Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/olimpres.ps Дата изменения: Tue Apr 12 12:32:28 2005 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:34:20 2016 Кодировка: koi8-r

ПОБЕДИТЕЛИ ОЛИМПИАДЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1-2 КУРСА
Фамилия имя курс Оценки Итог
Авдеев Роман 2 + + + + 0 4
Горин Вадим 2 0 + + + + 4
Ероховец Николай 2 + + + +  4
Изосимов Антон 2 + + +  + 4
Куюмжиян Каринэ 2 + + + + { 4
Поршнев Евгений 2 + + +  0 4
Пермяков Дмитрий 1  + + + 0 3
Филимонов Владислав 1 { +  + 0 3
Анисимов Артем + + 0  0 3
Епифанов Евгений 2 0 +   0 3
Ермолов Д 2 + + { + 0 3
Каибханов Ашум 2 + + 0 + 0 3
Нурлигареев Хайдар 2 0 + + +  3
Попелышев 2  + 0   3
Дильман Глеб 1  +  + 0 2
Котова Татьяна 1 0 + 0 + 0 2
Антонова 2  +  + 0 2
Бобров Павел 2 { + { + 0 2
Бунькова Елена 2 + +   0 2
Будылин Роман 2 { +  + 0 2
Бычков Борис 2 0 + +  0 2
Гортинский Максим 2 0 + 0 + 0 2
Ефименко 2 0  0 + 0 2
Кикоть Ирина 2 + 0  + 0 2
Кузин П 2  + { + 0 2
Курахтенков Леонид 2 0 + 0 + 0 2
Лопухин Константин 2 0 + 0 + 0 2
Миловидов А 2 0   + { 2
Облаков Константин 2 + +  0 0 2
Парусникова Анастасия 2 0 + { + 0 2
Коробицын Дмитрий 1 0 0 0 + 0 1
Политов Антон 1 {   { 0 1
Приходько М. 1 +  0 0 { 1
Петухов Алексей 2  + {  { 1
Сидоренко 2 0  0 { 0 1
Халилов А. 2 {  { { { 1
Чеповский Александр 2 { + {  0 1
В Олимпиаде вне конкурса участвовали следующие школьники (в рамках кружка
'Олимпиады и математика'). Для них Олимпиада проходила устно 105 минут.
1

Фамилия имя класс Реш. задачи Итог
Девятов Ростислав 10 1 2 3 4 4
Абрамов Ярослав 11 2 3 4 3
Мироненко-Маренков Антон 11 2 3 4 3
Баранов Дмитрий 10 2 4 2
Корнаков Илья 10 2 4 2
Оганесян Дмитрий 10 2 4 2
Родионов Игорь 11 2 1
Трепалин Андрей 11 3 1
Разбор задач и показ работ состоятся 18 апреля, 18.10-19.00, ауд. 20-
17; награждение победителей состоится 22 апреля в 19.00 на концерте,
приуроченном к празднованию Дня Мехмата (вместо ранее объявленного
15 апреля). Принято решение наградить
зачетом по курсу 'Класическая дифференциальная геометрия' | студентов
групп 201-206, решивших не менее 3 задач;
математическими призами | студентов 2 курса, решивших не менее 2 задач
(кроме решивших ровно 3 задачи и награжденных зачетом), а также студентов
1 курса, решивших не менее 1 задачи.
Олимпиада по геометрии и топологии, 6.04.05, 16.15-19.45.
1. На плоскости фиксированы точки O; A 1 ; : : : ; A s и числа m 1 ; : : : ; m s . Момен-
том инерции относительно прямой l системы A 1 ; : : : ; A s ; m 1 ; : : : ; m s называется
число I(l) = m 1 jA 1 lj 2 + : : : +m s jA s lj 2 , где jA i lj | расстояние от точки A i до пря-
мой l. Будем рассматривать прямые l на плоскости, проходящие через точку O.
Пусть I + и I | наибольшее и наименьшее значения момента инерции I(l) (воз-
можно, I + = I ). Возьмем одну из прямых l + , для которой I(l + ) = I + . Докажите,
что I(l) = I + cos 2 ' + I sin 2 ', где ' =
6 (ll + ).
2. Разрежьте бутылку Клейна так, чтобы получился (один) лист Мебиуса. Бу-
тылкой Клейна называется фигура, полученная из боковой поверхности цилиндра
склейкой двух граничных окружностей, как на рисунке.
3. Какие правильные многогранники могут получиться в сечении четырех-
мерного куба трехмерной гиперплоскостью?
4. Докажите, что композиция осевых симметрий пространства относительно
перпендикулярных скрещивающихся прямых является винтовым движением, т.е.
композицией вращения относительно некоторой направленной оси на некоторый
угол и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси. Найдите на-
правленную ось, угол вращения и вектор переноса.
5. Пусть G f | график непрерывной функции f : R ! R. Известно, что
для любых чисел x; y 2 R существует диффеоморфизм M : R 2 ! R 2 (т.е. та-
кое взаимно-однозначное дифференцируемое отображение M = (M 1 ; M 2 ), что
@M 1
@x
@M 2
@y
@M 2
@x
@M 1
@y 6= 0 в любой точке) для которого M(G f ) = G f и M(x; f(x))) =
(y; f(y)). Верно ли, что функция f дифференцируема? Примечание: функция с
бесконечной производной в точке считается дифференцируемой в этой точке (на
самой Олимпиаде было дано обратное разъяснение).
2