Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2008-dip-kuzin.pdf Дата изменения: Tue Jun 3 07:49:56 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:49:02 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова механико-математический факультет

Дипломная работа студента пятого курса кафедры Дифференциальной Геометрии и Приложений Кузина Петра Группы симметрий фокусных особенностей, критерий свободности действия конечных групп Галуа на фокусных особенностях Научный руководитель: Профессор Болсинов А.В.

Москва, 2008


1

Введение

Пусть

(M

2n

, )

симплектическое многообразие с интегрируемой по Ли-

увиллю гамильтоновой системой

sgrad H

,и

f1 , . . . fn

ее независимые инво-

лютивные интегралы. Этой системе соответствует слоение Лиувилля на связные компоненты совместных поверхностей уровня

M

2n

f1 , . . . fn
n
, где

. Мы бу-

дем предполагать, что все слои слоения Лиувилля компактны.
Определение 1.1. Гладкое отображение

F:M

2n

R

F (x) =

(f1 (x), . . . fn (x))
момента

называется отображением момента.

Определение 1.2. Точка

xM

называется особой точкой отображения

F

если ранг

dF (x)

меньше

n

.

Пусть

K

совокупность всех особых точек отображения момента в

M

.

Определение 1.3. Бифуркационной диаграммой называется образ

K

при

отображении момента, т.е. множество

= F (K ) R

n

.

Слой лиувиллева слоения называется неособым, если на нем нет ни одной особой точки отображения момента. Окрестность неособого слоя симплектоморфна прямому произведению тора на диск. В окрестности неособого слоя все слоения Лиувилля устроены одинаково. Поэтому структура слоения Лиувилля в основном определяется его особенностями. Дадим определение невырожденной особой точки: Рассмотрим интегри-

sgrad H на симплектическом многообразии x ранга i. Рассмотрим пространство, линейно порожденное функциями f1 , . . . , fn , как комутативную алгебру Ли. И рассмотрим в ней стационарную подалгебру Kx состоящую из f таких, что d (x) = 0. f Пусть L - касательное подпространство к орбите в точке x, т.е. подпространство, порожденное векторами sgrad f1 , . . . , sgrad fn , а L его косоорруемую гамильтонову систему

M

2n

, и особую точку

тогональное дополнение.
Определение 1.4. Особая точка

x

ранга

i

называется невырожденной,

если: 1. Для любой

f K f
из

x , отличной от нуля, квадратичная форма

d2 f (x)

не

равна тождественно нулю на 2. существует

L P (ч) = det(d2 f (x) - ч)|L
имеет

Kx

такая, что

2(n - i)

различных ненулевых корней
Теорема 1.1 (Eliasson, [2]). Пусть дана интегрируемая система с n степенями свободы, на симплектическом многообразии M 2n . Тогда всякое слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки ранга i локально симплектоморфно некоторому модельному слоению Lcan симплектического пространства R2n определяемому числами (m1 , m2 , m3 ) и функциями:

1


2 Fj = p2 + qj , при j = 1, . . . , m1 , эллиптический тип j Fk = pk qk , при k = m1 + 1, . . . , m1 + m2 , гиперболический тип Fl = pl ql+1 - pl+1 ql , Fl+1 = pl ql + pl+1 ql+1 , тип фокус-фокус при i = m1 + m2 + 1, m1 + m2 + 3, . . . , m1 + m2 + 2m3 - 1, Fs = ps , при s = m1 + m2 + 2m3 , . . . , n. регулярный множитель без особенности
Определение 1.5. Тройка чисел

(m1 , m2 , m3 )

называется типом особой

точки. Таким образом, всякая невырожденная особенность локально распадается в прямое произведение простейших особенностей - эллиптической, гиперболической и типа фокус-фокус, а так же диска без особенности. Ответ на вопрос, как устроена окрестность особого слоя был дан, но для более узкого класса особенностей - особенностей удовлетворяющих условию нерасщепляемости.
Определение 1.6. Невырожденная особенность слоения Лиувилля удо-

влетворяет условию нерасщепляемости, если ее бифуркационная диаграмма приводится некоторым диффеоморфизмом к бифуркационной диаграмме модельного слоения Лиувилля, соответствующего типа ранга

(m1 , m2 , m3 )

и

i.

Опишем теперь способ конструирования многомерных особенностей слоения Лиувилля. Рассмотрим прямое произведение нескольких простейших особенностей эллиптического, гиперболического типа и типа фокус-фокус. Домножим его на тривиальный сомножитель

Ti Ч D

i

. На произведении

определена симплектическая структура как сумма симплектических структур на каждом сомножителе. Слоями Лиувилля являются прямые произведения слоев элементарных слоений на сомножителях. Функции естественным образом продолжаются с прямых сомножителей до полного набора коммутирующих функций на прямом произведении. Полученная особенность

U

2n

= V1 Ч ћ ћ ћ Ч V

k называется особенностью типа прямого произ-

ведения. Предположим теперь, что на ней действует конечная группа удовлетворяющая следующим условиям: 1. Действие свободное. 2. Действие покомпонетное, т.е. группа прямых сомножителей ствие на

G,

G

переводит в себя каждый из

U

2n

Vi . = V1 Чћ ћ ћЧVk

Иначе говоря, если , то

g элемент G, а дей(g )(x1 , . . . , xk ) = (1 (g )x1 , . . . , k (g )xk ).

3. На каждом прямом сомножителе действие симплектическое и тождественное на базе слоения Лиувилля. 4. На каждом эллиптическом сомножителе действие тривиально. Факторпространство

зием, поскольку действие

V1 Ч ћ ћ ћ Ч Vk /G, будет симплектическим многообраG свободное. На U 2n /G переносится структура

слоения Лиувилля с одним особым слоем.

2


Определение 1.7. Особенности вида

U

2n

/G

называются особенностями

типа почти прямого произведения. Группы

G

называются группами Галуа.

Теорема 1.2 (Nguyen Tien Zung, [5]). Любая невырожденная особенность, удовлетворяющая условию нерасщепляемости, послойно диффеоморфна особенности типа почти прямого произведения в окрестности особого слоя.

2

Структура особенности типа фокус-фокус

Определение 2.1. Невырожденная особая точка

x

ранга

0

отображения

момента интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы называется особой точкой типа фокус-фокус, если в окрестности ществуют локальные координаты и

x

су-

(p1 , q1 , p2 , q2 )

такие, что гамильтониан

H

f

могут быть представлены в виде:

H = H (f1 , f2 ), f = f (f1 , f2 ),
где

f1 = p1 q1 + p2 q
Замена

2,

f2 = p2 q1 - p1 q2

.

(H, f ) (f1 , f2 )

является регулярной и слоение задаваемое

H

и

f

совпадает со слоением задаваемым Рассмотрим особый слой

f1

и

f

2.

L

лиувиллева слоения, содержащий

n

особых

точек типа фокус-фокус. Обозначим эти точки через к комплексным переменным в окрестности особой

x1 , . . . , x точки xi :

n . Перейдем

z = q1 + iq2 , w = p1 - ip2 .
Тогда

f1 = Re (z w)
и

а

f2 = Im (z w).

Особый слой устроен как пара транс-

версально пересекающихся лагранжевых дисков, задаваемых уравнениями

z=0 S
1

w = 0. f
2 задает в окрестности особой точки гамильтоново sgrad f2 ,
и

Отметим, что функция которое в координатах

-действие. Это легко следует из явного вида векторного поля

w

z

записывается так:

w = iw, z = -iz .
Поэтому действие окружности задается простой формулой:

(z , w) (e

-i

z , ei w). n
осо-

Изучим теперь структуру особого слоя в целом. На нем лежит представляет собой трансверсальное пересечение двух дисков.

бых точек типа фокус-фокус. В окрестности каждой из них особый слой

3


Лемма 2.1.

[1] Особый слой L гомеоморфен двумерному тору с n перетяжками, где n число точек типа фокус-фокус лежащих на слое L.
Мы будем рассматривать чисто фокусные особенности, то есть особенности вида

Fm1 Ч ћ ћ ћ Ч F

m

k

/G,

где все сомножители

F

mi ,

особенностями типа фокус-фокус. Возникает вопрос, какие группы особенностях?

i = 1...k G

будут могут

действовать в операции почти прямого произведения на чисто фокусных

3

Группа симметрий фокусной особенности

Пусть

F

n - особенность типа фокус-фокус сложности

n

. Рассмотрим ее симВообще говоря эта

плектоморфизмы в себя, тождественные на базе слоения Лиувилля. Обозначим группу таких симплектоморфизмов как

S y m.

группа будет различна для разных фокусных особенностей сложности т.к. в общем случае они гомеоморфны, но не симплектоморфны.
Теорема 3.1.

n

,

Наибольшая группа S y m Zn Ч (C (D2 )/{2 k f2 }). = В общем случае S y m Zq Ч (C (D2 )/{2 k f2 }), где q делит n. = Доказательство.
Рассмотрим в

S ym

подгруппу

сте особые точки. Очевидно, что любой элемент

S y m оставляющую из S y m переводит

на мев себя

кольца - лагранжевы сферы из которых "склеен"особый слой с выкинутыми особыми точками. Каждый из таких колец является орбитой пуассонова действия.

Пусть g S y m, и f (f1 , f2 ). Рассмотрим сдвиг h на время t = 1 вдоль траекторий sgrad f . Тогда g h = hg .
Утверждение 3.1.

также сохраняет

Доказательство. По условию g сохраняет симплектическую структуру, а f1 и f2 , следовательно g сохраняет f и g (sgrad f ) = sgrad f . Значит g коммутирует с h.

Рассмотрим образ неособой точки x на особом слое - g (x). Выберем гладко зависящие от слоя такие, что сдвиг h1 на t = 1 вдоль h = -(f1 , f2 )sgrad f1 - (f1 , f2 )sgrad f2 переводит g (x) в x в окрестности особого -1 слоя. Докажем, что g = h1 . и

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку y лежащую на том же x, а в случае особого слоя лежащую на том же кольце. Выберем и , такие, что сдвиг h1 на t = 1 вдоль h = - (f1 , f2 )sgrad f1 - (f1 , f2 )sgrad f2 переводит x в y . h1 g (x) = x, по доказаному ранее h1 ,h1 и g коммутируют, поэтому имеем: h1 g (y ) = h1 g h1 (x) = h1 h1 g (x) = h1 h1 g (x) = h1 (x) = y .
слое что и Отсюда следует, что

g

это сдвиг на

t=1

вдоль

f = (f1 , f2 )sgrad f1 +

(f1 , f2 )sgrad f

2.

4


В доказательстве Теоремы Дарбу [1] используется Лемма, гласящая, что, если в окрестности точки мые функции

x существуют попарно комутирующие независиp1 и p2 , то их можно дополнить до канонической системы координат p1 , p2 , q1 , q2 в которых форма принимает канонический вид = dp1 dq1 + dp2 dq2 . Возьмем в качестве p1 функцию f1 , а в качестве p2 f2 . Рассмотрим проходящее через x лагранжево сечение q1 = 0, q2 = 0, назовем его L, g (L) = L . Так как g - симплектоморфизм, то |L =0 . Теперь выберем другие координаты: (f1 , f2 , q1 , q2 ), q1 и q2 - естественные параметры на траекториях sgrad f1 и sgrad f2 , с условием, что в этих координатах x = (f1 , f2 , 0, 0).
Утверждение 3.2.

вид.

Форма в этих координатах имеет канонический

Доказательство. fi и fj коммутируют, значит {fi , fj } = 0, {qi , qj } = 0 т.к. сечение qi = c1 , qj = c2 получается из лагранжева сечения L сдвигами вдоль j sgrad f1 и sgrad f2 . {fi , qj } = {sgrad fi , qj } = i
Пусть точка x имеет координаты (f1 , f2 , 0, 0), тогда g (x) = (f1 , f2 , , ) . |L =0 , значит 0 = |L = dp1 dq1 + dp2 dq2 = df1 (f1 df1 + f2 df2 ) + df2 (f1 df1 + f2 df2 ) = (f2 - f1 )df1 df2 значит f2 = f1 . В выбранных нами -1 координатах f = (f1 , f2 )sgrad f1 + (f1 , f2 )sgrad f2 = (df1 df2 ) = -1 df (f1 , f2 ) = sgrad f . Таким образом доказана

3.1. Группа S y m порождается сдвигами вдоль траекторий sgrad f , где f (f1 , f2 ) - гладкая функция на M 2 . Лемма

Операция

sgrad

осуществляет

гомоморфизм

из

(C (D2 )

в

группу

H, ядром гомоморфизма являются константы. В свою очередь из H в (S y m) осуществляется гомоморфизм с ядром 2 k f2 , k Z. Т.к. все группы абелевы, то S y m C (D2 )/2 k f2 + C . Вернемся = к описанию группы S y m. Рассмотрим произвольный элемент g S y m
гамильтоновых полей переставляющий особые точки. Очевидно, что порядок обхода особых должен сохраниться с точностью до знака. Пронумеруем особые точки по часовой стрелке от 1 до

k

. Как действует

g

на множестве особых точек?

Рассмотрим любой интеграл системы, функционально независимый с особых точек. Поскольку

f2

.

Траектории его косого градиента задают некоторое направление обхода

g

симплектоморфно и тождественно на базе, оно

сохраняет наш интеграл и траектории его косого градиента, а значит и направление обхода особых точек. Значит ет поворотами, т.е. переводит особую точку Выберем элемент

g i

на этом множестве действу-

в точку

i + r, r

- фиксированно.

g

из

S ym

поворачивающий множество особых точек на

минимальную ненулевую величину

r

. Этот элемент действует на множестве

5


особых точек циклически, причем это:

r

делит число особых точек

n

. Докажем

Тогда

Доказательство. Пусть r не делит k g r+1 поворачивает множество
Элемент

, поделим

k

на

r

с остатком:

особых точек на

r - r1

что меньше

n = rq + r1 . r-

противоречие.

g

q

оставляет на месте особые точки, следовательно он лежит в

S y m,

g q это сдвиг вдоль sgrad f . Домножим g q на h-q где h сдвиг -q q вдоль 1/q (sgrad f ): h g = (h-1 g )q = id. Элемент h-1 g порождает группу Zq , действующую на Fk поворотами на r по . Так как g = h(h-1 g ), то любой элемент S y m представляется в виде композиции элементов из S y m и Zq . Все элементы Zq коммутируют с элементами S y m, Zq S y m = id. Значит S y m = Zq Ч S y m.
а значит Т.к. группа

S ym

абелева, то группа

S y m0

элементов конечного порядка

имеет вид:
Теорема 3.2.

S y m0 Zq Ч Q/Z. =
В группе

подгруппу

Доказательство. Q/Z в

S ym

элементы конечного порядка образуют

группе сдвигов по траекториям

sgrad f

2 . В группе сдвигов

вдоль траекторий

sgrad f1

не существует элементов конечного порядка.

4

Группы Галуа фокусных особенностей, критерий свободности действия

Рассмотрим прямое произведение фокусных особенностей

F =F

m1

Ч ћћћ Ч

F

mk . Пусть теперь у нас есть многомерная чисто фокусная особенность. Она представима в виде прямого произведения Fm1 Ч ћ ћ ћ Ч Fmk /G. Действие G
симплектическое, свободное и покомпонентное.
Утверждение 4.1.

ћ ћ ћ Ч (Zmk Ч Q/Z).

G естественно вкладывается в S0 = (Zm1 Ч Q/Z) Ч S0
. При каких условиях под-

Рассмотрим все возможные подгруппы в но?

группа действует на прямом произведении фокусных особенностей свобод-

G действует свободно тогда и только тогда, когда она не пересекается с подгруппой Q/Z Ч ћ ћ ћ Ч Q/Z (k раз).
Утверждение 4.2.

Доказательство. = Пусть какой-то нетривиальный элемент g G принадлежит Q/Z Ч ћ ћ ћ Ч Q/Z (k раз). Возьмем на каждом сомножителе Fmi особую точку xi , g (x1 , . . . , xk ) = (x1 , . . . , xk ) значит действие не свободно.

6


=

Значит хотя бы на одном сомножителе

F

mi действует нетривиаль-

ный элемент из множителе.

Zq

, который не оставляет неподвижных точек на этом со-

Имеется программа, проверяющая критерий свободности действия группы на

G

на

F

. Механизм работы программы следующий: Рассматривается

пересечение образующих

G

с группой

Zm1 Ч ћ ћ ћ Ч Zm

k

. Далее программа пе-

ребирает все линейные комбинации действия образующих, до тех пор, пока не найдет ненулевую линейную комбинацию образующих пересекающуюся с группой

Zm1 Ч ћ ћ ћ Ч Zm

k

по тривиальному элементу. Если такой ненулевой

элемент был найден, то он автоматически лежит в действует свободно. Так как действие верно следующее:
Утверждение 4.3.

Q/Z Ч ћ ћ ћ Ч Q/Z

(k раз).

Значит действие не свободно. Если такой элемент не был найден, то группа

G

на множестве особых точек свободно и замкнуто, то

Пусть s - сложность особенности F /G. Тогда
|G| = m1 . . . mk . s

Список литературы
[1] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегруируемые гамильтоновы системы: Геометрия, топология, классификация. Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика издательский дом "Удмуртский университет 1999 [2] Eliasson L.H., Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson

commuting integrals - elliptic case, Comm. Math. Helv., 65(1990), 4-35 [3] Nguyen Tien Zung, A note on fo cus-fo cus singularities, Dierential geomerty and applications, 7: 123-130, 1997 [4] Nguyen Tien Zung, Another note on fo cus-fo cus singularities, Lett. Math. Phys. 60(2002), no. 1, 87-99 [5] Nguyen Tien Zung, Symplectic top ology of integrable hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities, Comp ositio Mathematica, 101(1996), 179-215 [6] Williamson J., On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems, Amer. J. Math., 58:1(1936), 141-163

7