Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2007-dip-novikov.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon May 7 15:14:58 2007 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 22:52:02 2016 Êîäèðîâêà: ISO8859-5

? É

Ê

Ê ?Ê

"

so(4)È so(3, 1)

e(3)"

?

ÌÏ Ê ?Ê ?

Ê

?Ê

Ê

ÎÌÌ


Í

Ê

G
1 i i , . . . , nÈ (ej ) = j Ê G [ei , ej ] = ckj ek Ê i

e 1 , . . . , en È x1 , . . . , xn

G GÈ G c
k ij

ÍÊ

É
{f , g }(x) = ckj xk i

f g , xi xj

f

gÉ
ÎÊ

GÊ xi = {xi , H }, H

GÊ {Si , Sj } = ij k Sk È {Si , Rj } = S RÈ ij k È 1È -1 > 0 ( = 1) Ê < 0 ( = -1) so(3, 1)Ê

GÈ

Ä

ij k

É Rk È {Ri , Rj } = ÌÊ È

Å Ê e(3)Ê
Ri
| |

GÈ

È

ij k Sk

È

È

È


S

i

R = 1 R

=

Ê
=0 e(3)È H=

| |

so(4)È

1 2

(AS, S )È

1 2 2 2 H = 2 (S1 + S2 + S3 ) + V (R3 )È

2 2 2 H = 1 (S1 + S2 + 2S3 ) + R1 Ê 2

H = (AS, S ) + (b, S ç R), A

È

È

Èb=0 È ?Ê ?Ê 

É ÏÊ È ÊÊ

Ê

È

ÍÊ ?Ê ?Ê

ÈÈ

Ê

2 2 H1 = - S1 + S2 + S1 R2 - S2 R1 K1 = Q3 (S 2 - R2 ) + (Q2 + Q2 ) - 2 (Q2 + Q2 ) 3 2 3 1



É
2 2 2 )S + 2S2 + S3 + S1 R2 - S2 R1 4 1 2 2 K2 = 42 S2 S 2 + 4S2 (S2 Q3 - S3 Q2 ) + Q2 + Q2 - S1 R2 È 2 3 H2 = ( -

Q = S ç RÊ

É

f 1 = S 2 + R 2 È f 2 = S, R Ê

Ä

ÊÈ

È

ÅÈ

Í


È

c = 1Ê

M

4 c,g

so(3, 1)È

È

= { (S, R) | f1 (S, R) = c, f2 (S, R) = g }Ê  5 M1 = { (S, R) | f1 (S, R) = 1 }Ê so(4) Ê so(3, 1) È 5 f2 ç H : M1 R2 (g , h)  É

e(3)Ê ? Ê e(3)

ÍÅÊ
Î

e(3) so(3, 1)Ê È  É e(3) Ê È S1 = S 2 - R3 È S2 = S 3 + R2 È S3 = S 1 È R1 = 22 R2 È R2 = 22 R3 È R3 = 22 R1 È È 2 2 2 2 1 1 H = 2 (S 1 +S 2 +2S 3 )+S 3 R2 - 2 2 R3 , Ê È 5 f2 ç H |M1  É e(3)È È Ê ÄÊ



f2 ç H |M
É Ê
H
a,b,c

5 1

Ê



È

H

a,b,c

2 2 2 = aS1 + bS2 + cS3 + S1 R2 - S2 R1 Ê È

5 (f2 ç H |M1

Ê 5 f2 ç H |M1 : M )(S, R) = (f2 (S, R), H (S, R))Ê È
ÏÊ Ê

5 1

Ê = { (S, R) | f1 (S, R) = 1 } R2 (g , h)È
5 f2 ç H |M1

f

1

ÍÊ

È

f1 È f

2

H

5 f2 ç H |M1 Ê

ÍÊ 

ÍÅ h - ah + ( + a )g 2 =
2 2

ÎÅ ÏÅ h
h=

Åh
h=

1 4 1 h2 - bh + ( + b2 )g 2 = 4 + 4c(a - c) + 4c(a - c) 1 (1 + 2 + 4c(a - c)g )È - g- = È 4(c - a) 2( + 2c(a - c) 2( + 2a(a - c)) + 4c(a - c) + 4c(a - c) 1 (1 - 2 + 4c(a - c)g )È g 4(c - a) 2( + 2a(a - c)) 2( + 2c(a - c) + 4c(b - c) + 4c(b - c) 1 = È (1 + 2 + 4c(b - c)g )È - g- 4(c - b) 2( + 2c(b - c) 2( + 2b(b - c)) + 4c(b - c) + 4c(b - c) 1 (1 - 2 + 4c(b - c)g )È g 4(c - b) 2( + 2b(b - c)) 2( + 2c(b - c)



0

Ha,b,c È a = bÊ 2 2 2 Ha,b,c = aS1 +bS2 +cS3 +S1 R2 -S2 R1

Î


Å h 2 - c h + c2 g 2 = 0 Ê Ê
ÎÊ ÑÊ Å

=0 a=b so(3, 1) c=0 |a| < 1
c

= -1Ê c c2 (h + )2 - c2 g 2 = ÄÈ 2 4 h = 0Ê

È

c=0 1 1 Ê + g2 - 4 2 |a| > 1È

hÇc

0ÅÈ

h=c
Ñ ÑÊ

È a2 - 1 a2 22 }Ê (h + ) + (1 - a )g = 2 4 1 + 4c(c - a) 0È Ñ Ñ ÑÊ ÍÅ 1 + 2c(c - a) < 0Ê 1 h= [ 1 + 2 -1 - 4c(c - a)g ]È g 4(c - a)
h= 1 [1 - 2 4(c - a) -1 - 4c(c - a)g ]È g

a : { (g , h) |

Oa1 Oa2 È -1 - 4c(c - a) -1 - 4c(c - a) È , 2[1 + 2c(c - a)] 2[1 + 2a(c - a)] -

g=0

-1 - 4c(c - a) ,- 2[1 + 2a(c - a)] c La1 La2 h = - - cg È g ( -, ÎÅ 1 + 2c(c - a) = 0Ê 2 La3 La4 ÏÅ 1 + 2c(c - a) > 0 1 + 2a(c - a) < 0Ê -1 - 4c(c - 1 [ 1 + 2 -1 - 4c(c - a)g ]È g -, h= 4(c - a) 2[1 + 2a(c - a h=
ÑÞ Å ÑÊ Ñ ÑÊ Ñ Ñ ÑÊ

-1 - 4c(c - a) Ê 2[1 + 2c(c - a)] c -c2 ]È h = - + cg È g [ c2 , )Ê 2 a) È )]

1 [1 - 2 4(c - a)
Þ

-1 - 4c(c - a)g ],
ÑÑ ÑÑÑ

g a

- bÊ

-1 - 4c(c - a) , Ê 2[1 + 2a(c - a)] h = 0Ê 4 a2 g 2 - 1 h= Ê 4a Oa1 Oa2 È

a=b c=0 a = 0È

e(3)

h = cg 2 È

c=0

ÍÅ

c(a - c) a-c < 0 g=0 1 h= + 4(c - a) a 1 - 4(c - a) ÎÅ a - c > 0È c 1 h= + 4(c - a) h= h=
ÑÞ

0 c

0È g g g g
ÑÑÑ

c g, -c

- -

c g, a-c 0Ê c g, a-c c g, a-c

1 2a 2 c(a - c) , 1 2a

1

c È a-c

1 2a -

1 - 4(c - a)
Þ

ÑÑ

1 1 ,- 2 c(a - c) 2a a bÊ

1 c , Ê a - c 2 c(a - c) Oa1 Oa2 È c 1 È , a - c 2 c(a - c)

g=0

c Ê a-c

Ï


ÍÊ ?

Ê g rad H = g rad f1 + Åg rad f
g rad f1 + Åg rad f2 = 0Ê

Ê



É

e(3)

2

È

Ê 2 S1 2 S2 2 S R1 R2 R3 2 2 S + R = 1 Ê

3

2R1 S1

2R2 S2

È 2R3 S3

f

1

f

2

È
0Ê Si = Ri = 0È

G = GH - Gf1 - ÅGf2

Ä


1 0 0 0

S G = 0Ê R 2 a - 2 0 1 S3 R2 ÅÈ -Å 0 0 1 0 0 0 S1 10 0 -2 -Å 0 1 -1 -Å 2b - 2 R1 - 0 0 -2 -2Å -1 - Å2 R2 S2 00 -Å 1 + 4(a - ) 2Å(a - ) a = 1 + Å2 - 42 + 4aÈ b = 1 + Å2 - È a=b c=0
ÑÊ c = 0È a Ç b = 0Ê

=



2 a - 2 0 0 -Å 1 0 0 2 b - 2 0 -1 -Å 0 0 0 2 c - 2 0 0 -Å . -Å -1 0 -2 0 0 1 -Å 0 0 -2 0 0 0 -Å 0 0 -2

Ï

È

Ï

0 1 -Å 0 0 S1 2 b - 2 - Å -1 0 0 S2 -Å -2 0 0 0 R2 . -1 0 -2 0 0 R1 0 0 0 2 c - 2 - Å S3 R 0 0 0 -Å -2 3 -Å -2 0 S1 2 b - 2 -Å - 1 S2 - 2 -1 - Å -2Å -2 R2 2Å(a - ) 1 + 4(a - ) -Å R1 -2 -Å Å - 2 b + 2 1 + Å2 - 42 + 4a 2Å(a - b) 0 -1 - Å2 + 42 - 4b 42 + 4bÈ c = Å2 - 42 + 4cÊ S3 = - 2 R3 Ê Å

S1 R1 . R2 S2

(0, 0, S3 , 0, 0, R3 )È

2 2 Åf1 = -S3 + R3 = 1È c = Å2 + 42 + 4c = 0 (1 - 2 h = H = cS3 = c

42 2 Å2 2 Ê )R3 = 1È R3 = 2 Å2 Å - 42

42 Å2 4c2 c = =- 2 Å2 - 42 2 - 4 c Å -8 2 + c Å2 -2Å 2 Å 2 2 = = g = f2 = - R3 = - 2 - 42 2 - 4 c Å ÅÅ -8 4 + 2c


h 2 + c h - c2 g 2 =

4c2 2 - 4c2 2 (2 + c) + c2 (42 + 4c) = 0. 4(2 + c)2 c =
3

2 Åf1 = R3 = 1È g = S3 R3

(2R2 , 0 Åa = 1 + Å2 + 42 + f1 = 0 |a| > 1Ê
2 a > 1Ê R2 = -

Ñ ÑÊ a = 0È b Ç c = 0Ê

c2 c (h + )2 - c2 g 2 = È hÇ 2 4 2 2 2 4c2 2 2 = - R3 = - È h = cS3 = 2 R3 Å Å Å S2 = 0 È b = 0È c = 0 S , 0, -ÅR2, R2 , 0)Ê 4a = 0 |a| 1Ê |a| =

0. 4c2 = cg 2 Ê Å2 = R3 = 0Ê S1 - 2R2 = 0, R1 + ÅR2 = 0 (ÁR2 , 0, 0, 0, R2, 0)

1

2 2 f1 = (1 + Å2 - 42 )R2 = 1 R2 =

1 82 + 4a

1 1 Ê = 1 + Å2 - 42 -82 - 4a a a a < -1 ( 0, - )Ê 0 ( - , 0 )Ê 2 2 2 Å + 2a 2 a + 1 =- 4 + 2a

2Å = 8 + 4 a 4 4a2 + 2 2 h = H = (4a2 + 2)R2 = - 2 8 + 4a
2 g = f2 = -2ÅR2 =

a > 1 h (-

1 , )È 2a

a < -1 h (-, -

1 )Ê 2a

h2 + ah + (1 - a2 )g 2 =

(2a + 1)2 - 2a(2 + a)(2a + 1) - (1 - a2 )(42 + 4a + 1) = 4(2 + a)2 4a2 2 + 4a + 1 - 8a2 2 - 4a - 2a2 - 4a3 - 42 - 4a + 4a2 2 + 4a3 1 = =- 4(42 + 4a + a2 ) 4

a2 - 1 a . (h + )2 + (1 - a2 )g 2 = 2 4 1 1 Å 4a2 + 2 2 2 2 2 =- = Å f1 = (1 + Å2 )R2 = 1 R2 = È g = -2ÅR2 = È h = (4a2 + 2)R2 = - 1 + Å2 4 a 2a 4 a 2 a + 1 - È 4a2 g 2 = Å2 = -1 - 4a = 4ah + 1Ê 2a 4 a2 g 2 = 4 a h + 1 .
Ñ Ñ ÑÊ b = 0È a Ç c = 0Ê b = 0 |b 1, a = 4(a - b) = 0Ê S= R3 = 0È 3 |

c = 0Ê S1 10 00 - 0 2 0 1 R1 Ê 0 0 2 Å R2 S2 00 00 R1 , ÅR1 , 0)Ê 1 1 2 2 f1 = (1 + Å2 - 42 )R1 = 1È b = 1 + Å2 + 42 + 4b = 0 R1 = Ê? =- 2 1 + Å2 - 42 8 + 4b 1 0 0 0 S1 0 -2 -Å 1 Å -2b + 2 R1 0 4(a - b) 2Å(a - b) R2 S2 0 0 0 (0, -2R1 , 0, b2 - 1 b . (h + )2 + (1 - b2 )g 2 = 2 4


ÑÞÊ a = c = 0Ê S3 = -

(2R2 , 0,

Å a = 1 + Å2 + 42 + 4a = 0 |a|
Å2 = -42 - 4c = -

2 Å R3 È - 2 R3 Å

c = 0Ê S1 = -2R2 È S2 = 0È R1 = -ÅR2 , -ÅR2 , R2 , R3 )Ê 0Ê

ÑÊ

1È c = Å2 + 42 + 4c = 0 1 + 4a - 4c = 0È =

c 1 + 4c(c - a) 1 - 1 + 4c(c - a) =- 2 4(c - a) c-a 4(c - a)2 f1 = 1 2 Å2 - 42 2 [1 - (1 + Å2 - 4)R2 ]Å2 2 2 2 2 (1 + Å - 4 )R2 + Ê R3 = 1 R3 = Å2 Å2 - 42 2 2 2Å 2 2 [1 - (1 + Å2 - 42 )R2 ] R = -2ÅR2 - 2 Å3 Å - 42 4c2 2 4c2 Å2 2 2 H = (4a2 + 2)R2 + 2 R3 = (4a2 + 2)R2 + 2 [1 - Å (Å - 42 )Å2 (4a2 + 2) - 4c2 (Å2 - 42 + 1) 2 4c2 42 (Å2 - 42 )(a R2 + 2 = Å2 - 42 Å - 42 2 2 2 2 2 -(Å - 4 ) + 2(Å - 4 ) - 4c 2 4c2 (Å2 - 42 - R2 + 2 = 2 - 42 2 Å Å - 4 Å2 - 42 2Å2 4c2 4c2 = Åg + 2 +2 = + Åg 2 - 42 2 Å Å - 4 Å - 42

1 È 4(c - a)

2 g = f2 = -2ÅR2 -

=-

2Å 2Å +2 R2 Å2 - 42 Å - 42 2

h= = = +

2 (1 + Å2 - 42 )R2 ] =

- c) + 2(Å2 - 42 ) - 4c2 2 4c2 R2 + 2 = Å2 - 42 Å - 42 4c) 2 4c2 2Å2 R2 + 2 =2 R2 + 2 Å - 4 Å - 42 2

Ê ÍÅ

Å=

Å2 - 42 > 0Ê 0Ê

È -1 - 4c(c - a) È 2(c - a)

ÇÅ =

gÊ -1 - 4c(c - a) 8(c - a)2

È

Å

2 R2

-

ÇÅ

2Å 2Å ,- Å2 - 42 1 + Å2 - 42

-1 - 4c(c - a) Ç Å 0Ê 2(c - a) 2Å 1 Ê g= 2 (R2 - 1) 0, 1 + Å2 - 42 Å - 42 2 2Å 2Å ,- 2 - Ä Ç Å 0Å 1 + Å2 - 42 Å - 42 0Ê Å=- 0È g

g ( -, -2Å ]Ê
2 2

2 ÎÅ Å2 - 42 = 0 R2 = 1È g = -2Å -

ÏÅ 1 + Å - 4 > 0È Å - 42
2

ÇÅ

0

0 Å 1 + Å - 4 2 2 Å (1 + Å2 )R2 + R3 = 1
2 2

( -, -

1

2 2 4c2 2 2 c ÇÅ R3 È h = 4a2 + 2 + 2 R3 h = - gÊ Å Å Å g [ -2Å, )Ê 1 2 , )È < 0Ê R2 [ 1 + Å2 - 42 2Å 2Å ] ( Ç Å 0) , ) ( Ç Å 0)Ê [- + Å2 - 42 1 + Å2 - 42 Ê

2 2 2 2 2 2 2 2 R = -2ÅR2 - [1 - (1 + Å2 )R2 ] = - + R Å3 Å Å Å2 4c2 4c2 2 2 2 2 h = H = (4a2 + 2)R2 + 2 R3 = (4a2 + 2)R2 + 2 [1 - (1 + Å2 )R2 ] = Å Å 4c2 2 4c2 2 = 4(a - c)2 R2 + (2 - 2 )R2 + 2 = + Åg Å Å
2 g = f2 = -2ÅR2 -


ÞÊ b = c = 0Ê ? ÞÑÊ a = b = 0

c = 0È a = bÊ

È

h = + Åg . a = bÊ h = 0È

|b|

1

1 + 4c(c - b) (h +

0Ê

?
b b2 - 1 a2 - 1 (h + )2 + (1 - b2 )g 2 = 4 2 4 1 + 4c(c - a) = 1 + 4c(c - b) = 1 > 0 ÎÊ a=b

a2 ) + (1 - a2 )g 2 = 2

Ê Ê
a È a È a
c

È

ÍÅ ÎÅ ÏÅ Å? Å Å Å ?

1 + 2c(c - a) < 0 Ê 1 + 2c(c - a) = 0

so(3, 1) Oa1 Oa2 È L
a1

1 + 4c(c - a) 0È 1 + 2a(c - a) > 0 1 + 2a(c - a) < 0È La3 La4 È a Ê 1 + 4c(c - a) > 0È |a| > 1 c = 0 |a| > 1 c = 0 a |a| 1 c = 0 c Ê |a| 1 c = 0 h = 0Ê g = 0Ê È b = aÊ Ê

Ê



c

La2 È c È


a

a

c Ê

h = 0Ê

È

Î


0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

h

0.4

0.2 0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4 g

0.6

0.8

1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 g -0.2 0.6 0.8

-0.2

1.4 1.2 1 h 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 0 -0.2 g 1 2 -2 -1 h 0.4 0.2 0 -0.2 g 1 2 1 0.8 0.6

1 0.8 0.6 h 0.4 -2 0.2 -2 -1 0 -0.2 g 1 2 -1 h 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 g 1 2

È 42 g 2 - 1 ÍÊ h = 4 ÎÊ h = 0 1 ÏÊ h = - Ê 4  ÍÊ h = -/2 +
1 2 (2 - 1)(4g 2 + 1)

?

e(3)

= -1

>1

so(3, 1)


ÎÊ h = 0Ê
e(3) so(3, 1)

Ê

2.5

3

2

1.5 h 2 h 1 1 0.5

-2

-1

0

1 g

2

-2

-1

0

1 g

2

Ï

Ê

 g , H (S, R) = h }

Ê


>1

= { (S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = (g , h)È Ê Ê (g , h) S = (S1 , S2 , S3 ) R

Q

3 g ,h

?
SÈ SÊ

l

È

Ê

R3 (R)È S = 0Ê ? l
3 Pg,h Ê

S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = g , 2 2 S2 R1 - S1 R2 = - S1 + S2 - h.

(S1 , S2 , S3 ) (S2 , -S1 , 0) g = h = 0Ê (0, 0) R 2 = 1 - S 2 È

Ê Ê
Q
3 g ,h

l 1 - S 2 .

È

2 2 (S2 - S1 - h)2 g2 ((0, l))2 = 2 + 2 2 S S1 + S2

È
0È

3 Pg,

h

É

È Ê 2 2 2 x = S2 - S1 - hÈ u = S1 + S
= 0Ê ? É u = x = 0È È

2 S 2 (S2 -

2 2 2 S - h)2 + (S 4 - S 2 + g 2 )(S1 + S2 ) 1 È

2 2

2 z = S3 Ê ?

uz 2 + (2u2 - u + x2 )z + u(x2 + g 2 + u2 - u)

0. h=0 Ê

ug 2 = 0Ê

È

È S1 = S2 = 0 È

h = 0Ê

È

x - u = 0Ê ? È
2

Q

3 g ,h

Q

3 g ,h


(g , h)È È x2 - u = 0Ê =0 z

È
z - u(x2 - u + g 2 ) . x2 - u

h>0

h<0

Ê
z

Ê

È
z, u

0È x2 - u < 0,
2

È

Ê

È

x2 - u + g

0.

?

S1 , S

2

È
2 2 2 S1 + S2 > (S2 - h)2 , 2 2 2 (S2 - h)2 + g 2 .

Ê

2 S1 + S

? ÍÅ 4h + 1 - 42 g 2 Ê Èh= ÎÅ Î

2 2 2 2 2 (S2 - h)2 - S2 < S1 (S2 - h)2 - S2 + g 2 Ê È (S1 , S2 ) S1 , S2 0 Ê Ê 2 y = S2 Ê È (y - h)2 - y (y - h)2 - y + g 2 Ê

È

(-S1 , S2 ), (S1 , -S2 ), (-S1 , -S2 )

È

2 y 2 - (2h + 1)y + h2 + g 42 g 2 - 1 Ê 4 y1 y2 =

Ê

h2 + g 2 > 0È 2

Ê D = (2h + 1)2 - 42 (h2 + g 2 ) = È 2h + 1 42 g 2 + 1 y1 + y2 = > > 0È 2 2
2

Ê Êy
v er

2 y 2 - (2h + 1)y + h2 È 2h + 1 2 2h + 1 2 4h + 1 2 ( ) -( ) + h2 = - 2 2 2 2 42

=

2h + 1 Ê 22

Åy Åy Åy

v er v er v er

>0 >0 < 0Ê ?

È

2h + 1 < 0Ê

Ê

Ê
2h + 1 > 0

2h + 1 > 0 4h + 1 > 0Ê

4h + 1 < 0Ê

Ê
QÈ
3

3 Pg,

h

(S1 , S2 ) ç [- z (S1 , S2 ),

z (S1 , S2 )]È P
3

Î

Å Å Ê 4h + 1È È Ê S2 , S1 Ê S1 , S2 (S1 , S2 ) P12 (P 3 ) P 3 R2 1 S 2 2 u(x - u + g ) z (S1 , S2 ) = - Ê x2 - u Ê

,S

2

È

ÍÌ


ÍÊ S1 ç R ÎÊ 2R ÏÊ 2R
3 3

2

hÈ S1 ç R hÈ
2

h= hÈ h=- 1 Ê 4

42 g 2 - 1 È 4 h=

42 g 2 - 1 Ê 4

h=-

1 Ê 4

20 10

10

5

-4

-3

-2

-1

0

1

2 x

3

4

-4

-3

-2

-1

0

1

2 x

3

4

-10

-5

-10 -20

15

10

5

-4

-3

-2

-1 -5

1

2 x

3

4

-10

-15

< 0Ê

= -1Ê

z

?É
h=0

È È

uz 2 + (2u2 + u - x2 )z + u(u2 + u - x2 - g 2 ) S
1

0. u È

=S
3 g ,h

2

= 0È

È

u = 0Ê

Q so(4)Ä

È È
Q
3 g ,h

Ê Ê Ä

È

2 2 u = S1 + S2 È h = 0Ê g ,h

R

È

È Å

Ê

È

ÅÊ

ÅÈ

e(3) Ä Ê u > 0Ê D = (2u2 + u - x2 )2 - 4u2 (u2 + u - x2 - g 2 ) = (x2 - u)2 + 4u2 g 2 > 0Ê

ÍÍ


z

0È

È Ê Ê

Ê È

ÍÅ ÎÅ

Ê

È
z1 Ç z2 > 0È z1 + z2 > 0

Ê

u = x = z = 0Ê

È
2u2 + u - x2 > 0,

u2 + u - x2 - g 2 > 0. x2 < 2u2 + u, x2 < u2 + u - g 2 . u2 +u-g 2 2u2 +uÈ z0 Ê 0Ê ÏÅ È Ê u2 + u - x2 - g 2 < 0Ê ? z = z+ È z+ Ê È Å Ê u2 + u - x2 - g 2 = 0Ê uz 2 + (u2 + g 2 )z z = 0Ê R
S1 , S
2

È

u2 +u-x2 -g 2 > z z+ È

È

0.

z

0Ê (g , h)È u2 +u-x2 -g 2 < 0Ê ?
2

È È
S 0.

È

12 2 2 2 2 2 (S1 + S2 )2 + S1 + S2 - ( S1 + S2 - h)2 - g 4g 2 + 1 + 2h + + 4(2 - 1) 2(2 - 1) < 0Ê

-

1 + 2h 2 S2 + 2(1 - 2 )

2

S

2 1



1 + 2h 2 S2 + 2(1 - 2 )

2

È
(h +

>0 >0 >0 h = 0 R (S ) Ê
3

2 - 1 2 ) < (2 - 1)g 2 + È 2 4 2 -1 (h + )2 = (2 - 1)g 2 + 2 4 h=0

2 - 1 S2 (h + )2 > (2 - 1)g 2 + Ê 2 4 |S2 | > constÈ S2 = 0 0 S2 = 0 Ê g

4g 2 + 1 + 2h + - . 4(2 - 1) 2(2 - 1)

hÊ ?

S1 = S2 = 0 È

È
S1 ç R
2

È

È ÍÎ

Ê Ê


È

È

R

3

Ê

Ê

È

Ê

 Ê

H ç K : { (S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g } R2 (h, k )È (H ç K )(S, R) = (H (S, R), K (S, R))Ê (S, R) sg r a d H sg r a d K Ê È > 1Ê S S QÊ {Si , Sj } = ij k Sk È {Si , Qj } = ij k Qk È {Qi , Qj } = q ij k Sk È q = S 2 - R 2 = 2 S 2 - 1 Ê Q2 = S 2 R 2 - g 2 = 2Q3 - q sg r a d H = AÈ q + 2Q sg r a d H sg r a d K
3

R

1 - q2 - g2. 4

BÊ

2S2 S3 - Q2 ,

S1 B 2 S1 S3 + Q1 , -2( + )S1 S2 , S2 A, , -2( S1 Q2 + S2 Q1 ) {S1 , K } = Q2 A {S3 , K } = -2( + 2 )Q1 Q { S2 , K } = Q 1 B
2

{Q1 , K } = [2(S2 Q3 - S3 Q2 ) + q S2 ]A {Q3 , K } = 4Q3 (S1 Q2 - S2 Q1 ) - 2q (2 S2 Q1 + S1 Q2 ) {Q2 , K } = [2(S3 Q1 - S1 Q3 ) + q S1 ]B

È ÍÅ S1 = S3 = 0Ê

Ê

ÎÈ

È

È

(0, 0)Ê Q2 = S3 R1 - S1 R3 = 0Ê 0 0 Q1 Q1 B 0 S2 A 0 S2 AB BÊ k k = 2 g 2 - h + h
2

È

È

È

È

sg r a d H

sg r a d K

0 -2S2 Q1 . 0 -2S2 Q1 B

È

È h

È

ÍÏ


?

È
S
2 2 2 g2 (h - S2 )2 2+ 2 S2 S2 yÊ È

h

> 0Ê S2 R2 = g ,



2 2 2 S + R1 + R2 + R3 = 1.

2 2

S - S2 R1 = h,

2 2

2 1 - S2 .

(2 + )y 2 - (2h + 1)y + g 2 + h >0

2

0

D = (2h + 1)2 - 4(2 + )(g 2 + h2 ) 2h + 1

0, 0. +0

1 1 ( - (2 + )(1 - 4g 2 ) ( + (2 + )(1 - 4g 2 )Ê ? h 2 2 42 g 2 - 1 h Ê 4 (2 - 1)(4g 2 + 1) . = -1 h-+ 2 2 ÎÅ S2 = S3 = 0Ê È Q1 = S2 R3 - S3 R2 = 0Ê -Q 00 00 0 S1 B - 2 S1 Q 2 . 0 - S1 B A 2 S1 Q 2 A
2

2

Q2 A k h

k = -2 h2 - h - g >0 -

1 1 ( (2 + )(1 - 4g 2 ) + 1) h ( (2 + )(1 - 4g 2 ) - 1)Ê 2 2 ÁÈ Ê Ê h Ê? È <0h ÏÅ Q1 = 0È A = 2Q3 - q = 0Ê ? sg r a d K = 0 Ê k= =0 1 - g 4
2

+0 Ê

1 q = -1 Q3 = - Ê 2 2 2 2 2 Q 2 + Q 2 = S1 + S2 + S3 - g 2 , 3 1 S3 = 0 . S2 Q 2 - 2 ? È hÊ 1 1 2 2 h - Ê h = S2 + Q3 = S2 - 2 2 Å Q2 = 0È B = q - 2Q3 = 0

Í


k = 2 (g 2 -
2 Q1 +

1 ) 4

Å

=0

2 q 2 2 - 1 1 - 2 1 = - g 2 Q1 = q 2 - - g 2 < 0. 4 4 4 4 (2S2 S3 - Q2 )Q1 = S1 S2 A, (2S1 S3 + Q1 )Q2 = S1 S2 B , S1 S2 AB = 0. S1 S2 + Q 1 Q 2 = 0 , S1 Q 3 + S3 Q 1 = 0 S1 S2 AB = 0.

Ê

? Q2 È S3 2 S2 = Q 2 + Q 2 Ê k = -h h - 41 Ê 1 3 = -1 (k + h)2 + 4g 2 2 h2 = 0È ? È Ê Ä Å sg r a d H ij 2ç6 Ê sg r a d K 13 23 È

S, Q = 0 È

Ê

È

H

K (0, 0)Ê

13 = 0 (2 + )Q2 [(2S2 S3 - Q2 )Q1 - S1 S2 A] = 0 23 = 0 (2 + )Q1 [(2S1 S3 + Q1 )Q2 - S1 S2 B ] = 0. Q Q
2

1

È È Q1 ÑÊ Q1 = 0È A = 0 Ä Q1 = 0 È A = 0 Q2 = 0 È S1 = 0ÅÊ ÍÅ S1 = 0È S3 = 0 ÄS1 = S3 = 0 13 Ê Q3 = -S2 R1 È Q2 = S3 R1 Ê
13 = 2S2 S3 - Q Q2 A
2

0Ê ÏÅÊ

Q

2

ÌÈ

ÅÊ
S1 S3 Q 2 = 0 Ä B=0

36 = 0

È

ÍÅÊ ?
S2 (2Q3 - q ) = 2 2 2R1 (S3 + S2 ) + q S2 )

2 2 2 2 2 2 2 = (2S2 - R1 )(2R1 (S2 + S3 ) + q S2 ) + S2 R1 (2S2 R1 + q ) = -2(S2 + S3 )(R1 - S2 )2 - 22 S1 (R2 + R3 ) = 0

S2 A S (2S2 - R1 ) =3 A(2(S3 Q2 - S2 Q3 ) + q S2 ) S3 R1

S2 = 0È R1 = 0Ê Q1 = 0 R2 = 0È h = k = 0Ê R1 - S2 = 0È R2 = R3 = 0 h = k = 0Ê S3 = 0 È S1 = 0 È S2 = 0 Q 2 = 0 B = 0 Ê Q2 = 0Ê 25 = 0È 15 = 0 S1 S3 = 0È S2 S3 = 0Ê È S1 S2 = 0 Ê S1 = S3 = 0 S2 = S3 = 0 Q1 = S2 R3 - S3 R2 = 0 R2 = 2È Q2 = 0 R1 = 0Ê Ñ ÑÊ Q2 = 0È B = 0ÄQ2 = B = 0 ÅÊ ?

Å Å ÎÅ ÏÅ

Ê È Q3 = 0
Ñ

Î

Ê h = k = 0Ê

35 È S1 = S2 = 0 Ê

Í


ÍÅ Å Å ÎÅ

S S S S

2 1 1 3

= = + = È

0È S3 = 0 ÄS2 = S3 = 0 ÎÅÊ R2 = 0 R1 = 0È h = k = 0È R2 = 0È R1 = R3 = 0 h = k = 0Ê 0 È S1 = 0 È S2 = 0 Q 1 = 0 A = 0 Ê 1 k=g + È 4 (2 - 1)(4g 2 + 1) Ê 2
2

Ê
so(3, 1) k = - h - h + g
22 2 2

>1 h - + 2

k = -h - h + 2 g e(3)

= -1
2


22

k = g - hÈ h so(3, 1)Ê

42 g 2 - 1 1 Èk= Èh 4 4

1 - È k = -hÈ h 2

1 - 4

k = -2 h2 - hÊ

15

10 k 5

-4 -2 0

2 h

4

6

-5

-10

-15

Í Øã â æ ÐÊ Î Ï

éààÊ

çèæÈ Í ÍÌÈ ÞÊÎ È ÏÎÍÉÏ ?Ê Ê ÊÊ Ê ÊÈ

Ê Ê Ê ?Ê ?Ê
so(4)Ê

?Ê ?Ê È ?Ê ?Ê È

ÈÍ

Ê È ÎÌÌÍÊ ?È

 ?Ê ?Ê È ÎÌÌÍÈ Ï ÍÄ ÅÈ Í É Í Ê

Í


Ê Ê È ÎÌÌÏÈ ÍÏ ÄÎÅÈ ÎÌ ÉÎÎ Ê ÍÌ ÉÍÍÍÊ ?Ê ?Ê ?Ê ?Ê ?Ê ?Ê È ?Ê

Ê
so(4)Ê

? È ÎÌÌ È Ê

ÄÍÅÈ

È ÎÌÌÍÈ ÍÎ ÄÍÅÈ ÏÍÉÏ Ê ?Ê Ê ? Ê ÈÍ Ê É

È ÎÌÌ Ê

so(4)Ê

Í