Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2009-dip-permyakov.pdf Дата изменения: Mon May 18 18:27:47 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:54:39 2016 Кодировка: Windows-1251

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ПРИЛОЖЕНИЙ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Студента 505 группы Пермякова Дмитрия Алексеевича

"ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СКРУЧИВАНИЙ ДЭНА"
Научный руководители - академик РАН Фоменко А.Т., доцент Кудрявцева Е.А.


1 Введение
В данной работе изучается пространство диффеоморфизмов, порожденное скручиваниями Дэна вокруг простых попарно непересекающихся кривых. Основными результатами данной работы являются теоремы 2.1 и 3.2. Теорема 2.1 утверждает, что при некоторых общих условиях скручивания Дэна вдоль простых попарно непересекающихся кривых линейно независимы над Z . Эта теорема, по видимому, является известным фактом. К сожалению, автору не удалось найти ссылку на ее доказательство в литературе. В [1], лемма 2.1(1) эта теорема упоминается без доказательства и без ссылок. Автор также встречал пару статей, в которых эта теорема упоминается со ссылкой на [1]. Теорема 3.2 утверждает, что элементы некоторого широкого класса диффеоморфизмов гомотопны композициям скручиваний Дэна вдоль семейства попарно непересекающихся кривых. Автор благодарен Е.А. Кудрявцевой за постановку задач и полезные обсуждения при написании работы.

2 Линейная независимость скручиваний Дэна
Пусть M компактная ориентируемая поверхность (с краем или без), внутри которой задано конечное (возможно, пустое) множество точек {yj } . Обозначим через Diff (M ; {yj } M ) пространство диффеоморфизмов поверхности M , тождественных на M и сохраняющих каждую точку yj , а через Diff 0 (M ; {yj } M ) Diff (M ; {yj } M ) компоненту связности тождественного диффеоморфизма в Diff (M ; {yj } M ) . Следующая теорема, видимомо, является известной, но автору не удалось найти ее опубликованного доказательства.

Теорема 2.1. Пусть M компактная ориентируемая поверхность (с краем или без), внутри которой задано конечное (возможно, пустое) множество точек {yj } . Пусть { } конечный набор простых замкнутых попарно непересекающихся кривых в int (M )\{yj } , что любая компонента связности множества int (M \ ( {yj })) не является ни открытым диском, ни открытым цилиндром. Пусть h Diff (M ; {yj } M ) скручивания Дэна вокруг кривых . Тогда классы [h ] Diff (M ; {yj } M )/Diff 0 (M ; {yj } M ) этих диффеоморфизмов попарно коммутируют и линейно независимы над Z .
Если есть точки yj , то прокалывая в них поверхность M , а затем компактифицируя, можно получить замкнутую поверхность, в которой вместо точек yj выкинуты диски. Достаточно доказать теорему для полученной поверхности, поэтому можно сразу считать, что множество {yj } пусто. 1


Если M сфера или цилиндр, то лемма тривиальна. Можем считать, что каждая кривая i , гомотопная компоненте связности края, вся проходит по краю. Набор кривых i можно дополнить до такого набора, что каждая компонента связности множества M \ i i является сферой с тремя выкинутыми замкнутыми дисками. Лемму достаточно доказать для пополненного набора. Построим граф = M ,{i } . Каждой компоненте связности множества M \i i будет отвечать вершина степени 3, каждой компоненте связности множества M будет отвечать вершина степени 1. Две вершины соединим ребром, если отвечающие вершинам множества имеют пересекающиеся множества граничных точек. Заметим, что указанные выше пересечения множеств граничных точек будут совпадать с какой-нибудь окружностью i . Тем самым окружности i находятся во взаимно-однозначном соответствии с ребрами графа . Построим проекцию : M . В каждой компоненте связности множества M \ i i можно выделить по графу, дополнение до которого является несвязным объединением трех открытых цилиндров. Отображение переводит такой граф в соответствующую вершину степени 3, а каждую компоненту связности M в отвечающую ей вершину степени 1, больше прообразов у вершин нет. Поверхность M без прообразов всех вершин является несвязным объединением открытых цилиндров, замыкание каждого из которых содержит ровно по одной окружности i . Отображение переводит цилиндр в ребро, отвечающее окружности i , содержащейся в его замыкании, чтобы прообраз каждой точки являлся окружностью. Если i содержится в цилиндре, то потребуем, чтобы отображало i в точку. Граф M ,{i } и проекция : M определяется аналогично для произвольного набора окружностей {i } , дополнение до которого является объединением открытых сфер с дырками. В общем случае степени вершин могут отличаться от 1 и 3. Если взять границу трехмерной окрестности графа и выкинуть из нее по диску в окрестности каждой вершины степени 1, то полученная поверхность снова будет гомеоморфна M . Далее будем считать, что все вершины степени 1 графа окрашены в белый цвет. Для каждого графа (например, подграфа графа ), у которого часть вершин степени 1 окрашены в белый цвет, обозначим через M поверхность, являющуюся границей трехмерного утолщения графа , из которой выкинуто по диску в окрестности каждой белой вершины. Ясно, что MM,{i } = M . Пусть 0 связный подграф в . В -1 (0 ) стянем в точку каждую компоненту связности множества граничных точек подмножества -1 (0 ) M , не являющуюся компонентой связности границы для M . Полученная ~ поверхность будет совпадать с M0 . Обозначим M0 поверхность, полученную -1 ( ) выкидыванием всех компонент связности множества граничных из 0

2


~ точек, не являющихся компонентами границы для M . Ясно, что M0 ~ M0 , и M0 получается из M0 выкалыванием конечного числа точек. ~ На M0 определена проекция 0 , совпадающая на M0 с проекцией |M = |M . ~ ~
0 0

Лемма 2.2. Существует отображение 0 : M M0 , что
1. отображение M0 ;
~ 0 |M 0

~ совпадает с естественным вложением M0

~ 2. если точки x, y M \ M0 и (x) = (y ) , то 0 (x) = 0 (y ) .
Заметим, что из Леммы 2.2 следует, в частности, согласованность отображения 0 с проекцией на приведенный граф Риба: |-1 (0 ) =
M

0 0 |-1 (0 ) : -1 (0 ) 0 . M n 1 Пусть 0 связный подграф графа . Пусть ha1 . . . han id . Рассмотрим диффеоморфизм поверхности M0 , являющийся композицией скручиваний Дэна hai ,i вдоль всех кривых 0 (i ) , для которых (i ) M0 0 и 0 (i ) отлично от точки. Из Леммы 2.2, с учетом коммутирования скручиваний Дэна и отображения 0 , следует, что этот диффеоморфизм изотопен тождественному. Для доказательства Леммы 2.2 нам понадобится

Утверждение 2.3. Пусть 0 связный подграф связного графа ,

отличный от всего . Тогда найдется открытое ребро e в \ 0 , что либо e не мост, т.е. граф \ e связен, либо e ведет в вершину степени 1 графа . Здесь и далее под ребром понимается открытое ребро.
Расстоянием от вершины графа до подграфа 0 назовем минимальное количество ребер, нужное чтобы добраться от вершины до 0 . Если связный подграф 0 содержит все вершины графа , то ребро вне 0 не может быть мостом. Далее считаем, что найдется вершина вне 0 . Пусть v любая из наиболее далеких от 0 вершин графа , e любое из выходящих из v ребер. Предположим, что e мост. Если вершина v лежит в той же компоненте связности графа \ e , что и подграф 0 , то в графе расстояние от второй вершины v ребра e до графа 0 на один больше, чем от вершины v , так как любой путь от v до 0 проходит через ребро e . Значит, вершина v лежит в компоненте связности графа \ e , не содержащей подграф 0 . Если вершина v имеет степень больше 1, то она соединена с некоторой вершиной v ребром, отличным от e . Любой путь от v до 0 проходит через вершину v , поэтому v дальше от 0 , чем v , что противоречит выбору вершины v. Теперь докажем Лемму 2.2. Из Утверждения 2.3 следует, что достаточно доказывать для случаев 3


1. 0 = \ e , где e не является мостом, 2. 0 = \ {e, v } , где v вершина степени 1, ребро e выходит из v. Разберем сначала первый случай. Введем на e произвольно параметр t (0; 1) . Поверхность -1 (e) гомеоморфна открытому цилиндру S 1 Ч (0; 1) . Стянем в точку каждую окружность -1 (e(t)) , а также каждую из двух окружностей в ( -1 (e)) . Получим поверхность M\e с приклеенным за концы отрезком e . Поскольку есть путь между вершинами ребра e ? по графу \ e , то найдется и путь между точками e по поверхности ? M\e . Значит, существует отображение всего отрезка e в поверхность ? M\e , сохраняющее концы отрезка. Таким образом, мы получили требуемое отображение \e : M M\e . Теперь разберем второй случай. В этом случае -1 (e v ) либо цилиндр, либо диск. Поэтому M\(ev) = M / -1 (ev ) . Значит, отображение \{e,v} можно взять равным естественному отображению M M / -1 (e v) . Далее через hi обозначается скручивание Дэна вокруг кривой i .

M и путь в несамопересекающийся и проходит через точки m 1 (i ) , 1 i m . Тогда замкнутый путь := (ha1 . . . ham ) ћ -1 с закрепленными концами стягиваем тогда и только тогда, когда все ai = 0 , 1 i m .
Если все ai равны нулю, то = -1 ћ очевидно стягиваем. Значит, нужно доказать только обратное утверждение. Считаем, что все ai отличны от нуля. Пусть 1 первая вдоль пути окружность среди i . Если a a1 единственное ненулевое число среди ai , 1 i m , то 1 1 , и потому путь нестягиваем. Далее считаем, что есть еще ненулевые числа среди ai , а потому 1 не последняя вдоль пути окружность среди i , и найдется окружность 2 , следующая за 1 вдоль пути . Из неэквивалентности кривых 1 и 2 следует, что на интервале пути между точками (1 ) и (2 ) найдется вершина графа . Выйдем из этой вершины по ребру, не принадлежащему пути () , и будем идти произвольно, пока не произойдет одно из следующих событий: а) придем в вершину степени 1, б) придем в вершину пути () , в) придем в уже ~ пройденную вершину. Полученный путь обозначим . ~ Сначала разберем случай (а) и часть случая (б). Пусть путь не проходит через точку (1 ) и, если он пересекает путь в момент, ~ отличный от начального, то вторая вдоль пути точка пересечения ~ лежит выше, вдоль пути , точки (1 ) . Обозначим через несамопересекающийся ~ , идущий вдоль пути . путь в графе от ((0)) до начала пути ~ ~ Если и имеют ровно одну общую точку, являющуюся началом 4

Лемма 2.4. Пусть найдется путь : [0; 1] M , что (0), (1)


~ ~ ~~ ~ пути , то положим := ћ . В противном случае положим равным ~ замкнутому пути, идущему сначала вдоль пути от его начала до ~ , а затем возвращающимся вдоль первой точки пересечения с путем ~ пути . ~ Несамопересекающемуся пути в графе соответствует некоторый ~ несамопересекающийся путь на поверхности M , что = , причем ~ если замкнут, то тоже можно выбрать замкнутым. Индекс пересечения путей и равен +a1 . Но путь стягиваем, значит a1 = 0 . ~ Доразберем случай (б). Пусть теперь вторая вдоль пути точка ~ пересечения путей и ниже, вдоль пути , точки (1 ) . Рассмотрим ~ подграф 0 , состоящий из отрезка пути до второй точки пересечения с путем и отрезка пути от начала, до нижней из упомянутой ~ выше точки и точки (0) . В графе 0 на отрезке от (0) до единственного цикла лежит единственная точка (i ) сама (1 ) . Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что множеству точек (i ) , лежащих на цикле в графе 0 , соответствует набор чисел ai , сумма которых равна 0. Поверхность M0 гомеоморфна тору с дыркой. Рассмотрим отображение 0 , построенное в Лемме 2.2. Из Леммы 2.2 следует, что a путь 0 гомотопен 0 1 1 , т.е. краю дырки в торе, пройденному a1 раз. Значит, путь 0 нестягиваем, а потому и путь нестягиваем. Случай (в) аналогичен предыдущему, только подграф 0 теперь ~ ~ состоит из пути и части пути () от ((0)) до (0) .
n 1 Следствие 2.5. Пусть a1 , . . . , an набор целых чисел, что ha1 . . . han

id . Если найдется путь : [0; 1] M , что (0), (1) M и путь в несамопересекающийся и проходит через точки (i ) , 1 i m n , то все ai = 0 , 1 i m .

? Пусть дан связный граф , все вершины которого имеют степень 1 или 3, и все вершины степени 1 которого окрашены в белый цвет. Пусть на каждом его ребре e стоит целочисленная метка m(e) Z . Такой граф будем называть графом с метками. Определим соотношения на ? графе с метками : ? 1 Если в графе найдется изображенному на рис. 1, j , то все метки m(e) тех выделенного ребра, равна ? подграф , гомеоморфный графe 1 ? при помощи гомеоморфизма : ? , что (e) является частью ребер e нулю.

? ? 2,3,4 Если в графе найдется подграф , гомеоморфный одному из одному из графов j , j = 2, 3, 4 , изображенных на рис. 1, при ? помощи гомеоморфизма : j , то сумма меток m(e) тех ? , что (e) является частью выделенного ребра, равна ребер e нулю.

5


id . В графе на каждом ребре e , соответствующему окружности i , поставим метку m(e) := ai . Тогда полученный граф с метками удовлетворяет соотношениям.

n 1 Утверждение 2.6. Пусть a1 , . . . , an набор целых чисел, что ha1 . . . han

Замечание 2.7. Для задания скручивания Дэна hi не нужно знать

ориентацию окружности i , достаточно зафиксировать ориентацию всей поверхности. Выберем некоторую ориентацию окружности i . Будем проводить скручивание Дэна правее окружности (если смотреть вдоль направления), направление скручивания выберем совпадающим с направлением на окружности. Теперь если изменить ориентацию окружности, получится такое же скручивание, сдвинутое параллельно вдоль цилиндра - окрестности i . Поэтому эти сручивания гомотопны. Отсюда следует, что метки m(e) на ребрах заданы независимо от ориентаций окружностей и по ним однозначно с точностью до гомотопии восстанавливается гомеоморфизм.

Пусть в графе нашелся подграф , гомеоморфный одному из изображенных на рис. 1. Будем использовать изотопность композиции всех скручиваний Дэна вдоль окружностей (i ) в степенях ai тождественному диффеоморфизму поверхности M , см. замечание к Лемме 2.2. Пусть подграф гомеоморфен графу 1 . Равенство нулю суммы соответствующих ai следует из Следствия 2.5. Пусть подграф гомеоморфен графу 2 . Тогда поверхность M является тором. Рассмотрим на торе кривую с ненулевым индексом пересечения с кривой (1 ) . Тогда индекс пересечения кривых и ha1 (1 ) . . . han (n ) ћ равен (с точностью до знака) сумме тех чисел ai , что точка (i ) лежит в подграфе и точка ( (i )) лежит на замкнутом ребре, отмеченном на рисунке жирным. Но ha1 (1 ) id , откуда ha1 (1 ) ћ . Индекс пересечения кривой с собой равен нулю, что доказывает утверждение. Пусть подграф гомеоморфен графу 3 . Если сумма ai отлична от нуля, то неизотопность композиции скручиваний Дэна вдоль окружностей (i ) в степенях ai тождественному диффеоморфизму поверхности M следует из негомотопности кривых, изображенных на рис. 2. Пусть подграф гомеоморфен графу 4 . Если сумма ai отлична от нуля, то неизотопность композиции скручиваний Дэна вдоль окружностей (i ) в степенях ai тождественному диффеоморфизму поверхности M следует из негомотопности кривых, изображенных на рис. 3. Покажем негомотопность кривых на рис. 2. Относительная фундаментальная группа поверхности 1 (M ; M ) =< a1 , a2 > . Кривые задают различные элементы [a2 , a-1 ]k a2 [a2 , a-1 ]-k и a2 . 1 1 Покажем негомотопность кривых на рис. 3. Фундаментальная группа поверхности 1 (M ) =< a1 , a2 , a3 , a4 | [a1 , a2 ] = [a4 , a-1 ]-1 > . Кривые 3 задают элементы a2 a4 и [a1 , a2 ]k a2 [a1 , a2 ]-k a4 . Если эти элементы сопряжены, 2 6


то из утверждения ?? следует a2 = u-1 [a1 , a2 ]k 1 u-1 a4 u1 , где u1 = [a1 , a2 ]m = [a4 , a-1 ]-m и u2 = 2 3 Отсюда и из теоремы 2.6 из [2] получаем m = k , откуда k = 0 . В силу Утверждения 2.6, для доказательства доказать следующую Лемму.

a2 [a1 , a2 ]-k u2 и a4 = 2 [a1 , a2 ]n = [a4 , a-1 ]-n . 3 n = k, m = 0, n = 0,
Теоремы 2.1 осталось

? Лемма 2.8. Если граф с метками удовлетворяет соотношениям,

то все метки равны нулю.

? Случай 1. Предположим, что в графе есть хотя бы одна вершина ? найдется подграф , гомеоморфный степени 1. Покажем, что в графе одному из графов j , j = 1, 2, 3, 5, 6, 7 см. рис. 1, при помощи гомеоморфизма : j . От каждого из подграфов j , j = 2, 3, 5, 6, 7 , потребуем, чтобы ребро e было единственным ребром с ненулевой меткой, для которого множество (e) является подмножеством выделенного ребра графа j . От графа 1 потребуем, чтобы множество (e) являлось подмножеством выделенного ребра графа 1 . ? Если найдется несамопересекающийся путь : [0; 1] , что точки (0) и (1) являются белыми вершинами, и путь проходит через ребро e , то находим подграф 1 . Далее считаем, что такого пути не найдется. Пусть x произвольная вершина степени 1. Пусть ребро e на графе ? ближайшее к вершине x среди ребер с ненулевой меткой. Рассмотрим кратчайший путь из вершины x , содержащий ребро e . Обозначим этот ~ ~ ? путь : [0; 1] , A := (1) . ~ (0; 1) , то отрезок пути между двумя прохождениями ~ Если A точки A образует подграф 2 . Пусть далее A (0; 1) . /~ Из вершины A выходит хотя бы 2 открытых ребра e1 и e2 , не ~ содержащихся в . Если между этими ребрами есть путь, не пересекающий ~ , в том числе вершину A , то мы нашли подграф 3 . Пусть такого ?~ пути нет, т.е. в \ [0; 1] ребра e1 и e2 лежат в разных компонентах связности. Если между ребрами e1 и e2 есть путь, пересекающийся с ~ (0; 1) , то мы находим подграф 5 . Если ни от e1 , ни от e2 нельзя ~ дойти до (0; 1) кроме как через вершину A , то найдется подграф 6 . ~ Если от ребра e1 можно добраться до (0; 1) не проходя через вершину A , от ребра e2 нельзя, то найдется подграф 7 . В каждом из случаев равенство нулю метки на ребре e следует из соотношений. ? Случай 2. Теперь докажем лемму в случае, когда в графе нет ? с ненулевой вершин степени 1. Пусть e некоторое ребро графа ? меткой. Покажем, что в графе найдется подграф , гомеоморфный одному из графов j , j = 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11 см. рис. 1, при помощи гомеоморфизма : j . От каждого из подграфов j , j = 2, 4, 5, 8, 9, 10, 11 , потребуем, чтобы ребро e было единственным ребром с ненулевой меткой,
7


для которого множество (e) является подмножеством выделенного ребра графа j (более того, для j = 2 множество (e) совпадает с выделенным ребром). Обозначим через v1 и v2 концы ребра e . Если v1 = v2 , т.e. ребро e является петлей, то нашелся подграф 2 . Пусть далее v1 = v2 . Обозначим через vi и vi , i = 1, 2 , вершины смежные с вершиной vi по ребрам, отличным от e . Предположим, что найдется путь между вершинами v1 и v1 , не проходящий через вершины v1 и v2 . Если найдется аналогичный путь для вершин v2 и v2 , то мы находим подграф 4 или 5 , если указанные пути не пересекаются или пересекаются соответственно. Пусть такого пути между v2 и v2 не найдется. Если от каждой из вершин v2 и v2 можно добраться до вершины v1 , не проходя через вершину v2 , то находим подграф 5 . Если от v2 можно добраться до v1 , не проходя через вершину v2 , а от v2 так добраться нельзя, то находим подграф 8 . Если добраться до v1 , не проходя через вершину v2 , нельзя ни от v2 , ни от v2 , то находим подграф 9 . Предположим теперь, что нет пути между вершинами vi и vi , не проходящего через вершины v1 и v2 , для каждого i = 1, 2 . Более ? того, можем предположить, что вовсе нет циклов в , содержащих одну из вершин vi , i = 1, 2 , и не содержащих другую. Если от v1 невозможно добраться до v2 кроме как по ребру e , то находим подграф 10 . Пусть найдется несамопересекающийся путь , идущий от v1 до v2 и не проходящий через v1 и v2 . От каждой из вершин v1 и v2 невозможно добраться до l , не проходя через v1 и v2 . Если есть путь от v1 до v2 , не проходящий через v1 и v2 , то мы находим подграф 5 . Если такого пути нет, то найдется подграф 11 . В каждом из случаев равенство нулю метки на ребре e следует из соотношений. Теорема 2.1 доказана.

3 Гомотопность диффеоморфизмов скручиваниям Дэна
Пусть снова M компактная ориентируемая поверхность. Обозначим через F пространство функций Морса на поверхности M , у которых p локальных минимумов, q седловых критических точек и r локальных максимумов.

? Определение 3.1. Пусть M замкнутая поверхность, полученная из

M стягиванием в точку каждой граничной окружности. Любой диффеоморфизм ? поверхности M индуцирует гомеоморфизм поверхности M , а потому ? ) . Рассмотрим в группе индуцирует автоморфизм группы гомологий H1 (M
8


Diff (M ) нормальную подгруппу T Diff (M ) , состоящую из диффеоморфизмов ? h Diff (M ) , индуцирующих тождественный автоморфизм группы H1 (M ) . Подгруппу T назовем группой Торелли поверхности M .
Для каждой функции f F обозначим через Gf подграф критического графа функции f , состоящий из компонент связности, содержащих седловые критические точки. Дополнение M \ Gf состоит из открытых цилиндров Z , 1 k , полуоткрытых цилиндров и открытых дисков. В каждом цилиндре Z выберем простую кривую , гомотопную основанию цилиндра. Обозначим через h скручивание Дэна вокруг кривой .

Теорема 3.2. Пусть f F функция Морса, {xi } , {yj } , {zk } множества ее точек локального минимума, седловых критических точек и точек локального максимума соответственно, а диффеоморфизм h T , причем f h = f и h|{xi }{zk } = id{xi }{zk } . Тогда h|{yj } = id{yj } и h гомотопен в пространстве гомеоморфизмов (M \ ({xi } {zk }), {yk }) (M \ ({xi } {zk }), {yk }) элементу решетки < h1 , . . . , hk > .
Доказательство. Обозначим через pf : M Wf естественную проекцию поверхности M на граф Риба Wf . Покажем сначала, что индуцированный диффеоморфизмом h автоморфизм pf hp-1 графа Риба Wf сохраняет f все вершины и все ребра графа Wf . Все вершины степени 1 сохраняются, так как h сохраняет все компоненты края и критические точки локального минимума и максимума. Предположим, что найдутся вершины графа Wf , не сохраняемые отображением pf h p-1 . Среди всех таких вершин f обозначим через v ту, расстояние от которой до ближайшей к ней вершине степени 1 минимально, а через v ее образ при отображении pf h p-1 . Рассмотрим кратчайший путь от вершины v до ближайшей f к ней вершины степени 1 и обозначим через v вершину, следующую за v вдоль этого пути. Тогда v переходит в себя при отображении pf h p-1 , f а ребро v v переходит в ребро v v . Покажем, что найдется простой путь между вершинами v и v , не проходящий через v . Рассмотрим граф Wf \v , полученный из Wf удалением вершины v и всех выходящих из нее ребер, и связную компоненту Wf \v (v ) вершины v в Wf \v . Если связная компонента Wf \v (v ) состоит только из вершины v , то v при отображении pf h p-1 переходит в f себя, так как в графе Wf она либо является вершиной степени 1, либо соединена с v хотя бы двумя ребрами, образующими простой цикл. Если Wf \v (v ) содержит цикл или вершину степени 1 графа Wf , то связная компонента Wf \v (v ) переходит в себя при отображении pf h p-1 , и f потому между v и v есть путь, не проходящий через v . В противном случае Wf \v (v ) является деревом, и потому в ней найдется вершина v , отличная от v и смежная только с одной вершиной из Wf \v (v ) . Тогда v смежна с вершиной v . Цикл, состоящий из пути от v до v по связной компоненте Wf \v (v ) и ребер v v и v v , переходит в себя
9


при отображении pf h p-1 . Поэтому связная компонента Wf \v (v ) f переходит в себя при pf h p-1 , и потому между v и v есть путь, f не проходящий через v . Простой путь между вершинами v и v , не проходящий через вершину v , вместе с ребрами v v и v v образует простой цикл. В силу h T каждый простой цикл на графе Wf переходит при отображении pf h p-1 в себя с сохранением ориентации. Это противоречит тому, f что ребро v v простого цикла переходит в ребро v v , и вершина v переходит в себя. Таким образом, все вершины графа Wf сохраняются оторбажением pf h p-1 . Если некоторое ребро не сохраняется этим f отображением, то оно переходит в ребро, соединяющее ту же пару вершин. Тогда ребро и его образ образуют цикл, переходящий при отображении pf h p-1 в себя со сменой ориентации, что противоречит h T . f Теперь покажем, что диффеоморфизм h сохраняет все вершины и ребра графа Gf . Из того, что отображение pf h p-1 сохраняет f все вершины графа Wf следует, что h переводит каждую связную компоненту графа Gf в себя. Если диффеоморфизм h переводит в себя некоторую вершину графа Gf , т.е. седловую критическую точку функции f , то он либо переводит все инцидентные ей полуребра в себя, либо переставляет каждое полуребро с противоположным ему полуребром. Значит, если диффеоморфизм h сохраняет некоторое ориентированное ребро графа Gf , то он сохраняет все вершины и ребра связной компоненты. Предположим, что найдется связная компонента Gf графа Gf , в которой диффеоморфизм h переставляет все ребра. Покажем, что в поверхности M есть некоторая окрестность этой компоненты, в которой нет неподвижных точек диффеоморфизма h , отличных от вершин графа Gf . Зафиксируем на поверхности M некоторую риманову метрику. Пусть число меньше всех расстояний между различными связными компонентами графа Gf и длин всех ребер графа Gf . Существует такое число < 3 , что образ -окрестности Vj каждой вершины yj связной компоненты Gf содержится в 3 -окрестности Vk вершины yk = h(yj ) той же компоненты. Если вершина yj связной компоненты Gf переходит в себя, то h переставляет каждое инцидентное ей полуребро с противоположным ему полуребром, а потому в Vj нет неподвижных точек, отличных от самой вершины yj . Если вершина yj переходит в другую вершину yk , то Vj не пересекается со своим образом, содержащимся в Vk , а потому в Vj нет неподвижных точек. Рассмотрим на M непрерывную функцию (x) := (x, h(x)) : M R , сопоставляющую каждой точке расстояние до ее образа при действии h . На части каждого ребра yj1 yj2 связной компоненты Gf вне окрестностей Vj1 и Vj2 концов ребра функция (x) положительна. Поэтому можно выбрать число , что на -окрестности такой части каждого ребра в поверхности M функция (x) будет положительна, а потому в этой окрестности не будет неподвижных точек диффеоморфизма h . Выберем 10


теперь , что связная компонента M поверхности f -1 [f (Gf )- ; f (Gf )+ ] , содержащая Gf , содержится в объединении окрестностей Vj вершин и -окрестностей частей ребер, лежащих вне Vj . Отображение h|M является диффеоморфизмом поверхности M и не имеет неподвижных точек отличных от вершин графа Gf . Пусть ? M поверхность, полученная из M стягиванием каждой граничной окружности в точку. Функция f постоянна на каждой граничной окружности ?? поверхности M , поэтому определена функция f : M R , совпадающая с f во внутренних точках поверхности M . Так как h действует тождественно на графе Риба Wf , то h|M переводит в себя все граничные окружности ? ? поверхности M . Поэтому определен гомеоморфизм h поверхности M ? в себя, сохраняющий функцию f и переводящий каждую точку минимума ? в себя. По выбору поверхности M , у этого или максимума функции f гомеоморфизма нет неподвижных точек отличных от критических точек ? функции f . ? Вычислим индексы неподвижных точек гомеоморфизма h . Пусть ? ? точка минимума или максимума функции f . Рассмотрим в xM некоторой окрестности точки x метрику и евклидовы координаты, в ? которых некоторая линию уровня функции f является окружностью с центром в точке x . Для каждой точки x этой окружности вектор из ? точки x в точку h(x ) этой окружности не может быть сонаправлен с ? вектором из точки x в точку x . Поэтому ind x h = 1 . ? Пусть y седловая критическая точка функции f . В координатах 2 f | = (1, 0, 0, -1) . Так как гомеоморфизм h сохраняет ?y ? Морса имеем d | d2 f | = d2 f | . Пусть в координатах Морса dh| = ? ? ?y ?y функцию f , то h y ? y
ab cd

=: A . Тогда A

откуда A = +

? вершине y полуребра графа Gf , то у dh|y оба собственных значения
отрицательны, откуда A = -
ch sh sh ch

10 a2 - b2 ac - bd 10 AT = = 2 2 0 -1 ac - bd c - d 0 -1 ch sh ? . Так как h переставляет инцидентные sh ch

,

. Значит

? ind y h = sgn det(A-E) = sgn det

- ch - 1 - sh - sh - ch - 1

= sgn (2+2 ch ) = 1.

? Следовательно количество неподвижных точек гомеоморфизма h равняется сумме индексов неподвижных точек, и по теореме Лефшица равняется 2 k? ? ? ? k=0 (-1) tr hk , где hk : Hk (M ; R) Hk (M ; R) индуцированный ? ? гомеоморфизмом h гомоморфизм гомологий. В силу h0 = id имеем ? 0 = 1 . Так как h является сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом, ? tr h ? то h2 = 1 . Существует непрерывное сюръективное отображение ч : M ? ? ? , что ч h = h ч , причем h T , поэтому h лежит в группе Торелли M

11


? ? ? для M . Значит, tr h1 = dim H1 (M ; R) . Получаем, что ? 0 |Fix h| =
? xFix h

? ? ind x h = (M ) = 2 - 2g .

? ? Если g = 0 , то M сфера, и у гомеоморфизма h ровно две неподвижные ? точки. Так как h сохраняет все точки минимума и максимума функции ? , то у функции f на сфере ровно один максимум и ровно один минимум, ? f а значит нет седловых критических точек, что противоречит выбору ? поверхности M . Если g = 1 , то у гомеоморфизма h нет неподвижных критических точек, что противоречит сохранению гомеоморфизмом h ? всех точек минимума и максимума функции f . Полученное противоречие показывает, что диффеоморфизм h сохраняет все вершины и ребра графа Gf . Теперь покажем гомотопность диффеоморфизма h в пространстве гомеоморфизмов, сохраняющих функцию f , элементу решетки < h1 , . . . , h1 > . Будем строить гомотопию отдельно в каждом диске Qj , являющимся компонентой связности точки wj локального минимума или максимума ^ в множестве M \Gf , полуоткрытом цилиндре Qj , являющемся компонентой связности граничной окружности j M в множестве M \ Gf , и каждом цилиндре Z , являющемся компонентой связности множества множества M \Gf . В цилиндре Z выберем путь из седловой точки на нижнем основании цилиндра в седловую точку на верхнем основании, вдоль которого функция f монотонна. Замкнутый путь -1 ћ (h ) гомотопен некоторой степени k Z пути . Нам достаточно построить гомотопию диффеоморфизма h := h-k h|Z в тождественный idZ . ~= Рассмотрим универсальное накрытие Z [f ( (0)); f ( (1))]ЧR цилиндра Z и координаты (f , ) на нем, чтобы поднятие пути совпадало ~ ~~ с (f , 0) . Поднимем диффеоморфизм h до диффеоморфизма h : Z ~ и будем гомотопировать его в тождественный. Диффеоморфизм h , Z ~ а значит и диффеоморфизм h , сохранает функцию f . Рассмотрим ~ гомотопию, переводящую h в idZ , в процессе которой у каждой точки ~ с постоянной скоростью меняется координата . Композиция этой гомотопии ~ с проекцией Z Z и диффеоморфизмом hk дает гомотопию, переводящую h|Z в hk . Построенные гомотопии на цилиндрах Z совпадают на границах цилиндров, т.к. строятся в пересечениях цилиндров по единому правилу. Осталось произвольно продолжить построенную гомотопию до ^ гомотопии в дисках Qj и цилиндрах Qj , переводящей диффеоморфизмы h|Qj и h|Qj в тождественные. ^
[1] J.S. Birman, A. Lubotzky, J. McCarthy, Abelian and solvable subgroups of the mapping class group, Duke Math. J. 50, No.4 (1983) 1107-1120 [2] Lyndon, R.; Schupp, P.E., Combinatorial group theory, BerlinHeidelberg New York, Springer-Verlag 1977. 12