Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/dubask.pdf Дата изменения: Tue Sep 9 14:59:48 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:31:09 2016 Кодировка: koi8-r

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ В ИНТЕРЕСНЫХ ЗАДАЧАХ А. Скопенков
Векторным полем на подмножестве плоскости называется семейство векторов v(x) на плоскости в точках x данного подмножества, непрерывно зависящих от точки x. Векторное поле называется единичным, если все его векторы единичные. 1. Постройте единичное векторное поле на плоскости. (Оно будет единичным векторным полем на произвольном подмножестве плоскости.) Два единичных векторных поля называются гомотопными, если одно можно получить из другого непрерывной деформацией, в процессе которой векторное поле остается единичным. Формально, такой деформацией называется семейство vt единичных векторных полей, непрерывно зависящее от параметра t [0; 1], для которого v0 есть первое поле и v1 есть второе поле. 2. (a) Любое единичное векторное поле v на плоскости гомотопно полю -v. (b) Приведите пример негомотопных единичных векторных полей на некотором подмножестве плоскости. 3. Любые два единичных векторных поля на N гомотопны, если (a) N = 0 в [0; 1]; (b) N = D2 := {(x; y ) R2 | x2 + y2 1}; (c) N | произвольное дерево на плоскости. Обозначим через V (N ) множество единичных векторных полей с точностью до гомотопности на подмножестве N плоскости. 4. Опишите V (N ) для (a)* N = S 1 := {(x; y ) R2 | x2 + y2 = 1}; (b) N = K4 (граф тетраэдра); (c) произвольного плоского графа N . Здесь `описать' означает построить `естественное' взаимно-однозначное соответствие между V (N ) и некоторым `известным' множеством. `Известность' множества означает как минимум описание количества его элементов, а как максимум | наличие `естественных' операций на множестве и на V (N ), сохраняемых соответствием. 5. Любые два единичных векторных поля на диске D2 , совпадающие на его граничной окружности, гомотопны неподвижно на границе S 1 (т.е. гомотопны так, что vt (x) = v0 (x) для любых x S 1 и t [0; 1]). Стандартным тором T 2 в трехмерном пространстве называется фигура, о бразованная вращением окружности (x - 2)2 + y2 = 1 вокруг оси Oy. Касательным векторным полем на торе T 2 называется семейство касательных к нему векторов v(x) Tx в его точках x, непрерывно зависящих от точки x. Будем называть единичное касательное векторное поле просто полем. 1. (a) Приведите пример поля на торе T 2 . (b) Любое поле v на на торе T 2 гомотопно полю -v. (c) Приведите пример двух негомотопных полей на торе T 2 . (d)* Опишите V (T 2 ). Понятие единичного касательного векторного поля на рассматриваемых ниже поверхностях вводится дословно аналогично случаю тора. Будем называть единичное касательное векторное поле просто полем.

Векторные поля на подмножествах плоскости

Векторные поля на поверхностях


Понятие гомотопности полей на рассматриваемых ниже поверхностях вводится дословно аналогично случаю плоскости. Обозначим через V (N ) множество полей на поверхности N с точностью до гомотопности (в классе полей). Листом Мебиуса M называется поверхность в R3 , заметаемая стержнем, равномерно вращающимся относительно своего центра, при равномерном движении этого центра по окружности, при котором стержень делает пол-о борота. 2. (a) Постройте поле v на листе Ме биуса M . (b) Гомотопно ли построенное Вами поле v полю -v? (c) Опишите V (M ). 3. Опишите V (N ) для (a) верхней полусферы {(x; y; z ) R3 | x2 + y2 + z 2 = 1; z 0}; (b) кольца {(x; y) R2 | 1 x2 + y2 2}; (c) боковой поверхности цилиндра {(x; y; z ) R3 | x2 + y2 = 1; 0 z 1}; (d) тора с дыркой; (e)* бутылки Клейна K (определение спросите). 4. Если на торе с дыркой заданы два поля, то их сужения на граничную окружность этой дырки гомотопны. Рассмотрим стандартную сферу S 2 в трехмерном пространстве, т.е. подмножество точек (x; y; z ), для которых x2 + y2 + z 2 = 1 (или, что то же самое, точек (x; y; z ) вида (cos ' cos ; sin ' cos ; sin )). 5.* (a) Не существует единичного касательного векторного поля на сфере S 2 . (b) То же для кренделя (определение спросите). (c) То же для проективной плоскости RP 2 (определение спросите). 6.* (a) На любом трехмерном многоо бразии (определение спросите) существует единичное касательное векторное поле. (b) V (S 3 ) Z (умножение на V (S 3 ) задается умножением кватернионов). = (с) Опишите V (S 1 в S 2 ), V (T 3 ).

Единичным нормальным векторным полем к окружности S 1 = {(x; y; z ) R3 | x2 + y2 = 1; z = 0} в трехмерном пространстве называется семейство нормальных к ней единичных векторов v(x) в точках x окружности, непрерывно зависящих от точки x. Будем называть единичное нормальное векторное поле просто нормальным полем. Понятие гомотопности нормальных полей вводится дословно аналогично случаю полей. 1. (a) Постройте нормальное поле. (b) Постройте другое (т.е. не гомотопное уже построенному) нормальное поле. (c) Опишите нормальные поля с точностью до гомотопности. (d)* Опишите нормальные поля с точностью до гомотопности для заузленной гладкой окружности в R3 (определение спросите). Неформально, гладким вложением f : S 2 Rm сферы называется изо бражение сферы в Rm без самопересечений, для которого в любой точке существует касательная плоскость. (Формально, ото бражение f : S 2 Rm называется гладким вложением, если оно инъективно и яко биан df (x) невырожден для любой точки x S 2 .) Единичным нормальным векторным полем на f (S 2 ) называется семейство нормальных к f (S 2 ) векторов v(x) в точках f (x) f (S 2 ), непрерывно зависящих от точки x S 2 . Будем называть единичное нормальное векторное поле просто нормальным полем. Аналогично определяются гладкие вложения и нормальные поля для тора, бутылки Клейна, диска и т.д. 2. (a) Любое вложение тора в R3 имеет нормальное поле. (b) Никакое вложение листа Ме биуса в R3 не имеет нормального поля. 3. Постройте гладкие вложения в R4

Нормальные векторные поля


(a) листа Ме биуса M ; (b) бутылки Кляйна K ; (c)* проективной плоскости RP 2 (определение спросите). 4. Постройте нормальные поля для Ваших вложений листа Ме биуса и бутылки Кляйна в R4 . 5. (a) Если гладкое вложение f : S 2 R4 имеет нормальное поле, то оно имеет пару линейно-независимых нормальных полей. (b) То же для тора. (c) Верно ли то же для бутылки Клейна? Понятие гомотопности нормальных полей вводится дословно аналогично случаю касательных полей. 6. Опишите нормальные поля с точностью гомотопности на (a) сфере в R4 ; (b) торе в R4 ; (c) листе Ме биуса в R4 ; (d) бутылке Кляйна в R4 . Примечание: ответ может зависеть от гладкого вложения в R4 . 7. (a) Любое гладкое вложение диска в R4 имеет нормальное поле. (b) То же для тора с дыркой. (c) Верно ли то же для листа Ме биуса? 8. Любое гладкое вложение тора, бутылки Клейна (или даже проективной плоскости RP 2 ) в R5 имеет нормальное поле. 9. Опишите нормальные поля с точностью гомотопности на (a) сфере в R5 ; (b) торе в R5 ; (c) листе Ме биуса в R5 ; (d) бутылке Кляйна в R5 . Примечание: ответ может зависеть от гладкого вложения в R5 . 10.* (a) Любое гладкое вложение сферы в R4 имеет нормальное поле. (b) То же для тора. (c) Никакое гладкое вложение f : RP 2 R4 не имеет нормального поля. (d) Существует гладкое вложение f : K R4 , не имеющее нормального поля.