Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2014-dip-pogorelov.pdf Дата изменения: Wed Jul 9 16:53:01 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:55:55 2016 Кодировка: Windows-1251

МГУ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра дифференциальной геометрии и приложений

Дипломная работа: Реализация алгоритма построения коммутирующих дифференциальных операторов по геометрическим данным.

Студент S курса кафедры дифференциальной геометрии и приложений Погорелов Дмитрий Александрович Научный руководительX Жеглов Александр Борисович

МоскваD PHIR гF

I


1

Введение

Цель этой работы " разработка и программная реализация алгоритма построения коммутирующих обыкновенных дифференциальных операE торов по некоторым геометрическим @спектральнымA даннымF Построение явных примеров коммутирующих операторов " сложE ная задачаF Ее важность обусловлена темD что коэффициенты таких операторов дают явные решения известных нелинейных дифференциE альных уравненийD таких как уравнение КадомцеваEПетвиашвили @КПAD КортевегаEдеEФриза @КдВAD sinEqordonD и тF дF @смF например WD RD IPAF Особый интерес представляют примеры коммутирующих операторов с рациональными коэффициентамиX исследование свойств таких оператоE ров может помочь в решении известной проблемы ДиксмьеF НапомнимD что гипотеза Диксмье утверждаетD что всякий эндоморфизм алгебры Вейля D1 = C[x][x ] является автоморфизмомF Как известно @смF IAD гиE потеза Диксмье для алгебр Dn эквивалентна другой не менее известной гипотезе о якобианеD утверждающейD что полиномиальное отображение из Cn в Cn D якобиан которого " ненулевая константаD " обратимоF НапомнимD что коммутативные алгебры обыкновенных дифференциE альных операторов соответствуют так называемым спектральным данE нымF ТакD если имеется кольцо коммутирующих дифференциальных опеE раторовD порожденное над полем k характеристики H двумя обыкновенE ными дифференциальными операторами
n P1 = x + un-1 (x) n-1 x

+ . . . + u0 (x),

m P2 = x + v

m-1

m (x)x

-1

+ . . . + v0 (x),

тоD как это было замечено еще Берчналлом и Чаунди в QD существует ненулевой полином Q(, ч)D такой что Q(P1 , P2 ) = 0F Пополнение C криE вой Q(, ч) = 0 называется F В общей точке (, ч) пространство собственных функций @функции БейкераEАхиезераAX

спектральной кривой
P2 = ч

P1 = ,

имеет размерность rD и эти функции являются сечениями пучка без круE чения F ранга r на спектральной кривой @для более точных утверждеE ний и дальнейших деталей смF работы процитированные вышеAF ПополE нение кривой Q(, ч) = 0D полученное добавлением неособой точки P @не обязательно проективное замыкание в P2 3AD и тройка (C, P, F ) являются частью так называемых F Кричевер @WD IHA дал геометрическую классификацию алгебр 4обE щего положения4ранга r в терминах спектральных данных @когда

спектральных данных

P


спектральная кривая " гладкаяAF Дринфельд V предложил алгеброE геометрическую переформулировку результатов КричевераD которая быE ла впоследствии усовершенствована Мамфордом PI и Муласе IWF В настоящее время известно довольно много примеров коммутируюE щих операторовF В случае данных ранга один явные формулы собственE ных функций коммутирующих операторов @функции БейкераEахиезераA были найдены КричеверомF Для данных ранга одинD в которых спекE тральная кривая рациональнаD явные формулы были также даны ВилE соном @PQAF В случае данных ранга больше I задача существенно усложE няетсяD и универсальных формул для собственных функций или для коE эффициентов коммутирующих операторов пока не существуетF Тем не менееD существует ряд примеровF ТакD операторы ранга дваD соответствуE ющие эллиптическим спектральным кривымD были найдены Кричевером и Новиковым в IIF В работе T приводятся явные формулы общего вида для коммутирующих операторов порядка R и TF Такие операторы тоже соответствуют геометрическим данным ранга P @смF подробные определеE ния в параграфах PD RAF Диксмье в U построил пример коммутирующих операторов с полиномиальными коэффициентамиD соответствующих элE липтическим спектральным кривымF В связи с этим результатом и реE зультатами Кричевера и Новикова интересно отметить теорему ГринеE вича @SAD которая дает критерий рациональности коэффициентов комE мутирующих операторовD соответствующих эллиптическим спектральE ным кривымF Операторы ранга QD соответствующие элииптическим спекE тральным кривымD были найдены Моховым @IUAF В работах IQD IRD ISD IT были найдены примеры операторов ранга r > 1D соответствуюE щие спектральным кривым рода g > 1D причем в работе IQ были найдеE ны примеры операторов ранга P с полиномиальными коэффициентамиD соответствующие гиперэллиптическим кривымF Существует множество других работ на эту темуD ссылки на которые мы здесь не приводим ввиду большого объемаF Между темD все вышеперечисленные примеры были найдены пракE тически без использования знания о спектральных данных из теоремы классификации КричевераF ТакD спектральные данные для операторов КричевераEНовикова были найдены для случая гладких кривых позднее в работе PPD а для особых кривых E лишь в работе PF В этой работе для построения примеров коммутирующих операторов мы стартуем со спектральных данных и далее используем конструктивE ную теорию Сато @смF обзор в R или IVAD а также некоторые новые соображения и результаты из работы PF В результате мы получаем теоE ретический алгоритм построения примеров коммутирующих операторов любого ранга по заданным начальным спектральным данным в случаеD Q


когда спектральная кривая рациональнаF Алгоритм состоит из двух чаE стейX сначала по спектральным данным строится точка в грассманиане Сато @или пара ШураD смF параграф QAF Затем по ней строятся коммуE тирующие операторыF Мы приводим в этой работе программную реалиE зацию второй части алгоритма для случаяD когда пара Шура опредеE ляет операторы с рациональными коэффициентами @такие пары Шура ищутся с помощью аналога критерия ГриневичаAF А именноD реализован пакет программD необходимых для применения теории СатоX нахождеE ние оператора Сато по паре ШураD работа с псевдодифференциальныE ми операторами и с дифференциальными операторамиD коэффициенты которых " рациональные функцииD программа восстановления рациоE нальной функции по ее ряду ТейлораF Первая часть алгоритма @теореE тическаяA описана в PD программной реализации ее пока нетF В будущем пакет программ можно усовершенствовать для поиска примеров для люE бых рациональных кривыхD и дажеD возможноD не рациональныхF Структура работы таковаF В параграфах IER мы напоминаем необхоE димые сведения из теории СатоF В параграфе S предлагается идея реализации алгоритма восстановE ления дробноEрациональной функции по ее ряду ТейлораF В параграфе T мы приводим описание алгоритма построения коммуE тирующих операторовF В параграфе U мы приводим описание пакета программF В параграфе U мы приводим несколько примеров конкретных вычисE лений и коммутирующих операторовF

2

Псевдодифференциальные операторы

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабж?нные дифференцированием унарной операцией, удовлетворяющей правилу Лейбница, дистрибутивной по сложению.
Определение 1.

Естественный пример дифференциального поля " поле рациональE ных функций одной комплекснойGвещественной переменной C[x] G R[x]D операции дифференцирования соответствует дифференцирование по xF Рассмотрим дифференциальное кольцо A @ассоциативноеD коммутаE тивноеD с единицейA обозначим через E оператор дифференцироваE нияF ВыяснимD как коммутируют операторы и оператор умножения на функцию из A a, f A R


( (f ))a = (f a) = ( f ) a + f ( a) ((f ) )a = f a
перепишем @IA в безиндексном виде

@IA

(f ) = ( f ) + (f ) ( n )f будем обозначать f (n) Начиная отсюда вместо f будем писать просто f D поскольку будем говорить только об операторахF Тогда @IA перепишется как X f = f + f
применяя эту формулу многократноD получимX
n

f=
k=0

n

k Cn f

(k) n-k



Введем формально оператор

-1

D обратный к
-1



-1

=

=1

РассмотримD как он должен коммутировать с операторами умножеE ния на функции из A f = f + f


отсюда

-1

f f

-1 -1

= =

-1 -1

f f

-1 -1

+ +
-1

-1 -1

f f

-1

-1

f = f

-1

-

f

-1

применяя это многократноD получим




-1

f = f

-1

-f

-1

+

-1

f

-1

= ... =
k=0

(-1)k f

(k) -1-k



Псевдодифференциальным оператором(ПДО) с коэффициентами из кольца A называется формальный лорановский ряд
Определение 2.

n

p=
i=-

ai i , a A, n Z

S


Наибольшая степень с ненулевым коэффициентом называется поE рядком ПДОD обозначается ord pF Определим умножение мономов форE мулой


a=
k=0

n

k Cn a(k)

n-k

, n Z, a A

и распространим по линейности

([20, ch.III, 11]) Псевдодифференциальные операторы с введенным выше умножением образуют ассоциативную алгебру.
Теорема 1.

Далее кольцо псведодифференциальных операторов над кольцом Тейлоровских рядов @над полем KA будем обозначать ED а кольцо диффеE ренциальных операторов E DF Также эти кольца являются алгебрами над KF Еще один важный пример E алгебра псевдодифференциальных опеE раторов с постоянными коэффициентамиD являющаяся подалгеброй EF Обозначим ее через E F ОчевидноD E является коммутативной алгебройF
n

E = {p, p =
i=-
Определение 3.

ci i , ci K}

Кольцо псевдодифференциальных операторов раскладывается в прямую сумму кольца дифференциальных операторов(E+ или D) и кольца операторов отрицательного порядка.
E = E+ + E-
n

E- =
i=-
Определение 4.

ai i , a A, n Z, n < 0

Коммутативная подалгебра B D называется эллиптической если содержит элемент P порядка больше нуля с единичным старшим членом. Для элиптической подалгебры B можно определить ранг
rk B = g cd(ord Q, Q B )

Обознчим через Br множество всех элиптических коммутативных подалгебр D ранга r. Алгебры B и B называются эквивалентными, если существует обратимый ряд f ,такой что
B = fB f
-1

T


Определим через Bp Eмножество дифференциальных операторовD комE мутирующих с P F То есть Bp = {Q D, [Q, P ] = 0}
Теорема 2.

(Шур, ср. [18, Lemma 7.5]) Для любого дифференциального оператора P положительного порядка с единичным старшим членом, существует обратимый псевдодифференциальный оператор нулевого порядка S такой, что множество Ap = S -1BpS состоит из псевдодифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
Ap = S
-1

Bp S E = C((P
-1/n

Обратимый оператор нулевого порядка S называется допустимым, если S S -1 - псевдодифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Все допустимые операторы образуют группу Ga . Доказательство. Проверим групповые свойстваF Так как Ga E остаE
Определение 5.

Bp S ћ E ћ S

-1

))

ется проверить только замкнутость

S1 S (S1 S (S1 S2 ) (S1 S2 )
-1 -1 n 1)

-1 1

E
-1 1

= S1 n S
n

E
n i -1 1

= S1 S2 S

-1 -1 2 S1

= S1 (
i=-

ci )S

=
i=-

ci (S1 i S

-1 1

)E

что и требовалось доказать

3

Пары Шура

Пусть V E пространство Лорановских рядов над произвольным полем KF ДалееD если не оговорено иноеD будем полагатьD что K = Q


V :{
i=n

ai z i }, n Z, ai K

Пусть E E кольцо псевдодифференциальных операторов с коэффициенE тами из кольца тейлоровских рядовF
n

E:{
i=-

ai (x ) }, n Z, ai =
j =0

i

aij x

j

U


Определение 6

@отображение СатоA

.

: E - V
n

e E, e =
i=- n -i

ei (x )i ,
i

(e) =

(ei
i=-

mod x)z

=

(e-
i=-n

i

mod x)z

Определим также отображение
Определение 7.

: V - E


v V, v =
i= n -n

vi z

i

(v ) =
i=-

v-i (x )

i

Отображения и задают биекцию между элементами из V и E F Далее в текстеD умножая элементы из V и E D мы будем опускать () и ()D подразумевая что умножение элементов происходит в E F Заметим такжеD что ( (a) ћ (b)) = a ћ b
Определение 8.

W

W.

Пусть W - подпространство в V . Назовем носителем пространство, порожденное старшими мономами всех элементов


supp W =< aN z N , a =
Определение 9.

ai z i W >
i=N

если

supp W1 = supp W2

Назовем пространство

W1

вполне соизмеримым с W2,

Пусть W0 E пространствоD порожденное мономами z i , i 0

W0 = K[z -1 ]
Определение 10.

W

0

Назовем базис пространства вполне соизмеримого с допустимым, если он имеет вид


wk = z

-k

+
i=1

ai z i , i N {0}
V


Теорема 3.

(Сато, [18, Th.7.4]) Для любого пространства W , вполне соизмеримого с W0, сущетсвует единственный оператор S E , называемый сопрягающим, что W = W0 ћ S ([18, Lemma 7.2]) Пусть P E . Если W0 ћ P W0, то
Теорема 4.

P D

пространство
Лемма 1.

Определение 11.

AV

Стабилизатором пространства W V называется , для которого выполняется условие
a A, w W, a ћ w W

Стабилизатор является кольцом. Доказательство. ОчевидноF @Пары ШураA Пару пространство-стабилизатор (A, W ) называют парой Шура.
Определение 12 .

AћW W
Теорема 5.

Пусть W - пространство, вполне соизмеримое с W0, A стабилизатор W , S - сопрягающий оператор. Тогда S AS -1 D, где D - кольцо дифференциальных операторов. Доказательство. W = W0 ћ S по теореме Сато
W ћ A W = W0 ћ S A W0 ћ S = W0 ћ S AS
По теореме RD S AS
-1 -1

W

0

Порядком элемента пространства V называется степень его страшего монома. a = N aizi, ord a = N i= Рангом пары (A, W ) называется наибольший общий делитель порядков элементов стабилизатора.
Определение 13. Определение 14.

E дифференциальныйF

rk (A, W ) = gcd(ord a, a A)
Определение 15.

Рангом пространства W называется наибольший общий делитель порядков элементов его максимального стабилизатора.
rk W = gcd(ord a, a A)

Группа допустимых операторов Ga действует на пары Шура следуE щим образом T (A, W ) = (T AT -1 , T W ), T Ga W


Определение 16.

Пары Шура (A, W ) и (A , W ) называются изоморфными, если существует допустимый оператор T Ga такой, что
T (A, W ) = (A , W )

([18, Th.5.6, Cor.5.7]) Существует взаимнооднозначное соответсвие между классами эквивалентности коммутативных эллиптических алгебр ранга r и классами изоморфных пар Шура ранга r Доказательство. Это соответсвие можно построить конструктивно
Теорема 6.

B - (A, W ), A = S

-1

B S, W = (S

-1

D) = S

-1

W

0

где S E оператор из теоремы ШураF В обратную сторонуX

(A, W ) - B = S AS

-1

,W = S

-1

W

0

где S однозначно определяется теоремой Сато

4

Геометрические данные

Определение 17.

Геометрические данные ранга r это набор
(C, P, F , , ),

где
ћC ћP ћ ћF ћ

проективная кривая над полем k характеристики ноль. C неособая точка. ^ : OC k [[z ]] изоморфизм локальных k -алгебр. когерентный пучок без кручения ранга r. ^ ^ : F OC r изоморфизм пучков OC -модулей.

Нетрудно ввести понятие изморфизма геометрических данных @смF IWAF Имеет место следующее утверждениеX

([18, Th.3.7]) Существует взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфных пар Шура ранга r и классами изоморфных геометрических данных ранга r.
Теорема 7.

IH


Это соответствие можно задать конструктивно @смF IW или PAF Из результатов работы P следуетD что для любого пучка без кручения на рациональной кривой над полем Q существует тривиализация D такая что соответствующая пара Шура будет определена тоже над полем QF Более тогоD ранг пространства в этом случае будет равен IF Это позE воляет реализовать алгоритм построения коммутирующих операторов с рациональными коэффициентами @смF ниже раздел TAF ОтметимD что все тривиализации отличаются друг от друга на автоморфизм пространE ства k [[z ]]r D задаваемый матрицей из группы GL(r, k [[z ]])F В работе P также были описаны все пучки без кручения ранга P на рациональных кривых рода I @тFеF на кривыхD задаваемых уравнением 2 3 z y 2 - 4x3 - g2 xz 2 - g3 z 3 = 0 в P2 D где дискриминант g2 + 27g3 = 0AD и найдены пары Шура для некоторых тривиализацийD упомянутые вышеF Эти примеры послужили в качестве тестовых примеров для проверки работы программF

5

Восстановление

дробно-рациональной

функции по ее ряду Тейлора
Постановка задачи Здесь и далее рассматриваются ряды Тейлора над полем рациE ональных чиселF Пусть имеется алгоритм позволяющий вычислить сколь угодно много членов ряда Тейлора некой рациональной функции P (x)/Q(x), deg P, deg Q < c, c = constF Требуется найти коэффициенты многочленов P (x), Q(x)
Определение 18. Лемма 2.

Назовем ряд w обратным r, если w ћ r = 1 Для любого ряда r, r0 = 0 существует обратный. Доказательство. Построим требуемый ряд
w0 = 1/r0
i-1

wi = -1/r0
j =0

wj ћ ri

-j

Докажем что r ћ w = 1 пусть r ћ w = u тогда u0 = w0 ћ r0 = 1
i i- 1

ui =
j =0

(wj ћ ri-j ) =
j =0

(wj ћ ri-j ) + wi ћ r0 = 0
II


Данная конструкция дает нам алгоритм для построения обратного ряда с заданной точностьюF Пусть имеется функция F D разложимая в ряд Тейлора в точке x = 0F Будем говорить что рациональная дробь R = P /Q, q0 = 0 приближает заданную функцию с точностью nD если ряд Тейлора функции F - R начинается с члена степени больше n

Пусть имеется две рациональные дроби R = P /Q и R такие, что deg P, deg Q, deg P , deg Q n и они приближают с точностью 2n. Тогда R = R Доказательство. Пусть R = R
Теорема 8.

P /Q

= F

R-R =

P ћQ -P ћQ =0 QћQ

P ћQ -P ћQ=0 deg (P ћ Q - P ћ Q) 2n
Тогда числитель делится на x в степени не более чем 2nF Тогда в разлоE жение R - R в ряд Тейлора начинается с члена степени не более чем 2nF НоD поEскольку ряды функций R D R и F совпадают по крайней мере в первых 2n членахD рядD представляющий R - R D должен делится на x в степени не менее чем 2n + 1F Противоречие

ональной дроби ряда Тейлора.

Лемма 3

@СледствиеA. P /Q, deg P, deg Q n

Для того чтобы найти коэффициенты рацидостаточно взять 2n членов ее

Пусть имеется рациональная функция R = P (x)/Q(x), q0 = 0, deg P n, deg Q m и ее ряд Тейлора ri F Если m > n и r0 = 0D вычислим обратный ряд r-1 и сведем задачу к восстановлению дроби R = Q(x)/P (x)F Исходная дробь вычисляется как 1/R Если m n или r0 = 0D

R = (R - r0 )/x, deg P n - 1, deg Q m
Задача сводится к нахождению дроби RF R = R ћ x + r0 F

IP


6

Описание алгоритма

Алгоритм состоит из двух частейF В первой частиD описанной в PD по заданным геометрическим данным (C, P, F , , ) ранга r над полем QD где C " рациональная криваяD строится пара Шура (A, W )F ПространE ство A " это подкольцо кольца многочленов от одной переменнойD и оно может быть задано как подалгебра конечным числом образующихF Пространство W бесконечномерноD поэтому первая часть алгоритма на выходе выдает любое наперед заданное число образующих этого проE странства @точнееD первые элементы допустимого базисаAF При этом коE личество операцийD необходимых для продуцирования n элементов базиE саD линейно по nF Еще известноD что для некоторых тривиализаций все коэффициенты сопрягающего оператора S D а также все коэффициенты коммутирующих операторов " рациональные функцииF Вторая часть алгоритма " построение коммутирующих операторов по паре ШураF Это можно сделатьD используя следующее соображениеX если известно достаточно большое количество коэффициентов оператора S @равное степени оператораD который мы ищемD илиD что аналогичноD порядку элемента в кольце AAD то искомый оператор можно найти по формуле (S aS -1 )+ @PA где a A " произвольный элементD или с помощью решения уравнения

P = a ,
где P " искомый операторD а = S (exp(xz -1 )) " функцияD получающаE яся применением оператора S к экспоненте (exp(xz -1 ))F Таким образомD задача сводится к томуD чтобы найти достаточное коE личество коэффициентов оператора S F Для этого используется теорема СатоF Ее доказательство конструктивноD и потому может быть запроE граммированоF При этом на входе алгоритма задается некоторое колиE чество первых базисных элементов пространства W D а на выходе вывоE дятся коэффициенты рядов Тейлора первых коэффициентов оператора S F Количество выводимых коэффициентов зависит от количества базисE ных элементов на входеF Сложность этого алгоритма опять линейнаяF Если известноD что коэффициенты оператора S " рациональные функцииD то можно использовать алгоритм восстановления рациональE ной функции по ее ряду ТейлораF Алгоритм останавливается тогдаD когда полученные по формуле @PA операторы с рациональными коэффициентами коммутируютF ВажноD что проверка коммутирования двух операторов " точное @не зависящее от IQ


точности компьютерных вычисленийA вычислениеD так как поле опредеE ления " QF

7

Описание пакета программ

Для работы с псевдодифференциальными операторами в этой работе написана библиотека СCCD реализующая некоторые основные операцииF

ћ умножение ћ сложение ћ вычисление арифметического корня эллиптического оператора @реE шение уравнения Ln = P A ћ вычисление обратного оператора @для операторов со старшим моE номом n A ћ вычисление сопрягающего оператора для эллиптических оператоE ров @решение уравнения S ћ n ћ S -1 = P A ћ восстановление оператора по пространству @теорема СатоA ћ восстановление дробноEрациональной функции по ряд Тейлора
Теорема Сато позволяет восстановить оператор с коэффициентами в виде рядов @с заданной точностьюAF Данная процедура нужна чтобы восстановить оператор с коэффициентами в виде дробноE рациональных функцийF Все вычисления используют пакет точных рациональных чиселD поE этому любые результаты являются абсолютно точными и не нуждаются в оценке погрешностиF

7.1

Псевдодифференциальные DPolynom.cpp, DPolynom.h

операторы.

Для представления псевдодифференциальных операторов используется шаблонный класс holynom`bF Шаблон представляет тип данныхD используемый в качестве коэффициентовF Предусмотрено использование многочленовD рядов Тейлора и рациональных функцийD реализованных соответсвующими классамиF Далее приведены заголовки и описание члеE нов и методов классаF Псевдодифференциальный оператор хранится в IR


Массив коэффициентов конструктор, создающий оператор нулевой степени с заданным коэффициентом b GGСложение, умножение, вычитание, унарный минус Создает оператор Создает оператор Далее, аргумент - степень монома с точностью до которой нужно произвести вычисление holynom sopr@intA onstY GGВычисление сопрягающего оператора holynom or@intA onstY GGВычисление обратного оператора holynom sqr@intA onstY GGВычисление корня
}Y holynom opertorC @onst holynom8A onstY holynom opertorE @onst holynom8A onstY holynom opertorB @onst holynom8A onstY holynom opertorE @A onstY stti holynom h@AY GG stti holynom h@intAY n GG

виде массива коэффициентов мономов со степени n по степень mF МоE номы степени o и младше мы считаем неизвестнымиF Если оператор представлен точно o a n C IF Это позволяет реализовывать как дифE ференциальные операторыD так и псевдодифференциальные операторыD не имеющие конечного явного представленияF templte `typenme b lss holynom { privteX FFFF puliX int nY int mY int oY B Y GG FFFFFF holynom@onst 8 AY GG

7.2
FFFFF

Умножение(DPolynom.cpp)

ента

for @int i a nY i ba mYi!A for @int j a FnY j ba FmY j!A { igint gni a IY GG igint ir a HY dfj a jY GG bj

биномиальный коэффициент dBj - динамически вычисляемая производная коэффициIS


ратор

for @int p a i C jY p ba FmY p!A { p a p C @@BthisAi B dfjA B@gniAY GG

if @p b FmA dfj a dfjFd@AY GG gni Ba @iEirAY irCCY gni Ga irY } } При умножении ПДО an n1 + an1 -1 n1 -1 + ... + am m1 + ... bn n2 + bn2 -1 n2 -1 + ... + bm m2 + ... Сложность алгоритма X количество цикловX (n1 - m1 + 1) (n2 - m2 + 1) (n1 + n2 - min(n1 + m2 , n2 + m1 ))/2 = O(n3 ) где n E количество членов в результирующем операторе Внутри цикла динамически считаются производные и биномиальE ные коэффициентыF Сложность одного цикла определяется умножением двух коэффициентов и дифференцированием коэффициентаF

с - результатирующий опединамическое вычисление производной

7.3

Извлечение корня(DPolynom.cpp)

Будем решать уравнение Ln = P D где n E порядок оператора Предполагаем что P [n] = 1 Пусть нам известны коэффициенты с I по jCI оператора Y Lj E операторD коэффициенты которого с I по jCI совпадают с коэфE фициентами vY Pj = Ln j составим уравнение на jEй коэффициент оператора v

(Lj + L[j ] j )n = ( + L[0] + L[-1]

-1

+ ... + L[j + 1]

j +1

+ L[j ] j )n = P

P [n + j - 1] = Pj [n + j - 1] + nL[j ] L[j ] = (P [n + j - 1] - Pj [n + j - 1])/n
Таким образомD коээфициенты оператора v можно вычислять последоE вательноF КодD реализующий извлечение корняX FFFFFFFFFFFFF for @int m a IY m ba uryY m!A { vm a XXiddd@AY holynom`b j@vAY IT


for @int i a IY i ` nY iCCA j a j B vY kY k a @@BthisAn C m E I E jn C m E IAY if @m ` IA k a k G nY vm a kY } Сложность алгоритмаX При вычислении каждого коэффициента опеE ратора L нужно возвести в nEю степень Lj D произвести вычитание коэфE фициентовF Если мы считаем с точностью до E m Eго члена количество умножений O(m n) Сложность умножения O(m3 ) Итого O(n m4 ) проE извдений и дифференцирований коэффициентовF

7.4

Вычисление обратного оператора(DPolynom.cpp)

Пусть старший моном степени ноль и равен единицеF Идея алгоритма та жеD что и в предыдущем разделеF Будем решать уравнение S -1 S = 1 - Пусть Sj 1 E операторD коэффициенты которого до jCI совпадают с коэффициентами S -1 Y Составим уравнение на jй коэффициент S -1 - (Sj 1 + S -1 [j ] j ) ћ S = 1 - S -1 [j ] = -(Sj 1 S )[j ] Будем последовательно вычислять коэффициенты оператора S -1 FFFFFFF for @int ka EIY kba uryY k!A { k a @BthisAkY Ik a XXiddd@AY Ik a E@I B AkY } Для вычисления каждого следующего коэффициентаD требуется выE полнить одно умножениеF Это дает сложность O(n4 ) где n E количество членов исходного оператораF

7.5

Вычисление сопрягающего ра(DPolynom.cpp)

операто-

Как и в предыдущих случаяхD будем вычислять коэффициенты послеE довательноF Введем вспомогательный оператор Sx Коэффициенты будем вычислять по рекурентным соотношениям S [0] = 1D Sx [0] = 0 IU


S -1 [k + 1] = -(S -1 S )[k + 1] Sx [k ] = L[k ] - (S -1 Sx )[k ] S [k ] = Sx [k ] Для вычисления каждого следующего коэффициентаD требуется выE полнить два умноженияF Это дает сложность O(n4 ) где n E количество членов исходного оператораF

7.6

Восстановление дробно-рациональной функции

Ряд Тейлора будем хранить в виде рациональной дроби rD это позволяет вычислять обратный ряд за время O(1) а вычитать константу за O(n) и делить на x за O(1)F Для вычисления r0 нужно просто разделить нулевой член числителя на нулевой член знаменателяF Заведем два глобальных массива E коэффициентов числителя и знаменателяD для вычисления обE ратной дроби или деления на xD достаточно просто сдвинуть указатеE ли начала массиваF Для вычитания константы используется процедура minus@rtionl` bA которая на вход получает числоD которое нужно вычесть из дробноEрациональной функцииD представляющей исходный ряд ТейлораF Сделаем рекурсивную функцию wket@int kAD которая на вход поE лучает один параметр E k = n - mD где n и m E оценки количества членов числителя и знаменателя искомой дробноEрациональной функцииF Если k < 0 и r0 = 0D вычислим обратную дробноEрациональную функE цию r-1 и сведем задачу к восстановлению дроби R = Q(x)/P (x)F ИсE ходная дробь вычисляется как 1/R Если 0 k или r0 = 0D

R = (R - r0 )/x, deg P n - 1, deg Q m
Задача сводится к нахождению дроби RF R = R ћ x + r0 F Исполняемый кодX tpun wket@int kA if @n ` IA return tpun@rtionl` b@rnHA G rtionl` b@rdHAAY tpun resY rtionl` b tmpY olynom`igintb x@IAY xI a IY if @rnH aa HA{ rn a 8@rnIAY n Ea IY IV


res a wket@kEIAY res a res B xY } else { if @k ba HA { tmp a rtionl` b@rnHA G rtionl` b @rdHAY minus@tmpAY res a @wket@kA C tpun@tmpFnumertor@AAA G tpun@tmpFdenomintor@AAY } if @k`HA { sw a rnY rn a rdY rd a swY res a wket@EkAY res a tpunXXidmult@A G resY } } return resY } Пусть степени числителя и знаменателя искомой дробноE рациональной функции не более чем nF Тогда нам потребуется не более чем Pn вычитанийF Каждое вычитание работает линейное по n времяF Сложность алгоритма получается O(n2 )

8

Примеры

Пусть спектральная кривая C " рациональная кривая z y 2 - x3 = 0 в P2 с одной особенностью в нуле в виде 4каспа точка P = (0 : 1 : 0)F Длятакой кривой в P были вычислены все представители пар Шура для всех возможных пучков без кручения ранга PF Все такие пучки явE ляются либо разложимымиD тFеF прямыми суммами двух пучков ранга ID либо неразложимымиF В последнем случае есть два однопараметричеE ских семейства пучковEсечений векторных расслоений @семейство Атьи и дополнительное семействоAD и один выделенный не локально свободный пучокF
Пример 1.

ћ

Пример работы алгоритма Входные данные (матрица простанства для пучка из дополнительного семейства):
IW


ћ

Ранг пары Шура - 2. Сопрягающий оператор в виде рядов, восстановленый по теореме Сато
1 + o(x21 ) -1 10/11907x19 - 1216/5103x18 + 4096/243x17 + 17/47628x16 - 256/1701x15 + 1024/81x14 + 1/9072x13 - 52/567x12 + 256/27x11 - 10/189x9 + 64/9x8 - 1/36x6 + 16/3x5 + 4x2 + o(x20 )

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

00 0 -4 00 02

00 0 -2 00 01

:

....

-2 -100424/35721x18 + 13141/31752x17 - 28648/1701x16 - 100397/47628x15 + 160/567x14 - 796/63x13 - 14339/9072x12 + 4/21x11 - 3583/378x10 - 32/27x9 + 8/63x8 - 64/9x7 - 8/9x6 + 1/12x5 - 16/3x4 - 2/3x3 - 4x1 + o(x19 )

:

....

-3 14342/1701x17 - 50173/95256x16 - 8/189x15 + 1195/189x14 - 32/81x13 - 4/189x12 + 7169/1512x11 - 8/27x10 - 1/126x9 + 32/9x8 - 2/9x7 + 8/3x5 - 1/6x4 + 2x2 + o(x18 )

:

....

-4 -14342/1701x16 + 50173/95256x15 + 8/189x14 - 1195/189x13 + 32/81x12 + 4/189x11 - 7169/1512x10 + 8/27x9 + 1/126x8 - 32/9x7 + 2/9x6 - 8/3x4 + 1/6x3 - 2x1 + o(x17 ) +O( -5 ) ћ

Сопрягающий оператор с коэффициентами в виде рациональных дробей
1+
-7x6 +1008x2 x7 -336x3 +252 42x3 -504x -4 x7 -336x3 +252



-1

+

21x5 -168x3 -1008x x7 -336x3 +252



-2

+

-42x4 +504x2 x7 -336x3 +252



-3

+

Соответствующие коммутирующие операторы слишком громоздки, поэтому мы их здесь не приводим. Пространство W для одного представителя семейства Атьи выглядит так:
Пример 2.

W = -1 + z - z 2 , z

-1

+ 1 + z 2 , z -2 , z -3 , . . . .

PH


Сопрягающий оператор:
S =1-4 x3 + 3 x4 + 12x + 12
-1

+

6x2 + 12 x4 + 12x + 12

-2

.

Коммутирующие операторы:
P4 = 4 - 16 x6 - 12x3 - 36x2 + 36 (x4 + 12x + 12)2
2

+32

x9 + 6x7 - 54x6 - 144x5 + 90x4 - 288x3 + 216x2 + 648x + 648 (x4 + 12x + 12)3 +8 5x12 - 60x10 + 708x9 + 1692x8 - 864x7 - 5040x (x4 + 12x + 12)4
6

-11232x5 - 19440x4 - 8640x3 - 25920x - 25920 (x4 + 12x + 12)4 P6 = 6 - 24 +96 -36 x6 - 12x3 - 36x2 + 36 (x4 + 12x + 12)2
4

x9 + 3x7 - 54x6 - 144x5 + 45x4 + 252x3 + 216x2 + 540x + 540 (x4 + 12x + 12)3

3

3x12 + 60x10 - 1140x9 - 3100x8 + 864x7 + 10800x6 + 24672x5 + 37488x4 + 15552x3 - 9216x2 + 28224x + 37440 (x4 + 12x + 12)4
2

-144

x15 - 64x13 + 1047x12 + 3188x11 - 720x10 - 21924x9 - 68868x8 - 91536x7 +

9936x6 + 135648x5 + 106128x4 + 94464x3 + 70848x2 - 171072x - 188352 (x4 + 12x + 12)5 +72 7x18 - 238x16 + 3168x15 + 11200x14 - 1056x13 - 131640x12 - 494016x11 -

639264x10 + 496800x9 + 2575808x8 + 4008960x7 + 3489408x6 + 214272x5 - 4060800x4 - 2889216x3 - 725760x2 - 4271616x - 3815424 (x4 + 12x + 12)6

PI


Пример 3.

глядит так:

Пространство

W

для выделенного пучка без кручения вы-3

Сопрягающий оператор:

W = 1, z -1 , z -2 , z

+ z 2 , z -4 , z -5 , . . . .

S =1-5

x4 x5 + 30

-1

+5

x3 x5 + 30

-2

.

Коммутирующие операторы:
P4 = 4 -20 x3 (x5 - 120) 2 x2 (7x5 - 90) x(3x10 - 145x5 + 450) -3000 +18000 (x5 + 30)2 (x5 + 30)3 (x5 + 30)4
6

x3 (x5 - 120) 4 x2 (x10 - 1065x5 + 12150 3 P6 = - 30 + 60 + (x5 + 30)2 (x5 + 30)3 x(59x10 - 2535x5 + 5850 2 9000 - (x5 + 30)4 18000 90000 128x15 - 13755x10 + 145350x5 - 54000 + (x5 + 30)5

x4 (49x15 - 10515x10 + 283050x5 - 972000) (x5 + 30)6

Список литературы
I felovEunel eFD uontsevih wFD PHW!PIVD QRWF

The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjectureD wosF wthF tF U @PHHUAD noF PD Semistable sheaves on Weierstrass cubics and commuting dierential operatorsD preprintD to pper furhnll tFvFD ghundy FFD Commutative ordinary dierential operatorsD roF vondon wthF oF erF PD @IWPQA RPHERRHY roF
21 118

P furn sFD heglov eFD Q

oyl oF vondon erF eD

@IWPVA SSUESVQF

R Демидов ЕFЕFD D ФундаментF и приклF матемFD IWWVD RXID QTU!RTH

Шоттки

Иерархия Кадомцева-Петвиашвили и проблема

S FqF qrinevihD tionl solutions for the eqution of ommuttion of di'erentil opertorsD puntionl enlF epplFD 16XID IS!IW @IWVPAF

PP


T qrunum pFeFD ? U

Commuting pairs of linear ordinary dierential operators of orders four and sixD hysi h QI @IWVVAD RPRERQQ tF hixmierD ur les lg eres de eylD Bul l. Soc. Math. FranceF @IWTVAD
96

PHW"PRPF

V Дринфельд ВFD W IH

О коммутативных подкольцах некоторых некоммутативных колецD ФункцF анализ и его прилF IIXI @IWUUAD IIEIRF Кричевер ИFwFD Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравненийD УМН D T @IWUUAD IVQEPHV Кричевер ИFwFD Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторовD ФункцF анализ и его прилFD IPXQD
32

IWUVD PH!QI

II sFwF uriheverD FF xovikovD D ussin wthF urveysD IP

Holomorphic bund les over algebraic curves and nonlinear equations XTD RU!TV @IWVHAF wnin FD Algebraic aspects of nonlinear dierential equationsD stogi
35

xuki ekhFD erF ovremF rolF wtF IID SEISP @IWUVAF

IQ eFiF wironovD elfEdjoint ommuting ordinry di'erentil opertorsD snvent mthD hys IHFIHHUGsHHPPPEHIQEHRVTEV IR eFiF wironovD e ring of ommuting di'erentil opertors of rnk P orresponding to urve of genus PD ornikX wthFD 195XSD UII"UPP @PHHRAF IS eFiF wironovD yn ommuting di'erentil opertors of rnk PD ierin iletroni wthF eportsF 6D SQQ!SQT @PHHWAF IT eFiF wironovD gommuting rnk P di'erentil opertors orresponding to urve of genus PD puntionl enlF epplFD 39XQD PRH"PRQ @PHHSAF IU yFsF wokhovD gommuting di'erentil opertors of rnk Q nd nonliner di'erentil equtionsD wthemtis of the EszvestiyD 35XQD TPW! TSS @IWWHAF IV wulse wFD IW

Category of vector bund les on algebraic curves and innite dimensional GrassmaniansD sntF tF wthFD I @IWWHAD PWQEQRPF wulse wFD Algebraic theory of the KP equationsD erspetives in
wthemtil hysisD Fenner nd FuD iditorsD @IWWRAD ISIEPIV PQ


PH wumford hFD PI

ympF on elgF qeomFD uyoto IWUUD uinokuniy ulF @IWUVA IISEISQF PP revito iFD ilson qFD D gompF wthF VI @IWWPAD IHUEIIWF PQ reine ngewF wthF RRP @IWWQAD IUU EPHRF

Tata lectures on Theta IID firkh? fostonD IWVR userD wumford hFD An algebro-geometric constructions of commuting operators and of solutions to the Toda lattice equations, Korteweg-de Vries equations and related non-linear equationsD sn roF snterntF Dierential operators and rank 2 bund les over el liptic curves ilson qFD Bispectral commutative ordinary dierential operatorsD tF

PR