Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2014-dip-martynchuk.pdf Дата изменения: Mon Apr 21 22:33:02 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:56:59 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

Дипломная работа

Топологические вопросы теории комплексных гамильтоновых систем в

C Ч (C \ {0}),

заданных

лорановским гамильтонианом степени

(m, n).

01.01.04 ?Геометрия и топология?

Студента 5 курса кафедры дифференциальной геометрии и приложений Мартынчука Николая Николаевича

Научный руководитель: Академик А.Т. Фоменко

Москва 2014


Аннотация
В работе рассматриваются комплексные гамильтоновы системы на

CЧ (C \ {0}) со стандартной симплектической структурой C = dz dw и 2 функцией Гамильтона f = az + Pn (w ) + Qm (1/w ), где Pn и Qm многочлены степеней n 0 и m > 0 соответственно. Такой гамильтониан называется гиперэллиптическим лорановским гамильтонианом степени

(m, n)

. Изучены некоторые вопросы

C-

выпрямляемости интегральных

траекторий векторных полей sgradC f . Получена классификация, с точностью до гамильтоновой эквивалентности,

C-гамильтоновых

систем, за-

даваемых гиперэллиптическим лорановским гамильтонианом специаль2 n ного вида: f = az + b/w + cw + d, n = 0, 1, 2. Устанавливается, как топологически устроены факторпространства, полученные отождествлением эквивалентных систем, в каждом из рассмотренных классов

(n = 0, 1, 2).

Также в работе установлено, чему гомеоморфен бифуркационный ком-

плекс произвольной

C-гамильтоновой

системы, заданной гиперэллиптига-

ческим лорановским гамильтонианом и получена полулокальная клас-

сификация более общего класса 2
мильтонианом

C-гамильтоновых систем, заданных f = az + R(w), где R рациональная функция.

Ключевые слова
Симплектическая структура, гамильтонова система, гамильтонова эквивалентность, топологическая эквивалентность, бифуркационный комплекс,

C-выпрямляемость

векторного поля.

Благодарности
Автор выражает благодарность А.Т. Фоменко за плодотворные обсуждения поставленных задач, а также Е.А. Кудрявцевой за ее многочисленные замечания.


Содержание
1. Введение
1.1. 1.2. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные определения .....................

2
2 4

2.

C-выпрямляемость

интегральных траекторий векторных 6 8
8 9 15

полей на комплексных многообразиях 3. Гамильтонова эквивалентность и факторпространства
3.1. 3.2. 3.3. Известные результаты о гамильтоновой эквивалентности

C

-гамильтоновых систем с эллиптическим гамильтонианом

Случай полюса первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . Пространства гамильтоново неэквивалентных систем и бифуркационный комплекс ....................

4. Топология окрестности слоя рационального гамильтониана
4.1. 4.2. 4.3. Известные результаты о топологии слоений Вспомогательные леммы и утверждения ......... ...........

17
17 21 29

Основные результаты о полулокальной классификации особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Литература

34

1


1. Введение
1.1. Предварительные замечания
Дипломная работа посвящена решению ряда задач в теории гамильтоновых систем, которые возникают в связи с проблемой их классификации (с точностью до некоторого отношения эквивалентности). В качестве объекта нашего исследования будет выступать класс комплексных гамильто2 новых систем, заданных в C голоморфным гамильтонианом f специаль2 ного вида: f = az + R(w ), где a C \ {0}, R(w ) рациональная функция переменной

w

(т.е. отношение двух многочленов). Здесь под комплексной

гамильтоновой системой (или
понимаем тройку ной размерности

(MC , C , f ), 2N , C замкнутая невырожденная голоморфная 2форма на этом многообразии, а f : MC C голоморфная функция, 2 называемая гамильтонианом. В случае, когда f = az + R(w ), гамильтониан f будет называться (гиперэллиптическим) рациональным гамиль2 тонианом. В более частном случае f = az + Pn (w ) + Qm (1/w ), где Pn и Qm многочлены степеней n 0 и m > 0, гамильтониан f будет называться (гиперэллиптическим) лорановским гамильтонианом (степени

гамильтоновой системой ) (см. [8]) мы 2N многообразие комплексгде MC = MC

C-

(m, n)

). В обоих случаях в качестве симплектического многообразия

будет рассматриваться полюса функции

C Ч (C \ {d1 , . . . , dm }),

где

MC d1 , . . . , dm , m 0,

структурой

R(w), со C = dz dw.

стандартной комплексной симплектической

Интерес к комплексным гамильтоновым системам в открытое подмножество

C

2

возник в связи со следующим замечанием. Рассмотрим в

U

и ассоциированную с

вещественную гамильтонову систему
ция

C = C (z , w) (U, dz dw, f = f (z , w)) (U, Re(dz dw), H = Ref ). Ока-

общего вида 2 2

зывается, что вещественная система (в случае, когда голоморфная функ-

f = const) интегрируема с дополнительным первым интегралом F = Imf . Другими словами, функции F и H функционально независимы на U , их скобка Пуассона {F , H } = R (sgradF , sgradH ), т.е. значение формы R = Re(dz dw ) на паре гамильтоновых векторных по-1 -1 лей sgradF = R (dF ), sgradH = R (dH ), равна нулю. Это вытекает из условий Коши-Римана для функции f . Из этих условий также вытекает равенство sgradH = sgradC f := (-fw , fz ). Заметим, что, вообще
говоря, наша вещественная гамильтонова система не будет вполне инте-

грируемой по Лиувиллю, так как ее потоки могут оказаться неполными
(вещественный параметр на интегральных траекториях векторного поля sgradH может оказаться определенным не на всей прямой). Таким 2 образом, к комплексным гамильтоновым системам в C неприменима

2


классическая теорема Лиувилля. Возникает задача, поставленная А.Т. Фоменко, об обобщении теоремы Лиувилля на случай таких систем. Некоторые смежные с сформулированной выше задачей вопросы изучены в работах [2-5] и [8] Т.А. Лепским и Е. А. Кудрявцевой. Они рас2 сматривали C-гамильтоновы системы вида (C , dz dw , f ), где f = f (z , w ) многочлен двух переменных. В [2,5] исследуется условие полноты потоков для таких систем (с многочленом

f

, невырожденным относительно

своего многоугольника Ньютона), дается аналог теоремы Лиувилля. В работах [3,4] рассматривается более узкий класс стем: гамильтониан

C-гамильтоновых

си-

предполагается гиперэллиптическим полиноми2 альным, т.е. имеющим вид f (z , w ) = az + P (w ), a C \ {0}, где P (w ) многочлен. Для таких систем получены результаты о топологии лагранжевых слоений, доказана комплексная теорема Лиувилля. Упомянем также работы [6,7,11,15,18]. В них изучаются вопросы топологии неособых слоев слоений Лиувилля интегрируемых систем и их симметрий. Основными результатами дипломной работы являются следующие (определения см. ниже): 1 Изучены некоторые вопросы разиях. 2 Получена классификация лорановским

f

C-выпрямляемости

интегральных тра-

екторий аналитических векторных полей на комплексных многооб-

C-гамильтоновых систем в C2 , заданных 2 n гамильтонианом f = az + b/w + cw + d, ab = 0, n =

0, 1, 2,

с точностью до гамильтоновой эквивалентности.

3 Установлено, чему гомеоморфен бифуркационный комплекс для 2 произвольной C-гамильтоновой системы в C , заданной гамильто2 нианом f = az + Pn (w ) + Qm (1/w ), a C \ {0}, n 0, m 0. 4 Получена полулокальная классификация вида циональным гамильтонианом

C

-гамильтоновых систем

(C Ч (C \ {d1 , . . . , dm }), dz dw, f ) f.

с гиперэллиптическим ра-

Все основные определения, используемые в настояшей работе, можно найти в следующем параграфе или в 4.1 (4.1 в достаточной степени независим от основного текста, и носит обзорный характер). Базовые понятия и утверждения, связанные с вещественными гамильтоновыми системами, можно найти в [1].

3


1.2. Основные определения

C-гамильтоновой системой называется тройка (MC , C , f ), где MC комплексное многообразие, C замкнутая невырожденная голоморфная 2-форма на этом многообразии, а f : MC C голоморфная
функция, называемая гамильтонианом.

Определение 1.1.

Определение 1.2. Пусть

N MC



N

-мерное комплексное многообразие,

v

векторное поле на нем. Будем говорить, что интегральные траекто-

рии этого векторного поля

C-выпрямляются на инвариантном d-мерном d N комплексном подмногообразии U MC , если существуют функция = (w) = 0 (для всех w U d ) и погружение h : U d Cd / для некотоd рой дискретной подгруппы C , являющиеся C-дифференцируемыми
отображениями, и такие, что

v0 , v0 = const C

. В случае

h переводит v в d = 1 дополнительно

векторное поле потребуем

h (v ) =

1. f
на

Определение 1.3. Векторным полем косой градиент функции
относительно формы



C называется векторное поле sgradC

кое, что для любого векторного поля sgradC

v

на

f ) = v (f ),

где

v (f )

производная

f : MC MC таMC выполнено равенство C (v , функции f по направлению v .

2 MC = MCN имеет комплексную размерность 2N , а C = dz dw = dz1 dw1 + . . . + dzN dwN , где z = (z1 , . . . , zN ) и w = (w1 , . . . , wN ) локальные комплексные координаты на многообразии, то sgradC f = (-fw , fz ) = (-fw1 , . . . , -fwN , fz1 , . . . , fzN ).
Нетрудно видеть, что если

Определение 1.4. Уравнением Гамильтона

(MC , C , f )

называется уравнение

в некотором интервале на многообразии. Если

z (t) = sgradC I R, z = (z1 , . . . , z2N ) sgradC f имеет в этих

C-гамильтоновой системы f |z(t) , где t I параметр
локальные координаты координатах компоненты

(v1 , . . . , v2N ), то уравнение му 4N уравнений:

Гамильтона следует рассматривать как систе-

xk = yk =
где

Re Im

vk , vk ,

zk = xk + iy

k,

k = 1, . . . , 2N .
системы

Определение 1.5. Голоморфная функция
гралом

C-гамильтоновой

h (MC , C , f ),

называется первым интеесли sgradC

f (h) = 0

.

Определение 1.6. Пусть дан многочлен

f (z , w) = az 2 + bn wn + . . . + b

0,

n N, a, bn , . . . , b0 C, abn = 0. Он называется гиперэллиптическим многочленом степени n (эллиптическим многочленом при n 4). Соот2 ветствующую C-гамильтонову систему (C , dz dw , f (z , w )) в дальнейшем будем обозначать через Hn (a, bn , . . . , b0 ).
4


Определение 1.7.

C-

гамильтоновой системой c (гиперэллиптическим)
m

(m, n) назовем тройку (C Ч (C \ n bi {0}), dz dw, f ), где f (z , w) = az 2 + + cj wj , m N, n wi i=1 j =0 N {0}, a, bi , cj C, abm = 0 и cn = 0 при n > 0. Рассмотрим частный
лорановским гамильтонианом степени
случай, когда гамильтониан . Такой вид k=0 гамильтониана является естественным обобщением гиперэллиптических полиномиальных гамильтонианов (см. определение выше), рассмотренных в работах [1-3], на случай полюса первого порядка. Для удобства соответствующую систему назовем системой с лорановским гамильто-

f (z , w) = az 2 + b/w +

n

ck w

k

нианом степени

n

и обозначим через

Ln (a, b, cn , . . . , c0 ).

Определение 1.8. Пусть дана функция
плексных переменных

d R(w) 0. Здесь R = R(w) dw w, а dj , j = 1, . . . , m, ее полюса. 0,
Заметим, что класс

f (z , w) = az 2 + R(w) двух ком(z , w) C Ч (C \ {d1 , . . . , dm }), такая, что a =
рациональная функция переменной Назовем ее (гиперэллиптическим) ра-

циональным гамильтонианом системы

(C Ч (C \ {d1 , . . . , dm }), dz dw, f ). C-гамильтоновых систем с (гиперэллиптическим)

рациональным гамильтонианом содержит в себе классы систем из определений 2.6 и 2.7, однако класс систем из определения 2.7 не содержит в себе класс систем из определения 2.6, так как лорановский гамильтониан обязательно имеет полюс в нуле (относительно переменной

w

).

Определение 1.9. Пусть дана

2 C-гамильтонова система (MCN , C , f ) с N 2N первыми интегралами f1 , . . . , fN (f = f1 , dimC MC = 2N ). Тогда отобра2N жение F = (f1 , . . . , fN ) : MC CN называется отображением момен-

та. Слоем (или листом ) T
соответствующей

2 MCN

уровня



функций

f1 , . . . , f

N , а также

C

верхность уровня этих функций, т.е. T

-гамильтоновой системы, называется совместная по= F -1 ( ). Здесь = (1 , . . . , N ), максимален.

k C.

Слой T называется неособым, если в каждой его точке ранг

матрицы Якоби

(j fi )

C-гамильтоновой си2N стемы (MC , C , f ) с N первыми интегралами f1 , . . . , fN называется фак2N торпространство многообразия MC по разбиению на связные компоненN ты прообразов точек C при отображении момента. f (z , w) = az + R(w) системы (C Ч (C \ {d1 , . . . , dm }), dz dw, f ). Пусть R(w) прини(j ) мает значение в точке w0 с кратностью k , k 1, т.е. (R(w ) - ) |w0 = 0
2
5

Определение 1.10. Бифуркационным комплексом

Определение 1.11. Пусть дан рациональный гамильтониан


при

j = 0, . . . , k - 1, R(k) (w0 ) = 0. особой точкой кратности k слоя
этого слоя.

При

k2

точку

Tf (P ) , а при

P = (0, w0 ) k = 1 простой

назовем

точкой

Заметим, что особые точки (некоторой кратности) слоя T это в точности те точки слоя, в которых grad точки.

f

= 0, а значит, слой T будет

неособым в том и только в том случае, когда он имеет лишь простые

Определение 1.12. Пусть даны две

C-дифференцируемые

функции

f1 : M1 C

и

f2 : M2 C.

Они называются эквивалентными (соответ-

ственно топологически эквивалентными ), если существует (сохраняющий ориентацию гомеоморфизм)

h : M1 M2

такой, что

C-диффеоморфизм f1 =

f2 h.
Определение 1.13. Пусть
и

D

0 , открытый двумерный диск радиуса

> 0 вокруг 0 C. f2 . Будем говорить,

Рассмотрим два рациональных гамильтониана что

f

1

ния, т.е. разбиения на существует такое

f1 слои f

и -1 j

f2 (а точнее, ( ), j = 1, 2), f1 |f

соответствующие им слое-

полулокально топологиче-

ски эквивалентны относительно значения

0

, если для любого

>0
) топо-

(0, ), f

что функции

-1 1

(D

логически эквивалентны. Будем говорить, что

0 ,

)и

f2 |f

-1 2

(D

0 ,

1и

f

2 локально топологически эквивалентны

относительно точек
окрестности

P

1и

P

2 , если существуют такие сколь угодно малые

U1

и

U2

этих точек, что функции

f1 |U

1

и

f2 |U

2

топологически

эквивалентны.

Определение 1.14. Две
называются два условия: 1) 2) морфное отображение

C-гамильтоновы

системы

(MC,1 , C,1 , f1 ) и (MC,2 , C,2 , f2 )

гамильтоново эквивалентными, если существует биголо-

h : MC,1 MC,

2 такое, что выполнены следующие

C,1 = h (C,2 ); f 1 = f 2 h + c,

где

c

некоторая константа.

2.

C

-выпрямляемость интегральных траекто-

рий векторных полей на комплексных многообразиях
Теорема 2.1. Рассмотрим произвольное векторное поле
заданное на
N MC , N 2,

v = (v1 , . . . , vN )

,

голоморфными функциями v1 , . . . , vN локальN ных комплексных координат на MC . Пусть векторное поле v имеет

6


особые точки (т.е. нули)

P1 , . . . , P

d

-мерному,

d 2,

комплексному подмногообразию

ществует точка

P {P1 , . . . , P

k , принадлежащие инвариантному N U d MC . Пусть суk }, не являющаяся внутренней точкой

множества особых точек векторного поля v |U d . Рассмотрим инвариd антное подмногообразие U \ {P1 , . . . , Pk }. Тогда интегральные траекd тории векторного поля v не C-выпрямляются на U \ {P1 , . . . , Pk }. Доказательство. Пусть d
точки ции ных

U

достаточно малая шаровая окрестность

P

в

го поля

v ui = ui (w), i = 1, . . . , d, и = (w) = 0 координат w = (w1 , . . . , wd ), голоморфные
i v j = (w)v0 ,
причем вектор констант

. Предположим, что интегральные траектории векторноd выпрямляются на U \ {P1 , . . . , Pk }. Тогда существуют функлокальных коомплексв

U

U \ {P },
(иначе

такие, что

ui wj

v0 = 0

P

является ).

внутренней точкой множества особых точек векторного поля многих переменных, функции ду на

v |U

По лемме об устранимой особенности для голоморфных функций

ui

и



можно считать голоморфными всю-

U

. Нетрудно видеть, что так как точка

P

особая точка векторноней определена однозначСнова пользуясь леммой при этом всюду в

го поля

v

, то

(P ) = 0

. Но такого не может быть. Действительно, так как

проколотая окрестность ная ветвь логарифма должение имеем

U \ {P } односвязна, в g = ln функции (w).

об устранимой особенности, получаем, что существует голоморфное про-

g в U c некоторым значением g (P ) C, (w) = exp(g (w)), а значит (P ) = 0.

U

Пример 2.1. Рассмотрим функцию Гамильтона

Интегральные траектории векторного поля sgradC c 2 на C \ {(0, - )}. 2b Рассмотрим произвольное векторное поле гообразии

f системы H2 (a, b, c, d). f не C-выпрямляются

v

, заданное на связном мно-

MC

, dim

MC = 1 v

, голоморфной функцией

ной комплексной координаты ки векторного поля

z

на

. Рассмотрим

{ P1 , . . . , P k }

и 1-форму

даментальной группы интегралы формы

dz на нем. Рассмотрим образующие j фунv (z ) 1 (MC \ {P1 , . . . , Pk }). Обозначим через Ij = =
j

v = v (z ) локальMC . Пусть P1 , . . . , Pk особые точинвариантное подмногообразие MC \



по циклам

j

. Имеет место

Теорема 2.2. Интегральные траектории векторного поля
на

v C-выпрямляются

MC \ {P1 , . . . , Pk }

тогда и только тогда, когда

Ij

лежат в некоторой

дискретной подгруппе

C.
7


Доказательство. Пусть Ij лежат в некоторой дискретной подгруппе



C.

Фиксируем некоторую отмеченную точку

z0 MC \ {P1 , . . . , Pk }
z

. Опре-

делим (многозначную) функцию ке и

z

. Значение h(z ) в точz0 , вообще говоря, зависит от пути, соединяющего z0 и z . В силу заh
так:

h(z ) =

, для двух гомологичных путей, соединяющих z0 z , соответствующие значения h(z ) совпадают. Нетрудно видеть, что h : MC \ {P1 , . . . , Pk } C/ корректно определенное однозначное погружение, причем dh = , и, следовательно, dh(v ) = 1. Тем самым h осуществляет искомое C-выпрямление.
мкнутости формы В обратную сторону, пусть интегральные траектории векторного по-

MC \ {P1 , . . . , Pk }. Тогда, согласно определению 1.2, существует погружение h : MC \ {P1 , . . . , Pk } C/ для некоторой дискретной подгруппы C такое, что dh(v ) = v0 = 0. Без ограничения общности, v0 = 1. Рассмотрим h : MC \ {P1 , . . . , Pk } C как многозначля

v C-выпрямляются

на

z

ное отображение. Нетрудно видеть, что где

const

не зависит от

z

+ const, z0 . Отсюда получаем условие на Ij , требуемое в
, т.е.

dh =

h(z ) =

теореме.

Пример 2.2.
1) Рассмотрим функцию Гамильтона

f

системы

H2 (a, b, c, d).

Инте-

гральные траектории векторного поля sgradC

f C-выпрямляются

на каж-

дом неособом слое (и даже на дополнении к единственному особому слою c2 T0 , где 0 = + d, см. [8]). 4b 2) Интегральные траектории векторного поля не

v (z ) =

2 z (z - 1) (2 + 1)z - 2

C

-выпрямляются на

C \ {0, 1,

2 }. 2 +1

3. Гамильтонова эквивалентность и факторпространства
3.1. Известные результаты о гамильтоновой эквивалентности

C

-гамильтоновых систем с эллиптическим гамиль-

тонианом
Рассмотрим 2

C-гамильтонову f (z , w) = az + bn wn + . . . + b0

систему

Hn (a, bn , . . . , b0 )

с гамильтонианом

. Ясно, что она имеет не более

n-1

особых

8


слоев, и слой T особый тогда и только тогда, когда критическое n значение многочлена bn w + . . . + b0 . Система Hn (a, bn , . . . , b0 ) называется n невырожденной, если у многочлена bn w + . . . + b0 критических значений ровно

n - 1.

Теорема 3.1. (Т. Лепский [8]). Пусть дана

C-гамильтонова система (C2 , dz dw, fn (z , w)) с эллиптическим гамильтонианом степени n, n = 1, 2, 3, 4. Тогда: 1) Каждая C-гамильтонова система H1 (a, b, c) гамильтоново экви2 валентна канонической линейной C-гамильтоновой системе (C (u, v ), du dv , f1 (u, v ) = u). Все слои C-гамильтоновой системы H1 (a, b, c) являются неособыми, биголоморфными плоскости C, и образуют тривиальное расслоение с базой C. 2) Каждая C-гамильтонова система H2 (a, b, c, d) гамильтоново эквивалентна системе

для a1 = ab C \ {0}, и имеет один особый слой T1 , 1 = c2 -4bd 2 . Ограничение системы на C \ T1 гамильтоново эквивалентно -4b линейной системе ((C \ {0}) Ч (C/2 Z), du dv , f2 (u, v ) = 2 a1 u). Все неособые слои линдру

H2 (a1 , 1, 0, 0),

C-гамильтоновой системы H2 (a, b, c, d) биголоморфны циC/2 Z и образуют тривиальное расслоение с базой C \ {0}. 3) Каждая невырожденная C-гамильтонова система H3 (a, b, c, d, e) гамильтоново эквивалентна системе H3 (r, s, s, 0, 0), для некоторых r, s C, rs = 0, и имеет два особых слоя Tj , j = 1, 2. Все неособые слои C2 гамильтоновой системы H3 (a, b, c, d, e) биголоморфны T \ {p} для неко2 торого = ( ) C \ R, зависящего от слоя T , где T = C/(2 Z + Z) 2 двумерный тор, p T . 4) Каждая невырожденная C-гамильтонова система H4 (a, b, c, d, e, k ) гамильтоново эквивалентна системе H4 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0), для некоторых r, s, p C, r s = 0, и имеет три особых слоя Tj , j = 1, 2, 3. Все неособые слои C-гамильтоновой системы H4 (a, b, c, d, e, k ) биголоморф2 ны T \ {p1 , p2 } для некоторого = ( ) C \ R, зависящего от слоя T , 2 где p1 , p2 T , p1 = p2 .
В работе [8] получены также критерии гамильтоновой эквивалентности пар систем

H2 (a1 , 1, 0, 0) и H2 (a2 , 1, 0, 0), H3 (r1 , s1 , s1 , 0, 0) и H3 (r2 , s2 , s2 , 0, 0), H4 (r1 , s1 , s1 (p1 + 1), s1 p1 , 0, 0) и H4 (r2 , s2 , s2 (p2 + 1), s2 p2 , 0, 0).
3.2. Случай полюса первого порядка
Рассмотрим

C-гамильтонову

систему

L0 (a, b, c)

с лорановским гамильто-

нианом степени нуль.

9


Теорема 3.2. Каждая система
на системе

L0 ( , , 0)

при

L0 (a, b, c) = b2 /a. Любые

гамильтоново эквивалентдве системы

L0 (1 , 1 , 0)

и

L0 (2 , 2 , 0) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда 1 = 2 . Все слои T являются неособыми, биголоморфными плоскости C с двумя проколами при = c и с одним проколом при = c.
Доказательство. Сделаем замену координат в
формулам

C Ч (C \ {0})(z , w) по : u = az /b, v = bw/a. Положим = b2 /a. Тогда, очевидно, du dv = dz dw и u2 + /v = az 2 + b/w.
Докажем второе утверждение теоремы. Предположим, что существует гамильтонова эквивалентность между

L0 (1 , 1 , 0) и L0 (2 , 2 , 0) с биголоморфным отображением h = (u, v ) : C Ч (C \ {0}) C Ч (C \ {0}), u = u(z , w), v = v (z , w). Выведем отсюда, что 1 = 2 .
По определению гамильтоновой эквивалентности имеем

1 z 2 +
где

1 2 + C = 2 u2 + , w v

(1)



1 некоторая константа. Рассмотрим произвольный слой T уровня системы L0 (1 , 1 , 0). Он гомеоморфен двумерной сфере с 3 проколами

C

при

= 0 и сфере с двумя проколами 1 нулевой слой T0 системы L0 (1 , 1 , 0) вой эквивалентности в нулевой слой 1 C = 0 в (1). Пусть f1 (z , w) = 1 z 2 + ,
Рассмотрим

при

= 0.

Отсюда следует, что

видеть, что sgradC f1

w v = (1 /w2 , 21 z ), sgradC f2 = (2 /v 2 , 22 u). = 0. Тогда h(T1 ) = T2 , причем выколотые

обязан перейти при гамильтоно2 T0 системы L0 (2 , 2 , 0). Значит, 2 2 а f2 (u, v ) = 2 u + . Нетрудно

точки

первого слоя перейдут в выколотые точки второго слоя (под выкоj лотыми точками слоев T , j = 1, 2, мы подразумеваем их граничные 2 точки в C , где C пополненная комплексная плоскость, гомеоморф+ 1 ная двумерной сфере). В слое T выколотые точки имеют вид P ,1 = (+ 1 , ), P,1 = (, 0), а в слое T2 , соответственно, P+2 = (+ 2 , ), ,

,2 = (, 0). Покажем, что h(P ,1 ) = P ,2 . Для этого определим на слое 1 1 1 T голоморфную 1-форму такую, что (sgradC f1 | 1 ) = 1 (аналогичT 1 2 но определим форму ). Нетрудно проверить, что замыкание T слоя 2 1 T в C является регулярной кривой, биголоморфной C, причем проек1 ция Prz : T C, (z , w ) z , является биголоморфным отображением, и

P

что в координате В точке

z

форма

1

запишется в виде

1 =

dz 1 ( /1 - z 2 )2 z 1/z

T

1

.

P

,1 эта форма имеет устранимую особенность нуль второго
), а в

порядка (чтобы в этом убедиться, нужно сделать замену

10


точках

+ ,1 неустранимую особенность полюс второго порядка. Анало2 гично форма имеет устранимую особенность в точке P ,2 и неустра+ нимую особенность в точках P ,2 . Зафиксируем малое > 0 и посчитаем интегралы

P

1 2 i
|z
1

1
|=

и

1 2 i
|u
2

2 .
|=

(2)

Для вычисления интегралов используем формулу для подсчета вычета произвольной мероморфной функции

g

в полюсе

a

порядка

k:

resa

g (z ) =

dk-1 1 lim k-1 g (z )(z - a)k . (k - 1)! za dz

Так как интегралы в (2) суть вычеты соответствующих функций (точнее, 1-форм) в точках P+1 и P+2 , прямой подсчет дает , ,

1 2 i
|z
1

1 =
|=

1 41 ( /1 )3 1 42 ( /2 )3

,
(3)

1 2 i
|u
2

2
|=

=

.

Полученные числа отличны от нуля, а значения аналогичных интегралов, взятых вокруг точек P ,1 и P ,2 , равны нулю. Тем самым, h(P ,1 ) = P,2 , откуда h(P+1 ) = P+2 или h(P+1 ) = P,2 . Значит, из равенства инте, , , гралов в (3) следует, что 1 ( /1 )3 = +2 ( /2 )3 . Возводя полученное равенство в квадрат, получаем

1 = 2

.

Следствие 3.1. Любые две системы

L0 (a1 , b1 , c1 )

и

тоново эквивалентны тогда и только тогда, когда
Рассмотрим

L0 (a2 , b2 , c2 ) a2 b 2 = a1 b 2 . 1 2

гамиль-

C-гамильтонову

систему

L1 (a, b, c, d)

с лорановским га-

мильтонианом степени один.

L1 (a, b, c, d) гамильтоново эквивалент ac на системе L1 (r, , , 0) при r = b и = bc. Любые две системы L1 (r1 , 1 , 1 , 0) и L1 (r2 , 2 , 2 , 0) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда r1 = r2 и 1 = +2 . Система имеет два особых слоя T+ , + = d + 2 bc. Все неособые слои T гомеоморфны двумерному то2 ру T с двумя проколами.
11

Теорема 3.3. Каждая система


Доказательство. Сделаем замену координат в

z, v = w. Положим r = = bc dz dw и ru + /v + v = az 2 + b/w + cw.
ва эквивалентность

b c

c b 2

ac , b



(C Ч (C \ {0}))(z , w) : u = du dv =

. Тогда, очевидно,

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть имеется гамильтоно-

L1 (r2 , 2 , 2 , 0). Рассмотрим особые точки (т.е. нули) векторных полей sgradC fj в C Ч (C \ {0}), где fj гамильтонианы соответствующих систем, j = 1, 2. Как нетруд+ но видеть, это будут точки (0, +1). Обозначим их через P . При гамежду и мильтоновой эквивалентности особые точки переходят в особые, значит f1 (P + )-f1 (P - ) = +(f2 (P + )-f2 (P - )), откуда 1 = +2 и особые значения + суть + = f1 (P ) = +21 . Для доказательства равенства

h

L1 (r1 , 1 , 1 , 0)

r1 = r2

рассмотрим линейные операто-

ры линеаризации соответствующих векторных полей в особых точках. Они имеют вид

A+ = j
Пусть особые точки

0 2r

j

2j . 0

P + переходят в себя. Тогда A+ = ((dh)|P + )-1 A+ 1 2 (dh)|P + . А значит, detA+ = detA+ . Если же особые точки меняются ме1 2 + стами, то будем иметь detA1 = detA2 . В первом случае имеем r1 1 = r2 2 и 1 = 2 , а во втором r1 1 = -r2 2 и 1 = -2 . В обоих случаях r1 = r2 . То, что системы L1 (r, , , 0) и L1 (r, - , - , 0) гамильтоново эквивалентны, очевидно. Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что все неособые слои гомеоморфны тору с двумя проколами. Рассмотрим компактификацию T любого неособого слоя T (заклеивающую проколы неособого слоя бесконечно удаленными точками) и его проекцию на пополненную плоскость

Prw :

T

C , (z , w ) w .

Нетрудно проверить,

что это отображение является двулистным разветвленным накрытием с четырьмя точками ветвления индекса два (над точками

w=0

и

w=

пополненной плоскости есть ветвление, поэтому в качестве компактифи2 кации T слоя T можно взять его замыкание в C ). По формуле РиманаГурвица мы получаем, что компактификация T неособого слоя гомео1 (ki - 1) - (m - 1) = 1. Здесь морфна двумерной поверхности рода g = 2 ki индексы ветвлений в особых точках, а m число листов. Отсюда неособый слой T гомеоморфен тору с двумя проколами.

Следствие 3.2. Любые две системы

L1 (a1 , b1 , c1 , d1 )

гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда,

L1 (a2 , b2 , c2 , d2 ) 2 2 когда a2 b1 = a1 b2 и
и

b1 c 1 = b2 c

2.

12


Рассмотрим

C

-гамильтонову систему

L2 (a, b, c, 0, d)

c лорановским га-

мильтонианом степени два.

L2 (a, b, c, 0, d) гамильтоново эквивалент 3 c 2/3 на системе L2 (r, , , 0, 0) при r = a( b ) и= cb2 . Любые две системы L2 (r1 , 1 , 1 , 0, 0) и L2 (r2 , 2 , 2 , 0, 0) гамильтоново эквивалентны 3 3 тогда и только тогда, когда r1 1 = r2 2 и 1 = 2 , т.е. когда выполнено 2 i(k-1) 3 , k = 1, 2, 3 корни одно из следующих трех условий (здесь k = e
третьей степени из единицы)

Теорема 3.4. Каждая система

1) r2 = r1 и 1 = 2 , 2) r2 = 3 r1 и 1 = 3 2 , 3) r2 = 2 r1 и 1 = 2 2 .
Система имеет три особых слоя Tj
3 , j = 27 4

cb2 , j = 1, 2, 3.
2

Все неосо-

бые слои T гомеоморфны двумерному тору

T

с тремя проколами.

Доказательство. Сделаем замену координат в
3

z , v = 3 c w. Положим r = a( c )2/3 , = cb2 . b b 2 2 dv = dz dw и ru + /v + v = az 2 + b/w + cw2 .
b c
эквивалентность между

3

C Ч (C \ {0})(z , w) : u =
Тогда, очевидно,

du

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть имеется гамильтонова

L2 (r1 , 1 , 1 , 0, 0)

L2 (r2 , 2 , 2 , 0, 0). Рассмотрим особые точки векторных полей sgradC fj , где fj гамильтонианы соответствующих систем, j = 1, 2. Как нетрудно видеть, это будут точки (0, k ), k = 1, 2, 3. Всего
и

имеется 6 возможностей перемешивания особых точек. Причем в действительности реализуются только 3: либо все особые точки остаются на месте, либо ни одна не остается на месте. Докажем это. Предположим сначала, что точка

(0, 1 )

остается на месте. Так как гамильтонова эк-

вивалентность сохраняет разность функции Действительно, в противном случае

f

1 в особых точках, в этом

случае мы получаем, что оставшиеся точки также остаются на месте.

1 - 1 3 = 2 - 2 2 и 1 2 - 1 3 = 2 3 - 2 2 . Пусть теперь точка (0, 1 ) переходит в (0, k ), а точка (0, k ) в (0, 1 ), k = 2, 3. Тогда точка (0, 5-k ) переходит в себя, откуда получаем следующее равенство: (1 - k )/(k - 1) = (1 - 5-k )/(k - 5-k ), которое, очевидно, не может иметь место. Тем самым, остаются следующие

13


возможные условия на

j : 1) 1 = 2 , 3 - 2) 1 = 1- 2 - 3) 1 = 1-

2 2 , 3 3 2 . 2

Эти три условия эквивалентны случаям, описанным в теореме. Чтобы получить условия на

rj

, можно рассмотреть линеаризации векторных

полей в особых точках:

Aj =
Так как матрицы условия на

0 -3j . 2rj 0 r1 1 = r2 2
, откуда следуют

A

j одни и те же для всех особых точек, аналогично

доказательству теоремы 4.2 получаем, что

rj

.

Еще нужно показать, что все три случая, описанные в теореме, реализуются. Достаточно рассмотреть случай стемы

2). Пусть имеются две сиL2 (r, , , 0, 0) и L2 (3 r, 2 , 2 , 0, 0). Сделаем замену координат в C Ч (C \ {0})(z , w) : u = 3 z , v = 2 w. Тогда, очевидно, du dv = dz dw 2 2 2 2 и r z + /w + w /2 = 3 r u + 2 /v + 2 v /2.
Аналогично доказательству теоремы 3.3, рассмотрим компактификацию T любого неособого слоя T (заклеивающую проколы неособого слоя бесконечно удаленными точками) и его проекцию на пополненную плоскость

Prw :

T

C, (z , w) w.

Нетрудно проверить, что это отоб-

ражение является двулистным разветвленным накрытием с четырьмя точками ветвления индекса два (над точкой кости есть ветвление, а над точкой

w=0

в пополненной плос-

его нет, поэтому в качестве 2 компактификации T слоя T можно взять его замыкание в C с расклеенной бесконечностью). По формуле Римана-Гурвица мы получаем, что компактификация T неособого слоя гомеоморфна двумерной поверхности рода

w=

g = 1.

Отсюда неособый слой T гомеоморфен тору с тремя

проколами.

Следствие 3.3. Любые две системы

L2 (a1 , b1 , c1 , 0, d1 )

гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда,

L2 (a2 , b2 , c2 , 0, d2 ) 2 2 когда c1 b1 = c2 b2 и
и

a1 c 1 = a2 c

2.

14


3.3. Пространства гамильтоново неэквивалентных систем и бифуркационный комплекс
Под пространством гамильтоново неэквивалентных систем данного клас-

L C-гамильтоновых систем мы будем подразумевать факторпространство множества L по разбиению на гамильтоново эквивалентные между собой системы. Рассмотрим гамильтоновы системы вида L0 (a, b, c), L1 (a, b, c, d) L2 (a, b, c, 0, d). Они имеют естественную структуру комплексных много2 3 образий, биголоморфных, соотвественно, (C \ {0}) Ч C, (C \ {0}) Ч 3 C и (C \ {0}) Ч C. Изучим топологию пространств гамильтоново неэкса вивалентных систем этих классов. Для этого введем следующее определение. Пусть имеется комплексное многообразие Скажем, что факторпространство

и

X

и его разбиение

E

.

X/E

имеет естественную структу-

ру комплексного многообразия, если на нем существует такая структура
комплексного многообразия, относительно которой каноническая проекция

p : X X/E

является комплексно дифференцируемой субмерсией

(т.е. комплексно дифференцируемым отображением, дифференциал которого является эпиморфизмом в каждой точке). Заметим, что по теореме о неявных функциях, это условие эквивалентно тому, что такой комплексный атлас

X/E

являет-

ся многообразием (относительно фактортопологии) и на нем существует

{(U ; )}

с координатными гомеоморфизмами

: U V , что его можно продолжить до некоторого комплексного ат-1 ласа {(U, ; , )} на X , с координатными окрестностями U, p (U ) и координатными гомеоморфизмами вида , = ( p, , ) : U, V Ч W, , где V Ck и W, Cl открытые подмножества соответствующих комплексных координатных пространств.

Теорема 3.5. Пространства гамильтоново неэквивалентных систем
вида

L0 (a, b, c), L1 (a, b, c, d)

и

L2 (a, b, c, 0, d)

имеют естественную струк-

туру комплексных многообразий, биголоморфных, соответственно, {0}, (C \ {0})2 и (C \ {0})2 .

C\ )

Доказательство. Рассмотрим класс гамильтоновых систем вида L0 (a, b, c 2 2 и отображение 0 : (C \ {0}) Ч C C \ {0}, где 0 (a, b, c) = b /a. Пусть - E0 разбиение X0 = (C \ {0})2 Ч C на слои 0 1 (1 ), 1 C \ {0}. Согласно следствию 3.1, факторпространство функция

X0 /E

0 это в точности про-

странство гамильтоново неэквивалентных систем вида

L0 (a, b, c).

Так как



0 сюръективна, всюду аналитична и имеет всюду отличный от

нуля дифференциал, то она является искомой субмерсией. Рассмотрим класс гамильтоновых систем вида L1 (a, b, c, d) и отобра3 2 жение 1 : (C \ {0}) Ч C (C \ {0}) , где 1 (a, b, c, d) = (ac/b, bc). Пусть E1 -1 3 2 разбиение X1 = (C \ {0}) Ч C на слои 1 (1 , 2 ), (1 , 2 ) (C \ {0}) .

15


Согласно следствию 3.2, факторпространство Так как отображение мерсией. физм из

X1 /E

1 это в точности

пространство гамильтоново неэквивалентных систем вида

L1 (a, b, c, d).



1 сюръективно, всюду аналитично и его матрица

Якоби имеет всюду максимальный ранг, то оно является искомой субРассмотрим оставшийся случай. Пусть h(r, ) = (r, r (C\{0})2 в себя. Он переводит все трехточия вида

в трехточия вида

{(r , ), (2 r , ), (3 r , )}. Здесь корни из единицы j , j = 1, 2, 3, как в теореме 3.4. Используя новые пе2 3 ременные (r , ) в (C \ {0}) , определим отображение 2 : (C \ {0}) Ч C (C \ {0})2 формулой 2 (a, b, c, d) = (r 3 , ) = (a3 c2 /b2 , ac). Нетрудно видеть, что, по аналогии с предыдущими случаями, мы получим утверждение следствия. Пусть

) биголомор{(r, ), (2 r, 3 ), (3 r, 2 )} переменные (r, ) и

т.е. пусть

f произвольный лорановский f (z , w) = az 2 + Pn (w) + b/w. C.

гамильтониан степени

(1, n),

Теорема 3.6. Бифуркационный комплекс системы
гомеоморфен

(C Ч (C \ {0}), C , f )

Доказательство. Для начала заметим следующее. Пусть имеется непрерывное сюръективное отображение есть все точки замкнуты) разбиение X на слои -1 f (y ). Предположим, что естественная биекция g : X/E Y является открытым отображением. Тогда факторпространство

f: X Y пространств. Пусть E

топологических

T1

(то

X/E

гомеоморфно

Y

,и

g

является гомеоморфизмом.

Заметим также, что открытость отображения что для любого открытого в

g
-1

X объединения слоев p открыт в Y . Здесь p : X X/E каноническая проекция. В нашем случае X = C Ч (C \ {0}), а Y = C. Докажем, что про-1 образ f ( ) связен в X для любого C. Очевидно, что любой слой -1 T = f ( ) двулистно разветвленно накрывает плоскость C отображением Prw (z , w ) w , (z , w ) T . Значит, T состоит не более чем из двух
компонент связности. Но, делая обходы вокруг нуля в плоскости переменной

равносильна тому, (U ) образ f p-1 (U )

w

, мы будем переходить с ветви на ветвь всегда, если

w

близко

к нулю, в силу наличия полюса первого порядка. Таким образом, в силу того, что бифуркационный комплекс системы с

X/E , осталось лишь доказать открытость соответствующего отображения g . Для этого рассмотрим открытое -1 множество U X/E и его прообраз p (U ) при канонической проекции. -1 -1 Проверим, что множество f (p (U )) открыто в Y . Пусть y0 f (p (U )). -1 -1 Тогда слой f (y ) p (U ) содержит лишь конечное число особых точек и бесконечно много неособых точек. Пусть (z0 , w0 ) неособая точка
гамильтонианом это в точности 16

f


на этом слое. Тогда

функциях уравнение

(fz (z0 , w0 ), fw (z0 , w0 )) = (0, 0). По теореме о неявных f (z , w) - y = 0 в малой окрестности O(z0 ,w0 ) точки (z0 , w0 ) разрешимо относительно одной из переменных z , w . Пусть, для определенности, z = z (w , y ) в этой окрестности. Рассмотрим функцию z (w0 , y ). Она является непрерывной функцией в некоторой малой окрестности Oy0 точки y0 , причем, (z (w0 , Oy0 ), w0 ) O(z0 ,w0 ) . Очевидно, -1 -1 можно считать, что O(z0 ,w0 ) p (U ). Тем самым, Oy0 f (p (U )) и, значит, отображение g открыто. f
лорановский гамильтониан степени

Замечание 3.1. Пусть
Разрешим

m

принимать значение

0.

Потребуем, чтобы прообраз

(m, n). f -1 ( )

был связен в

C Ч (C \ {0})

для любого

C.

Тогда, как видно из до-

казательства теоремы 3.6, бифуркационный комплекс системы

(C Ч (C \

ществует такое

будет также гомеоморфен C. Предположим теперь, что су C, что прообраз f -1 ( ) несвязен в C Ч (C \ {0}). Такое 2 2k возможно тогда и только тогда, когда f = az + b/w + c для некоторых

{0}), C , f )

k N{0}, a, b, c C и ab = 0. Нетрудно показать, что бифуркационный 2 2k комплекс системы (C Ч (C \ {0}), C , f ), где f = az + b/w + c, гомеоморфен факторпространству несвязного объединения C C двух экземпляров двумерной плоскости по разбиению, склеивающему двухточия вида

( , ) C C, = c, при k = 0.

при

k = 0,

и одно двухточие

(c + b, c + b) C

C

4. Топология окрестности слоя рационального гамильтониана
4.1. Известные результаты о топологии слоений

А. Гомотопический тип слоя в терминах чисел Милнора

f = f (z ) (z1 , . . . , zn+1 ). Пусть
Пусть

многочлен n + 1 комплексных переменных z = 0 -1 точка z f (0) является его изолированной осо2n+1 бой точкой. Определим отображение : S S 2n+1 формулой (z ) =

f (z ) |gradf (z )|
grad

. Здесь

S

2n+1 сфера размерности

2n + 1

радиуса

>0

с центром в точке

z

0

,а

S

2n+1

единичного радиуса. Пусть

K

стандартная (2n + 1)-мерная сфера 2 = f -1 (0) S n+1 . Введем отображение

2 : S n+1 \ K S

1

формулой

(z ) =

f (z ) |f (z )|

. Имеет место теорема

Теорема 4.1. (Дж. Милнор, [9]). Если
построенное выше отображение

>0

достаточно мало, то

(z )
17

является проекцией некоторого


локально тривиального расслоения (расслоение Милнора). -1 i Каждый слой (e ) является гладким 2n-мерным многообразием, n n n и имеет гомотопический тип букета S S . . . S n-мерных сфер, причем количество сфер в этом букете пени отображения

ч

0 (число Милнора) равно сте-

.

В связи с этой теоремой возникает вопрос: что можно сказать о то-1 пологии слоев f ( ), C, зная как устроены расслоения Милнора в окрестностях особых точек

f

? Ответ на этот вопрос (для некоторых

специальных классов многочленов) получен в работах [16], [17]. Сформулируем соответствующие результаты.

Определение 4.1. Многочлен

f называется ручным, если > 0 такое, что для всех последовательностей z i с |z i | |gradf (z i )| для достаточно больших i.
Пусть Пусть ч ,

существует выполнено

ч сумма чисел Милнора, взятая по всем особым точкам f C, сумма чисел Милнора, взятая по всем особым точка f -1 попавшим в слой f ( ).
Теорема 4.2. (см. [16]). Пусть

. ,

C

слой

f

-1

( )

ручной многочлен. Тогда для всех гомотопически эквивалентен букету из ч - ч n-сфер.

f

Определение 4.2. Многочлен
любого

C

называется GI-многочленом, если для n компактификация слоя f -1 ( ) в CP (осуществляемая с

f

помощью переменной



) трансверсальна гиперплоскости

= 0. d
гомо-

Теорема 4.3. (см. [17]). Общий слой
топически эквивалентен букету из

GI -многочлена f (d - 1)n+1 n-сфер. f = z2 + w
2

степени

Пример 4.1. Рассмотрим многочлен
ным, так и

. Он является как руч-

GI

-многочленом. Поэтому его нулевой слой гомотопически

эквивалентен точке, а любой ненулевой слой гомотопически эквивален1 тен окружности S .

Б. Топология слоя в терминах многоугольника Ньютона
Рассмотрим в качестве функции

f (z , w)

произвольный многочлен Ло-

рана двух комплексных переменных (например, лорановский гамильтониан некоторой степени). Нам понадобятся следующие определения

Определение 4.3. Пусть

f (z , w ) =
l,mZ

a

l,m

zlw

m

лорановский много-

член от двух комплексных переменных. Выпуклая оболочка точек (l , m) Z2 таких, что al,m = 0 называется многоугольником Ньютона лорановского многочлена

f

и обозначается через

P

f.

18


определен усеченный многочлен, состоящий из тех слагаемых многочлена

Для каждой грани (размерности 0,1,2) многоугольника Ньютона al,m z l

Pf wm

f (z , w),

для которых точка

(l, m)

этой грани принадлежит.

Для удобства, усеченные многочлены будем кодировать векторами на плоскости (любым вектором соответствущего верхнего конуса для граней размерности нуль, векторами внешней нормали для граней размерности 1 и нулевым вектором для размерности 2) и обозначать через f .

Определение 4.4. Грань (или соотвествующий ей усеченный многочлен)

f называется невырожденной (невырожденным), если для соот вествующего усеченного многочлена f выполнено следующее условие: 2 для любого решения (z , w ) уравнения f (z , w ) = 0, лежащего в (C \ {0}) , дифференциал d (z , w ) = 0. Лорановский многочлен f (z , w ) называетf
ся невырожденным относительно своего многоугольника Ньютона если любая его грань невырождена.

P

P

f,

Определение 4.5. Пусть
ренциальных

k (M )

пространство голоморфных диффе-

k

-форм на компактном аналитическом проективном мно-

гообразии M . Арифметическим родом (-1)k dimC k (M ). В случае, когда тического рода: Обозначим

(M )

называется число

(M ) =

M

компактная связная риманова поверхность, в

силу замечания из [12, 17.10], имеем следующую формулу для арифме-

(M ) = 1 - g , где g число ручек на M . + через B (Pf ) число целых точек, внутренних

для

P

f (в то-

пологии минимального линейного пространства, содержащего

P

f ). Пусть

M

достаточно полная (см. [13]) компактификация для Pf . Согласно dimPf B + (P ). Из сказанного теореме 1 из [14, 1.3], имеем (M ) = 1 - (-1) f выше, а также из [14, 2.1] и теоремы из [14, 4.1] вытекает

Следствие 4.1. Предположим, что функция
бодный член, а dimPf для функции

f
-1

имеет ненулевой сво-

= 2.

Тогда нулевой слой

f

(0)

является неособым

f

морфным сфере с

. Предположим, что этот слой связен. Тогда он гомеоg = B + (Pf ) ручками и k проколами, где k это число

целых точек, лежащих на границе многоугольника

P

f.
Он

Пример 4.2. Рассмотрим многочлен

f (z , w) = z 2 + w + 1/w + c, c = 0.

является невырожденным относительно своего многоугольника Ньютона

f тогда и только тогда, когда c = +2. Так как dimPf = 2, при c = +2, -1 нулевой слой f (0) гомеоморфен двумерному тору с одним проколом.

P

В. Топология окрестности слоя

19


Изложение в этом пункте будет конспективным. Более подробную информацию (определения, полные формулировки теорем и их доказательства) можно найти в работах [1], [3], [10] и [19]. Одним из отправных результатов о топологии окрестности слоя интегрируемой гамильтоновой системы является приводимая ниже теорема Лиувилля. Рассмотрим вполне интегрируемую вещественную гамильтонову систему интегралами

(M , , H ), dimR M = 2N , с N H = H1 , . . . , HN . Имеет место

первыми инволютивными

Теорема 4.4. (Теорема Лиувилля). Любая связная регулярная поверхизведению В случае ность уровня интегралов Hi , i = 1, Rk Ч T N -k , где T N -k

. . . , N , диффеоморфна прямому про(N - k )-мерный тор, 0 k N .

k=0

получаем

N

-мерный тор (тор Лиувилля). Слоение в

окрестности тора Лиувилля тривиально, т.е. диффеоморфно прямому N N произведению тора T на диск D .
Таким образом, сформулированная выше теорема говорит, что малые окрестности торов Лиувилля систем с одинаковым числом степеней свободы устроены одинаково. Возникает вопрос: как эффективно классифицировать малые окрестности особых слоев интегрируемых систем с точностью до полулокальной Лиувиллевой (полулокальной топологической) эквивалентности? Приведем несколько известных результатов.

Теорема 4.5. (см. [10]). Две седловые особенности вполне интегрируемых гамильтоновых систем с им

N

степенями свободы полулокально Ли-

увиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие

f

N -графы эквивалентны.

Теорема 4.6. (см. [19]). Две топологически устойчивые фокусные особенности вполне интегрируемых гамильтоновых систем с компактными слоями и

2

степенями свободы полулокально Лиувиллево экви-

валентны тогда и только тогда, когда соответствующие им особые слои имеют одинаковую сложность (т.е. одинаковое число особенностей типа фокус-фокус).
Теоремы 4.5 и 4.6 имеют дело с вполне интегрируемыми системами, у которых особенности невырождены. В работе [3] рассматривался класс интегрируемых (но в большинстве случаев не вполне интегрируемых) систем

Hn (a, bn , . . . , b0 ),

у которых особенности имеют тип

A

k,

k N,

и,

тем самым, либо вырождены либо имеют тип фокус-фокус.

Теорема 4.7. (см. [3]). Две интегрируемые системы
и

Hn2 (a2 , b2 2 , . . . , b2 ) n 0 сительно 0 тогда и

Hn1 (a1 , b1 1 , . . . , b1 ) n 0

полулокально топологически эквивалентны отнотолько тогда, когда

n1 = n2

, и соответствующие

20


слои уровня бых точек.

0

этих систем имеют одинаковые наборы кратностей осо-

В [3] также доказано, что слоение в окрестности любого неособого слоя гиперэллиптического многочлена устроено тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению слоя на двумерный диск. Отметим, что в случае рационального гамильтониана это не всегда так (мы покажем в 4.2 (см. следствие 4.2), что слоение в окрестности неособого слоя рационального гамильтониана тривиально только при некотором условии невырожденности в бесконечности).

4.2. Вспомогательные леммы и утверждения
Рассмотрим рациональный гамильтониан

f (z , w) = az 2 + R(w) системы An (w) , где A = An (w ) (C Ч (C \ {d1 , . . . , dm }), dz dw, f ). Пусть R(w) = Bm (w) и B = Bm (w ) взаимно простые многочлены степеней n 0 и m 0, R(w) const. Не ограничивая общности дальнейших рассмотрений, считаем a = 1 и n = m (достаточно поделить R(w ) на a и прибавить, если потребуется, константу). Рассмотрим некоторое 0 C. На слое T0 P имеется конечное число s 0 особых точек P1 , . . . , PsP с кратностями l1 , . . . , lsP и конечное число sQ 0 простых точек Q1 , . . . , QsQ (числа sP , sQ , Pj и Qk зависят от 0 ). При этом lj + sQ = max(m, n), при = 0, и lj + sQ = n, если = 0, т.к. Pj и Qk все точки, соответствующие решению уравнения f (0, w ) = 0 . Pj , j = 1, . . . , sP , существует такая P ее четырехмерная окрестность Uj , что в ней функция f (z , w ) экви2 l P P валентна функции gj : V,lj C, где gj (z , w ) = z + w j + 0 , V,lj = {(z , w ) C2 | |z 2 + w lj | < , |w | < (2)1/lj }. Для каждой точки Qk , k = 1, . . . , sQ , существует такая ее четырехмерная окрестность Q Q Uk , что в ней функция f (z , w) эквивалентна функции gk : V,1 C, где Q gk (z , w ) = z 2 + w + 0 . Здесь > 0 может быть выбрано единым для Q P всех точек Pj и Qk , а все Uj и Uk могут быть сделаны попарно не
Лемма 4.1. Для каждой точки
пересекающимися. Доказательство. Следуя доказательству [3, 2, Лемма 4], рассмотрим
произвольную точку Pj = z 2 + g (w)(w - wj )lj + 0 , где

g (wj ) = 0.

Рассмотрим

(0, wj ). В некоторой ее окрестности f (z , w) = g = g (w) голоморфная функция, такая, что w столь малую окрестность U точки wj (в плоско-

21


сти переменной

w

), чтобы для некоторой ветви корня

l
j

отображение (4)

P,j : w w = (w - wj )
было диффеоморфизмом

lj

g (w)

U w на P,j (U w ). Положим hP,j = idC Ч P,j . w w Возьмем столь малое > 0, чтобы V,lj hP ,j (C Ч U ) = C Ч (U ), -1 P P и положим Uj = h0,j (V,lj ). Отображение hP ,j : Uj V,lj осуществляет P требуемую эквивалентность функций f |U P и gj . Аналогично поступим j с простыми точками Qk . Уменьшая, если потребуется, > 0, получим
утверждение леммы.

C-гамильтоновых систем с рациональным гамильтонианом имеют тип Ak , k N. В частности, особенности интегрируемых систем Hn (a, bn , . . . , b0 ) (см. 4.1, пункт В) имеют тип Ak .
Рассмотрим открытый двумерный диск ния

Замечание 4.1. Таким образом, особенности

0 рационального гамильтониана выше, P1 , . . . , PsP особые точки слоя T0 соответствующих кратностей lj , а Q1 , . . . , QsQ простые точки этого слоя. Под окрестностью конечного
набора точек всюду в дальнейшем будем иметь ввиду объединение попарно непересекающихся (вместе с замыканиями) связных окрестностей этих точек.

D0 , вокруг (особого) f = z + R(w). Пусть, как и
2

значе-

Лемма 4.2. Пусть

0 = R() := lim R(w) C. U
w набора точек

Тогда для любой чесуществуют

тырехмерной окрестности что функция где

P

jи

Qk

и четырехмерная окрестность

UU

набора точек функции

L= P

T0

f |f -1 (D , )\U эквивалентна 0 \ U , Pr1 ( , ) = . Qk
в плоскости переменной

>0 Pj и Qk , такие, Pr1 : D0 , Ч L D0 , , U
w
набора

Доказательство. Рассмотрим малую круговую окрестность
точек

jи

w

(с проколами, отвечающими

полюсам функции R = R(w )). Пусть > 0 таково, что при U w функция u( , w) = - R(w) отделена от нуля. Такое > так как рациональная функция голоморфного отображения компакта

D0 , и w / 0 существует,

R - 0 = R(w) - 0 продолжается до C C, нулями которого являются в точности точки (рассматриваемые в плоскости переменной w ) Pj и Qk w из U в силу условия R() - 0 = 0. Положим U := {(+ - R(w), w) C2 | D0 , , w U w }.
Уменьшая, если нужно окрестность жем, что (5) . Дока-

U

w

и

> 0,

получим

U U

U

является искомой четырехмерной окрестностью точек

Pj , Qk

.

22


Рассмотрим случай, когда многообразие T0 руем некоторую точку образом, чтобы всех

\U

линейно связно. Фикси-

z0 =

(z0 , w0 ) 0 - R(w0 ),

T0

\U

. Выберем ветвь корня таким

и продолжим ее однозначно в некото-

w, близких к w0 , и D0 , определено значение u( , w) = - R(w), гладко зависящее от и w . Заметим, что ( - R(w), w) T \ U для всех w U w , D0 , . / Поэтому, для каждого D0 , , мы можем рассмотреть росток корu( , w0 ) и аналитически его продолжить (неоднозначным образом) ня на слой T с помощью переменной w U , меняющейся на базе на/w крытия Pr2 : T \ U C, Pr2 (z , w ) = w . Рассмотрим некоторый путь в плоскости переменной w, не проходящий через полюса R(w) и U w . Он индуцирует путь u( , ) в плоскости переменной u. Значение корня u( , w) зависит от четности числа оборотов u( , ) вокруг нуля (в плоскости переменной u) при аналитическом продолжении. Так как u( , w )
рую окрестность. Очевидно, можно считать, что при отделено от нуля, это число оборотов совпадает с числом оборотов пути . Последнее, в свою очередь, есть u(0 , ). -1 Рассмотрим отображение ч : f (D0 , ) \ U T0 , определенное соотношением ч(z , w ) = (v (z , w ), w ), где v 2 (z , w) + R(w) = 0 . Функ-

u( , ) + 0 -

v (z , w) строится следующим образом. Пусть (z , w) T , тогда z = u( , w). Полагаем + u( , w). Пусть пусть выбран так, что z = v (z , w) := u(0 , w), где значение корня u(0 , w) определяется тем же u( , w), а также путем . По построению U , аналитической функции в силу линейной связности T0 \ U , функция v определена корректно на f -1 (D0 , ) \ U . Тем самым, корректно определено отображение ч(z , w), тождественное на слое T0 и такое, что ч(z , w )| является биголоморT \U
ция физмом T

\U

T

0

\U

при каждом

Определим теперь отображение ющим образом:

D0 , . h1 : f -1 (D0 , ) \ U D ч( z , w )
0

0 ,

ЧL

следу-

h1 (z , w) = (f (z , w), ч(z , w))
Пусть

(здесь

точка на слое T0

).

(6)

H1 = i h1

, где

i : D

0

,

Ч L D

,

Ч C2

отображение включения.

Нетрудно видеть, что ранг матрицы Якоби отображения

H1

максимален

в каждой точке. Действительно, матрица Якоби имеет вид:

fz vz 0 , fw vw 1
причем на множестве отображение

f

-1

(D0 , ) \ U

верно неравенство

fz = 0.

Так как

h1

по построению взаимно однозначно,

C

-дифференцируемо

23


и его дифференциал является изоморфизмом в каждой точке, то оно является биголоморфизмом. Очевидно, утверждение леммы в случае связного Если T0

f = Pr1 h1 T0 \ U .

, откуда и следует

\U

состоит из двух линейно связных компонент, то при

достаточно малом

>0

все слои T

\ U , D0 , ,

также состоят из

двух линейно связных компонент. Повторяя рассуждения, проведенные выше, для каждой из двух линейно связных компонент, мы получаем утверждение леммы.

Лемма 4.3. Пусть 0
ности

= R(). Тогда для любой четырехмерной окрестV набора точек Pj существуют > 0 и четырехмерная окрестность V V набора точек Pj , такие, что функция f |f -1 (D , )\V то0 пологически эквивалентна функции Pr1 : D0 , Ч L D0 , , где L = T0 \ V , Pr1 ( , ) = .
Доказательство. Проведем все построения, описанные в доказательстве
леммы 4.2. Если на слое T0 отсутствуют простые точки точку

Qk ,

то все до-

казано. Предположим теперь, что они есть, и рассмотрим одну из них

Q = (0, w0 ). В окрестности точки Q, согласно лемме 4.1, суще2 ствуют координаты (z , w ) такие, что в них f (z , w ) = z + w + 0 . В этих координатах (z , w )(Q) = (0, 0) простая точка на слое T0 . Для каждого D0 , будем иметь простые точки Q = (0, w ) на слоях T , близкие к точке Q, причем можно считать (в силу леммы 4.2), что связная компонента окрестности U из леммы 4.2, содержащая Q, содержится в области определения координат (z , w ), и все точки Q при D0 , принадле жат этой связной компоненте. В частности, (z , w )(Q ) = (0, - 0 ), и в
указанной связной компоненте других особых или простых точек нет. w Рассмотрим некоторое D0 , и связную компоненту UQ окрестноw сти U из леммы 4.2, содержащую точку w0 . Рассмотрим гомеоморфизм w плоскости переменной w, который оставляет неподвижными C \ UQ и w w малую окрестность границы UQ области UQ , а также совпадает с отоб-

w w + 0 - в малой окрестно координате w ). Такой гомеоморфизм может
ражением интегральных траекторий векторного поля точки

сти точки

w

(в нашей новой

быть получен сдвигом вдоль

X

, которое строится следу-

ющим образом. Рассмотрим в плоскости переменной

w

окрестность

w при любом D0 , , и окрестность 2 w такие, что W 1 W2 W 2 UQ , а также гладкую вещественнозначную функцию = (w ), тождественно равную единице в W1 и тождественd но равную нулю вне W2 . Положим X = (w )(0 - ) . Заметим, что dw функцию можно выбрать единой для всех D0 , . Тогда отображение будет гладко зависеть от . w
0 , содержащую точки
24

W W

1


четырехмерная окрестность точки

h2 : O(Q) D0 , Ч T0 , где O(Q) малая Q, в которой введены координаты из леммы 4.1 (с, вообще говоря, другим в формулировке), и которая содержит соответствующую связную компоненту окрестности U из (5). Для построения отображения h2 введем семейство отображений g : T
Построим отображение

O(Q)

T

0

, D0 , ,

формулой

(z , w )(g (z , w)) = O(Q) h1
T0 , и

где ветвь корня выбирается таким образом, чтобы ло отображением включения T0

-w ( (w)), w ( (w)) отображение g0 быположим h2 (z , w ) =

,

(f (z , w), gf

(z ,w)

(z , w)).
из

Осталось объединить отображение

(6)

с отображениями ви-

да h2 , построенными для каждой точки Qk . Полученное отображение f -1 (D0 , ) \ V D0 , Ч T0 \ V , где V объединение связных компонент окрестности

U

из (5), содержащих особые точки

P

j , определено

корректно и, как нетрудно видеть, продолжается до гомеоморфизма

h3 : f

-1

(D0 , ) \ V D0 , Ч (T0 \ V ) ,

(7)

осуществляющего требуемую топологическую эквивалентность функций f и Pr1 , рассматриваемых на множествах f -1 (D0 , ) \ V и D0 , Ч L соответственно.

и слой T0 не содержит особых 2 точек. Тогда слоение, задаваемое функцией f (z , w ) = z + R(w ) вблизи слоя T
0

Следствие 4.2. Пусть

0 = R(),

тривиально, т.е. гомеоморфно (и даже диффеоморфно) пря-

мому произведению слоя на двумерный диск. Если же ему не гомеоморфны.

0 = R()

, то

соответствующее слоение не тривиально, т.к. слои T , близкие к T0 ,

Замечание 4.2. Рассмотрим произвольную особую точку
ствующее ей отображение

P

j и соответ-

Тогда в качестве содержащей ее w (в плоскости переменной w ) связной компоненты множества U (в дока-1 зательстве леммы 4.2) можно взять P ,j (D ). Построим по множе0,(2)1/lj w ству U окрестность V как это описано выше. Нетрудно видеть, что такая четырехмерная окрестность а

P

,j из

(4).

j удовлетворяет l утверждению леммы 4.3. Заметим также, что в случае, когда R(w ) = w j ,

V

набора особых точек

P

0 = 0,

окрестность

V

в точности совпадет с окрестностью

V,l

j

из лем-

мы 4.1. Согласно леммы 4.3, при многообразия T

\V

с краем,

неособости слоя T0 , все слои (и всюду в дальнейшем)

0 = R() и достаточно малом > 0 все D0 , , попарно гомеоморфны, а в случае T , D0 , , попарно гомеоморфны. Здесь

V

малая четырехмерная окрестность набора

25


особых точек

P

j из замечания 4.2. Более того, при достаточно малом

> 0,

все слои T , D0 , , = 0 , неособы и попарно гомеоморфны. g Пусть Mh,k двумерная сфера с g ручками, h дырками и k проколами. P Пусть, как и выше, lj , j = 1, . . . , s , обозначают кратности особых точек Q Pj на слое T0 , а s обозначает число простых точек на этом слое. Введем кратности полюсов (в конечной части плоскости) рациональной функции

R = R (w ) =
что

An (w) Bm (w)

d , которые обозначим через lk

, k = 1, . . . , s

D

. Заметим,

d всегда больше единицы, а lk , вообще говоря, больше или равны D s d единице, k=1 lk = m. Следующее утверждение описывает, с точностью до гомеоморфизма,

lj

топологию многообразий T

\V

с краем, а также топологию слоев T .

Следствие 4.3.
1) Пусть многообразие T0

\V

с краем связно (это выполнено тогда

и только тогда, когда существует хотя бы одна простая точка на d слое T0 , или когда хотя бы одно из чисел lj , lk нечетно) . Тогда оно g гомеоморфно многообразию Mh,k с краем, где

3 + (-1)L 1 L- 2 2 P h=p+s , g= k=M+ 3 + (-1)L . 2

,

Здесь введены следующие обозначения:

L = sQ + (sP - p) + (2sD - M ),
s
P

p=
j =1 s
D

1 + (-1)lj , 2 3 + (-1)lk . 2
d

M=
k=1

J = max{m, n} + 2sD - M . Тогда все многообразия T , 3 + (-1)J 1 D0 , , = 0 , гомеоморфны сфере с J- ручками и M + 2 2 3 + (-1)J проколами. Слой T0 гомеоморфен сфере с g ручками, p пара2 ми склеенных точек и k проколами.
Пусть

26


2)

Пусть многообразие T0

\V

образие гомеоморфно несвязному объединению

с краем несвязно. Тогда это многоg g Mh,k Mh,k , где

g = 0, h = sP , k = sD + 1.
P При s 1 слой T0 получен из двух экземпляров сферы с k проколами и P s отмеченными точками склеиванием sP пар соответсвующих отмеP 0 0 ченных точек. При s = 0 слой T0 несвязен и гомеоморфен M0,k M0,k .

Число ручек и проколов у многообразий T

, D0 , , = 0 ,

(все они

связны) считается по тем же формулам, что и в 1).
Заметим, что следствие остается верным и в том случае, когда

0 =

R()

.

Доказательство. Рассмотрим компактификацию T0 слоя T0 , заклеивающую проколы бесконечно удаленными точками. Получим конечный двумерный клеточный комплекс сферу с ручками и перетяжками. Из рассуждений, проведенных в леммах 4.1 4.3, а также из специального выбора окрестности плекса T0 кратности ли

V

следует, что T0 получается из клеточного ком-

\V lи

следующей операцией. Берется особая точка содержащая ее связная компонента

VP

окрестности

P V V.

T0 Ес-

l

нечетно, то граница

(VP l

T0

)

есть окружность, и мы приклеиваем

вдоль нее комплекс

VP T

0 , гомеоморфный двумерному замкнутому дисчетно, то граница

ку, по общей границе. Если

(VP

T0

)

есть несвязное

объединение двух окружностей, и мы приклеиваем вдоль него комплекс

VP T0

, гомеоморфный двумерному замкнутому цилиндру, у которого

один цикл стянут в точку. Используя это наблюдение, а также формулу Римана-Гурвица для двулистных разветвленных накрытий T получаем утверждение следствия. Пусть

C,

прямыми вычислениями

>0

достаточно мало и

lj

некоторое натуральное число,

зависящее от параметра j . Пусть оно четно. Определим четырехмерное 4 1 1 многообразие N,l := ([0, ] Ч S Ч S Ч [-1, 0- ] [0+ , 1])/ с краем (см. j [3, 3, утверждение 1]). Здесь



порождено следующими отношениями:

(r, mod 2 , (0,
где

+t+2 k lj

mod 2 , 0- ) (r, mod 2 , mod 2 , h),

-+t-2 k lj

mod 2 , 0+ ),

mod 2 ,

mod 2 , h) (0, 0,

0 k < lj , r [0, ], [0, 2 ], [0, 2 ], t [- , ], h 4 [-1, 0- ] [0+ , 1]. Положим qj : N,lj C, qj (r, , , h) = rei + 0 .

27


4 lj нечетно. Определим четырехмерное многообразие N,lj := ([0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч [-1, 0])/ с краем (см. [3, 3, утверждение 2]). Здесь порождено следующими отношениями:
Пусть

(r, mod 2 , (0,
где

+t+2 k lj

mod 4 , 0) (r, mod 2 ,

-t+2 k lj

+ 2

mod 4 , 0),

mod 2 ,

mod 4 , h) (0, 0,

mod 4 , h),

Положим

0 k < lj , r [0, ], [0, 2 ], [0, 4 ], t [- , ], h [-1, 0]. 4 qj : N,lj C, qj (r, , , h) = rei + 0 . j
нумерует особые точки

Индекс

Pj

T0

, j = 1, . . . , sP ,
s
P

а lj обознаследующим

чают их кратности. Определим функцию образом:
4 q |N,l (r, , , h) = qj (r, , , h). j P

q:
j =1

4 N,lj C

Аналогично определим функ-

s
цию

g:
j =1

V

,l

j

C

формулой

g |V

,lj

(z , w ) = z 2 + w

lj

+ 0

.

Напомним, что через

V

мы обозначаем малую четырехмерную окрест-

ность набора особых точек

P

j из замечания 4.2.

Следствие 4.4. Существует

гически эквивалентна функциям

> 0, такое, g и q. P

что функция

f |V

тополо-

Доказательство. Рассмотрим связную компоненту окрестности
держащую некоторую особую точку координатах из леммы 4.1, эта компонента совпадает с получаем гомеоморфизм

V

, со-

j кратности lj . По построению

h4 : V

sP j =1

V

,lj , где

h4 |U

P j

V,в V,lj . Из леммы 4.1 (z , w) = hP,j (z , w),
и

осуществляющий требуемую топологическую эквивалентность функций

f |V

и

g

. Топологическая эквивалентность функций

g

q

следует из [3,

3, утверждения 1 и 2].

Лемма 4.4. Пусть
и

X, X1 , X2 топологическое пространство, X1 X2 замкнутые подмножества пространства X такие, что X1 X2 = X. Пусть Hj : Xj Xj , j = 1, 2, гомеоморфизмы. Склеим X1 и X2 по отображению H12 : H1 (X1 X2 ) H2 (X1 X2 ), где H12 = H2 - H1 1 |H1 (X1 X2 ) . Обозначим эту склейку через 12 . Тогда отображение H : X (X1 X2 )/ 12 , определенное правилом H |Xj = Hj , j = 1, 2,
является гомеоморфизмом. Доказательство. Так как отображение

H

по построению взаимно од. Нам нужно доказать, что

нозначно и открыто, достаточно проверить его непрерывность. Пусть

O

открытое множество в

(X

1

X2 )/ 12
28


- - (O) = H1 1 (O|X1 ) H2 1 (O|X2 ) открыто в X . Рассмотрим -1 -1 произвольную точку x H1 (O |X1 ) H2 (O |X2 ). Пусть x X1 X2 . Тогда существуют такая ее окрестность V1 в X1 и такая ее окрестность V2 в X2 , что H1 (V1 ) O|X1 и H2 (V2 ) O|X2 . Рассмотрим открытые в X множества U1 и U2 такие, что U1 |X1 = V1 , U2 |X2 = V2 . Положим U = U1 U2 . Множество U является окрестностью точки x в пространстве X , целиком -1 содержащейся в H (O). Пусть точка x X1 X2 . Тогда для нее также / -1 найдется окрестность в X , целиком содержащаяся в H (O), ввиду того, что H1 и H2 являются гомеоморфизмами, а также ввиду замкнутости множеств X1 и X2 в X .
множество

H

-1

4.3. Основные результаты о полулокальной классификации особенностей

+ V,lj = {(z , w) C2 | |z 2 + wlj | < , |w| = (2)1/lj }. Как в лемме 4.3, положим L = T0 \ V . Пусть ч(z , w ) отображение, такое же как в формуле (6), и пусть z = z , w = P ,j (w ). Можно считать, -1 -w lj , -,1 (w ) при всех что определено значение ч(z , P ,j (w )) = Pj + lj . Рассмотрим отобра(z , w ) V,lj для некоторой ветви корня -w -1 + 2 l жения j : V,lj D0 , Ч L, где j (z , w ) = z + w j + 0 , ч(z , P ,j (w )) = 1 z 2 + w lj + 0 , -w lj , -,j (w ) . Отображения j гомеоморфно отобраP + жают V,lj на свой образ.
Введем множество

s
Произведем склейку множеств отображениям

P

(V
j =1

,l

j

+ V,lj )

и

D0 , Ч L

по всем



j . Обозначим эту склейку через

. Имеет место

Теорема 4.8. Пусть
что функция функции

f |f -1 (D G : M 4 C,

0

0 = f (0, ). Тогда существует > 0 такое, : f -1 (D0 , ) C топологически эквивалентна , )
P

где
s

(V
,l
j

M 4 = D0 , Ч L



+ V,lj ) / ,

j =1

на множестве жествах

V,l

j

D0 , Ч L функция G есть проекция: G = Pr1 , а на мно + V,lj задается формулами G(z , w ) = z 2 + w lj + 0 .

Доказательство. Функция G определена корректно, так как для любого j при (z , w ) + V,lj выполнено равенство G(z , w ) = Pr1 j (z , w ). По-1 строим гомеоморфизм h : f (D0 , ) M 4 , осуществляющий требуемую

29


топологическую эквивалентность функций

f

-1

(D0 , )

как

(f

-1

(D

0 ,

следствию 4.4, определим

)\V) V f h(z , w) так:

-1

f |f -1 (D0 , ) и G. (D0 , ) . Согласно

Представим лемме 4.3 и

h(z , w) =
Отображение 2

h3 (z , w) h4 (z , w) = (z , w )

при при

(z , w) f -1 (D0 , ) \ V , (z , w) V f -1 (D0 , ).

h определено корректно. Действительно, j h4 (z , w) = j (z , w ) = (z + w lj + 0 , ч(z , w)) = (f (z , w), ч(z , w)) = h3 (z , w) при (z , w) V f -1 (D0 , ).
Положим

X=f

-1

s

P

(D0 , ), X1 =

(V,lj + V

,l

j

), X2 = D

0

,

Ч L,

j =1

h гомеоморфизм. h осуществляет топологическую эквивалент-1 (D0 , ) композиция G ность функций f |f -1 (D , ) и G. Имеем: на множестве V f 0 2 lj -1 h(z , w) = z +w +0 = f (z , w), а на множестве f (D0 , )\V композиция G h(z , w) = , где = f (z , w) по определению. Теорема доказана.
. Тогда из леммы 4.4 получаем, что Осталось проверить, что

H1 = h4 , H2 = h3

s
В силу следствия 4.4, многообразие

P

V
j =1

,l

j

с краем можно отожде-

s
ствить с

P

4 N,l

j =1

j

, а функции

g |V

,lj

с функциями

q

j с помощью некоторой

топологической эквивалентности (явные формулы которой можно найти в [3, 3, утверждения 1 и 2]). При этом ограничение этого отождествле+ 1 1 ния на V,lj обратно гомеоморфизму ([0, ) Ч S Ч S Ч {-1, 1}/ )

+ V,l

j

, задаваемому формулой

1 (r, , , +1) (+ rei - 2 eilj , (2) lj ei ).

Получаем следующее

Следствие 4.5. Пусть
что функция f Q : N 4 C, где

:f

-1

(D

0

0 = f (0, ). Тогда существует > 0 такое, , ) C топологически эквивалентна функции

N4 = D
Здесь через

0 ,/2

ЧL
j

4 N,l

j

/ .
и указан-



обозначена склейка, индуцированная склейкой

ными выше отождествлениями. На множестве D 0 , Ч L отображение 4 Q есть проекция: Q = Pr1 , а на множествах N,lj задается формулами Q(r, , , h) = rei + 0 .

30


Описанная конструкция построения по заданным гиперэллиптическому рациональному гамильтониану f = f (z , w ), уровню > 0 пространства M 4 с функцией G на нем (соотвественно, цией

0 N

и числу

4

с функ-

Q)

осуществлялась в предположении, что

ное построение можно провести и в случае, когда

f (0, ) = 0 . Аналогичf (0, ) = 0 . Дей-

ствительно, если для гиперэллиптического рационального гамильтони2 ана f = z + R(w ) имеет место равенство f (0, ) = 0 , то, непременно,

R(w)

имеет полюса в конечной части плоскости. Рассмотрим один

из этих полюсов и обозначим его через w0 . Сделаем замену перемен1 w w = w-w0 . Она устанавливает эквивалентность функций f = 1 f (z , w) и g = g (z , w ) = f (z , w0 + w ), где точки (z , w ) с w = 0 считаются выколотыми из области определения функции g . Для функции g уже ных

g (0, ) = 0 , значит, для нее может быть осуществ4 лено построение пространства M из теоремы 4.8, с той лишь разницей, что в плоскости переменной w нужно сделать дополнительный прокол в нуле (хотя точка w = 0 не является полюсом функции g (0, w ) ввиду g (0, 0) = 0 = f (0, ) = ). Эта выколотая точка является устранимой особенностью для функции g (0, w ), значит, корректно говорить о -1 кратности (особой) точки (0, ) слоя f (0 ).
верно неравенство

f f

Рассмотрим два (гиперэллиптических) рациональных гамильтониана 1 и f2 . Пусть они не имеют выколотых (особых) точек в слоях T = 1 0 -1 - (0 ) и T20 = f2 1 (0 ), отличных от (0, ). Имеет место 1

Теорема 4.9. Пусть

f2 (0, ) = 0

. Тогда

f1 (0, ) = 0 функции f1 и f2

и

f2 (0, ) = 0

или

f1 (0, ) =

полулокально топологически эк-

вивалентны относительно значения 0 тогда и только тогда, когда 1 2 слои T и T гомеоморфны и имеют одинаковые наборы кратностей 0 0 особых точек (включая кратность (особой) точки (0, ) при fj (0, ) =

0 , j = 1, 2). 0
.

В случае, когда

f1 (0, ) = f2 (0, ) = 0 ,

функции

f

1и

f

2

полулокально топологически не эквивалентны относительно значения

Доказательство. Второе утверждение теоремы следует из леммы 4.3,
так как соответствующее лемме утверждение верно для функции

f

1и

неверно для функции f2 (для любой четырехмерной окрестности V осо2 2 бых точек слоя T и достаточно малого > 0 пространства T \ V и 0 2 T \ V не гомеоморфны при D0 , , = 0 ). Докажем первое утвер0 ждение. . 1 2 Необходимость. Условие на гомеоморфность слоев T и T вытека0 0 ет из определения топологической эквивалентности функций. Выведем Сперва рассмотрим случай

f1 (0, ) = 0

и

f2 (0, ) = 0

31


условие на совпадение кратностей. Достаточно показать, что функции gk = z 2 + wk и gl = z 2 + wl локально топологически эквивалентны относительно точек

P

kи

P

l,

Pk = Pl = (0, 0),

тогда и только тогда, когда

k = l. Предположим, что существует топологическая эквивалентность h : U1 U2 функций gk и gl , где U1 и U2 малые окрестности точки (0, 0). 3 Определим отображение k : U1 \ {0, 0} S формулой k (z , w ) = ( gzk , gk ) w 3 . Здесь S трехмерная сфера единичного радиуса. Аналогич gk gk |( z , w )| 3 -1 3 но определим l : U2 \{0, 0} S . Рассмотрим композицию l h|h-1 (S 3 ) : h (S ) 3 S 3 , где S трехмерная сфера достаточно малого радиуса > 0. Нетрудно видеть, что deg l h |h -1 (S 3 ) = deg l h|h-1 (S 3 ) = deg l |S 3 , где h близко к h. С другой стороны, если h гладкое отображение, матрица
Якоби которого всюду имеет положительный определитель, в силу инвариантности степени относительно деформаций, имеем
3 deg k |S . Но можно проверить, l - 1, откуда k = l. В обратную 3 deg l h |h -1 (S ) = 3 = k - 1, а deg l |S =

что степень

3 deg k |S

сторону утверждение очевидно.

1 2 Достаточность. Занумеруем наборы особых точек слоев T и T че0 0 2 P1 2 1 = sP , так, чтобы кратности особых точек Pj1 рез Pj и Pj , j = 1, . . . , s 2 и Pj совпадали. Обозначим эти кратности через lj . Для каждой функции

f

1и

f

2 и некоторого достаточно малого

>0

проведем построения

пространств


4 M1 = D0 , Ч L 1

s

P1

(V,lj + V
,l
j


s
P2

) /

1и

j =1

4 M2 = D

0

,

ЧL

2


1

(V,lj + V
j =1

,l

j

) /

2

2 2 T \ V . Обозначим соответ0 ствующие функции из теоремы 4.8, топологически эквивалентные f1 и
из теоремы 4.8, где и

L1 =T10 \ V

L2 =

f

2 , через

G1

и

G2

. Докажем, что функции

G1

и

G2

топологически экви-

валентны.

1 2 В силу гомеоморфности слоев T и T и совпадения наборов крат0 0 1 1 2 2 ностей их особых точек, гомеоморфны многообразия T \ V и T \ V с 0 0 краем. Рассмотрим для каждой связной компоненты множества D0 , Ч (T10 \ V 1 ) ее небольшое раздутие в D0 , Ч (T10 \ V 1 ), гомеоморфное 1 прямому произведению двумерного диска D0 , на кольцо [0, 1] Ч S , и 1 добавим эти раздутия к множеству j V,lj V . Получим замкнутое в

32


2 . Аналогично поступим со слоем T и получим замкну0 2 4 тое в M2 множество V . Нетрудно видеть, что существует сохраняющий 1 1 2 2 ориентацию гомеоморфизм id Ч hL : D0 , Ч (T \ V ) D0 , Ч (T \ V ). 0 0 + На множествах V,lj V,lj рассмотрим гомеоморфизм hV , задаваемый
множество

4 M1

V

1

формулой (z , w ) (z , w ). Рассмотрим связную компоненту множества V 1 \ j V,lj , гомеоморфную D0 , Ч [0, 1] Ч S 1 , и ограничения отображений hL и hV на соответствующие части границы (V 1 \ j V,lj ) (гомеоморф1 ные полноториям D0 , Ч S ). По построению склеек 1 и 2 , индуциро2 ванные ориентации на двух граничных полноториях из (V \ j V,lj ) согласованы друг с другом. Отсюда следует, что существует гомеомор1 2 физм, переводящий V \ j V,lj в V \ j V,lj такой, что он склеивает 4 4 гомеоморфизмы hL и hV в единый гомеоморфизм hM : M1 M2 (для доказательства этого утверждения можно воспользоваться тем фактом, что пространство сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов окружно-

hM осуществляет требуемую топологическую эквивалентность функций G1 и G2 . Теперь рассмотрим случай f1 (0, ) = 0 и f2 (0, ) = 0 . Необходимость. Без ограничения общности мы можем считать, что 0 = A1 (w) A2 (w) 2 j j , f2 (z , w ) = z + , где A , B , j = 1, 2 0, f1 (z , w) = z 2 + 1 B (w ) B 2 (w )
сти в себя линейно связно). По построению, гомеоморфизм

взаимно простые многочлены, степени которых удовлетворяют неравен1 1 2 2 ствам deg A < deg B , deg A < deg B . Из сказанного выше вытекает, 1 2 что слои T0 и T0 должны быть гомеоморфны и иметь одинаковые наборы кратностей особых точек (не включая кратность (особой) точки

(0, )). Мы хотим получить условие на совпадение кратностей (особой) точки (0, ) для функций f1 и f2 . Другими словами, мы хотим доказать 1 1 2 2 2 1 равенство deg B - deg A = deg B - deg A . Пусть deg B = deg B + k , k N {0}. Рассмотрим слои T1 и T2 , где > 0 мало. Они задаются
уравнениями ственно. Так

B 1 (w) - A1 (w) B 2 (w) - A2 (w) z=+ иz =+ соответB 1 (w ) B 2 (w) 1 2 как > 0 мало, слои T и T неособы, а по определению по-

лулокальной топологической эквивалентности должны быть гомеоморфны, т.е. иметь одинаковое число ручек и проколов. Используя это заме2 1 чание, а также сказанное выше заключаем, что deg A = deg A + k , а 1 1 2 2 значит deg B - deg A = deg B - deg A .

Достаточность. Введем функции
валентные

g1 = g1 (z , w )

и

g1 = g2 (z , w ),

экви-

f

1и

f

2 и имеющие прокол в нуле в плоскости переменной

w

,

как это описано перед формулировкой теоремы 4.9. Имея условие совпадения кратностей особых точек (включая кратность (особой) точки

33


(0, )), f
1и

мы можем провести доказательство топологической эквивалент-

ности функций

f

2с

g1 и g2 f1 (0, ) = 0

по той же схеме, что и выше, для случая функций и

f2 (0, ) = 0

. Теорема доказана.

Список литературы
[1] Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999. [2] Кудрявцева Е. А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых

гамильтоновых систем с неполными потоками // Докл. РАН. 2012.

445, 4. 383-385.
[3] Кудрявцева Е. А.,

Лепский Т. А.

Топология лагранжевых слое-

ний интегрируемых систем с гиперэллиптическим гамильтонианом // Матем. сб. 2010. 202, 3. 69-106. Transl. Sb ornik Mathematics.

202, 3. 373-411.
[4] Кудрявцева Е. А., Лепский Т. А. Топология слоения и теорема Лиувилля для интегрируемых систем с неполными потоками // Труды Сем. Вект. Тенз. Анализу. 2011. 28. 106-149. [5] Кудрявцева Е. А.,

Лепский Т. А.

Интегрируемые гамильтоновы

системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона // Соврем. Пробл. Матем. Механ. 2011. 6, 3. 42-55. [6] Кудрявцева Е. А., Никонов И. М., Фоменко А. Т. // Математический Сборник. 2008. 199, 9. 3-96. [7] Кудрявцева Е. А., Фоменко А. Т. тика. 2012. 446, 6. 615-617. [8] Лепский Т. А. Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с Группы симметрий правильных Максимально

симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия

функций Морса на поверхностях // Доклады РАН, серия: матема-

комплексным полиномиальным гамильтонианом малой степени // Матем. сб. 2010. 10. 109-136. [9] Милнор Дж. Мир, 1971. [10] Ошемков А. А. Классификация гиперболических особенностей ранга 0 интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сборник, 2010, Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.:

201, 8. с. 63102.
34


[11] Фоменко А. Т.

Топологический инвариант, грубо классифицирую-

щий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его приложения. 1991. 25. 23-35. [12] Форстер О. Римановы поверхности // М.: Мир, 1980. [13] Хованский А. Г. 56-67. [14] Хованский А. 51-61. [15] Bolsinov A. V., Fomenko A. T. Dimensional York, 2000. [16] Broughton S. Surfaces // Integrable Geo desic Flows on TwoBureau. New York, Boston, Многогранники Ньютона и торические многооб-

разия // Функц. Анализ и его приложения, 1977, т. 11, вып. 4, с.

Г.

Многогранники Ньютона и род полных пересе-

чений // Функц. Анализ и его приложения, 1978, т. 12, вып. 1, с.

Consultants

Dordrecht, London, Moscow. Kluwer Academic Plenum Publishers, New

A.

On the top ology of p olynomial hyp ersurfaces,

Pro ceedings A.M.S. Symp. in Pure. Math., 1983, 40, I, 165178. [17]

Dirk S., Tibar M. Deformations of p olynomials, b oundary singularities
and mono dromy // Mosc. Math. J. 2003., 3, 2, 661679.

[18] Fomenko A. T., Konyaev A. Yu. Applications. 2012. 159. 1964-1975. [19] Nguyen Tien Zung Appl.

New approach to symmetries and

singularities in integrable Hamiltonian systems // Top ology and its

A note on fo cus-fo cus singularities, Di. Geom.

35