Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2007-dip-vorontsov.pdf Дата изменения: Mon Jun 11 12:36:48 2007 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:54:26 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Построение инвариантов для полупрямых сумм алгебр Ли. Дипломная работа.

Автор: А.С.Воронцов Научный руководитель: А.Т. Фоменко

Москва, 2007 г


1 Введение
Пусть G алгебра Ли. Для функций на двойственном пространстве G


можно определить естественную Пуассонову структуру, называемую скобкой ПуассонаЛи. Градиент функции f : G R можно интерпретировать как элемент из G и задавать скобку Пуассона следующей формулой:

{f , g }(x) = x, [df , dg ] .

(1)

Определение 1. Функции f и g находятся в инволюции, если их скобка
Пуассона равна 0.

Определение 2. Набор функций {fk : G R} называется полным инволютивным набором, если все попарные скобки Пуассона {fi , fj } = 0 и в наборе содержится 1 (ind G + dim G) независимых функций. 2
Можно переформулировать второе условие в определении следующим образом: набор называется полным, если на градиенты функций из этого набора натянуто максимальное изотропное подпространство.

Гипотеза 1 (А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко ([1])). Пусть G вещественная или комплексная алгебра Ли. Тогда на G существует полный коммутативный набор полиномов.
А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко доказали эту гипотезу для полупростых алгебр Ли, затем в ряде работ различных авторов были приведены доказательства для многих других случаев. В общем виде гипотеза была доказана С.Т. Садэтовым [5], это доказательство подробно разобрано в работе [4]. Цель этой работы изложить некоторые результаты, связанные с построением инвариантов и полных коммутативный наборов для алгебр Ли, имеющих вид полупрямой суммы с коммутативном идеалом. В разделе 3 рассмотрены различные конструкции, позволяющие найти полные коммутативные наборы для Ли имеющих вид полупрямой суммы, в разделе 7 описаны инварианты для алгебр Ли, имеющих вид полупрямой суммы классической полупростой алгебры Ли и коммутативного идеала по представлению минимальной размерности.


2 Обозначения. Явные формулы для ad . Формула Раиса
Речь пойдет о построении полных коммутативных наборов и инвариантов для алгебр Ли, имеющих вид полупрямой суммы с коммутативным идеалом. Эту алгебру будем обозначать

R = G + V . V , либо в виде суммы + v .
Коммутатор для такой алгебры определяется формулой

(2)

Элементы алгебры будут обозначаться как пары элементов ( , v ), G, v

ad

(1 ,v1 )

(2 , v2 ) = [(1 , v1 ), (2 , v2 )] = ([1 , 2 ], (1 )v2 - (2 )v1 ).

(3)

Для двойственного пространства R имеем естественное разложение в прямую сумму R = G + V , G = V , V = G . В дальнейшем будет встречаться аннулятор регулярного элемента из V в смысле представления . Зафиксируем для него обозначение

Ha = Ann (a) = { G|( )a = 0}.
Из выражения для ad нетрудно получить выражение для ad :

(4)

ad

( ,v )

(x, a) = (ad x + A(a, v ), ( )a).

(5)

Здесь A отображение A : V Ч V G , которое определяется условием

A(a, v ), = ( )v , a .

(6)

Иногда удобнее рассматривать группу Ли G Ч V , для которой алгебра Ли R является касательным пространством в единице. Умножение в этой группе определяется формулой

(g1 , v1 ) (g2 , v2 ) = (g1 g2 , v1 + (g1 )v2 ).
Полезна будет также явная формула для Ad :

(7)

Ad



(g ,v )

(x, a) = (Ad g x + A(a, v ), ( )a).

(8)

Количество инвариантов коприсоединенного действия равно коразмерности орбиты общего положения в R (то есть индексу алгебры R). Посчитать индекс для полупрямой суммы алгебры Ли с коммутативным идеалом позволяет теорема Раиса


Теорема 1 (Rais). Пусть a элемент общего положения a V (в
смысле представления ). Тогда

ind R = ind Ha + ind .

(9)

Представления это представление G в V , двойственное представлению , то есть такое, что

( )v , a = - v , ( )a .

(10)


3 Способы построения полных коммутативных наборов
Ниже будут обсуждаться два способа построения полных коммутативных наборов: метод сдвига аргумента и метод цепочек подалгебр.

3.1 Метод цепочек подалгебр
Метод цепочек подалгебр основан на следующей лемме [2].

Лемма 1. Пусть H G подалгебра. Тогда существует естественное
отображение : G H . Если функции f1 и f2 находятся в инволюции на H , то f1 и f2 находятся в инволюции на G .
Если мы умеем каким либо образом строить полный коммутативный набор h1 , . . . , hk на H, то полный коммутативный набор на G можно пытаться строить следующим образом: поднять функции gi на G и дополнить набор инвариантами коприсоединенного представления. Полученный набор заведомо будет коммутативным (функции gi находятся в инволюции согласно лемме, a инварианты коприсоединенного представления лежат в ядре скобки Пуассона) но может не быть полным. В случае полупрямой суммы

R = G + V

(11)

имеется следующая естественная цепочка: G R. Сформулируем критерий, показывающий, в каком случае набор построенный с помощью такой цепочки будет полным.

Теорема 2. Набор функций на R , получаемый с помощью цепочки G
R, будет полным, если полным будет набор функций на G , получаемый из цепочки Ha G (Ha стабилизатор регулярного элемента a V в
смысле представления ).
Это утверждение можно доказать используя теорему Раиса и вычисляя количество функций, которые войдут в набор, но этом случае придется дополнительно заботиться об их независимости. Вместо этого мы приведем доказательство этого утверждения в других, более инвариантных терминах.


Рассмотрим полный набор функций на G и поднимем их на R . В каждой точке R рассмотрим подпространство P , натянутое на градиенты этих функций. Его косоортогональное дополнение в смысле скобки Пуассона на

R содержит в себе подпространство P и подпространство, натянутое на
градиенты инвариантов алгебры R, то есть ядро скобки Пуассона. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы набор, получаемый добавлением к исходному набору был полным является точное равенство

P = P + K er({, }).
Это равенство должно выполняться в каждой точке R . Можно заменить это равенство следующим включением:

(12)

G G + K er({, }).

(13)

Здесь G обозначает подпространство, натянутое на градиенты координатных функций на G. Это условие эквивалентно равенству 12 в следующем смысле. Если мы выберем в G полный набор функций и обозначим пространство, порождаемое их градиентами P , то из 13 будет следовать 12. Обратное (13 из 12) очевидно, поскольку справедливы включения G P и P G. Включение 13 должно выполняться почти во всех точках R . В этих терминах теорема может быть переформулирована следующим образом:


Теорема 3. Пусть R = G + V . Обозначим Ha стабилизатор элемента общего положения из V . Если для Ha справедливо включение H

Ha + G



(здесь косоортогональное дополнение берется в смысле скобки

a

Пуассона на G), то справедливо включение G G + R (здесь косоортогональное дополнение берется в смысле скобки Пуассона на R ). Доказательство. Запишем выражение для скобки Пуассона в R в точке

(x, a): {( , u), ( , v )} = [ , ], x + ( )v - ( )u, a .
значим ее градиент ( , v ). Для ее градиента справедливо соотношение (14) Возьмем функцию из косоортогонального дополнения к G в R и обо-

{( , 0), ( , v )} = [ , ], x + ( )v , a = 0 .

(15)


Выбирая Ann a получаем, что для всех таких выполняется соотношение

[ , ], x = 0.

(16)

Это означает, что принадлежит к косоортогональному дополнению

(Ann a) . По нашему предположению это означает, что либо Ann a либо лежит в ядре скобки Пуассона для алгебры G.
В первом случае мы получаем, что из 15 и Ann a следует, что

{( , u), ( , v )} = 0,

(17)

то есть ( , v ) лежит в ядре скобки Пуассона для R. Во втором случае из 15 получаем

( )v , a = 0.
включение G G + R .

(18)

Это означает, что (0, v ) лежит в ядре скобки Пуассона, откуда следует Нетрудно убедиться, что описанная конструкция может быть применена для алгебр Ли so(n) + Rn , sl(n) + Rn и sp(n) + R2n . Для алгебр Ли вида G +
k

V k , k 2 (где G одна из классических алгебр Ли, а представление минимальной размерности) эта конструкция не работает.

3.2 Метод сдвига аргумента
Одним из эффективных способов построения полных коммутативных наборов является метод сдвига аргумента. Его применение основано на следующей лемме [2]

Лемма 2. Пусть f и g инварианты коприсоединенного представления
алгебры G. Тогда для любого вектора a G функции f = f (x + a) и

gч = g (x + чa) находятся в инволюции.
Во многих случаях метод сдвига аргумента позволяет построить полный коммутативный набор. В частности имеет место следующая теорема [2]

Теорема 4 (А.В. Болсинов). Пусть R = G + V , и a регулярный
элемент пространства V . Если 1) G = sl(n), = k , где представ0 ление минимальной размерности, n = 0modp; 2) G = so(n), = k ; 3) 0

G = sp(n, C), = k и k нечетно, либо k > n, то семейство сдвигов


инвариантов на ковектор a полное. Если ограничения на число слагаемых не выполнены, то семейство сдвигов не полное.
Кроме того имеется следующее утверждение, позволяющее расширить применимость метода сдвига аргумента [3]:

Теорема 5 (Браилов). Пусть R = G + V полупрямая сумма. Тогда сдвиги инвариантов коприсоединенного представления алгебры R на элемент y G коммутируют с координатными функциями на идеале

G.s
Доказательство. Пусть f = f ((x, a) + (y , 0)), а g функция на идеале,
то есть dg V . Запишем по определению скобку Пуассона этих функций:

{f , g } = (x, a), [d

(x+y ,a)

f , dg ] = (x+y , a), [d

(x+y ,a)

f , dg ] - (y , 0), [df , dg ] . (19)

Первое слагаемое равно нулю, поскольку f является инвариантом, а второе поскольку V идеал и следовательно [df , dg ] V . Заметим, что в доказательстве нигде не используется коммутативность V . Границы применимости этого метода показывает следующая теорема [3].

Теорема 6 (Браилов). Набор, полученный добавлением координатных
функций на идеале к сдвигам инвариантов на элемент из G будет полным тогда и только тогда, когда сдвиги инвариантов образуют полное семейство в Ha .
Наконец, можно использовать следующий метод, являющийся некоторой комбинацией метода сдвига аргумента и метода цепочек подалгебр [2].
Лемма 3. Пусть h функция на Ha , h ее поднятие до функции на

R. Тогда сдвиги инвариантов коприсоединенного представления алгебры R на элемент a коммутируют с h.


4 Сравнение методов построения коммутативных наборов
Приведенные в предыдущем разделе методы дают, вообще говоря, разные результаты. Продемонстрируем это на простейшем примере. Рассмотрим алгебру Ли e(3) = so(3) + R3 . Обозначим координаты на so(3) (a, b, c), а координаты на R3 (x, y , z ). Инварианты для этой алгебры Ли хорошо известны:

I1 = x2 + y 2 + z 2 , I2 = ax + by + cz .
Для того, чтобы получить полный коммутативный набор нужно выбрать еще две функции. Если следовать методу цепочек подалгебр мы должны взять полный набор функций на so(3). Одним из возможных наборов является следующий: f1 = a, f2 = a2 + b2 + c2 . Метод Браилова дает другой результат. В данном случае нам не нужно даже рассматривать сдвиги инвариантов, достаточно добавить к ним координаты на коммутативном идеале. В этом случае полный коммутативный набор будет состоять из функций

I1 = x2 + y 2 + z 2 , I2 = ax + by + cz , f1 = x, f2 = y .
Следуя методу сдвига инвариантов мы должны рассмотреть сдвиги инвариантов на элемент общего положения. В зависимости от того, как выбирать элемент, на который будут сдвигаться инварианты можно получить (сдвигая на элемент ex + ea ) набор

I1 = x2 + y 2 + z 2 , I2 = ax + by + cz , f1 = x, f2 = a,


либо (сдвигая на элемент ex + eb ) набор

I1 = x2 + y 2 + z 2 , I2 = ax + by + cz , f1 = x, f2 = a + y .
Интересно отметить, что метод цепочек подалгебр, хотя и является наименее универсальным, дает наиболее интересный физически набор. Орбита коприсоединенного представления группы e(3) представляет собой кокасательное расслоение к сфере, на котором вместо канонической симплектической структуры задана структура = dp dq + 0 , где 0 форма объем на сфере, а некоторый параметр, который можно выразить через I1 и

I2 .
Инвариант I1 можно трактовать как геометрический интеграл, интеграл

I2 как интеграл площадей. Функция f2 = a2 + b2 + c2 квадрат импульса, именно ее естественно рассматривать как гамильтониан системы. Наборы,
построенный по методу Садэтова (или методу Браилова) включат в себя только линейные функции, которые не задают никакой интересной динамики на орбитах коприсоединенного действия. Эта ситуация достаточно общая. Для любой алгебры Ли вида 2 ее орбита общего имеет вид произведения кокасательного расслоения к орбите действия и орбиты коприсоединенного действия в аннуляторе регулярного элемента. В методе Садэтова в качестве основы коммутативного набора используются координаты на орбите, лежащей в V . В предельном случае, когда аннулятор элемента общего положения в смысле представления коммутативен, этих координат оказывается достаточно для того, чтобы построить полный набор и мы получаем набор состоящий из инвариантов коприсоединенного представления и координатных функций на идеале.


5 Инварианты
Все методы, описанные в разделе 3 для применения требуют знания ин-

V k, где G одна из классических полупростых алгебр Ли, а представление
вариантов. Ниже будут описаны инварианты для алгебр вида G + минимальной размерности.
k

5.1 Группы sp + R
для sp + R
2n

2n

и so(n) + Rn (общая конструкция)

Приведем общую конструкцию, из которой можно получить инварианты и so(n) + Rn . Рассмотрим линейное пространство V размерности n и невырожденную билинейную форму на нем. Предположим, что является либо симметричной либо кососимметричной. Обозначим G группу линейных преобразований пространства V , сохраняющих форму . Эту группу можно считать вложенной в S L(n). Для G определено естественное действие на V , поэтому можно рассмотреть полупрямое произведение R = G V , операция в котором определяется как

(g , u) (h, v ) = (g h, u + g v ).
Здесь g v обозначает действие g на вектор v .

(20)

В дальнейшем будет удобно рассматривать матичную реализацию такого полупрямого произведения:



u . . C . un 0...0 1

1

, C G, u V .
(21)

Элементы алгебры Ли R группы R в матричном виде имеют вид

u1 . . . , G, u V . un 0...0 0

(22)


Элементы коалгебры удобно представлять в виде матриц



X a1 . . . a
n

0 . . . ,X G ,a V . 0 0

(23)

Здесь G обозначает ортогональное дополнение к V , а V произведения соответствующих матриц.



ортогональ-

ное дополнение к G. Спаривание элементов алгебры и коалгебры след Для того, чтобы работать в координатах удобно использовать тензорные обозначения. Элементы V векторы, элементы V ковекторы, элементы

G и G линейные операторы на V , то есть тензоры типа (1, 1). Действие j элемента C G на вектор u V просто свертка Ci ui .
В этих обозначениях нетрудно установить, каким условиям удовлетворяют матрицы из G и G. Условие, что операторы из G сохраняют форму

записывается в виде
ij ij C C = .

(24)

Ясно, что для алгебры G это условие переписывается в виде
i i i + i = 0.

(25)

Наша цель описать инварианты коприсоединенного действия группы Ли R в инвариантных терминах. Для этого нам понадобится явное выражение для Ad в выбранных нами координатах. Для сокращения обозначений будем матрицу 21 записывать в виде пары элементов (C, u). (Соответственно матрицы и 23 в виде пар ( , u) и (X, a)).

Теорема 7. Пусть ij тензор обратный к ij , то есть такой, что
ij
jk k = i . Тогда -1

Ad

(C,u)

(X , a ) = (C X C

1 + (ai uj - j a i u ), Cij aj ) 2

(26)

Доказательство. Чтобы выписать явную формулу для Ad можно воспользоваться общей формулой для Ad для полупрямых сумм вида G + V (см. [2]):

Ad



(C,u)

(X, a) = (Ad X + A(u, a), (C )a). C

(27)


A в этой формуле обозначает отображение A : V Ч V G , определяемое равенством A(u, a), = ( )u, a .
В нашем случае получаем (28)

A(u, a), = ij ui aj = , ui aj .

(29)

Матрица ui aj вообще говоря не лежит в G . Для того, чтобы получить выражение для A(u, v ) нужно спроектировать эту матрицу на G ортогонально G.

Лемма 4. Матрица Y1 = ui aj - i a j u лежит в G , а матрица вида
Y2 = ui aj + i a j u лежит в G .
Оба утверждения проверяются непосредственно. Для того, чтобы про-

? верить, что Y1 лежит в G нужно проверить, что для матрицы Y1 G,
которая имеет те же координаты, что и Y1 выполняется соотношение 25:

ik (Y1 )i = ik (ui aj - i a j u ). j
Если поменять порядок индексов у но после всех сверток получим
ik

(30)

и у j выражение не изменится,

ik (Y1 )i = ki ui aj - ak j u . j
Аналогично для j i (Y1 )i получаем k

(31)

j i (Y1 )i = ij ui ak - aj k u , k
а значит ik (Y1 )i + j i (Y1 )i = 0. j k Остается проверить, что Y2 ортогонален G. Пусть G. Тогда

(32)

Y2 , = ij (ui aj + i a j u ).
Пользуясь 25 получаем
j Y2 , = ij ui aj - i a j i u = 0.

(33)

(34)

Доказанная лемма означает, что проекцию ai uj на G можно записать в
1 виде 2 (ai uj - j a i u ), что и требовалось.


Для того, чтобы получить выражение для инвариантов Ad сопоставим каждому элементу (X, a) G матрицу следующего вида:



M

(X,a)

X = a1 . . . a

n

ai . . . . ni ai 0

1i



(35)

То есть в последней строке запишем координаты a, а в последнем столбце запишем координаты вектора, который получится, если у a поднять индекс с помощью . Посмотрим, что происходит с матрицей M
(X,a)

если мы действуем на

(X, a) с помощью Ad . Нетрудно проверить, что M ? где С обозначает матрицу
Ad
(C,0)

(X,a)

?? = C M C -1 ,

(36)

C ? C= 0...0

0 . . . . 0 1

(37)

Это означает, что при действии элементов вида (C, 0) инварианты матрицы

M не меняются. Посмотрим, что происходит при действии элементов вида (E , u). Из явного вида для Ad ясно, что последние строка и столбец остаются неизменными, а к каждой строке (столбцу) матрицы X прибавляется
с некоторым весом последняя строка (столбец). Ясно, что при такой операции остаются неизменными диагональные миноры матрицы M , содержащие последнюю строку и последний столбец. Напомним, что коэффициенты характеристического многочлена любой матрицы могут быть записаны как суммы ее диагональных миноров. Для того, чтобы получить сумму диагональных миноров матрицы M , содержащих последнюю строку и столбец нужно из суммы всех ее диагональных миноров вычесть сумму миноров матрицы X соответствующего порядка. Приведенные выше рассуждения показывают, что коэффициенты многочлена

det(M - E ) + det(X - E )

(38)


являются инвариантами коприсоединенного действия группы R. Из доказательства ясно, что ответ не сильно изменится, если вместо действия G на V рассмотреть несколько его копий:

Rk = G +k V k .

(39)

В этом случае удобно считать, что у векторов a и ковекторов u есть дополнительный индекс , меняющийся от 1 до k . Действие a, u теперь будет записываться в виде ui ai . Соответственно в формуле для A(u, v ) (29) получим

A(u, a), = ij ui aj = , ui a

j

.

(40)

Далее нужно описать проекцию последней матрицы на G, но поскольку приведенные выше выкладки справедливы для каждого слагаемого в сумме по , то они справедливы и для всей суммы в целом. Ясно, что если рассмотреть матрицу

M(X

,a),k

ai1 aik . . ... . . X . . ni ai1 ni aik = a11 an1 . . . . . . . . . 0 a1k ank



1i

1i



(41)

для нее будут справедливы те же рассуждения, что и для матрицы M цов будут инвариантами.

(X,a)

,а

именно, суммы ее диагональных миноров, содержащих последние k столбТаким образом мы получаем следующее выражение для инвариантов

Rk :

Теорема 8. Инвариантами группы Rk являются коэффициенты многочлена

det(M - E ) - (-1)k k det(X - E )

(42)

Отказаться от условия на форму не удается. Если группа G сохраняет произвольную билинейную форму на V , то она сохраняет одновременно ее симметричную часть и кососимметричную части, поскольку они выражаются через . Это значит, что интересующая нас группа является пересечением двух групп и проекция на ее алгебру устроена, вообще говоря, более сложно.


Можно записать эти же инварианты в виде многочлена от матрицы X :

Ik =


(-1) ai0

i

(0) a

Xi1(1) . . . X

i

i ik

(k)

(43)

Здесь сумма берется по всем перестановкам верхних индексов с учетом их знака, по каждому индексу ik предполагается суммирование. Такая форма записи удобна, например, если нужно записать сдвиги инвариантов.


6 Индексы некоторых алгебр Ли

Для того, чтобы определить, являются ли найденные нами наборы полными, нужно знать индексы соответствующих алгебр Ли. Это легко сделать с помощью теоремы Раиса. Во всех случаях, рассмотренных ниже, вычисление аннулятора регулярного элемента не представляет большой сложности, поэтому теорема Раиса дает ответ.
ind
a n-1 2 -1 a

Алгебра R

H so(n - 1) sl(n - 1) + Rn 1 n 0
n-k 2

ind H

ind R 1+
n- 1 2

so(n) + 0 0 0 n sl(n - k ) + Rn-k при k < n 0 при k n sp(n - k ) при k < n 0 при k n sp(n - k ) + h2(n-k) при k < n R при k = n 0 при k > n g l(n - k ) +k (Rn-k )k при k < n 0 при k n so(n - k ) при k n 0 при k > n
при k n 0 при k > n

Rn 1 sp(n - 1) + h2 m g l(n - 1) + Rn
-1

sl(n) + Rn

1 n 0
k(k+1) 2 n-k 2

sp(n) + R

2n

g l(n) + Rn

so(n) +k (Rn )

k

kn

k(k+1) при k n 2 n(n-1) - 2 , если k >

, при k n + k n, при k > n k r - r2 + 1, гдеr = nmodk 2k 2 - 2k + n при k < n 4k n - 2n2 - n при k n

sl(n) +



k

(Rn )k

0, при k < n k n - n2 + 1, при k n

вычисляется по индукции

sp(n) +



2k

(R2n )2k

k (2k - 1) при k < n 4k n - n(2n + 1) при k n

(n - k ) при k < n 0 при k n (n - k + 1) при k n 0 при k > n 0 при k n k n - n2 при k > n

sp(n) +

2k-1

(R

2n )2k-1

(k - 1)(2k - 1) при k n 4k n - 2n2 - 3n при k > n

2k 2 - 4k + n + 1 при k n 4k n - 2n - n(2n + 1) при k > n k r - r2 , гдеr = nmodk

g l(n) +



k

(Rn )k

0 при k n k n - n2 при k > n


7 Инварианты коприсоединенного представления
7.1 Алгебра so(n) +k (Rn )k
Посмотрим, какой результат дает формула, полученная в предыдущем разделе. Инварианты для этих алгебр этого вида были описаны в работе [6]. Оказывается, что половина из инвариантов, полученных в предыдущем разделе для алгебры so(n) + Rn равны нулю. Действительно, матрица M кососимметрична:

M( X, a) = X a1 . . . a
n

-ai . . . , -an 0

(44)

а коэффициенты характеристического многочлена при k равны нулю, если

(n - k ) нечетно. Кроме того ясно, что все миноры размера меньше 2k ,
содержащие последние k строк равны 0. Это означает, что мы получаем
n- k 2

инвариантов. Добавляя к ним тривиальные инварианты попарные
n-k 2

произведения векторов ai получаем набор из что равно индексу алгебры.

+

k (k +1) 2

инвариантов,

Рассмотрим коммутативные наборы, которые могут быть получены из этих инвариантов. Выпишем несколько инвариантов so(n) + Rn :

I0 = (a, a), I2 = 2(a, X 2 a) - trX 2 (a, a) I4 = 4(a, X 4 a) - 2trX 2 (a, X 2 a) + (trX 2 )2 (a, a) - trX 4 (a, a).
Следуя методу Браилова 6, мы можем рассмотреть сдвиги этих инвариантов на элемент M G и получить полные наборы для для алгебры. Например, для so(4) + R4 получим следующий набор:

I0 = 2(a, X 2 a) - trX 2 (a, a) f0 = -2(X a, N a) - trN X (a, a)fi = xi , i = 1, . . . , 4
Интересно, что именно такой набор получается, если следовать методу Садэтова. В работе М.М. Ждановой [7] в явном виде построен методом Садэтова полный коммутативный набор для алгебры Ли so(4) + R4 . Он также совпадает с набором, получаемым методом Браилова. Есть следующая гипотеза:


Гипотеза 2. Для всех алгебр Ли so(n) + Rn полный набор, построенный
методом Садэтова совпадает с набором, построенным методом Браилова.

7.2 Алгебра Ли sp(n) + R

2n

Как и в предыдущем случае, среди инвариантов, которые дает формула 42 многие обращаются в 0. Можно проверить (например для формулы 43), что коэффициенты при k равны нулю, если 2n - k четно. Таким образом мы получаем ровно n инвариантов. Явные вычисления дают следующие выражения для инвариантов:

I1 = (a, aX ), I3 = 2 (a, aX 3 ) - (a, aX )trX 2 , I5 = 4 (a, aX 5 ) - 2 (a, aX 3 )trX 2 + (a, aX )((trx2 )2 - trX 4 ).
Теперь нетрудно выписать полные коммутативные наборы. Сделаем это, например, для алгебры S p(2) + R4 . Если воспользоваться методом цепочек подалгебр получим

I1 = (a, aX ), I3 = 2 (a, aX 3 ) - (a, aX )trX 2 , f1 = trX 2 , f2 = trX 4 , f3 = trX N , f4 = trX 3 N , f5 = 2trX 2 N 2 + tr(X N )2 , f6 = trX N
Метод Браилова дает следующий ответ:
3

I1 = (a, aX ), I3 = 2 (a, aX 3 ) - (a, aX )trX 2 , f1 = a1 , f2 = a2 , f3 = a3 , f4 = a4 , f5 = (a, aN ), f6 = 2 (a, a(X 2 N + X N X + N X 2 )) - 2 (a, aX )trX N - (a, aN )trX 2 .

7.3 Алгебра sl(n) +k (Rn )

k

Для того, чтобы описать инварианты для алгебры sl(n) +



k

(Rn )k нужно

найти явный вид Ad для этой алгебры Ли. Как и в предыдущих случаях


будем считать, что группа S L(n) + (Rn )k вложена в sl(n + k ) следующим образом:

C 0, . . . , 0

u1 . . . u E

k

,

(45)

C S L(n), ui Rn . Коалгебру удобно представить в виде X 0...0 a1 . . . . 0 ak
Прямое вычисление показывает, что

(46)

Ad



(C,u)

1 (X, a) = (Ad C X + ua - tr(ua)E , aC -1 ). n

(47)

Для проверки этой формулы нужно просто убедиться, что матрицa E ортогональна sl(n):

E , X = trE X = trX = 0.

(48)

Теорема 9. Единственным инвариантом коприсоединенного действия группы S L(n) + Rn является определитель матрицы M , составленной из строк a, aX , aX 2 , . . . , aX того на эти векторы. Доказательство. Сначала проверим, что det M не меняется при сопряжении элементом (C, 0). При сопряжении этим элементом элемент коалгебры
n- 1

, то есть объем параллелепипеда, натяну-

(X, a) переходит в элемент (C X C -1 , aC -1 ). При этом в матрице M каждая строка умножается справа на C -1 . Это означает, что матрица M переходит
в MC
-1

, но det M C

-1

= det M det C

-1

= det M .

Теперь рассмотрим, что происходит при сопряжении элементом (0, u). Ковектор (X, a) при этом переходит в (X + v a - tr(v a)E ). Посмотрим, как при этом изменяется матрица M . Первая строка матрицы остается неизменной. Вторая строка имеет вид a(X + v a - tr(v a)E ). Удобно записать это выражение, используя тензорные обозначения:

1 n-1 i i i i ai (Xj + v i aj - v i ai j ) = ai Xj + ai v aj . n n

(49)


Далее не трудно по индукции проверить, что в k -ой строке матрицы

M будет стоять линейная комбинация первых k строк предыдущей матрицы, и при этом k -ая строка исходной матрицы входит в эту линейную комбинацию с коэффициентом 1.

a(X + v a - tr(v a)E )k = a(X + v a - tr(v a)E ) aX
k -1

k -1

(X + v a - tr(v a)E ). (50)
-1

Пользуясь предположением индукции, получаем, что a(X +v a-tr(v a)E )k

=

+ b, где b линейная комбинация первых k - 2 строк. Отсюда
k -1

a(X + v a - tr(v a)E )k = (aX

+ b)(X + v a - tr(v a)E ) = aX k + c, (51)

где c линейная комбинация первых k - 1 строк исходной матрицы. Это означает, что определитель матрицы не меняется. То, что инвариант единственен легко показать из теоремы Раиса.

Теорема 10. Пусть n = k d+r, r < k . Тогда для группы S L(n)+ (Rn )k инвариантами коприсоединенного представления будут определители матриц M
i1 ...ir

, составленных из следующих строк: a1 , . . . , ak , a1 X, . . . ak X, . . . , a1 X

d-1

,...

и r строк вида air X d . Эти инварианты не будут независимы, но из них можно выбрать полный набор независимых инвариантов. Доказательство. Доказательство полностью повторяет доказательство для
случая S L(n) + Rn . При действии элемента вида (C, 0) матрица M? умноi жается справа на C ки ai X q +
-1

, что не меняет ее определителя.

При действии элемента вида (0, u) строки вида ai X q заменяются на стро-

. . . , где под суммой стоит линейная комбинация векторов ak X s , 0 s < q . Такая замена не меняет определителя матрицы.

8 Результаты
В работе предложен критерий применимости метода цепочек подалгебр для алгебр, представимых в виде полупрямой суммы с коммутативным идеалом. Этот критерий сводит вопрос полноты набора, полученного методом цепочек подалгебр к аналогичному вопросу для алгебр меньшей размерности. Предложена общая конструкция, которая позволяет описать инварианты для алгебр G +k V k , где G одна из алгебр so(n), so(p, q ), sp(n), а представление минимальной размерности.


Описаны инварианты для алгебр sl(n) +k (Rn )k , sp(n) + R2n . Явный вид инвариантов позволяет в явном виде предъявить полные коммутативные наборы для этих алгебр Ли.


Список литературы
[1] А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли. Изв. АН СССР. сер. матем. 1978. 42, 2. 396-415. [2] В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448с. [3] Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Геометрия скобок Пуассона н методы интегрирования по Лиувиллю систем на симметрических пространствах. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 29, 1986 г. [4] А.В. Болсинов, Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах:доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко// Тр. семинара по вект.и тенз.анализу.Вып.26. М.: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ. 2005. [5] С.Т. Садэтов, Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко. Докл. РАН. 2004. 397. 6. 751-754. [6] А. Гусейнов Дипломная работа. Инварианты коприсоединенного представления алгебр Ли so(n) + Rn , so(n) + (Rn )k , g l(n) + (Rn )k . [7] М.М. Жданова Дипломная работа. Построение полных коммутативных наборов для полупрямых сумм методом Садэтова.