ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Геометрические образы и ассоциации в математике
   1. Образы в топологии
   2. Образы в теории многообразий
   3. Образы в математическом анализе
   4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
   5. Образы в вариационном исчислении
   6. Образы в алгоритмической и компьютерной геометрии
   7. Образы в общематематических концепциях
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

ВВЕДЕНИЕ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ И АССОЦИАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ

Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных сложным вопросам, — например, в многомерной геометрии, в вариационном исчислении и т. п., — активно используется «наглядный жаргон», выработавшийся при исследовании двумерных и трехмерных образов. Что-то вроде — «разрежем поверхность», «склеим листы поверхности», «приклеим цилиндр», «вывернем сферу наизнанку», «присоединим ручку» и проч. Такая, — на первый взгляд «ненаучная» терминология, — отнюдь не прихоть математиков. Скорее, — «производственная необходимость». Математическое мышление довольно часто вынуждено опираться на неформальные образы, поскольку это необходимо при поиске доказательств многих технически трудных результатов. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала «разглядеть» лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить его как аккуратное логическое рассуждение.

У каждого профессионального математика со временем вырабатываются свои собственные представления о внутренней геометрии известного ему математического мира. А также — о наглядных образах, с которыми у него ассоциируются те или иные абстрактные математические понятия из алгебры, теории чисел, математического анализа. Оказывается, — и это чрезвычайно интересно, — что у разных математиков одни и те же абстракции часто рождают очень похожие (иногда практически тождественные!) геометрические представления. Причем эти образы «реально существуют», проявляясь в общении математиков и помогая им лучше понять друг друга.

Графический материал, предлагаемый читателю, это — попытка как бы сфотографировать изнутри своеобразный мир современной математики. Все рисунки либо основаны на конкретных математических конструкциях, идеях, теоремах, либо изображают реальные математические объекты и процессы, либо отражают абстрактные математические понятия, например, бесконечность, непрерывность, гомеоморфизм, гомотопию и т. п.

В настоящей книге собраны работы, выполненные автором в разные годы (большей частью — с 1967 по 1983 гг.). Автор многие годы читает в МГУ обязательный курс «Дифференциальная геометрия и топология», а также специальные курсы по современной геометрии и приложениям. Поэтому по собственному опыту знает, как полезно иногда проиллюстрировать сложное математическое понятие неформальным рисунком. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие мои графические работы имеют прикладной характер. Не следует думать, что они идеально соответствуют своим математическим «прототипам». Сюжет каждой работы построен на сугубо субъективных ассоциациях и передает лишь авторское видение математического «персонажа». Надо отдавать себе отчет в объективных трудностях, возникающих на этом пути. Невозможно (да и не нужно) идеально точно нарисовать на плоском листе бумаги объект, «живущий», скажем, в семимерном пространстве. Ведь мы привыкли лишь к трехмерным (и двумерным) образам. Поэтому, «семимерный персонаж» поневоле искажается, будучи принудительно помещен в трехмерное пространство. Приходится жертвовать точностью в пользу наглядности.

Многие работы выполнены в шутливом тоне. Я не сдерживал себя, когда удавалось придать рисунку юмористический колорит. Кроме того, многие работы апеллируют скорее к эмоциям зрителя, чем к рациональной стороне его мышления.

Возникла мысль снабдить графические работы математическими и нематематическими комментариями. Кроме математики, почти все работы отражают еще один, «второй слой» информации. Речь идет о внематематических ассоциациях, возникавших у автора в процессе работы. Они оказались разнообразными. То это шутка и желание увидеть в «сфере с пятью ручками» забавное необычное существо, то — гротеск, искажающий привычные пропорции и масштабы. То — это воспоминания о каких-то средневековых мифах. Чтобы не загромождать комментарии, ссылки на источники, содержащие те или иные мифы, опущены. Приводя фрагменты тех или иных мифов, автор устраняется от их оценки. Миф интересен тем, что отражает представления наших предков. Конечно, сегодня многие из легенд представляют всего лишь литературный интерес. Много интересных мифов собрано в книге Дж.Дж.Фрэзера «Золотая ветвь».

Несколько слов о предыдущих публикациях и выставках этих работ. Первым авторским опытом в области графической визуализации сложных современных математических понятий были иллюстрации к книге Д.Б.Фукса, А.Т.Фоменко, В.Л.Гутенмахера «Гомотопическая топология» (изд-во МГУ, 1967, 1968 и 1969 гг.). Она пользовалась большой популярностью среди математиков. Определенную роль в этом сыграли и иллюстрации. Этот цикл работ (в расширенном виде, около 40 иллюстраций) вошел затем в большую монографию А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукса «Курс гомотопической топологии» (М.: Наука, 1989).

В 1990 году Американское Математическое Общество издало мою книгу-альбом «Mathematical Impressions», включающую 84 работы (из которых 23 выполнены в цвете), снабженные математическими комментариями, кратко разъясняющими сюжеты работ. Это было высококачественное издание крупного формата.

Следующим шагом можно считать книгу автора «Наглядная геометрия и топология» (Москва, изд-во МГУ, 1993). В 1994 году она была переведена на английский язык издательством Springer.

Ряд работ был опубликован во многих математических книгах других математиков, по их просьбе. Назову здесь лишь:

• прекрасные монографии американского математика Н.Коблитца «A course in number theory and cryptography», «Introduction to elliptic curves and modular forms», «P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions» (Springer-Verlag),
• книгу выдающегося российского математика, члена-корреспондента РАН, А.Н.Ширяева «Probability» (Springer-Verlag),
• совместную книгу французского математика Жакода и Ширяева «Limit theorems for stochastic processes» (Springer-Verlag),
• совместную книгу известных математиков: российского — В.В.Калашникова и болгарского — С.Т.Рачева, «Математические методы построения стохастических моделей обслуживания» (Наука),
• пользующуюся большой популярностью книгу российских математиков Ю.Г.Борисовича, Н.М.Близнякова, Я.А.Израилевича и Т.Н.Фоменко «Введение в топологию» (несколько изданий: Высшая школа, Мир, Наука, затем голландское изд-во Kluwer),
• уникальную книгу болгарского математика Й.Стоянова «Counterexamples in probability» (John Wiley & Sons).

Кроме того, много моих графических работ было опубликовано в разные годы в центральных газетах и журналах. В частности, в газетах «Советская культура», «Комсомольская правда», «Социалистическая индустрия», «Московские новости», «Вечерний Клуб», а также в журналах «Наука и жизнь», «Техника и наука», «Химия и жизнь», «Наука и религия», «Техника молодежи», «Культура и жизнь», «Квант», «Советская жизнь», в ежегоднике «Наука и человечество» и др. Много публикаций появилось также в зарубежной специальной и научно-популярной прессе. Например, в американском журнале «The Mathematical Intelligencer».

Работы многократно выставлялись на выставках, организованных в разные годы (в основном, на общественных началах, по просьбам зрителей) в научных, учебных, производственных центрах Москвы, Ленинграда, Киева, Новосибирска, Свердловска и других городов. Мои персональные официальные выставки происходили также в художественных музеях Челябинска, Магнитогорска, Магадана. Голландское издательство Reidel (сейчас — Kluwer) организовало персональную выставку в Амстердаме. Кроме перечисленных персональных выставок (их насчитывается более 100), работы участвовали в известных всесоюзных и международных выставках «Ученые рисуют» (1982 г.) и «Время-пространство-человек» (1980 г.), экспонировавшихся во многих городах страны и за рубежом.

На киностудии «Союзмультфильм» в 1988 году режиссером В.И.Тарасовым был создан с использованием моих работ получасовой мультфильм «Перевал» по повести К.Булычева. Довольно много работ было также использовано в двухсерийном телефильме Т.А.Лебедевой «Мир и война» (Центральное телевидение).

Ввиду отсутствия специального художественного образования, автор не ограничивал себя рамками какого-либо одного жанра. Возможно, определенное влияние оказали мои любимые художники Босх, Брейгель, Дали, Эшер, Беклин, Дюрер, хотя сознательного подражания им никогда не было. Все рисунки выполнены «от руки», без использования компьютерной графики.

Работы сгруппированы приблизительно по темам, которые указаны в названиях параграфов. Комментарии устроены так. Сначала идет математический слой, затем — внематематические ассоциации.