доказано, что эту карту невозможно раскрасить менее чем семью красками. Классы изоморфности описанных выше торических ориентированных атомов образуют полный список классов изоморфности торических максимально симметричных ориентированных атомов, полученный Г.С.М. Коксетером [K48], [K50] в эквивалентной формулировке в терминах карт и копредставлений групп.

Рис.11

Рис.12

Теорема 1.14 (Коксетер [K48], с.25, [K50], с.421). Классы изоморфности торических максимально симметричных ориентированных атомов исчерпываются тремя бесконечными сериями T(s,t) , T(s,t) , T(s,t) , s > 0, t 0, описанными выше (торические ориентированные атомы квадратного, треугольного и шестиугольного типов, соответственно). При этом классы из различных серий различны, а разным парам (s, t) каждой серии отвечают различные классы изоморфности ориентированных атомов. Обозначение 1.15. Для любого максимально симметричного ориентированного атома X введ?м следующие обозначения. Пусть n атома X , т.е. количество его вершин, g = g (X ) его количество белых двумерных клеток атома X , d = любой белой клетки, S = S (X ) количество ч?рных 11

= n(X ) сложность род. Пусть S = S (X ) d(X ) число сторон двумерных клеток, а


d = d (X ) число сторон любой ч?рной клетки. Пару чисел (d, d ) назов?м комбинаторным типом атома X (он также называется типом соответствующей правильной карты, а также типом Шлефли соответствующего абстрактного правильного многогранника, принятое обозначение {d, d }).
Выше приведены теоремы Г.С.М. Коксетера 1.13 и 1.14 классификации максимально симметричных ориентированных атомов рода g = 0 и 1 (сферических и торических). В обоих случаях имеется бесконечное количество попарно не изоморфных максимально симметричных ориентированных атомов. Однако при любом g 2 имеется лишь конечное число классов изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов рода g (Теорема 1.16). Это следует из того, что, согласно соотношениям (27) и S + S - n = 2 - 2g , для максимально симметричных ориентированных атомов рода g 2 четв?рка (S, S , d, d ) может принимать лишь конечное число значений (зависящее от g ). Этот же факт следует и из неравенства Гурвица на порядок группы симметрий правильных карт рода g , см. [S2006].

Теорема 1.16. Для любого натурального числа g 2 имеется лишь конечное число классов изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов рода g .
Перечислим классы изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов рода 2. Согласно результату В. Трельфалля [T32], таких классов ровно 10 и, в обозначениях Утверждений 8.1, 8.2, 8.4, 8.6, они имеют следующий вид: 1. A4 (S = S = 1, d = d = 8), см. Введение и Утверждение 8.1; 2. A5 (S = 1, S = 2, d = 10, d = 5) и двойственный ему класс B5 = K (S = 2, S = 1, d = 5, d = 10), см. Введение и Утверждения 8.1, 8.2; 3. B6 = K 4. O O
8,3,2 2 8,1,1 4 6, 1 2 5,1 2

(S = S = 2, d = d = 6), см. Введение и Утверждения 8.1, 8.2;

8 = K2 ,3 (S = 2, S = 4, d = 8, d = 4) и двойственный ему класс (S = 4, S = 2, d = 4, S = 8), см. Утверждения 8.2 и 8.4; ,1,0

12 12 5. O4 ,2,0 (S = 4, S = 6, d = 6, d = 4) и двойственный ему класс O6 (S = 6, S = 4, d = 4, d = 6), см. Утверждения 8.4 и 8.6;

24 24 6. P2 ,0 (S = 6, S = 16, d = 8, d = 3) и двойственный ему класс (P2 ,0 ) (S = 16, S = 6, d = 3, d = 8), см. Утверждение 8.6.

Выше в каждом из пунктов 2,4,5,6 приведена пара двойственных друг другу классов ориентированных атомов, см. Определение 1.4.Б. Каждый из классов ориентированных атомов в пунктах 1,3 двойствен самому себе.

Теорема 1.17 (Трельфалль [T32], с.44). Классы изоморфности максимально симметричных ориентированных атомов рода 2 исчерпываются описанными выше десятью случаями. Эти десять классов изоморфности имеют попарно различные комбинаторные типы (d, d ). В частности, эти десять классов попарно различны и отражаемы (см. Определение 1.4.Б).
n,f Опишем ещ? одну бесконечную серию KS ориентированных атомов, n = S (S -1) . Рассмотрим примитивные (см. Определение 5.1) максимально симмет2 ричные ориентированные атомы, имеющие ровно S 2 белых клеток, являющихся (S - 1)-угольниками (а потому белые клетки являются попарно смежными). Граф смежности белых клеток (см. Определение 1.4.В) такого атома имеет S вершин и не имеет петель и кратных р?бер, а каждая его вершина имеет степень S - 1. Такой граф единствен это полный граф KS . Следующее утверждение было доказано в [JJ] в контексте правильных карт.

12


(А) Число различных примитивных максимально симметричных ориентированных атомов, у которых граф смежности белых клеток есть полl ный граф KS , равно (p l-1) , если S = pl , где p простое число, l N и функция Эйлера, и равно 0 в противном случае. Более точно, существует взаимно-однозначное соответствие между максимально симметричными ориентированными атомами с графом смежности KS , S = pl , и неприводимыми многочленами над Zp степени l, корни которых являются образующими мультипликативной группы конечного поля из S элементов. (Б) При этом, если S > 3 и S 3 (mod 4), то каждый такой атом имеет S белых и S ч?рных клеток, комбинаторный тип (S - 1, S - 1), см. обозначение 1.15, а род атома равен S (S4-5) + 1. Если же S > 3 и S 3 (mod 4), то каждый такой атом имеет S белых и 2S ч?рных клеток, комбинаторный тип (S -1, S -1 ), а род атома равен S (S4-7) +1. Сложность атома равна S (S2-1) . 2 (В) Пусть f (t) = tl + cl-1 tl-1 + ћ ћ ћ + c0 неприводимый многочлен над Zp , корень которого является образующей мультипликативной группы поля n,f из S = pl элементов, n = S (S2-1) . Обозначим через KS примитивный максимально симметричный ориентированный атом с графом смежности KS , ? отвечающий многочлену f , см. (А). Обозначим f (t) = tl + c1 tl-1 +ћ ћ ћ + cl-1 t+ c1 c0 c0 0 c1 l-1 l l-1 cl-1 l1 и f (t) = t - c0 t + ћ ћ ћ + (-1) c0 t + (-1) c0 . Тогда
n, 1. ориентированный атом KS f получается из ориентированного атома n,f KS заменой ориентации; ?

Теорема 1.18. Пусть S N, S 2.

changed changed

2. если S > 3 и S 3 (mod 4), то ориентированный атом K n,f ориентированному атому KS (см. Определение 1.4.Б).

n,f S

двойствен

Для малых значений S {pl | p простое, l N} имеем следующие значения для количества NK (S ) (а также для рода gK (S ) и сложности nK (S )) примитивных максимально симметричных ориентированных атомов с графом смежности KS :

S NK gK nK

2 1 0 1

3 1 0 3

4 1 0 6

5 2 1 10

7 2 1 21

8 2 7 28

9 2 10 36

11 4 12 55

13 4 27 78

16 2 45 120

17 8 52 136

19 6 58 171

23 10 93 253

25 4 126 300

27 4 109 351

В 7 для полноты изложения мы привед?м доказательство Теоремы 1.18, а n,f также отбер?м из серии KS все неприводимые ориентированные атомы. В итоге, среди ориентированных атомов описанных выше серий неприводи2l-1 (2l -1),f мы лишь следующие: P1 , . . . , P6 , A2l при l 0, и K2l при l 1, где f Z2 [t] как в Теореме 1.18. Этот список включает атомы D1 = A1 , T(1,0) = A2 ,
1 B1 = C1 = A = K2 ,t+1 и исчерпывает все неприводимые максимально симмет1 ричные ориентированные атомы сложности n 30. Отметим, что некоторые атомы X допускают накрытия X Y1 и X Y2 над различными (не изоморфными друг другу) неприводимыми атомами Y1 , Y2 . Например, ориентированный атом B4 = T(1,1) допускает как отображение примитивизации B4 B1 , так и неразветвл?нное накрытие B4 A2 = T(1,0) .

2 Накрытия и симметрии атомов
Всюду далее в статье рассматриваются только ориентированные седловые атомы. В данном параграфе ориентированный атом понимается как оснащ?нная ? пара (P , K )# , см. Замечание 1.8. 13


Определение 2.1. (А) Если атом рассматривается как поверхность (P, K )#

с краем (с клеточным разбиением и с шахматной раскраской двумерных клеток), см. Определение 1.3, то накрытием (ориентированного) атома (P2 , K2 )# (ориентированным) атомом (P1 , K1 )# будем называть обычное (сохраняющее ориентацию) накрытие поверхностей P1 P2 , переводящее граф K1 в граф K2 и сохраняющее цвета колец. (Б) Всюду далее в настоящей работе под (ориентированным) атомом бу? дем понимать описанное выше клеточное разбиение (P , K )# замкнутой (ориентированной) поверхности с шахматной раскраской двумерных клеток, см. Определение 1.4.А. В этом случае под накрытием (ориентированных) атомов понимается (сохраняющее ориентацию) разветвл?нное накрытие замкнутых ? ? поверхностей P1 P2 , переводящее граф K1 в граф K2 и сохраняющее цвета двумерных клеток, с ветвлениями в центрах двумерных клеток (см. Определение 2.2 ниже). Пусть X, Y ориентированные (седловые) атомы, см. Определение 1.4.А, т.е. двумерные ориентированные связные замкнутые поверхности с заданными на них разбиениями на клетки с положительным количеством одномерных клеток (р?бер), прич?м двумерные клетки двух типов (белые и ч?рные) и клетки одного типа не имеют общих р?бер, а каждая вершина разбиения имеет степень 4 и к ней примыкают 1 или 2 белые и 1 или 2 ч?рные клетки. Как следует определить морфизм F : X Y , чтобы атомы образовали категорию? Естественно потребовать, чтобы морфизм F являлся классом эквивалентности F = [f ] отображения f , удовлетворяющего следующим условиям: f : X Y непрерывное отображение; f является клеточным и сохраняет типы (т.е. цвета) двумерных клеток; отображение f является разветвл?нным накрытием, сохраняющим ориентацию, где два таких отображения называются эквивалентными, если они гомотопны в классе клеточных разветвл?нных накрытий. Гомотопируя f в классе клеточных разветвл?нных накрытий, мы можем добиться, чтобы точками ветвления полученного разветвл?нного накрытия f0 были центры двумерных клеток, прич?м на каждом (ориентированном) ребре введен параметр на отрезке [0; 1], и любая двумерная клетка получается приклеиванием замкнутого единичного круга по границе к одномерному остову согласно замкнутому пути, идущему с постоянной скоростью по ребрам этого пути, и при f0 радиусы двумерных клеток переходят в радиусы с сохранением расстояний. Разветвл?нное накрытие f0 с указанными свойствами определено однозначно, его мы будем называть правильным. Таким образом, F = [f ] = [f0 ] и мы приходим к следующему определению.

Определение 2.2. Морфизмом ориентированных атомов называется сохраняющее ориентацию клеточное разветвл?нное накрытие f : X Y , точки ветвления которого находятся в центрах двумерных клеток клеточного разбиения, рассматриваемое с точностью до гомотопии в классе таких разветвл?нных накрытий.

Замечание 2.3. Поскольку каждый морфизм имеет единственного правильного представителя, в дальнейшем мы будем отождествлять морфизмы ориентированных атомов с правильными разветвл?нными накрытиями. Утверждение 2.4. Пусть Y ориентированный атом, X связное то14

пологическое пространство, и f : X Y конечнолистное разветвл?нное


накрытие, точки ветвления которого находятся в центрах двумерных клеток атома Y . Тогда на X существует единственная структура атома, для которой f : X Y морфизм.

Утверждение 2.5 (Единственность морфизма). Пусть X, Y ориентиро-

ванные атомы и f , g : X Y морфизмы. Предположим, что существует одномерная клетка e X , такая что f (e) = g (e). Тогда f = g . Доказательство. Следует из связности атома X и ж?сткости клеточных отображений.

Определение 2.6. Пусть X ориентированный атом. Морфизм f : X X

назовем симметрией ориентированного атома X . Группу симметрий обозначим Aut(X ). Ориентированный атом X назовем максимально симметричным, если для любой его нульмерной клетки найдется симметрия атома, действующая как поворот на вокруг этой клетки; для любой двумерной клетки e существует симметрия атома, сохраняющая эту клетку и действующая как элементарный поворот клетки e.

Замечание 2.7. Ориентированный атом X является максимально симметрич-

ным тогда и только тогда, когда группа его симметрий транзитивно действует на множестве ребер атома X .

Утверждение 2.8. Пусть X ориентированный атом, e X его двумер-

ная белая клетка, A e вершина клетки. Если существуют симметрии ? ae , bA : X X , такие что a = ae действует как (элементарный) поворот на клетке e, b = bA действует как центральная симметрия (т.е. полуоборот) с центром в A, то X максимально симметричный атом. Доказательство. Рассмотрим множество E2 двумерных белых клеток атома X , таких что имеется симметрия атома, действующая как элементарный поворот на этой клетке. Рассмотри множество E0 нульмерных клеток (вершин) атома X , для каждой из которых есть симметрия атома, действующая как центральная симметрия с центром в этой вершине. Тогда e E2 и A E0 . Множества E0 , E2 инвариантны относительно Aut(X ). В частности, выполнены два свойства:
1. если A1 e1 и A1 E0 , e1 E2 , то все вершины Ai e1 принадлежат ? ? E0 ; 2. если A1 e1 и A1 E0 , e1 E2 , то белая клетка e2 , полученная из e ? центральной симметрией с центром в точке A1 , принадлежит E2 .
1

Из этих свойств и связности атома следует, что E0 совпадает со множеством всех вершин атома, а E2 совпадает со множеством всех белых клеток атома X . Так элементарный поворот вокруг любой ч?рной клетки можно представить в виде композиции ae bA для некоторой белой двумерной клетки e и е? вершины A e, то атом X будет симметричным по определению. ?

3 Регулярные разветвл?нные накрытия атомов
В данном параграфе ориентированный атом тоже понимается как оснащ?нная ? пара (P , K )# , см. Замечание 1.8.

15


логических пространств, x0 X и y0 = f (x0 ). Говорят, что накрытие f отвечает подгруппе = f# (1 (X, x0 )) 1 (Y , y0 ). Пусть Aut(f -1 (y0 )) группа биекций множества f -1 (y0 ). Обозначим через (Y , y0 ) пространство замкнутых кривых (т.е. петель) в Y с концами в точке y0 . Гомоморфизмом монодромии накрытия f называется гомоморфизм : 1 (Y , y0 ) Aut(f -1 (y0 )), переводящий гомотопический класс [ ] 1 (Y , y0 ) любой петли (Y , y0 ) в биекцию множества f -1 (y0 ), сопоставляющую любой точке x f -1 (y0 ) конец кривой на ~ X , выходящей из точки x и являющейся поднятием кривой при накрытии f . Образ H Aut(f -1 (y0 )) этого гомоморфизма называется группой монодромии накрытия f , образ элемента [ ] монодромией при обходе вдоль петли , а индуцированный эпиморфизм : 1 (Y , y0 ) H эпиморфизмом монодромии. Накрытие называется регулярным, если подгруппа нормальна. Изоморфизмом накрытий f1 : X1 Y и f2 : X2 Y называется такой гомеоморфизм a : X1 X2 , что f1 = f2 h. Автоморфизмом накрытия f называется его изоморфизм с самим собой. Для регулярного накрытия f выполнено = ker , и монодромия при обходе вдоль любой петли (однозначно) продолжается до автоморфизма накрытия, а потому группа монодромии допускает естественные изоморфизмы H Aut(f ) 1 (Y , y0 )/ , где Aut(f ) группа автоморфизмов накрытия f , называемая в этом случае группой регулярного накрытия f . (Б) Пусть f : X Y разветвл?нное накрытие линейно связного топологического пространства X над поверхностью Y , и пусть B Y множество точек ветвления. Предположим, что B дискретно. Разветвл?нное накрытие f называется регулярным, если соответствующее накрытие f |X \f -1 (B ) : X \ f -1 (B ) Y \ B регулярно. Группа монодромии и эпиморфизм монодромии разветвл?нного накрытия f (соотв. монодромия при обходе вдоль петли, изоморфизм, автоморфизм и изоморфизм разветвл?нных накрытий, а также группа регулярного разветвл?нного накрытия) определяются как соответствующие понятия для соответствующего накрытия f |X \f -1 (B ) . и f2 : X2 Y изоморфны тогда и только тогда отвечающие им подгруппы 1 , 2 1 (Y , y0 ) сопряжены. Поэтому для регулярных накрытий f1 : X1 Y и f2 : X2 Y следующие утверждения равносильны: накрытия f1 и f2 изоморфны; накрытия f1 и f2 отвечают одной и той же подгруппе 1 = 2 1 (Y , y0 ); соответствующие эпиморфизмы монодромии i : 1 (Y , y0 ) Hi , i = 1, 2, изоморфны, т.е. существует изоморфизм : H1 H2 , такой что 1 = 2 . Пусть X ориентированный атом и G = Aut(X ) рий. Под симметриями ориентированного атома здесь мы ные разветвл?нные накрытия X X (см. Замечание 2.3), являются гомеоморфизмами. Пусть H G подгруппа, щая на вершинах атома X . группа его симметпонимаем правилькоторые, очевидно, свободно действую-

Определение 3.1. (А) Пусть f : X Y накрытие линейно связных топо-

Замечание 3.2. Из теории накрытий известно, что два накрытия f1 : X1 Y

Утверждение 3.3. При указанных выше условиях справедливы следующие
утверждения: 1. факторпространство Y = X/H имеет единственную структуру ориентированного атома, для которой проекция f : X Y является морфизмом; 2. проекция f является регулярным разветвл?нным накрытием с ветвлениями в центрах двумерных клеток разбиения X , и е? группа монодромии изоморфна H ;
16


3. H G нормальна тогда и только тогда, когда для любого g G имеется g Aut(Y ) со свойством f g = g f ; при выполнении хотя бы одного ? ? из этих условий отображение : G Aut(Y ), (g ) = g , g G, являет? ся гомоморфизмом и ker = H , а потому индуцирует мономорфизм G/H Aut(Y ); 4. если X является максимально симметричным, то H G тогда и только тогда, когда Y является максимально симметричным; 5. если X и Y являются максимально симметричными атомами, то имеется изоморфизм G/H Aut(Y ), переводящий классы смежности aH, bH G/H стандартных образующих a = ae , b = bA группы G в стандартные образующие группы Aut(Y ), см. Утверждение 2.8; 6. если X максимально симметричен, то любой морфизм f : X Y является регулярным разветвл?нным накрытием, прич?м его группой накрытия является некоторая подгруппа H G, свободно действующая на вершинах X ; 7. если Y максимально симметричный ориентированный атом, то для любых двух морфизмов f1 , f2 : X Y существует единственная симметрия g Aut(Y ), такая что f2 = g f1 ; 8. если H G нормальна, то X максимально симметричен тогда и только тогда, когда Y максимально симметричен и Aut(Y ) G/H . Доказательство. 1) Группа симметрий Aut(X ) свободно действует на множестве ребер атома X по Утверждению 2.5, а подгруппа H свободно действует на множестве вершин атома X , поэтому подгруппа H свободно действует на подмножестве X0 , где X0 получается из X выкалыванием центров двумерных клеток. Тогда на Y0 = X0 /H имеется граф, являющийся образом одномерного остова атома X при проекции f |X0 : X0 Y0 , а дополнение к этому графу распадается на проколотые двумерные клетки, на которых индуцирована раскраска и ориентация. Это и зада?т структуру ориентированного атома на Y . То, что f является морфизмом, следует из построения структуры атома на Y . 2) Из того, что группа H свободно действует на X0 , следует, что проекция f |X0 : X0 Y0 является регулярным накрытием и что H изоморфна группе монодромии этого накрытия. 3) Подгруппа H нормальна тогда и только тогда, когда любая симметрия g G = Aut(X ) определяет корректное отображение g : X/H X/H по ? формуле g (H x) = H g (x), x X . Отображение g является симметрией ато? ? ма Y . Поэтому задано отображение : G Aut(Y ), (g ) = g , g G. Оно ? является гомоморфизмом, так как для любых g1 , g2 G, x X выполнено g1 g2 (H x) = H g1 g2 (x) = H g1 (g2 (x)) = g1 (H g2 (x)) = g1 (g2 (H x)). Пусть x X ? ?? внутренняя точка некоторого ребра атома X . Тогда для любого g ker существует такое h H , что g (x) = h(x). Так как G свободно действует на множестве ребер атома X по Утверждению 2.5, то g = h H . Значит, ker H . Обратно, если g H , то g (H x) = H g (x) = H x, откуда g ker . Поэтому ? ker = H . Значит, индуцирует мономорфизм G/H Aut(Y ). 4) Пусть X максимально симметричен и H G. По Замечанию 2.7 G действует транзитивно на множестве ребер атома X , а потому образ мономорфизма G/H Aut(Y ) действует транзитивно на множестве ребер атома Y . Значит, по Замечанию 2.7, атом Y максимально симметричен. Пусть X и Y максимально симметричные атомы. Пусть g Aut(X ) и e одномерная клетка в X . Тогда f (e) и f (g (e)) одномерные клетки в Y . Так как Y максимально симметричен, то существует единственная симметрия
17


ge Aut(Y ), такая что ge (f (e)) = f (g (e)). По Утверждению 2.5 имеет место ? ? равенство морфизмов ge f = f g . Поскольку f сюръективно, то морфизм ge не ? ? зависит от выбора ребра e, обозначим его как g . Пусть g G и h H , покажем, ? что g h g -1 H . Для этого достаточно проверить, что f g h g -1 = f . В самом деле, f ghg
-1

=gf hg ?

-1

=gf g ?

-1

=gg ?

-1

f = g g -1 f = f . ??

Таким образом, H нормальная подгруппа G. 5) По предыдущему пункту H G, а по пункту 3 имеется мономорфизм G/H Aut(Y ). Группа G транзитивно действует на р?брах атома X , значит действие G/H на Y , индуцированное действием G на X , также транзитивно на р?брах атома Y . Из Утверждения 2.5 следует, что мономорфизм G/H Aut(Y ) является эпиморфизмом. Осталось заметить, что индуцированное действие элемента aH G/H на белой клетке f (e) Y является элементарным поворотом, а индуцированное действие симметрии bH G/H на Y является полуоборотом вокруг вершины f (A) Y . 6) Определим подмножество симметрий H = {h Aut(X ) | f h = f }. Тогда H является подгруппой в G: если f h1 = f и f h2 = f , то f h1 h2 = f h2 = f . Группа H свободно действует на множестве вершин атома X , так как f не имеет ветвлений в вершинах атома. Пусть e ребро атома Y . Группа H транзитивно действует на множестве ребер атома X , проектирующихся на e при разветвл?нном накрытии f , поскольку для любой пары ребер e , e атома X , таких что f (e ) = f (e ) = e, имеется симметрия h Aut(X ), переводящая e в e , а значит f h(e ) = f (e ) = e, следовательно, f h = f в силу Утверждения 2.5, т.е. h H . 7) Пусть e некоторое ребро атома X . Так как атом Y максимально симметричен, существует симметрия g Aut(Y ), переводящая ребро f1 (e) в ребро f2 (e), т.е. f2 (e) = g f1 (e). Тогда по Утверждению 2.5 f2 = g f1 . Симметрия g единственна, так как f1 сюръективно. 8) Необходимость следует из пунктов 4 и 5. Докажем достаточность. Пусть атом Y максимально симметричен, H G и G/H = Aut(Y ). Покажем, что атом X максимально симметричен. Пусть e1 , e2 два ребра атома X . В силу максимальной симметричности атома Y существует симметрия g Aut(Y ), пе? реводящая ребро f (e1 ) в ребро f (e2 ). В группе симметрий G найдется элемент g , отображающийся в g при проекции G G/H = Aut(Y ), т.е. удовлетворяю? щий соотношению f g = g f . Симметрия g переводит ребро e1 в ребро e2 , ? при этом f (e2 ) = f (g (e1 )) = g (f (e1 )) = f (e2 ), т.е. ребра e2 и e2 проектируются в ? одно ребро атома Y . Так как разветвл?нное накрытие f регулярно, существует симметрия h H , такая что h(e2 ) = e2 . Тогда симметрия h g переводит ребро e1 в ребро e2 . Таким образом, группа G транзитивно действует на множестве ребер атома X и атом X максимально симметричен.

Следствие 3.4. Пусть X максимально симметричный ориентированный
атом, G = Aut(X ) группа его симметрий (т.е. морфизмов X X , понимаемых как правильные разветвл?нные накрытия, см. Замечание 2.3 и текст перед 3.3), и пусть H G подгруппа, свободно действующая на вершинах атома X . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. факторпространство Y = X/H имеет единственную структуру ориентированного атома, для которой проекция f : X Y является морфизмом; 2. проекция f является регулярным разветвл?нным накрытием с ветвлениями в центрах двумерных клеток разбиения X , и е? группа монодромии изоморфна H ;
18


3. H G тогда и только тогда, когда Y является максимально симметричным; 4. если Y является максимально симметричным, то Aut(Y ) G/H и для любых двух морфизмов f1 , f2 : X Y существует единственная симметрия g Aut(Y ), такая что f2 = g f1 ; 5. любой морфизм f : X Y является регулярным разветвл?нным накрытием, прич?м его группой накрытия является некоторая подгруппа H G, свободно действующая на множестве вершин атома X ; 6. (свойство эквивариантности f ) Y максимально симметричен тогда и только тогда, когда для любого элемента g {a, b} Aut(X ) (здесь a, b образующие группы Aut(X ) симметрий атома X , см. Утверждение 2.8), а значит, для любого g Aut(X ), существует непрерывное отображение g : Y Y , такое что f g = g f . ? ?

Определение 3.5. Максимально симметричный ориентированный атом X назов?м приводимым, если существует максимально симметричный ориентированный атом Y и морфизм X Y , не являющийся изоморфизмом.

Следствие 3.6. Максимально симметричный ориентированный атом X неприводим тогда и только тогда, когда любая нормальная подгруппа его группы симметрий Aut(X ) содержит элемент b = bA , см. Утверждение 2.8.

4 Симметричные разветвл?нные накрытия атомов
В данном параграфе ориентированный атом тоже понимается как оснащ?нная ? пара (P , K )# , см. Замечание 1.8. Целью настоящего параграфа является описание всех максимально симметричных ориентированных атомов, являющихся разветвл?нными накрытиями с данной группой монодромии (см. Определение 4.10) над фиксированным максимально симметричным ориентированным атомом. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом и H Aut(X ) нормальная подгруппа, свободно действующая на вершинах атома X . (Это равносильно тому, что подгруппа H нормальна и не содержит полуоборот b = bA , см. Утверждение 2.8.) Тогда X/H тоже является максимально симметричным атомом по пункту 3 Следствия 3.4.

Определение 4.1. Пусть Y ориентированный атом. Морфизм f : X Y ,

являющийся композицией проекции X X/H и любого изоморфизма X/H Y ориентированных атомов, назов?м симметричным разветвл?нным накрытием.

Симметричные разветвл?нные накрытия регулярны по пункту 5 Следствия 3.4. Важность симметричных разветвл?нных накрытий вытекает из следующего утверждения, показывающего, что симметричные разветвл?нные накрытия это в точности морфизмы между максимально симметричными ориентированными атомами.

Следствие 4.2. Пусть X, Y максимально симметричные ориентированные атомы. Тогда
1. любой морфизм f : X Y является симметричным разветвл?нным накрытием;
19


2. если f1 , f2 : X Y морфизмы, то существует g Aut(Y ), такой что f2 = g f1 . Доказательство. Было доказано в пунктах 6 и 7 Утверждения 3.3.

Следствие 4.3 (Единственность симметричного разветвл?нного накрытия).

Пусть f1 : X1 Y и f2 : X2 Y симметричные разветвл?нные накрытия и атомы X1 и X2 изоморфны. Тогда разветвл?нные накрытия f1 и f2 изоморфны, т.е. существует изоморфизм g : X1 X2 , такой что f1 = f2 g . Доказательство. Пусть g0 : X1 X2 изоморфизм атомов X1 и X2 . Фиксируем некоторое ребро e атома X1 . Положим e = g0 (e) и пусть ребро e атома X2 проектируется в ребро f1 (e) при отображении f2 . Так как атом X2 максимально симметричен, существует h Aut(X2 ), переводящее ребро e в ребро e . Композиция g = h g0 является изоморфизмом атомов X1 и X2 , при этом f2 g (e) = f2 (e ) = f1 (e), откуда в силу Утверждения 2.5 f1 = f2 g .
Следствие 3.4 можно обратить следующим образом:

Следствие 4.4. Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом, X связное топологическое пространство и f : X Y непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
1. f конечнолистное разветвл?нное накрытие, точки ветвления которого находятся в центрах двумерных клеток атома Y ; 2. разветвл?нное накрытие f регулярно; 3. (свойство эквивариантности f ) для любого элемента g {a, b} Aut(Y ) (здесь a, b образующие группы Aut(Y ) симметрий атома Y , см. Утверждение 2.8), а значит, для любого g Aut(Y ), существует непрерывное отображение g : X X , такое что f g = g f . ~ ~ Тогда атом X (см. Утверждение 2.4) максимально симметричен, а f симметричное разветвл?нное накрытие.

Замечание 4.5. (А) Эквивариантность f в Следствии 4.4 понимается по отношению к действиям (на X и Y ) группы, состоящей из таких гомеоморфизмов g ? пространства X , что для любых x1 , x2 X со свойством f (x1 ) = f (x2 ) выполнено f g (x1 ) = f g (x2 ). Эта группа действует на X естественным образом, ? ? а на Y рассматривается индуцированное действие при проекции f : X Y , т.е. гомеоморфизм g на X индуцирует симметрию g Aut(Y ), такую что ? g (f (x)) = f (g (x)), x X . ? (Б) Свойство эквивариантности достаточно проверять для образующих a, b Aut(Y ), так как из выполнения этого свойства для элементов g , h Aut(Y ) следует его выполнение для элемента g -1 h. Действительно, (g -1 h) f = g -1 h f = g -1 f (g g -1 h) = g -1 g f (g -1 h) = f (g -1 h). ~~ ~ ~~ ~~
Доказательство. Существование и единственность структуры атома на X вытекает из Утверждения 2.4. Так как разветвл?нное накрытие является регулярным, то Y изоморфен X/H , и f является композицией проекции X X/H и изоморфизма X/H Y , где H Aut(X ) некоторая подгруппа группы симметрий атома X . Покажем, что H нормальна в G = Aut(X ). Пусть g Aut(X ). Тогда по пункту 7 Утверждения 3.3 существует единственная симметрия g ? Aut(Y ), такая что g f = f g . Отображение f : G Aut(Y ), сопоставляю? щее элементу g элемент g , является гомоморфизмом групп и H = ker f G. ? Из условия 3 следует, что f эпиморфизм, так что Aut(Y ) G/H . Тогда X максимально симметричен в силу пункта 8 Утверждения 3.3. Разветвл?нное накрытие f является симметричным по определению.
20


Пусть Y ориентированный атом и Y0 получается из Y выкалыванием центров двумерных клеток, y0 Y0 некоторая фиксированная точка (например, вершина атома). Для любого g Aut(Y ) и любого пути , соединяющего в Y0 точку y0 с g (y0 ), рассмотрим изоморфизм g# : 1 (Y0 , y0 ) 1 (Y0 , g (y0 )), который индуцирован отображением g , и изоморфизм # : 1 (Y0 , g (y0 )) 1 (Y0 , y0 ), который определяется формулой [ ] [ ћ ћ -1 ], (Y0 , g (y0 )). Получаем автоморфизм

# g# Aut(1 (Y0 , y0 )),
смотрим группу

# g# ([ ]) = [ ћ (g ) ћ

-1

], (Y0 , y0 ). (1)

Замечание 4.6. Этот автоморфизм имеет следующее простое описание. РасAut(Y ) := {(g , [ ]) | g Aut(Y ), [ ] 1 (Y0 , y0 , g (y0 ))}
с операцией (g1 , [1 ]) ћ (g2 , [2 ]) = (g1 g2 , [1 ћ (g1 2 )]). Группа 1 (Y0 , y0 ) является подгруппой этой группы и совпадает с ядром канонического эпиморфизма Y : Aut(Y ) Aut(Y ). Формула (1) определяет гомоморфизм

: Aut(Y ) Aut(1 (Y0 , y0 )),

(g , [ ]) # g# = Ad

(g ,[ ]) |1 (Y0 ,y0 )

,

или действие группы Aut(Y ) на е? подгруппе 1 (Y0 , y0 ) = ker Y , где Adx (y ) = xy x-1 . Рассмотрим класс (# g# ) Inn(1 (Y0 , y0 )) Out(1 (Y0 , y0 )) автоморфизма # g# в группе Out(1 (Y0 , y0 )) = Aut(1 (Y0 , y0 ))/Inn(1 (Y0 , y0 )) внешних автоморфизмов группы 1 (Y0 , y0 ), где для любой группы G группа е? внутренних автоморфизмов равна Inn(G) := {Adg Aut(G) | g G}. Заметим, что для любого другого пути , соединяющего y0 с g (y0 ), выполнено # g# = Ad[ ћ -1 ] # g# , так что класс (# g# )Inn(1 (Y0 , y0 )) не зависит от выбора пути . Таким образом, для любого ориентированного атома Y мы получаем гомоморфизм

: Aut(Y ) Out(1 (Y0 , y0 )),

g (# g# ) Inn(1 (Y0 , y0 )).
(2)

Беря композицию с естественным гомоморфизмом Out(1 (Y0 , y0 )) Aut(H1 (Y0 ; Z)), получаем гомоморфизм

? : Aut(Y ) Aut(H1 (Y0 ; Z)).

Утверждение 4.7. Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом, X связное топологическое пространство, f : X Y разветвл?нное накрытие с ветвлениями в центрах двумерных клеток, и f0 = f |X0 : X0 Y0 соответствующее неразветвл?нное накрытие, где X0 = f -1 (Y0 ). Обозначим = (f0 )# (1 (X0 , x0 )) 1 (Y0 , y0 ), f0 (x0 ) = y0 . Тогда следующие утверждения равносильны:
отображение f является симметричным разветвл?нным накрытием; для любого элемента g {a, b} Aut(Y ), а значит, для любого g Aut(Y ) (см. Замечание 4.5.Б), и для любого пути , соединяющего в Y0 точку y0 с g (y0 ), выполнено # g# ( ) = ; для любого g Aut(Y ) и любого автоморфизма Aut(1 (Y0 , y0 )), такого, что (g ) = ћ Inn(1 (Y0 , y0 )), выполнено ( ) = ; f регулярно (т.е. нормальна) и для любого элемента g {a, b} Aut(Y ), а значит, для любого g Aut(Y ) (см. Замечание 4.5.Б), существует путь , соединяющий в Y0 точку y0 с g (y0 ), такой что # g# ( ) = ;
21


f регулярно (т.е. нормальна) и для любого элемента g {a, b} Aut(Y ), а значит, для любого g Aut(Y ) (см. Замечание 4.5.Б), существует автоморфизм Aut(1 (Y0 , y0 )), такой что ( ) = и (g ) = ћ Inn(1 (Y0 , y0 )). Доказательство. Пусть f является симметричным разветвл?нным накрытием. Рассмотрим произвольную симметрию g Aut(Y ) атома Y и путь , соединяющий в Y0 точки y0 и g (y0 ). Пусть поднятие пути в X0 , соединяющее ~ точку x0 с точкой x1 , f (x1 ) = g (y0 ). Согласно Следствию 4.3 существует симметрия g Aut(X ) атома X , такая что f g = g f . При этом мы можем ~ ~ считать, что g (x0 ) = x1 (иначе мы можем рассмотреть вместо g композицию ~ ~ h g , где симметрия h H переводит точку g (x0 ) в точку x1 , такая симметрия ~ ~ существует, так как точки g (x0 ) и x1 лежат в одном слое и f является сим~ метричным разветвл?нным накрытием). Пусть (Y0 , y0 ) представитель гомотопического класса [ ] и его поднятие в X0 с началом в точке x0 . ~ Тогда (X0 , x0 ). Путь ћ (g ) ћ -1 (X0 , x0 ) является поднятием пути ~ ~~~~ ћ (g ) ћ -1 . Следовательно,
# g# ([ ]) = [ ћ (g ) ћ
-1

] = f# [ ћ (g ) ћ ~~~~

-1

] .

Таким образом, подгруппа 1 (Y0 , y0 ) инвариантна относительно преобразования # g# . Докажем достаточность. В силу Следствия 4.4 утверждение будет доказано, если для любой симметрии g Aut(Y ) мы сможем построить отображение g : X X , такое что f g = g f . Рассмотрим произвольную симметрию ~ ~ g Aut(Y ) и путь в Y0 , соединяющий y0 с g (y0 ). Пусть x некоторая точка в X0 и x произвольный путь в X0 , соединяющий x0 с x. Пусть x поднятие ~ ~ пути ћ (g f x ) с началом в точке x0 . Обозначим другой конец пути x через ~ ~ x и положим g0 (x) = x . ~ Покажем, что таким образом корректно определяется отображение ~ g0 : X0 X0 . Пусть x какой-нибудь другой путь, соединяющий в X0 точ~ ~ ~ ки x0 и x. Точно так же обозначим через x поднятие пути ћ (g f x ) с ~ началом в точке x0 и концом x , пусть дополнительно x есть поднятие пу~ ~ ти ћ (g f x ) с концом в точке x . Тогда x ћ (x )-1 есть поднятие пути ~ ћ (g f ) ћ -1 , где = x ћ x 1 . Так как [f ] , то по условию утвер~ ~ ~ ~- ~ ~ ждения [ ћ (g f ) ћ -1 ] = # g# ([f ]) и x ћ (x )-1 (X0 , x0 ). ~ ~ ~ ~ ~ Следовательно, поднятия x и x совпадают, откуда x = x . Отображение g : X X получается продолжением на X отображения g0 . ~ ~ Равносильность последних четыр?х условий непосредственно вытекает из определения отображений # , g# и (g ).

Замечание 4.8. (А) Опишем группу Aut(Y ) из Замечания 4.6 как подгруппу группы Z Z2 , совпадающую с Z Z2 в случае максимально симметрич? ного ориентированного атома Y . Пусть ориентированный атом Y = (P , K )# # получен из пары (P, K ) (см. Определение 1.3) приклеиванием кругов к граничным окружностям (см. Определение 1.4 и нижеследующий текст). Пусть P ориентированная хордовая диаграмма (т.е. f -граф) ориентированного атома (P, K )# , см. Определение 1.6.Б. Можно считать, что точка y0 является вершиной графа , а автоморфизмы ориентированного атома Y сохраняют f граф (и являются его автоморфизмами). Рассмотрим комбинаторный путь = 1 ћ . . . ћ N на графе , соединяющий вершину y0 с вершиной g (y0 ), где каждый путь i имеет концы в вершинах графа и является монотонным движением по некоторому ребру, 1 i N . Любой такой путь однозначно зада?тся последовательностью (w1 , . . . , wN ), wi {a, a-1 , ~}, 1 i N (т.е. словом в ал~~ b фавите {a, a-1 , ~}), где wi = ~ если i проходит по неориентированному ребру ~~ b b
22


f -графа , и wi = a (соотв. a-1 ) если i проходит по ориентированному реб~ ~ ру в направлении ориентации ребра (соотв. в направлении, противоположном ориентации ребра). В этом случае будем писать = Y ,(w1 ,...,wN ) . Сопоставим паре (g , ) элемент W = W = w1 . . . wN Z Z2 = a, ~ | ~2 . Это сопоставление ~b b зада?т мономорфизм групп Aut(Y ) Z Z2 . Если два слова (w1 , . . . , wN ) и (w1 , . . . , wN ) определяют один и тот же элемент W = W группы Z Z2 , то кривые Y ,(w1 ,...,wN ) , Y ,(w1 ,...,w ) имеют одинаковые концы и гомотопны отноN сительно концов, поэтому такие кривые мы не будем различать и будем писать Y ,W вместо Y ,(w1 ,...,wN ) . (Б) В группе Z Z2 рассмотрим подгруппу соотношений RY = {V Z Z2 | Y ,V (1) = y0 }. Тогда g (y0 ) = y0 в том и только том случае, когда W RY . Поэтому мономорфизм групп Aut(Y ) Z Z2 приводит к мономорфизму их подгрупп 1 (Y0 , y0 ) RY . Если при помощи этих мономорфизмов отождествить группы Aut(Y ), 1 (Y0 , y0 ) с соответствующими подгруппами групп Z Z2 , RY , то, согласно Замечанию 4.6, автоморфизм (g , [ ]) = # g# совпадает с ограничением автоморфизма AdW |RY на подгруппу группы RY образ мономорфизма 1 (Y0 , y0 ) RY . (В) Пусть ориентированный атом Y максимально симметричен. Тогда мономорфизм Aut(Y ) Z Z2 является изоморфизмом. Композиция его обратного и канонического эпиморфизма Y : Aut(Y ) Aut(Y ) совпадает с эпиморфизмом чY : Z Z2 Aut(Y ), определ?нным на образующих формулами a a = ae , ~ b = bA , см. Утверждение 2.8. При этом подгруппа соотношений ~ b RY = ker чY нормальна, и чY (W ) = g .

Следствие 4.9. Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом, : 1 (Y0 , y0 ) H некоторый эпиморфизм в конечную группу H и f : X Y отвечающее подгруппе ker 1 (Y0 , y0 ) регулярное разветвл?нное накрытие, см. Определение 3.1. Тогда следующие условия равносильны:
1. f является симметричным разветвл?нным накрытием; 2. (свойство эквивариантности ) для любого элемента g {a, b} Aut(Y ), а значит, для любого g Aut(Y ) (см. Замечание 4.5.Б), и для некоторого (а значит, любого) пути , соединяющего в Y0 точку y0 с g (y0 ), корректно определ?н автоморфизм F (g , ) Aut(H ), такой что # g# = F (g , ) , где автоморфизм # g# определяется формулой (1); 3. для любого элемента g {a, b} Aut(Y ), а значит, для любого g Aut(Y ) (см. Замечание 4.5.Б), и для некоторого (а значит, любого) пути , соединяющего в Y0 точку y0 с g (y0 ), выполнено # g# (ker ) = ker . Доказательство. Эквивалентность условий 1 и 3 доказана в Утверждении 4.7, так как подгруппа ker отождествляется с (f0 )# (1 (X0 , x0 )). Покажем эквивалентность условий 2 и 3. Предположим, что имеется автоморфизм F (g , ) Aut(H ), такой что # g# = F (g , ) . Тогда для любого ker имеем # g# () = F (g , ) () = 0, то есть # g# () ker и # g# (ker ) = ker . С другой стороны, пусть # g# (ker ) = ker . Тогда на факторпространстве 1 (Y0 , y0 )/ ker индуцируется автоморфизм F (g , ), задаваемый формулой F (g , )( ker ) = (# g# ()) ker для любого ker 1 (Y0 , y0 )/ ker . Но 1 (Y0 , y0 )/ ker H , то есть можно считать, что F (g , ) Aut(H ). Равенство # g# = F (g , ) следует из определения гомоморфизма F (g , ).

23


Определение 4.10. Согласно Определениям 3.1 и 4.1, группу H в Следствии 4.9 назовем группой монодромии симметричного разветвл?нного накрытия f , эпиморфизм : 1 (Y0 , y0 ) H эпиморфизмом монодромии этого разветвл?нного накрытия, а элемент ([ ]) H монодромией при обходе вдоль петли (Y0 , y0 ). Замечание 4.11. (А) Эквивариантность в Следствии 4.9 означает, что эпиморфизм : 1 (Y0 , y0 ) H эквивариантен относительно действий группы Aut(Y ) = Z Z2 на группах 1 (Y0 , y0 ) и H автоморфизмами, определ?нными формулами

: Aut(Y ) Aut(1 (Y0 , y0 )), : Aut(Y ) Aut(H ),

(g , [ ]) # g# ,

(g , [ ]) F (g , ),

см. Замечания 4.6 и 4.8. Рассмотрим естественные отождествления Aut(X ) (Z Z2 )/RX и Aut(Y ) (Z Z2 )/RY , см. Замечание 4.8.В. Тогда группа монодромии H Aut(X ) отождествляется с нормальной подгруппой RY /RX (Z Z2 )/RX , см. Определения 3.1 и 4.1. Для любой петли (Y0 , y0 ) рассмотрим такое слово W RY Z Z2 в алфавите {a, a-1 , ~}, что [ ] = [Y ,W ] 1 (Y0 , y0 ), ~~ b см. Замечание 4.8.А. Из Определения 3.1 гомоморфизма монодромии регулярного разветвл?нного накрытия следует, что

([ ]) = ([Y

,W

]) = X (чX (W ), [

X,W

]) = чX (W ) H Aut(X ),

где X : Aut(X ) Aut(X ) и чX : Z Z2 Aut(X ) канонические эпиморфизмы, см. Замечание 4.8.В. Из эквивариантности и Замечания 4.8.Б имеем

: Aut(Y ) Aut(H ),

(чY (V ), [Y ,V ]) Adч

X

(V ) |H

,

V Z Z2 .

Поэтому в случае абелевой группы H определ?н индуцированный гомоморфизм

: Aut(Y ) Aut(H ),

чY (V ) Ad

чX (V ) |H

,

V Z Z2 .

(Б) Свойство эквивариантности в Следствиях 4.4, 4.9 и Утверждении 4.7 достаточно проверять для образующих ae , bA группы Aut(Y ), см. Замечание 4.5.Б. (В) Пусть g Aut(Y ) и пути , соединяют в Y0 точки y0 и g (y0 ). Обозначим = -1 (Y0 , y0 ). Тогда # g# = Ad[] # g# , где Ad[] Aut(1 (Y0 , y0 )) действует по формуле [ ] [ -1 ]. Поэтому в Следствии 4.9 при проверке эквивариантности относительно элемента g можно рассматривать только один из путей , соединяющих y0 с g (y0 ). (Г) Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом и его f -граф, см. Определение 1.6. Тогда гомотопически эквивалентен пространству Y0 и 1 () 1 (Y0 ). Поэтому симметричные разветвл?нные накрытия над Y описываются как эквивариантные эпиморфизмы 1 () H (относительно действия группы Z Z2 на 1 (Y0 , y0 ) и подходящего е? действия на H ). Для каждого элемента g Aut(Y ) фиксируем путь g из y0 в g (y0 ) и обозначим (g ) = (g )# g# Aut(1 (Y0 , y0 )). Определим отображение

: Aut(Y ) Ч Aut(Y ) 1 (Y0 , y0 ),
-1 сопоставляющее паре g , h Aut(Y ) элемент (g , h) = [g ] ћ [g h ] ћ [gh ]. Пусть : 1 (Y0 , y0 ) H эпиморфизм, задающий симметричное разветвл?нное накрытие f : X Y , см. Следствие 4.9. Тогда, согласно Следствию 4.9, автомор физм (g ) индуцирует автоморфизм (g ) = F (g , g ) Aut(H ).

24


Утверждение 4.12. Группа симметрий Aut(X ) изоморфна группе H
Aut(Y ), состоящей из пар (h, g ), h H , g Aut(Y ) с умножением
(h1 , g1 ) ћ (h2 , g2 ) = h1 (g1 )(h2 ) ((g1 , g2 )), g1 g2 ,

,

h1 , h2 H , g1 , g2 Aut(Y ).

Доказательство. Возьм?м произвольное x0 X , такое что f (x0 ) = y0 . Рассмотрим отображение : Aut(X ) H Ч Aut(Y ), (g ) = ((g ), p(g )), где p : Aut(X ) Aut(Y ) естественный эпиморфизм, а : Aut(X ) H зада?тся следующим образом. Пусть путь в X0 , соединяющий некоторую точку ~ x X0 с точкой g (x0 ), прич?м f = p(g) . Тогда f (x) = y0 , и существует ~ единственный элемент h H , такой что h(x0 ) = x. Полагаем (g ) = h. Пусть g1 , g2 Aut(X ). Тогда p(g1 g2 ) = p(g1 )p(g2 ). Посмотрим, как связаны элементы (g1 ), (g2 ) и (g1 g2 ). Пусть , 1 , 2 пути в X0 , такие что ~~ ~ f = p(g1 g2 ) , f 1 = p(g1 ) и f 2 = p(g2 ) , которые соединяют, соответ~ ~ ~ ственно, точки x и g1 g2 (x0 ), x1 и g1 (x0 ), x2 и g2 (x0 ). Пусть , 1 , 2 (Y0 , y0 ) такие представители гомотопических классов [ ], [1 ], [2 ] 1 (Y0 , y0 ), что ([ ]) = (g1 g2 ), ([1 ]) = (g1 ), ([2 ]) = (g2 ). Пусть , 1 , 2 пути в X0 , ~~ ~ ~ удовлетворяющие условиям f = , f 1 = 1 , f 2 = 2 и соединяющие ~ ~ точку x0 с точками x, x1 , x2 , соответственно. Рассмотрим в X0 путь
1 1 ћ (g1 (2 2 ))ћ ~~ ~~ ~
-1

~

-1

.

Этот путь замкнут и гомотопический класс его образа при отображении f равен

[1

p(g1 )

ћ (p(g1 ) 2 )ћ (p(g1 ) p
p(g1 )

(g2 )

- )ћ p(1 g

1 g2

)



-1

]=
p(g2 )

[1 ] ћ [

ћ (p(g1 ) 2 )ћ

-1 p(g1 )

] ћ [

p(g1 )

ћ (p(g1 )

)ћ

-1 p(g1 g2 )

] ћ [

-1

]=
-1

[1 ] ћ ( p(g1 )[2 ]) ћ (p(g1 ), p(g2 )) ћ [

].

Так как исходный путь в X0 замкнут, то этот класс принадлежит ker . Поэтому, применяя к нему гомоморфизм , мы получим равенство

1 = ([1 ]) ћ ( p(g1 )[2 ]) ћ ((p(g1 ), p(g2 ))) ћ ([ (g1 ) ћ (F (p(g1 ),
откуда
p(g1 )

-1

]) =

) ([2 ])) ћ ((p(g1 ), p(g2 ))) ћ (g1 g2 )-1 =

(g1 ) ћ ( p(g1 )((g2 ))) ћ ((p(g1 ), p(g2 ))) ћ (g1 g2 )-1 , (g1 g2 ) = (g1 ) ћ ( p(g1 )((g2 ))) ћ ((p(g1 ), p(g2 ))).

Таким образом, отображение согласовано с умножением в Aut(X ) и в H , Aut(Y ), т.е. является гомоморфизмом. Проверим, что изоморфизм. Для этого построим обратное отображение : H Ч Aut(Y ) Aut(X ). Пусть даны h H и g Aut(Y ). Пусть xh f -1 (y0 ) такое, что h(x0 ) = xh . Рассмотрим путь g в X0 , началом которого является ~ точка xh и для которого верно равенство f (g ) = g . Пусть x X0 другой ~ конец пути g . Построим симметрию g Aut(X ) следующим образом. Для ~ ~ любой точки x X0 рассмотрим произвольный путь в X0 , соединяющий ~ x0 с x . Пусть = f . Рассмотрим поднятие пути g , которое своим ~ ~ началом имеет точку x. Положим (g , h)(x ) = x , где x конец пути . ~ Очевидно, что (g , h) = (g , h). Так как группы Aut(X ) и H , Aut(Y ) конечны и имеют одинаковое число элементов, то и изоморфизмы. Когда группа монодромии H регулярного разветвл?нного накрытия над Y абелева, эпиморфизм монодромии : 1 (Y0 , y0 ) H (см. Определение 4.10) сводится к эпиморфизму : H1 (Y0 ; Z) H. ? (3) 25


атом, H конечная абелева группа, : H1 (Y0 ; Z) H некоторый эпи? морфизм и f : X Y регулярное разветвл?нное накрытие, отвечающее подгруппе ker H1 (Y0 ; Z) (см. Определение 3.1). Тогда f является симмет? ричным разветвл?нным накрытием (см. Определение 4.1) в том и только том случае, когда эпиморфизм эквивариантен (относительно действия (2) ? группы Aut(Y ) на H1 (Y0 ; Z) и некоторого действия группы Aut(Y ) на H ), т.е. существует гомоморфизм групп
: Aut(Y ) Aut(H ),

Следствие 4.13. Пусть Y максимально симметричный ориентированный

такой что ( (g )) = (g ) для любого элемента g {a, b} Aut(Y ), а зна? ? чит, для любого g Aut(Y ) (см. Замечания 4.5.Б и 4.11.Б). Гомоморфизм назовем сквозным (левым) действием группы Aut(Y ) на группе монодромии H.

Обозначение 4.14. Пусть Y максимально симметричный ориентирован-

ный атом рода g 0, имеющий S белых и S ч?рных клеток. Пусть e Y белая клетка атома Y , e Y ч?рная клетка атома Y , A e e их ?? общая вершина, такая, что граница клетки e содержит начальное полуребро положительно ориентированного кругового обхода вдоль границы клетки e из вершины A. Пусть a = ae , b = bA Aut(Y ) соответствующие образующие группы Aut(Y ), см. Утверждение 2.8. Пусть h1 , . . . , hS , h1 , . . . , hS Aut(Y ) такой набор симметрий атома, что h1 (e), . . . , hS (e), h1 (e ), . . . , hS (e ) набор всех белых и всех ч?рных клеток атома Y . Пусть Y0 пространство, получаемое из Y выкалыванием центров двумерных клеток, [] H1 (Y0 ; Z) класс гомологий положительно ориентированной петли вокруг центра клетки e, [ ] H1 (Y0 ; Z) вокруг центра клетки e . Пусть 1 , . . . , 2g набор замкнутых путей на атоме Y , не проходящих через центры двумерных клеток и задающих набор образующих группы H1 (Y ; Z).

Теорема 4.15. Пусть Y максимально симметричный ориентированный атом и H конечная абелева группа. Тогда симметричные разветвл?нные накрытия f : X Y с группой монодромии H (см. Определение 4.10) классифицируются наборами
(l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ), l, m Aut(H ), q , r, c1 , . . . , c
2g

H,

(4)

удовлетворяющими условиям 46 ниже, где g род атома Y , и наборы рассматриваются с точностью до преобразований
(l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ) (l
-1

, m

-1

, (q ), (r), (c1 ), . . . , (c2g )),

(5)

Aut(H ). При этом, в обозначениях 4.14, q = ([]) и r = ([ ]) мо? ? нодромии при обходе вокруг центров клеток e, e , ck = ([k ]) монодромия ? при обходе вдоль кривой k , 1 k 2g (см. Определение 4.10), m = (a) и l = (b) сквозные действия симметрий a, b Aut(Y ) на группе H (см. Следствие 4.13), и выполнены формулы Замечания 4.17 ниже. Более точно, в обозначениях 4.14, выполнены следующие утверждения. (А) Пусть : H1 (Y0 ; Z) H эпиморфизм и f : X Y симметричное ? разветвл?нное накрытие с эпиморфизмом монодромии , см. Определение 4.10 ? и (3). Пусть : Aut(Y ) Aut(H ) сквозное действие группы симметрий Aut(Y ) на группе H , см. Следствие 4.13. Тогда автоморфизмы m = (a), l = (b) Aut(H ) и элементы q = ([]), ? r = ([ ]), ? c1 = ([1 ]), . . . , c2g = ([2g ]) H ? ?
(6)

удовлетворяют следующим условиям:
26


1. m(q ) = q , lm 2.
S i=1

-1

(r ) = r ;
S j =1

(hi )(q )

(hj )(r) = 1 H ;

3. ([hi ]) = (hi )(q ), ([hj ]) = (hj )(r), ([k ]) = ck , 1 i S , ? ? ? 1 j S , 1 k 2g ; 4. S + S + 2g элементов (h1 )(q ), . . . , (hS )(q ), (h1 )(r), . . . , (hS )(r), c1 . . . , c2g H порождают группу H ; 5. m(([hi ])) = ([a hi ]), m(([hj ])) = ([a hj ]), m(ck ) = ([a k ]); ? ? ? ? ? ? ? l(([hi ])) = ([b hi ]), l(([hj ])) = ([b hj ]), l(ck ) = ([b k ]), ? ? ? 1 i S , 1 j S , 1 k 2g . При этом набор (l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ) определ?н симметричным разветвл?нным накрытием f (не зависимо от выбора эпиморфизма монодромии ) с ? точностью до преобразований (5). Если два симметричных разветвл?нных накрытия с группой монодромии H изоморфны (см. Определение 3.1), то отвечающие им наборы получаются друг из друга такими преобразованиями. (Б) Пусть элементы q , r, c1 , . . . , c2g H и автоморфизмы l, m Aut(H ) удовлетворяют следующему условию: 6. существует гомоморфизм : Aut(Y ) Aut(H ), определ?нный на образующих a, b Aut(Y ) формулами (a) = m, (b) = l (в частности, l2 = (b2 ) = idH ). Пусть выполнены также условия 4,5 выше, где в условии 5 через : H1 (Y0 ; Z) H обозначен гомоморфизм групп, определ?нный на образую? щих [h1 ], . . . , [hS ], [h1 ], . . . , [hS ], [1 ], . . . , [2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами из свойства 3 выше. Тогда выполнено (6) и существует симметричное разветвл?нное накрытие f : X Y , для которого гомоморфизмы , ? являются эпиморфизмом монодромии и сквозным действием на группе монодромии, соответственно. Любые два таких разветвл?нных накрытия изоморфны. Для любого Aut(H ) набор (l-1 , m-1 , (q ), (r), (c1 ), . . . , (c2g )) также удовлетворяет условиям 46, а отвечающее этому набору симметричное разветвл?нное накрытие изоморфно разветвл?нному накрытию f .

Замечание 4.16. В силу Теоремы 4.15, сопоставление симметричному разветвл?нному накрытию f : X Y с абелевой группой монодромии H соответствующего набора (4) по формулам из Теоремы 4.15.А зада?т взаимнооднозначное соответствие между классами изоморфности симметричных накрытий над Y с группой монодромии H (см. Следствие 4.3) и наборами (4), удовлетворяющими условиям 46 и рассматриваемыми с точностью до преобразований (5). Замечание 4.17. Степень симметричного разветвл?нного накрытия f : X
Y из Теоремы 4.15 равна k := |H |, а порядки ветвления в центрах белых (соотв. ч?рных) клеток равны порядку | q | элемента q (соотв. порядку | r | элемента r) в группе H . При этом, в обозначениях 4.14, ориентированный атом X име|q| |r| ет род g = k + 1, сложность k n, S [H : q ] = S | k | белых клеток 2 q и S [H : r ] = S | k | ч?рных клеток, прич?м каждая его белая клетка имеет r d| q | сторон, а каждая его ч?рная клетка имеет d | r | сторон, где n сложность атома Y , d число сторон любой его белой клетки, а d число сторон любой его ч?рной клетки. Здесь числом сторон двумерной клетки называется количество ребер, инцидентных этой клетке.

n-

S

-

S

27


Доказательство Теоремы 4.15. Пусть f1 : X1 Y симметричное разветвл?нное накрытие, изоморфное f (возможно, совпадающее с f ). Пусть 1 : 1 (Y0 , y0 ) H1 его эпиморфизм монодромии. Согласно Определению 3.1 и Замечанию 3.2, существует изоморфизм : H H1 , такой что = 1 . В частности, группа монодромии H1 абелева и изоморфна H , а потому эпиморфизм монодромии сводится к эпиморфизму 1 : H1 (Y ; Z) H1 , и выполнено ? = 1 . Значит, 1 (g ) 1 = 1 ( (g )) = () ( (g )) = ( (g )) = ? ? ? ? ? ? ( (g )) -1 1 , g Aut(Y ). Из единственности сквозного действия полу? чаем 1 (g ) = ( (g )) -1 , g Aut(Y ). Отсюда следует, что при H1 = H набор, отвечающий согласно (А) разветвл?нному накрытию f1 , получен преобразованием (5) из набора (4). Это доказывает последнее утверждение в (А). Так как автоморфизм Aut(H ) любой, это доказывает также последнее утверждение в (Б). Докажем остальные утверждения. (А) Докажем свойства 15. 3) В силу эквивариантности эпиморфизма монодромии : H1 (Y0 ; Z) H ? (см. Следствие 4.13), для любой симметрии h Aut(Y ) и любой петли (Y0 ) выполнено
(h)(([ ])) = ( (h)) ([ ]) = ( (h))([ ]) = ([h ]) H. ? ? ? ?
Отсюда и из (6) получаем свойство 3: ck = ([k ]), 1 k 2g , ? (7)

(hi )(q ) = (hi )(([])) = ([hi ]), ? ? (hj )(r) = (hj )(([ ])) = ([hj ]), ? ?

1 i S, 1jS.

1) Так как симметрия a переводит клетку e в себя, то индуцированный автоморфизм гомологий (a) Aut(H1 (Y0 ; Z)) сохраняет класс гомологий [] H1 (Y0 ; Z) петли , т.е. (a)([]) = [a ] = []. Отсюда и из (7) имеем

m(q ) = (a)(([])) = ([a ]) = ([]) = q . ? ? ?
Для доказательства второго соотношения заметим, что симметрия ba-1 Aut(Y ) сохраняет клетку e (и действует на ней элементарным поворотом), а потому [ba-1 ] = (ba-1 )([ ]) = [ ]. Отсюда и из (7) имеем

lm

-1

(r) = (ba

-1

)(([ ])) = ([ba ? ?

-1

]) = ([ ]) = r. ?

4) Так как группа H1 (Y0 ; Z) порождена элементами [hi ], [hj ], [k ] (1 i S , 1 j S , 1 k 2g ), а : H1 (Y0 ; Z) H эпиморфизм, то ? группа H порождена элементами ([hi ]) = (hi )(q ), ([hj ]) = (hj )(r), ? ? ([k ]) = ck . Последние равенства следуют из доказанного выше свойства 3. ? 2) Рассмотрим ориентированные клетки hi (e), hj (e ) как 2-цепи ? hi (e), hj (e ) C2 (Y ) на атоме Y = (P , K )# (точнее, на клеточном комплексе ? , K ), см. Определение 1.4.А). Так как h1 (e), . . . , hS (e), h (e ), . . . , h (e ) (P 1 S набор всех белых и всех ч?рных (т.е. всех двумерных) клеток атома Y , то ? фундаментальный класс [P ] H2 (Y ) = Z2 (Y ) C2 (Y ) замкнутой поверхности ? равен P
S S

? [P ] =
i=1

hi (e) +
j =1

hj (e ) H2 (Y ) = Z2 (Y ).

Здесь [x] обозначает класс гомологий 2-цикла x Z2 (Y ). Поясним, что по? ? скольку поверхность P замкнута, то граница этой 2-цепи равна [P ] = 0 B1 (Y ) Z1 (Y0 ). Поясним также, что 1-границы на атоме Y являются в то же время 1-циклами на поверхности Y0 , полученной прокалыванием поверхности Y в центрах двумерных клеток. С другой стороны, так как e = , 28


e = B1 (Y ) Z1 (Y0 ), то граница слагаемого hi (e) равна (hi (e)) = hi , а граница слагаемого hj (e ) равна (hj (e )) = hj . Поэтому из свойства 3 имеем
S S

(hj )(r) = ?

S

S

[hj ] = ( [P ]) = (0) = 1 H. ?? ?

(hi )(q )
i=1 j =1

[ hi ] +
i=1 j =1

Здесь [x] обозначает класс гомологий цикла x Z1 (Y0 ). 5) Из (7) имеем

? ? m(([hi ])) = (a)(([hi ])) = ([a hi ]), ? m(([hj ])) = (a)(([hj ])) = ([a hj ]), ? ? ? l(([hi ])) = (b)(([hi ])) = ([b hi ]), ? ? ? l(([hj ])) = (b)(([hj ])) = ([b hj ]), ? ? ? ? ? m(ck ) = (a)(([k ])) = ([a k ]), l(ci ) = (b)(([k ])) = ([b i ]), ? ? 1 i S , 1 j S , 1 k 2g . (Б) Шаг 1. В силу свойств 3 и 4, гомоморфизм : H1 (Y0 ; Z) H явля? ется эпиморфизмом. Пусть f : X Y симметричное разветвл?нное накрытие с эпиморфизмом монодромии , см. Определение 4.10 и (3). Пусть ? : Aut(Y ) Aut(H ) сквозное действие группы симметрий ориентированного атома Y на группе монодромии H (см. Следствие 4.13). Осталось проверить, что гомоморфизмы , : Aut(Y ) Aut(H ) совпадают. Так как группа Aut(Y ) порождена симметриями a, b, то достаточно проверить, что m := (a) = (a) =: m и l := (b) = (b) =: ~. В силу свойств 3 и 4, ~ l достаточно показать, что автоморфизмы m и m (соотв. l и ~) одинаково дей~ l ствуют на каждом из элементов ([hi ]), ([hj ]), ck H . ? ? Шаг 2. Из свойства 3 для hi = idY = hj , имеем (6). Поэтому, в силу (A), выполнены аналоги свойств 15 для m, ~, . ~l Шаг 3. В силу свойства 5 и его аналога для m и ~ (см. шаг 2), имеем m(([hi ~l ? ])) = ([a hi ]) = m(([hi ])), m(([hj ])) = ([a hj ]) = m(([hj ])), ? ~? ? ? ~? m(ck ) = ([a k ]) = m(ck ); ? ~ l(([hi ])) = ([b hi ]) = ~(([hi ])), l(([hj ])) = ([b hj ]) = ? ? l? ? ? ~(([h ])), l(ck ) = ([b k ]) = ~(ck ); 1 i S , 1 j S , 1 k 2g . l? j ? l

ентированный атом и H конечная абелева группа. Тогда симметричные разветвл?нные накрытия f : X Y с группой монодромии H (см. Определение 4.10) классифицируются четверками (l, m, q , r), состоящими из пары автоморфизмов l, m Aut(H ) и пары элементов q , r H , удовлетворяющими условиям 46 из Теоремы 4.15, где в условии 5 через : H1 (Y0 ; Z) H обо? значен гомоморфизм групп, определ?нный на образующих [h1 ], . . . , [hS ], [h1 ], . . . , [hS ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами из свойства 3 выше, прич?м в условиях 35 g = 0, а элементы c1 , . . . , c2g и кривые 1 , . . . , 2g отсутствуют. При этом выполнены свойства 1 и 2 из 4.15, прич?м m = (a), l = (b) Aut(H ) сквозные действия симметрий a, b на группе H , q = ([]), r = ([ ]) H монодромии при обходе вокруг центров клеток ? ? e, e . Выполнены формулы Замечания 4.17.

Следствие 4.18. Пусть Y сферический максимально симметричный ори-

Следствие 4.19. Пусть Y максимально симметричный ориентированный

атом и H конечная абелева группа. Симметричные разветвл?нные накрытия f : X Y над Y с группой монодромии H (см. Определение 4.10), для
29


которых группа H порождена элементами ([hi ]), ([hj ]), 1 i S , ? ? 1 j S (например, если Y сферический или H порождена элементом q := ([])), а сквозное действие симметрии a Aut(Y ) на H является тож? дественным преобразованием m := (a) = idH (например, если H порождена элементом q := ([])), классифицируются наборами (l, q , r, c1 , . . . , c2g ), ? состоящими из автоморфизма l Aut(H ) и элементов q , r, c1 , . . . , c2g H , удовлетворяющими следующим условиям: 1. l2 = idH , l(r) = r; 2. rS q
S/2

(l(q ))S/2 = 1 H при ч?тном S , rS q S = 1 H при неч?тном S ;

3. три элемента r, q , l(q ) порождают группу H ; 4. l = idH если нет шашечного разбиения белых клеток атома Y , см. Определение 1.4.В (например, для любого сферического Y , кроме случая S = 8, S = 6 усеч?нного октаэдра Y = P3 и случая S = 2t, S = 2 ориентированного атома Y = D2t ); 5. ci = ([a i ]), l(ci ) = ([b i ]), 1 i 2g , ? ? где в последнем условии через : H1 (Y0 ; Z) H обозначен гомоморфизм, опре? дел?нный на образующих [h1 ], . . . , [hS ], [h1 ], . . . , [hS ], [1 ], . . . , [2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами
([hi ]) := lni (q ), ? ([hj ]) := r, ? ([k ]) := ck , ?
(8)

1 i S , 1 j S , 1 k 2g , и ni равно сумме показателей степеней образующей b в каком-либо разложении элемента hi Aut(Y ) по образующим a, b группы Aut(Y ), см. обозначения в 4.14. При этом l = (b) Aut(H ) сквозное действие симметрии b на группе H , q = ([]) и l(q ) = ([b ]) монодромии при обходе вокруг центров ? ? белых клеток, r = ([ ]) монодромия при обходе вокруг центров ч?рных ? клеток, ck = ([k ]) монодромии при обходе вдоль кривых k , 1 k 2g , и ? выполнены формулы Замечания 4.17.

Доказательство. Шаг 1. Покажем сначала, что для любого l Aut(H ), удовлетворяющего l2 = idH и условию 4 настоящего следствия, существует гомоморфизм : Aut(Y ) Aut(H ), определ?нный на образующих a, b группы Aut(Y ) формулами (a) = idH , (b) = l, см. обозначения в 4.14. Отсюда будет, в частности, следовать, что для любой симметрии g Aut(Y ) и любого разложения g в композицию образующих a, b группы Aut(Y ) и их обратных, выполнено (g ) = ln {idH , l}, где n Z равно сумме показателей степеней образующей b в данном разложении. При l = idH утверждение очевидно. Пусть l = idH , а потому имеется шашечное разбиение белых клеток, см. Определение 1.4.В (по условию 4 настоящего следствия). Рассмотрим ориентированную хордовую диаграмму ориентированного атома Y , построенную по белым клеткам, см. Определение 1.6. Существование шашечного разбиения белых клеток означает, что множество несущих окружностей хордовой диаграммы можно разбить на два подмножества так, что любая хорда соединяет окружности разных подмножеств. Так как любая симметрия g Aut(Y ) сохраняет шашечное разбиение, она переводит каждое из подмножеств либо в себя, либо в другое подмножество. Определим отображение : Aut(Y ) Z2 формулой (g ) := 0 в первом случае, и (g ) := 1 во втором случае, g Aut(Y ). Очевидно, гомоморфизм, прич?м (a) = 0, (b) = 1 (так как при индуцированном действии Aut(Y ) на хордовой диаграмме симметрия a сохраняет окружность, отвечающую клетке
30


e, а симметрия b переводит в себя хорду, отвечающую вершине A, и переставляет местами концы этой хорды). Определим отображение I : Z2 Aut(H ) формулой I (0) := idH , I (1) := l, оно является гомоморфизмом в силу условия l2 = idH . Положим := I . Тогда (a) = I ((a)) = I (0) = idH , (b) = I ((b)) = I (1) = l и (Aut(Y )) = {idH , l}. Шаг 2. Аналогично (8), для любой белой клетки hi (e) (соотв. ч?рной клетки hj (e )) атома Y фиксируем какое-либо разложение симметрии hi Aut(Y ) (соотв. hj Aut(Y )) по образующим a, b, и пусть ni (соотв. nj ) равно сумме показателей степеней образующей b в данном разложении, см. обозначения в 4.14, 1 i S, 1 j S . Пусть (l, m = idH , q , r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 46 из Теоремы 4.15. Тогда, в силу Теоремы 4.15, выполнены и остальные свойства из этой теоремы. Покажем, что (l, q , r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 15 настоящего следствия. 1) Имеем l2 = idH из свойства 6 Теоремы 4.15, а l(r) = r из свойства 1 Теоремы 4.15. 5) Из свойства 5 в Теореме 4.15 получаем условие 5 настоящего следствия. 3) По свойству 6 Теоремы 4.15 имеется гомоморфизм : Aut(Y ) Aut(H ) со свойствами (a) = idH и (b) = l. Пусть : H1 (Y0 ; Z) H гомомор? физм, определ?нный на образующих [h1 ], . . . , [hS ], [h1 ], . . . , [hS ], [1 ], . . . , [2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами из свойства 3 Теоремы 4.15 (а потому удовлетворяют (8)). По предположению настоящего следствия группа H порождена элементами (hi )(q ) = lni (q ), (hj )(r) = lnj (r), 1 i S , 1 j S . Вместе с доказанным выше условием 1 настоящего следствия это показывает, что элементы q , l(q ), r = l(r) H порождают группу H . 4) Предположим, что l = idH . Тогда l(q ) = q , поскольку при l(q ) = q группа H порождена элементами q , r в силу доказанного выше условия 3 настоящего следствия, а потому свойства l(r) = r и l(q ) = q дают l = idH . Так как вершины клетки e имеют вид Ak = ak (A), k Z, то вершины клетки hi (e) имеют вид Ak = hi (ak (A)), k Z. Так как A общая вершина белых клеток e, b(e), то Ak = hi (ak (A)) общая вершина белых клеток hi (ak (e)) = hi (e) и hi (ak (b(e)) =: hi (e) (для некоторого i [1; S ]). Отметим, что h-1 hi ak b(e) = e, а потому i h-1 hi ak b = ap для некоторого p Z, откуда hi = hi ak b a-p . Поэтому i (hi ) = ( (hi )) l = l ( (hi )) (в силу абелевости подгруппы (Aut(Y )) = {idH , l} Z2 ). Отсюда и из условия l2 = idH следует, что элементы (hi )(q ) = lni (q ) и (hi )(q ) = l( (hi )(q )) = l(lni (q )) оба принадлежат множеству {q , l(q )} и различны (в силу l(q ) = q , см. выше). Поэтому сопоставление любой белой клетке hi (e) элемента (hi )(q ) = lni (q ) {q , l(q )} H определяет шашечное разбиение белых клеток атома Y , см. Определение 1.4.В. При этом = I , где , I гомоморфизмы из шага 1. 2) В силу свойства 2 в Теореме 4.15 и доказанного выше условия 1 настоящего следствия, имеем
SS S ni i=1 l

(q )

S j =1

r = 1 H . Если l = idH , то

последнее равенство да?т q r = 1 H . Если при этом S ч?тно, то последнее равенство равносильно равенству q S/2 (l(q ))S/2 rS = 1 H . Пусть l = idH . Тогда, по доказательству условия 4 выше, сопоставление любой белой клетке hi (e) элемента (hi )(q ) = lni (q ) {q , l(q )} да?т шашечное разбиение белых клеток атома Y , 1 i S . Значит, по доказанному на шаге 1, симметрия b осуществляет биекцию между множеством белых клеток hi (e) со свойством (hi )(q ) = lni (q ) = q и множеством белых клеток hi (e) со свойством (hi )(q ) = lni (q ) = l(q ), 1 i S , откуда S ч?тно и указанные множества состоят из одинакового количества S белых клеток. Поэтому привед?нное выше 2 равенство да?т q S/2 (l(q ))S/2 rS = 1 H . Шаг 3. Пусть теперь набор (l, q , r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 15 31


настоящего следствия. Докажем, что набор (l, m = idH , q , r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 46 из Теоремы 4.15. Отсюда, в силу Теоремы 4.15(Б), будут автоматически следовать остальные свойства из этой теоремы. 6) Условие 6 Теоремы 4.15 вытекает из условий 1 и 4 настоящего следствия, как показано на шаге 1. Поэтому существует гомоморфизм : Aut(Y ) Aut(H ), такой, что для любой симметрии g Aut(Y ) и любого разложения элемента g по образующим a, b группы Aut(Y ) выполнено (g ) = ln , где n Z равно сумме показателей степеней образующей b в данном разложении. При этом из l2 = id и (b) = l имеем (Aut(Y )) = {idH , l} Aut(H ). 5) Пусть : H1 (Y0 ; Z) H гомоморфизм, определ?нный на образующих ? [h1 ], . . . , [hS ], [h1 ], . . . , [hS ], [1 ], . . . , [2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами (8). Тогда выполнены формулы из свойства 3 Теоремы 4.15, в силу доказанных выше формул (hi )(q ) = lni (q ) и (hj )(r) = lnj (r) и условия l(r) = r (по условию 1 настоящего следствия). Требуемое условие эквивариантности для c1 , . . . , c2g следует из условия 5 настоящего следствия. Так как m = idH и ([hj ]) := (hj )(r) = r = l(r), см. выше, то получаем требуе? мые условия эквивариантности для 1 j S . Если l = idH , то ([hi ]) := ? (hi )(q ) = lni (q ) = q = l(q ), откуда получаем требуемые условия эквивариантности для 1 i S . Пусть теперь l = idH , а потому l(q ) = q (см. доказательство свойства 4 на шаге 2 выше). На шаге 1 мы показали, что сопоставление любой белой клетке hi (e) атома Y автоморфизма (hi ) {idH , l} Aut(H ) зада?т шашачное разбиение белых клеток. Поэтому сопоставление любой белой клетке hi (e) элемента ([hi ]) := (hi )(q ) = lni (q ) {q , l(q )} H тоже зада?т ша? шечное разбиение белых клеток. При этом симметрия a переводит множество всех белых клеток hi (e) со свойством ([hi ]) = q в себя, а множество всех ? белых клеток hi (e) со свойством ([hi ]) = l(q ) в себя (см. шаг 1). Поэтому ? ([a hi ]) = ([hi ]), 1 i S . На шаге 1 мы также показали, что сим? ? метрия b переставляет эти два множества, откуда ([b hi ]) = l(([hi ])), ? ? 1 i S. 4) По построению гомоморфизма (см. доказанное выше условие 6 из Теоремы 4.15) и условию l(r) = r, имеем (hj )(r) = r, 1 j S . По доказанному в предыдущем пункте, множество элементов (hi )(q ) {q , l(q )}, 1 i S , совпадает с {q , l(q )}. По условию 3 настоящего следствия, элементы q , l(q ), r порождают группу H . Это да?т требуемое свойство 4 Теоремы 4.15.

5 Примитивные максимально симметричные атомы и отображения примитивизации
В данном параграфе ориентированный атом тоже понимается как оснащ?нная ? пара (P , K )# , см. Замечание 1.8. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом. Фиксируем некоторый тип двумерных клеток атома (для определ?нности, выделим белые клетки).

Определение 5.1. Максимально симметричный ориентированный атом X назовем примитивным, если выполнено одно из двух условий: атом содержит не менее двух белых клеток, и любые две его различных белых клетки имеют не более одной общей вершины; в атоме есть лишь одна белая клетка, и атом неприводим, см. Определение 3.5.

Пример 5.2. Максимально симметричные ориентированные атомы следующих классов изоморфности (см. Введение) примитивны:
32


(сферические) Pi , 1 i 5, A1 = D1 , B1 = C1 , Dn при n > 2; (торические) T(1,0) = A2 , T(s,t) и T(s,t) при s + t > 2, T(s,t) при s + t > 1; P6 , A
2
l

при l 2.

Остальные сферические и торические максимально симметричные ориентированные атомы (включая остальные атомы классов Cn , Dn ), и все остальные атомы классов An , Bn (рода g 2) непримитивны: (сферические) B2 = C2 = D2 , Cn при n > 2; (торические) T(1,1) = B4 , T(2,0) , T(1,
0)

= B3 , T(1

,0)

= A3 , T(1,1) , T(2,0) ;

An при n > 3 и n {2l | l N}, Bn при n > 4. Пусть ориентированный атом X не является примитивным и содержит не менее двух белых клеток. Возьм?м некоторую белую клетку e X и пусть a Aut(X ) элементарный поворот клетки e. Занумеруем вершины клетки e в циклическом порядке: A0 , . . . , Ad-1 , тогда a(Ai ) = Ai+1 . Пусть ei белая клетка, примыкающая к клетке e в i-ой вершине. Так как атом не примитивен, то e0 = eq для некоторого 0 < q d - 1. В силу симметричности, ei = ei+q для всех i. Можно считать, что q наименьший положительный период, так что d = k q . Рассмотрим преобразование aq Aut(X ). Так как aq (e) = e и aq (ei ) = ei , то aq есть вращение клетки ei . Порядок элемента aq равен k , следовательно, aq = (aq )li , где ai Aut(X ) элементарный поворот клетки ei , а li некоторое i число, взаимно простое с k . Из-за симметричности l0 . . . lq-1 l (mod k ). Аналогично, aq = (aq )l , откуда i

l2 1 (mod k ).
Заметим, что равенство (a )q = (a )ql выполнено для любых двух смежных белых клеток e и e (см. Определение 1.4.В). Поскольку X связно, рассуждая по индукции, мы получаем, что (a )q = aq либо (a )q = aql для любой клетки e X. Рассмотрим циклическую подгруппу H = aq Aut(X ). Пусть g Aut(X ) и g (e) = e . Тогда g ag -1 = a и g aq g -1 = (a )q , что равно aq либо (aq )l . Следовательно, g H g -1 = H , т.е. H нормальная подгруппа. Так как элементы подгруппы H действуют как вращения на каждой белой клетке и поэтому не оставляют никакую вершину неподвижной, то H действует свободно на вершинах. Таким образом, мы можем рассмотреть симметричное разветвл?нное накрытие pX : X X/H. Для любого разложения k = k1 k2 , где k1 , k2 N, рассмотрим циклическую подгруппу H1 = ak2 q H порядка k1 . Привед?нное выше рассуждение показывает, что подгруппа H1 нормальна в Aut(X ). Следовательно, мы можем рассмотреть симметричное разветвл?нное накрытие pX,k1 : X X/H1 .

примитивизации, если оно является композицией разветвл?нного накрытия pX и изоморфизма X/H Y , а ориентированный атом Xprim = Y назов?м примитивизацией ориентированного атома X . Назов?м разветвл?нное накрытие X Y отображением типа примитивизации, если оно является композицией разветвл?нного накрытия pX,k1 и изоморфизма X/H1 Y .

Определение 5.3. Назов?м разветвл?нное накрытие X Y отображением

Пример 5.4. Для непримитивных ориентированных атомов из примера 5.2 (кроме атомов серии An с ровно одной белой клеткой) примитивизации образуют следующие 4 класса примитивных ориентированных атомов:
33


(примитивизация непримитивных сферических атомов) (B2 )prim (C2 )prim = (D2 )prim = (Cn )prim = B1 = C1 при n > 2, (примитивизации непримитивных торических атомов) (T(1,1) )
prim

= =

(B4 )prim = (T(1,0) )prim = (B3 )prim = B1 = C1 , (T (T(1,1) )prim = D3 , (T(2,0) )prim = P1 ;
(Bn )prim = B1 = C1 при n > 4.

(2,0) )prim

= D4 ,

Утверждение 5.5. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом, содержащий не менее двух белых клеток. Тогда 1. Xprim примитивный максимально симметричный ориентированный атом; 2. если f : X Y симметричное разветвл?нное накрытие и Y прими? тивен, то существует единственный морфизм f : Xprim Y , такой ? pX ; что f = f 3. морфизм f : X Y является отображением примитивизации тогда и только тогда, когда f является отображением типа примитивизации и Y примитивен. Доказательство. 1. Пусть атом Xprim = X/H не примитивен. Тогда в Xprim найдутся две двумерные белые клетки e1 и e2 , имеющие более одной общей вершины. Это означает, что существует нетривиальная симметрия g Aut(Xprim ), ? такая что g (ei ) = ei , i = 1, 2. Прообразом клеток e1 , e2 при отображении ? f будут соответственно двумерные белые клетки e1 и e2 атома X . Согласно Следствию 4.3, существует симметрия g атома X , удовлетворяющая условию g f = f g . Так как f g (ei ) = ei , то g (ei ) = ei , i = 1, 2. Значит, g име? ет вид g = ap , где a Aut(X ) элементарный поворот клетки e1 . При этом ap H = aq , так как симметрия g нетривиальна. Следовательно, p не делится / ? на q и p = sq + t, где 0 < t < q . Тогда at (ei ) = ei , i = 1, 2, что противоречит определению q как наименьшего положительного периода. 2. Рассмотрим в атоме X двумерные белые клетки e1 и e2 имеющие общую вершину A. Пусть ei = f (ei ) соответствующие двумерные клетки атома Y . Они также имеют общую вершину A = f (A), и других общих вершин у них нет, так как Y примитивен. Рассмотрим произвольную симметрию g H . Тогда по пункту 7 Утверждения 3.3 существует симметрия g Aut(Y ), такая что g f = f g . Так как g (ei ) = ei , то g (ei ) = ei , i = 1, 2. При этом общая вершина A клеток e1 и e2 должна перейти в общую вершину этих же клеток, значит, g (A ) = A . Следовательно, g = id, то есть f = f g . Таким образом, отображение f можно пропустить через факторпространство X/H , иными ? словами, f разлагается в композицию f = f pX , что и требовалось доказать. 3. Необходимость вытекает из определения примитивизации и первого пункта данного утверждения. Проверим достаточность. Пусть f : X Y отображение типа примитивизации, и атом Y примитивен. Так как Y изоморфно X/H1 , H1 H , то существует симметричное разветвл?нное накрытие g : Y X/H = Xprim . С другой стороны, по второму пункту данного утвер? ждения имеется симметричное разветвл?нное накрытие f : Xprim Y . Так как любое симметричное разветвл?нное накрытие максимально симметричного атома над собой есть его симметрия, то отсюда следует, что Y и Xprim изоморфны.

Следствие 5.6. Максимально симметричные ориентированные атомы X и Y , содержащие не менее двух белых клеток, изоморфны тогда и только тогда,
34


когда изоморфны ориентированные атомы Xprim и Yprim и изоморфны отображения примитивизации pX и pY . Доказательство. 1. Пусть имеется изоморфизм атомов f : X Y . В силу пункта 2 предыдущего утверждения, существует симметричное разветвл?нное ? ? накрытие f : Xprim Yprim , удовлетворяющее условию f pX = pY f . По тем же причинам существует симметричное разветвл?нное накрытие f -1 : Yprim ? Xprim , удовлетворяющее условию f -1 pY = pX f -1 . Тогда f -1 = f -1 , атомы Xprim и Yprim изоморфны, как и отображения примитивизации pX и pY . 2. Изоморфизм атомов X и Y немедленно следует из изоморфизма разветвл?нных накрытий pX и pY .

Следствие 5.7. Пусть f : X Y симметричное разветвл?нное накрытие. Следующие условия равносильны: f является отображением типа примитивизации; монодромия ([]) при обходе вокруг центра белой двумерной клетки является образующей группы H (в частности, группа монодромии H разветвл?нного накрытия является циклической); порядок ветвления в центре любой белой клетки равен кратности разветвл?нного накрытия f . Доказательство. Докажем сначала равносильность первого и второго условий. Из первого условия следует второе, согласно Определению 5.3. Покажем, что из второго условия следует первое. Возьм?м двумерную белую клетку e атома Y . Пусть A1 , . . . , Ad е? вершины (в циклическом порядке). Возьм?м в X двумерную клетку e , такую что f (e ) = e. Пусть A1 , . . . , Am вершины клетки e в циклическом порядке, прич?м f (A1 ) = A1 . Тогда f (Ai ) = Aj , где j остаток деления i на d (j = d, если i делится на d). Рассматривая элемент ([]) как симметрию атома X , мы получаем, что ([])(Ai ) = Ai+d . Так как порядок элемента ([]) равен порядку группы H , т.е. кратности накрытия, то Ai = Ai+k1 d , где k1 = |H |, следовательно, m = k1 d. Иными словами, симметрия ([]) действует на клетке e как вращение. Следовательно, h(e ) = e для любого элемента h H . Рассмотрим произвольную двумерную белую клетку e атома X . Тогда существует симметрия g Aut(X ), такая что g (e ) = e . Для любого h H имеем
h(e ) = hg
-1

(e ) = g

-1

(g hg

-1

)(e ) = g

-1

(e ) = e ,

где равенство g hg -1 (e ) = e следует из нормальности H как подгруппы Aut(X ). Таким образом, каждый элемент группы H действует как вращение на каждой белой клетке атома X , в частности это верно для симметрии ([]). Значит, ([]) = (a )k2 q , где a симметрия, действующая как элементарный поворот клетки e , q минимальная положительная степень, такая что (a )q оставляет белые клетки атома X на месте. Тогда H = (a )k2 q , значит, отображение f изоморфно отображению типа примитивизации pX,k1 . Если атом Y примитивен, то f есть отображение примитивизации по пункту 3 Утверждения 5.5. Таким образом, первое и второе условия равносильны. Если монодромия ([]) при обходе вокруг центра белой двумерной клетки является образующей группы H , то регулярное действие ([]) на H имеет единственную орбиту. Это означает, что действие элемента ([]) на любом слое накрытия также имеет единственную орбиту. С другой стороны, мощность орбит относительно действия ([]) в слоях над точками, близкими к центру белой клетки, равны порядкам ветвлений в центре белой клетки. Тот факт, что порядок ветвления в центре любой белой клетки равен кратности разветвл?нного 35


накрытия f , означает, что в центре белой клетки есть только одно ветвление и его порядок равен порядку группы монодромии. Таким образом, второе и третье условия следствия равносильны.

ориентированный атом. Тогда (А) любые его белая и ч?рная клетки имеют не более одного общего ребра; (Б) если две белые клетки e1 , e2 X являются смежными (см. Определение 1.4.В) и инвариантны при некоторой симметрии g Aut(X ), т.е. g (e1 ) = e1 и g (e2 ) = e2 , то g = idX . Доказательство. (А) Предположим, что ориентированный атом X имеет белую клетку e X и ч?рную клетку e X , имеющие более одного общего ребра. Пусть a Aut(X ) элементарный поворот клетки e. Занумеруем вершины клетки e в циклическом порядке: A0 , . . . , Ad-1 , так что ч?рная клетка e содержит ребро A0 A1 . Пусть ei белая клетка, примыкающая к клетке e в i-ой вершине, и пусть ei ч?рная клетка, примыкающая к клетке e по ребру Ai Ai+1 , тогда a(Ai ) = Ai+1 и e = e0 . Так как клетки e и e0 имеют более одного общего ребра, то e0 = eq для некоторого 0 < q d - 1. В силу симметричности атома, ei = ei+q для всех i. Можно считать, что q наименьший положительный период, так что d = k q . Итак, симметрия aq оставляет на месте белую клетку e и все смежные с ней ч?рные клетки e0 , . . . , ed-1 . Аналогично доказывается, что aq оставляет на месте все белые клетки, смежные с ч?рной клеткой e0 , и, в частности, белую клетку e0 . Поэтому e0 = aq (e0 ) = eq , что противоречит примитивности атома X . (Б) Так как симметрия g оставляет на месте две смежные белые клетки e1 , e2 , то она оставляет на месте единственную (в силу примитивности атома X ) общую вершину этих клеток, а потому и полур?бра, примыкающие к этой вершине. Следовательно, g = idX по Утверждению 2.5.
тированный атом, и пусть его ч?рные клетки являются d -угольниками. Пусть ^ его граф смежности белых клеток, см. Определение 1.4.В. По определе^ нию, граф не имеет петель и кратных р?бер, а также связен в силу связности атома. Пусть e некоторая ч?рная клетка, и пусть c Aut(X ) элементарный поворот клетки e . Занумеруем вершины клетки e в циклическом порядке: B0 , . . . , Bd -1 , так что c(Bi ) = Bi+1 . Пусть ei белая клетка, примыкающая к клетке e по ребру Bi Bi+1 e . Тогда белые клетки e0 , . . . , ed -1 различны в ^ силу Утверждения 5.8.А. Рассмотрим на графе цикл Z длины d , последовательно проходящий через вершины, отвечающие клеткам e0 , . . . , ed -1 в данном циклическом порядке. Если d = 1, то X = A1 = D1 имеет одну белую клетку, что противоречит примитивности атома X . Если d = 2, то X = C1 имеет ^ две белых клетки, откуда S = 2 и = K2 отрезок, а Z единственный цикл длины 2 на этом графе. Если d 3, то цикл Z является простым (т.е. не ^ имеет самопересечений, поскольку все его вершины различны), граф имеет S d 3 вершин, и любая его вершина имеет степень d 2, прич?м при d = 2 ^ выполнено X = DS , S = d и = Z = OS .

Утверждение 5.8. Пусть X примитивный максимально симметричный

Замечание 5.9. Пусть X примитивный максимально симметричный ориен-

6 Классификация максимально симметричных атомов с данной примитивизацией
Начиная с данного параграфа, во всех утверждениях под ориентированным ? атомом понимается класс изоморфности оснащ?нной пары (P , K )# , а во всех

36


? доказательствах он понимается как оснащ?нная пара (P , K )# , см. Замечание 1.8. Пусть дан примитивный максимально симметричный ориентированный атом Y (нахождению таких атомов посвящ?н следующий параграф). Рассмотрим задачу классификации максимально симметричных ориентированных атомов X , таких что Xprim изоморфен Y . Как в 4.14, пусть e Y некоторая белая двумерная клетка, A e е? вершина, e Y ч?рная клетка, смеж? ная с клеткой e в вершине A (см. Определение 1.4.В). Обозначим a Aut(Y ) элементарное вращение клетки e, b Aut(Y ) центральная симметрия в вершине A. Пусть Y0 пространство, получаемое из Y выкалыванием центров двумерных клеток, [] H1 (Y0 ; Z) класс гомологий положительно ориентированной петли вокруг центра клетки e, [ ] H1 (Y0 ; Z) вокруг центра клетки e . В силу Следствий 4.13, 4.19 и 5.7, атомы X классифицируются эквивариантными эпиморфизмами : H1 (Y0 ; Z) Zk = Z/(k Z), ?
такими что ([]) = q = 1 Zk , где групповая операция в Zk обозначается ? ?? сложением, а эквивариантность равносильна условию (g ) = ( (g )) для любого g Aut(Y ), где : Aut(Y ) Aut(H ) некоторый гомоморфизм, названный выше сквозным. Достаточно проверить эквивариантность для образующих a и b, см. Следствие 4.13. Так как (a)([]) = [] и ([]) = q = 1 ? образующая группы Zk , то (a) = id Aut(Zk ), т.е. сквозное действие поворота a на группе Zk является тождественным автоморфизмом. Положим ([ ]) = r (mod k ). Сквозное действие симметрии b на группе Zk имеет вид ? x lx, x Zk , где l2 1 (mod k ), прич?м l = 1, если нет шашечного разбиения белых клеток, см. Определение 1.4.В (т.е. есть цикл неч?тной длины на графе смежности белых клеток атома Y , см. Определение 1.4.В). Так как вращения в белых клетках транзитивно действуют на множестве ч?рных клеток, то все ч?рные клетки имеют одинаковую монодромию r = ([ ]) Zk при обходе вокруг центра. С другой ? стороны, b переводит ч?рные клетки в ч?рные клетки, следовательно,

rl r

(mod k ).

Из Следствия 5.7 и Следствия 4.19 с циклической группой монодромии H = ([]) ? Zk , а также Замечания 4.17, получаем следующее утверждение.

обязательно примитивным) максимально симметричным ориентированным атомом Y рода g 0 с S 2 белыми и S ч?рными клетками классифицируются наборами (k , l, r, c1 , . . . , c2g ), k N, l, r, c1 , . . . , c2g Zk , удовлетворяющими следующим условиям: l2 1 (mod k ), rl r (mod k ), S r + (l + 1)S/2 0 (mod k ); l = 1 если нет шашечного разбиения белых клеток атома Y , см. Определение 1.4.В;
? ? ci = ([a i ]), lci = ([b i ]), 1 i 2g ,

Следствие 6.1. Отображения типа примитивизации f : X Y над (не

где в последнем условии через : H1 (Y0 ; Z) Zk обозначен гомоморфизм, опре? дел?нный на образующих [h1 ], . . . , [hS ], [h1 ], . . . , [hS ], [1 ], . . . , [2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами
([hi ]) := lni , ([hj ]) := r, ([k ]) := ck , ? ? ?
37

1 i S, 1 j S , 1 k 2g ,


ni равно сумме показателей степеней образующей b в каком-либо разложении элемента hi Aut(Y ) по образующим a, b группы Aut(Y ), см. обозначения в 4.14. При этом k степень разветвл?нного накрытия f , порядки ветвления k в центрах белых (соотв. ч?рных) клеток равны k (соотв. gcd(k,r) ); сквозное

действие (b) Aut(Zk ) симметрии b Aut(Y ) на группе H = Zk совпадает с умножением на l; r = ([ ]) монодромия при обходе вокруг центров ч?р? ных клеток; c1 = ([1 ]), . . . , c2g = ([2g ]) монодромии при обходе вдоль кри? ? вых 1 , . . . , 2g . Ориентированный атом X имеет род g = kn-S -S2 gcd(k,r) + 1, сложность k n, S белых клеток и S gcd(k , r) ч?рных клеток, прич?м каждая его белая клетка имеет k d сторон, а каждая его ч?рная клетка имеет dk gcd(k,r ) сторон, где n сложность атома Y , d число сторон любой его белой клетки, а d число сторон любой его ч?рной клетки.

Следствие 6.2. Отображения типа примитивизации f : X Y над сфери-

ческим (не обязательно примитивным) максимально симметричным ориентированным атомом Y с S 2 белыми и S ч?рными клетками классифицируются тройками (k , l, r), k N, l, r Zk , удовлетворяющими следующим условиям: l2 1 (mod k ), rl r (mod k ), S r + (l + 1)S/2 0 (mod k ); l = 1 если нет шашечного разбиения белых клеток атома Y , см. Определение 1.4.В (т.е. всегда, кроме случая S = 8, S = 6 усеч?нного октаэдра Y = P3 и случая S = 2t, S = 2 ориентированного атома Y = D2t , см. Теорему 1.13).

При этом k степень разветвл?нного накрытия f , порядки ветвления в k центрах белых (соотв. ч?рных) клеток равны k (соотв. gcd(k,r) ); сквозное действие (b) Aut(Zk ) симметрии b Aut(Y ) на группе H = Zk совпадает с умножением на l; r = ([ ]) монодромия при обходе вокруг центров ч?р? ных клеток. Род и сложность атома X , количество его белых и ч?рных клеток, и количество сторон клеток определяются теми же формулами, что и в 6.1.

Пример 6.3. Рассмотрим сферический ориентированный атом DS , см. Введение (граф смежности белых клеток у этого атома является циклом длины S , обозначаемый через OS , прич?м S = d и d = S = 2, см. Определение 1.4.В), где S 2. Ориентированный атом максимально симметричен, а при S 3 примитивен (так как он имеет S 2 белых клеток и его граф смежности белых клеток не имеет кратных р?бер). (А) Пусть S неч?тно. Из Следствия 6.2 вытекает, что отображения примитивизации над ориентированным атомом DS однозначно задаются кратностью k N отображения примитивизации, которая должна быть неч?тной, прич?м l 1 (mod k ), r k-S (mod k ). Накрывающий ориентированный атом обозна2 k чим через OSS . Ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атома k 1 1 1 OSS состоит из S ориентированных окружностей S1 S2 . . . SS = {ei | 2 j i/k i+2 j i/k 0 < 2 } и n = k S хорд, соединяющих пары точек (e ,e ) 1 1 1 1 Su Ч Su+1 этих окружностей, j Z, 0 j < k , 1 u S , где SS +1 := S1 . k Ориентированный атом OSS имеет род g = k-1 S - gcd(S, k+S ) + 1, сложность 2 2 k+S k S , S белых и 2 gcd(S, 2 ) ч?рных клеток, каждая его белая клетка является kS 2k -угольником, а каждая ч?рная gcd(S, k+S ) -угольником.
(Б) При ч?тном S , согласно Следствию 6.2, отображения типа примитивизации (являющиеся отображениями примитивизации при S > 2) над ориентированным атомом DS однозначно задаются тройками (k , l, r), где k N 38
2


кратность отображения (типа) примитивизации, l, r Zk ,

l2 1

(mod k ),

rl r

(mod k ),

2r + (l + 1)S/2 0 (mod k ).

k Этот ориентированный атом обозначим через OSS,l,r . Ориентированная хордоk вая диаграмма ориентированного атома OSS,l,r состоит из S ориентированных 1 1 1 i окружностей S1 S2 . . . SS = {e | 0 < 2 } и n = k S хорд, соединя1 1 ющих пары точек (e2j i/k , ei/k+2lj i/k ) Su Ч Su+1 этих окружностей, j Z, 1 2 j i/k (2r +1)i/k+2 lj i/k 1 0 j < k , 1 u < S , и (e ,e ) SS Ч S1 , j Z, 0 j < k . В частности, при S = 2 получаем (см. Утверждение 8.2)

O

2k,l,r 2

2 = K2

k,2k-2r -1

,

O

2k,1,k-1 2

= B 2k ,

O

2k,k-1,0 2

= C2k .

Действительно, указанная диаграмма имеет симметрию a, определяемую на множестве вершин диаграммы формулами

(1, j ) (1, j + 1), u u (u, j ) S - u + 2, j - 2 + 1 - (2 - 2 )l - 2r , 2 u S, 2 2
1 где (u, j ) обозначает вершину eij /k Su , 0 j < 2k . Корректность определе1 ния симметрии следует из соотношений на k , l и r. На окружности S1 симметрия a действует как элементарный поворот. Аналогично, можно определить симметрию b по формулам

(1, j ) (2, j + 1), (2, j ) (1, j - 1), u u (u, j ) S - u + 3, j - 2 + 1 - (2 - 2 )l - 2r , 3 u S. 2 2
1 Симметрия b действует как центральная симметрия на хорде с концами 1 S1 i/k 1 иe S2 . По Утверждению 2.8 ориентированный атом, задаваемый данной хордовой диаграммой, будет максимально симметричным. Он имеет род g = k-1 S - 2 gcd(k , r) + 1, сложность k S , S белых и 2 gcd(k , r) ч?рных клеток, каждая его k белая клетка является 2k -угольником, а каждая ч?рная gcd(S ,r) -угольником. k

Следствие 6.4. Отображения типа примитивизации f : X Y над (не

обязательно примитивным, см. пример 5.2) торическим максимально симметричным ориентированным атомом Y = T(s,t) квадратного типа (s, t), s > 0, t 0, см. Теорему 1.14, классифицируются четв?рками (k , l, r, c), k N, l, r, c Zk , удовлетворяющими в зависимости от s и t условиям: 1. если s + t неч?тно, то k неч?тно и
l = 1, c= s+t+k , 2 s(r + 1) 0 (mod k ), t(r + 1) 0 (mod k );

2. если s и t ч?тны, то
l2 1, lr r, 2c -(s + t)r, s t (2r + l + 1) 0, (2r + l + 1) 0, 2 2

где все сравнения рассматриваются по модулю k; 3. если s и t неч?тны и

39


(a) если k не делится на 4, то
l2 1, s lr r, 2c -tr - 1 + t s+1 (l + 1), 2

l+1 (r + 1) 0, 2

l+1 (r + 1) 0; 2

(b) если k делится на 4 и s t 3 (mod 4), то
l2 1, s lr r, 2c -tr - 1 + t s+1 (l + 1), 2

l+1 (r + 1) 0, 2

l+1 (r + 1) 0; 2

(c) если k делится на 4 и s t 1 (mod 4), то
l2 1, s lr r, 2c -tr - 1 + s+1 (l + 1), 2 l+1 l2 - 1 t (r + 1) ; 2 2

l+1 l2 - 1 (r + 1) , 2 2

(d) если k делится на 4 и st 3 (mod 4), то
l2 1, s lr r, s+1 (l + 1), 2 l+1 l2 - 1 t (r + 1) 0, 0. 2 2 2c -tr - 1 +

l+1 (r + 1) 0, 2

При этом k степень разветвл?нного накрытия f ; r монодромия при обходе вокруг центров ч?рных клеток, c монодромия при обходе вдоль одной из стандартных образующих тора; порядки ветвления в центрах белых (соотв. k ч?рных) клеток равны k (соотв. gcd(k,r) ). Ориентированный атом X имеет род g = (s2 + t2 )(k - 1+gcd(k,r) ) + 1, сложность 2k (s2 + t2 ), s2 + t2 белых клеток 2 и (s2 + t2 ) gcd(k , r) ч?рных клеток, прич?м каждая его белая клетка имеет 4k 4 сторон, а каждая его ч?рная клетка имеет gcd(k ,r) сторон. k Доказательство. Рассмотрим универсальное накрытие ориентированного ато? ма Y = (P , K )# класса изоморфности T(s,t) . Пусть e1 , e2 ортонормированный базис индуцированного разбиения плоскости на белые и ч?рные клетки, см. 1.4. Тогда атом Y получается в результате факторизации плоскости по группе движений, порожд?нной сдвигами на вектора se1 + te2 и -te1 + se2 . Возьм?м в качестве начала координат на плоскости центр одной из белых клеток. При этом центры белых клеток будут иметь координаты (x, y ), x, y Z, центры 1 ч?рных клеток координаты ( 2 + p, 1 + q ), x, y Z, а вершинами разбиения 2 1 1 будут точки ( 2 + x, y ), (x, 2 + y ), x, y Z. Рассмотрим двузвенную ломаную, проходящую через точки 1 U1 ( 1 , - 1 ), V1 (s + 6 , - 1 ), W1 (s + 1 , t - 1 ). Рассмотрим также ломаную, 6 6 6 6 6 1 1 проходящую через точки U2 ( 6 , 1 ), V2 ( 1 , s + 1 ), W2 (-t + 6 , s + 1 ). При проекции 6 6 6 6 2 : R Y ломаные U1 V1 W1 и U2 V2 W2 образуют замкнутые кривые 1 , 2 , чьи классы гомологий являются образующими группы одномерных гомологий тора. Согласно Следствию 6.1, отображения типа примитивизации над Y классифицируются наборами (k , l, r, c1 , c2 ), k N, l, r, c1 , c2 Zk , удовлетворяющими условиям
l2 1 (mod k ), rl r (mod k ), (s2 + t2 )(r + (l + 1)/2) 0 (mod k ), ([b 1 ]) = lc1 , ? ([b 2 ]) = lc2 , ? ([a 1 ]) = c1 , ? ([a 2 ]) = c2 , ?
40


где : H1 (Y0 ; Z) Zk есть гомоморфизм монодромии из Следствия 6.1, ? ci = ([i ]), i = 1, 2, а автоморфизм (a) группы гомологий в данном случае ? индуцирован вращением Ra плоскости (т.е. универсального накрытия атома Y ) на /2 вокруг точки O(0, 0), и автоморфизм (b) индуцирован центральной симметрией Rb в точке (-1/2, 0). Так как Ra (U1 V1 W1 ) = U2 V2 W2 , то условие ([a 1 ]) = c1 эквивалентно ? равенству c2 c1 (mod k ). Имеем Ra (U2 V2 W2 ) = U3 V3 W3 , где точки U3 , V3 , W3 имеют координа1 ты (- 6 , 1 ), (-s - 1 , 1 ), (-s - 1 , -t + 1 ), соответственно. Рассмотрим точ6 66 6 6 1 1 1 ки V1 ( 1 , -t - 1 ), U1 (-s + 1 , -t - 1 ) и Z (- 1 , - 6 ), Z (-s - 6 , -t - 6 ). То6 6 6 6 6 гда (U1 V1 W1 ) = (U1 V1 W1 ) = 1 и гомологический класс в H1 (Y0 ; Z) проекции замкнутого контура U1 Z U3 V3 W3 Z U1 V1 равен [a 2 ] + [1 ]. Контур U1 Z U3 V3 W3 Z U1 V1 содержит st центров ч?рных клеток и (s + 1)(t + 1) - 1 центров белых клеток, из которых, при наличии шашечного разбиения белых t клеток (см. Определение 1.4.В), (s+1)(2+1)-1 принадлежат тому же классу, что t и клетка с центром O, а (s+1)(2+1)-1 принадлежат другому классу. Применяя гомоморфизм и учитывая равенство ([a 2 ]) = c2 , отсюда мы получаем ? ?

c1 + c2

(s + 1)(t + 1) - 1 (s + 1)(t + 1) - 1 + l + str 2 2

(mod k ).

Заметим, что это равенство имеет смысл и при отсутствии шашечного разбиения белых клеток, если полагать l = 1. Аналогичным образом мы находим ещ? два уравнения, отражающие инвариантность накрытия относительно симметрии b:

(l + 1)c1

(s + 2)(t + 1) - 2 (l + 1) + (s + 1)tr (mod k ), 2 (s + 1)(t + 2) - 2 (l + 1)c2 (l + 1) + s(t + 1)r (mod k ). 2 (s + 1)(t + 1) - 1 (s + 1)(t + 1) - 1 + l + str (mod k ), 2 2 (s + 2)(t + 1) - 2 (l + 1)c (l + 1) + (s + 1)tr (mod k ), 2 (s + 1)(t + 2) - 2 (l + 1)c (l + 1) + s(t + 1)r (mod k ). 2

Вспоминая о равенстве c2 c1 , мы приходим к системе уравнений

2c

(9) (10) (11)

Случай 1: s + t неч?тно. Тогда шашечное разбиение белых клеток невозможно, поэтому l 1. Уравнения переписываются в виде
(s2 + t2 )(r + 1) 0 (mod k ), 2c (st + s + t) + str 2c (st + s + 2t) + (st + t)r 2c (st + 2s + t) + (st + s)r (mod k ), (mod k ), (mod k ).

Вычитая из третьего и четв?ртого уравнения второе, имеем

s(r + 1) t(r + 1) 0 (mod k ),
откуда 2c s + t (mod k ). Поскольку s + t неч?тно, то k не может быть ч?тным t числом, и c равно вычету s+2+k . Параметр r равен -1 + p gcd(k ) , 0 p < s,t,k gcd(s, t, k ). 41


Случай 2: s, t ч?тны. Тогда уравнение (9) записывается как
2c st + s + t (l + 1) + str 2 (mod k ).
(12)

Вычитая из уравнения (11) уравнение (10), получим равенство

s-t (l + 1 + 2r) 0. 2
Умножая равенство (12) на l + 1 и вычитая результат из равенства (10), умноженного на 2, получим t(l + 1 + 2r) 0. Здесь мы воспользовались тождествами (l + 1)2 2(l + 1) и (l + 1)r 2r. Так как s ч?тно, то st (l + 1) + str 0. Теперь мы можем свести соотношения 2 (10), (11), (12) к равенствам

2c

s+t (l + 1) 2 s+2 (l + 1)c 2 2s + (l + 1)c 2
s+t 2

-(s + t)r, t t (l + 1) + tr, (l + 1) + sr, r + k (если k ч?тно). В любом случае 2

откуда c может быть равно - (l - 1)c 0. Таким образом,

r или -

s+t 2

0 (l - 1)c = (l + 1)c - 2c

s + 2t s+t t (l + 1) + tr - (l + 1) = (l + 1 + 2r). 2 2 2

s Следовательно, 2 (l + 1 + 2r) 0. Оста?тся заметить, что из соотношений

l2 1, lr r, 2c -(s + t)r,

s t (2r + l + 1) 0, (2r + l + 1) 0 2 2

вытекают исходные уравнения (10), (11), (12) и равенство (s2 +t2 )(r +(l +1)/2) 0. Случай 3: s, t неч?тны. Тогда уравнение (9) записывается как

2c

st + s + t - 1 st + s + t + 1 + l + str 2 2

(mod k ).

(13)

Точно так же, как в случае 2, получаем тождества

s-t (l + 1 + 2r) 0, 2

s(l + 1 + 2r) 0,

t ( l + 1 + 2 r ) 0.

Используя их, переписываем соотношения (10), (11), (12) в виде

2c

s-1 s+1 s+1 t(1 + l + 2r) + + l - tr 2 2 2 s+t s+1 (l + 1)c (l + 1) + t(l + 1 2 2 s+t t+1 (l + 1)c (l + 1) + s( l + 1 2 2
l+1 2

s+1 (l + 1) - 1 - tr, 2 s+t + 2r ) (l + 1), 2 s+t + 2r ) (l + 1). 2
s+1 2

Тогда (l + 1)c (mod 4)), то

2c

s+1 l+1 2 2

(l + 1) -

l+1 2

(1 + tr). Если

ч?тно (т.е. s 3

s+1 l+1 s+1l+1 (l + 1) (l + 1)(l + 1) (s + 1) . 2 2 4 2
42


Следовательно,

l+1 2

(s + t) (l + 1)c t

l+1 2

(s + 1 - 1 - tr), откуда

l+1 (r + 1) 0. 2 (l + 1)(r + 1) (s - t)
l+1 2

Так как 0

s-t 2

(l + 1 + 2r)

s- t 2

(r + 1), то и

s
Если
s-1 2

l+1 (r + 1) 0. 2

ч?тно, (т.е. s 1 (mod 4)), то

s-1 l+1 l+1 s+1l+1 (l + 1) (l + 1)(l + 1) + (l + 1) (s + l) , 2 2 4 2 2
откуда

t
Следовательно,

l+1 l+1 l2 - 1 (r + 1) (l - 1) . 2 2 2 s l+1 l2 - 1 (r + 1) . 2 2
2

- Заметим, что если k не делится на 4, то всегда l 2 1 0. Другое замечание заключается в том, что исходные уравнения симметричны относительно замены переменных s и t. Наконец, несложно проверить, что из соотношений

l2 1, s

lr r,

2c -tr - 1 +

s+1 (l + 1), 2

l+1 l+1 l2 - 1 (r + 1) t (r + 1) 0 соответственно, 2 2 2

следуют уравнения (10), (11), (12) и равенство (s2 + t2 )(r + (l + 1)/2) 0. Аналогичные утверждения верны для торических атомов треугольного и шестиугольного типов.

обязательно примитивным, см. пример 5.2) торическим максимально симметричным ориентированным атомом Y = T(s,t) треугольного типа (s, t), s > 0, t 0, см. Теорему 1.14, классифицируются четв?рками (k , l, r, c), k N, l, r, c Zk , удовлетворяющими условиям:
l2 1,
2

Следствие 6.5. Отображения типа примитивизации f : X Y над (не

lr r,
2

s(r + l + 1) 0,

t(r + l + 1) 0, (l + 1)c 0,

3c

s +s+t +t (r + l + 1) + (l - 1)(s - t), 2

где сравнения рассматриваются по модулю k . Ориентированный атом X имеет род g = (s2 + st + t2 ) 3k-2-gcd(k,r) + 1, 2 сложность 3k (s2 + st + t2 ), 2(s2 + st + t2 ) белых клеток и (s2 + st + t2 ) gcd(k , r) ч?рных клеток, прич?м каждая его белая клетка имеет 3k сторон, а каждая 6 его ч?рная клетка имеет gcd(k ,r) сторон. k Доказательство. Рассмотрим универсальное накрытие ориентированного ато? ма Y = (P , K )# класса изоморфности T(s,t) . Выберем на н?м репер Oe1 e2 с началом координат O в центре белой клетки индуцированного клеточного разбиения универсального накрытия и базисом e1 , e2 , порождающим группу сдвигов, сохраняющих клеточное разбиение, прич?м угол между векторами базиса
43


равен , см. 1.4. Тогда центры белых клеток будут иметь координаты (x, y ) и 3 (x + 1 , y + 1 ), центры ч?рных клеток координаты (x - 1 , y - 1 ), а верши3 3 3 3 1 1 ны разбиения координаты (x + 6 , y - 1 ), (x - 1 , y + 1 ) и (x + 6 , y + 1 ), где 3 3 6 6 x, y Z. Атом Y получается при факторизации плоскости по группе сдвигов, порожд?нной векторами se1 + te2 и -(s + t)e1 + se2 . 1 1 1 1 Рассмотрим ломаную, проходящую через точки U1 ( 20 , - 20 ), V1 (s+ 20 , - 20 ) и 1 1 1 W1 (s+ 20 , t- 20 ), а также ломаную, проходящую через точки U2 (0, 20 ), V2 (-s, s+ 1 1 20 ) и W2 (-s - t, s + 20 ). При проекции на атом Y они переходят в замкнутые кривые 1 и 2 , чьи классы гомологий образуют базис группы H1 (Y ; Z). По Следствию 6.1, отображения примитивизации над Y классифицируются наборами (k , l, r, c1 , c2 ), k N, l, r, c1 , c2 Zk , удовлетворяющими условиям

l2 1 (mod k ), rl r (mod k ), (s2 + st + t2 )(r + l + 1) 0 (mod k ), ([a 1 ]) = c1 , ([a 2 ]) = c2 , ([b 1 ]) = lc1 , ([b 2 ]) = lc2 , ? ? ? ?
где в нашем случае : H1 (Y0 ; Z) Zk есть гомоморфизм монодромии из След? ствия 6.1, ci = ([i ]), i = 1, 2, а автоморфизм (a) группы гомологий ин? дуцирован вращением Ra плоскости (т.е. универсального накрытия атома Y ) на 2 /3 вокруг точки O(0, 0), и автоморфизм (b) индуцирован центральной симметрией Rb в точке (-1/3, 1/6). Так как Ra (U1 ) = U2 , Ra (V1 ) = V2 и Ra (W1 ) = W2 , то [a 1 ] = [2 ], и условие ([a 1 ]) = c1 превращается в равенство ?

c1 c2

(mod k ).

Пусть Ra (U2 V2 W2 ) = U3 V3 W3 . Тогда вершины полученной ломаной имеют 1 1 1 координаты U3 (- 20 , 0), V1 (- 20 , -s) и W1 (t - 20 , -s - t). Рассмотрим также 1 1 1 1 1 1 точки U1 (t + 20 , -s - t - 20 ), V1 (s + t + 20 , -s - t - 20 ), W1 (s + t + 20 , -s - 20 ), 1 1 U2 (s + t, -s + 20 ) и V2 (t, 20 ). При проекции ломаная U1 V1 W1 переходит в 1 , а ломаная U2 V2 U2 в 2 . Замкнутый контур U1 U3 V3 W3 U1 V1 W1 U2 V2 U2 содержит s2 + 4st + t2 + 4s + 2t центров белых клеток, прич?м 1 (s2 + 4st + t2 + 3s + 3t) принадлежат тому же 2 классу при шашечном разбиении белых клеток (см. Определение 1.4.В), что и точка O. Контур содержит 1 (s2 + 4st + t2 - s + t) центров ч?рных клеток. С 2 другой стороны, гомологический класс проекции контура на проколотый атом Y0 равен [a 2 ] + [1 ] + [2 ]. Из равенства ([a 2 ]) = c2 следует тождество ?

c1 + 2c2

12 1 1 (s + 4st + t2 + 3s + 3t) + (s2 + 4st + t2 + s - t)l + (s2 + 4st + t2 - s + t)r. 2 2 2 (14) Аналогичными рассуждениями мы приходим к тождествам (l + 1)c1 (st + s + t)(l + 1) + (st + t)r (mod k ), (l + 1)c2 (st + s)(l + 1) + str (mod k ).
(15) (16)

Вычитая из уравнения (15) уравнение (16) и учитывая тождество c1 c2 , мы получим соотношение

t(l + r + 1) 0 (mod k ),
а также равенство (l +1)c2 (l +1)s. Отсюда и равенства (s2 +st+t2 )(l +r +1) 0 вытекает, что s2 (l + r + 1) 0. Умножая тождество (14) на l + 1, мы получим

3(l + 1)c2

s2 + 4st + t2 + 3s + 3t s2 + 4st + t2 + s - t + 2 2

(l + 1)+

(s2 + 4st + t2 - s + t)r (s2 + 4st + t2 + s + t)(l + r + 1) + s(l + 1) - 2sr s(l + r + 1) + s(l + 1) - 2sr 2s(l + r + 1) - 3sr,
44


следовательно, 3(l + 1)s 2s(l + r + 1) - 3sr, откуда

s(l + r + 1) 0 (mod k ).
Введ?м обозначение c = c1 - s. Тогда (l + 1)c 0 (mod k ) и

3c

s2 + 4st + t2 + s + t (l + r + 1) - 2s + t - tl - sr 2 s2 + t 2 + s + t (l + r + 1) - s + t - tl + sl - s(l + r + 1) 2 s2 + t 2 + s + t (l + r + 1) + (s - t)(l - 1) (mod k ), 2

то есть мы получаем требуемые соотношения. Оста?тся заметить, что из равенств, входящих в формулировку следствия, следуют тождества (14), (15), (16) и равенство (s2 + st + t2 )(l + r + 1) 0.

обязательно примитивным, см. пример 5.2) торическим максимально симметричным ориентированным атомом Y = T(s,t) шестиугольного типа (s, t), s > 0, t 0, см. Теорему 1.14, классифицируются парами (k , r), k N, r Zk , удовлетворяющими условиям:
s(2r + 1) 0 (mod k ), t(2r + 1) 0 (mod k ).

Следствие 6.6. Отображения типа примитивизации f : X Y над (не

k Ориентированный атом X имеет род g = (s2 + st + t2 )( 32 - 1+gcd(k,r) ) + 1, 2 2 2 2 2 2 сложность 3k (s + st + t ), s + st + t белых клеток и 2(s + st + t2 ) gcd(k , r) ч?рных клеток, прич?м каждая его белая клетка имеет 6k сторон, а каждая 3 его ч?рная клетка имеет gcd(k ,r) сторон. k

Доказательство. Рассмотрим на универсальном накрытии репер Oe1 e2 с началом координат в центре белой клетки и порождающим базисом индуцированного клеточного разбиения плоскости. Тогда центры белых клеток это 1 точки вида (x, y ), центры ч?рных клеток имеют координаты (x + 3 , y + 1 ) и 3 2 2 1 1 1 (x + 3 , y + 3 ), а вершины координаты (x, y + 2 ), (x + 2 , y ) и (x + 2 , y + 1 ), где 2 x, y Z. 1 1 1 1 Рассмотрим ломаную, проходящую через точки U1 ( 10 , - 10 ), V1 (s+ 10 , - 10 ) и 1 1 1 1 W1 (s + 10 , t - 10 ), а также ломаную, проходящую через точки U2 ( 10 , 0), V2 ( 10 , s) 1 и W2 (-t + 10 , s + t). Тогда атом Y получается при факторизации плоскости по -- - -- - группе, порожд?нной сдвигами на вектора U1 W1 и U2 W2 . При проекции на атом Y ломаные переходят в замкнутые кривые 1 и 2 . Так как в данном случае шашечное разбиение белых клеток (см. Определение 1.4.В) невозможно, то отображения примитивизации над Y классифицируются наборами (k , r, c1 , c2 ), k N, r, c1 , c2 Zk , удовлетворяющими условиям
([a 1 ]) = c1 , ? (s2 + st + t2 )(2r + 1) 0 (mod k ), ([a 2 ]) = c2 , ([b 1 ]) = lc1 , ([b 2 ]) = lc2 , ? ? ?

где : H1 (Y0 ; Z) Zk есть гомоморфизм монодромии из Следствия 6.1, ci = ? ([i ]), i = 1, 2, а автоморфизм (a) группы гомологий теперь индуцирован ? вращением Ra плоскости (т.е. универсального накрытия атома Y ) на /3 вокруг точки O(0, 0), и автоморфизм (b) индуцирован центральной симметрией Rb в точке (-1/2, 0).

45


Так же, как и в следствиях, касающихся торических атомов других типов, мы приходим к системе уравнений:

c2 c1 , s(s - 1) t(t - 1) c2 - c1 - c2 + + (s2 + t2 )r, 2 2 2c1 (st + s + 2t) + 2(st + t)r, 2c2 (st + 2s + 2t) + 2(st + s + t)r.
Вычитая из равенства (19) равенство (18), получаем тождество (17) (18) (19)

s(2r + 1) 0 (mod k ).
Уравнение (17) можно переписать как

c1 -

s(s - 1) t(t - 1) - - (s2 + t2 )r 2 2

(mod k ).

Умножая равенство на 2 и вычитая его из уравнения (18), мы получим

0 (st + s + 2t) + s(s - 1) + t(t - 1) + 2(st + t)r + 2(s2 + t2 )r (s2 + st + t2 )(2r + 1) + t(2r + 1) t(2r + 1).
Нетрудно проверить, что из равенств

s(2r + 1) t(2r + 1) 0,

c1 -

s(s - 1) t(t - 1) - - (s2 + t2 )r 2 2

следуют уравнения (17), (18), (19) и равенство (s2 + st + t2 )(2r + 1) 0. ный ориентированный атом Y = T(2,1) квадратного типа (2, 1) (граф смежности белых клеток у этого атома равен K5 , см. Определение 1.4.В). Отвечающая этому атому карта на торе имеется в работе Л. Хеффтера [H1891, с.491]. Из Следствия 6.4 вытекает, что отображения примитивизации f : X Y над атомом однозначно задаются кратностью накрытия k 1, которая должна быть неч?тной. При этом r -1 и c k+3 , а порядки ветвления в центрах всех 2 двумерных клеток равны k . Ориентированный атом X имеет род g = 5k - 4, сложность 10k , 5 белых клеток и 5 ч?рных клеток, прич?м каждая его двумерная клетка имеет 4k сторон.

Пример 6.7. Рассмотрим торический примитивный максимально симметрич-

Пример 6.8. Рассмотрим максимально симметричный ориентированный атом Y = T(1,1) на торе треугольного типа (1, 1) (граф смежности белых клеток у этого атома равен графу Томсена K3,3 , см. Определение 1.4.В). Из Следствия 6.5 получаем, что отображения примитивизации f : X Y над атомом классифицируются тройками (k , l, c), k N, l, c Zk , которые удовлетворяют соотношениям
l2 1 (mod k ), 3c (l + 1)c 0 (mod k ).

При этом r -l - 1, порядки ветвления в центрах белых клеток равны k , k а в центрах ч?рных клеток gcd(k,l+1) . Ориентированный атом X имеет род

g = 3 3k-gcd(k,l+1) - 2, сложность 9k , 6 белых клеток и 3 gcd(k , l + 1) ч?рных 2 клеток, прич?м каждая его белая двумерная клетка имеет 3k сторон, а ч?рная gcd(6k +1) сторон. k,l
46


7 Нахождение примитивных максимально симметричных атомов
Как выше, во всех утверждениях под ориентированным атомом понимается ? класс изоморфности оснащ?нной пары (P , K )# , а во всех доказательствах он ? понимается как оснащ?нная пара (P , K )# , см. Замечание 1.8.

Теорема 7.1. Пусть числа d, S N удовлетворяют условиям
d + 1 < S < 2d,
S d

{

k+1 k

| k N};

для любого разложения d = d1 d2 на взаимно простые множители d1 , d2 N выполнено d + d1 + d2 S . Тогда не существует примитивного максимально симметричного ориентированного атома (см. Определение 5.1), имеющего ровно S белых клеток, являющихся d-угольниками. Доказательство. Предположим, что X примитивный максимально симметричный ориентированный атом, имеющий ровно S белых клеток, являющихся d-угольниками. Шаг 1. Пусть e = e1 белая клетка, e2 , . . . , ed+1 смежные с ней белые клетки (см. Определение 1.4.В), ed+2 , . . . , eS остальные белые клетки атома X . Покажем, что клетки ed+2 , . . . , eS попарно не смежны (это очевидно при S = d + 2). Предположим, что клетки ed+2 , ed+3 смежные (поэтому d + 2 < S ). Рассмотрим симметрию a Aut(X ), переводящую e в себя и являющуюся элементарным поворотом вокруг центра клетки e. Пусть a(ei ) = ea(i) , a S . Тогда ^ ^ a(1) = 1, и в представлении подстановки a в виде произведения независимых ^ ^ циклов цикл, содержащий 2, имеет длину d, а длины остальных циклов являются делителями числа d (поскольку ad = idX , а потому ad тождественная под^ становка). Пусть d1 , d2 длины двух циклов, содержащих d + 2, d + 3, соответственно. Покажем сначала, что их наименьшее общее кратное d := lcm(d1 , d2 ) меньше чем d. Если эти два цикла совпадают, то d1 = d2 = d | d и d + d < S , а потому d < d в силу предположения S < 2d. Если эти два цикла различны, то d | d и d + d1 + d2 < S , а потому d < d в силу второго предположения настоящего утверждения. Имеем ad (ei ) = ei при i = d + 2, d + 3. Так как симметрия ad Aut(X ) переводит в себя каждую из смежных белых клеток ed+2 , ed+3 , а X примитивен, то ad = idX , см. Утверждение 5.8.Б. Это противоречит тому, что a элементарный поворот клетки e, имеющий порядок d > d, см. выше. Шаг 2. Для любой белой клетки ei атома X обозначим через Ei множество белых клеток, не смежных с ei , Ei := Ei {ei }. По построению E1 = {e1 , ed+2 , . . . , eS }. Из шага 1 следует, что Ei E1 для любого i = d + 2, . . . , S . Из симметричности атома X следует, что |Ei | = |E1 | = S - d для любого i = 1, . . . , S . Поэтому Ei = E1 для любого i = d + 2, . . . , S , откуда любые два подмножества Ei , Ej либо совпадают, либо не пересекаются, 1 i, j S . Это да?т разбиение множества белых клеток {e1 , . . . , eS } на попарно не пересекающиеся (S - d)-элементные подмножества Ei . Поэтому (S - d) | S , т.е. k k := S S d N \ {1}, откуда S = k-1 , что противоречит первому условию. - d

Следствие 7.2. Пусть p неч?тное простое число или p = 4, и пусть S N, p + 1 < S < 2p, S { k+1 | k N}, d {p, 2p}. Тогда любой максиp k мально симметричный ориентированный атом X , имеющий ровно S белых

47


клеток, являющихся d-угольниками, непримитивен и обладает отображением примитивизации степени d на ориентированный атом Xprim = DS . В 2 частности, такого атома X не существует, если выполнено одно из следующих двух условий: (а) d = p = 4; (б) p = 4, d {4, 8} и S неч?тно. Доказательство. Предположим, что X максимально симметричный ориентированный атом, имеющий ровно S белых клеток, являющихся dугольниками. Так как X имеет S > 1 белых клеток, то определена его примитивизация Xprim , см. Определение 5.3. При этом d(Xprim ) < S , и d(Xprim ) является делителем числа d, а потому d(Xprim ) {1, 2, p} (так как p простое или p = 4). Если d(Xprim ) = 1, то Xprim B1 = C1 и S = 2 p + 1, что противоречит условию следствия. Если d(Xprim ) = p, то Теорема 7.1 приводит к противоречию с примитивностью ориентированного атома Xprim , см. Утверждение 5.5. Поэтому d(Xprim ) = 2, откуда d ч?тно и Xprim = DS . При этом степень отображения примитивизации pX : X Xprim равна d , откуда d неч?тно 2 2 в случае неч?тного S , согласно примеру 6.3.А.
Следующее утверждение показывает, что примитивные максимально симметричные ориентированные атомы, имеющие ровно S 2 белых клеток, являющихся d-угольниками, классифицируются парами (a, ^) подстановок a, ^ S ^b ^b с разложениями в произведения независимых циклов вида a = (1)(2 . . . d + 1) . . . ^ и ^ = (12) . . . и со свойствами 1,2,4 ниже, рассматриваемыми с точностью до b преобразования (a, ^) ( a -1 , ^ -1 ), где S любая подстановка со ^b ^ b свойством (i) = i при 1 i d + 1. Это описание примитивных максимально симметричных ориентированных атомов аналогично определению максимально симметричного ориентированного атома как копредставления конечной группы с двумя образующими, см. Определение 1.10.

ный ориентированный атом, состоящий из S белых клеток, являющихся dугольниками. Пусть a = ae , b = bA Aut(X ) образующие группы симметрий атома, см. Утверждение 2.8, и пусть a, ^ S индуцированные ^b подстановки множества белых клеток, отождествл?нного с множеством {1, . . . , S }, так что разложения подстановок a, ^ в произведения независимых ^b циклов имеют вид a = (1)(2 . . . d + 1) . . ., ^ = (12) . . .. Тогда ^ b 1. ad = ^2 = id; ^ b 2. подгруппа G = a, ^ S , порожд?нная подстановками a, ^, транзи^b ^b тивно действует на множестве {1, . . . , S }; 3. эпиморфизм Aut(X ) G, a a, b ^, является изоморфизмом, т.е. ^ b имеет тривиальное ядро; 4. |G| = S d; 5. для любых , G со свойством ((1)) = (1) выполнено
-1

Утверждение 7.3. Пусть X примитивный максимально симметрич-

a . ^

Обратно, для любой пары подстановок a, ^ S вида a = (1)(2 . . . d + 1) . . . и ^b ^ ^ = (12) . . ., обладающей свойствами 1,2,4 выше, существует единственный b (с точностью до изоморфности) примитивный максимально симметричный ориентированный атом X , для которого количество белых клеток равно S и существует такая нумерация белых клеток, что образующие a, b Aut(X ) группы симметрий атома X индуцируют подстановки a, ^ S множества ^b белых клеток.
48


Доказательство. Проверим необходимость. Свойство 1 следует из тождества ad = b2 = idX . Свойство 2 означает, что группа симметрий атома транзитивно действует на множестве белых клеток. Для максимально симметричного атома это верно. Свойство 3 следует из примитивности атома и Утверждения 5.8.Б. Свойство 4 непосредственно следует из свойства 3. Для проверки свойства 5 достаточно показать, что если (1) = 1, где G, то a . Пусть g Aut(X ) ^ симметрия атома, соответствующая . Тогда g переводит белую клетку 2 в клетку i, смежную с клеткой 1. Следовательно, (2) = i, где 2 i d + 1. Тогда a-i (1) = 1, a-i (2) = 2, откуда a-i = id и = ai . ^ ^ ^ ^ Докажем достаточность. Группа G с выделенными образующими a, ^ одно^b значно определяет максимально симметричный ориентированный атом X , см. Определение 1.10 и последующий текст. Возьм?м произвольную белую клетку e X . Множество белых клеток отождествляется с множеством смежных классов G/ a посредством сопоставления g a g (e). С другой стороны, из ^ ^ свойств 2 и 4 следует, что отображение G {1, . . . , S }, (1), индуцирует биекцию G/ a {1, . . . , S }. Таким образом, имеется взаимно однознач^ ное соответствие между двумерными белыми клетками атома X и множеством {1, . . . , S }, задаваемое формулой g (e) g (1), g G. Покажем, что любая симметрия g G атома X индуцирует на множестве его белых клеток подстановку g S , совпадающую с g . Для любого ^ i {1, . . . , S } фиксируем такую симметрию gi G, что gi (1) = i. Тогда для любых g G и i {1, . . . , S } имеем g (i) = g gi (1) = g (gi (1)) = g (i), откуда g = g . ^ ^ Предположим, что атом X непримитивен. Тогда существует симметрия ak = idX , которая оставляет на месте все белые клетки, т.е. соответствующая подстановка на множестве {1, . . . , S } тривиальна. Но это означает, что ak = id. ^ Противоречие с доказанным выше равенством ak = ak . ^

Теорема 7.4. Пусть d N, S = d + 2, и пусть X примитивный максимально симметричный ориентированный атом (см. Определение 5.1), имеющий ровно S белых клеток, являющихся d-угольниками. Тогда d {2, 4}, и X является сферическим ориентированным атомом D4 или P2 , см. 1.4.

Доказательство. Шаг 1. В обозначениях доказательства Теоремы 7.1, имеем разбиение белых клеток e1 , . . . , eS атома X на пары несмежных клеток, см. шаг 1 и начало шага 2 доказательства этой теоремы. В частности, S ч?тно. Рассмотрим единственную инволюцию S , такую что клетки ei , e (i) несмежные, 1 i S . Найд?м е? представление в виде произведения независимых циклов. Для любой симметрии g Aut(X ) ориентированного атома X рассмотрим подстановку g S со свойством g (ei ) = eg(i) , 1 i S . Тогда клетки g (ei ) = ^ ^ eg(i) , g (e (i) ) = eg (i) несмежные, 1 i S , откуда g = g . По построению ^ ^ ^ ^ в доказательстве Теоремы 7.1, a = (1)(23 . . . d + 1)(d + 2) и ^ = (12) . . ., откуда ^ b = (1, d + 2)(2, 2 + x) . . . для некоторого x [1; d - 1]. Значит,
a = (1)(23 . . . d + 1)(d + 2), ^ ^ = (12)(d + 2, 2 + x) . . . . b

Обозначим G = a, ^ S . Получаем эпиморфизм Aut(X ) G, g g (в дей^b ^ ствительности, он является изоморфизмом в силу Утверждения 5.8.Б и примитивности атома X ). По доказанному выше,

=

для любого G.

(20)

Поэтому для любого i = 0, . . . , d - 1 имеем (2 + i) = ai (2) = ai (2) = ai (2 + x) = ^ ^ ^ 2 + x + i, где y [0; d - 1] остаток от деления числа y N на d. Так как 2 = id,

49


то 2 = 2 (2) = (2 + x) = 2 + 2x, откуда x = d . Это да?т разложение 2

d d d = (1, d + 2)(2, 2 + )(3, 3 + ) . . . ( + 1, d + 1). 2 2 2

(21)

Шаг 2. Рассмотрим независимые циклы 1 = (1, d + 2), i = (i, i + d ), 2 2 i d + 1 = S , в разложении (21) инволюции . Тогда = 1 . . . S/2 и 2 2

ad/2 = 2 . . . S/2 = 1 G. ^
Для любого G рассмотрим цикл 1 -1 . Тогда 1 -1 ( (1)) = 1 (1) = (1) = (1) в силу (20). В частности, для i = ai-2^, 2 i = i (1) S , ^b 2 -1 имеем i 1 i = i . Отсюда и из (20) при любом i = 2, . . . , S имеем инволюцию 2

i ad/2 ^

-1 i

- - = i (1 )i 1 = (i 1 i 1 )(i

-1 i

) = i G.

Шаг 3. Рассмотрим в группе G подгруппу H , порожд?нную построенными - на шаге 2 инволюциями ad/2 = 1 , i ad/2 i 1 = i , i = 2, . . . , S . Так как ^ ^ 2 инволюции 1 , . . . , S/2 попарно коммутируют и = 1 . . . S/2 , то группа H абелева и имеет следующие образующие:

H = i | 1 i

S 2

при 4 | S,

H = 1 i | 2 i

S 2

при 4 S.

Поэтому H (Z2 )2k , где k = [ S ]. Покажем, что k = 1. Так как H G, ^ G \ H b 4 ^2 = id, то 2|H | = 22k+1 делит |G| = |Aut(X )| = S d = 8k (2k + 1). Здесь мы иb использовали изоморфизм G Aut(X ), см. шаг 1, а также равенства

(S, d) = (4k , 2(2k - 1)) при 4 | S,

(S, d) = (2(2k + 1), 4k ) при 4 S.

Таким образом, 22k+1 | 8k , откуда 4k | 4k , а потому 4k 4k . Так как 4k есть произведение k четв?рок, а 4k есть сумма k четв?рок, то k = 1. Шаг 4. Пусть 4 | S . По шагу 3 имеем (S, d) = (4, 2), а потому X = D4 . Пусть теперь 4 S . По шагу 3, (S, d) = (6, 4). По шагу 1, a = (1)(2345)(6), ^ ^ = (12)(46) . . ., откуда ^ = (12)(46)(35) или ^ = (12)(46)(3)(5). = (16)(24)(35) и b b b Но если ^ = (12)(46)(3)(5), то нетривиальная симметрия b Aut(X ) оставляет b на месте две смежные белые клетки e3 , e5 , что невозможно для примитивного атома, согласно Утверждению 5.8.Б. Таким образом, ^ = (12)(46)(35). Сейчас b мы можем определить циклический порядок, в котором белые клетки примыкают к любой белой клетке. Например, для клетки e2 получаем, что действие элементарного поворота этой клетки имеет вид ^a^-1 = (1563)(2)(4), т.е. цикb^b лический порядок примыкания к этой клетке следующий: e1 , e5 , e6 , e3 . Зная циклические порядки примыкания, можно однозначно восстановить клеточное разбиение примитивного ориентированного атома, а потому и сам ориентированный атом. В данном случае мы получаем ориентированный атом P2 , усеч?нный куб. мально симметричных ориентированных атомов, имеющих ровно S 2 белых клеток, являющихся (S - 1)-угольниками. Граф смежности белых клеток (см. Определение 1.4.В) такого атома это полный граф KS .

Случай S = d + 1. Докажем Теорему 1.18 классификации примитивных макси-

Доказательство Теоремы 1.18. Шаг 1. Пусть X примитивный максимально симметричный ориентированный атом, у которого граф смежности белых клеток равен KS . Пусть G = Aut(X ) группа его симметрий. Так как атом примитивен, то любая его симметрия однозначно зада?тся своим действием на
50


множестве белых клеток (см. Утверждение 7.3), так что можно рассматривать G как подгруппу в группе подстановок S . Порядок группы G равен S (S - 1). Так как любая симметрия примитивного атома, оставляющая на месте две смежные белые клетки (см. Определение 1.4.В), является тривиальной (см. Утверждение 5.8.Б), то G = {id} C0 C1 , где Ck , k = 0, 1, симметрии атома, оставляющие на месте k белых клеток. Множество C1 состоит из вращений белых клеток, то есть элементов ak , i = 1, . . . , S, k = 1, . . . , S - 2, где i ai G элементарное вращение i-й белой клетки. Количество элементов в подмножестве C1 равно S (S - 2). Порядок любого элемента из C1 делит S - 1. Количество элементов в C0 равно S (S - 1) - S (S - 2) - 1 = S - 1. Пусть g C0 . Не ограничивая общности, можно считать, что g (1) = 2 и что элементарное вращение клетки 1 есть подстановка вида a1 = (1)(23 . . . S ). Тогда элементы gk = ak g a-k , k = 0, . . . , S - 2, лежат в C0 и все различны, так как gi (1) = i + 2. 1 1 Таким образом, все элементы C0 сопряжены. Подстановка g C0 разлагается в произведение независимых циклов. Пусть p длина наименьшего цикла в g . Имеем p > 1, так как g не имеет инвариантных белых клеток. Так как g p оставляет неподвижными не менее p белых клеток, то g p = id. Следовательно, длина любого цикла в g равна p, так что порядок p элемента g делит S . Предположим, что p составное: p = st. Рассмотрим элемент g = g s . Он лежит в C0 , так как g = id и его порядок t взаимно прост с S - 1. Тогда он сопряж?н элементу g и, таким образом, разбивается в произведение независимых циклов длины p. Однако по определению циклы элемента g имеют длину t < p, и мы приходим к противоречию. Следовательно, число p простое. Пусть q некоторое простое число, делящее S . Рассмотрим произвольный нетривиальный элемент g из силовской q -подгруппы группы G. Порядок элемента g равен q t и взаимно прост с S - 1. Следовательно, g C0 . Но порядок любого элемента в C0 равен p, следовательно, q = p. Тогда S = pl для некоторого l N. Шаг 2. Заметим, что H = {id} C0 является силовской p-подгруппой группы G. Тогда центр группы H нетривиален [Ленг, теорема I.3]. Так как все нетривиальные элементы в H сопряжены и H нормальна, то H коммутативна. Следовательно, H изоморфна группе (Zp )l . При этом автоморфизм Ada1 |H : H H, h a1 ha-1 , является линейным оператором, если H рас1 сматривать как векторное пространство над Zp . Рассмотрим в G циклическую подгруппу R = a , a = a1 , вращений вокруг центра первой белой клетки. Порядок подгруппы R равен S - 1. Так как R H = {id} и H нормальна, то G есть полупрямое произведение R и H . В частности, любая симметрия атома g G имеет вид g = ak h, 0 k < S - 1, h H . Если p ч?тно, то симметрия b = b12 , переставляющая между собой белые клетки 1 и 2, принадлежит подгруппе H . Если же p неч?тно, то b = ak h, 0 < k < S - 1, h H . Так как b2 = id, то a2k = id, откуда k = S -1 . При этом 2 h = id, так как b(1) = 2 = 1 = ak (1). Положим теперь h = b, если p = 2, и h = a-(S -1)/2 b, если p неч?тно. Тогда h H и h = id. Обозначим hk = ak ha-k , k = 0, . . . , l - 1. Тогда элементы h = h0 , . . . , hl-1 образуют базис H как векторного пространства над полем Zp . Действительно, если элементы h0 , . . . , hl-1 линейно зависимы, то они порождают подпространство V H , инвариантное относительно оператора Ada |H . Но, действуя Ada |H на нетривиальный элемент h0 , мы получим все ненулевые элементы векторного пространства H , поэтому V = H . Противоречие.

51


В базисе h0 , . . . , hl

-1

автоморфизм Ada |H зада?тся матрицей 0 . . . . . . 0 c0 1 0 . . . 0 c1 . . . , 0 ... ... . . . . . .. 1 0 c . . l -2 0 . . . 0 1 cl-1

где c0 , . . . , cl-1 Zp . Заметим, что числа c0 , . . . , cl-1 определены однозначно, если только фиксированы образующие a, b группы симметрий G. Рассмотрим факторкольцо Zp [t]/(f ), где f = tl - cl-1 tl-1 - ћ ћ ћ - c1 t - c0 . Имеется изоморфизм абелевых групп H : H (Zp [t]/(f ), +) (а потому и изоморфизм векторных пространств над Zp ), такой что H (hk ) = tk , k = 0, . . . , l - 1. При этом изоморфизме оператору Ada |H соответствует оператор умножения на t в кольце Zp [t]/(f ). Изоморфизм H вместе с изоморфизмом R : R ZS -1 , переводящим a в 1 ZS -1 , позволяет отождествить группу G с группой ZS -1 (Zp [t]/(f ), +), состоящей из пар (u, v ), u ZS -1 , v Zp [t]/(f ), с умножением

(u1 , v1 ) ћ (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , t-

u

2

ћ v1 + v2 ),

u1 , u2 ZS

-1

, v1 , v2 Zp [t]/(f ).

При этом отождествлении элементу a соответствует пара (1, 0), а элементу b при p = 2 отвечает пара (0, 1), а при неч?тном p пара ( S -1 , 1). Элемент 2 h = h0 H переходит в (0, 1), а элемент h1 H в (0, t). Шаг 3. Рассмотрим кольцо Zp [t]/(f ) более внимательно. Поскольку порядок оператора Ada |H в H , а значит, и оператора умножения на t в Zp [t]/(f ), равен S - 1, то f | (tS -1 - 1), но f (tr - 1) для каждого r < S - 1. Известно [AR, теорема 7.2], что в Zp [t] при любом l N выполнено соотношение

t(t

pl -1

- 1) =
d|l f
d

непр.

fd (t),

(22)

где внутреннее произведение бер?тся по всем неприводимым многочленам fd степени d со старшим коэффициентом 1. Предположим, что f приводим и d1 , . . . , dm степени неприводимых многочленов в разложении f . Тогда d1 + ћ ћ ћ + dm l. Заметим, что все неприводимые делители f различны (в силу (22) и единственности разложения элементов Zp [t] со старшим коэффициентом 1 на неприводимые множители со старшим коэффициентом 1) и среди них нет t, так как t (tS -1 - 1). Поскольку по (22) неприводимый многочлен d степени d делит t(tp -1 - 1), то f делит наименьшее общее кратное многочленов d1 dm tp -1 - 1, . . . , tp -1 - 1. Следовательно, f делит многочлен

t

m k=1

(pdk -1)

- 1.

При этом многочлен имеет степень r = k=1 (pdk - 1) < pl - 1 = S - 1. Таким образом, f | (tr - 1), что противоречит свойствам многочлена f . Следовательно, f неприводим. Поэтому кольцо Zp [t]/(f ) является полем из pl элементов. Элемент t Zp [t]/(f ) является корнем многочлена f . Так как порядок оператора умножения на t равен S - 1, то все элементы tk , 0 k S - 2, различ ны. С другой стороны, мультипликативная группа (Zp [t]/(f )) конечного поля Zp [t]/(f ), состоящая из всех ненулевых элементов поля, является циклической по [AR, теорема 7.1] и имеет порядок S - 1, поэтому t должен быть образующей этой группы. Шаг 4. Таким образом, мы показали (см. шаги 2,3), что группа симметрий G с заданными образующими a, b однозначно определяет неприводимый 52

m


многочлен f над Zp степени l, корень которого является образующей мультипликативной группы в некотором поле, состоящем из pl элементов. Заметим, что все конечные поля из pl элементов изоморфны между собой [Ленг, теорема VII.10]. Пусть, наоборот, дано простое число p и неприводимый многочлен f Zp [t] степени l, который имеет корень t0 в поле F из pl элементов, являющийся образующей мультипликативной группы F этого поля. Определим группу G порядка pl (pl - 1) как полупрямое произведение Zpl -1 (F, +) с умножением

(u1 , v1 ) ћ (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , t

-u 0

2

v1 + v2 ),
l

u1 , u2 ZS

-1

, v 1 , v2 F .

(23)

- Положим a = (1, 0), b = (0, 1) или ( p 2 1 , 1) в зависимости от ч?тности p. Тогда l a имеет порядок p - 1, b порядок 2, и элементы a, b порождают группу G. Группе G соответствует примитивный атом с pl белыми клетками, каждая из которых имеет pl - 1 сторон, так что граф смежности белых клеток является полным. Действительно, примитивность атома следует из того, что циклическая подгруппа R = a не содержит нетривиальных подгрупп, нормальных в G. Количество белых клеток равно индексу подгруппы R. Число сторон у белой клетки равно порядку подгруппы R. Таким образом, каждому неприводимому многочлену над Zp , корень которого является образующей мультипликативной группы поля F , однозначно соответствует примитивный максимально симметричный ориентированный атом, у которого граф смежности белых клеток является полным. Шаг 5. Найд?м количество неприводимых многочленов f над Zp степени l, корни которых являются образующими мультипликативной группы поля F из pl элементов. Мультипликативная группа поля F является циклической группой порядка pl - 1. Количество порождающих этой группы равно числу (pl - 1) вычетов, взаимно простых с pl - 1. Таким образом, в F есть (pl - 1) образующих. Если t0 F одна из них, то существует единственный (со старшим коэффициентом, равным 1) неприводимый над Zp многочлен f Zp [t], такой что f (t0 ) = 0. Степень f равна l, так как t0 порождает F (см. шаг 2). С другой стороны, если f Zp [t] неприводимый многочлен степени l, такой что f (t0 ) = 0 для некоторой образующей t0 группы F , то поскольку поле F k l-1 нормально над полем Zp [Ленг, теорема VII.13], f (t) = k=0 (t - tk ), tk = tp F 0

(в самом деле, f (tp ) = f (t0 )p = 0). Все корни tk различны и являются образу0 ющими мультипликативной группы, так как pk взаимно просто с pl - 1. Таким образом, одному многочлену соответствует l образующих. Следовательно, количество различных неприводимых многочленов (со старшим коэффициентом 1), корнями которых являются образующие мультипликативной группы, равно (pl -1) . Пункт (А) теоремы доказан. l Шаг 6. Чтобы посчитать количество ч?рных клеток и род атома, достаточно определить число d сторон у ч?рной клетки, которое равно порядку элемента ba-1 в группе G. Этот порядок равен d = 2 при S = 2, d = 3 при S = 3, d = S - 1 для ч?тных S > 2 или в случае S 1 (mod 4) и, наконец, d = S -1 , 2 если S 3 (mod 4) и S > 3. Это доказывает пункт (Б). n,f Шаг 7. Докажем пункт (В). Пусть G группа симметрий атома KS , a, b е? стандартные образующие, см. Утверждение 2.8. Используя рассуждения шагов 14, мы можем отождествить G с полупрямым произведением Zpl -1 (F, +), в котором умножение зада?тся формулой (23), где t0 F и f (t0 ) = 0. При этом отождествлении a переходит в (1, 0), а b в (0, 1) (если p = 2) или l - в ( p 2 1 , 1) (если p > 2). Из формулы для умножения следует, что имеется совпадение автоморфизмов Ada |H = t0 ћ : H H аддитивной группы H поля F , 53

k

k


где Ada |H есть ограничение на H = (F, +) внутреннего автоморфизма группы G, а t0 ћ действует как умножение элементов поля F на корень t0 . 1. Замена ориентации на атоме означает, что мы переходим от пары образующих a, b к образующим a-1 (вращение белой клетки в противоположном направлении), b, см. Определение 1.10. Но Ada-1 |H = Ad-1 |H = t-1 ћ. Элемент a 0 ? t-1 является корнем многочлена f , а также образующей мультипликативной 0 группы поля F , прич?м a-1 = a . Поэтому группа симметрий G = a-1 H ? n,f -1 с новыми образующими a , b отвечает ориентированному атому KS . 2. Переход от ориентированного атома к двойственному эквивалентен тому, что мы теперь рассматриваем пару образующих ba-1 (вращение ч?рной клетки), b группы G. В случае p = 2 имеем Adba-1 |H = Ada-1 |H = t-1 ћ, так как 0 b F и H = (F, +) абелева как аддитивная группа. Элемент t-1 является 0 корнем многочлена f , а также образующей мультипликативной группы поля F , прич?м при l 2 выполнено (ba-1 )S -1 = id в силу d = S - 1, см. шаг 6. n, ? n,f Поэтому G = ba-1 H и мы получим ориентированный атом KS f = KS . Пусть S неч?тно. Из t0
S -1 2

Ad

d { S - 1, }, см. шаг 6. Элемент -t является корнем многочлена f , а при S 1 (mod 4) он является также образующей мультипликативной группы n,f поля F . Поэтому G = ba-1 H и двойственным атомом является KS .
Рассмотрим на ориентированном атоме Y = An (см. 1.4) следующий набор замкнутых путей 1 , . . . , 2g (Y0 , y0 ), где g = [ n ] род атома. А именно, 2 пусть замкнутый путь j отвечает слову

a

S -1 -1 2

|

H

=t
S -1 2

0

S -1 2

= -1 имеем t
-1 0

0

S -1 2

-1

= -t- 0 )

1

и Adba-1 |

H

=

-1

ћ=-

t-1 0

ћ, см. шаг 2. При этом (ba

-1 S -1

= id в силу

Wj = aj ~

-1

[a, ~]a ~ b~

1-j

= aj ~a ~ b~

-1

~a1 b~

-j

a, ~ | ~2 = Z Z2 , ~b b

1 j 2g ,

(24)

см. Замечание 4.8.А. Эти пути замкнуты, так как проекция слова W1 = a~a-1~ = [a, ~] в группу Aut(An ) = a, b | b2 , an b ~b~ b ~b Z2n тривиальна, в силу абелевости этой группы. При интерпретировании атома Y = An как функции Морса или пары (P, K ) (см. Определение 1.2) пути j являются уникурсальными окружностями атома (т.е. гладкими регулярными окружностями на графе K ), а в терминах Определения 1.5 многоугольниками Петри соответствующей карты (см. [MS, 5.2 и 8.5]). Нетрудно показать, что петли 1 , . . . , 2g задают набор образующих группы H1 (Y ; Z) Z2g , см. обозначение 4.14.

Утверждение 7.5. Пусть X примитивный максимально симметричный ориентированный атом с графом смежности KS белых клеток, S 2. (А) Если S ч?тно, то атом X неприводим (см. Определение 3.5). (Б) Пусть S неч?тно. Тогда атом X приводим и допускает неразветвл?нное накрытие X A S-1 кратности S с абелевой группой монодромии 2 H G = Aut(X ), где H является нормальным замыканием симметрии S -1 a 2 b G (см. Определение 2.6 и Утверждение 2.8) и изоморфна абелевой группе (F, +) поля F из S элементов. Подгруппа H содержится в любой нетривиальной нормальной подгруппе группы G и является единственной n,f абелевой подгруппой среди всех таких подгрупп. Пусть X = KS , см. Теорему 1.18, и пусть t0 F и f (t0 ) = 0. Определим автоморфизмы l, m Aut(F, +) и элементы q , r, c1 , . . . , c2g F формулами l = (-1)ћ, m = t0 ћ, q = r = 0, cj = tj -1 , 1 j 2g , где g = [ S -1 ] род атома A S-1 . Тогда накрытие 0 4 2 X A S-1 отвечает набору (l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ), рассматриваемому с точно2 стью до преобразований (5), см. Теорему 4.15.

54


Доказательство. В обозначениях доказательства Теоремы 1.18, имеем G = Aut(X ) ZS -1 H , где H = (F, +) абелева группа поля F = Zp [t]/(f ) для некоторого неприводимого многочлена f Zp [t] степени l. При этом a = (1, 0), H = {id} C0 , G = {id} C0 C1 , все элементы множества C0 попарно сопряжены, а любой элемент множества C1 сопряж?н элементу au для некоторого ~ u Z, 0 < u < S - 1. Пусть H G любая нетривиальная нормальная под~ ~ группа. Если H = H , то au = (u, 0) H для некоторого u Z, 0 < u < S - 1, ~ откуда H [(u, 0), (0, 1)] = (0, tu - 1) = (0, 0), так как t F образующая ~ мультипликативной группы F ZS -1 поля F . Поэтому H H , прич?м в ~ ~ случае H = H группа H неабелева. ~ (А) Пусть S ч?тно. Так как b = (0, 1) H H , то атом X неприводим. (Б) Пусть S неч?тно. Тогда H является нормальным замыканием элемента S -1 a 2 b = (0, 1). Так как b = ( S -1 , 1) H , имеется симметричное разветвл?н2 ное накрытие X X/H , см. Определение 4.1. Покажем, что ориентированный атом X/H изоморфен A S-1 . Рассмотрим в факторгруппе G/H элементы
aH, bH . При отождествлении G/H = ZS -1 имеем aH = 1, bH = S -1 . Поэто2 му имеется изоморфизм G/H Aut(A S-1 ), переводящий элементы aH, bH в 2 стандартные образующие группы Aut(A S-1 ). Вместе с Определением 1.10 и 2 пунктом 5 Утверждения 3.3, это доказывает изоморфность ориентированных атомов X/H и A S-1 . Поэтому имеется симметричное (вообще говоря, разветв2 л?нное) накрытие X A S-1 . 2 Осталось вычислить набор (l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ), отвечающий этому накрытию, и показать, что оно является неразветвл?нным. Из Теоремы 1.18.Б следует, что у атомов X и A S-1 количества сторон белых клеток одинаковы и 2 равны d = S - 1, а количества сторон ч?рных клеток тоже одинаковы и равны d {S - 1, S -1 }. То есть, порядки элементов a = (1, 0) G и aH G/H оба 2 равны S - 1, а порядки элементов ba-1 = ( S -1 - 1, t) G и ba-1 H G/H оба 2 равны d , см. выражение для d в доказательстве Теоремы 1.18, шаг 6. По Теореме 4.15, с точностью до преобразований (5) имеем q = ([]), r = ? ([ ]), cj = ([j ]), 1 j 2g , m = (aH ) и l = (bH ). Петли , , j на ? ? ориентированном атоме Y = A S-1 отвечают словам ad = aS -1 , (~a-1 )d , Wj = ~ ~ b~ 2 j -1 ~]a1-j Z Z2 , соответственно, см. обозначение 4.14, Замечание 4.8.А a [a, b ~ ~ ~ и (24). Отсюда и из Замечания 4.11.А имеем q = ([]) = aS ?
-1
2

= (0, 0) = 0,
-1

r = ([ ]) = (ba ? = (0, t
j -1

-1 d

)

= (0, 0) = 0 H, (1 - t) H,
S -1 2

cj = ([j ]) = aj ?

[a, b]a

1-j

(1 - t)) = t
H

j -1

m = (aH ) = Ada |H = tћ,

l = (bH ) = Adb |

= Ad

a

|

H

= (-1) ћ .

Так как 1 - t = 0 в H , то 1 - t = tv для некоторого v Z. Поэтому при преобразовании (5) с помощью автоморфизма = Ada-v |H = t-v ћ Aut(H ) набор (l, m, q , r, c1 , . . . , c2g ) переходит в требуемый набор ((-1)ћ, tћ, 0, 0, 1, t, t2 , . . . , t2g-1 ). Так как q = r = 0, то накрытие является неразветвл?нным, см. Замечание 4.17.

^ Пусть конечный связный граф без петель и кратных р?бер, группа сим^ метрий которого Aut() действует транзитивно на множестве его полур?бер. Пусть S 3 количество его вершин, d 3 степень любой его верши^ ^ ны, и пусть на графе задан подграф Z , являющийся простым циклом длины d 3, см. Замечание 5.9. Исследуем существование и единственность примитивного максимально симметричного неориентированного (и не обязательно ориентируемого) атома X (см. Определение 2.6 и Утверждение 2.8) со следующими свойствами:
55


^ 1. граф смежности белых клеток атома X изоморфен ;
2. имеется такая ч?рная клетка e X , что смежные с ней белые клетки e1 , . . . , ed , занумерованные в порядке циклического обхода границы клетки e , отвечают при указанном изоморфизме вершинам цикла Z , с сохранением циклического порядка вершин цикла, см. Замечание 5.9. Пусть L = L,Z двумерный клеточный комплекс, полученный приклейкой ^ ^ двумерных клеток вдоль S := |M (Z )| циклов множества M (Z ) := к графу ^ {g (Z ) | g Aut()}, по одной двумерной клетке вдоль каждого цикла этого множества. Фиксируем вершину A Z и рассмотрим оба полуребра r, r Z , содержащие эту вершину.

ствами:

Утверждение 7.6. Предположим, что цикл Z обладает следующими свой (симметричность) для любой сохраняющей ориентацию симметрии h ^ Aut(Z ) найд?тся такая симметрия g Aut(), что g (Z ) = Z , g |Z = h;
^ (ж?сткость) для любой симметрии g Aut() со свойством g (r r ) = ^ r r выполнено g (Z ) = Z , а для любых двух симметрий g1 , g2 Aut() со свойствами (r r ) g1 (r r ) = (r r ) g2 (r r ) = r выполнено g1 (r r ) = g2 (r r ).

Тогда к каждому ребру комплекса L = L,Z примыкает не более двух двумер^ ных клеток, и верны следующие утверждения: (А) Если примитивный неориентированный атом X с указанными выше свойствами 1, 2 существует, то он единствен, и отвечающее ему клеточное разбиение замкнутой поверхности на ч?рные двумерные клетки (см. Определение 1.5 и последующий текст) изоморфно клеточному комплексу L. В частности, комплекс L гомеоморфен замкнутой двумерной поверхности, а ориентируемость атома X равносильна ориентируемости этой поверхности. Ориентируемый атом X отражаем (см. Определение 1.4.Б) тогда и только тогда, когда условие симметричности, см. выше, выполнено для любой (не обязательно сохраняющей ориентацию) симметрии h Aut(Z ). (Б) Существование неориентированного атома X с указанными выше свойствами равносильно тому, что комплекс L гомеоморфен замкнутой двумерной поверхности (т.е. является абстрактным многогранником), а также равносильно выполнению следующих двух условий:
^ 1. существует такая симметрия g3 Aut(), что g3 (r ) = r и g3 (r) = r (т.е. к любому ребру комплекса L примыкает не менее двух двумерных клеток); ^ 2. пусть g3 Aut() некоторая (а значит, любая) симметрия из преды^ дущего условия; тогда сопоставление полуребру h(r) двух полур?бер ^ и h(A) = A, определяет циклический поh(r ) и h(g3 (r)), где h Aut() ^ рядок на множестве полур?бер графа , содержащих вершину A (т.е. любая вершина комплекса L не является локально разбивающей). ^ Доказательство. Покажем сначала, что каждое ребро графа принадлежит не более чем двум циклам множества M (Z ). В силу симметричности графа ^ ^ , достаточно это доказать для ребра r графа , содержащего полуребро r. ~ ^ Предположим, что r g (Z ) = Z1 = Z для некоторого g Aut(). Тогда ~ ~ ~ A Z1 . Рассмотрим поворот h Aut(Z ) цикла Z , переводящий вершину A Z в вершину g -1 (A) Z . В силу условия симметричности, найд?тся симметрия ~ ^ ^ g Aut() со свойствами g (Z ) = Z , g |Z = h. Положим g1 = g g Aut(), тогда ~
56


Z1 = g1 (Z ) и g1 (A) = A. Так как r Z1 = g1 (Z ) и g1 (A) = A, то в силу первого свойства в условии ж?сткости имеем g1 (r r ) = r r1 для некоторого полуребра r1 , содержащего A и отличного от полур?бер r и r . Предположим теперь, что имеется третий цикл Z2 M (Z ), содержащий ребро r и отличный от цикла Z . ~ ^ Как для цикла Z1 , имеем Z2 = g2 (Z ) для некоторой симметрии g2 Aut() со свойствами g2 (A) = A и g2 (r r ) = r r2 , где r2 некоторое полуребро, содержащее A и отличное от полур?бер r и r . Согласно второму свойству в - условии ж?сткости, r1 = r2 . Так как g1 (r r ) = g2 (r r ), то g2 1 g1 (r r ) = - r r , откуда по первому свойству в условии ж?сткости имеем g2 1 g1 (Z ) = ^ Z , т.е. g1 (Z ) = g2 (Z ). Таким образом, Z1 = Z2 , т.е. каждое ребро графа принадлежит не более чем двум циклам множества M (Z ). Значит, к каждому ребру комплекса L примыкает не более двух двумерных клеток. (Б) Пусть X примитивный атом, удовлетворяющий требуемым свойствам. Пусть C отвечающее атому X клеточное разбиение замкнутой поверхности на ч?рные двумерные клетки (грани), и пусть e его грань, отвечающая ч?р~ ной двумерной клетке e , см. Замечание 5.9. Его одномерный остов C 1 изо^ морфен графу , прич?м двумерная клетка e приклеивается к C 1 при помощи ~ ^ гомеоморфизма окружности в цикл (Z ) C 1 , где : C 1 изомор^ физм. Рассмотрим индуцированный гомоморфизм : Aut(C ) Aut(), и пусть ba-1 Aut(C ) элементарное вращение вокруг вершины A. Тогда d полур?бер ((ba-1 )l )(r), 0 l d - 1, содержат вершину A и попарно различны, прич?м (ba-1 )(r ) = r или (ba-1 )(r) = r . Положим g3 = (ba-1 ) или g3 = (ab), соответственно, тогда g3 (r ) = r. Так как d 3, то g3 (r) = r . Это доказывает свойство 1 в (Б). В частности, ребро r принадлежит двум циклам ~ Z и g3 (Z ), прич?м g3 (Z ) = Z в силу r r = r g3 (r) = g3 (r r ). Поэтому к каждому ребру примыкает не менее двух (а потому ровно две) граней комплекса C. ^ Докажем свойство 2 в (Б). Для построенной выше симметрии g3 Aut() и l для симметрий h = hl = g3 , 0 l d - 1, рассматриваемое сопоставление опре^ деляет циклический порядок на множестве полур?бер графа , содержащих вершину A (так как ba-1 является элементарным вращением вокруг вершины A). При h = id рассматриваемое сопоставление не зависит от выбора симметрии g3 , в силу второго свойства в условии ж?сткости. Поэтому (в силу симметрич^ ^ ности графа ) при любом h Aut() сопоставление тоже не зависит от выбора симметрии g3 и обладает требуемым свойством. Покажем, что свойства 1,2 в (Б) достаточны для существования атома X . В силу свойства 1 в (Б), к каждому ребру комплекса L примыкают ровно две двумерные клетки. В силу свойства 2 в (Б), каждая вершина комплекса L не является локально разбивающей. Поэтому комплекс L гомеоморфен замкнутой двумерной поверхности, т.е. определяет клеточное разбиение замкнутой двумерной поверхности. Разбиение L максимально симметрично, поскольку оно допускает элементарное вращение грани e (в силу условия симметричности) и ~ элементарное вращение g3 вокруг вершины A e, см. Утверждение 2.8. По~ этому соответствующий (неориентированный) атом максимально симметричен. (А) Пусть X примитивный (неориентированный) атом, удовлетворяющий требуемым свойствам, и пусть C отвечающее атому X клеточное разбиение замкнутой поверхности на ч?рные двумерные клетки (грани). Пусть ^ G = (Aut(C )) Aut(), M (Z ) := {g (Z ) | g G} M (Z ). По доказанному ^ выше, каждое ребро графа принадлежит не менее чем двум циклам множества M (Z ). Так как C является двумерной поверхностью, то таких циклов не ^ более двух (а потому ровно два). Поэтому каждое ребро графа принадлежит ровно двум циклам множества M (Z ), и к каждому такому циклу приклеена ровно одна двумерная клетка (грань) комплекса C . Отсюда и из свойства 1

57


в (Б), имеем M (Z ) = M (Z ). Это да?т изоморфизм клеточных комплексов L C. ентированный атом, у которого граф смежности белых клеток такой же, как у атома Pi для некоторого i {1, . . . , 5} (являющегося усеч?нным платоновым Si -гранником). Если атом X неприводим (см. 1.2) и не изоморфен атому Pi , то отвечающий ему абстрактный Si -гранник (см. Определение 1.5) назов?м псевдо-Si -гранником, а сам ориентированный атом X назов?м усеч?нным псевдо-Si -гранником.

Определение 7.7. Пусть X примитивный максимально симметричный ори-

^ см. 1.4. Тогда Si 3, di 3, и соответствующий простой цикл Zi i имеет наименьшую возможную длину di 3 и является ж?стким, см. Утверждение 7.6.А. Найд?м остальные примитивные максимально симметричные ато^ мы X с графом смежности i (т.е. усеч?нные псевдо-Si -гранники). Если рас^ смотреть Pi как усеч?нный Si -гранник (см. Определение 1.5), то i одномерный остов двойственного ему многогранника. Отсюда нетрудно найти все ^ простые циклы Z i , удовлетворяющие условию симметричности из Утверждения 7.6.А и условию 1 из Утверждения 7.6.Б (эти два условия, очевидно, необходимы для существования атома X ). При каждом i такой цикл Z одно^ значно (с точностью до автоморфизма графа i ) определ?н своей длиной d и удовлетворяет условию ж?сткости из 7.6.А и условию 2 из 7.6.Б, а также условию симметричности для любого (не обязательно сохраняющего ориентацию) автоморфизма цикла Z . По Утверждению 7.6, каждому такому циклу однозначно отвечает примитивный максимально симметричный (неориентированный) атом X , прич?м атом неориентируем или отражаем. Получаем 12 таких атомов с данными графами смежности белых клеток:
(i = 1) усеч?нный тетраэдр P1 (d = d1 = 3); неориентируемый атом P3 /Z2 рода 1 усеч?нный полу-октаэдр (d = 4); (i = 2) усеч?нный куб P2 (d = d2 = 3); неориентируемый атом рода 4 (d = 6); (i = 3) усеч?нный октаэдр P3 (d = d3 = 4); усеч?нный псевдо-октаэдр 12 P7 = T(2,0) = (K4 ,0 ) рода 1 (d = 6); (i = 4) усеч?нный додекаэдр P4 (d = d4 = 3); усеч?нный кеплеров псевдододекаэдр P6 рода 4 (d = 5); неориентируемый атом рода 10 (d = 6); неориентируемый атом рода 14 (d = 10); (i = 5) усеч?нный икосаэдр P5 (d = d5 = 5); неориентируемый атом рода 6 (d = 10). Выкидывая из этого списка неориентируемые атомы, получаем 5 усеч?нных платоновых многогранников P1 , . . . , P5 , усеч?нный кеплеров псевдо-додекаэдр 12 P6 и усеч?нный псевдо-октаэдр P7 = T(2,0) = (K4 ,0 ) . Атом P6 (см. рис. 7) неприводим и отличен от P4 , а потому отвечающий ему многогранник действительно является псевдо-многогранником, т.е. псевдо-додекаэдром (см. Определение 7.7). Атом P7 изображ?н на рис. 13; он приводим, так как двойственный 6 ему атом непримитивен и двулистно накрывает атом P1 = K4 . Соответствующий атому P7 многогранник псевдо-октаэдр является двулистным накрытием тетраэдра с ветвлениями в вершинах (см. рис. 13). Каждый из атомов P6 и P7 отражаем (см. Определение 1.4.Б). Это доказывает следующую теорему. 58

^ Пример 7.8. Пусть i граф смежности белых клеток атома Pi , 1 i 5,

Рис.13


псевдо-додекаэдр. Ему отвечает неприводимый ориентированный атом P6 рода 4, см. рис. 7. Этот ориентированный атом отражаем. имеющий ровно 12 5-угольных белых клеток и d -угольные ч?рные клетки при неч?тном d , совпадает либо с атомом P4 (усеч?нным додекаэдром, d = 3), либо с атомом P6 (усеч?нным кеплеровым псевдо-додекаэдром, см. 1.4, d = 5). В частности, этот ориентированный атом отражаем, а при d = 5 двойствен самому себе (см. Определение 1.4.Б). Доказательство. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом с ровно 12 5-угольными белыми клетками. Шаг 1. Так как d = 5 простое и 12 > 2, то атом X примитивен. Шаг 2. Пусть, в обозначениях доказательства Теоремы 7.1, ai Aut(X ) элементарное вращение белой клетки ei . Из доказательства этой теоремы следует, что клетка e = e1 является смежной с клетками e2 , . . . , e6 , и симметрия a = a1 Aut(X ) индуцирует на множестве белых клеток подстановку
a = (1)(2 3 4 5 6)(7 8 9 10 11)(12) ^
(25)

Теорема 7.9. Имеется единственный псевдо-многогранник это кеплеров

Теорема 7.10. Любой максимально симметричный ориентированный атом,

для подходящей перенумерации белых клеток e7 , . . . , e12 . Следовательно, a = ak для некоторого k {1, 2, 3, 4}. Из симметричности ориентированного атома 12 X получаем k 2 1 (mod 5), откуда k {1, 4}. В силу симметричности атома X , имеется единственная инволюция 12 , такая что ai = ak(i) и (i) = i для любого i = 1, . . . , 12. Имеем (1) = 12 и (12) = 1. Шаг 3. Найд?м разложение инволюции в произведение независимых циклов (после подходящей циклической перенумерации белых клеток e7 , . . . , e11 ). Так как (1) = 12 и (12) = 1, то (2) = x + y для некоторых x {2, 7} и y {0, . . . , 4}. Покажем, что x = 7. Из ai (ei ) = ei и ai (e (i) ) = e (i) (см. шаг 2) следует, что для любой симметрии g Aut(X ) выполнено g ai g -1 (g (ei )) = g (ei ) = eg(i) и g ai g -1 (g (e (i) )) = g (e (i) ) = eg (i) , откуда g (i) = g (i) для ^ ^ ^ ^ любого i = 1, . . . , 12. Поэтому

g = g , ^^

g Aut(X ).

(26)

Отсюда для любого j {0, . . . , 4} выполнено (2 + j ) = aj (2) = aj (2) = ^ ^ aj (x + y ) = x + j + y , где z {0, . . . , 4} остаток от деления числа z N на 5. ^ Если x = 2, то из 2 = id имеем 2 = 2 (2) = (2 + y ) = 2 + 2y , откуда y = 0, т.е. (2) = 2, что противоречит построению . Следовательно, x = 7. Поэтому (2 + j ) = 7 + j + y , j {0, . . . , 4}. После подходящей циклической перенумерации белых клеток e7 , . . . , e11 можно считать, что y = 0, а потому инволюция имеет вид

= (1 12)(2 7)(3 8)(4 9)(5 10)(6 11).
Шаг 4. Покажем, что смежными с клеткой e12 являются клетки e7 , . . . , e11 . Действительно, в противном случае некоторая клетка ej , 2 j 6, является смежной с e12 . Пусть ej1 , . . . , ej5 все белые клетки, смежные с ej . Тогда 1, 12 {j1 , . . . , j5 }, и подстановка aj действует как цикл длины 5 на {j1 , . . . , j5 }. ^ Определим число l {1, 2, 3, 4} условием al (1) = 12. Тогда al (12) = 1 в силу (26) ^j ^j и (1) = 12, (12) = 1. Поэтому a5l (1) = 12, что противоречит a5 = idX . ^j j ^ Шаг 5. Покажем, что граф смежности белых клеток атома X изоморфен ^ одномерному остову икосаэдра. Рассмотрим ограничение графа смежности ^ на множество вершин {2, 3, 4, 5, 6}. Степень вершины в графе может рав^ относительно a. няться 0, 2 или 4, в силу симметричности графа ^ 59


Если степень равна 4, вершины 1, 2, 3, 4, 5, 6 соединяются только между собой, так что граф смежности несвязен. Противоречие. Если степень вершины равна 0, то множество вершин графа смежности распадается на четыре под^ множества: {1}, {2, 3, 4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10, 11}, {12}, таких что р?бра графа соединяют вершины только из разных подмножеств. Следовательно, все циклы в графе смежности имеют ч?тную длину, значит, количество сторон у ч?рных клеток тоже должно быть ч?тным, что тоже вед?т к противоречию. ^ Таким образом, степень вершины графа равна 2. Вершина 2, в силу симметричности относительно a, может соединяться с вершинами 3, 6, либо с вер^ шинами 4, 5. Случай 1: вершина 2 соединена р?брами с вершинами 3, 6. Вершина 2 не может являться соседней для вершин 4, 5, 7, 8, 11, 12, следовательно, вершина 2 соединена р?брами с вершинами 1, 3, 6, 9, 10. Используя инвариантность графа смежности относительно симметрии a, мы однозначно восстанавливаем граф ^ смежности. Он совпадает с одномерным остовом икосаэдра. Случай 2: вершина 2 соединена р?брами с вершинами 4, 5. Так же, как и выше, граф смежности однозначно восстанавливается и совпадает с одномерным остовом икосаэдра. Шаг 6. Согласно примеру 7.8 при i = 4, имеем X = P4 или X = P6 .

Теорема 7.11. При любом S 6 любой примитивный максимально симметричный ориентированный атом с ровно S белыми клетками является сферическим или торическим, а потому является одним из примитивных атомов из примера 5.2. Таких ориентированных атомов ровно 10:
(S = 2) сферический ориентированный атом B1 = C1 ; (S = 3) сферический ориентированный атом D3 ; (S = 4) два сферических ориентированных атома D4 и P1 (усеч?нный тетраэдр); (S = 5) атом D5 ратного с.491] на три ориентированных атома: сферический ориентированный и два торических ориентированных атома T(2,1) и T(1,2) квадтипа (1, 2) и (2, 1) (отвечающие карте Л. Хеффтера [H1891, торе из пяти квадратов);

(S = 6) три ориентированных атома: два сферических ориентированных атома D6 и P2 (усеч?нный куб), и торический ориентированный атом T(1,1) треугольного типа (1, 1). Доказательство. Пусть X примитивный максимально симметричный ориентированный атом с ровно S белыми клетками, являющимися d-угольниками, а также с ровно S ч?рными клетками, являющимися d -угольниками. Из примитивности атома имеем 1 d < S . Случай 1: d = 1, 2. При d = 1 имеется единственный максимально симметричный ориентированный атом B1 = C1 (для него (S, S , d, d ) = (2, 1, 1, 2)), а при d = 2 < S единственный максимально симметричный ориентированный атом DS (для него (S, S , d, d ) = (S, 2, 2, S )). Поэтому при S = 2 имеем d = 1 и X B1 = C1 , а при S = 3 имеем d = 2 и X D3 . Случай 2: S = 4. Тогда d {2, 3}. При d = 2 имеем X D4 , см. случай 1. Пусть теперь d = 3. Тогда граф смежности белых клеток (см. Определение 1.4.В) атома X имеет 4 вершины и не имеет петель и кратных р?бер, а каждая его вершина имеет степень 3. Такой граф единствен это полный граф K4 . По Теореме 1.18.А, имеется единственный примитивный максимально симметричный ориентированный атом с графом смежности K4 . Такой атом
60


можно угадать это атом X = P1 . Дадим другое доказательство единственности ориентируемого атома X с графом смежности K4 . Очевидно, что любой ^ простой цикл Z на графе K4 = 1 является треугольником (d = 3) или четыр?хугольником (d = 4). Согласно примеру 7.8 при i = 1, оба эти цикла реализуются: при d = 3 имеем X = P1 , а при d = 4 имеем усеч?нный полу-октаэдр X = P3 /Z2 неориентируемый атом, который получается из сферического атома P3 (усеч?нного октаэдра) отождествлением каждой пары диаметрально противоположных точек. Случай 3: S = 5. Рассмотрим граф смежности белых клеток атома X . Так как он связен и имеет неч?тное число вершин, степени которых равны между собой, то порядок вершины равен либо d = 2, когда мы получаем цикл O5 , либо d = 4, когда граф смежности является полным графом K5 . Единственный примитивный атом, граф смежности белых клеток которого циклический, это атом D5 , см. случай 1. Пусть граф смежности является полным. По Теореме 1.18.А, имеется ровно два примитивных ориентированных атомов с таким графом смежности. Найд?м их явно. Выберем некоторую белую клетку атома, присвоим ей номер 1 и занумеруем остальные белые клетки числами 2, 3, 4, 5 в порядке циклического обхода клетки 1. Тогда симметрия a, действующая на клетке 1 как элементарный поворот, зада?т на множестве белых клеток подстановку

a = (1)(2345), ^
здесь мы используем запись подстановки в виде произведения циклов. Рассмотрим симметрию b атома, которая является центральной симметрией относительно (единственной) общей вершины клеток 1 и 2. Тогда b на множестве белых клеток действует как одна из тр?х подстановок:

(12)(34)(5),

(12)(35)(4),

(12)(45)(3).

Рассмотрим случай ^ = (12)(35)(4), тогда a2^ = (142)(3)(5), и мы получаем b ^b нетривиальную симметрию, оставляющую на месте две смежные белые клетки. Это противоречит примитивности атома X , согласно Утверждению 5.8.Б. Предположим теперь, что ^ = (12)(45)(3). Подстановки a, ^ порождают b ^b группу G порядка 20, транзитивно действующую на множестве {1, 2, 3, 4, 5}. Согласно Утверждению 7.3, группе G соответствует некоторый примитивный ориентированный максимально симметричный атом. Для нахождения этого атома в явном виде, укажем циклический порядок, в котором белые клетки примыкают к любой белой клетке. Например, для клетки номер 2 получаем, что действие элементарного поворота клетки 2 имеет вид ^a^-1 = (2)(1354), b^b то есть циклический порядок примыкания следующий: 1, 3, 5, 4. Зная порядок примыкания, можно однозначно восстановить клеточное разбиение примитивного атома. В данном случае мы получаем ориентированный атом T(2,1) . Случай ^ = (12)(34)(5) приводит к ориентированному атому T(1,2) . b Случай 4: S = 6. Степень d вершин в графе смежности белых клеток атома X может быть равна 2, 3, 4, 5. Случай 4а: степень равна 5. Тогда граф смежности является полным. Так как S = 6 не является степенью простого числа, то по Теореме 1.18.А этот случай не реализуется. Случай 4б: степень равна 4. Так как S = 6 и d = 4, то по Теореме 7.4 ориентированный атом X изоморфен ориентированному атому P2 . Случай 4в: степень равна 3. Занумеруем белые клетки атома X , чтобы смежными с клеткой 1 в порядке циклического обхода были клетки 2, 3, 4. Пусть a симметрия атома, действующая как элементарный поворот на клетке 1. Так как a3 = id, то a = (1)(234)(5)(6). ^ 61


Клетки 5 и 6 не могут быть смежными, так как имеется нетривиальная симметрия a, оставляющая их инвариантными, см. Утверждение 5.8.Б. Следовательно, смежными для каждой из клеток 5,6 являются клетки 2, 3, 4. Тогда никакие две из клеток 2, 3, 4 не имеют общих вершин. Таким образом, граф смежности в данном случае равен K3,3 (граф Томсена), и имеется разбиение белых клеток на два подмножества {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, сохраняющееся при симметриях атома. Центральная симметрия b относительно общей вершины клеток 1 и 2 действует как одна из двух подстановок: (12)(35)(46) или (12)(36)(45). Но эти подстановки отличаются только порядком нумерации клеток 5 и 6, поэтому ориентированные атомы, которые из них могут получиться, должны совпадать. Применение Утверждения 7.3 к паре подстановок a, ^ (или непосредственное ^b восстановление циклического порядка смежности для всех белых клеток, см. случай 3) приводит к ориентированному атому T(1,1) . Случай 4г: степень равна 2. Такой примитивный атом единствен это D6 , см. случай 1.

8 Классификация максимально симметричных атомов с не более чем 6 белыми клетками
Как выше, во всех утверждениях под ориентированным атомом понимается ? класс изоморфности оснащ?нной пары (P , K )# , а во всех доказательствах он ? понимается как оснащ?нная пара (P , K )# , см. Замечание 1.8. Как отмечалось выше, описание (в терминах правильных карт и копредставлений групп) максимально симметричных ориентированных атомов с двумя белыми клетками имеется в работе Браханы [B27, с.280], а с числом белых клеток, не превышающем 5, в работе Гарбе [G69].

Утверждение 8.1. Пусть X максимально симметричный ориентирован-

ный атом, имеющий ровно одну белую клетку. Тогда X = An , где n сложность атома, см. Введение. Более точно, Ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атома X , см. Определение 1.6, состоит из ориентированной окружности S 1 = {ei | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары диаметрально противоположных точек (e2j i/n , ei+2j i/n ) S 1 Ч S 1 , j Z, 0 j < n . Атом имеет род g = [ n ] и состоит из одной белой клетки 2 2 (2n-угольника) и из одной либо двух ч?рных клеток (2n-угольника или двух n-угольников), при неч?тном и ч?тном n соответственно. Доказательство. Рассмотрим ориентированную хордовую диаграмму атома X . Зафиксируем конец некоторой хорды и рассмотрим симметрию a атома X , которая переводит его в другой конец этой же хорды. Так как ориентированная окружность переходит в себя, то a есть вращение хордовой диаграммы. С другой стороны, симметрия a переставляет концы выделенной хорды, следовательно, преобразование a2 оставляет данную хорду неподвижной, а значит, является тождественным отображением. Отсюда вытекает, что рассматриваемая хорда соединяет противоположные точки ориентированной окружности. То же самое верно в отношении других хорд диаграммы. Таким образом, структура атома определена однозначно. Рассматривая в духе Определения 1.5 атом X как 2n-угольник со склеенными противоположными сторонами, мы находим, что число вершин разбиения (которые соответствуют ч?рным клеткам) равно 1 при неч?тном n и равно 2 при ч?тном n.

62


По Теореме 7.11 единственный примитивный максимально симметричный ориентированный атом с двумя белыми клетками это сферический ориентированный атом B1 = C1 . Поэтому из Следствия 6.2 для S = 2 и S = 1 получаем следующее утверждение, эквивалентное утверждению Браханы [B27, с.280] (сформулированному в терминах копредставлений групп).

Утверждение 8.2. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом сложности n, имеющий ровно две белых клетки. Тогда его примитивизация Xprim это сферический ориентированный атом, принадлежащий классу изоморфности B1 = C1 , и у которого граф смежности белых клеток изоморфен K2 (см. Определение 1.4.В). Ориентированный атом X совn,l падает с одним из ориентированных атомов K2 , параметризованных парой целых чисел (n, l), где n 1 сложность атома (равная степени k отображения примитивизации),
l2 1 (mod n), 0 l < n.

Более точно, ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атома n,l 1 1 K2 состоит из двух ориентированных окружностей S1 S2 = {ei | 0 1 2 j i/n 2 lj i/n 1 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек (e ,e ) S1 Ч S2 этих n,l окружностей, j Z, 0 j < n. Атом K2 имеет 2 белых и gcd(l + 1, n) ч?рных клеток, каждая его белая клетка является n-угольником, а каждая n,l n ч?рная gcd(2+1,n) -угольником. Род атома K2 равен n-gcd(l+1,n) . При этом l 2
K
n,1 2

= Bn , n 2,
n,l 2

K

n,n-1 2

= Cn , n 1.

Ориентированные атомы K парно различны.

, отвечающие различным парам чисел (n, l), по-

Доказательство. Из Теоремы 7.11 следует, что Xprim = B1 = C1 , см. Определение 5.1 и Утверждение 5.5. В соответствии со Следствием 5.6 классификация атомов с двумя белыми клетками сводится к описанию отображений примитивизации над B1 . Описание отображений примитивизации над B1 можно получить, если в Следствии 6.2 положить S = 2, S = 1 и g = 0.
По Теореме 7.11 единственный примитивный максимально симметричный ориентированный атом с тремя белыми клетками это сферический ориентированный атом D3 . Поэтому из примера 6.3.А для S = 3 получаем следующее утверждение.

Утверждение 8.3. Пусть X максимально симметричный ориентирован-

ный атом сложности n, имеющий ровно три белых клетки. Тогда n неч?тно и кратно 3, а примитивизация Xprim атома X это сферический ориентированный атом D3 , у которого граф смежности белых клеток есть K3 = O3 (см. Определение 1.4.В). Ориентированный атом X совпадает с ориентироn n ванным атомом K3 = O3 , параметризованным неч?тным натуральным числом n 3, кратным 3 и равным сложности атома (прич?м степень отображения примитивизации равна k = n ). Более точно, ориентированная хор3 n n довая диаграмма ориентированного атома K3 = O3 состоит из трех ори1 1 1 i ентированных окружностей S1 S2 S3 = {e | 0 < 2 } и n хорд, 1 1 соединяющих пары точек (e6j i/n , ei+6j i/n ) Su Ч Su+1 этих окружностей, 1 1 n n j Z, 0 j < n/3, u = 1, 2, 3, где S4 := S1 . Атом K3 = O3 имеет 3 беn/3+3 n лых и 2 gcd(3, 2 ) ч?рных клеток, каждая его белая клетка является 23 n n n угольником, а каждая ч?рная n/3+3 -угольником. Род атома K3 = O3
gcd(3,

равен

n-1 2

- gcd(3,

n/3+3 2

2

)

).
63


По Теореме 7.11 имеется ровно два примитивных максимально симметричных ориентированных атома с четырьмя белыми клетками это сферические ориентированные атомы P1 (усеч?нный тетраэдр) и D4 (см. Введение). Применяя к атому P1 Следствие 6.2 с S = S = 4 и d = d = 3, а к атому D4 пример 6.3.Б, получаем следующее утверждение.

Утверждение 8.4. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом сложности n, имеющий ровно четыре белых клетки. Тогда его примитивизация Xprim это один из сферических ориентированных атомов P1 и D4 , у которых граф смежности белых клеток изоморфен K4 и O4 , соответственно (см. Определение 1.4.В). (А) Если Xprim = P1 , то n кратно 6, и ориентированный атом X совпаn,r дает с одним из ориентированных атомов K4 , параметризованных парой целых чисел (n, r), где n 6 сложность атома (прич?м степень отображения примитивизации равна k = n ), 0 r < n , 4r + 4 0 (mod n ). Более 6 6 6 n,r точно, ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атома K4 1 1 1 1 состоит из четыр?х ориентированных окружностей S1 S2 S3 S4 = {ei | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек
(e (e4
i
3j + v n

4 i

3j +u-1 n

,e

4 i

3j +u-1 n

1 1 ) Su Ч S4 ,

u = 1, 2, 3,

,e

4 i

3j +v +3r +3 n

1 1 ) Su Ч Sv ,

(u, v ) = (1, 2), (2, 3), (3, 1),

этих окружностей, j Z, 0 j < n . У атома 4 белых и 4 gcd(r, n ) ч?рных 6 6 n,r клеток. Род атома K4 равен n -2 gcd(r, n )-1, каждая его белая клетка явля2 6 n ется n -угольником, а каждая ч?рная 2 gcd(r, n ) -угольником. Ориентированные 2 6 n,r атомы K4 , отвечающие различным парам чисел (n, r), попарно различны. (Б) Если Xprim = D4 , то n кратно 4, и ориентированный атом X совпадаn,l ет с одним из ориентированных атомов O4 ,r , параметризованных тройкой целых чисел (n, l, r), где n 4 сложность атома (прич?м степень отображения примитивизации равна k = n ), 0 l, r < k = n , 4 4
l2 1 (mod k ), 2(r + l + 1) 0 (mod k ).

Более точно, ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атоn,l 1 1 ма O4 ,r состоит из четыр?х ориентированных окружностей S1 S2 i 1 1 | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек S3 S4 = {e 1 1 (e2j i/k , ei/k+2lj i/k ) Su Ч Su+1 этих окружностей, j Z, 0 j < k , 1 1 1 u < 4, и (e2j i/k , e(2r+1)i/k+2lj i/k ) S4 Ч S1 , j Z, 0 j < k . Ориn,l,r n n ентированный атом O4 имеет род 2 - gcd( 4 , r) - 1, 4 белых и 2 gcd( n , r) 4 ч?рных клеток, каждая его белая клетка является n -угольником, а каждая 2 n,l ч?рная gcd(nn ,r) -угольником. Ориентированные атомы O4 ,r , отвечающие раз4 личным тройкам чисел (n, l, r), попарно различны. Доказательство. Из Теоремы 7.11 следует, что Xprim {P1 , D4 }, см. Определение 5.1 и Утверждение 5.5. (А) Классификация отображений примитивизации над атомом P1 парами чисел (n, r) возникает из Следствия 6.2. Проверим, что описанная в формулировке данного утверждения хордовая диаграмма действительно отвечает ориентированному атому с примитивизацией P1 и парой (n, r). Проверим сначала, что хордовая диаграмма является максимально симметричной. Для этого, в силу Утверждения 2.8, достаточно построить симметрии 1 диаграммы a = a4 и b, где a действует на окружности S4 как элементарный 1 1 поворот, а b есть симметрия относительно хорды с концами 1 S1 и 1 S4 .
64


Далее мы будем использовать обозначение (u, j ) для вершины диаграммы 1 Su , 1 u 4, j Z. Построим симметрию a. Для этого достаточно определить е? действие на вершинах диаграммы. По условию преобразование a циклически переставляет 1 вершины, лежащие на окружности S4 :

e

4 ij /n

(4, j ) (4, j + 1).
Так как преобразование должно сохранять хорды, имеем следующую диаграмму: (4, 0) (4, 1) | | (1, 0) (2, 1), то есть (1, 0) (2, 1). Следовательно,

(1, j ) (2, j + 1).
Аналогично получаем

(2, j ) (3, j + 1),

(3, j ) (1, j + 1).

Оста?тся проверить корректность преобразования a, то есть что a переводит хорды диаграммы в хорды. Например, для хорды (1, 3j + 2) - (2, 3j + 3r + 5) корректность следует из коммутативности диаграммы

(1, 3j + 2) | (2, 3j + 3r + 5)

(2, 3j + 3) | (3, 3j + 3r + 6).



Проверка для остальных хорд производится аналогично. Симметрия b характеризуется условием

(1, 0) (4, 0),

(4, 0) (1, 0),

откуда рассуждениями, аналогичными проведенным выше, получаем что b зада?тся формулами

(1, j ) (4, j ), (2, j ) (3, j - 3r - 3),

(4, j ) (1, j ), (3, j ) (2, j + 3r + 3),

прич?м отображение определено корректно. n,r Убедимся теперь, что хордовая диаграмма отвечает именно атому K4 . Миq нимальная степень q , такая что преобразование a оставляет все белые клетки на месте, равна 3. При факторизации по группе симметрий aq получается хордовая диаграмма атома P1 , прич?м порядок группы aq (т.е. кратность наn крытия) равен 12 . Оста?тся проверить монодромию в центрах ч?рных клеток. Симметрия c = ba-1 отвечает элементарному вращению ч?рной клетки. Тогда монодромия r в центре ч?рной клетки находится из соотношения cp = (aq )r , где p наименьшая степень, в которой симметрия оставляет на месте все белые клетки. В нашем случае c зада?тся формулами

(1, j ) (2, j + 3r + 2), (2, j ) (4, j - 1),
откуда p = 3 и r = r. 65

(4, j ) (1, j - 1),

(3, j ) (3, j - 3r - 4),


Таким образом, хордовая диаграмма отвечает атому, который обладает отображением примитивизации на атом P1 , отвечающим паре (n, r), то есть n,r атому K4 . (Б) Атом X связан отображением примитивизации с атомом D4 . Отображения примитивизации над D4 были описаны в примере 6.3.Б. По Теореме 7.11 имеется ровно три примитивных максимально симметричных ориентированных атома с пятью белыми клетками это сферический ориентированный атом D5 и два торических ориентированных атома T(2,1) и T(1,2) квадратного типа (1, 2) и (2, 1) (см. Введение), отвечающие карте Л. Хеффтера [H1891, с.491] на торе из пяти квадратов. Поэтому из примеров 6.3.A (при S = 5) и 6.7 получаем следующее утверждение.

ный атом сложности n, имеющий ровно пять белых клеток. Тогда его примитивизация Xprim это либо сферический ориентированный атом D5 , у которого граф смежности белых клеток (см. Определение 1.4.В) изоморфен O5 , либо торический ориентированный атом T(2,1) или T(1,2) квадратного типа (2, 1) или (1, 2), у которого граф смежности белых клеток равен K5 . (А) Если Xprim = D5 , то n неч?тно и кратно 5, и ориентированный атом n X совпадает с ориентированным атомом O5 , параметризованным неч?тным натуральным числом n 5, кратным 5 (прич?м степень отображения примитивизации равна k = n ). Более точно, ориентированная хордовая 5 n диаграмма ориентированного атома O5 состоит из пяти ориентированных 1 1 1 окружностей S1 S2 . . . S5 = {ei | 0 < 2 } и n хорд, соеди1 1 няющих пары точек (e10j i/n , ei+10j li/n ) Su Ч Su+1 этих окружностей, n 1 1 j Z, 0 j < n/5, 1 u 5, S6 := S1 . Ориентированный атом O5 имеет n/5+5 5 белых и 2 gcd(5, 2 ) ч?рных клеток, каждая его белая клетка является 2 n n n/5+5 -угольником. Род атома O5 равен 5 n-угольником, а каждая ч?рная
gcd(5,

Утверждение 8.5. Пусть X максимально симметричный ориентирован-

- gcd(5, ). (Б) Если Xprim = T(2,1) торический ориентированный атом квадратn ного типа (2, 1), то X совпадает с ориентированным атомом K5 , параметризованным целым числом n 10, которое сравнимо с 10 (mod 20) и равно сложности атома (при этом степень отображения примитивизации n равна k = 10 ). Более точно, ориентированная хордовая диаграмма ориенn тированного атома K5 состоит из пяти ориентированных окружностей 1 1 1 S1 S2 . . . S5 = {ei | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек (e (e
5 i 5 i
4j +u-1 n

n-3 2

n/5+5 2

2

)

,e

5 i

4j +u-1 n

1 1 ) Su Ч S5 , 1 1 ) Su Ч Sv ,

u = 1, 2, 3, 4, 1 u < v 4,

4j +r (u,v ) n

,e

5 i

4j +r (u,v )+n/5 n

этих окружностей, j Z, 0 j < n/10, где r(2, 4) = 0, r(1, 2) = 1, r(1, 4) = n r(2, 3) = 2, r(1, 3) = r(3, 4) = 3. Ориентированный атом K5 имеет род n - 4, 5 2 белых клеток и 5 ч?рных клеток, прич?м каждая его двумерная клетка имеет 2 5 n сторон. (В) Если Xprim = T(1,2) торический ориентированный атом квадратного n типа (1, 2), то X совпадает с ориентированным атомом K5 , получающимся n из ориентированного атома K5 заменой ориентации атома на противоположную. Доказательство. Из Теоремы 7.11 следует, что Xprim {D5 , T(1,2) , T Определение 5.1 и Утверждение 5.5.
66
(1,2)

}, см.


(А) Ориентированные атомы X с примитивизацией Xprim = D5 были смотрены в примере 6.3.А. (Б) Атомы, чья примитивизация есть атом T(2,1) , классифицируются в мере 6.7. Проверка того, что представленная в формулировке данной n мы хордовая диаграмма соответствует атому K5 , производится так же, в предыдущей лемме. (В) Случай Xprim = T(1,2) рассматривается аналогично.

расприлемкак

По Теореме 7.11 имеется ровно три примитивных максимально симметричных ориентированных атома с шестью белыми клетками это два сферических ориентированных атома P2 (усеч?нный куб) и D6 , и торический ориентированный атом T(1,1) треугольного типа (1, 1), см. Введение. Применяя к каждому из них Следствие 6.2 или пример 6.8, получаем следующее утверждение.

ный атом сложности n, имеющий ровно шесть белых клеток. Тогда его примитивизация Xprim это либо сферический ориентированный атом P2 или D6 , либо торический ориентированный атом T(1,1) треугольного типа (1, 1). Для этих тр?х примитивных ориентированных атомов графы смежности 1 белых клеток (см. Определение 1.4.В) суть P3 (одномерный остов октаэдра), O6 и K3,3 , соответственно. (А) Если Xprim = P2 , то ориентированный атом X совпадает с одним из n,r ориентированных атомов P2 , параметризованных парой целых чисел (n, r), где n 12 сложность атома, n делится на 12, но не делится на 48 (приn n ч?м степень отображения примитивизации равна k = 12 ), 0 r < 12 , n 8r +6 0 (mod 12 ). Более точно, ориентированная хордовая диаграмма ориенn,r тированного атома P2 состоит из шести ориентированных окружностей 1 1 1 S1 S2 . . . S6 = {ei | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек
(e (e
6 i
4j +u-1 n 4j +v -3 n

Утверждение 8.6. Пусть X максимально симметричный ориентирован-

,e ,e

6 i

4j +u-1 n

1 1 ) Su Ч S5 ,

u = 1, 2, 3, 4,
1 v

6 i

6 i

4j +v +4r n

)S

1 v -1

ЧS ,

v = 2, 3, 4,

(e (e6
i
4j +u+1 n

6 i

4j -2 n

,e

6 i

4j +4r +1 n

1 1 ) S4 Ч S1 ,

,e

6 i

4j -u(8r +5) n

1 1 ) Su Ч S6 ,

u = 1, 2, 3, 4

n,r n этих окружностей, j Z, 0 j < 12 . Ориентированный атом P2 имеет n n n род 2 - 4 gcd(r, 12 ) - 2, 6 белых и 8 gcd(r, 12 ) ч?рных клеток, каждая его белая n/ клетка является n -угольником, а каждая ч?рная gcd(r,4n ) -угольником. Ориен3 12 n,r тированные атомы P2 , отвечающие различным парам чисел (n, r), попарно различны. (Б) Если Xprim = D6 , то n кратно 6, и ориентированный атом X совпадаn,l ет с одним из ориентированных атомов O6 ,r , параметризованных тройкой целых чисел (n, l, r), где n 6 сложность атома (прич?м степень отображения примитивизации равна k = n ), 0 l, r < k = n , 6 6

l2 1 (mod k ),

rl r

(mod k ),

2r + 3(l + 1) 0 (mod k ).

Более точно, ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атоn,l 1 1 ма O6 ,r состоит из шести ориентированных окружностей S1 S2 1 i . . . S 6 = {e | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек 1 1 (e2j i/k , ei/k+2lj i/k ) Su Ч Su+1 этих окружностей, j Z, 0 j < k , 2 j i/k (2r +1)i/k+2 lj i/k 1 1 1 u < 6, и (e ,e ) S6 Ч S1 , j Z, 0 j < k . Ориn,l,r ентированный атом O6 имеет род n - gcd( n , r) - 2, 6 белых и 2 gcd( n , r) 2 6 6
67


ч?рных клеток, каждая его белая клетка является n -угольником, а каждая 3 n,l ч?рная gcd(nn ,r) -угольником. Ориентированные атомы O6 ,r , отвечающие раз6 личным тройкам чисел (n, l, r), попарно различны. (В) Если Xprim = T(1,1) , то n кратно 9, и ориентированный атом X совпаn,l дает с одним из ориентированных атомов K3,3,c , параметризованных тройкой целых чисел (n, l, c), где n 9 сложность атома, n делится на 9 (прич?м степень отображения примитивизации равна k = n ), 0 l, c < n и 9 9

l2 1 (mod

n ), 9

(l + 1)c 0 (mod

n ), 9

3c 0 (mod

n ). 9

Более точно, ориентированная хордовая диаграмма ориентированного атома n,l 1 1 K3,3,c состоит из шести ориентированных окружностей S1 S2 . . . 1 i S6 = {e | 0 < 2 } и n хорд, соединяющих пары точек
(e6 (e (e (e
6 i 6 i 6 i
3j +1 n 3j +1 n

i

3j n

,e

6 i

3j n

1 1 ) S1 Ч S2 ,

,e ,e

6 i 6 i

3j n 3j n

1 1 ) S1 Ч S4 , 1 1 ) S2 Ч S3 , 1 1 ) S3 Ч S4 , 1 1 ) S5 Ч S4 ,

(e (e (e

6 i 6 i 6 i

3j +2 n 3j +2 n

,e ,e

6 i 6 i

3j n 3j n

1 1 ) S1 Ч S6 , 1 1 ) S2 Ч S5 ,
3j +1 n

3j +3c+1 n 3j +1 n

,e

6 i

3j +1 n

3j +6c+2 n 3j +2 n

,e

6 i

1 1 ) S3 Ч S6 , 1 1 ) S5 Ч S6

(e6

i

,e

6 i

3j +6c+2 n

(e6

i

,e

6 i

3j +3c+2 n

n,l этих окружностей, j Z, 0 j < n . Ориентированный атом K3,3,c имеет 9 1 род 2 n - 3 gcd( n , l + 1) - 2, 6 белых клеток и 3 gcd( n , l + 1) ч?рных клеток, 9 9 прич?м каждая его белая клетка является n -угольником, а каждая ч?рная 3 n,l,c 2n 3 gcd( n ,l+1) -угольником. Ориентированные атомы K3,3 , отвечающие различ9 ным тройкам чисел (n, l, c), попарно различны.

Доказательство. Из Теоремы 7.11 следует, что Xprim {P2 , D6 , T(1,1) }, см. Определение 5.1 и Утверждение 5.5. (А) Отображения примитивизации над P2 описаны в Следствии 6.2. Расn,r суждая, как в Утверждении 8.4, можно показать, что атому P2 соответствует хордовая диаграмма, определ?нная в формулировке настоящей леммы. (Б) Отображения примитивизации над D6 описаны в примере 6.3.Б. (В) Отображения примитивизации над T(1,1) описаны в примере 6.8. Соотn,l ветствие между атомом K3,3,c и определ?нной в формулировке леммы хордовой диаграммой устанавливается при помощи рассуждений, аналогичных рассуждениям Утверждения 8.4.

9 Описание максимально симметричных ориентированных атомов данной сложности
Как выше, во всех утверждениях под ориентированным атомом понимается ? класс изоморфности оснащ?нной пары (P , K )# , а во всех доказательствах он ? , K )# , см. Замечание 1.8. понимается как оснащ?нная пара (P В этом параграфе рассматривается следующая задача. Пусть n произвольное натуральное число. Описать максимально симметричные (ориентированные) атомы сложности n. В частности, вычислить количество таких атомов как функцию от числа n или (что проще) оценить это количество сверху или снизу. В настоящей работе мы ограничимся случаем ориентированных атомов. Для некоторых n (например, для простых и удвоенных простых) мы дадим полное решение задачи, а для остальных n получим частичный ответ. 68


Напомним, что для каждого натурального n существуют 4 максимально симметричных ориентированных атома сложности n, которые обозначены An , Bn , Cn , Dn , см. Введение и рис. 3,4. Кроме того, имеется 6 максимально симметричных ориентированных атомов P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 рода 0 и 4, отвечающих пяти классическим правильным многогранникам (платоновым телам) и одному псевдо-многограннику (кеплерову псевдо-додекаэдру), см. Введение и рис. 6,7. Возникает вопрос: при каких n имеются другие максимально симметричные ориентированные атомы сложности n, отличные от атомов An , Bn , Cn , Dn , а также от Pi при n = ni , 1 i 6?

Обозначение 9.1. Обозначим через a(n) количество максимально симметричных ориентированных атомов сложности n, двойственных самим себе (см. Определение 1.4.Б), а через b(n) количество пар двойственных друг другу различных максимально симметричных ориентированных атомов сложности n. Аналогично, через a (n) и b (n) обозначим количества указанных атомов, не принадлежащих сериям An , Bn , Cn , Dn , Pi при n = ni и сериям торических атомов, см. 1.4. Пусть c(n) = a(n) + 2b(n) количество максимально симметричных ориентированных атомов сложности n, и пусть c(n) = a(n) + b(n), ? c (n) = a (n) + 2b (n), c (n) = a (n) + b (n). ?
1) Если n простое число или n {1, 4, 2p}, где p простое число, p 3 (mod 4) и p = 3, то An , Bn , Cn , Dn исчерпывают собой список всех максимально симметричных ориентированных атомов сложности n (т.е. любой максимально симметричный ориентированный атом сложности n совпадает с одним из перечисленных ориентированных атомов). 2) Если n = 2p, где p простое число и p 1 (mod 4), то кроме An , Bn , Cn , Dn имеется ровно два максимально симметричных ориентированных атома сложности n. Эти два ориентированных атома являются торическими (т.е. имеют род 1) и имеют квадратный тип (см. Введение), и получаются друг из друга заменой ориентации атома на противоположную. 3) Если n = 9, то кроме ориентированных атомов A9 , B9 , C9 , D9 имеется ровно два максимально симметричных ориентированных атома сложности 9. Эти два ориентированных атома являются торическими (т.е. имеют род 1), и совпадают с двойственными друг другу атомами T(1,1) и T(1,1) (см. Введение). 4) Если n = 6, то кроме ориентированных атомов A6 , B6 , C6 , D6 имеется ровно один максимально симметричный ориентированный атом сложности 6. Этот ориентированный атом является сферическим (т.е. имеет род 0), и совпадает с атомом P1 (отвечающим усеч?нному тетраэдру). 5) Если n = 9 составное число, не имеющее вида 2p, где p простое число, то кроме ориентированных атомов An , Bn , Cn , Dn и Pi при n = ni имеются и другие максимально симметричные ориентированные атомы сложности n. Более того, для каждого n такие атомы есть среди непримитивных атомов (см. Определение 5.1) рода 2, являющихся разветвл?нным накрытием с помощью отображения типа примитивизации (см. Определение 5.3 и Следствие 5.7) над ориентированным атомом DS , где S [2; n - 1] некоторый делитель n. При любом таком n 30 количество c(n) (соотв. c(n), c (n), c (n)) ? ? максимально симметричных ориентированных атомов сложности n приве-

Теорема 9.2. Пусть n произвольное натуральное число.

69


дено в следующей таблице, а сами атомы перечислены в Замечании 9.4 ниже:
n c(n) c (n) c(n) ? c (n) ?
8 8 3 6 2 12 15 7 9 4 15 8 4 4 2 16 14 9 10 6 18 9 4 7 3 20 12 6 8 3 21 10 4 5 2 24 35 31 21 18 25 6 2 3 1 27 14 8 7 4 28 12 8 8 5 30 16 9 11 6

Замечание 9.3. Два торических ориентированных атома из пункта 2 Теоремы 9.2 имеют следующее описание. Пусть s, t целые числа, такие, что s > t 0 и s2 + t2 = p, где p простое число и p 1 (mod 4). Как известно, для любого такого p пара (s, t) с указанным свойством существует и определена однозначно, см. [AR, теорема 17.6.1]. Рассмотрим торические максимально симметричные ориентированные атомы T(s,t) и T(t,s) квадратного типа (s, t), см. Введение. Ориентированный атом T(s,t) получается из ориентированного атома T(t,s) сменой ориентации. Любой из них имеет сложность 2p, ровно p белых и p ч?рных двумерных клеток.

Доказательство. Напомним (см. Замечание 4.17), что количество р?бер, инцидентных двумерной клетке e, называется числом сторон этой клетки e. В случае максимально симметричного ориентированного атома это число одинаково для всех белых клеток (а также одинаково для всех ч?рных клеток). Пусть X максимально симметричный ориентированный атом. Покажем, что, в обозначениях 1.15, имеет место простое, но важное соотношение (см. [T32, с.32]): 2n = S d = S d . (27)
Поскольку число вершин равно n, а степень каждой вершины равна 4 (т.е. с каждой вершиной инцидентно ровно 4 полуребра), то число полуребер равно 4n, а следовательно, число ребер атома равно 2n. Здесь полуребрами атома называются дуги, получающиеся делением ребер пополам (путем добавления вершины в середине каждого ребра). С другой стороны, к каждому ребру атома примыкает ровно одна белая клетка (и ровно одна ч?рная клетка). Так как число сторон любой белой клетки равно d, а количество белых клеток равно S , то число всех ребер атома равно S d. Поэтому 2n = S d. Аналогичным рассуждением с ч?рными клетками показывается, что 2n = S d . При d = 1 все белые клетки ориентированного атома X являются одноугольниками, откуда n = 1 и X = A1 = D1 . При d = 2 все белые клетки являются двуугольниками, откуда X = Dn . Отсюда и из 2n = S d имеем

Sn

=

X = Dn .

(28)

Случай 1. Пусть n = 1. Так как S 1 = n, то X = A1 = D1 в силу (28). Случай 2. Пусть n простое число или n = 4. Тогда из 2n = S d имеем S {1, 2, n, 2n} и d = 2n . S Если S n, то X = Dn в силу (28). Если S = 1, то X = An в силу Утверждения 8.1. Пусть S = 2. В силу Утверждения 8.2 максимально симметричный ориентированный атом X сложности n с двумя белыми клетками характеризуется целым числом l со свойствами
l2 1 (mod n), 0 < l < n.
(29)

Так как n простое или n = 4, то l = 1 или l = n - 1, а потому X = Cn или X = Bn (см. Утверждение 8.2). Таким образом, X {An , Bn , Cn , Dn }. Случай 3. Пусть n = 2p, где p простое число. Тогда из 4p = 2n = S d имеем S {1, 2, 4, p, 2p, 4p} = {1, 2, n, 2n} {p, 4} и d = 4p . S 70


Если S {1, 2, n, 2n}, то X {An , Bn , Cn , Dn } аналогично случаю 2 выше (так как уравнение (29) при n = 2p имеет лишь два решения l = 1 и l = n - 1). Пусть S = 4 и d = p. Тогда, в силу Утверждения 8.4, примитивизацией Xprim атома X является либо ориентированный атом Xprim = P1 , либо Xprim = D4 . В первом случае d(Xprim ) = 3 делит p = d = d(X ), а потому p = 3 и X = Xprim = P1 . Во втором случае n(Xprim ) = 4 делит n = n(X ) = 2p, а потому p = 2, n = n(X ) = 4 = n(Xprim ) и X = Xprim = D4 . Пусть теперь S = p и d = 4. Не ограничивая общности, можно считать, что S = p и d = 4, так как в противном случае, аналогично провед?нным выше рассуждениям с заменой белых клеток ч?рными, а ч?рных белыми, доказывается, что X {An , Bn , Cn , Dn , P1 }. Род g атома X находится из соотношения 2 - 2g = S + S - n = p + p - 2p = 0, откуда X торический максимально симметричный ориентированный атом, прич?м все его двумерные клетки четыр?хугольники. Из Теоремы 1.14 классификации торических максимально симметричных ориентированных атомов получаем, что X = T(s,t) (т.е. X имеет квадратный тип (s, t)) для некоторой пары целых чисел s > 0, t 0, такой что s2 + t2 = S = n = p. Известно, что при p 1 (mod 4) существует ровно 2 две пары (s, t) с указанным свойством, получающиеся друг из друга перестановкой компонент, а при p 3 (mod 4) таких пар нет, см. [AR, теорема 17.6.1]. Следовательно, при p 3 (mod 4) не существует максимально симметричного ориентированного атома с S = S = p и d = d = 4, а при p 1 (mod 4) таких атомов ровно два и они имеют вид T(s,t) , T(t,s) для некоторой пары натуральных чисел s > t > 0. Случай 4. Пусть n составное число, не имеющее вида 2p, где p простое число. Отметим, что либо n = 4g для некоторого целого g 2, либо n = k S для некоторых чисел k , S N, где k неч?тно, k 3, S 3. Пусть n = 9. В силу 18 = 2n = S d = S d имеем S {1, 2, 3, 6, 9, 18} и d = 18 . S При S = 1 имеем X = A9 по Утверждению 8.1. При S = 2 имеем X {B9 , C9 } 9 по Утверждению 8.2. При S = 3 имеем X = O3 = T(1,1) по Утверждению 8.3. При S = 6 имеем X = T(1,
1)

по Утверждению 8.6. При S 9 имеем X = D9 в

силу (28). Значит, X {A9 , B9 , C9 , D9 , T(1,1) , T(1,1) }. Пусть n = k S > 9, где k , S N, k неч?тно, k 3, S 3. Из примера 6.3.А следует, что имеется непримитивный максимально симметричный ориентироn ванный атом X = OS сложности n, с ровно S белыми клетками, и с примитивизацией Xprim = DS . Так как атомы Pi и Dn примитивны (в силу n 3), то X {Pi , Dn }. Так как атом An имеет лишь одну белую клетку, атомы Bn , Cn имеют лишь по две белых клетки, а атом X имеет S > 2 белых клеток, то n X {An , Bn , Cn }. Из примера 6.3.А следует, что X = OS имеет род g 2 при n = k S > 9. Пусть теперь n = 4g , где g 2. Рассмотрим максимально симметрич4 ный ориентированный атом X = O2g,2g-1,g , см. пример 6.3.Б. Согласно этому примеру, атом имеет сложность n, род g = n , ровно две белых клетки (т.е. 4 S = 2, d = n). Эта серия атомов имеется в работе [T32, с.46, No.6], а сами атомы имеют комбинаторный тип (d, d ) = (4g , 4) и обозначаются {4g , 4}1,1 , см. [KM, 8.7]. Сравнение рода и количества белых клеток атомов показывает, 2 что X {An , Bn , Cn , Dn , Pi }. Так как X имеет вид O2k,l,r , то имеется разветвл?нное накрытие f : X D2 над (непримитивным) ориентированным атомом D2 , являющееся отображением типа примитивизации (см. Определение 5.3). Пусть в рассматриваемом случае n 30. В Замечании 9.4 ниже перечислены максимально симметричные ориентированные атомы сложности n. Покажем, что этот список полный, т.е. содержит любой максимально симметричный ориентированный атом сложности n. При любом S 6 атомы сложности n с S белыми клетками находятся из Утверждений 8.18.6. Переходя к двойствен71


ному атому (см. Определение 1.4.Б), получаем отсюда все атомы с S 6. Полученный список атомов содержит все атомы рода g = 2 (см. Теорему 1.17), а атомы рода g 1 перечислены в Теоремах 1.13 и 1.14. При g 3 и S, S 7 имеем 14 - n S + S - n = 2 - 2g -4, откуда 14 S + S n - 4, а потому n 18. Итак, при n < 18 искомый список атомов исчерпывается списками из перечисленных утверждений. Рассмотрим оставшиеся значения: n {18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30}. Из (27) имеем 2n = S d = S d , откуда S | 2n. Рассмотрим 4 подслучая. Случай 4А: n {18, 20, 21, 25, 27}. При n = 18 из S, S 7, S, S | 2n и S + S n - 4 = 14 получаем S = S = 7 | 36, что неверно. При n = 20 из S, S 7, S, S | 2n и S + S n - 4 = 16 получаем S = S = 8 и d = d = 5, что невозможно в силу Следствия 7.2.а. При n = 21 (соотв. n = 25 или n = 27) из S, S 7, S, S | 2n и S + S n - 4, а также из неч?тности числа S + S = n + 2 - 2g , получаем 21 = 7 + 14 S + S n - 4 = 17 (соотв. 35 = 10 + 25 S + S n - 4 = 21 или 27 = 9 + 18 S + S n - 4 = 23), что невозможно. Случай 4Б: n = 24. Из S, S 7, S, S | 2n и S + S n - 4 = 20 получаем (S, S , d, d ) {(8, 8, 6, 6), (8, 12, 6, 4), (12, 8, 4, 6)}. Покажем, что каждая из этих тр?х четв?рок реализуется ровно одним ориентированным атомом. Пусть (S, d) = (8, 6). Тогда ориентированный атом X не является примитивным в силу Теоремы 7.4. Так как степень k отображения примитивизации X Xprim делит d = 6, то k {2, 3, 6} и белые клетки ориентированного ато6 ма Xprim являются k -угольниками. Случай k = 6 невозможен, так как единственный ориентированный атом, составленный из белых одноугольников, это B1 = C1 , имеющий 2 = 8 белых клеток. Если k = 3, то ориентированный атом Xprim составлен из 8 белых двуугольников, а потому Xprim = D8 , отку24 да из примера 6.3 имеем либо X = O8 ,1,2 и (S, S , d, d ) = (8, 2, 6, 24), либо 24,2,0 X = O8 и (S, S , d, d ) = (8, 6, 6, 8). Оба эти атома имеют недопустимую в рассматриваемом случае четв?рку (S, S , d, d ). Следовательно, k = 2. Ориентированный атом Xprim составлен из 8 белых треугольников, а потому имеет сложность 12, откуда Xprim {P3 , T(2,0) }, см. Замечание 9.4 ниже. Согласно Следствию 6.2, имеется ровно два двукратных отображения примитивизации на ориентированный атом P3 (усеч?нный октаэдр). Эти два отображения отвечают тройкам (k , l, r) {(2, 1, 0), (2, 1, 1)}, прич?м для одного отображения (r = 1) имеются ветвления в центрах всех двумерных клеток, а для другого (r = 0) лишь в центрах белых кле24 ток. Накрывающий ориентированный атом обозначим через P3 ,r , r {0, 1}. 24,0 По Следствию 6.2, при X = P3 имеем (S, S , d, d ) = (8, 12, 6, 4), а при 24 X = P3 ,1 имеем (S, S , d, d ) = (8, 6, 6, 8) (последняя четв?рка (S, S , d, d ) недопустима в рассматриваемом случае). Аналогично, по Следствию 6.5 имеется ровно два двукратных отображения примитивизации на ориентированный атом 12 T(2,0) = (K4 ,0 ) = P7 (усеч?нный псевдо-октаэдр, см. пример 7.8). Они отвечают четв?ркам (k , l, r, c) {(2, 1, 0, 0), (2, 1, 1, 1)}. Накрывающий ориентиро24 ванный атом обозначим через P7 ,r = X , r {0, 1}. По Следствию 6.5, при r = 0 имеем (S, S , d, d ) = (8, 8, 6, 6), а при r = 1 имеем (S, S , d, d ) = (8, 4, 6, 12) (последняя четв?рка (S, S , d, d ) недопустима в рассматриваемом случае). 24 24 24 24 Таким образом, X {P7 ,0 = (P7 ,0 ) , P3 ,0 , (P3 ,0 ) }. Отметим, что послед24,0 ний ориентированный атом (P3 ) примитивен. Случай 4В: n = 28. Из S, S 7, S, S | 2n и S + S n - 4 = 24, а также из ч?тности числа S + S = n + 2 - 2g , получаем (S, S , d, d ) {(7, 7, 8, 8), (8, 8, 7, 7), (8, 14, 7, 4), (14, 8, 4, 7)}. Случай (S, d) = (7, 8) невозможен в силу Следствия 7.2.б. При (S, d) = (8, 7) атом X примитивен, откуда 28 28 X {K8 , K8 } и (S, S , d, d ) = (8, 8, 7, 7), согласно Теореме 1.18. Здесь ори72


28 28 ентированные атомы K8 и K8 отвечают многочленам f (t) = t3 + t + 1 и 28 28 ? f (t) = t3 + t2 + 1, соответственно. По Теореме 1.18.В, (K8 ) = K8 . Случай 4Г: n = 30. Из S, S 7, S, S | 2n и S + S n - 4 = 26 получаем (S, d), (S , d ) {(10, 6), (12, 5)}. Предположим, что (S, d) = (10, 6). Покажем, что этот случай не реализуется. В силу Теоремы 7.1, ориентированный атом X непримитивен. Так как степень k отображения примитивизации X Xprim делит d = 6, то k {2, 3, 6} 6 и белые клетки ориентированного атома Xprim являются k -угольниками. Аналогично случаю 4Б, имеем k = 6. Если k = 3, то ориентированный атом Xprim составлен из 10 белых двуугольников, а потому Xprim = D10 , откуда из при30 30 мера 6.3 имеем либо X = O10,1,2 и (S, S , d, d ) = (10, 2, 6, 30), либо X = O10,2,0 и (S, S , d, d ) = (10, 6, 6, 10). Оба эти атома имеют недопустимую в рассматриваемом случае четв?рку (S, S , d, d ). Если k = 2, то ориентированный атом Xprim составлен из 10 белых треугольников, а потому имеет сложность 15. Но максимально симметричного ориентированного атома с такими свойствами не существует, см. Замечание 9.4 ниже. Следовательно, (S, d) = (S , d ) = (12, 5). По Теореме 7.10, X = P6 = P6 (усеч?нный кеплеров псевдо-додекаэдр, см. 1.4).

Замечание 9.4. Ниже перечислены пары двойственных друг другу (см. Опре-

деление 1.4.Б) максимально симметричных ориентированных атомов сложности n 30 из пункта 5 Теоремы 9.2:
8 8 8 8 n = 8, 8 атомов A8 = A , B8 = B8 = K2 ,1 = O2,1,3 , C8 = K2 ,7 = O2,3,0 8 8, 1, 1 8, 1, 1 8, 5 8, 5 8,3,2 8, 3 8,1,1 = ( O 2 ) = K2 = ( K2 ) , O 2 = K2 и O 4 = и D8 = C8 , O2 8 8 8 (O2,3,2 ) = (K2 ,3 ) , T(2,0) = (T(2,0) ) = O4,1,0 рода 4, 3, 0, 3, 2, 1, соотв., прич?м каждый атом отражаем (см. Определение 1.4.Б); 12 12 12 n = 12, 15 атомов A12 = A , B12 = B12 = K2 ,1 = O2 ,1,5 , C12 = K2 ,11 = 12 12,5,3 12,5 12,1,1 12,5,3 12 12,5,0 = K2 и O6 = (O 2 ) = (K2 ,5 ) , O2 и D12 = C12 , O2 12,1,2 12,7 12,1,1 12,1,2 12,7 O2 = K2 и O4 = ( O2 ) = (K2 ) , T(2,0) = P7 и T(2,0) = 12 12 12 12 12 12 K4 ,0 = (T(2,0) ) = P7 , K4 ,1 = (K4 ,1 ) , O4 ,2,0 и O6 ,1,0 = (O4 ,2,0 ) , P2 и P3 = P2 рода 6, 5, 0, 3, 4, 1, 3, 2, 0, соотв., прич?м каждый атом отражаем; 15 15 15 n = 15, 8 атомов A15 и B15 = A = K2 ,1 , C15 = K2 ,14 и D15 = C15 , K2 ,4 15 15,11 15,4 15,11 15 15 ) рода 7, 0, 5, 6, соотв., прич?м и O5 = (K2 ) , K2 и O 3 = ( K2 каждый атом отражаем; 16 16 16 n = 16, 14 атомов A16 = A , B16 = B16 = K2 ,1 = O2 ,1,7 , C16 = K2 ,15 = 16 16,7,0 16,1,3 16,1,3 16,9 16,9 16,7,4 16 O2 и D16 = C16 , O2 = (O2 ) = K2 = ( K2 ) , O 2 = K2 ,7 16,1,1 16,7,4 16,7 16,1,0 16,1,0 16,3,0 16,1,0 и O8 = ( O2 ) = (K2 ) , O4 и ( O4 ) , O4 и O8 = 16 16 16 16 16 (O4 ,3,0 ) , O4 ,1,2 = (O4 ,1,2 ) , O4 ,3,2 = (O4 ,3,2 ) , T(2,2) = (T(2,2) ) рода 8, 7, 0, 7, 4, 3, 3, 5, 5, 1, соотв., прич?м каждый атом отражаем; 18 18 18 n = 18, 9 атомов A18 = A , B18 = B18 = K2 ,1 = O2 ,1,8 , C18 = K2 ,17 = 18 18,8,0 18,1,0 18,1,0 18,1,0 18,2,0 18,2,0 O2 и D18 = C18 , O6 и K3 , 3 = (O6 ) , O6 = ( O6 ), 18,2 18,2 K4 = (K4 ) , T(3,0) = (T(3,0) ) рода 9, 8, 0, 4, 4, 6, 1, соотв., прич?м каждый атом отражаем; 20 20 20 n = 20, 12 атомов A20 = A , B20 = B20 = K2 ,1 = O2 ,1,9 , C20 = K2 ,19 = 20 20,9,0 20,1,4 20,11 20,1,3 20,1,4 20,11 и D20 = C20 , O2 = K2 и O4 = (O2 ) = ( K2 ), O2 20 20 20 20 20 20 O2 ,9,5 = K2 ,9 и (O2 ,9,5 ) = (K2 ,9 ) , O4 ,4,0 и (O4 ,4,0 ) , T(1,3) = (T(1,3) ) , T(3,1) = (T(3,1) ) рода 10, 9, 0, 8, 5, 4, 1, 1, соотв., прич?м смена ориентации атомов переставляет атомы T(1,3) T(3,1) , а остальные атомы отражаемы;

73


21 21 n = 21, 10 атомов A21 и B21 = (A21 ) = K2 ,1 , C21 = K2 ,20 и D21 = 21,8 21,8 21,13 21,13 21 21 C21 , K2 и O 3 = ( K2 ) , K2 и O 7 = ( K2 ) , T(1,2) и T(1,2) рода 10, 0, 9, 7, 1, соотв., прич?м каждый атом отражаем; 24 24 n = 24, 35 атомов A24 = A , B24 = B24 = K2 ,1 = O2 ,1,11 , C24 = 24 24,23 24,11,0 24,1,5 24,1,5 24,13 24 K2 = O2 и D24 = C24 , O2 = ( O2 ) = K2 = (K2 ,13 ) , 24 24,17 24,5,9 24,1,1 24,5,3 24,5,3 24,17 = K2 , 5 и ) = ( K2 ) , O2 и O6 = ( O2 O2 = K2 24,1,3 24,5,9 24,5 24,7,2 24,19 24,1,1 24,7,2 O6 = ( O2 ) = (K2 ) , O2 = K2 и O4 = ( O2 )= 24 24 24 24 24 24 24 24 (K2 ,19 ) , O2 ,7,8 = K2 ,7 и O8 ,1,2 = (O2 ,7,8 ) = (K2 ,7 ) , O2 ,11,6 = K2 ,11 24,1,1 24,11,6 24,11 24,1,4 24,1,4 24,1 24,1 и O12 = (O2 ) = (K2 ) , O4 = (O4 ) , K4 = ( K4 ) , 24 24 24 24 24 24 24 24 K4 ,3 = (K4 ,3 ) , O4 ,5,0 и O12,1,0 = (O4 ,5,0 ) , O4 ,5,3 и O6 ,3,2 = (O4 ,5,3 ) , 24,0 24,0 24,2 24,1 24,2 24,0 24,0 24 K4 и ( K4 ) , K4 и P7 = (K4 ) , P2 и (P2 ) , P2 ,1 и 24,1 24,1 24,3,0 24,2,0 24,3,0 24,0 24,0 24 P3 = (P2 ) , O6 и O8 = (O6 ) , P7 = (P7 ) , P3 ,0 и 24,0 (P3 ) , рода 12, 11, 0, 11, 9, 9, 10, 8, 6, 9, 9, 9, 5, 8, 3, 7, 2, 6, 6, 5, 3, соотв., прич?м каждый атом отражаем; n = 25, 6 атомов A25 и B25 = A , C25 и D25 = C25 , O 25 4, 0, 6, соотв., прич?м каждый атом отражаем; 25 5 25 и (O5 ) рода

27 25 27 n = 27, 14 атомов A27 и B27 = A , C27 и D27 = C27 , O3 и K3,3,1,0 = (O5 ) , 27 27 27 27 27 27 27 T(3,0) и T(3,0) = (T(3,0) ) , O9 и K3,3,2,0 = (O9 ) , K3,3,2,1 и (K3,3,2,1 ) , K3,3,2,2

27 и (K3,3,2,2 ) рода 13, 0, 10, 1, 7, 7, 7, соотв., прич?м смена ориентации атомов 27 27 27 27 переставляет атомы K3,3,2,1 K3,3,2,2 , (K3,3,2,1 ) (K3,3,2,2 ) , а остальные атомы отражаемы;

28 28 28 n = 28, 12 атомов A28 = A , B28 = B28 = K2 ,1 = O2 ,1,13 , C28 = K2 ,27 = 28 28,1,6 28,15 28,1,5 28,1,6 28,15 28,13,0 = K2 и O4 = (O2 ) = ( K2 ), O2 и D28 = C28 , O2 28 28 28 28 28 28 28 O2 ,13,7 = K2 ,13 и O14,1,1 = (O2 ,13,7 ) = (K2 ,13 ) , O4 ,6,0 и O14,1,0 = 28 28 28 28 (O4 ,6,0 ) , K8 и K8 = (K8 ) рода 14, 13, 0, 12, 7, 6, 7, соотв., прич?м смена 28 28 ориентации атомов переставляет атомы K8 K8 , а остальные атомы отражаемы; 30 30 30 n = 30, 16 атомов A30 = A , B30 = B30 = K2 ,1 = O2 ,1,14 , C30 = K2 ,29 = 30 30,4,5 30,19 30,1,2 30,4,5 30,19 30,14,0 = K2 и O10 = (O2 ) = ( K2 ), O2 и D30 = C30 , O2 30 30 30 30 30 30 30 O2 ,11,9 = K2 ,11 и O6 ,1,2 = (O2 ,11,9 ) = (K2 ,11 ) , K4 ,4 = (K4 ,4 ) , 30 30 30 30 30 30 30 K5 = (K5 ) , K5 = (K5 ) , O6 ,4,0 и O10,2,0 = (O6 ,4,0 ) , P4 и P5 = P4 , P6 = P6 рода 15, 14, 0, 10, 12, 12, 11, 11, 8, 0, 4, соотв., прич?м смена ориен30 30 тации атомов переставляет атомы K5 K5 , а остальные атомы отражаемы.

Отметим, что при n = 27 имеются неотражаемые ориентированные атомы 27 27 K3,3,2,1 и K3,3,2,2 рода 7 с отражаемой примитивизацией T(1,1) . Отвечающие этим атомам карты впервые были обнаружены P.Bergau [G69, с.293].

10 Приложение А. Классификация максимально симметричных ориентированных атомов рода
g2
Как выше, во всех утверждениях под класс изоморфности оснащ?нной пары ? понимается как оснащ?нная пара (P , K ориентированным атомом понимается ? (P , K )# , а во всех доказательствах он # ) , см. Замечание 1.8.

74


Доказательство Теоремы 1.17. На шаге 3 ниже мы докажем Теорему 1.16. Шаг 1. Пусть X максимально симметричный ориентированный атом рода g 0. Обозначим = gcd(S, S ), ч = gcd(d, d ). Тогда S = s, S = s , d = ч , d = ч для пар взаимно простых чисел (s, s ) и (, ). Из 2n = S d = S d , см. (27), имеем s = s , поэтому s = , s = . Таким образом,
n= dd , 2ч S= d , S = d, ч ч gcd(d, d ) = ч.
(30)

Покажем, что имеют место следующие соотношения:

(d - 2)(d - 2) = 4

g-1 ч + 4,

ч = gcd(d, d ),
ч

4

g-1 Z.

(31)

Действительно, из 2 - 2g = S + S - n и (30) имеем 1 - 2 (d - 2)(d - 2) + 2, откуда получаем (31). Шаг 2. Выведем из (31), что

(2 - 2g ) = d + d - 1 dd = 2

ч max 1, 4

g-1 +4

max {3, 4g } .

(32)

При ч = 1 неравенство очевидно, поэтому считаем ч 2. Поскольку ч является делителем чисел d, d , то d, d ч 2. Поэтому из (31) имеем 4 g-1 ч + 4 = (d - 2)(d - 2) (ч - 2)2 = ч2 - 4ч + 4, откуда 4 g-1 ч - 4. Это доказывает (32). Шаг 3. Пусть g 2. Покажем, что при фиксированном g 2 система (31) имеет лишь конечное число решений (d, d , ), а потому система уравнений 2n = S d = S d и 2 - 2g = S + S - n имеет лишь конечное число решений (S, S , d, d ). В силу g 2 и последнего соотношения в (31), число N является делителем положительного числа 4g - 4 4, откуда 4g - 4. В силу g 1 и (32), имеем ч 4g и поэтому 4 4 g-1 ч + 4 4(g - 1)4g + 4 = 4(2g - 1)2 . Отсюда и из (31) имеем d, d 4(2g - 1)2 + 2. Таким образом, при любом фиксированном g 2 каждое из чисел d, d , может принимать лишь конечное число значений. Шаг 4. Пусть g = 2. Найд?м все решения (d, d , ) системы (31). При g = 2 эта система с условием (32) принимают вид

(d - 2)(d - 2) =

4 ч + 4,

| 4,

ч = gcd(d, d )

4 + 4 8.

4 Поэтому {1, 2, 4} и ч + 4 > 1, откуда d, d > 2. Пут?м перебора конечного числа случаев получаем следующие 14 решений (d, d , ) со свойством d d :

d d S S n

1 1 8 8 1 1 4

2 1 10 5 1 2 5

3 2 6 6 2 2 6

4 1 12 4 1 3 6

5 2 8 4 2 4 8

6 1 18 3 1 6 9

7 4 5 5 4 4 10

8 2 6 4 4 6 12

9 2 12 3 2 8 12

10 1 10 3 3 10 15

11 4 9 3 4 12 18

12 2 5 4 8 10 20

13 2 8 3 6 16 24

14 4 7 3 12 28 42

Шаг 5. Покажем, что только 6 случаев этой таблицы (случаи 1,2,3,5,8,13) реализуются максимально симметричными ориентированными атомами, прич?м в каждом случае ориентированный атом определ?н однозначно с точностью до изоморфизма. В случаях 1,2,4,6 таблицы имеем S = 1, S = 1, 2, 3, 6 и n = 4, 5, 6, 9, соответственно, откуда по Утверждению 8.1 X An и S = 1, 2, 1, 2, соответственно, т.е. случаи 4,6 невозможны, а в каждом из случаев 1,2 существует единственный 75


класс изоморфности ориентированных атомов, а именно класс A4 , A5 , соответственно. В случаях 3,5,9 имеем S = 2, S = 2, 4, 8 и n = 6, 8, 12, соответственно, отn,l куда по Утверждению 8.2 X K2 , l2 1 (mod n) и S = gcd(l + 1, n), откуда случай 9 невозможен (так как S n), а в случаях 3,5 имеем l = S - 1 = 1, 3, соответственно, т.е. в обоих случаях 3,5 существует единственный класс изо6 8 морфности ориентированных атомов, а именно класс K2 ,1 , K2 ,3 , соответственно. В случае 10 имеем S = 3, S = 10 и n = 15, откуда по Утверждению 8.3 n n X K3 = O3 и S = 2 gcd(3, n/3+3 ) = 2 = 10, а потому этот случай невозможен. 2 В случаях 7,8,11 имеем S = 4, S = 4, 6, 12 и n = 10, 12, 18, соответственно, n,r откуда по Утверждению 8.4 либо X K4 , 6 | n, 4r + 4 0 (mod n ) и S = 6 n,l 4 gcd(r, n ), либо X O4 ,r , 4 | n, S = 2 gcd( n , r) и 6 4

l2 1 (mod n/4),

2(r + l + 1) 0 (mod n/4).

12 Поэтому случай 7 невозможен (в силу 6 n и 4 n), в случае 8 имеем X O4 ,2,0 n,r n,r (так как X K4 в силу 4 S ), а случай 11 невозможен (так как X K4 в n,l,r силу r = 2 = 0, а X O4 в силу 4 n). В случае 13 имеем S = 6, S = 16 и n = 24, откуда по Утверждению 8.6 n,r n,l n X P2 и S = 8 gcd(r, 12 ) (так как X T(1,1) в силу 9 n, а X O6 ,r в силу 24 S = 16 > 8 = n 2 gcd( n , r)). Поэтому r = 0 и X P2 ,0 . 3 6 В случае 12 имеем S = 8 и d = 5, а в случае 14 имеем S = 12 и d = 7. Оба эти случая невозможны в силу Следствия 7.2.а.

11 Приложение Б. Некоторые задачи.
Задача 1. В таблицах I и II статьи [CD2001] указаны максимально симметричные (отражаемые и неотражаемые, соотв.) ориентированные атомы рода g [2; 15]. При этом для каждой пары двойственных друг другу (либо получающихся друг из друга сменой ориентации) атомов указан лишь один из этих атомов. В обозначениях статьи [CD2001], комбинаторный тип (d, d ) называется типом и обозначен через {p, q }; через Automs обозначено 2|Aut(X )| или |Aut(X )| для отражаемого или неотражаемого атома X (соотв.); образующие a, b Aut(X ) обозначены через a = R, b = S R; количество общих вершин пары смежных белых (соотв. ч?рных) клеток обозначено через mF (соотв. mV ). Всего в этих двух таблицах 220 и 16 атомов, соотв. Среди них рассмотрим атомы со свойством mV = mF = 1 (их ровно 41 и 6, соотв.). Другими словами, это примитивные атомы X , отличные от атомов An , такие что атом X тоже примитивен. Из этих 41 атомов таблицы I выкинем атом рода 4 типа {5, 5} (усеч?нный кеплеров псевдо-додекаэдр P6 ), а из 6 атомов таблицы II выкинем 28 атом рода 7 типа {7, 7} (атом K8 ). (а) Для указанных 40 и 5 примитивных атомов доказать (или опровергнуть) их приводимость, см. Определение 3.5 и Следствие 3.6. Напомним, что приводимость атома X равносильна существованию нетривиальной нормальной подгруппы H группы

G = Aut(X ) = R, S | Rp = S q = (RS )2 = 1, Additional Relators
со свойством RS H = G, где Additional Relators даны в таблицах I и II. (б) Пусть атом приводим. Выяснить, существует ли абелева подгруппа H с указанным выше свойством. Частичное решение. Отражаемый атом рода 3 типа {3, 8} приводим, так как образующая S входит в каждое определяющее соотношение группы G ч?тное 76


число раз, а потому G содержит нормальную подгруппу H = R RS индекса 2. Аналогично доказывается приводимость всех рассматриваемых атомов, тип которых содержит ч?тное число, за исключением 5 отражаемых атомов (рода 6 типа {4, 6}, рода 9 типа {6, 6}, рода 10 типов {4, 5} и {4, 7}, рода 11 типа {6, 6}) и одного неотражаемого атома (рода 10 типа {8, 8}). Поэтому задачу (а) осталось решить лишь для 14 и 1 атомов таблиц I и II (соотв.): род тип n 1 3 3,7 84 2 5 5,5 40 3 6 4,6 60 4 7 3,7 227 5 9 5,5 80 6 9 6,6 48 7 10 3,9 162 8 10 4,5 180 9 10 4,7 84 10 10 8,8 36 11 11 6,6 60 1214 14 3,7 546 15 15 3,9 252

Решите эту задачу сначала для тр?х атомов 2,6,10 малой сложности n 53.

Лемма 11.1. Предположим, что атомы 2, 6, 10 приводимы. Тогда атомы P1 , . . . , P6 , A2l , K2l исчерпывают все неприводимые максимально симметричные ориентированные атомы сложности n 53. Доказательство. Это верно для атомов сложности n 31, см. Замечание 9.4 и Теорему 9.2.1 для n 30 и n = 31, соотв. Поэтому это верно также для атомов, имеющих S 8 белых клеток (или S 8 ч?рных клеток), так как ввиду примитивности они имеют сложность n S (S2-1) 28. По предположению леммы, это верно также для атомов рода g 15 сложности n 53. Поэтому это верно также для атомов сложности n 47, поскольку из g 16 и S, S 9 имеем 18 - n S + S - n = 2 - 2g -30, откуда n 48. Повторяя предыдущие рассуждения, отсюда получаем нужное свойство также при S 10, а потому и при n 51. При n = 52 нужное свойство может быть нарушено лишь в случае S = S = 11 | 2n = 104 (что невозможно), а при n = 53 атом приводим, так как он равен одному из An , Bn , Cn , Dn в силу простоты n, см. Теорему 9.2.1.
2
l-1

(2l -1),f

Лемма 11.2. Предположим, что атомы 115 приводимы. Тогда атомы P1 , . . . , P6 , A2l , K2l исчерпывают все неприводимые максимально симметричные ориентированные атомы рода g 15, а также все неприводимые максимально симметричные ориентированные атомы сложности n 53.
2
l-1

(2l -1),f

Задача 2. В таблицах I и II статьи [CD2001] указаны максимально симметричные (отражаемые и неотражаемые, соотв.) ориентированные атомы рода g [2; 15]. Следовательно, эти таблицы содержат все примитивные максимально симметричные ориентированные атомы с числом белых клеток S 8 (так как такие атомы имеют сложность n S (S2-1) 28, а потому их род g = 1 (n - S - S + 2) n 14). На основе этих таблиц перечислить все при2 2 митивные (т.е. имеющие mV = 1 или mF = 1) максимально симметричные ориентированные атомы с числом белых клеток S 8. Случай S 6 описывается Теоремой 7.11. Задача 3. Построить аналог теорем настоящей статьи для случая неориентируемых максимально симметричных атомов.

Список литературы
[AR] Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. Москва: Мир, 1987. [BG89] P. Bergau, D. Garbe, Non-orientable and orientable regular maps, in: Proc. Groups-Korea 1988, Lect. Notes Math. 1398, Springer (1989), 2942. 77


[B50] S. Bilinski, Homogene mreze zatvorenih orijentabilnih ploha, Rad. Jugoslav. Akad. Znan. Umjet. Odjel Math. Fiz. Tehn. Nauke 277 (1950), 129164. [B52] S. Bilinski, Homogene Netze geschlossener orientierbarer Flachen, Bull. Internat. Acad. Yougoslave, Cl. Sci. Math. Phys. Tech. (N.S.), 6 (1952), 5975. [BF] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1,2. Ижевск, Изд. дом Удмуртский университет, 1999.

[BF1] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Некоторые актуальные нерешенные задачи по топологии интегрируемых гамильтоновых систем. В кн.: Топологичесие методы в теории гамильтоновых систем, по ред. А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко, А.И.Шафаревича. Москва, Изд-во Факториал (1998), 5 23. [BF2] А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I, II. Матем. Сборник 185 (1994), No.4, 2780 (Часть I). Матем. Сборник 185 (1994), No.5, 2778 (Часть II). [BFR] А.В.Болсинов, П.Рихтер, А.Т.Фоменко. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской, Матем. Сборник 191 (2000), No.2, 342. [B] Браилов А.В., Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера и приложения, ДАН СССР 268 (1983), 5, 10431046.

[BrF] Браилов А.В., Фоменко А.Т. Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем, Матем. Сборник 133 (1987), No.3, 375385. [BK] Браилов Ю.А., Кудрявцева Е.А., Устойчивая топологическая несопряженность гамильтоновых систем на двумерных поверхностях, Вестник МГУ, Серия матем. 54 (1999), No.2, 2027,72.

[B27] H.R. Brahana, Regular maps and their groups. Amer. J. Math. 49 (1927), 268284. [W78] S.E. Wilson, Riemann surfaces over regular maps, Can. J. Math. XXX, No.4 (1978), 763782. [G69] D. Garbe, Uber die regularen Zerlegungen geschlossener orientierbarer Flachen, J. Reine Angew. Math. 237 (1969), 3955. [G78] D. Garbe, A remark on non-symmetric Riemann surfaces, Arch. Math. 30 (1978), 435437. [HC] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Berlin, 1932. Русский перевод: Гильберт и Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, М.: Л.: ОНТИ, 1936, 252272.

[D1880] W. Dyck, Uber Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalitat regularer Riemannscher Flachen, Math. Ann. 17 (1880), 473 508. [JJ] [JS] L.D. James, G.A. Jones, Regular orientable imbeddings of complete graphs, J. Combinat. Theory, Ser. B, 39 (1985), 353367. G.A. Jones, D. Singerman, Theory of maps on orientable surfaces, Proc. London Math. Soc. (3) 37 (1978), 273307. 78


[K1619] J. Kepler, The harmony of the world (translation from the Latin Harmonice Mundi, 1619), Memoirs Amer. Philos. Soc. 209, American Philosocal Society, Philadelphia, PA, 1997. [K1879] F. Klein, Uber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen, Math. Ann. 14 (1879), 428471. [CD2001] M.D.E. Conder, P. Dobcsanyi, Determination of all regular maps of small genus, J. Combinat. Theory, Ser. B, 81 (2001), 224242. [K48] H.S.M. Coxeter, Congurations and maps, Rep. Math. Colloq. 8 (1948), 18 38. [K50] H.S.M. Coxeter, Self-dual congurations and regular graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950), 413455. [KM] H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser, Generators and relations for discrete groups, Third Edition. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1972. Перевод: Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер, Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп, Москва: Наука, 1980. [Ko] [Ku] Коровина Н.В., Максимально симметричные бифуркации функций Морса на двумерных поверхностях, Вестник МГУ, Серия матем., 1998. Е.А.Кудрявцева, Устойчивые инварианты сопряженности гамильтоновых систем на двумерных поверхностях, Доклады РАН (N. 3) 361 (1998), 314317.

[Ku2] Е.А.Кудрявцева, Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях. В кн.: Топологичесие методы в теории гамильтоновых систем, по ред. А.В.Болсинова, А.Т.Фоменко, А.И.Шафаревича. Москва, Изд-во Факториал (1998), 147 202. [C1878a] A. Cayley, On the theory of groups. Proc. London Math. Soc. 9 (1878), 126133. [C1878b] A. Cayley, The theory of groups: graphical representations. Amer. J. Math. 1 (1878), 174176. [Ленг] С. Ленг, Алгебра, М.: Мир, 1968. [M] Мантуров В.О., Атомы. Узлы. Бифуркации, Вестник МГУ, Серия матем., 1998.

[MS0] Peter McMullen, Egon Schulte, Regular and chiral polytopes in low dimensions, arXiv:math.MG/0503389 v1 18 Mar 2005. [MS] P.McMullen and E.Schulte, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. А.А.Ошемков, Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные дииаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на S O(4), УМН 42 (1990), вып.2, 199200. А.А.Ошемков, Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей, Труды МИРАН 205 (1994), 131140.

[O]

[O1]

79


[O2]

А.А.Ошемков, Описание изоэнергетических поверхностей и интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Труды Семинара по Векторному и Тензорному Анализу, вып.23, Москва, Изд-во МГУ, 1988, 122132. А.А.Ошемков, Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды Семинара по Векторному и Тензорному Анализу, вып.25, ч.2, Москва, Изд-во МГУ, 1993, 23109. А.А.Ошемков, В.В.Шарко, О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях, Матем. Сборник (N.8) 189 (1998), 93140. И.В. Птицына, Классификация замкнутых локально минимальных сетей на тетраэдре, Матем. Сборник 185 (1994), No.5, 119138.

[O3]

[O4] [P]

[S2006] J. Siran, Regular maps on a given surface, in: Topics in discrete mathematics, 591609, Algorithms Combin. 26 (2006), Springer, Berlin. [T32] W. Threlfall, Gruppenbilder. Abh. sachs. Akad. Wiss. Math.-phys. Kl. 41 (1932), 159. [F1] [F2] Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем, ДАН СССР 287 (1986), No.5, 10711075. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости, Известия АН СССР. Серия матем. 50 (1986), No.6, 12761307. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем, УМН 44 (1989), вып. 1 (265), 145173. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях. Функц. анализ и его приложения 25 (1991), вып.4, 2335. Фоменко А.Т., Цишанг Х. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике, ДАН СССР 294 (1987), No.2, 283 287.

[F3] [F4]

[FZ]

[FZ1] Фоменко А.Т., Цишанг Х. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем, Известия АН СССР 52 (1988), No.2, 378407. [H1890] P.J. Heawood, Map-colour theorem, Quart. J. Math. 24 (1890), 332338. [H1891] L. Heter, Uber das Problem der Nachbargebiete, Math. Ann. 38 (1891), 477508. [Sh59] F.A. Sherk, The regular maps on a surface of genus three, Ganad. J. Math. 11 (1959), 452480.

Другие статьи
[B22] H.R. Brahana, Systems of Circuits on Two-Dimensional Manifolds, Annals of Math. 23 (1922), p.146. 80


[B26] H.R. Brahana, Regular maps on the anchor ring, Amer. J. Math. 48 (1926), 225240. [BC26] H.R. Brahana and A.B. Coble, Maps of twelve countries with ve sides with a group of order 120 containing an ikosahedral subgroup, Amer. J. Math. 48 (1926), 120. [BS] R.P. Bryant, D. Singerman, Foundations of the theory of maps on surfaces with boundary, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 36 (1985), no.141, 1741.

[GNS99] A. Gardiner, R. Nedela, J. Siran, M. Skoviera, Characterization of graphs which underlie regular maps on closed surfaces, J. London Math. Soc. (2) 59, No.1 (1999), 100108. [D1882] W. Dyck, Gruppentheoretischen Studien, Math. Ann. 20 (1882), 144. [Kl] F. Klein, Vorlesungen ueber das Ikosaeder, I, 13.

[H1897] L. Heter, Uber metacyklische Gruppen und Nachbarcongurationen, Math. Ann. 50 (1897), 261268.

81