Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/o2010all.pdf Дата изменения: Wed Dec 8 14:01:16 2010 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:39:00 2016 Кодировка:

« »
I. : -- , , , -- -- , -- ( , , , , )
i 1. , j =

0, i = j (1, 1). 1, i = j

2. f -- x1 , . . . , xn , P -- . , 2 f , P , 2 . xi xj


3. f -- x1 , . . . , xn , P -- , (k - 1) . , A .
i1 ...ik

=

k f xi1 ... xik P


i

v 4. v -- , P . , xj , P , 2 . 5. Tij v i v j -- [.. Tij , v Tij v i v j ]. , Tij + Tj i -- (0, 2). F 6. F (x1 , . . . , xn ) -- k Rn . , Ai1 ...ik = xi1 ... xik (0, k ). 7. Rn S 1 , . . . , S n T1 , . . . , Tn , Ti (0, 1), «» S i Ti . , S i (1, 0). 8. S i1 ...ip -- , , T (0, q ) S i1 ...ip Ti1 ...iq . , S i1 ...ip . 9. [ A 2 , MA , , .] , - A ( (p, q ), p + q = 2) MA 1 2 . 10. [. . , ]. ) 3, ) 4. 12 11. T1 T = e1 e2 e2 + 2e2 e2 e2 f1 = e1 + 2e2 , f2 = -e1 - e2 . 12. Tij k -- R3 , T123 1 e1 , e2 , e3 . Tij k f1 = e1 - e2 , f2 = e2 - e3 , f3 = e1 + e2 + e3 . 13. u = e1 - 3e2 + e3 , v = 3e1 + e3 = e2 + e3 , = e1 - e2 + 2e3 ) (u, v ), ) , ) u v . 12 . 14. () T = e1 e2 + 3e2 e1 , 13 15. (0, k) n- . 16. , Aij B ij Aij B ij . 17. , . 18. , i j j k, . 19. -- . , = , . 20. , T[[i1 ...ik ]j1 ...jl ] = T[i1 ...ik j1 ...jl ] . 21. = 2dx + 3dy = dx dy + dy dz . 22. , 1- 1 , . . . , k , 1 · · · k = 0. 23. , p- = , -- 1-, , = 0. 24. , 2- = , , -- 1-, , = 0. 25. , (n - 1)- n- 1-. 26. = ij dxi dxj -- 2- M [. . ij M ]. , M · · · = ±n! det(ij ) dx1 · · · dx2n , dim M = 2n. n
k







27. n () gij . 1 , k- (n - k)-, ()ik+1 ...in = k! i1 ...in g i1 j1 . . . g ik jk j1 ...jk , = det gij dx1 · · · dxn -- gij . , ) () = (-1)k(n-k) k- , ) = k- , , ) -- k-, = (, ). 28. R3 ( 0, 1, 2, 3) , .


« »
II. : -- -- -- -- -- k- k- 1. [ f gij -- f gij .] ) R2 , R3 . ) f g . ) , . ) , . 2. ) x dx + y dy + z dz ; ) dx dy dz ; ) r2 dr d ( ) . , . dy dx 3. ( x, y ) x x2 -y2 . f : +y ) f : (x, y ) x = cos ; y = sin ; ) f : (u, v ) (x, y ) x = u2 - v 2 ; y = 2uv ; f : (p, q , r) (x, y ) x = pq + r; y = 2(pq + r). 4. ) x2 dx + xy 3 dy ; ) x dy dz + 3y dx dz ; dy y dx ) x x2 -y2 . + 5. , 1 () «», . . , ? ( (0, 1) (1, 0).) 6. , 1- = xdy + dz udv . 7. 1- = f (z )dx + dy + (x + y )dz f (z ), d = 0. 8. ( x, y ) ) u = (1, 0) v = (x2 + y , x - y ); y x ) u = ( 2 2 , 2 2 ) v = (-y , x);
x +y x +y

9.

10. 11. 12.


13.

) u = (3x + 4y , x - 2y ) v = (x - 3y , 2x); [ v Rn (x1 , . . . , xn ) , v i (x1 , . . . , xn ) = Ai xk , k A -- .] , , . S 3 = {x2 + y 2 + z 2 + w2 = 1} ( R4 x, y , z , w) u = (-y , x, -w, z ) v1 = (-w, -z , y , x), v2 = (-w, z , -y , x). [u, v1 ] [u, v2 ]. ~~ X, Y -- M , N . X , Y N . ~~ , [X, Y ] N , N [X , Y ]. d (X, Y ) = X ( (Y )) - Y ( (X )) - ([X, Y ]), -- 1-, X, Y -- , X (f ) -- f X , [X, Y ] -- X Y . p: p ^ ^ ^ (-1)i Xi ( (X0 , . . . , Xi , . . . , Xp )) + (-1)i+j ([Xi , Xj ], X0 , . . . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xp ). d (X0 , . . . , Xp ) =
i=0 0i


14. , . - 15. , = x dyz2y dx R3 (x, y , z ) . dy dx 16. x x2 -y2 (0, 0). +y 17. , 1- R2 \ {0}. 18. , k- Rk+1 \ {0}. 19. , 1- M , M . 20. ) , ) , ) , k , ) , ) ,




« »
III. ( , , ) : -- -- -- ( ) -- ( ) -- 1. x, y , = (ex , 1) = (0, ey ) . . 1 2. v r, v 1 = cos v 2 = - r sin . v . 3. ) , ) R3 , ) . 4. R3 . , (r, , z ) 100 r00 2 i 0 , ) tij = 0 r ) tj = 0 r 0. 001 001 ~j 5. , i k - i k ~ (1, 2), j (1, 2) . 6. , . 7. M . , P M , P . ( ?) 8. ( g = det gij ): ) i i = k
1 g 2g xk n





;

)

i

vi =

i 1 ( gv ) g xi

.





9. M -- gij . , n- det gij dx1 · · · dxn ( ) M n . 10. i v i , v , v (: div v ). , div v = d (v ), v -- 1-, v ^ ^ gij , -- , gij . 11. ) , ) ( ), . 12. X Y -- M . P M (t), (0) = P , (0) = X (P ). t P = (0) (t) . , (
X

Y )(P ) =

d dt

t=0



-1 t

(Y ( (t))) .

13. ) , ) ds2 = y (dx2 + dy 2 ). ) r(u, v ) = (u cos v , u sin v , hv ). 2 2 ) ds2 = dx2 +dy . x +y 2 14. e(x,y,z) (dx2 + dy 2 + dz 2 ), {y = const, z = const} ( ). 15. , ~ . 16. , ds2 = (f (x) + g (y ))(dx2 + dy 2 ) dx ± dy = 0, a -- f (x)+a g (y )- a . 17. , «» (. . , ). , . 18. ) , ) ds2 = (x, y )(dx2 + dy 2 ), ) T 2 , R4 ( ) x2 + x2 + x2 + x2 = 1 x2 + x2 = x2 + x2 , 1 2 3 4 1 2 3 4 19. . 20. , R (. . Rij = R gij ). 2 2




« »
IV. , : -- -- , -- -- 1. , f : X Y (. . ), ) X = Rn , ) Y = Rn . 2. , . 3. , . 4. , Rn . 5. , Rn (n - 1)- . 6. , Rn \ Rk ( k < n) (n - k - 1)- . 7. 1 , 2 -- P Q X . , : (1) 1 2 ( P Q ); - (2) 1 2 1 X . 8. f g -- X n- S n . , f (x) g (x) x X S n , f g . 9. , f : S n S n , , S n . 10. X, Y , Z -- , f : X Y g : Y Z -- . , deg(g f ) = deg g · deg f . 11. , [. . ]. 12. , . 13. ) f : S n S n , deg f = k. ) T 2 S 2 , k. ) 0, (. . ). 14. , S 1 S 1 , . 15. f : S 2 S 2 , S 2 -- , f (z ) = P (z )/Q(z ) -- k l. 16. f : S n S n -- . ) deg f . ) , n f . 17. f -- n- S n = {x Rn+1 | x 2 = 1} , f (x) = -x x S n . ) , deg f = 1. ) , n , x S n , f (x) = x. 18. f : S n S n . , S n , f . 19. : ) v(x, y ) = (x + 2y , 3x + y ); ) v(x, y ) = (x2 - y 2 , 2xy ); ) v(x, y ) = grad Re(z n ), z = x + iy n Z; 1 ) v(x, y ) = grad Re z + z , z = x + iy . 20. v i (x1 , . . . , xn ) = Ai xk Rn , A -- k . 21. , , P T (, , P T -- ). 22. f : SO(3) SO(3), A An .