Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/skop2006ag.ps
Дата изменения: Tue Jan 31 16:49:54 2006
Дата индексирования: Sat Apr 9 22:41:20 2016
Кодировка: koi8-r

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ
С ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
Спецкурс д.ф.м.н. А. Б. Скопенкова для для 3{5 курсов
Проходит по средам, 16.20-17.55 с 15.02.2006
15 февраля сбор у ауд. 16-19.
Аннотация. Изучаются основные методы алгебраической топологии (гомологии, векторные рас-
слоения и характеристические классы, гомотопические группы). Эти методы вводятся на примере
применений к геометрической топологии (теории векторных полей, погружений и вложений мно-
гообразий). Программу и литературу см. на доске кафедры дифф. геометрии (16 этаж) и на
http://dfgm.math.msu.su/materials.php.
Для изучения спецкурса достаточно знакомства с основами топологии. Материал весеннего се-
местра 2006 будет практически независим от предыдущих лекций (необходимые сведения с некото-
рыми дополнительными усилиями можно получить и на самом спецкурсе).
'Рекламная' лекция для студентов НМУ будет прочитана в НМУ 16 февраля 2006, 19.10-20.40.
Этот спецкурс зачитывается учебной частью НМУ.
Программа весеннего семестра 2006.
Du с^ote de chez Pontryagin [FF89, xx8{11], [P04, x14, x18.12345], [P, 3.1.12356], [S05, глава 4].
1. Гомотопическая классификация отображений графа в окружность. Маломерные обобщения.
2. Степень отображения. Теоремы Хопфа о гомотопической классификации отображений n-
многообразия в n-мерную сферу и n-полиэдра в n-мерную сферу.
3. Отображение Хопфа (трехмерная дыра в двумерной сфере). Инвариант Хопфа. Гомотопиче-
ские группы.
4. Конструкция Понтрягина. Гомотопическая классификация отображений трехмерной сферы в
двумерную (1). Теорема Понтрягина о гомотопической классификации векторных полей на ориенти-
руемых 3-многообразиях.
5. Расслоения и накрывающие гомотопии. Точная последовательность расслоения. Гомотопиче-
ская классификация отображений трехмерной сферы в двумерную (2).
6. Теорема Фрейденталя о надстройке (трудная часть без доказательства). Гомотопическая клас-
сификация отображений трехмерной сферы в двумерную (3).
7. Теорема Понтрягина о гомотопической классификации отображений (n + 1)-мерной сферы в
n-мерную при n 3. Теорема Понтрягина-Стинрода о гомотопической классификации отображений
(n + 1)-мерного комплекса в n-мерную сферу (без доказательства).
8. Гомотопическая классификация отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.
9. Теорема Уайтхеда о гомотопической эквивалентности.
Du с^ote de chez Whitney [FF89, x19.12356], [P, 3.2.1345], [S05, глава 3].
1. Инволюции, двулистные накрытия и расслоения со слоем отрезок и окружность.
2. Нормальные векторные поля и нормальное число Эйлера 2-многообразий в R 4 .
3. Классы Штифеля-Уитни как препятствия к существованию системы векторных полей.
4. Нормальные классы Уитни как препятствия к погружаемости и вложимости.
5. Формула Ву (без доказательства). Вычисление классов Штифеля-Уитни проективных про-
странств. Невложимость и непогружаемость проективных пространств.
Du с^ote de chez Hae iger [RS99, xx1{3, 8], [S05, второй пункт главы 1], [S06, xx1{3].
1. Классификация n-мерных зацеплений в R 2n+1 . Коэффициент зацепления в гомотопических
группах. Теорема Хефлигера-Зимана о классификации n-мерных зацеплений в R m при 2m 3n + 4.
Многомерные кольца Борромео, зацепление Уайтхеда и трилистник Хефлигера.
2. Изотопность вложений связных n-многообразий в R 2n+1 . Примеры неизотопных вложений
n-мерного тора в R 2n . Инвариант Уитни.
3. Классификация почти-вложений сфер с ручками в R 4 с точностью до почти-изотопии (без
доказательства). Классификация вложений ориентируемых 3-многообразий в R 6 .
4. Классификация Хефлигера-Хирша вложений высокосвязных многообразий.
5. Применения теоремы Борсука-Улама. Инвариант Хефлигера-Ву. Теоремы его полноты (без
доказательства).
1

Литература к весеннему семестру 2006.
[FF89] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989.
[P04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Москва, МЦНМО,
2004. http://www.mccme.ru, Материалы курсов НМУ.
[P] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, http://www.mccme.ru, Материалы курсов НМУ.
[RS99] Д. Реповш и А. Скопенков, "Новые результаты о вложениях полиэдров и многообразий в
евклидовы пространства", УМН 54:6 (1999), 61{109, xx1{3, 8.
[S05] А. Б. Скопенков, Алгебраическая топология с элементарной точки зрения,
http://dfgm.math.msu.su/materials.php, http://www.mccme.ru/ium/s05.
[S06] A. Skopenkov, Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, London Math. Soc.
Lect. Notes, to appear, http://dfgm.math.msu.su/materials.php.
Программа осеннего семестра 2005.
1. Одномерные, двумерные и трехмерные полиэдры и многообразия.
2. Препятствие к ориентируемости 2- и 3- многообразий.
3. Основная теорема топологии о гомотопической классификации отображений S n ! S n .
4. Теорема Эйлера-Пуанкаре о векторных полях на 2-многообразиях. Теорема Хопфа о векторных
полях на n-многообразиях. Существование ненулевых векторных полей на нечетномерных многообра-
зиях.
5. Классификация векторных полей на 2- и 3-многообразиях.
6. Препятствие Штифеля к существованию пары векторных полей на 3-многообразии.
7. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости ориентируемых 3-многообразий.
8. Препятствие ван Кампена к планарности графов.
9. Изотопия. Препятствие Ву к изотопности вложений графов в плоскость.
10. Общее положение. Вложимость n-многообразий в R 2n .
11. Конкордантность и изотопия. Изотопность вложений связных n-многообразий в R 2n+1 при
n 2.
12. Зацепление Хопфа. Коеффициент зацепления. Его полнота для зацеплений n-мерных сфер в
R 2n+1 при n 2.
13. Препятствие Уитни. Невложимость бутылки Кляйна в R 3 .
14. Определение групп гомологий. Относительные и абсолютные гомологии.
15. Изоморфизм вырезания. Точные последовательности пары и Майера-Виеториса.
16. Форма пересечений. Двойственность Пуанкаре.
17. Двойственность Александера и невложимость SO 3 = RP 3 в R 4 .
18. Фундаментальная группа. Методы вычисления: накрытия, клеточные комплексы и теорема
ван Кампена.
19. Теорема Пуанкаре о связи гомологий с фундаментальной группой. Гомологическая сфера
Пуанкаре.
20. Связь гомологий с коэффициентами в Z и в Z 2 .
Домашняя часть экзамена за осенний семестр 2005.
Решить 33 задачи из предлагавшихся на лекциях. По желанию студента часть домашних задач
может быть заменена на подготовку кратких конспектов отдельных лекций.
2