Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/encyclopedia/minimal_surface.doc Дата изменения: Mon Nov 28 14:42:36 2011 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:55:21 2016 Кодировка: koi8-r

Минимальная поверхность - поверхность нулевой средней кривизны, более
общо, экстремаль функционала площади или объема. Интерес к минимальным
поверхностям восходит к работам Пуассона и Плато. Согласно теореме
Пуассона, средняя кривизна поверхности раздела двух физических сред,
находящихся в равновесии, пропорциональна разности давлений в этих средах.
Примерами таких поверхностей могут служить мыльные пузыри (разность
давлений отлична от нуля, средняя кривизна постоянна и отлична от нуля) и
мыльные пленки, затягивающие проволочные контуры (давления одинаковы,
средняя кривизна равна нулю). Мыльные пленки впервые были подробно изучены
Жозефом Плато.
|[pic] |[pic] |
|Рис.1. Мыльная пленка на сложном |Рис. 2. Несколько разных минимальных |
|проволочном контуре. Содержит |поверхностей, затягивающих один и тот|
|фрагменты поверхности нулевой средней|же проволочный контур (так называемый|
|кривизны, а также фрагменты пузырей. |контур Дугласа). |


С физической точки зрения ясно, что мыльная пленка стремится занять в
пространстве положение, соответствующее экстремуму энергии, которая в
данном случае пропорциональна площади поверхности. Поэтому, с
математической точки зрения, мыльные пленки описываются как критические
точки функционала площади. Минимальные поверхности - критические точки
функционала площади, рассматриваемого на классе поверхностей, затягивающих
один и тот же контур (граничная задача), относительно малых деформаций
поверхности. Не сложно показать, что в этом случае условие экстремальности
- это в точности условие равенства нулю средней кривизны поверхности.
Поиск поверхностей наименьшей площади (глобально минимальных
поверхностей), затягивающих данный контур, - это существенно более сложная
задача, известная как проблема Плато. Трудности, возникающие здесь, связаны
с тем, что один и тот же контур могут затягивать совсем разные поверхности
(рис. 2). В классическом случае двумерной поверхности, гомеоморфной диску в
трехмерном пространстве, проблема Плато была успешно решена (т.е. было
доказано существование решения) Дж Дугласом, получившим за это одну из двух
первых Филдсовских премий.
В случае многомерной поверхности в многомерном пространстве ситуация
оказалась существенно более сложной. Сложность задачи обусловлена, в
частности, тем, что в процессе минимизации площади у многомерной
поверхности могут возникать сложные особенности. Для решения многомерной
проблемы Плато пришлось переосмыслить сами понятия поверхности, ее границы
и площади. Соответствующие обобщения были получены Федерером и Флемингом
(теория целочисленных потоков), Альмгреном (варифолды), Фоменко
(спектральные многообразия и экстраординарные когомологии), Дао Чонг Тхи
(мультиварифолды).
В последнее время также возрос интерес к одномерному аналогу проблемы
Плато - задаче о поиске одномерного континуума (сети) наименьшей (или
экстремальной) длины, соединяющего данное множество точек. Эта задача
называется проблемой Штейнера и также имеет многочисленные приложения.
Рекомендованная литература.
А.Т.Фоменко, Вариационные методы в топологии. М.: Наука, 1982.
А.О. Иванов, А.А.Тужилин, Теория экстремальных сетей. Москва, Ижевск,
ИКИ, 2003.