Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-lepskii.pdf Дата изменения: Thu Mar 24 13:02:16 2011 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:39:00 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский государственный университет имени МFВF Ломоносова МеханикоEматематический факультет

на правах рукописи УДК SIUFWQVFSCSIRFUSTFR

Интегрируемость комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в C2
HIFHIFHR " геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоEматематических наук

Лепский Тимур Александрович

Научные руководителиX Академик АFТF ФоменкоD Доцент ЕFАF Кудрявцева

Москва " PHII


Оглавление

Введение 1 Интегрируемые гамильтоновы системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона

4

25

IFI IFP

Основные понятия и утверждения F F F F F F F F F F F F F F F F F PS Обзор известных результатов по топологии слоев IFPFI IFPFP F F F F F F F F PW

Достаточные условия связности слоя F F F F F F F F F F F F PW Топология слоя невырожденного многочлена F F F F F F F QH

IFQ

Поведение гамильтонова поля в бесконечно удаленных точках на пополненном слое F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ

IFR
2

Примеры

F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR

Гамильтонова классификация систем с эллиптическим гамильтонианом степени 1,2,3,4 49

PFI PFP PFQ PFR PFS

Основные понятия и утверждения F F F F F F F F F F F F F F F F F RW Гиперэллиптический гамильтониан степени один F F F F F F F F F SS Гиперэллиптический гамильтониан степени два F F F F F F F F F ST Гиперэллиптический гамильтониан степени три F F F F F F F F F TI Гиперэллиптический гамильтониан степени четыре F F F F F F F UQ
1


3

Топология лагранжевых слоений

87

QFI

Основные понятия и утверждения F F F F F F F F F F F F F F F F F VU QFIFI QFIFP Важный класс комплексных гамильтоновых систем F F F VW Гиперэллиптические многочленыX топология неособого слояD локальная классификация особенностей лагранжеE ва слоения F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WI QFIFQ Наборы кратностей критических точек на особых слоях F WR

QFP

Топология слоения в окрестности особой точки @локальная тоE пологическая классификация особенностейA F F F F F F F F F F F F WS

QFQ

Топология слоения в окрестности слоя @полулокальная топологическая классификация особенностейA F IHT

4

Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов 116

RFI

Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гаE мильтонианов нечетной степени RFIFI RFIFP F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIT

Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое IIW Семейства геодезических с концами в бесконечно удаE ленных точках на слояхD близких к нулевому F F F F F F F IPS

RFIFQ

Комплексные координаты действиеEугол и функции пеE реходаF Комплексная теорема Лиувилля F F F F F F F F F F IPW

RFP

Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гаE мильтонианов четной степени F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQW RFPFI Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое IRI

2


RFPFP

Семейства геодезических с концами в бесконечно удаE ленных точках на слояхD близких к нулевому F F F F F F F IRV

RFPFQ

Комплексные координаты действиеEугол и функции пеE реходаF Комплексная теорема Лиувилля F F F F F F F F F F ISI

Литература

161

3


Введение

Диссертационная работа повящена решению ряда проблем в активно разE вивающейся в настоящее время теории гамильтоновых системD которые играE ют важную роль при описании физических процессов без диссипацииF ВажE ными вопросами в теории гамильтоновых систем являются задачи исследоваE ния полноты потокаD описывающего систему @необходимое условие интегриE руемости системы по ЛиувиллюAD и задачи классификации @с точностью до различных отношений эквивалентностиA таких системF Пусть M
2n

" гладкое многообразиеD " симплектическая структура на

M 2n D H : M

2n

R " гладкая функцияD называемая

гамильтонианомD

и

пусть sgrad H " гамильтоново векторное поле с гамильтонианом H на M 2n F Следуя UD IFSD гамильтонову систему (M 2n , , H ) назовем
руемой вполне интегри-

@или

интегрируемой по ЛиувиллюAD

если существует набор гладких

функций f1 = H, f2 , . . . , fn : M

2n

RD такой чтоX

IA f1 , . . . , fn " первые интегралы sgrad H Y PA f1 , . . . , fn функционально независимы на M 2n D то есть почти всюду на

M

2n

их градиенты линейно независимыY

QA {fi , fj } = 0 при любых i, j = 1, . . . , nY RA векторные поля sgrad fi D i = 1, . . . , n полныD то есть естественный параE

4


метр на их траекториях определен на всей числовой прямойF Если выполнены лишь условия I!Q @а условие полноты потоков не обязаE тельно выполненоAD то систему с соответствующим набором первых интеграE лов f1 , . . . , fn назовем
интегрируемойF

Если естественный параметр на траекториях хотя бы одного из коммутиE рующих векторных полей sgrad fi D i = 1, . . . , n определен не на всей числовой прямойD то набор векторных полей и набор соответствующих потоков назовем
неполнымиD

а систему " F

интегрируемой гамильтоновой системой с непол-

ными потоками

Простейшим примером интегрируемой гамильтоновой системы с неполныE ми потоками является система (R2 \ {O}, dx dy , -y )D заданная на R2 \ {O} векторным полем v = (1, 0) в стандартных координатах x, y на R2 D где O R
2

" некоторая точкаD смF рисF IF Однако в данном примере особенность векторE ного поля v в точке O является
устранимой

D поскольку можно так опредеE

лить векторное поле v в точке O R2 D чтоD воEпервыхD векторное поле v будет определено корректно на всем R2 D аD воEвторыхD потокD соответствующий векE торному полю v D будет полнымF Данный пример можно также рассматривать как пример динамической системыD заданной векторным полем v = (1, 0) на

R2 \ {O}D для которой векторные поля v = (1, 0) и u = (0, 1) всюду линейE
но независимыD коммутируют и обладают неполными потокамиF Примером динамической системы с
неустранимой особенностью

и неполными коммуE

тирующими потоками является система на C \ {0}D заданная векторным поE лем v = z
-(n+1)

в стандартной координате z на CD с парой коммутирующих
полюсом

векторных полей v и i v D где n NF Такая особенность называется

5


порядка

n + 1D ее интегральные траектории представлены на рисF PF

Рис. 1: Устранимая особенность

Рис. 2: Полюс порядка 2

В классических работах по исследованию интегрируемых гамильтоновых системX IA системD возникающих в механике и описывающих движение твердого телаD PA системD заданных уравнениями Эйлера на компактных алгебрах Ли @смF ID PD VD TD SD IID IQD IUD IVA безусловно выполнялось условие полноты потоковD что позволяло использовать классическую теорему ЛиE увилля @смF UA для описания свойств таких интегрируемых системF Так как для интегрируемых систем с
неполными потоками

D поEвидимомуD неизвестны

никакие аналоги теоремы ЛиувилляD то класс таких систем представляется весьма трудным для изученияF В связи с этим АFТF Фоменко поставил задачу об обобщении теоремы Лиувилля на случай интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потокамиD а именноX описание топологии слояD описаE ние лагранжева слоения в окрестности слояD построение аналога переменных действиеEуголF Отметим такжеD что задача доказательства интегрируемости по Лиувиллю гамильтоновой системы сама по себе нетривиальнаF ЭтимD поE видимомуD объясняется тоD что исследования условия полноты потоков для интегрируемых гамильтоновых систем появились совсем недавно в работах F qordon QWD АFЮF МосквинаD ДFВF НовиковаF
6


В настоящей работе рассматривается класс интегрируемых гамильтоновых систем

(C2 , Re(dz dw), Re(f (z , w))),

@HFHFIA

обладающих в большинстве случаев неполными потокамиD где f (z , w) " многочлен двух комплексных переменных и Im(f (z , w)) " первый интеграл системыF Такой класс систем был предложен для исследования АFТF ФоменE ко и АFИF ШафаревичемD поскольку он тесно связан с квантованием комE плексных многообразийD в частностиD с описанием квантовых систем КалодE жеро!СтроккиD смF IPF Под C
-гамильтоновой системой

2 (MC , C , f ), 2 2 где MC " двумерное комплексное многообразиеD dimC MC = 2D C " замкнуE 2 2 тая невырожденная голоморфная PEформа на MC D f : MC C " голоморфE

ная функцияD будем понимать динамическую системуD заданную комплексE ными уравнениями Гамильтона x(t) = sgrad C f |x(t) D где x = (x1 , x2 ) " лоE кальные комплексные координатыD sgrad C f := (
ij f 2 C xj )i=1

D C " компоненты

ij

обратной матрицы к матрице PEформы C в координатах (x1 , x2 )D параметр t предполагается вещественнымF В этом случае гамильтонова система @HFHFIA с точки зрения уравнений Гамильтона равносильна CEгамильтоновой системе

(C2 , dz dw, f (z , w)),
смF определение PFIFS и лемму PFIFUF

@HFHFPA

Как правилоD условие полноты векторного поля исследовалось в терминах алгебраических и аналитических свойств координатных функций векторноE го поляF Вместе с тем представляет интерес задача исследования условия
7


полноты в геометрических терминахD напримерD в терминах
НьютонаD

многоугольника

представляющего собой выпуклую оболочку целочисленных тоE

чек " индексов ненулевых коэффициентов полиномиального гамильтониана @смF пример на рисF QAF Эта задача решается в первой главе диссертационной работы для систем @HFHFPA с гамильтонианом f (z , w)D невырожденным отноE сительно своего многоугольника Ньютона @теорема II и следствие IFQFR@БAAF Кроме тогоD в этой же главе в терминах многоугольника Ньютона вычисляE ются типы особенностей гамильтонова векторного поля в бесконечно удаленE ных точках пополненного слоя @следствия IFQFP и IFQFR@ВAAF Многогранники Ньютона @многомерный аналог многоугольников НьютонаA применялись в работах АFДF Брюно @смF WA для описания локальных свойств систем обыкE новенных дифференциальных уравненийF Это лежит в стороне от задач наE стоящей работыD так как в диссертации система рассматривается глобально иD в частностиD описаны топология и окрестность неособого слоя f терминах многоугольника Ньютона многочлена f F
-1

( ) в

Рис. 3: Пример многоугольника Ньютона

В четвертой главе диссертационной работы доказан аналог теоремы ЛиE увилля для класса систем @HFHFPA с
гиперэллиптическим гамильтонианом

8


f (z , w) = z 2 + Pn (w)D отвечающим многочлену Pn (w) степени n N с проE
стыми вещественными корнямиD в окрестности нулевого уровня f теоремы PS и PTAF Для таких систем лагранжевы слои f сфере с [
n-1 2 -1 -1

(0) @смF

( ) гомеоморфны

] ручками и n - 2[

n -1 2

] проколамиD а при n 3 система обладает

неполными потокамиF Другой важной проблемой в теории гамильтоновых систем является заE дача классификации систем с точностью до различных отношений эквиваE лентностиF В теории интегрируемых гамильтоновых систем рассматриваетE ся несколько отношений эквивалентности системX гамильтонова эквивалентE ность @означающая существование симплектоморфизма фазовых пространствD переводящего гамильтониан одной системы в гамильтониан другой системы с точностью до аддитивной константыAD топологическая сопряженностьD траекE торная эквивалентностьD топологическая послойная эквивалентность и друE гиеF Перечисленные выше отношения эквивалентности упорядочены от наиE более сильного до наиболее слабогоF Задачи классификации интегрируемых гамильтоновых систем в последние годы исследовались в работах АFТF ФоE менко PQD PSD PTD АFВF Болсинова QD RD АFАF Ошемкова IWD МF АдлераD ПF ван Мербеке QID QPD ЛF Гаврилова QVD ВFВF Козлова IR и другихF Важным классом гамильтоновых систем @HFHFPA являются системы с полиE номиальным гамильтонианом f малой степениF Это обусловлено прежде всего темD что такие системы либо являются интегрируемыми по ЛиувиллюD либо допускают вложение в интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы систеE мыF Поэтому являются актуальными задача о классификации таких систем с точностью до
гамильтоновой эквивалентности

D а также задача о построеE

9


нии канонических

координат действие-угол

@или их аналоговA в окрестности

неособого лагранжева слоя такой системыF Решению этих задачD в случае гиE перэллиптических гамильтонианов малой степениD посвящена вторая глава диссертации @смF теоремы IPD IQD IRD ISD IWD лемму PFSFP и следствия PFPFPD PFRFTD PFRFUD PFSFUD PFSFVAF Более слабым отношением эквивалентности интегрируемых гамильтоноE вых систем является
топологическая послойная эквивалентность

D под коE

торой будем понимать существование гомеоморфизма фазовых пространствD переводящего лагранжевы слои одной системы в лагранжевы слои другой сиE стемыF Такая эквивалентность обобщает известную
ность лиувиллеву эквивалент-

для интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых системF ЛиувиллеE

ва эквивалентность исследовалась в работах АFТF Фоменко PQD PSD PTD АFВF Болсинова QD RD АFАF Ошемкова IWD Нгуен Тьен Зунг RID RPD ЛF ГавE рилова QVD ИFАF Тайманова PHD ЛF Бейтса QQ и другихF В отличие от больE шинства этих работD в настоящей диссертации не предполагается полнота гаE мильтоновых потоковF Более тогоD в большинстве случаев гамильтоновы поE токи не являются полнымиF В частностиD представляет интерес исследование топологии лагранжева слоения в окрестности критических точекD не являюE щихсяD вообще говоряD морсовскими @локальная
классификация

особенностей

лагранжева слоенияAD а также классификация лагранжева слоения в окрестE ности особого слоя @
полулокальная классификация

особенностей лагранжева

слоенияAF Решению этих задачD в случае гиперэллиптических гамильтониаE новD посвящена третья глава диссертации @смF предложения QFPFID QFPFQD теоE рему PRAF

10


Диссертационная работа состоит из четырех главF В первой главе изучается топология неособого слоя {f (z , w) = } C2 D

CD четырехмерная окрестность неособого слоя и четырехмерная окрестE
ность бесконечно удаленных точекD для невырожденного многочлена двух комплексных переменных f (z , w) - D то есть многочленаD ограничение (f -

)| которого на любую грань многоугольника Ньютона не имеет критиE
ческих точек в (C \ {0})2

{(z , w) C2 | (f - )| = 0}D удовлевтворяюE

щему следующему условию @iAX для любой точки (u, v ) P прямоугольник

conv{(0, 0), (u, 0), (0, v ), (u, v )} P D где P " многоугольник Ньютона многоE
члена f (z , w) - F Также изучается пополнение данного слоя относительно метрики пополнения D порожденной кососимметричным векторным полемF Топология слоя и особенности кососимметричного векторного поля описаны в терминах многоугольника Ньютона исходного многочленаF Обозначим через T = {(z , w) C2 |f (z , w) = } " неособый слой невыE рожденного многочлена f (z , w)D через ng " количество целочисленных точек строго внутри многоугольника НьютонаD через nч " увеличенное на единицу количество целочисленных точек на сторонах многоугольника Ньютона с поE ложительными координатамиF Тогда верна следующая теоремаD вытекающая из работы АFГF Хованского PWF
Теорема 1

@АFГF ХованскийA

. Пусть

f (z , w) -

невырожденный много-

член. Тогда неособый слой без

T

связен и диффеоморфен сфере с

ng

ручками,

nч

точек.

Возникает задача уточнения теоремы I в случаеD когда (C2 , dz dw, f (z , w)) " интегрируемая гамильтонова системаF В диссертационной работе был предE
11


ложен метод пополнения исходного слоя относительно метрики естественным образом связанной с гамильтоновым векторным полемD а именноX интегральE ные траектории гамильтонова векторного поля совпадают с геодезическими метрики как параметризованные кривыеF ЗаметимD что похожие конструкции использовались в работах СFПF Новикова@RQD RRA и ЛF Бейтса@QRAF Такой подход позволил связать задачу уточнения теоремы I с задачей исследования полноты интегрируемой гамильтоновой системыF
Теорема 2. Пусть

f (z , w) -

0 невырожденный многочлен относитель-

но своего многоугольника Ньютона на

Pf

-0 , причем многоугольник Ньюто-

Pf

-

0

удовлетворяет условию . Тогда существуют

@iA

выше, и

dim Pf

-

0

= 2 @смF определеE

ние IFIFIA

>0

и

R>0

, такие что

1) для любой стороны

l

многоугольника Ньютона, не лежащей на ко-

ординатных осях, существуют ровно

nl

голоморфных вложений

J

l

,n

:

2 2 (D0 , ) Ч (D0, \ {0}) C

2

,

1 n nl J
l ,n C

, таких что

f J

l ,n

( , u) = ,

= u(1

-u0 )l +(1-v0 )l -1

d du,

2 2 ( , u) D0 , Ч (D0, \ {0}),

где

nl + 1

равно количеству точек с целочис несократимый вектор

ленными координатами на стороне внешней нормали стороны 2) образы всех этих

l , (l , l )

l

,и

(u0 , v0 ) l

любая точка на

l

;

nч =

l

nl n,

вложений (отвечающих одной и той же либо разным сторонам многоугольника

стороне, но разным значениям

Ньютона) попарно не пересекаются, и объединение этих образов содержит

f

-1

2 4 (D0 , ) \ D0,R

(т.е. дополнение этого объединения в

f

-1

(D

2 0 ,

)

ограничено,

а потому компактно).

12


К результатам первой главы относятся теорема IID в которой были ввеE дены координаты ( , u) в четырехмерной окрестности бесконечно удаленных точекD причем координата постояна на слоеD а координата u задает окрестE ность бесконечно удаленной точки на слое T D следствие IFQFRD описывающее пополнение T неособого слоя T относительно метрики g D а также описываE ющее в терминах многоугольника Ньютона классификацию систем на слоях с точностью до траекторной эквивалентностиF Во второй главе исследуется классификация гамильтоновых систем с точE ностью до гамильтоновой эквивалентности в случае гиперэллиптической функE ции Гамильтона вида f = z 2 + Pn (w)D n = 1, 2, 3, 4F Кроме тогоD в этой главе доказана полнота гамильтоновых векторных полей при n = 1, 2D построено вложение при n = 3, 4 таких систем во вполне интегрируемые гамильтоновы системыD описана топология неособых слоевD а также построены каноничеE ские координаты в окрестности неособых слоевD смF теоремы IPD IQD IRD ISD ITD IUD IVD IWD PHD PID PPF Обозначим через Hn (a, bn , . . . , b0 ) CEгамильтонову систему (C2 , dz dw, f (z , w)) с гамильтонианом f (z , w) = az 2 +bn wn +ћ ћ ћ+b1 w +b0 D a, bn , . . . , b0 CD abn = 0F В следующей теореме собраны результаты настоящей главыD относящиеE ся к классификации гамильтоновых систем с точностью до гамильтоновой эквивалентностиF
Теорема 3. Пусть дана

C

-гамильтонова система с гиперэллиптическим . Тогда:

гамильтонианом степени

n, n 4

ћ

Каждая

C

-гамильтонова система

H1 (a, b, c)

гамильтоново эквивалент-

на канонической линейной

C

-гамильтоновой системе

13


(C2 (p, q ), dpdq , f0 (p, q ) = p).
являются неособыми,

Все слои

C

-гамильтоновой системы

H1 (a, b, c)

C

-диффеоморфными

C

. гамильтоново эквиВсе неособые

ћ

Каждая

C

-гамильтонова система

H2 (a1 , b1 , c1 , d1 )

валентна системе слои

H2 (a, 1, 0, 0)

, для

a = a1 b1 C \ {0}.

C

-гамильтоновой системы

H2 (a, b, c, d) C

-диффеоморфны

RЧS

1

.

ћ

Каждая невырожденная

C

-гамильтонова система

H3 (a, b, c, d, e)

га-

мильтоново эквивалентна системе

H3 (r, s, s, 0, 0)

для некоторых

r, s

C, rs = 0.

Все неособые слои

C

-гамильтоновой системы

H3 (a, b, c, d, e)

гомеоморфны

T2 \ {p}. C
-гамильтонова система

ћ

Каждая невырожденная

H4 (a, b, c, d, e, k )

га-

мильтоново эквивалентна системе торых

H3 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0) C

для неко-

r, s, p C, rs = 0.

Все неособые слои

-гамильтоновой системы

H4 (a, b, c, d, e, k )

гомеоморфны

T 2 \ { p1 , p 2 }

.

Во второй главе также определена пополненная система при n = 3, 4D смF определения PFRFRD PFSFSF Это пополнение определено корректноD поскольE ку функция Гамильтона является аналитическойD продолжение симплектиE ческой структуры
C

невырожденноF ОтметимD что ограничения неособых

слоев пополненной системы на исходную систему являются неособыми слояE ми исходной системыuF Одним из основных результатов этой главы являются следствия PFRFSD PFSFT об интегрируемости по Лиувиллю пополненной системыD как вещественной гамильтоновой системыF При этом вещественные канонические координаты для исходной системы получаются ограничением вещественных координат
14


действиеEуголD определенных для пополненной системы в окрестности любого неособого слояD смF следствия PFRFTD PFSFUF В третьей главе изучается топология лагранжевых слоений интегрируE емых гамильтоновых систем с двумя степенями свободыD отвечающих CE гамильтоновым системам с одной комплексной степенью свободы на C2 с гиперэллиптическими функциями Гамильтона f = z 2 + Pn (w)D n NF ТаE кая система является интегрируемой @вещественнойA гамильтоновой системой

(C2 , Re C,i , H = Re f ) с двумя степенями свободы с дополнительным первым
интегралом F = Im f D причем неособые лагранжевы слои f ны сфере с [
n -1 2 -1

( ) гомеоморфE

] ручками и n - 2[

n -1 2

] проколамиD а гамильтоновы векторные

поля с гамильтонианами H и F неполны на каждом слое при n 3F В этой главе развиваются методыD предложенные в работах ITD PID PPD PRF Две голоморфные функции fi : Mi C назовем топологически эквиE валентнымиD если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h :

M1 M2 такойD что f1 = f2 h + constF В третьей главе описаны классы
топологической эквивалентности гиперэллиптических функций f в малых окрестностях особых слоев f
-1

( ) в зависимости от n и комбинаторного типа

слоя " набора кратностей критических точек в слое @полулокальная тополоE гическая классификация слоения ЛиувилляAF Две интегрируемые гамильтоE новы системы (Mi4 , Re
C,i

, Hi = Re fi ) с дополнительным первым интегралом

Fi = Im fi D i = 1, 2D называют послойно эквивалентнымиD если существуют
сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы h1 : M1 M2 и h2 : C C такиеD что f1 = h2 f2 h1 F Результаты главы показываютD что в малой окрестности любого лагранжева слоя f
-1

( ) послойная эквивалентность систем равноE
15


сильна топологической эквивалентности функций f и полностью определяE ется комбинаторным типом слояD смF теорему PRF На основе теоремы РF Тома @IWTSA описаны реализуемые наборы комбинаторных типов особых слоев для гиперэллиптических гамильтониановF Одним из основных результатов главы является описание слоения в лоE кальной окрестности особой точки систем с комплекснозначными полиномиE альными гамильтонианами вида f (z , w) = z 2 + Pn (w)D n N раздельно для четного и нечетного nF Отдельно исследован случай морсовской особенностиF В частностиD для четного n описание слоения сформулировано в следующем предложенииF
Предложение 0.0.1. При четном

nN

для любого

>0

функция

g :V
,

4

C

, где

V = {(z , w) C2 | |z 2 + wn | n , |w| 2}, g (z , w) = z 2 + wn + 0
, эквивалентна функции

4

0 C

4 q = qn : M C

, где

4 M = ([0, n ] Ч S 1 Ч

S 1 Ч ([-1, 0- ] [0+ , 1]))/ ,

отношение эквивалентности



в определении

4 M порождено следующими n + 1 отношениями: (r, mod 2 , +t+2k mod 2 , 0- ) 1,k (r, mod 2 , -t+2k mod 2 , 0+ ), n n (0, mod 2 , mod 2 , h) (0, 0 mod 2 , mod 2 , h), 2 @HFHFQA
где

0 k n - 1, mod 2 R/2 Z, t [- , ], h [-1, 0- ] [0+ , 1],
i( mod 2 ) 2 0 , .

q (r, mod 2 , mod 2 , h) = re 0 [-1, 0- ]
и

+ 0

. Здесь

0+ := 0 [0+ , 1], 0- :=

4 g (V ) = q (M ) = D

4

Это предложение имеет следующий геометрический смыслF В пространE
4 стве M каждый слой является несвязным объединением двух полуцилинE

дров {(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч ([0+ , 1]

[-1, 0- ])D причем первые соотношения
16


1,k формулы @HFHFQA превращает его в сферу с n - 1Eой ручкой и двумя проE
коламиF Второе соотношение 2 в @HFHFQA отождествляет друг с другом слои вида ({(0, mod 2 )} Ч S 1 Ч ([0+ , 1]

[-1, 0- ]))/ 1,k D mod 2 S 1 @осоE

бый слойAF Из соотношений в @HFHFQA следуетD что на этом слое окружность

{(0, 0)} Ч S 1 Ч {0+ } стягивается в точку @перетяжка на особом слоеAF Данное
пояснение проиллюстрируем следующими рисF R и SF

Рис. 4: Слой близкий к особому Рис. 5: Монодромия слоя

Кроме тогоD в третьей главе описано слоение в окрестности особого слоя сиE стем с комплекснозначными полиномиальными гамильтонианами вида f (z , w) =

z 2 + Pn (w)D n NF Полученная конструкция классификации слоения являE
ется четырехмерным аналогам понятия атомаD введенного АFТF ФоменкоD то есть окрестности особого слояD расслоенной на линии уровня гамильтониаE на и рассматриваемой с точностью до послойной эквивалентностиF Атомы были классифицированы в работах АFТF Фоменко QTD QUD АFВF БолсиноE ва QS и другихF Кроме тогоD в этом случае усложняется конструкция так называемого креста @смF UAD а склейки не имеют столь наглядного видаF Однако при пересечении V
4

окрестности неособого слоя T

0

с плоскостью

= {(z , w) C2 | Im z = 0, Im w = 0} возникает стандартный крест и атомD
17


смF рисF T и UF

Рис. 7: Двумерный атом Рис. 6: Двумерный крест

Будем использовать следующие обозначенияF Пусть L
k

n,k ,l1 ,...,lk ,

:= T0 \

(
i=1

4 Ui, ) " комплексное многообразие с краемD dimC Ln,k 2 Mg,h,b

,l1 ,...,lk , k

= 1D гомеоE

морфное

при n > lD
k i=1

2 M0,1,1 k

2 M0,1,1

при четном n =
3+(-1) 2
n

2 li D и M0,1,1 при
li

нечетном n =

li D g = [

n -1 2

]-

проколотый замкнутый двумерный дискF Тогда верна следующая теорема о полулокальной топологической классификации слоения гиперэллиптической голоморфной функции в окрестности особого слоя с несколькими критичеE скими точкамиD являющаяся одним из основных результатов третьей главыF
Теорема 4. Пусть
степени

i=1

[ l2i ]D h =

Db=

i=1 k 3+(-1) 2 i=1

2 D M0,1

,1

"

T

0

особый слой гиперэллиптического многочлена

f (z , w)
0 ,

n2

, содержащий ровно

k

критических точек

p1 , . . . , p k T

причем кратности этих точек равны l1 ственно. Тогда существует ция

-1, . . . , lk -1, l1 , . . . , lk 2

, соответ-

0 > 0

такое, что для любого

0<
4 : Mn,k

0 функ-

f

f

-1

(D

2 0 ,

)

топологически эквивалентна функции

f

n,k ,l1 ,...,lk

,l1 ,...,lk ,



18


C

. Здесь

4 Mn,k

k ,l1 ,...,lk ,

=(
i=1

V

4 li ,

)

n,k,l1 ,...,lk ,

(D

2 0 ,

k

ЧLn,k

,l1 ,...,lk ,

) := (
i=1

V

4 li ,

) (D
k

2 0 ,

Ч

Ln,k
и

,l1 ,...,lk , 2 0 ,

))/(x

n,k ,l1 ,...,lk ,

(x))

получено из несвязного объединения

V
i=1

4 li ,
,с

D

Ч Ln,k
4 li ,

,l1 ,...,lk , отождествлением любой точки ,l1 ,...,lk , 2 0 ,

x V

+

4 li , ,

1ik

ее образом

n,k

(x) D

2 0 ,

ЧL

n,k ,l1 ,...,lk , при гомеоморфизме

n,k ,l1 ,...,lk ,

:

k i=1

+V

D

Ч L

n,k ,l1 ,...,lk , , задаваемом формулой



n,k ,l1 ,...,lk , 4 li ,

(z , w) := (z 2 + wli + 0 , ((arg w) mod 2 , sgn Im
, при li четном,

z )), wli

(z , w) + V
n,k ,l1 ,...,lk ,

,1 i k

(z , w) := (z 2 + wli + 0 , (arg w + (li arg w + - 2 arg z )) mod 4 ),
4 li ,

(z , w) + V
мулами

,1 i k
4 li ,

, при li нечетном, а функция

f

n,1,l задается фор,

f

n,k ,l1 ,...,lk |V
2 0 ,

(z , w) = z 2 + wli + 0 , (z , w) V ( , x) = , ( , x) D
,l1 ,...,lk , 2 0 ,

4 li , ,

1ik

f

n,k ,l1 ,...,lk |D

ЧLn,k

,l1 ,...,lk ,

Ч Ln,k

,l1 ,...,lk , .

При этом

fn,k

,l1 ,...,lk

4 (Mn,k

)=D

2 0 , .

В пятой главе доказан аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гаE мильтоновых систем с неполным гамильтоновым векторным полем в случае гамильтониана вида f (z , w) = z 2 + (w - w1 ) . . . (w - wn )D где wi RD wi = wj D

i, j = 1, . . . , nD i = j D в окрестности нулевого слояF
Доказательство теоремы основано на разрезании окрестности нулевого слоя T0 = {f (z , w) = 0} на четырехмерные ручкиD на каждой из которых вводятся канонические координатыD вычисляются периоды и вид интегральE ных траекторий на нулевом слое изображен на рисункеF Теорема доказана раздельно для четного и нечетного nF В частностиD ниже сформулирована теорема для нечетного nF
19


Теорема 5
мы

@комплексная теорема ЛиувилляA.
с функцией Гамильтона

Для

C

-гамильтоновой систе-

(C2 , dz dw, f )

f (z , w) = z 2 + P

2n+1

(w) P

и соот-

ветствующего лагранжева слоения

@смF определение QFIFTA

, где

2n+1

(w) =
,

(w - a1 ) . . . (w - a
существует

2n+1 ),

ai R, i = 1, . . . , 2n + 1, a1 < a2 < . . . < a2n

+1 ,

nN

> 0,

такое что выполнены следующие свойства: слой

1) для любого

C, | | < , n

T = f

-1

( )

является неособым и

гомеоморфен сфере с

ручками и одним проколом;

2) лагранжево слоение в четырехмерной



-окрестности

U (T0 )

слоя

T0
на

тривиально, т.е. послойно гомеоморфно прямому произведению слоя открытый двумерный диск 3) в окрестности

T0

2 D0, = { C | | | < };
существуют

U (T0 )

2n

голоморфных функций

I1 , . . . , In , J1 , . . . , Jn : U (T0 ) C,
а для каждой четырехмерной

-ручки G,k U (T0 ), k = 1, . . . , n k>1

, суще-

ствует голоморфное вложение (задаваемое при динатами действие-угол)

комплексными коор-

(Ik |G,k , k mod 2 ) : G,k

C Ч (C/2 Z),
2 {I1 } Ч (TC ( I1 D,
1

2 k n;
dJ1 dI1

(I1 ))) \ I1 , k = 1,

где при

k=1

функция

1 mod 2

является многозначной аналитической

функцией, через

2 TC (

dJ1 dI1

(I1 )) := C/2 (Z
(1) (1)

dJ1 dI1

(I1 )Z)

обозначен комплексный

тор с параметром

dJ1 dI1

(I1 ) C \ R

, через

2 I1 TC (

dJ1 dI1

(I1 ))

обозначен об-

раз прямолинейного отрезка ку в случае

A3 (I1 )A4 (I1 ) C

(вырождающегося в точ-

n = 1,

см. п.б) ниже) при проекции

2 C TC (

dJ1 dI1

(I1 )),

и через

2 (TC (

dJ1 dI1

(I1 ))) \

I1 обозначено пополнение надрезанного тора

2 (TC (

dJ1 dI1

(I1 ))) \

20


I1

относительно римановой метрики а) каждая функция

d1 d

1 , со следующими свойствами:

Ik , Jk : U (T0 ) C
от

является голоморфной функци-

ей

Ik = Ik (f )

и

Jk = Jk (f )

f

без критических точек, ее множество

значений

D,k := Ik (U (T0 )) = Ik (G,k ),
открыто в ности

D,k := Jk (U (T0 )) = Jk (G,k ) C

C

и гомеоморфно открытому кругу, она выражается в окрестчерез любую другую такую функцию формулами

U (T0 )

Ik = Ik (f (I )),
где

Ik = Ik (f (J )),

Jk = Jk (f (I )),

Jk = Jk (f (J ));
и

f (Ik )

и

f (Jk )

функции, обратные к функциям ); и

Ik (f )

Jk (f )

соответ-

ственно (

k = 1, . . . , n

б) при любых

k = 1, . . . , n

Ik D,k
,k

множество значений комплексной

координаты угол области

k mod 2 |G

T

f (Ik )

получается из некоторой замкнутой

W

k ,I

k

C

, ограниченной шестиугольником с вершинами

A1 (Ik ), . . . , A6 (Ik )
(k )

(k )

(k )

C

(вырождающимся при

k=n

в параллелограмм с вершинами

A1 (Ik ), A2 (Ik ),

(k )

A3 (Ik ) = A4 (Ik ), A5 (Ik ) = A6 (Ik ))
геодезическим зическим

(n)

(n)

(n)

(n)

и сторонами, соответствующими

dk (f (Ik )), s
2k +1

2k -1

(f (Ik )), s

2k -2

(f (Ik )) Tf

(Ik ) , а также геодеследующим обра-

s2k (f (Ik )), s

(f (Ik )) Tf

(Ik ) в случае

k < n,

зом: (i) выкидыванием всех вершин (соответствующих бесконечно удаленной точке

p

f (Ik ) ), и (ii) отождествлением (т.е. склеиванием) при помощи

параллельного переноса любой пары сторон, отвечающих одной и той же геодезической (либо

dk (f (Ik )),

либо

s1 (f (I1 ))

при

k = 1);

причем шести-

угольник (соответственно параллелограмм при

k = n)

однозначно задает-

ся следующими условиями (см. рис. 4.5, 4.6 при соответственно):

1 k < n, 1 k = n

21


ћ

шестиугольник (или параллелограмм)

W

k ,I

k

C

образован тремя па-

рами равных и параллельных сторон, соответствующих следующим геодезическим и получающихся друг из друга следующими сдвигами в плоскости

C

:

A1 (Ik )A2 (Ik ) = k (dk ( )) - A5 (Ik )A4 (Ik ) = k (dk ( )), A2 (Ik )A3 (Ik ) = k (s
(k ) (k ) (k ) (k ) 2 k -1

(k )

(k )

2

(k )

(k )

( ))

- Dk ( )

-
k

k

A1 (Ik )A6 (Ik ) = k (s
(k )

(k )

(k )

2 k -2

( )), k < n,

A3 (Ik )A4 (Ik ) = k (s2k ( ))
где

- Dk ( )

-

A6 (Ik )A5 (Ik ) = k (s2

(k )

k +1

( )),

2 := f (Ik ) D0,

, через

:CC

обозначен параллельный перенос

на вектор

C
k

в плоскости

C, s0 ( ) := s1 ( ),
-1

Dk (f (Ik )) ћ
при любом

:= 2

dJk-1 dJk (Ik ) - (Ik ) + . . . + (-1)k dIk dIk

dJ1 (Ik ) , dIk

k
выполнено

-- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - (k ) (k ) (k ) (k ) A3 (Ik )A4 (Ik ) = A6 (Ik )A5 (Ik ) = Sk+1 (f (Ik )) ћ
k

:= 2

dIk+1 dIk+2 (Ik ) - (Ik ) + . . . + (-1)n dIk dIk
(k )

-k -1

dIn (Ik ) , dIk
(k ) (k )

точка пересечения диагоналей параллелограмма равна

A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A6 (Ik )
(откуда точка пере-

(k )

1 2

(A1 (Ik ) + A3 (Ik )) = 0 = k (0, a2k (f (Ik )))
(k ) (k ) (k ) (k ) 1 2

(k )

(k )

сечения диагоналей (вырождающегося в отрезок при лограмма

k = n)

паралле-

A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (Ik )
а при

равна

(A3 (Ik ) + A5 (Ik )) =
1 + 2 D1 (f (I1 ))

(k )

(k )

= k (0, a2k+1 (f (Ik ))), A2 (I1 )A3 (I1 )
(1) (1)
и

k=1

центры отождествляемых сторон

A1 (I1 )A6 (I1 )

(1)

(1)

суть отождествляемые точки

1

=

1 (0, a1 (f (I1 ))));

22


в частности, при координаты

k=1

для любого
1

I1 D,1
f (I1 ) dJ1 dI1

образом комплексной угловой

1 mod 2 |G,

T

f (I1 )

: G,1 T

2 (TC (

dJ1 dI1

(I1 ))) \
(1)

I1 является

весь пополненный надрезанный тор ром

2 (TC (

(I1 ))) \

I1 (совпадающий с то-

2 TC (

dJ1 dI1

(I1 ))

в случае

n = 1)

за исключением двух точек

A3 (I1 ), A4 (I1 )

(1)

(совпадающих друг с другом в случае

n=1

), являющихся концами линии

надреза и отвечающих бесконечно удаленной точке; в)

(dz dw)|G,k = dIk d

k,

k = 1, . . . , n

;

г) переменная действие

Ik = Ik (f )

и функция

Jk = Jk (f ) -P

имеют вид

a

2k+1

( )

a2k ( )

1 Ik ( ) =
a2k ( )

-P

2n+1

1 (y )dy , Jk ( ) =
a2
k -1

2n+1

(y )dy ,

2 D0, ,

( )

где в качестве функции

-P

берутся ее ветви, такие что

-P

1 2n+1 ( 2

(a2k + a

2k +1

)) >

0

в первом случае, и

i

1 2n+1 ( 2

(a

2k -1

+ a2k )) < 0

во втором случае;

д) для любых двух ручек

G,k , G,

, содержащих в своей границе одно и выполнено

то же семейство геодезических

sj ( ),

k = +1

, причем в случае

1k
пересечение

G,k G,k

+1 является объединением геодезических

G,k G,k

+1

=

(s2k ( ) s
| |<

2k +1

( )) =

(Prw |T )-1 (S
| |<

k +1

( )), mod 2

и на этом пересечении комплексные координаты угол связаны друг с другом формулами:

k mod 2

и

k +1

Ik+1 ( ) Ik+1 ( )

k +1 |s2k ( )

+ Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k - Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

( )

- ), - );
на ручке

k +1 |s2k

+1

( )

+1

( )

е) уравнения Гамильтона в координатах

(Ik , k mod 2 )

G,k

,

23


k = 1, . . . , n

, принимают вид:

Ik = 0,
4) антиканоническая инволюция щая Гамильтониан

k =

df (Ik ) ; dIk
2
,

C2 C

(z , w) (-z , w),

сохраняю-

f

, переводит каждую четырехмерную

-ручку

G,k

в се-

бя, и ограничение этой инволюции на эту ручку в координатах имеет вид

(Ik , k mod 2 )

(Ik , k mod 2 ) (Ik , -k mod 2 ), 1 k n.

Автор выражает глубокую и искреннюю признательность своим научным руководителям АFТF Фоменко и ЕFАF Кудрявцевой за большое внимание к раE боте и ряд ценных замечанийD определивших основные направления ее разE витияF Автор благодарен АFИF ШафаревичуD АFБF Жеглову за полезные обE суждения в процессе работы на диссертациейD АFМF Степину и ДFАF Аносову за внимание к работе и ценные замечанияF

24


Глава 1

Интегрируемые гамильтоновы системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона

1.1

Основные понятия и утверждения
@QHD PFI и QFRA.
Многоугольником Ньютона

Определение 1.1.1

Pf R

2

многочлена f (z , w) =
l,m0

a

l,m

zlw

m

называется выпуклая оболочка множеE

ства точек (l, m) Z2 такихD что a

l,m

= 0F

Размерностью

dim Pf многоугольE

ника Ньютона Pf называется размерность минимального аффинного подпроE странства в R2 D содержащего многоугольник Ньютона Pf F
Многоугольником

P R2 D отвечающим многоугольнику Ньютона Pf и ковектору R2 D f
назовем грань @размерности 0, 1 или 2A многоугольника Ньютона Pf D на коE торой достигает максимума функция Pf RD x , x D x Pf D где через

, x R обозначено значение ковектора на векторе x R2 @в частностиD
сам многоугольник Ньютона P0 = Pf отвечает нулевому ковектору = 0D а f каждая сторона многоугольника Pf отвечает своему вектору внешней норE
25


малиAF По многочлену f (z , w) =
l,m0
ченный многочлен

a a

l,m

z l wm и ковектору определим

усе-

f (z , w) =
(l ,m)P f

l,m

z l wm D смF рисF IFIF

Рис. 1.1: Пример многоугольника Ньютона

Ниже @определения IFIFPD IFIFQ и IFIFRA введены три понятия невырожденE ности для многочлена f (z , w) - D а именно определены
невырожденность

многочлена относительно своего многоугольника НьютонаD неособость

слоя

f

-1

( )

для функции

fи

неприводимость

многочлена f (z , w) - F Любое из

этих условий выполнено для многочленов общего положенияF При выполE нении данных условий удается описать топологические свойства слоя f
-1

( )

@смF теоремы UD VD WD IH и следствие IFPFQD а также теорему II и следствия IFQFP и IFQFR нижеAF Как будет показано нижеD данные свойства являются незавиE симыми @смF пример IFIFTAF
Определение 1.1.2

@QHD PFID определениеA. Многочлен f (z , w) называется

невырожденным относительно своего многоугольника Ньютона

Pf D если

для любого ковектора R

2

выполнено следующее условиеX для любого

решения (z , w) уравнения f (z , w) = 0D лежащего в (C \ {0})2 D дифференциал

df (z , w) = 0F
26


Определение 1.1.3. Слоем

T C2 многочлена f : C2 (z , w) C называE

ется множество T = {(z , w) C2 |f (z , w) = }F Слой T C2 называется
неособым

для функции f D если df (z , w) = 0 для любых (z , w) T F Многочлен f (z , w) называется
неприводимым

Определение 1.1.4.

D если не

существует его разложения на множители f (z , w) = p1 (z , w)p2 (z , w)D где

p1 (z , w) и p2 (z , w) " многочленыD отличные от константыF
В дальнейшем в основном будут рассматриваться только неособые слои невырожденных неприводимых многочленовF Естественность этого предпоE ложения показывает следующее замечание IFIFSF
Замечание 1.1.5.

Для заданного многоугольника P = и почти всех мноE

гочленов f D таких что Pf = PD выполнены следующие свойстваX IA нулевой слой T0 = {(z , w) C2 | f (z , w) = 0} является неособым @смF теорему TAY PA многочлен f (z , w) является невырожденным относительно своего мноE гоугольника Ньютона Pf @смF QHD PFPD теоремаAY QA многочлен f (z , w) является неприводимымF
Пример 1.1.6.

В таблице ниже для каждого из выписанных многочленов

указаноD выполнены ли для него свойства неособости нулевого слояD невыE рожденности относительно своего многоугольника Ньютона и неприводимоE стиF

27


Многочлен

Неособость T0 Невырожденность Неприводимость

z z2 + w
3

+ - + - + -

+ + - - + + - -

+ + + + - - - -

z 2 + w 2 + 2z w + w z 3 + (w + 1)
2

(z + 1)(z + 2) zw

(z 2 + w2 + 1)(z 2 + w2 + 2) + (z + 1)
3

-

Замечание 1.1.7.

Как показано в примере IFIFTD условия неособости слоя

T многочлена f D невырожденности многочлена f - относительно своего
многоугольника Ньютона Pf независимымиD где CF
Теорема 6
-

D неприводимости многочлена f - являются

@Конечность множества особых значений PVD RHA

. Пусть

f:

C2 C

комплексный многочлен двух комплексных переменных, отлич-

ный от константы. Тогда множество т.е. имеет вид

f C

особых значений конечно, .

f = {i }N i=1

, где

i C, i = 1, . . . , N

Доказательство.

Рассмотим в C3 гладкое подмногообразие X = {(z , w, )

C3 | f (z , w) = } C3 и регулярное отображение Pr : C3 CD (z , w, ) F
Регулярность отображения Pr следует из тогоD чтоD в частностиD
Pr (z ,w, )

=

1F Образом отображения F := Pr |X является F (X ) = CD поскольку мноE
гочлен f (z , w) отличен от константыF По усиленной теореме Бертини @для схемA отсюда следует @смF PVD ГлFsssD следствие IHFUAD что существует отE крытое по Зарисскому непустое множество U C такоеD что F |F
28
-1

(U )

:


F

-1

(U ) U является гладким морфизмом соответствующих схем в смысE

ле PVD ГлFsssD IHD определениеF По теореме PVD ГлFsssD теорема IHFP схема

X := Spec(C[z , w]/(f - )) является регулярной для любого U D тFеFD в
частностиD она регулярна в следующем смыслеX для любой точки (z , w) C2 D такой что (z , w, ) X D локальное кольцо данной схемы в точке (z , w, ) реE гулярно в смысле PVD ГлFsD SD определениеF ПокажемD что отсюда следуетD что (
f z

(z , w),

f w

(z , w)) = (0, 0)D тFеF является неособым значением функE

ции f F ДействительноD из теоремы @смF RHD теорема QTD сFIPI или PVD ГлFID упражнение SFIQA о томD что локальное регулярное кольцо не имеет делителей нуля следуетD что f (z , w) - " это произведение неприводимых многочленов

Pi (z , w) без общих нулейD поэтому неравенство ( f (z , w), z

f w

(z , w)) = (0, 0)

равносильно системе аналогичных неравенств для каждого неприводимого сомножителя Pi (z , w)F А для неприводимого многочлена P (z , w) требуемое неравенство доказано в PVD ГлFsD теорема SFIF Всякое открытое по ЗарисскоE му непустое подмножество U C имеет вид U = C \ {i }N D откуда образ f i=1 множества особых точек содержится в {i }N D тFеF конеченF i=1

1.2
1.2.1

Обзор известных результатов по топологии слоев
Достаточные условия связности слоя

Следующие две теоремы U и V устанавливают связность нулевого слоя многочленаD являющегося либо неприводимымD либо невырожденным отноE сительно своего многоугольника НьютонаD имеющего размерность PF
Теорема 7

@Связность слоев неприводимого многочлена PVD ГлFsA
29

. Пусть


многочлен

f = f (z , w)

неприводим. Тогда нулевой слой

T0 = f

-1

(0)

связен.

Доказательство.

Согласно PVD ГлFsD следствие IFR слой T0 неприводим тогда

и только тогдаD когда идеалD порожденный многочленом f D является простымF ЭтоD в свою очередь эквивалентно томуD что многочлен f является непривоE димымF Неприводимость слоя T0 означает @смF PVD ГлFsD определение в ID стрF IVAD что не существует Y1 , Y2 T0 " собственных замкнутых @в смысле топологии ЗарисскогоA в T0 подмножествD таких что T0 = Y1 связность T0 F
Теорема 8
многочлен Ньютона

Y2 D что влечет

@Связность слоев невырожденного многочлена PWD PFIA.

Пусть

f = f (z , w)
,и

невырожден относительно своего многоугольника . Тогда подмножество

Pf

dim(Pf ) = 2

^ T0 := T0 \ ((C Ч {0})

({0} Ч C))

нулевого слоя

T0 = f

-1

(0)

связно.

Доказательство.

^ Пусть X " замыкание многообразия X := T0 в достаточно

полной проективной торической компактификации M C2 F Согласно PWD PFID теоремаD X связноF Так как X , X бирационально эквивалентны и имеют комплексную размерность ID множество X \ X конечноF Поэтому из связности

X получаем связность X F
1.2.2 Топология слоя невырожденного многочлена

Определение 1.2.1.

Пусть M " компактное аналитическое проективное
Арифметическим родом

многообразие размерности dimC M = nF
n

pa (M ) мноE

гообразия M называется альтернированная сумма

pa (M ) :=
k =0

(-1)k dimC (k (M )),
30


где через k (M ) обозначено пространство голоморфных дифференциальных

k Eформ на M @смF PWD IFIAF Для некомпактного аналитического многообраE
зия M арифметический род определяется формулой pa (M ) := pa (M )D где

M " любое компактное аналитическое проективное многообразиеD бирациоE
нально эквивалентное M F ИзвестноD что для бирационально эквивалентных компактных алгебраиE ческих многообразий M1 , M2 выполнено dimC (k (M1 )) = dimC (k (M2 )) и

pa (M1 ) = pa (M2 ) @смF PWD IFIAF Поэтому определение IFPFI корректно для
некомпактных аналитических многообразийF Если M1 и M2 бирационально эквивалентны и dimC M1 = 1D то имеются конечные подмножества N1 M1 и N2 M2 D такие что M1 \ N1 и M2 \ N2 комплексно диффеоморфныF
Теорема 9

@Неособость и арифметический род слоя PWD IFID теорема I в
. Слой

IFQD теорема в PFID теорема в RFIA

T0 = f

-1

(0),

определенный невы-

рожденным (относительно своего многоугольника Ньютона ном

Pf

) многочле-

f (z , w) = const f

с ненулевым свободным членом, является неособым

для функции ле

. Его арифметический род где

pa (T0 )

вычисляется по форму-

pa (T0 ) = 1 - (-1)dim Pf B + (Pf ),

B + (Pf )

количество целочислен-

ных точек, лежащих строго внутри многоугольника Ньютона логии минимального линейного пространства, содержащего

Pf

(в топо-

Pf

). То есть,

pa (T0 ) = 1 - B + (Pf )
Пример 1.2.2.

при

dim Pf = 2,

и

pa (T0 ) = 1 + B + (Pf )
-1

при

dim Pf = 1.

Для f (z , w) = z n - 1 слой T0 = f

(0) C Ч {1, . . . , n}

имеет арифметический род pa (T0 ) = 1 + B + (Pf ) = n в силу теоремы WF Соответствующая компактная аналитическая проективная кривая M T0 D биголоморфно эквивалентная слою T0 D является несвязным объединением n
31


экземпляров сфер РиманаX M = C Ч {1, . . . , n}F Согласно PUD IWFIRD если X " компактное связное IEмерное комплексное многообразие @тFеF
риманова поверхность

AD гомеоморфная сфере с ng ручE

камиD то размерность пространства голоморфных IEформ на ней равна ng F Отсюда получаем следующее следствие теорем V и WF
Следствие 1.2.3

@Количество ручек у слояA.

Пусть многочлен

f (z , w) -

невырожден относительно своего многоугольника Ньютона

P

f - , причем

dim Pf

-

=2

и

f (0, 0) =

. Тогда слой

T

является неособым для функции

f

и гомеоморфен сфере с где

ng = B + (Pf - )

ручками и конечным числом проколов,

B + (Pf - )

как в теореме 9.

Определение 1.2.4.

Векторным полем

косой градиент

sgrad C f Vect(C2 ) )D заданное в

голоморфной функции f : C2 C относительно голоморфной PEформы C =

dz dw называется векторное поле sgrad C f = (-
координатах (z , w)F
Определение 1.2.5.

f (z ,w) f (z ,w) w , z

@АA

Римановой метрикой пополнения g

неособого слоя
голо-

T для функции f назовем риманову метрику g = Sym( )D где
морфная 1-форма

определена на слое T соотношением (sgrad C f |T ) =

1F ОтметимD что риманова метрика g является плоскойD и интегральные траE
ектории векторных полей sgrad C f |T и i sgrad C f |T являются ее геодезичеE скимиF @БA На слое T определена
функция расстояния

: T Ч T RD где

для любых x, y T D (x, y ) " нижняя грань длин всех кривыхD лежащих в T и соединяющих точки x, y D расстояние в смысле римановой метрики пополнения g F
32


Теорема 10

@Количество ручек и голоморфные IEформы на слое PWD утверE
Пусть многочлен

ждение и пример в PFPA.

f (z , w) -

невырожден относи-

тельно своего многоугольника Ньютона подмножество сфере с

P

f - , причем
слоя

dim Pf
-1

-

=2

. Тогда

^ T := T \((CЧ{0})({0}ЧC))

T = f

( )

гомеоморфно

ng = B + (Pf - )

ручками и конечным числом проколов, где

B + (Pf - )


как в теореме 9. Более того, 1-формы

0 z l w

m

на

X

, где

(l, m) Z2 P

внутренние целочисленные точки многоугольника Ньютона

f , образуют

базис пространства голоморфных 1-форм на некоторой компактной связной аналитической проективной кривой многообразию

^ X T

, биголоморфно эквивалентной

^ T

.

1.3

Поведение гамильтонова поля в бесконечно удаленных точках на пополненном слое

Определение 1.3.1.

@АA СкажемD что мероморфное векторное поле v D опреE
полюс порядка

деленное на некоторой комплексной кривойD имеет
точке

k0

в

xD если в некоторой окрестности U точки x выполнено соотношениеX
kd du

v = h(u)u-

D где u : U C " локальная координата в окрестности точки

xD h(u) " некоторая голоморфная функция на u(U )D такие что u(x) = 0 и h(0) = 0F
@БA СкажемD что голоморфная IEформа D определенная на некоторой комплексной кривойD имеет
ноль порядка

k0

в точке

xD если в некоE

торой окрестности U точки x выполнено соотношениеX = h(u)uk duD где

u : U C " локальная координата в окрестности точки xD h(u) " некоторая
голоморфная функция на u(U )D такие что u(x) = 0 и h(0) = 0F
33


Из определения IFQFI легко следуетD что если голоморфная IEформа на комплексной кривой имеет ноль порядка k в точке xD то в некоторой окрестE ности U точки x выполнено соотношениеX = uk du для некоторой локальной координаты u : U C в окрестности точки xF Полюс порядка k = 0 являE ется устранимой особенностью векторного поляF Интегральные траектории векторного поля v D имеющего полюс порядка PD изображены на рисF IFPF

Рис. 1.2: Полюс порядка 2

Пусть многоугольник Ньютона P @iA многоугольник Ньютона P = P

f -0
0

удовлетворяет следующему условиюX

f -

содержит вместе с каждой своей точE
z u wv +z u +wv +1

кой (u, v ) P прямоугольник conv{(0, 0), (u, 0), (0, v ), (u, v )} = P Условие @iA эквивалентно томуD что P некоторых неотрицательных l, m ZF
z l +wm +1

F

P

f -

0

P

z l wm +z l +wm +1

для

2 Обозначим Dz0 , := {z C | |z - z0 | < }D открытый двумерный дискF

Теорема 11

@Нормализация невырожденного многочлена и PEформы dz dw
. Пусть

в бесконечно удаленных точках слоевA

f (z , w) - 0

невырожден-

ный многочлен относительно своего многоугольника Ньютона чем многоугольник Ньютона

Pf

-0 , при-

P

f -0 удовлетворяет условию

@iA

выше, и

dim Pf

-0

=

2 @смF определение IFIFIA

. Тогда существуют

>0

и

R > 0,

такие что

34


1) для любой стороны

l

многоугольника Ньютона, не лежащей на ко-

ординатных осях, существуют ровно

nl

голоморфных вложений

J

l

,n

:

2 2 D0 , Ч (D0, \ {0}) C

2

,

1 n n J
l ,n

l

, таких что

f J

l ,n

( , u) = ,

(dz dw) = u(u0

-1)l +(v0 -1)l -1

d du,
равномерно по

2 2 ( , u) D0 , Ч (D0, \ {0}), 2 D0 , ,

причем

limu0 |Jl ,n ( , u)| =

1 n n

l

, где

nl + 1

равно количеству целочисленных точек

на стороне

l , (l , l )

несократимый вектор внешней нормали стороны

l

,и

(u0 , v0 ) l

любая точка на

l

;

2) образы всех этих

nч =

l

n

l вложений (отвечающих одной и той же
либо разным сторонам многоугольника

стороне, но разным значениям

n,

Ньютона) попарно не пересекаются, и объединение этих образов содержит

f

-1

2 4 (D0 , ) \ D0,R

(т.е. дополнение этого объединения в

f

-1

2 (D0 , )

ограничено,

а потому его замыкание в

C

2

компактно).

Следствие 1.3.2. Пусть выполнены условия теоремы
плексное 2-мерное связное многообразие ческим атласом из приклеиванием щи вложений

11.

Имеется ком-

M 4 = M40

, с комплексно аналити-1 2 (D0 , ) C 2

nч + 1

карт, полученное из

M 4 = M40 , := f

nч J
l

экземпляров множества

2 2 D0 , Ч D0, C

2

при помо-

,n

@смF теорему IIA,

такое что

2 M 4 \ M 4 D0 , Ч {0} Ч

{1, . . . , nч }

(бесконечно удаленные точки

p

,l ,n ) и замыкание

T M

4

каждого слоя ным слоем

T = f
-1

-1

( )

в

M

4

, является неособым компактным связ-

T = f

( )

некоторой голоморфной функции .В

f:M

4

C

,

D

2 0 , , такой что

f |M 4 = f

U

l

,n

2 2 := Jl ,n (D0 , Ч (D0, \ {0})) M

4

векторное поле

sgrad C f

, 1-форма

и риманова метрика пополнения

g



@смF определения IFPFR и IFPFS@АAA

имеют следующий вид в координатах

35


2 ( , u) D0 , Ч (D

2 0,

\ {0})

из теоремы

11: , u

sgrad C f |Ul ,n = u(1- |Ul ,n = u(u g |U
При этом
l ,n 0

u0 )l +(1-v0 )l +1

-1)l +(v0 -1)l -1

du,

2 D0 , , 2 D0 , .

= (uu)(u0

-1)l +(v0 -1)l -1

du du,

(u0 - 1)l + (v0 - 1)l - 1 0 Pf

тогда и только тогда, когда

многоугольник Ньютона

-0 содержит хотя бы одну внутреннюю точку

с целыми координатами (т.е. когда

T0 S

2

).

Замечание 1.3.3.

При | - 0 | < векторное поле sgrad C f |T на компактной
-1

связной поверхности T = f которых равны (1 - u0 )

l

( ) имеет ровно nч особых точекD индексы

+ (1 - v0 )l + 1D смF следствие IFQFPF Поэтому
f -

сумма индексов равна nч - 2S (P

)D где S (P

f -

) " площадь многоугольника

conv{(1, 1)}(l l )F С другой стороныD по следствию IFPFQ род поверхности T
@тFеF количество ручекA равен ng = B + (Pf
-

)F Так как сумма индексов особых
f -

точек векторного поля равна 2 - 2ng D получаем равенство nч - 2S (P

)=

2 - 2B + (Pf - )D равносильное известной теореме ПикаF
Доказательство теоремы 11.

Сначала отметимD что в силу условия @iA выE

полнено

l

0 и l 0D причем по крайней мере одно неравенство строгоеF
-
0

Пусть для определенности (u0 , v0 ) " начальная вершина стороны l f

по отношению к положительной ориентации @против часовой стрелкиA заE мкнутой ломаной f
-0

CF Тогда целочисленные точки стороны l имеют

координаты (un , vn ) := (u0 - nl , v0 + nl )D n = 0, 1, . . . , nl F ДалееD рассмотE рим вектор := (l , l ) внешней нормали стороны l и отвечающий ему
36


n

усеченный многочлен f (z , w) =
n
l

l

a
n=0

un ,v

n

z un w
l

v

n

= z u0 wv0 P

l

w l z l



D где

n

Pl (y ) :=
n=0

a

un ,v

n

yn =
n=0

a

u0 -nl ,v0 +n

l

yn.

Пусть y1 , . . . , yn ^ ^

l

" корни уравнения Pl (y ) = 0F ЗаметимD что все корни

уравнения Pl (y ) = 0 различны @так как f (z , w) " невырожденный многоE членA и не равны нулю @так как a
u0 ,v
0

=0иa

un ,v
l

n l

=a

u0 -nl l ,v0 +nl l

=0

в силу тогоD что (u0 , v0 ) и (unl , vnl ) = (u0 - nl l , v0 + nl l ) " вершины многоугольника НьютонаAF Положим y := yn D где n = 1, . . . , nl F ^ ^ Шаг IF Пусть l = 0F Рассмотрим отображение

I

2

,3 ,l ,l ,y ^

2 2 : (D0,2 \ {0}) Ч D0,3 C2 ,

(u, g ) (u-

l

, u-



l

(y + g )1 ^

/l

),

где 2 , 3 > 0 " некоторые числаF ПокажемD что существует функция gn ( , u)D такая что выполнены соотношения

gn ( , 0) = 0,

f I

1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

(u, gn ( , u)) = .
m

В самом делеD значение любого монома a ре (z , w) = I2
,3 ,l ,l ,y ^
0

k ,m

zkw

многочлена f (z , w) на паE

(u, g ) равно a

k ,m

zkw

m

=a

k ,m

u-

k l -ml

(y + g )m/l = ^

a

k ,m

u-

l u0 -l v

ul

(u0 -k )+l (v0 -m)

(y +g )m/l F ЗаметимD что l (u0 -k )+l (v0 - ^
D и l (u0 - k ) + l (v0 - m) = 0 тогда и

m) 0D поскольку (k , m) P

f -0

только тогдаD когда (k , m) l D поскольку (l , l ) " внешняя нормаль к l F Отсюда следуетD что f I
2

,3 ,l ,l ,y ^

(u, g )- = u-

l u0 -l v

0

(Pl (y + g )+. . . )D где ^

невыписанные мономы имеют степень по переменной u больше либо равную единицеF Рассмотрим в области C Ч D
2 0,2 2 Ч D0,3 голоморфную функцию
l u0

F ( , u, g ) := (f I

2

,3 ,l ,l ,y ^

(u, g ) - )u
37

+l v

0

= Pl (y + g ) + . . . ^


и рассмотрим уравнение F ( , u, g ) = 0F ЗаметимD что для любого при u = 0 подстановка g = 0 дает решениеD поскольку y " корень уравнения Pl (y ) = 0D ^ тFеF F ( , 0, 0) = 0F ДалееD ( F / g )|(
,0,0)

= (Pl (y + g ) + . . . )|( ^

,0,0)

= Pl (y ) = 0D ^

так как @в силу невырожденности многочлена f - 0 относительно своего многогоугольника Ньютона Pf
-
0

A многочлен Pl (y ) не имеет кратных корE

нейF ПоэтомуD по теореме о неявной функцииD существуют 1 , 2 , 3 > 0D такие что существует единственная функция g свойством
l

,n

:D

2 0 ,1

2 2 Ч D0,2 D0,3 C со

gl ,n ( , 0) = 0,
аD стало бытьD I2
,3 ,l ,l ,y ^

F ( , u, gl ,n ( , u)) = 0,

(u, gl ,n ( , u)) T F Более тогоD согласно теореме о
l ,n

неявной функцииD функция g Шаг PF ДалееD положим

= gl ,n ( , u) является голоморфнойF

J
и вычислим
J1

1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

( , u) := I

2

,3 ,l ,l ,y ^

(u, gl ,n ( , u))

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

(dz dw) = d(u-

l

) d(u-l (y + g ^

l ,n

( , u))1

/l

)

= (-l u = (y + g ^
l ,n

-l -1

( , u))(1- =u

(y + gl ,n ( , u))(1-l )/l - gl ,n ( , u) ^ ul d ) du) ( l F ( , u, gl ,n ) F ( , u, gl ,n ) l )/l -l -l -1 u (- / )d du g (y + gl ,n ( , u))(1-l )/l ^ d du, Pl (y + gl ,n ( , u)) + . . . ^

l (u0 -1)+l (v0 -1)-1

где невыписанные мономыD как и преждеD имеют степень по u больше либо равную единицеF Поэтому
J1 ,2 ,3 ,l ,l ,y ^

(dz dw) = ul

(u0 -1)+l (v0 -1)-1

h( , u)d du,

38


где h( , u) " голоморфная отделенная от нуля функция двух комплексных переменных в некоторой окрестности точки (0 , 0)F Отсюда существуют > 0
2 2 ~~ и замена координат : U (0 , 0) D0 , Ч D0, D : ( , u) ( , u)D причем

~ = D такие что (J
1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

-1 ) (dz dw) = ul ~

(u0 -1)+l (v0 -1)-1

d du, ~

где U (0 , 0) C2 " некоторая окрестность точки (0 , 0) в C2 F Шаг QF ДокажемD что J
1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

" вложениеF Допустим противноеD тоE
1

гда существуют (1 , u1 ) и (2 , u2 )D такие что (1 , u1 ) = (2 , u2 ) и J

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

(1 , u1 ) =

J

1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

(2 , u2 )F Отсюда 1 = 2 D так как 1 = f (J
- - -

1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

(1 , u1 )) =

f (J

1 ,2 ,3 ,l ,l ,y ^ -l

(2 , u2 )) = 2 D обозначим := 1 = 2 F С другой стороныD
l

так как (u1 то g
l ,n

, u1

(y + g ^

l ,n

( , u1 ))1

/l

) = (u2

l

, u2

l

(y + gl ,n ( , u2 ))1/l )D ^

( , u1 ) = gl ,n ( , u2 ) и @в силу взаимной простоты l и l A u1 = u2 D
D если

противоречиеF Аналогично определяются отображения J
1 ,2 ,3 ,l ,l ,y ^ l

= 0 и l =

0 @как следствиеD l = 1AF Тем самым пункт IA доказанF Докажем пункт PAF
Шаг RF ДокажемD что образы построенных вложений попарно не пересекаE ются и что каждое из них инъективноF Пусть l1 = l2 F
Случай 1.

Пусть



li

= 0D i = 1, 2F ДопустимD что существуют y1 , y2 C \ ^^

{0}D n1 , n2 ND 1 n1 nl1 D 1 n2 nl2 D такие что для любых сколь угодE
но малых 1 , 2 > 0 существуют (i , ui )D |i - 0 | < 1 D |ui | < 2 D i = 1, 2D такие что выполнено соотношениеX J Тогда
1

,2 ,3 ,

l 1

,l ,y1 ^
1

(1 , u1 ) = J

1

,2 ,3 ,

l 2

,l ,y2 ^
2

(2 , u2 ).

u1

-l

1

= u2

-l

2

,

u

- 1

l 1

(y1 + g ^

l1 ,n

1

)

1/

l 1

= u2

-

l 2

(y2 + g ^

l2

,n2

)

1/l

2

.

39


Отсюда

u2 l1

l 2

-l
2

l 1

=

(y2 +gl ^

2

,n2

)

/ l1 l2 ,n1

y1 +gl ^

D аD значитD u2

l
1

l 2

-l
2

l 1

ограниE

l1

1

чено и отделено от нуля @при сколь угодно малых u2 AD следовательно

l2 -

l2 l1 = 0D откуда векторы (l1 , l1 ) и (l2 , l2 ) пропорциональныD а поE
тому совпадаютD противоречиеF
Случай 2.

Пусть l1 = 0 и



l2

= 0 @заметимD что одновременно равенства

нулю li = 0D i = 1, 2D невозможныD в силу условия l1 = l2 AF ДопустимD что существуют y1 , y2 C \ {0}D n1 , n2 ND 1 n1 nl1 D 1 n2 nl2 D такие что ^^ для любых сколь угодно малых 1 , 2 > 0 существуют (i , ui )D |i - 0 | < 1 D

|ui | < 2 D i = 1, 2D такие что выполнено соотношениеX J J
1

1

,2 ,3 ,

,2 ,3 ,0,1,y2 ^

(2 , u2 ). Тогда u1

-l

1

= (y2 + g ^

l2 ,n

2

)

1/

l 2

F Отсюда

,l ,y1 (1 , u1 ) = ^ 1 -l u1 1 ограничено
l 1

и отделено от нуля @при сколь угодно малых u1 AD что невозможно в силу условия

l1

> 0D противоречиеF
l

ДалееD рассмотрим сторону l F Пусть

= 0F ДопустимD что существуE

ют y1 , y2 C \ {0}D y1 = y2 D n1 , n2 ND 1 n1 < n2 nl1 D такие что ^^ ^ ^ для любых сколь угодно малых 1 , 2 > 0 существуют (i , ui )D |i - 0 | < 1 D

|ui | < 2 D i = 1, 2D такие что выполнено соотношениеX J J
1

1

,2 ,3 ,l ,l ,y1 ^

(1 , u1 ) =

,2 ,3 ,l ,l ,y2 ^

(2 , u2 ). Тогда y1 - y2 = g ^ ^

l ,n

2

(2 , u2 ) - g

l

,n1

(1 , u1 )D что невозE

можноD в силу тогоD что y1 = y2 и g ^ ^ функцияD причем g
l
,n

l ,n

( , u) " ограниченная голоморфная

( , 0) = 0D противоречиеF Аналогично рассматривается

случайD когда l = 0F Шаг SF ДокажемD что при 0 < 1 < |a
0,0

- 0 |/2 множество
2 D0 ,1

f

-1

2 (D0 ,1 ) \ l ,n

J

1

,2 ,3 ,l ,l ,yn ^

Ч (D

2 0,2

\ {0}) Ч (D
2 0,2

ограничено в C2 F Обозначим X :=
l ,n

J
40

1

,2 ,3 ,l ,l ,yn ^

2 (D0

,1

\ {0}))F


Осталось показатьD что f

-1

2 (D0 ,1 )\X ограниченоF Допустим противноеD тогда -1 2 (D0 ,1 ) \ X D j ND такая что

существует последовательность (zj , wj ) f

либо zj D либо wj F Тогда |zj | = ej , |wj | = ej D где j , j R и

max{j , j } +F Возможны два случаяF
Случай 1.

ДопустимD что для любой стороны l многоугольника Ньютона

последовательность (j , j ) отделена с точностью до пропорциональности от вектора нормали (l , l )F Тогда |f (zj , wj ) - j | = eu0 при j D где j := f (zj , wj )D a ~
u,v j +v0
j

(|a ~

u0 ,v

0

| + o(1))
0,0

:= a

u,v

при (u, v ) = (0, 0)D a ~

0,0

:= a

- j D

u0 , v0 Z " координаты вершины многоугольника НьютонаD на которой знаE
чение выражения j u0 + j v0 наибольшее @такая вершина в рассматриваемом случаеD без ограничения общностиD не зависит от j при достаточно большом

j AF Левая часть полученного равенства равна нулюD а правая отлична от нуляD
противоречиеF
Случай 2.

Таким образомD последовательность (j , j ) с точностью до проE

порциональности стремится к вектору внешней нормали (l , l ) некоторой стороны l многоугольника НьютонаF Возможны два подслучаяF
Подслучай 2а.

ДопустимD что (l , l ) = (-1, 0)F Тогда |zj | = e-

t

j

0D

|wj | = eo et
j

(tj )

pq +D где tj + при j D и для любого монома |zj wj | =

(-p+o(1))

D p, q ZF Отсюда следуетD что 0 = f (zj , wj )-j = o(1)+f (0, wj )-j D

где j := f (zj , wj )D поэтомуD ввиду тогоD что |wj | D имеем f (0, w) constD то есть f (z , w) - = z L(z , w) для некоторых константы C и многочлена

L = L(z , w)D противоречие ввиду условий @iA и dim Pf
Подслучай 2б.

-

0

= 2F

Таким образомD



l

0 и l 0F НапомнимD что цеE

лочисленные точки стороны l имеют координаты (u0 - nl , v0 + nl )D

41


n = 0, 1, . . . , nl D где (u0 , v0 ) " начальная вершина стороны l f
той ломаной f

-

0

по

отношению к положительной ориентации @против часовой стрелкиA замкнуE
-
0

CF Пусть для определенности l = 0 @тогда l > 0D

l 0 и |zj | AD рассмотрим @l EзначноеA отображение hl : (x, y ) (z , w) = (x
области (C \ {0}) Ч C в себяF Тогда zj = x
l

, xl y

1/

l

)
1/l j

l j

D wj = xj l y




для некоторых

xj , yj CF Имеем xj D |yj | = |xj |o(1) D откуда |f (zj , wj ) - fl (zj , wj ) - j | = O(|xj |u0
n l +v0 l -1/2

),
nl

fl (zj , wj ) =

u0 +v0 xj l

l

l

a
n=0

un ,v

n

y

vn / j

l

=

u0 +v0 xj l

l

y

v0 / j

l

a
n=0

n un ,vn yj

,

где un := u0 - nl D vn := v0 + nl F Поэтому
n

0 = f (zj , wj ) - j = x

u0 l +v0 j

l

O(|xj |

-1/2

)+y

v0 / j

l

l

a
n=0

un ,v

n

y

n j

при j F Отсюда получаемD что последовательность yj C может стреE миться только к бесконечности @при v0 < 0D vn
l

< 0AD к нулю @при v0 > 0D
un ,v
n

vnl > 0A и к корням многочлена Pl (y ) :=
а потому v0 0 и vn

nl n=0

a

y n F Первое невозможноD

так как f (z , w) является обычным многочленом @а не многочленом ЛоранаAD
l

0F Второе тоже невозможноD так как в противном

случае выполнялось бы |xj | и |yj | = |xj |-j 0 для некоторого j 0D откуда j > 0 @начиная с некоторого j AD и |xj |-1
/2

= |yj |1/

(2j )

= o(|yj |v

0

/l

)D

что приводит к противоречиюF Поэтому последовательность yj C ограниE чена и может иметь своими предельными точками только корни многочлена

Pl (y )F
42


Без ограничения общности будем считатьD что limj

yj

= yn =: y C и ^ ^

Pl (y ) = (y - y )Q(y )D где Q " многочлен степени nl - 1D тогда y = 0 в силу ^ ^
условия невырожденностиF Определим переменные (u, g ) = hl ,y (x, y ) := (x-1 , y - y )D тогда в этих пеE ^ ^ ременных в окрестности начала координат отношение (f hl - )/xu0
l +v0
l

является голоморфной функцией F ( , u, g )D совпадающей с введенной на шаE ге IF Так как (uj , gj ) (0, 0) @в силу xj и yj y по доказанному вышеAD ^

|j - 0 | < 1 и F (j , uj , gj ) = 0D то в силу шага I имеем gj = gl ,n (j , uj )D наE
чиная с некоторого j D где j := f (zj , wj ) и gl ,n ( , u) " функция из шага IF Отсюда и из шага P имеем

(zj , wj ) = hl h-l1y (uj , gj ) = (uj ,^ = I2
,3 ,l ,l ,y ^

-l

, uj

-

l

(y + gj )1/l ) ^ (j , uj ).

(uj , gj ) = J

1

,2 ,3 ,l ,l ,y ^

Отсюда (zj , wj ) X D начиная с некоторого j D противоречиеF
Следствие 1.3.4

@Условие компактности пополненных слоевD типы особенноE
Пусть

стей поля sgrad C f |T A. @iA

f (z , w) - 0

невырожденный многочлен от-

носительно своего многоугольника Ньютона вию , причем

P

f -0 , удовлетворяющий усло-

dim Pf

-0

=2 R
2

, где

dim Pf

-0 размерность минимального

линейного пространства в такое, что для любого (А) многочлен

, содержащего

Pf

-0 . Тогда существует

>0

C, | - 0 | ,

выполнено:

f (z , w) - dim Pf
- ,

невырожден относительно своего много-

угольника Ньютона (Б) при



неособое значение, пополнение

dim Pf

-

= 2; ( )
относи-

ng := B + (Pf - ) 1 g

T

слоя

T = f

-1

тельно метрики пополнения

является компактной связной поверхно-

стью с плоской метрикой и коническими особенностями; эта поверхность

43


гомеоморфна слою ручками, причем мых

T = f

-1

( ) @смF следствие IFQFPA,

гомеоморфна сфере с

ng

|T \ T | = nч

, и в точках множества

T \ T

, называе-

бесконечно удаленными
пополнение

, метрика имеет конические особенности; при

ng = 0 g

T

любого слоя

T

относительно метрики пополнения

совпадает с самим слоем

T

и изометрично евклидовой плоскости или

плоскому цилиндру; (В) различным сторонам многоугольника Ньютона соответствуют различные бесконечно удаленные точки на

T

; количество различных беско-

нечно удаленных точек, отвечающих одной и той же стороне многоугольника Ньютона, равно

n

l

; при

ng 1

(соответственно


ng = 0

) в каж-

дой из этих точек векторное поле порядка

sgrad C f |T

имеет особенность полюс

(1 - u0 )l + (1 - v0 )l + 1 0
); при

(соответственно ноль порядка плоская метрика на попол-

(u0 - 1)l + (v0 - 1)l - 1 > 0
ненном слое

ng 1

T

имеет в каждой бесконечно удаленной точке коническую

особенность с полным углом Доказательство.

2 ((1 - u0 )l + (1 - v0 )l + 2)

.

Пункт @АA следует из теоремы T и того фактаD что в сиE

лу условия @iA многоугольник Ньютона многочлена f (z , w) - 0 совпадает с многоугольником Ньютона многочлена f (z , w) - F Пункт @БA следует из следствия IFPFQD теоремы U и следствия IFQFPF Пункт @ВA следует из теоремы U и следствия IFQFPF

1.4

Примеры
Пусть f (z , w) = z 3 + w3 D тогда особое значение одно и равно

Пример 1.4.1.

0F Для любого C \ {0} неособый слой T T2 \ {p ,1 , p ,2 , p ,3 } " тор без
44


трех бесконечно удаленных точекF В каждой бесконечно удаленной точке p ,i D

i = 1, 2, 3D векторное поле sgrad C f имеет устранимую особенностьF ДействиE
тельноD критическая точка равна (0, 0)D особое значение равно 0D множество неособых значений совпадает с C \ {0}F Многоугольник Ньютона для мноE гочлена f (z , w) - = z 3 + w3 - D C \ {0}D является треугольником с вершинами в точках A1 (3, 0)D A2 (0, 3)D A3 (0, 0)D смF рисF IFQF ПроверимD что многочлен f (z , w) - D C \ {0}D является невырожденным относительно своего многоугольника НьютонаF Обозначим сторону A2 A3 многоугольника Ньютона через 1 D сторону A1 A3 через 2 D сторону A1 A2 через 3 F МногоE членD отвечающий граням 1 и 2 D равен P1 (y ) = P2 (y ) = y 3 - и не имеет кратных корнейF МногочленD отвечающий стороне 3 D равен P3 (y ) = y 3 + 1 и не имеет кратных корнейF Отсюда следуетD что условия теоремы II выE полненыF Количество целочисленных точек строго внутри многоугольника Ньютона равно ng = 1D количество целочисленных точек на стороне 3 равно PD поэтому nч = 3F По теореме II слой T имеет требуемые свойстваF

Рис. 1.3: Многоугольник Ньютона многочле- Рис. 1.4: Многоугольник Ньютона многочлена f (z , w) = z 3 + w3 - на f (z , w) = z p + wq -

Пример 1.4.2.

Пусть f (z , w) = z p + wq D p, q ND тогда особое значение одно
45


и равно 0F Для любого C \ {0} неособый слой T гомеоморфен сфере с ((p - 1)(q - 1) - (gcd(p, q ) - 1)) /2 ручками и без gcd(p, q ) бесконечно удаE ленных точекF В каждой бесконечно удаленной точке p ,i D i = 1, . . . , gcd(p, q )D векторное поле sgrad C f имеет особенность полюс порядка
(p-1)(q -1)-1 gcd(p,q )

- 1F

ДействительноD критическая точка равна (0, 0)D особое значение равно 0D мноE жество неособых значений совпадает с C \ {0}F Многоугольник Ньютона для многочлена f (z , w) - = z p + wq - D C \ {0}D является треугольником с вершинами в точках A1 (p, 0)D A2 (0, q )D A3 (0, 0)D смF рис IFRF ПроверимD что многочлен f (z , w) - D C \ {0}D является невырожденным относительно своего многоугольника НьютонаF Обозначим сторону A2 A3 многоугольника Ньютона через 1 D сторону A1 A3 через 2 D сторону A1 A2 через 3 F МногочленD отвечающий стороне 1 D равен P1 (y ) = y p - и не имеет кратных корнейF МногочленD отвечающий стороне 2 D равен P2 (y ) = y q - и не имеет кратных корнейF МногочленD отвечающий стороне 3 D равен P3 (y ) = y
gcd(p,q )

+ 1 и не

имеет кратных корнейF Отсюда следуетD что условия теоремы II выполненыF Количество целочисленных точек строго внутри многоугольника Ньютона равно ng = ((p - 1)(q - 1) - (gcd(p, q ) - 1))/2D количество целочисленных тоE чек на стороне 3 равно gcd(p, q ) - 1D поэтому nч = gcd(p, q )F По теореме II слой T имеет требуемые свойстваF
Пример 1.4.3.

Пусть f (z , w) = z 2 + Pn (w)D где Pn (w) " многочлен одной
n k =0

переменной степени nD Pn (w) =

ak wk D a0 . . . , an CD an = 0D тогда осоE

0 0 бые значения равны i = Pn (wi )D где wi " корень уравнения Pn (w) = 0D - i = 1, . . . , n - 1F Для любого C \ {i }n=11 неособый слой T гомеоморфен i

сфере с [(n - 1)/2] ручками и без (3 + (-1)n ) /2 бесконечно удаленных точекF
46


В каждой бесконечно удаленной точке p ,i D i = 1, . . . , (3 + (-1)n ) /2D векторE ное поле sgrad C f имеет особенность полюс порядка
(n-2) gcd(n,2)

- 1F ДействительE

0 0 ноD критическая точка равна (0, wi )D где wi " корень уравнения Pn (w) = 0D 0 0 i = 1, . . . , n - 1D отсюда особые значения равны i = f (0, wi ) = Pn (wi )D мноE - жество неособых значений совпадает с C \ {i }n=11 F Многоугольник Ньютона i - для многочлена f (z , w) - = z 2 + Pn (w) - D C \ {i }n=11 D является треE i

угольником с вершинами в точках A1 (2, 0)D A2 (0, n)D A3 (0, 0)D если a0 - = 0D смF рис IFSD и треугольником с вершинами в точках A1 (2, 0)D A2 (0, n)D A3 (0, 1)D если a0 - = 0D причем в этом случае a1 = 0D так как " неособое значениеD
- смF рисF IFTF ПроверимD что многочлен f (z , w) - D C \ {i }n=11 D являетE i

ся невырожденным относительно своего многоугольника НьютонаF ОбознаE чим сторону A2 A3 многоугольника Ньютона через 1 D сторону A1 A3 через

2 D сторону A1 A2 через 3 F МногочленD отвечающий стороне 1 D равен либо P1 (y ) = y 2 +a0 - D если a0 - = 0D либо P1 (y ) = y 2 +a1 D если a0 - = 0F В силе
тогоD что " неособое значениеD a0 - = 0 и a1 = 0 не могут выполняться одE новременноD поэтому P

1

не имеет кратных корнейF МногочленD отвечающий

стороне 2 D равен P2 (y ) = Pn (y ) - и не имеет кратных корнейF МногоE членD отвечающий стороне 3 D равен P3 (y ) = y 2 + an и не имеет кратных корнейF Отсюда следуетD что условия теоремы II выполненыF Количество цеE лочисленных точек строго внутри многоугольника Ньютона ng = [(n - 1)/2]D количество целочисленных точек на стороне 3 равно (1 + (-1)n ) /2D поэтому

nч = (3 + (-1)n ) /2F По теореме II слой T имеет требуемые свойстваF

47


Рис. 1.5: Многоугольник Ньютона многочле- Рис. 1.6: Многоугольник Ньютона многочлена f (z , w) = z 2 + Pn (w) - при = a
0

на f (z , w) = z 2 + Pn (w) - при = a

0

48


Глава 2

Гамильтонова классификация систем с эллиптическим гамильтонианом степени 1,2,3,4

2.1

Основные понятия и утверждения
называется тройка (M 2n , , H )D

Определение 2.1.1. Гамильтоновой системой

где M

2n 2n

" гладкое многообразиеD " симплектическая структура на M 2n D

H:M

R " гладкая вещественнозначная функцияD называемая гамильE
интегрируемойD

тонианомF Система называется гладких функций f1 , . . . , fn : M такой что выполнены условияX

если существует набор из n
первыми интеграламиD

2n

RD называемых

IA набор f1 , . . . , fn функционально независим на M 2n D то есть df1 , . . . , df

n

линейно независимы в каждой точке всюду плотного подмножества в M 2n D и

f1 = H Y
PA при любых i, j = 1, . . . , n fi и fj находятся в инволюции относительно симплектической структуры D то есть {fi , fj } =
49
k l fi fj xk xl

= 0 в локальных


координатах x1 , . . . , xn F
Определение 2.1.2.

Векторным полем

косой градиент

функции f : M
2n

2n



R называется поле sgrad f D такое что для любой функции g : M
векторное поле sgrad f имеет вид (sgrad f )i =
ij f xj

R выполE
n

нено соотношение {f , g } = sgrad g (f )F В локальных координатах x1 , . . . , x F

С каждой гамильтоновой системой связано уравнение ГамильтонаF
Определение 2.1.3. Уравнением Гамильтона

гамильтоновой системы (M 2n , , H )

называется дифференциальное уравнение x(t) = sgrad H |x(t) D где t I " паE раметр в некотором интервале I RF Если гамильтонова система является интегрируемой и все решения уравнения Гамильтона существуют глобальноD то есть допускают продолжение параметра t на RD то система называется
интегрируемой по Лиувиллю

или

вполне интегрируемойF

Описание невырожденных вполне интегрируемых гамильтоновых систем смF в UF
Определение 2.1.4. Слоем (или листом)

интегрируемой гамильтоновой сиE

стемы (M 2n , , H ) с первыми интегралами f1 , . . . , fn называется компонента связности подмножества T Слой T
1 1

,...,n

= {x M 2n |f1 (x) = 1 , . . . , fn (x) = n }F
D если в каждой его точке df1 , . . . , dfn лиE
2n

,...,n

называется

неособым

нейно независимыF Отображение : M зывается

Rn D : x (f1 (x), . . . , fn (x)) наE
f1 ,...,fn

отображением моментаF Бифуркационной диаграмой

R

n

называется множество критических значений отображения моментаF
Определение 2.1.5.

АналогичноD комплексная C

-гамильтонова система

(M 2n , C , f ) и

векторное поле

sgrad C f определяютсяD когда на M
50

2n

введена


комплексная структураD C " замкнутаяD невырожденная комплекснозначная дифференциальная PEформа на M дифференцируемая функцияF
Важный класс комплексных гамильтоновых систем.
2n

над CD f : M

2n

C " комплексно

Пусть M =

C2 (z , w)F Рассмотрим четырехмерное многообразие R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) и дифE
феоморфизм R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) C2 (z , w)D (x1 , y1 , x2 , y2 ) (x1 + iy1 , x2 + iy2 ) =

(z , w)F На R4 введем симплектическую структуру = dx1 dx2 - dy1 dy2 D
заметимD что = Re(dz dw)D также введем функцию H = Re(f (z , w)) :

R4 RD где f (z , w) " комплексный многочлен двух комплексных переменE
ныхF Согласно следующей леммеD гамильтонова система

(R4 , , H ) = (C2 (z , w), Re(dz dw), Re(f (z , w)))
имеет дополнительный первый интеграл F = Im(f (z , w))F
Лемма 2.1.6. Если многочлен

@PFIFIA

f (z , w)

отличен от константы на

C

2

, то

гамильтонова система (2.1.1) является интегрируемой с дополнительным первым интегралом Доказательство.

F = Im(f (z , w)),

причем

sgrad F = -i sgrad H

.

Рассмотрим функцию F : R4 RD где F = Im(f (z , w))F

ДокажемD что F является первым интегралом системы @PFIFIAF В координатах

x1 , y1 , x2 , y2 имеем sgrad H = (-Hx2 , Hy2 , Hx1 , -Hy1 )D sgrad F = (-Fx2 , Fy2 , Fx1 , -Fy1 )F
Поскольку f (z , w) = H + iF " многочленD имеют место условия КошиE РиманаX

51


Hx Hy H x H y

1

= Fy1 , = -Fx1 , = Fy2 , = -Fx2 .

1

2

2

Отсюда sgrad F = (Hy2 , Hx2 , -Hy1 , -Hx1 ) = -i sgrad H F Если H и F явE ляются функционально зависимыми на непустом открытом подмножестве

D R4 с коэффициентами пропорциональности , -ч RD зависящими от
точки на DD причем = 0D то Hx1 = - ч F на DD откуда
f (z ,w) z x1

= ч Hy1 = -( ч )2 F
f (z ,w) w

y1

= -( ч )2 Hx

1

= 0 на DF Аналогично

= 0 на DF ЗначитD f (z , w)

постоянна на DD противоречиеF Осталось доказатьD что функции H и F находятся в инволюции относиE тельно F Скобка Пуассона {H, F } равна {H, F } = Hx2 Fx1 - Hx1 Fx2 - Hy2 Fy1 +

Hy1 Fy2 = -Hx2 Hy1 + Hx1 Hy2 - Hy2 Hx1 + Hy1 Hx2 = 0F
Лемма 2.1.7. Векторное поле
комплекснозначной функции лектической структуры

sgrad H

совпадает с косым градиентом

sgrad C f

f (z , w)

относительно комплекснозначной симна



C

= dz dw

C2 (z , w),

то есть

sgrad H =

sgrad C f

(см. определение

PFIFSAF

Доказательство.

Так как sgrad H = (-Hx2 , Hy2 , Hx1 , -Hy1 ) = (-Hx2 , -Fx2 , Hx1 , Fx1 )D

то в переменных z , w выполнено sgrad H = (-fw , fz ) = sgrad C f F По лемме PFIFU уравнения Гамильтона систем (R4 , , H ) = (C2 , Re(C ), Re f ) и (C2 , C , f ) совпадаютF Далее будем рассматривать только CEгамильтоновы системыF Леммы PFIFT и PFIFU приводят к следующим определениямF

52


Определение 2.1.8.

Две CEгамильтоновы системы (M1 , C,1 , f1 ) и (M2 , C,2 , f2 ) если существует комплексно дифE

назовем

гамильтоново эквивалентнымиD

ференцируемое отображение h : M1 M2 такоеD чтоX IA отображение h является диффеоморфизмом гладких многообразийY PA выполнено соотношение QA f1 = f2 h + constF
Определение 2.1.9.
C,1

= h (

C, 2

)Y

Две динамические системы (Ta , (sgrad C f )|Ta ) и (Tb , (sgrad C f )|T
со-

b

на неособых слоях Ta и Tb D a, b CD CEгамильтоновой системы называют
пряженными

D если существует комплексно дифференцируемое отображение

h : Ta Tb такоеD чтоX
IA отображение h является диффеоморфизмом гладких многообразийY PA выполнено соотношение h ((sgrad C f )|Ta ) = (sgrad C f )|Tb Y и
почти сопряженнымиD

еслиX

P9A выполнено соотношение h ((sgrad C f )|Ta ) = (sgrad C f )|Tb D CF
Определение 2.1.10.

Пусть dimC M 4 = 2F

Метрикой пополнения

слоя T CE

гамильтоновой системы (M 4 , C , f ) назовем риманову метрику g = Sym(

)D где

1-форма

над C определена на слое с проколами T \ C соотноE


шением (sgrad C f |T

\C

) = 1D где C M 4 " множество критических точек
функция расстояния

функции f F На слое T определена

: T Ч T R+ D

где для любых x, y T D (x, y ) " точная нижняя грань длин всех кривыхD лежащих в T и соединяющих точки x, y , в смысле метрики g D R+ = {r R |

r 0} {}F Если x C и x = y D то будем полагать (x, y ) = (y , x) = F
Лемма 2.1.11. Для любого комплексного многочлена

Pn : C C

степени

nN

и любого комплексного числа

C
53

существует вещественное число


R>0

такое, что на множестве
n

V

R

:= C \ D

2 R многозначная функция

g = g (w) :=

Pn (w) -

, имеет однозначную ветвь

g0 : V R C

, которая

является гомеоморфизмом на образ, где радиуса

2 DR

открытый двумерный диск

R = R( ),

причем

R

непрерывно зависит от



.

Доказательство.

Пусть Pn (w) = an wn + an-1 w

n -1

+ . . . + a1 w + a0 F Положим

u = u(x, ) :=

1 an

a

n -1

x+a

n -2

x2 + . . . + a1 xn

-1

+ (a0 - )xn D x CF Так
D |x| <

как u(0, ) = 0 и функция u(x, ) непрерывнаD существует 0 = 0 ( ) > 0 такоеD что |u(x, )| < 1 при |x| < 0 F Положим y (x) :=
n

0 D где число
u2 2!

n

x an (1+u(x, ))

1/n

an отвечает некоторой @произвольнойA ветви функции
u3 3!

n

D

1 а функция (1 + u)1/n определяется как сумма сходящегося ряда 1 + n u + 11 n(n

- 1)

11 1 + n ( n - 1)( n - 2)

+ . . . при |u| < 1F По построению функция
1 na n

y = y (x) является аналитической в круге |x| < 0 F Так как y (0) =

=

0D существует = ( ) 0 ( ) такоеD что отображение x y (x)D |x| < D является гомеоморфизмом на образF Нетрудно показатьD что числа 0 ,
могут быть выбраны непрерывно зависящими от F Положим R = R( ) := 1 D

g0 (w) :=

1 y (1/w)

1 = w n an (1 + u( w , ))1/n D |w| > RD тогда (g0 (w))n = Pn (w) - D то

есть функция g0 = g0 (w) является ветвью функции g = g (w)F По доказанному функция g0 является гомеоморфизмом области |w| > R на образF
Определение 2.1.12.

Комплексный полиномиальный гамильтониан вида

f (z , w) = z 2 + Pn (w) будем также называть гиперэллиптическим гамильE
тонианом степени n @имеется в виду степень по wAF

54


2.2

Гиперэллиптический гамильтониан степени один
C
-гамильтоновой системой с гиперэллиптическим га-

Определение 2.2.1.

мильтонианом степени один

называется тройка (C2 , C , f )D где C2 = C2 (z , w)D

f (z , w) = az 2 + bw + cD a, b, c CD ab = 0 и C = dz dwY обозначим эту гаE
мильтонову систему через H1 (a, b, c)F
Теорема 12

@Комплексные канонические координатыA

. Каждая система

H1 (a, b, c)

гамильтоново эквивалентна канонической линейной

C

-гамиль-

тоновой системе

(C2 (p, q ), dp dq , f0 (p, q ) = p). h
из

Более того, имеется

C

-

симплектоморфизм

(C2 , C )

в себя, задаваемый формулами

(z , w)

(f (z , w), - z ) = (az 2 + bw + c, - z ) =: (p, q ), b b
плексных координатах имеют вид тона

такой что в канонических ком-

p, q

функция Гамильтона и уравнения Гамильтона В частности, функция Гамиль-

f h-1 (p, q ) = p, p = 0, q = 1.

f0 = f h-1 : C2 C

сюръективна и не имеет критических точек.

Доказательство.

Отображение h является CEсимплектоморфизмомD поскольE

ку h взаимно однозначноF Имеем h (dp dq ) = (2az dz + b dw) (- 1 dz ) = b

dz dw = C D h p = p h = f F
Следствие 2.2.2. Все

C

-гамильтоновы системы

H1 (a, b, c) C

являются га-

мильтоново эквивалентными друг другу. Все слои стемы

-гамильтоновой си-

H1 (a, b, c)

являются неособыми,

C

-диффеоморфными

C

, а ограниче-

ния на них системы являются сопряженными друг другу. Векторные поля

sgrad H = sgrad C f

и

sgrad F = -i sgrad C f

полны. Для любого слоя

T

су-

ществует комплексный диффеоморфизм кость, такой что

f : T C

на комплексную плос координатное

(sgrad C f )|T =

d d df , где df

Vect(T )

55


векторное поле на слое

T

, отвечающее координатному диффеоморфизму

f

, то есть диффеоморфизм

f

выпрямляет интегральные траектории на

T

, изображенные на рис. 2.1.

Рис. 2.1: Интегральные траектории системы H1 (a, b, c)

Следствие 2.2.3.

C

-гамильтонова система с гиперэллиптическим гамиль-

тонианом степени один является вполне интегрируемой по Лиувиллю.

ОтметимD что антиканоническая инволюция (z , w) (-z , w) сохраняет гамильтониан f D на каждом слое имеет одну неподвижную точкуD а в комE плексных координатах p, q из теоремы IP имеет вид (p, q ) (p, -q )F

2.3

Гиперэллиптический гамильтониан степени два
C
-гамильтоновой системой с гиперэллиптическим га-

Определение 2.3.1.

мильтонианом степени два

называется тройка (C2 , C , f )D где C = dz dwD

C2 = C2 (z , w) и f (z , w) = az 2 + bw2 + cw + dD a, b, c, d CD ab = 0Y обозначим
эту CEгамильтонову систему через H2 (a, b, c, d)F
Теорема 13. Две

C

-гамильтоновы системы

H2 (a1 , b1 , c1 , d1 )

и

H2 (a2 , b2 , c2 , d2 )
.

гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда

a1 b1 = a2 b2

56


Доказательство.

Пусть a1 b1 = a2 b2 D определим отображение h : C2 (z1 , w1 )
a1 a2 z1

C (z2 , w2 ) формулами z2 =
2 (c1 -c
2 1 b1 2 b2 )

D w2 =
b1 b2 2

b b

1 2

(w1 +

c1 -c2 2b1

b1 b2

)F Тогда h " гамильE
c2 -c2 1 2 4b1
b1 b2

2 2 тонова эквивалентностьF ДействительноD f2 (z2 , w2 ) = a2 z2 + b2 w2 + c2 w2 + d2 =

a

2 1 z1

+ b1 w + c1 w1 +
C,2

2 1

4b

+

c2 (c1 -c2 2 b1 b b b
1 2

)

+ d2 = f1 (z1 , w1 ) + d2 - d1 +
C,1

D

h (

) = dz2 dw2 =

a1 a2

dz1 dw1 =

в силу a1 b1 = a2 b2 @для

согласованных выборов ветвей обеих функций кореньAF ОбратноD пусть h " гамильтонова эквивалентность между H2 (a1 , 1, 0, 0) и

H2 (a2 , 1, 0, 0)D 1 =
h

j,

= {(z , - -aj z ) | z C}D где = +1D j = 1, 2F Тогда
-1 j

2 D где j " IEформа над C на особом слое f

(0) = j

,+



j,-

без особой точки (0, 0)D двойственная векторному полю sgrad C fj D " замкнуE тый путь (t) = (e2it ,

-a1 e2it )D t [0, 1]F Так как f
j,-

-1 j

(0) =

j,+



j,-

D где

j

,+



j,-

Cи

j,+

= {(0, 0)} и кривая простая и нестягиваемая

- (0) \ {(0, 0)}D то h гомологична в f2 1 (0) \ {(0, 0)} одной из кривых + (t) = (e2it , + a2 e2it )D или полученных из них сменой ориентацииF Отсюда

вf

-1 1

и из j =

1 2aj z

dw|fj-1

(0)\{(0,0)}

имеем


1 = -

i -a1

=+

+

2 = +

i -a2

D откуда

a1 = a2 F
Следствие 2.3.2.

C

-гамильтонова система

H2 (a1 , b1 , c1 , d1 )

с гиперэллип-

тическим гамильтонианом степени два гамильтоново эквивалентна канонической линейной системе

H2 (a, 1, 0, 0),

для

a = a1 b1 C \ {0}. T
d-
c2 4b

Лемма 2.3.3. Существует ровно один особый слой

. Он является объ-

единением двух трансверсальных комплексных прямых

{z = i

b a

(w + 2cb )}

и

{z = -i

b a

(w +

c 2b

)}

.

Доказательство.

Сначала докажем лемму для CEгамильтоновых систем H2 (a, 1, 0, 0)F

Векторное поле sgrad C f = (-2w, 2az )D откуда равенство sgrad C f = 0 равноE
57


сильно z = w = 0F Поэтому особый слой " это T0 = f пересечение двух комплексных прямых {z = +
w a

-1

(0)D трансверсальное

}F

Для произвольной CEгамильтоновой системы H2 (a, b, c, d) доказательство получается применением гамильтоновой эквивалентности из доказательства теоремы IQF
Теорема 14

@Комплексные координаты действиеEугол вне особого слояA.

Векторные поля

sgrad H = sgrad C f V := Td-
c2 4b

и

sgrad F = -i sgrad C f H2 (a, b, c, d)

полны. На до-

полнении к особому слою

система

гамильтоново эк-

вивалентна канонической линейной

C

-гамильтоновой системе

((C \ {0}) Ч

(C/2 Z)(p, q mod 2 ), dp dq , f0 (p, q mod 2 ) = 2 abp).
ся

Более того, имеет-

C

-симплектоморфизм

h : (C2 \ V , C ) ((C \ {0}) Ч (C/2 Z), dp dq ),
c2 4b

задаваемый каноническими комплексными координатами

(p, q mod 2 ) :=
Доказательство.

f (z , w) - (d - 2 ab

)

, -i ln



c az + i b(w + ) mod 2 . 2b

Сначала докажем теорему для CEгамильтоновых систем

H2 (a, 1, 0, 0)F Рассмотрим уравнения Гамильтона на некотором неособом слое T D = 0X z = -2w, w = 2az .
Решение имеет вид (z (t), w(t)) = (C e
2 -at

+De

-2 -at

2 , - -aC e

-at

+ -aDe

-2 -at

)D

где C, D C " константыD заданные начальной точкой траекторииD 4aC D =

F Поскольку решение определено данной формулой при любом t CD то
векторные поля sgrad C f и -i sgrad C f полныF ПокажемD что h " вложениеF Пусть h(z , w) = (p, q mod 2 )F Выразим (z , w) через (p, q mod 2 )X z =
eiq +2 ape- 2a
iq

иw=
58

eiq -2 ape- 2i

iq

F


Отображение h сюръективноD так как для любых p = 0 и q mod 2 суE ществует решение (z , w) уравнения h(z , w) = (p, q mod 2 )D выражающееся через (p, q mod 2 ) по вышеприведенным формуламF Симплектическая структура (h-1 ) (C ) = (h-1 ) (dz dw) =

2 ape-iq ) d(eiq - 2 ape 2 ap h = f F

-iq

d(eiq + ) = dp dq F Функция Гамильтона h (2 ap) =

1 4 ai

Для произвольной CEгамильтоновой системы H2 (a, b, c, d) доказательство получается применением гамильтоновой эквивалентности из доказательства теоремы IQF
Следствие 2.3.4. В канонических комплексных координатах

p, q mod 2

на

дополнении к особому слою функция Гамильтона и уравнения Гамильтона имеют вид

f (p, q mod 2 ) = 2 abp, p = 0, q = 2 ab H2 = (a, b, c, d)

. Ограничения

C

-

гамильтоновой системы

на любые неособые слои сопряже-

ны друг другу, и для любого неособого слоя диффеоморфизм

T

существует комплексный что по-

(sgrad C f )|T
ле на слое



f = f mod 2 : T C/2 Z на цилиндр, такой d d = 2 ab df , где df Vect(T ) координатное векторное
, отвечающее координатному диффеоморфизму

T

f mod 2

, то

есть диффеоморфизм

f mod 2

выпрямляет интегральные траектории на

T

.

На рисF PFP изображены неособый слой и интегральные траектории систеE мы H2 (a, b, c, d) на вложении слоя в R3 и соответствующей развертке в R2 F
Замечание 2.3.5.

@АA Доказательство теоремы IR показываетD что канониE

ческие координаты p, q mod 2 продолжаются до канонических координат на дополнении к прямой + = {z = -i
a b

(w +

c 2b

)} Td- c2 D задающих гамильE
4b

59


Рис. 2.2: Интегральные траектории системы H2 (a, b, c, d)

тонову эквивалентность h- : (C2 \ + , C , f ) (C Ч (C/2 Z), dp dq , 2 abp)F Аналогично определим гамильтонову эквивалентность h+ : (C2 \ - , C , f )



(C Ч (C/2 Z), dp dq , 2 abp) формулами ^ (p, q mod 2 ) := ^ f (z , w) - (d - 2 ab
-1 - c2 4b

)

, i ln



az - i b(w +



c ) mod 2 . 2b

Функция перехода h+ h

: (C \ {0}) Ч (C/2 Z) (C \ {0}) Ч (C/2 Z) имеет вид (p, q mod 2 ) (p, q mod 2 ) = (p, q + i ln(2 abp) mod 2 ) и задает ^

послойный автоморфизм тривиального расслоения (C \ {0}) Ч (C/2 Z)

C \ {0}D который послойно не гомотопен тождественному автоморфизмуF ПоE
этому h- |C
2

\V

и h+ |C

2

\V

определяют топологически различные тривиализаE

ции лагранжева слоения в C2 \ V (C \ {0}) Ч (C/2 Z) с базой C \ {0}F
60


@БA В случае a = b = 1/2D c = d = 0 гиперплоскость 3 := C(RЧR) CЧC инвариантна и является объединением исчезающих циклов @смF замечаE ние QFPFPA и особой точки (0, 0)F Здесь исчезающий цикл на неособом слое

T " это образ периодической траектории (t) := ( re

i/2

cos t, re

i/2

sin t)D
0

t [0, 2 ]D где = rei D r > 0F Он называется исчезающимD так как (t)

(0, 0) равномерно по t [0, 2 ]F При гамильтоновой эквивалентности h+ исE
i чезающий цикл переходит в h+ ( (t)) = ( , t + 2 ln 2 mod 2 )D t [0, 2 ]F

Поэтому объединение 3 \ {(0, 0)} исчезающих циклов переходит в {(rei , +
i 2 r ln 2 mod 2 ) | r > 0, mod 2 , mod 2 S 1 } R Ч S 1 Ч S 1 F

2.4

Гиперэллиптический гамильтониан степени три
C
-гамильтоновой системой с гиперэллиптическим га-

Определение 2.4.1.

мильтонианом степени три

называется тройка (C2 , C , f )D где C2 = C2 (z , w)D

C = dz dw и f (z , w) = az 2 + bw3 + cw2 + dw + eD a, b, c, d, e CD ab = 0F
Обозначим эту систему через H3 (a, b, c, d, e)F Систему H3 (a, b, c, d, e) назоE вем
невырожденной

D если критическим точкам функции f соответствуют два

различных критических значения @это равносильно условию c2 = 3bdD то есть томуD что f " комплекснозначная функция МорсаD смF доказательство теореE мы ISAF
Теорема 15. Всякая невырожденная

C

-гамильтонова система

H3 (a, b, c, d, e) r, s

гамильтоново эквивалентна системе

H3 (r, s, s, 0, 0)

для некоторых

C, rs = 0. C r = 0, s = 0.
и

-гамильтонова система Две невырожденные

H3 (r, s, s, 0, 0)

невырождена при любых

C

-гамильтоновы системы

H3 (r1 , s1 , s1 , 0, 0)

H3 (r2 , s2 , s2 , 0, 0)

гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, ко-

61


гда

r1 = r2

и

s1 = +s2

.

Доказательство.

Пусть w0 " критическая точка функции bw3 + cw2 + dw + eD

тогда f (z , w) = az 2 + b(w - w0 )2 (w - ) + D где , CD = w0 F Определим отображение h : C2 C2 формулой h(z , w) = ((w0 - )z ,
w-w0 w 0 -

)F Отображение

h " искомая гамильтонова эквивалентностьF
Особые точки p1 и p2 векторного поля sgrad C f системы H3 (r, s, s, 0, 0)
2 таковыX p1 = (0, 0) и p2 = (0, - 3 )D откуда f (p1 ) = 0 и f (p2 ) = - 2 sF Выражение 9

f (p1 ) = f (p2 ) равносильно s = 0D чтоD согласно определению PFRFID выполненоF
Пусть между системами H3 (r1 , s1 , s1 , 0, 0) и H3 (r2 , s2 , s2 , 0, 0) задана гаE мильтонова эквивалентность hF ЗаметимD что либо h(p1,j ) = h(p2,j )D либо

h(p1,j ) = h(p

2,3-j

)D j = 1, 2D где pi,1 , pi,2 " особые точки векторных полей

sgrad C fi D i = 1, 2F Поэтому h сохраняет разность критических значенийX либо f1 (p1,1 ) - f1 (p1,2 ) = f2 (p2,1 ) - f2 (p2,2 )D либо f1 (p1,1 ) - f1 (p1,2 ) = f2 (p2,2 ) - f2 (p2,1 )D
соответственноF Так как p
i,1

= (0, 0)D p

i,2

2 = (0, - 3 )D то либо s

1

= s2 и

h(p1,j ) = p2,j D либо s1 = -s2 и h(p1,j ) = p

2,3-j

соответственноF
i,j

Для получения равенства r1 = r2 рассмотрим линейный оператор A

в Tpi,j C2 " оператор линеаризации векторного поля sgrad C fi = (-si (3w +

2)w, 2ri z )T в точке pi,j Y в координатах z , w он задается матрицей 0 2si 0 -2si , Ai,2 = , Ai,1 = 2ri 0 2ri 0
откуда det Ai,1 = 4ri si и det Ai,2 = -4ri si D i = 1, 2F Из доказанного выше следуетD что s1 = +s2 D причем при s1 = s2 имеем h(p1,j ) = p
2,j

и A2,j dh|p

1,j

=

dh|p

1,j

A1,j D откуда det A1,j = det A2,j D поэтому r1 = r2 F При s1 = -s2 имеем
2,3-j

h(p1,j ) = p

и A2

,3-j

dh|p1,j = dh|p

1,j

A1,j D откуда det A1,j = det A2

,3-j

D

62


поэтому r1 = r2 F
Теорема 16. Пусть
бого) слоя

T

пополнение произвольного (необязательно неосо-

T

системы

H3 (a, b, c, d, e)

относительно метрики пополнения

g

(точнее, относительно функции расстояния



, см. определение 2.1.10).

Тогда: 1) выполнено ленной; 2) если

T = T

{p },

где

p

точка, называемая бесконечно уда-

T

неособый слой, то существует гомеоморфизм

T T2

;

3) существует комплексная координата в окрестности бесконечно удаленной точки окрестности.

p T

в

T

, являющаяся

C

-дифференцируемой в проколотой

Доказательство использует две леммыD приведенные нижеF
Лемма 2.4.2. Для любого (не обязательно неособого) слоя
ствует такое покрытие пространства

T , C

, суще-

C

2

замкнутыми подмножествами , что

U ,i C2 ,


гомеоморфными

C Ч D C Ч C, i N i
выполнено

2

U ,i U
, где

,j при

i
,

U ,i = C

2

и для любого

T \U

,i

D2 \{}

D

2



i=1 открытый двумерный диск.
Доказательство.

Шаг IF Согласно лемме PFIFIID для любого C существуE
3

ет вещественное число r0 ( ) > 0 такоеD что определена ветвь

bw3 + cw2 + dw + e - :
2 r0

C\D

2 r0 ( )

CD являющаяся гомеоморфизмом на образD где D
2

Cw " заE

мкнутый двумерный шар радиуса r0 ( ) с центром в 0F Положим r0 := r0 ( )F

( az ,

Определим отображение h : Cz Ч (Cw \ Dr0 ) C2 формулой h (z , w) =
3

bw3 + cw2 + dw + e - )D где фиксирована одна из ветвей у
63



,

3

F


Тогда h определено корректно и является гомеоморфизмом на образD коорE динатами на образе являются

z= ~
Положим r0 := ~
3



az ,

w= ~

3

bw3 + cw2 + dw + e - .
,i

@PFRFIA

|w|r0 2 ri ( )

max |bw3 + cw2 + dw + e - |F ДокажемD что U

:= (C Ч

D

2 r0 ( )

)

h-1 (C Ч D

) " искомая последовательностьD где ri = ri ( ) = r0 + iF ~
2 z ,w ~~

Рассмотрим отображение Prz : C ~

CD где Prz (z , w) = z F ~ ~~ ~
2 3 ri ( ) 2 2 3 Dri ( ) 2 F

Шаг PF ДокажемD что Prz h (T \ U ,i ) = Cz \ D ~ ~ Покажем сначалаD что Prz h (T \ U ,i ) Cz \ ~ ~
3 2

D2 \ {0}F
Пусть z0 Prz ~ ~

h (T \ U ,i )D рассмотрим w0 такоеD что (z0 , w0 ) h (T \ U ,i )D откуда |w0 | > ~ ~~ ~ ri D а значитD |z0 | > ri F ~
ОбратноD пусть z0 Cz \ D 3 D тогда существует w0 такоеD что z0 + w0 = 0 ~ ~ ~2 ~ 3 ~ 2
ri 2

и |w0 | > ri F Все корни уравнения bw3 + cw2 + dw + e - = w0 различны и по ~ ~3 модулю больше r0 D откуда (z0 , w0 ) h (T \ U ,i ) и отображение Prz h |T ~~ ~ является неразветвленным трилистным накрытием с базой C \ D
3 3

\U

,i

2 ri2
3

D2 \{}F
3

Шаг QF ДокажемD что накрывающее пространство h (T \ U ,i ) связноF РасE смотрим поднятие (t) = (ri2 eit , ri2 e ~
2 it+ i 3

) замкнутого пути (t) = ri2 eit D

0 t 6D при накрытии Prz |h ~

(T \U,i )

F Тогда " простой замкнутый путьD ~

трилистно накрывающий простой замкнутый путь (t)D 0 t 2D откуда накрывающее пространство связноF
Лемма 2.4.3. Выполнено соотношение

(x, y ) = o(1)

, где

R , x, y

T \ (C Ч DR ).
Доказательство.

2

~~ ~ Пусть f (z , w) = z 2 + w3 D ~ ~~ + 2z ~
w ~

C

~ = dz dw и = 0D тогда ~ ~
0

~ sgrad C f = -3w ~

2 z ~

~ и 0 =

-3w2 dz +2z dw ~ ~ ~~ ~ 9w4 +4z 2 |T T ~ ~

F Поскольку z 2 + w3 = 0 ~ ~

64


~ на T0 D -3w2 dz + 2z dw = ~~ ~~
откуда g0 = ~
|dw|2 ~ 4|z |2 ~

9w4 dw ~~ 2z ~

+ 2z dw = ~~

9w4 +4z 2 ~ ~ 2z ~

~ ~ dw на T0 D значит 0 = ~
3/2 x

dw ~ 2z ~

D

=

|dw|2 ~ 4|w|3 ~

F

ДалееD пусть x0 и y0 такиеD что |x| = |x0 |D |y | = |y0 | и x0 = (iR

, Rx )D

y0 = (iR

3/2 y

, Ry ) для некоторых Rx > 0 и Ry > 0F Согласно доказательству

~ ~ леммы PFRFPD такие x0 D y0 f -1 (0) =: V существуютF Верно неравенство 0 (x, y ) 0 (x, x0 ) + 0 (x0 , y0 ) + 0 (y0 , y )F ~ ~ ~ ~ ~ Оценим 0 (x, x0 ) и 0 (y , y0 )F Рассмотрим двулистное накрытие p : V \(C Ч ~ ~ ~~ ~ ~ DR ) C \ DR D p(z , w) = wD откуда 0 (x, x0 )
гично 0 (y , y0 ) F ~ Ry |w|=Rx ~ 2 2



1 4R

3 x

|dw| = ~

R

x

F АналоE

Оценим 0 (x0 , y0 ) = | ~



1 min{Rx ,Ry }

+

Ry



Ry dw ~ Rx 4w ~ 8 F min{Rx ,Ry }

3

|

1 min{Rx ,Ry }

F Отсюда 0 (x, y ) ~

R

x

+

Согласно доказательству леммы PFRFPD шаг ID в C Ч (C \ D замена координат h (z , w) = (z , w) = ( az , ~~
2



2 r0 ( )

) существует

3

bw3 + cw2 + dw + e - )D откуE


~~~ да (f - ) h-1 = f = z 2 + w3 F Оценим X имеем (h |T
Так как A =

\h-1 (CЧDR )

2

~ ) 0 = A D
C

где функция A : T \ (C Ч DR ) C определена условием A



= h C F ~

a 3 b C \ {0}D R F

3bw2 +2cw+d 2= 3(bw3 +cw2 +dw+e- ) 3 2 то < |A| 0 F Осталось ~

a

A(1 + o(1)) при R D где A =
заметитьD что
1 min{Rx ,Ry } 1 = O( R ) при

Доказательство теоремы 16.

Пункт I является прямым следствием лемм PFRFP

и PFRFQF Докажем пункты P и QF Из лемм следуетD что любой слой T комE пактенF Рассмотрим отображение p : T CD где p(z , w) = w " разветвленE ное двулистное сохраняющее ориентацию накрытиеF Особыми значениями @то есть образами точекD в которых p не является локальным гомеоморфизмомA являются корни уравнения bw3 + cw2 + dw + e - = 0 и бесконечно удаленная
65


точкаF Согласно формуле РиманаEГурвицаD имеем (T ) = 2(C) - 4 = 0D откуда T гомеоморфно торуF Введем координату u на слое T в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки соотношением

z = iu-3 , ~ w = u-2 , ~
где u : T \ h-
1

@PFRFPA

CЧD

2 r0 ( ) ~

D
-1

2 r0 ( )- ~

1 2

\ {0}F Продолжим диффеоморфизм
2 r0 ( ) ~

u до гомеоморфизма u : T \ h

CЧD

D

2 r0 ( ) ~

1 -2

в бесконечно удаE

ленную точку соотношением u (p ) = 0F
Определение 2.4.4.

C

-гамильтоновым пополнением

CEгамильтоновой сиE

стемы H3 (a, b, c, d, e)D обозначаемым H 3 (a, b, c, d, e)D назовем CEгамильтонову систему (M 4 , C , f )D где

ћ множество M 4 =
C

T := {( , x)| C, x T } обладает структурой M 4 D 0 CD и функций переходаX карта U

0

CEгладкого многообразияD задаваемой следующим набором карт U V , U0 V0 D где U, U
0

V := C2 (z , w)D семейство карт U0 V

= {( , u) C2 | | - 0 | <

, |u| < }D 0 CD где = (0 ) > 0D а функция перехода 0 : V0 V D
где V := {(z , w) C2 | |f (z , w) - 0 | < , (z , w) h-(1 fz
,w)

(Cz Ч (Cw \ ~ ~

D

2 r0 (f (z ,w)) ~

))} и V



0

:= V0 \ {( , 0) C2 | | - 0 | < }D определена с

помощью преобразований @PFRFIA и @PFRFPAX ( , u) (z , w) := h-1 (z = ~

iu-3 , w = u-2 )Y ~ ћ выполнено C |U = C и f |U = f D где : U V " координатный
гомеоморфизм для карты U V F
66


ОтметимD что по определению M 4 точки p

1

=p

2

различны при 1 = 2 F

Далее будем отождествлять множество C2 = V с открытым подмножеством

U M 4 при помощи координатного гомеоморфизма : U V F
Теорема 17

@Существование CEгамильтонова пополненияA

. Для любой

C

-

гамильтоновой системы свойства: 1) для любого

(C2 , C , f ) = H3 (a, b, c, d, e)

выполнены следующие

0 C

функция

0 : V0 V M4 C

инъективна и имеет всюду

ненулевой якобиан; 2) на комплексном многообразии функция Гамильтона ми; 3) 2-форма является -дифференциальная 2-форма



Cи

f

определены корректно и являются аналитически-



C невырождена, то есть всюду отлична от нуля на

M

4

и

C

-симплектической структурой.

Таким образом, любая ственное

C

-гамильтонова система

H3 (a, b, c, d, e)

имеет един-

C

-гамильтоново пополнение

(M 4 , C , f ). (C2 , C , f ) = H3 (a, b, c, d, e)

Теорема 18. Для любой

C

-гамильтоновой системы

выполнены следующие свойства: 1) критические точки функции тическими точками функции системы

f

содержатся в

C

2

и совпадают с кри-гамильтоновой

f ; H3 (a, b, c, d, e)

слой

T C

H 3 (a, b, c, d, e)

является неособым; и

2) векторные поля вне точек

sgrad C f

i sgrad C f

полны на

M

4

и не имеют нулей

p1 , p 2 C

.

Доказательство теорем 17 и 18.

Из доказательства леммы PFRFPD шаг ID и

формулы @PFRFPA следуетD что 0 инъективноD и что в координатах (z , w) := ~~
67


h0 (z , w) в C
ция B0 =

2 z ,w

\ (C Ч D
1 0

2 r0 (0 )

) PEформа (h-1 ) C = B0 dz dw D где функE ~ ~ 0
2 r0 (0 ) ~

1 A0 h-

определена в области C Ч (C \ D

) определения (z , w)D ~~

B0 (z , w) = 0 и |B0 (z , w)| ограничен на области определения (z , w)F ~~ ~~ ~~
Координаты (z , w) = h0 (z , w) выражаются через ( , u) посредством отобE ~~ ражения h0 0 : ( , u) (z , w) = h0 h-1 (iu-3 , u-2 ) такX 0 : ( , u) ~~

~ (z , w) = h-1 (iu-3 , u-2 )D z = iu-3 , w = ( - 0 + u-6 ) 3 D откуда (h0 0 ) dz ~ ~ dw = i(1 + ( - 0 )u6 )- 3 d du и 0 ~
2 2

1

C

= (h0 0 ) (h-1 ) 0

C

= i(B0

h0 0 )(1 + ( - 0 )u6 )- 3 d duF Отсюда следует существование непрерывE
ной и всюду невырожденной симплектической структуры l0 ( , u)d du на

V0 = {| - 0 | < , |u| < }D совпадающей с 0 C на {| - 0 | < , 0 < |u| < }D
где l0 ( , u) = i(1 + ( - 0 )u )
6-
2 3

B0 h0 0 ( , u) =
i A

i(1+( -0 )u6 )- A0 0 ( ,u)

2 3

" ограниE

ченнаяD всюду ненулевая функцияD l0 ( , 0) =

=

i a3b 0

D смF доказательство

леммы PFRFQF Так как якобиан функции перехода отличен от нуляF

равен l0 ( , u)D он всюду

Функция Гамильтона f h-1 в области {| - 0 | < , 0 < |u | < } 0

C2 (z , w) имеет вид f h-1 = z 2 + w3 + 0 D f 0 = D поэтому в координатах ~~ ~ ~ 0 ( , u) функция f имеет вид f = D значит f корректно определенаD является
аналитической и не имеет критических точек в M 4 \ C2 F Теорема IU и теорема IVD пункт IAD доказаныF Рассмотрим гамильтоново векторное поле sgrad C f в координатах ( , u)D

sgrad C f = (0,

1 l0 ( ,u)

)=
2

1 l0 ( ,u) u

D откуда векторное поле sgrad C f не имеет

нулей на T \ (C Ч Dr0 )F Векторные поля sgrad C f и i sgrad C f полны на M 4 , будучи гладкими векE
4 торными полями на каждом инвариантном компактном подмножестве MC :=

68


T M 4 D содержащем все особые слоиD где C > 0 " любая константаD
| |C

превосходящая max{|f (p1 )|, |f (p2 )|}F Для любого числа C \ R рассмотрим в абелевой группе (C, +) подE группы 2 Z ZD Z Z и 2 Z + Z Z ZF Так как числа 2 , C = = = линейно независимы над RD то факторEпространство T2 := C/(2 Z + Z) гомеоморфно двумерному тору T2 = S 1 Ч S 1 F
Следствие 2.4.5
Для

@Координаты действиеEугол для пополненной системыA

.

C

-гамильтонова пополнения

H 3 (a, b, c, d, e)

любой

C

-гамильтоновой и

системы

(C2 , C , f ) = H3 (a, b, c, d, e)

векторные поля

sgrad C f

i sgrad C f
,

полны. Для любого неособого слоя

T

существуют числа

( ) C \ R

C \ {0} T2
( )

и комплексный диффеоморфизм

f = f mod (2 , ( )) : T sgrad C f |T = T
d df ,

= C/(2 Z + ( )Z) Vect(T )

на двумерный тор, такие что

где

d df

координатное векторное поле на слое

, отвечаю-

щее координатному диффеоморфизму физм

f mod (2 , ( )),

то есть диффеомор-

f mod (2 , ( ))

выпрямляет интегральные траектории на

T

. Веще-

ственные канонические координаты действие-угол для пополненной системы

H 3 (a, b, c, d, e)

определены (неоднозначным образом) в малой окрестно-

сти любого неособого слоя в Доказательство.

M

4

.

Полнота векторных полей доказана в теореме IVD пункт PAF

Согласно теореме ITD пункт PAD и доказательству вещественной теоремы ЛиE увилля для гамильтоновой системы (M 4 , Re C , Re f ) с дополнительным инE тегралом Im f @смF лемму PFIFTAD слой T гомеоморфен двумерному торуD при этом определено транзитивное и локально свободное CEдифференцируемое
69


действие : C Ч T T плоскости C на слое T сдвигами вдоль интеE гральных траекторий векторных полей c sgrad C f D c CD за время IF СтабиE лизатор точки для этого действия не зависит от точки и является решеткой в C вида 1 ( )Z + 2 ( )ZD где числа 1 ( ), 2 ( ) C линейно независимы над RF Поэтому для любой точки P T CEдифференцируемое отображение

( |C

Ч{P }

) ч индуцирует CEдиффеоморфизм j : C/(2 Z + ( )Z) T D
2 1 ( )

где ч : C C " оператор умножения на

D ( ) := 2

2 ( ) 1 ( )

F В качеE
-1

стве координаты f mod (2 , ( )) возьмем обратный диффеоморфизм j

=:

f mod (2 , ( ))F Тогда sgrad C f |T =

1 ( ) d 2 df

=

d df

D где :=

1 ( ) 2

F

Существование вещественных координат действиеEугол для пополненной системы следуетD в силу теоремы ЛиувилляD из существования пополненной системы @смF теорему IUA и компактности слоев T M 4 @смF теорему ITAF Аналогично доказательству следствия PFRFS рассматривается REлинейный оператор ч
R

: C R2 D определенный на базисе формулами чR (1 ( )) =
Ч{P }

(2 , 0) и чR (2 ( )) = (0, 2 )F Тогда отображение ( |C

) чR индуцирует

R R REдиффеоморфизм j : R2 /(2 Z)2 T F Положим modd 2 := (j )-1 :

T (R/2 Z)2 =: T2 F С помощью этого строятся @смF доказательство теореE
мы ЛиувилляA вещественные канонические координаты действиеEугол

~ (I1 , I2 , 1 mod 2 , 2 mod 2 ) : U0 D2 Ч T2

@PFRFQA

для пополнения (M 4 , Re C , Re f ) гамильтоновой системы (C2 , Re C , Re f ) с дополнительным первым интегралом Im f D определенные в малой окрестE

~ ности U0 =

T M 4 любого неособого слоя T0 и принимающие знаE
| -0 |< ~ 2

чения в области D Ч T2 , где D2 R2 " областьD гомеоморфная открытому
70


кругуD = (0 ) > 0 " достаточно малое числоF ПокажемD что значение переE ~~

~ менных угол на множестве бесконечно удаленных точек p U0 может быть
выбрано равным (1 mod 2 )(p ) = (2 mod 2 )(p ) = 0 mod 2 F Тем самым интегральные траектории системы H3 (a, b, c, d, e) изображены на рисF PFQF

Рис. 2.3: Интегральные траектории системы H3 (a, b, c, d, e)

Следствие 2.4.6

@Вещественные координаты действиеEугол для исходной

системыA.

Вещественные координаты действие-угол I1

, I2 , 1 mod 2 , 2 mod 2

в окрестности

~ U

0

неособого слоя

T

0

в

M

4

для пополненной системы

(M 4 , Re C , Re f )
на

могут быть выбраны таким образом, что их ограничение

C

2

~ U
0

0

задает вещественные канонические координаты в окрестности

слоя

T

для гамильтоновой системы

(C2 , Re C , Re f ),

принимающие зна-

чения в области

D2 Ч (T2 \ {(0, 0) modd 2 }). Re f
и

При этом в указанной окрест-

ности первые интегралы Доказательство.

Im f

являются функциями от

I1 , I

2.

Рассмотрим поверхность := {p | C} = M 4 \ C2 D

состоящую из бесконечно удаленных точекF Пусть v Tp , v = 0D тогда пара

(v , iv ) " базис в Tp F Симплектическая структура (v , iv ) = Re C (v , iv ) =
71


0D откуда " лагранжева поверхность в M 4 F Отсюда следуетD что переменные
угол можно выбрать @для заданных переменных действиеA таким образомD что (1 mod 2 )(p ) = (2 mod 2 )(p ) = 0 mod 2 D | - 0 | < F ~ ОтметимD что антиканоническая инволюция (z , w) (-z , w) сохраняет гамильтониан f и на каждом неособом слое T имеет четыре неподвижные точкиD включая бесконечно удаленную точку p F В координатах ( , u) из опреE деления PFRFR эта инволюция имеет вид ( , u) ( , -u)D смF @PFRFIA и @PFRFPAF В вещественных координатах действиеEугол из следствия PFRFT инволюция имеет вид (I1 , I2 , 1 mod 2 , 2 mod 2 ) (I1 , I2 , -1 mod 2 , -2 mod 2 )F
Следствие 2.4.7. Для
ности ствие

C

-гамильтоновой системы

H3 (a, b, c, d, e)

в окрест-

U

0

неособого слоя на слое

T0 U0 , 0 C \ f

, значения координат дей-

(I1 , I2 )

T U

0 могут быть вычислены по формулам:

I (T ) =

1 Re

,

z (w)dw,

= 1, 2,

где от

z (w) = , ,1 , w
,2

-bw3 -cw2 -dw-e одна из двух ветвей, непрерывно зависящая a

: [0, 1] C

простые пути, ведущие из

w

,1 в

w

,3 и из

w

,2 в

,3 соответственно, пересекающиеся только в конечной точке

w

,3

и непрерывно зависящие от

, w

,m

, m = 1, 2, 3

корни уравнения

bw3 + I

cw2 + dw + e =

, непрерывно зависящие от

. Переменная действия

отвечает циклу на

T

, полученному последовательному прохождению пути и пути

(z ( , (t)), , (t)), t [0, 1], 1, 2
.

(-z ( , (1 - t)), , (1 - t)), t [0, 1],

=

72


2.5

Гиперэллиптический гамильтониан степени четыре
C
-гамильтоновой системой с гиперэллиптическим га-

Определение 2.5.1.

мильтонианом степени четыре

называется тройка (C2 , C , f )D где C

2

=

C2 (z , w)D f (z , w) = az 2 + bw4 + cw3 + dw2 + ew + k D a, b, c, d, e, k CD ab = 0
и
C

= dz dwF Обозначим эту систему через H4 (a, b, c, d, e, k )F Систему
невырожденной

H4 (a, b, c, d, e, k ) назовем

D если функция f имеет ровно три

различных критических значения @это равносильно томуD что f " комплексE нозначная простая функция МорсаD смF лемму PFSFP нижеAF
Лемма 2.5.2. Всякая

C

-гамильтонова система

H4 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0) Tf
(0,tj ) -3(p+1)-

, ,

r, s, p C, rs = 0
-3(p+1)+

, имеет не более трех особых слоев

, j = 1, 2, 3 2

некоторые из которых могут совпадать, где t1



= 0, t2 =

9(p+1) -32p , 8

t3 =

9(p+1)2 -32p . 8

C

-гамильтонова система

H4 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0, 0)
и

невырождена тогда и только тогда, когда любого

rs = 0

p {0, +1, /

7+4i 2 }. Для 9

j {1, 2, 3}

существует

C

-гамильтонова система

H4 (r1 , s1 , s1 (p1 +
с гамиль-

1), s1 p1 , 0, 0),

гамильтоново эквивалентная

H4 (r, s, s(p+1), sp, 0, 0) hj (0, tj ) = (0, 0)
.

тоновой эквивалентностью Доказательство.

hj

такой, что

Положим q =

9(p + 1)2 - 32p для произвольной ветви
-3(p+1)-q 8 -3(p+1)+q 8



F Особые слои системы отвечают значениям f (pj ), j = 1, 2, 3D где p1 = D t3 = F Так как и
(q +3p+3)2 (-q +5p-3)(q +3p-5) 212

(0, 0), p2 = (0, t2 ), p3 = (0, t3 )D где t2 =
(q -3p-3)2 (q +5p-3)(-q +3p-5) 212

f (z , w) = rz 2 + sw2 (w + 1)(w + p), то f (0, t2 ) = s f (0, t3 ) = s

F Невырожденность системы означаетD что
7+4i 2 9

значения f (pj ), j = 1, 2, 3 попарно различныF Вычисления показываютD что последнее условие равносильно томуD что p {0, +1, /
73

}F Рассмотрим три


канонических преобразованияX h1 : (z , w) (z , w)D

h2 : (z , w) ( h3 : (z , w) (

z -t2 - z -t3 -

, -w)D где = 1 (7+9p2 +q +3pq +2 2 5 - 6p + 5p2 + q + pq )D 8 , -w)D где = 1 (7+9p2 +q +3pq -2 2 5 - 6p + 5p2 + q + pq )F 8

Данные преобразования удовлетворяют требованиям леммыF
Теорема 19. Всякая невырожденная

C

-гамильтонова система

H4 (a, b, c, d, e, k )

гамильтоново эквивалентна системе H4 (r, s, s(p + 1), sp, 0, 0) для некото 7+4i 2 }. Две невырожденные C-гамильтоновы рых r, s, p C, r s = 0, p {0, +1, / 9 системы

H4 (r1 , s1 , s1 (p1 + 1), p1 , 0, 0)

и

H4 (r2 , s2 , s2 (p2 + 1), s2 p2 , 0, 0) r1 = r
2,

гамиль-

тоново эквивалентны тогда и только тогда, когда либо

s1 = s

2и

p1 = p

2 , либо

r1 =

r2 , p2 2

s1 = s2 p

4 2и

p1 =

1 p2 , при условии того, что образ особой

точки

(0, 0)

относительно гамильтоновой эквивалентности равен

(0, 0)

.

Доказательство.

Пусть w1 " критическая точка функции bw4 + cw3 + dw2 +

ew + k D тогда f (z , w) = az 2 + b(w - w1 )2 (w - )(w - ) + D где , , CD , = w1 и = D f (0, w2 ) = f (0, w3 )D где w2 и w3 " две другие критиE
ческие точки функции bw4 + cw3 + dw2 + ew + k F Определим отображение
w-w1 w 1 -

h : C2 C2 формулой h : (z , w) (z (w1 - ),
искомая эквивалентность для r =
a (w1 -)2

)F Отображение h "
w1 - w 1 -

, s = b(w1 - )4 , p =

F

Пусть между системами H4 (r1 , s1 , s1 (p1 + 1), s1 p1 , 0, 0) и H4 (r2 , s2 , s2 (p2 +

1), s2 p2 , 0, 0) задана гамильтонова эквивалентность hF Особые слои систем
отвечают значениям fi (pi,j )D i = 1, 2 и j = 1, 2, 3D где p
i,1

= (0, 0), p
i

i,2

=

(0, ti,2 ), p

i,3

= (0, ti,3 )D где ti,2 =

-3(pi +1)-qi 8

Dt

i,3

=

-3(pi +1)+q 8

D i = 1, 2, где

qi определено как в доказательстве леммы PFSFPF Так как fi (z , w) = ri z 2 + si w2 (w + 1)(w + pi ), то fi (0, ti,2 ) = s s
i (qi -3pi -3)2 (qi +5pi -3)(-qi +3pi -5) 212 i (qi +3pi +3)2 (-qi +5pi -3)(qi +3pi -5) 212

и fi (0, ti,3 ) =

F
74


Рассмотрим линейный оператор Ai,j в Tpi,j C2 " оператор линеаризации векторного поля sgrad C fi = (-si (4w3 + 3(pi + 1)w2 + 2pi w), 2ri z )T в точке pi,j D

j = 1, 2, 3Y в координатах z , w он задается матрицей qi +3+3pi 0 -si qi 8 0 -si qi qi - 0 -2si pi , Ai,3 = , Ai,2 = Ai,1 = 2ri 0 2ri 0 2ri 0
откуда det A
i,1

3-3pi 8

,

= 4ri si pi D det Ai,2 = ri si q

i

qi +3+3pi 4

и det Ai,3 = ri si q

i

qi -3-3pi 4

D где

i = 1, 2F
Пусть при отображении h выполнено h(p1,j ) = p
2, (j )

D где j = 1, 2, 3 и

S3 " некоторая перестановкаF Имеем A2 det A1,j = det A2
, (j )

, (j )

dh|p1,j = dh|p1,j A1,j D поэтому
2, (k )

D и f1 (p

1,k

) - f1 (p1,l ) = f2 (p

) - f2 (p

2, (l)

)D где j, k , l =

1, 2, 3F Отсюда получаем систему уравнений на величины r2 , s2 , p2 D S3
при заданных r1 , s1 , p1 D вытекающую из гамильтоновой эквивалентностиF Эта система имеет ровно два различных решения со свойством (1) = 1D а именно решение r2 = r1 D s2 = s1 D p2 = p1 D = idD и решение r2 =
r1 p2 1

D s2 = s1 p4 D p2 = 1

1 p1

D

= (23)F
Решение r2 = r1 D s2 = s1 D p2 = p1 D = id соответствует гамильтоновой эквивалентности (z1 , w1 ) (z1 , w1 ) = (z2 , w2 )D а решение r2 =
r1 p2 1

D s 2 = s 1 p4 D 1

p2 = (p1 z1 ,

1 p1

D = (23) соответствует гамильтоновой эквивалентности (z1 , w1 )

w1 p1

) = (z2 , w2 )F T
пополнение произвольного (необязательно неосоотносительно метрики пополнения

Теорема 20. Пусть
бого) слоя

T

системы

H4 (a, b, c, d, e, k )

g

(точнее, относительно функции расстояния



, см. определение 2.1.10).

Тогда: 1) выполнено

T = T



{p ,1 , p ,2 },

где

p ,1 , p

,2 две точки, называемые

75


бесконечно удаленными; 2) если

T

неособый слой, то существует гомеоморфизм

T T2

;

3) существует комплексная координата в окрестности каждой из бесконечно удаленных точек

p

,j

T , j = 1, 2

в

T

, являющаяся

C

-дифферен-

цируемой в проколотой окрестности.

Доказательство использует две леммыD аналогичные леммам PFRFP и PFRFQ и приведенные нижеF
Лемма 2.5.3. Для любого (не обязательно неособого) слоя
ствует такое покрытие пространства

T , C

, суще-

C

2

замкнутыми подмножествами , что

U ,i C2 ,
i=1 2

гомеоморфными

C Ч D C Ч C, i N i
выполнено

2

U ,i U

,j при

i
,

U ,i = C D

2

, и для любого

T \U ,i (D2 \{}) (D2 \{}),

где

открытый двумерный диск.

Доказательство.

Шаг IF Согласно лемме PFIFIID для любого C существуE
4

ет вещественное число r0 ( ) > 0 такоеD что определена ветвь

bw4 + cw3 + dw2 + ew +
2 r0 ( )

C\D

2 r0 ( )

CD являющаяся гомеоморфизмом на образD где D
2

Cw "

замкнутый двумерный шар радиуса r0 ( ) с центром в 0F Положим r0 := r0 ( )F

( az , 4 bw4 + cw3 + dw2 + ew + k - )D где фиксирована одна из ветвей у и 4 F Тогда h определено корректно и является гомеоморфизмом на
образD координатами на образе являются

Определим отображение h : Cz Ч (Cw \ Dr0 ) C2 формулой h (z , w) =

z= ~
Положим r0 := ~
4



az ,

w= ~

4

bw4 + cw3 + dw2 + ew + k - .

@PFSFIA
,i

|w|r0

max |bw4 + cw3 + dw2 + ew + k - |F ДокажемD что U
76

:=


(C Ч D

2 r0 ( )

)

h-1 (C Ч D

2 ri ( )

) " искомая последовательностьD где ri = ri ( ) =
2 z ,w ~~

r0 + iF Рассмотрим отображение Prz : C ~ ~

CD где Prz (z , w) = z F ~ ~~ ~
2 ri ( )2 2 Dri ( )2 F

Шаг PF ДокажемD что Prz h (T \ U ,i ) = Cz \ D ~ Покажем сначалаD что Prz h (T \ U ,i ) Cz \ ~

D2 \{0}F
Пусть z0 (Prz ~ ~

h |T



\U

,i

)D рассмотрим w0 такоеD что (z0 , w0 ) h (T \ U ,i )D откуда |w0 | > ri D ~ ~~ ~
2

2 а значитD |z0 | > ri F ~

~ ~2 ~ 4 ОбратноD пусть z0 C \ Dri2 D тогда существует w0 такоеD что z0 + w0 = 0 и ~ |w0 | > ri F Все корни уравнения bw4 + cw3 + dw2 + ew + k - = w0 различны и по ~ ~4
модулю больше r0 D откуда (z0 , w0 ) h (T \ U ,i ) и отображение Prz0 h |T ~~ ~ является неразветвленным четырехлистным накрытием с базой C \ D


\U

,i

2 2 ri



D2 \ {}F
Шаг QF ДокажемD что накрывающее пространство имеет две компоненты
2 связностиF Рассмотрим два поднятия + (t) = (ri eit , ri e ~ 2 ти (t) = ri eit D 0 t 4D при накрытии Prz |h ~ (T \U,i )
2 it+ 4

) замкнутого пуE

F Тогда каждый из + " ~

простой замкнутый путьD двулистно накрывающий простой замкнутый путь

(t)D 0 t 2D откуда накрывающее пространство имеет две компоненты
связностиF
Лемма 2.5.4. Выполнено соотношение

(x, y ) = o(1)

, где

R , x, y T \ (C Ч DR ).
2

T \ (C Ч DR )

2

и

x, y

лежат в одной компоненте связности

Доказательство.

~~ ~ Пусть f (z , w) = z 2 + w4 D ~ ~~ + 2z ~
w ~

C

~ = dz dw и = 0D тогда ~ ~
0

~ sgrad C f = -4w ~ ~ 0 =
dw ~ 2z ~

3 z ~

~ и 0 =
|dw|2 ~ 4|w|4 ~

-4w3 dz +2z dw ~ ~ ~~ ~ 16w6 +4z 2 |T T ~ ~

F Поскольку z 2 + w4 = 0 ~ ~
16w6 +4z 2 ~ ~ 2z ~

~ ~ на T0 = f -1 (0)D -4w3 dz + 2z dw = ~ ~~
D откуда g0 = ~
|dw|2 ~ 4|z |2 ~

16w6 dw ~~ 2z ~

+ 2z dw = ~~

~ dw на T0 D значит ~

=

F

2 ДалееD пусть x0 и y0 такиеD что |x| = |x0 |D |y | = |y0 | и x0 = (iRx , Rx )D

77


2 y0 = (iRy , Ry ) для некоторых Rx > 0 и Ry > 0F Согласно доказательству лемE

~ ~ мы PFSFQD такие x0 , y0 f -1 (0) = T0 D лежащие в одной компоненте связности
2 2 ~ ~ ~ T0 \ (C Ч DR )D существуютF Пусть T0 \ (C Ч DR ) = V1

~ ~ V2 и x0 , y0 V1 F Верно

неравенство 0 (x, y ) 0 (x, x0 ) + 0 (x0 , y0 ) + 0 (y0 , y )F ~ ~ ~ ~

~ Оценим 0 (x, x0 ) и 0 (y , y0 )F Рассмотрим двулистное накрытие p : V1 \ (C Ч ~ ~ ~~ ~ ~ DR ) CD p(z , w) = wD откуда 0 (x, x0 ) 0 (y , y0 ) ~
Ry 2


|w|=Rx ~

1 4R

4 x

|dw| = ~

Rx

F Аналогично

F
Ry dw Rx 4w
3

Оценим (x0 , y0 ) |
Ry

|

1 min{Rx ,Ry }

F Откуда (x, y )
2 r0 ( )

Rx

+

1 min{Rx ,Ry }

+



8 min(Rx ,Ry )

F

Согласно доказательству леммы PFSFQD шаг ID в C Ч (C \ D замена координат h (z , w) = (z , w) = ( az , ~~
2

) существует ~ ) 0 =



4

bw4 + cw3 + dw2 + ew + k - ),


~~ откуда (f - ) h-1 = f = z 2 + w4 F Оценим X имеем (h |T ~

\h-1 (CЧDR )

2

A D где функция A : T \ (C Ч DR ) C определена условием A C = 4bw3 +3cw2 +2dw+e h C F Так как A = a ~ 3 = A(1 + o(1)) при R D где 4(bw4 +cw3 +dw2 +ew+k - ) 4 2 1 1 ~ A = a 4 b C \ {0}D то < |A| 0 F Осталось заметитьD что min{Rx ,Ry } = O( R )
при R F
Доказательство теоремы 20.

Пункт I является прямым следствием лемм PFSFQ

и PFSFRF Докажем пункты P и QF Из лемм следуетD что любой слой T комE пактенF Рассмотрим отображение p : T CD где p(z , w) = w " разветвE ленное двулистное сохраняющее ориентацию накрытиеF Особыми значениями @то есть образами точек в которых p не является локальным гомеоморфизE момA являются корни уравнения bw4 + cw3 + dw2 + ew + k - = 0. БескоE нечно удаленная точка не является точкой ветвленияD так как имеет ровно два прообразаF Так как существует хотя бы одна точка ветвленияD накрыE
78


вающее пространство T связноF Согласно формуле РиманаEГурвица имеем

(T ) = 2(C) - 4 = 0D откуда T гомеоморфно торуF
Введем координату u ,j на слое T в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки p ,j , j = 1, 2, соотношениемX

z = (-1) ~ w = u-1 , ~ ,j
2 где u ,j : Vj Dr0 ~ ( )-
1

j -1

iu-2 , ,j

@PFSFPA
2 r0 ( ) ~

\{0}D где Vj " связная компонента T \h-
,j

1

CЧD



(D2 \ {}) (D2 \ {}), такая что p
диффеоморфизм u удаленную точку p
,j

V j @смF лемму PFSFQAF Продолжим
,j

до гомеоморфизма u

:V

j

2 Dr0 ~

( )-

1

в бесконечно

,j

соотношением u ,j (p ,j ) = 0, j = 1, 2F

Определение 2.5.5.

C

-гамильтоновым пополнением

CEгамильтоновой сиE

стемы H4 (a, b, c, d, e, k )D обозначаемым H 4 (a, b, c, d, e, k )D назовем CEгамильтонову систему (M 4 , C , f )D где

ћ множество M 4 =
C

T := {( , x) | C, x T } обладает структурой M 4 D 0 CD и функций переходаX
0

CEгладкого многообразияD задаваемой следующим набором карт U V , U0 ,j V
0 ,j

, j = 1, 2D где U, U

0 ,j

карта U V := C2 (z , w)D семейство карт U

,j

V

0 ,j

:= {( , uj ) C2 |

| - 0 | < , |uj | < }D 0 C, j = 1, 2D где = (0 ) > 0D а функция
перехода
0

,j

:V
,w)

0 ,j

V D где V := {(z , w) C2 | |f (z , w) - 0 | <
2 r0 (f (z ,w)) ~

, (z , w) h-(1 fz

(Cz Ч (Cw \ D ~ ~

))} и V

0 ,j

:= V

0 ,j

\ {( , 0) C2 |

| - 0 | < }D определена с помощью преобразований @PFSFIA и @PFSFPAX ( , uj ) (z , w) := h-1 (z = (-1)j -1 iu-2 , w = u-1 )Y ~ ~ j j ћ выполнено C |U = C и f |U = f D где : U V = C2 " коордиE
79


натный гомеоморфизм для карты U V F ОтметимD что по определению M 4 точки p
1 ,j1

=p

2 ,j2

различны при 1 = 2

или j1 = j2 F Далее будем отождествлять C2 = V с открытым подмножеством

U M 4 посредством координатного гомеоморфизма : U V F
Теорема 21

@Существование CEгамильтонова пополненияA

. Для любой

C

-

гамильтоновой системы щие свойства: 1) для любого

(C2 , C , f ) = H4 (a, b, c, d, e, k )

выполнены следую-

0 C

и

j = 1, 2

функция



0 ,j

:V

0 ,j

V

инъективна и

имеет всюду ненулевой якобиан; 2) на комплексном многообразии функция Гамильтона ми. 3) 2-форма является

M4 C

-дифференциальная 2-форма



Cи

f

определены корректно и являются аналитически-



C невырождена, то есть всюду отлична от нуля на

M

4

и

C

-симплектической структурой.

Таким образом, любая ственное

C

-гамильтонова система

H4 (a, b, c, d, e, k )

имеет един-

C

-гамильтоново пополнение

(M 4 , C , f ). (C2 , C , f ) = H4 (a, b, c, d, e, k )

Теорема 22. Для любой

C

-гамильтоновой системы

выполнены следующие свойства: 1) критические точки функции тическими точками функции

f

содержатся в

C

2

и совпадают с кри-

f

; в частности, для любого неособого слоя слой

T C

-гамильтоновой системы

H4 (a, b, c, d, e, k )

T C

-гамильтоновой

системы

H 4 (a, b, c, d, e, k )

является неособым; и

2) векторные поля вне точек

sgrad C f
.

i sgrad C f

полны на

M

4

и не имеют нулей

p1 , p2 , p3 C

80


Доказательство теорем 21 и 22.

Из доказательства леммы PFSFQD шаг ID и инъективноD и что в координатах (z , w) = ~~
1 A0 h- 2 r0 (0 ) ~
1 0

формулы @PFSFPA следуетD что

0 ,j

h0 (z , w) в C

2 z ,w

\ (C Ч D

2 r0 (0 )

) PEформа (h-1 ) C = B0 dz dwD где B0 = ~ ~ 0

определена в области C Ч (C \ D

) определения (z , w)D B0 (z , w) = 0 и ~~ ~~

|B0 (z , w)| ограничен на области определения (z , w)F ~~ ~~
Координаты (z , w) = h0 (z , w) выражаются через ( , uj ) посредством отобE ~~ ражения h0
0 ,j

: ( , uj ) (z , w) = h0 h-1 ((-1)j -1 iu-2 , u-1 ) такX ~~ j j
j -1 -1 i 2

0 ,j
1

:

~ ( , uj ) (z , w) = h-1 ((-1)j -1 iu-2 , u-1 )D z = (-1) j j
откуда (h0
0 ,j

iu-2 , w = ( - 0 + u-4 ) 4 D ~ j j
3

) (dz dw) = (-1)j ~ ~
-1 i 2

(1 + ( - 0 )u4 )- 4 d duj и j
3

0 ,j C

=

(h0

0 ,j

) (h-1 ) C = (-1)j 0

(B0 h0

0 ,j

)(1 + ( - 0 )u4 )- 4 d duj F j = {| - 0 | < , |uj | < }D
4- j -1 i(1+( -0 )uj ) 4 2A0 0 ,j ( ,uj ) 3

Отсюда следует существование непрерывной и всюду невырожденной симE плектической структуры l0 ,j ( , uj )d duj на V совпадающей с
i (-1)j -1 2 0 ,j C
3 4

0 ,j

на {| - 0 | < , 0 < |uj | < }, где l0 ,j ( , uj ) =

(1 + ( -

4- 0 )uj )

B0 h0

0 ,j

( , uj ) = (-1)

" ограниE D смF

ченнаяD всюду ненулевая функцияD l0 ,j ( , 0) = (-1)j

-1 i 2A

= (-1)

j -1 i 2 a4b 0 ,j

доказательство леммы PFSFRF Так как якобиан функции перехода

равен

l0 ,j ( , uj )D он всюду отличен от нуляF
Функция Гамильтона f h-1 в области {| -0 | < , 0 < |uj | < } C2 (z , w) ~~ 0 имеет вид f h-1 = z 2 + w4 + 0 D f ~ ~ 0
0 ,j

= D j = 1, 2D поэтому в координатах

( , uj ) функция f имеет вид f = D значит f корректно определенаD является
аналитической и не имеет критических точек в M 4 \ C2 F Теорема PI и теорема PPD пункт IAD доказаныF Рассмотрим гамильтоново векторное поле sgrad C f в координатах ( , uj )D

sgrad C f = (0,

l

0 ,j

1 ( ,uj )

)=

l

0 ,j

1 ( ,uj ) uj

D откуда векторное поле sgrad C f не имеет
81


нулей на T \ (C Ч Dr0 )F Векторные поля sgrad C f и i sgrad C f полны на M 4 D будучи гладкими векE
4 торными полями на каждом инвариантном компактном подмножестве MC :=

2

T M 4 D содержащем все особые слоиD где C > 0 " любая константаD
| |C

превосходящая max{|f (p1 )|, |f (p2 )|, |f (p3 )|}F В следующем следствии использованы обозначения из следствия PFRFSF
Следствие 2.5.6
Для

@Координаты действиеEугол для пополненной системыA

.

C

-гамильтонова пополнения

H 4 (a, b, c, d, e, k )

любой

C

-гамильтоновой и

системы

(C2 , C , f ) = H4 (a, b, c, d, e, k ) T

векторные поля

sgrad C f

i sgrad C f
,

полны. Для любого неособого слоя

существуют числа

( ) C \ R

C \ {0} T2
( )

и комплексный диффеоморфизм

f = f mod (2 , ( )) : T sgrad C f |T = T
d df ,

= C/(2 Z + ( )Z) Vect(T )

на двумерный тор, такие что

где

d df

координатное векторное поле на слое

, отвечаю-

щее координатному диффеоморфизму физм

f mod (2 , ( )),

то есть диффеомор-

f mod (2 , ( ))

выпрямляет интегральные траектории на

T

. Веще-

ственные канонические координаты действие-угол для пополненной системы

H 4 (a, b, c, d, e, k )

определены (неоднозначным образом) в малой окрест-

ности любого неособого слоя в Доказательство.

M

4

.

Доказательство данного следствия получается дословным

повторением доказательства следствия PFRFSD с использованием теоремы PPD пункт PAD теоремы PHD пункт PAD леммы PFIFTD а также теорем PI и PHF Аналогично @PFRFQA и доказательству следствий PFRFS и PFSFTD строятся веE

82


щественные координаты действиеEугол

~ (I1 , I2 , 1 mod 2 , 2 mod 2 ) : U0 D2 Ч T2
для пополнения (M 4 , Re C , Re f ) гамильтоновой системы (C2 , Re C , Re f ) с дополнительным первым интегралом Im f D определенные в малой окрестE

~ ности U0 =

T M 4 любого неособого слоя T0 и принимающие знаE
| -0 |< ~ 2

чения в области D Ч T2 , где D2 R2 " областьD гомеоморфная открытому кругуD = (0 ) > 0 " достаточно малое числоF ПокажемD что значения переE ~~ менных угол в бесконечно удаленных точках p
,1

~ U0 могут быть выбраны

равными (1 mod 2 )(p ,1 ) = (2 mod 2 )(p ,1 ) = 0D а в бесконечно удаленных точках p
,2

~ U0 будут иметь специальный видF
@Вещественные координаты действиеEугол для исходной

Следствие 2.5.7

системыA.

Вещественные координаты действие-угол I1

, I2 , 1 mod 2 , 2 mod 2

в окрестности

~ U

0

неособого слоя

T

0

в

M

4

для пополненной системы

(M 4 , Re C , Re f )
на

могут быть выбраны таким образом, что их ограничение

C

2

~ U
0

0

задает вещественные канонические координаты в окрестности

слоя

T

для гамильтоновой системы

(C2 , Re C , Re f ),

принимающие зна-

чения в области

D2 Ч (T2 \ {(0, 0) modd 2 }) \ (
где

dJ ) modd 2

,

(

dJ ) modd 2

:= {(I1 , I2 ,

J I1

(I1 , I2 ) mod 2 ,

J I2

(I1 , I2 ) mod 2 ) | (I1 , I2 ) D2 }, (
dJ ) modd 2

J : D2 R

некоторая гладкая функция, такая что

(D2 Ч

{(0, 0) modd 2 }) =
лы

. При этом в указанной окрестности первые интегра-

Re f

и

Im f

являются функциями от переменных действие

I1 , I

2.

83


Доказательство.

~ НапомнимD что переменные действие в U0 можно опредеE
1 2

лить по формулам Ij (T ) =

~ D | - 0 | < D где " IEформа на U ~
s
,j

0

такаяD что d = Re C D s ,j " базисные циклы на торе T , j = 1, 2F РассмотE рим множество M 4 \ C2 бесконечно удаленных точекD оно состоит из двух поверхностей j := {p
,j

| C}D j = 1, 2F Пусть v Tp,j j , v = 0, тогда

пара (v , iv ) " базис в Tp,j j F Симплектическая структура Re C (v , iv ) = 0, откуда 1 и 2 " лагранжевы поверхности в M 4 F Отсюда следуетD что пеE ременные угол можно выбрать @для заданных переменных действиеA таким образомD что (1 mod 2 )(1 ) = (2 mod 2 )(1 ) = 0F Построенные переменE

~ ные действиеEугол в U ~ формулой J (T ) =


0

являются каноническими и задают гомеоморфизм

~ ~ ~~ U0 D2 Ч T2 D где D2 := I (U0 )D I = (I1 , I2 )F Определим функцию J : U0 R D | - 0 | < D где ,j " путь на поверхности j D ~
-1 , 1 , 2

,j (t) := p

(1-t)0 +t ,j

D 0 t 1D j = 1, 2D " некоторый путь на торе T D
,1

ведущий из бесконечно удаленной точки p

в бесконечно удаленную точку

p

,2

-1 - ~ и такойD что замкнутый путь ,1 ,2 01 стягиваем в U0 D2 Ч T2 F

Указанный интеграл не зависит от выбора пути @при фиксированном пути

0 A в силу лагранжевости тора T F Определим функцию J : D2 R услоE ~ вием J I = J F Тогда (j mod 2 )(p ,2 ) = j = 1, 2F
Тем самым интегральные траектории системы H4 (a, b, c, d, e, k ) изображеE ны на рисF PFRF ОтметимD что антиканоническая инволюция (z , w) (-z , w) сохраняет гамильтониан f D на каждом неособом слое T имеет четыре неподвижные точкиD принадлежащие T D и переставляет друг с другом бесконечно удаленE
84
J Ij

(I (p ,2 )) mod 2 D | - 0 | < D ~


Рис. 2.4: Интегральные траектории системы H4 (a, b, c, d, e, k )

ные точки p

,1

и p ,2 F В координатах ( , u1 ) и ( , u2 ) из определения PFSFS эта

инволюция имеет вид ( , u1 ) ( , u2 := u1 )D смF @PFSFIA и @PFSFPAF В вещественE ных координатах действиеEугол из следствия PFSFU данная инволюция имеет вид (I1 , I2 , 1 mod 2 , 2 mod 2 ) (I1 , I2 ,
J I1

(I1 , I2 ) - 1 mod 2 ,

J I2

(I1 , I2 ) -

2 mod 2 )F
Следствие 2.5.8. Для
ности ствие

C

-гамильтоновой системы

H4 (a, b, c, d, e, k )

в окрест-

U

0

неособого слоя и функции

T0 U0 , 0 C \ f

, значения координат дей-

(I1 , I2 )

J

из следствия 2.5.7 на слое

T U

0

могут быть

вычислены по формулам:

I (T ) =

1 Re

,

z (w)dw,

= 1, 2,

J (T ) = 2 Re

где


3 2 z (w)dw - wdz (w) , 5 5

z (w) =

-bw4 -cw3 -dw2 -ew-k одна из двух ветвей, непрерывно завиa ,2

сящая от

, ,1 ,

: [0, 1] C

простые пути, ведущие из

w

,1 в

w

,4

85


и из ке

w

,2 в

w

,4 соответственно, пересекающиеся только в конечной точ-

w

,4 и непрерывно зависящие от

, w

,m

, m = 1, 2, 3, 4

корни уравне-

ния

bw4 + cw3 + dw2 + ew + k =

, непрерывно зависящие от



,и

:

[0, ) C
из

полупрямая, выходящая из

w

,1 , не проходящая ни через один

w

,m

, m = 2, 3, 4

и непрерывно зависящая от



. Переменная действия

I

отвечает циклу на ти

T

, полученному последовательным прохождением пуи пути

(z ( , (t)), , (t)), t [0, 1],
Функция

(-z ( , (1 - t)), , (1 - t)), t [0, 1], T
, соединяющему беско-

= 1, 2.

J

отвечает простому пути на

нечно удаленные точки дением пути

p ,1 , p

,2 и полученному последовательным прохожи пути

(-z ( (1 - t)), (1 - t)), t (0, 1],

(z ( (t)), (t)),

t [0, 1).

86


Глава 3

Топология лагранжевых слоений

3.1

Основные понятия и утверждения
называется тройка (M 2n , , H )D

Определение 3.1.1. Гамильтоновой системой

где M

2n 2n

" гладкое многообразиеD " симплектическая структура на M 2n D

H:M

R " гладкая вещественнозначная функцияD называемая
@или
гамильтонианомAF

функци-

ей Гамильтона

Система называется

интегрируемойD

если существует набор из n гладких функций f1 , . . . , fn : M мых
первыми интеграламиD

2n

RD называеE

такой что выполнены следующие условияX
n

IA набор f1 , . . . , fn функционально независим на M 2n D то есть df1 , . . . , df

линейно независимы в каждой точке всюду плотного подмножества в M 2n D и

f1 = H Y
PA при любых i, j = 1, . . . , n функции fi и fj находятся в инволюции отE носительно симплектической структуры D то есть {fi , fj } =
k l fi fj xk xl

=0в

локальных координатах x1 , . . . , x2n D где kl " компоненты матрицыD обратной матрице
kl

F Векторным полем
87
косой градиент

Определение 3.1.2.

функции f : M

2n




R называется поле sgrad f D такое что для любой функции g : M
векторное поле sgrad f имеет вид (sgrad f )i =
ij f xj

2n

R выполE
2n

нено соотношение {f , g } = sgrad g (f )F В локальных координатах x1 , . . . , x F

С каждой гамильтоновой системой связано уравнение ГамильтонаF
Определение 3.1.3. Уравнением Гамильтона

гамильтоновой системы (M 2n , , H )

называется дифференциальное уравнение x(t) = sgrad H |x(t) D где t I " паE раметр в некотором интервале I RF Если гамильтонова система является интегрируемой и все решения уравнения Гамильтона существуют глобальE ноD то есть допускают продолжение параметра t на RD то систему назовем
интегрируемой по Лиувиллю

или

вполне интегрируемойF

Определение 3.1.4.
бойAD

Точка x M

2n

называется

критической

@или
2n

осо-

если df1 (x), . . . , dfn (x) линейно зависимыF Отображение : M
отображением момента

Rn D
отобE

: x (f1 (x), . . . , fn (x))D называется
любой критической точки x M ражения моментаF
2n

F Образ (x)

называется

критическим значением

Бифуркационной диаграмой

Rn называется множеE

ство критических значений отображения моментаF
Замечание 3.1.5.

При n = 1 особые точки x M 2 совпадают с критичеE

скими точками функции ГамильтонаF
Определение 3.1.6. Лагранжевым слоениемD

отвечающим вполне интегриE
2n

руемой гамильтоновой системеD назовем разбиение многообразия M

на связE
Сло-

ные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов f1 , . . . , fn F
ем (или листом)

интегрируемой гамильтоновой системы (M 2n , , H ) с перE

выми интегралами f1 , . . . , fn назовем компоненту связности подмножества
88


T

1

,...,n

= {x M 2n |f1 (x) = 1 , . . . , fn (x) = n }F @Слои являются лагранE
,...,n

жевыми подмногообразиями с особенностямиY подмножество T1

связноD

если набор функций (f1 , . . . , fn ) состоит из вещественных и мнимых частей комплекснозначных многочленов Лорана n переменныхD образующих невыE рожденный для своих многогранников Ньютона набор из n/2 многочленовD и если размерности многогранников Ньютона равны n PWD PD теоремаY поE следние условия выполненыD напримерD для гиперэллиптического комплексE нозначного многочлена f (z , w)D рассматриваемого в данной работеFA Слой

T

1

,...,n

называется

неособым

D если все его точки неособые @то есть в кажE
особым

дой его точке df1 , . . . , dfn линейно независимыAD иначе

F Две интегриE

руемые гамильтоновы системы (Mi2n , i , Hi ) с наборами первых интегралов

i = (fi,1 , . . . , fi,n )D такие что все слои -1 (1 , . . . , n ) связныD i = 1, 2D наE i
зывают
послойно эквивалентными

UD определение IFPWD если существуют
n

сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы h1 : M1 M2 и h2 : Rn R такиеD что 1 = h2 2 h1 F
Определение 3.1.7.

Аналогично определениям QFIFI и QFIFP определяютE

ся C

-гамильтонова система

(M 2n , C , f ) и векторное поле

косой градиент

sgrad C f D где M

2n

" комплексное многообразие размерности dimC M = nD

C " комплекснозначная замкнутая невырожденная дифференциальная PE
форма на M 2n D f : M
3.1.1
2n

C " голоморфная функция на M 2n F

Важный класс комплексных гамильтоновых систем

Пусть M 4 = C2 (z , w)F Рассмотрим четырехмерное многообразие R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) и диффеоморфизм R4 (x1 , y1 , x2 , y2 ) C2 (z , w)D (x1 , y1 , x2 , y2 ) (x1 + iy1 , x2 +
89


iy2 ) = (z , w)F На R4 введем симплектическую структуру = dx1 dx2 - dy1 dy2 D заметимD что = Re(dz dw)D также введем функцию H = Re(f (z , w)) : R4 RD где f (z , w) " комплексный многочлен двух комплексных переменE
ныхF Согласно следующей леммеD гамильтонова система

(R4 , , H ) = (C2 (z , w), Re(dz dw), Re(f (z , w)))
имеет дополнительный первый интеграл F = Im(f (z , w))F
Лемма 3.1.8
ты на

@QFIFIA

@Лемма PFIFTA

. Если многочлен

f (z , w)

отличен от констан-

C

2

, то гамильтонова система

@QFIFIA

является интегрируемой с причем

дополнительным первым интегралом

F = Im(f (z , w)),

sgrad F =

-i sgrad H

.

Лемма 3.1.9
диентом

@Лемма PFIFUA

. Векторное поле

sgrad H

совпадает с косым граотносительно комна

sgrad C f

комплекснозначной функции

f (z , w)

плекснозначной симлектической структуры

C = dz dw

C2 (z , w),

т.е.

sgrad H = sgrad C f @смF определение QFIFUA

.

По лемме QFIFW уравнения Гамильтона систем (R4 , , H ) = (C2 , Re(C ), Re f ) и (C2 , C , f ) совпадаютF Далее будем рассматривать только CEгамильтоновы системыF Леммы QFIFV и QFIFW приводят к следующему определениюF
Определение 3.1.10.

Две CEдифференцируемые функции fi : Mi CD
эквивалентными

i = 1, 2D будем называть
эквивалентными

@соответственно

топологически

AD если существует комплексный диффеоморфизм @соответE

ственно сохраняющий ориентацию гомеоморфизмA h : M1 M2 такойD что

f2 h = f1 F
90


В QFP и QFQ исследуются классы топологической эквивалентности гиперE эллиптических многочленов f = f (z , w) в малых окрестностях критических точек @соответственно критических слоевAD тFеF получена локальная @соответE ственно полулокальнаяA топологическая классификация особенностей таких функцийF ЯсноD что из топологической эквивалентности таких функций слеE дует послойная эквивалентность соответствующих лагранжевых слоений @смF определения QFIFTD QFIFIHAF
Определение 3.1.11.

@АA

Римановой метрикой пополнения

ds2 на неособом

слое T = f
1 2

-1

( ) для функции f назовем риманову метрику ds2 := =
голоморфная 1-форма

( + ) на T D где

определена на слое
2


T соотношением (sgrad C f |T ) = 1F ОтметимD что риманова метрика ds
и i sgrad C f |T являются ее геодезическимиF @БA На слое T определена
функция расстояния

является плоскойD и интегральные траектории векторных полей sgrad C f |T

: T Ч T RD где для

любых x, y T D (x, y ) " нижняя грань длин всех кривыхD лежащих в T и соединяющих точки x, y D длина в смысле римановой метрики пополнения

ds2 F
3.1.2 Гиперэллиптические многочлены: топология неособого слоя, локальная классификация особенностей лагранжева слоения

Для любых r > 0D 0 C обозначим

D

2 0 ,r

:= { C | | - 0 | < r},

D

2 0 ,r

:= { C | | - 0 | r}.

91


Определение 3.1.12.

Критическая точка p C2 многочлена f (z 1 , z 2 )D в коE
2 f (z 1 ,z 2 ) z i z j |p

торой матрица вторых частных производных зывается
ским морсовской критической точкой

невырожденаD наE
морсов-

F Многочлен называется

D если все его критические точки морсовскиеF критической точки p C2 многочлена

Определение 3.1.13. Кратностью

f (z , w) @ (z , w)

числом МилнораA

3 называется степень отображения : S S 3 D

( |(



f z f z

(z ,w), (z ,w),

f w f w

(z ,w)) (z ,w))|

3 D где S " сфера в C2 с центром в точке p достаточно

малого радиуса @смF IS и IHD ГлFsD QD предложение IAF
Определение 3.1.14.

Комплексный многочлен вида f (z , w) = z 2 + Pn (w)D
гипе-

где Pn (w) " многочлен степени n N от wD будем также называть
рэллиптическим многочленом степени

n @имеется в виду степень по wAD а n системы (C2 , dz

также

гиперэллиптическим гамильтонианом степени

dw, f (z , w))F
Лемма 3.1.15. Пусть
гочлена с

C

неособое значение гиперэллиптического мноТогда слой

f (z , w) = z 2 +Pn (w).

T = f

-1

( ) C

2

гомеоморфен сфере

[

n -1 2

]

ручками и без

3+(-1)n точек. 2

Доказательство.

Рассмотрим двулистное разветвленное накрытие Prw |T :

T CD (z , w) wF Точки ветвления в конечной части плоскости совE
падают с корнями уравнения Pn (w) = D всего n конечных точек ветвлеE нияF Рассмотрим точку C и сделаем замену переменной u =
1 w

F Пусть

Pn (w) - = (w - w1 ) . . . (w - wn )D где wi CD i = 1, . . . , nF Тогда z (u) = +i u-n (1 - w1 u) . . . (1 - wn u)F Отсюда при четном n точка u = 0 не являE
ется точкой ветвленияD а при нечетном n является точкой ветвленияF ЗначитD
92


имеет один прокол при нечетном n и два прокола при четном nF Эйлерова
характеристика (T ) = 2(C) - nD откуда 2 - 2g - количество ручекF Отсюда g =
Лемма 3.1.16
n -1 2 3+(-1) 2
n

= 2 - nD где g "

F Лемма доказанаF

@@локальная классификация особенностейX особенность типа

Ak-1 AA.

Для любого гиперэллиптического многочлена

f (z , w) = z 2 + Pn (w)
существуют

и любой его критической точки

pC

2

кратности точки

k-1

> f |U
4

0

и замкнутая окрестность

U C C

4

2

p

, такие что функция

эквивалентна функции

g:V

4 ,k

, где

g (z , w) = z 2 + wk + f (p),
@QFIFPA

V

4 ,k

= {(z , w) C2 | |z 2 + wk | , |w| (2)1/k }.

Доказательство.

Пусть p = (z0 , w0 ) " критическая точкаD тогда z0 = 0 и
n-k

f (z , w) = z 2 +(w -w0 )k Qn-k (w)+f (p)D где Q
причем Q
n -k

(w) " многочлен степени n-k D

2 (w0 ) = 0F Рассмотрим окрестность U1 C точки w0 такуюD что -k

2 для любой точки w U1 выполнено |Qn

(w) - Qn-k (w0 )| < |Q

n -k

(w0 )|F В U
k

2 1

2 ~ корректно определено отображение : U1 CD w w = (w -w0 )

Qn-k (w)D
0

где
4 ,k

k

2 2 2 " одна из ветвей в U1 F Существует окрестность U2 U1 точки w

2 2 2 такаяD что |U2 : U2 (U2 ) " диффеоморфизмF Выберем > 0 такоеD что

V

2 2 2 C Ч ((U2 )) = (idC Ч )(C Ч U2 )F Положим U := U2 (idC Ч )-1 (V 4 4 ,k

4

4 ,k

)D
4

тогда (idC Ч )|U 4 : U V

" диффеоморфизмD и g (idC Ч )(z , w) =

g (z , (w - w0 )

k

Qn-k (w)) = z 2 + (w - w0 )k Qn-k (w) + f (p) = f (z , w)D (z , w) U F

Лемма доказанаF
Замечание 3.1.17

@@комплексная лемма МорсаAA. Согласно лемме QFIFIT при

k = 2D для любого полиномиального гамильтониана f (z , w) и любой его морE
совской критической точки p C2 существует > 0 и замкнутая окрестE
93


ность U C2 точки p U 4 такаяD что функция f |U 4 эквивалентна функE ции g : V
4

4

V

C2 D где g (z , w) = z 2 + w2 + f (p) и = {(z , w) C2 | |z 2 + w2 | , |w| 2}F В действительностиD укаE
4 4

4

C в окрестности V

4

занные слоения в U и V симплектоморфны относительно симплектической структуры C = dz dw UF Такие особенности лагранжева слоения имеют тип фокусEфокус UF Для компактных слоев лагранжево слоение с особенE ностью типа фокусEфокус описано в UD приложение QF По лемме Морса в окрестности морсовской критической точки p многоE член f имеет вид f = (z 1 )2 + (z 2 )2 + cD в некоторых локальных координатах

z 1 , z 2 D c CF Поэтому кратность критической точки p равна 1 @смF определеE
ние QFIFIQAF
3.1.3 Наборы кратностей критических точек на особых слоях

Теорема 23

@@РF Том RSD теорема @IAAA

. Любой системе

{j }s j
kj

=1 различных
j (pi )i=1 j

комплексных чисел и любой системе наборов натуральных чисел

k

,

1js
s kj

, таких что при любом

j [1, s]

выполнено

(pi + 1) n j
i=1

и

, можно сопоставить многочлен P = Pn (w ) степени n, j =1 i=1 s имеющий множество критических значений {j }j =1 и набор кратностей
j (pi )i=1 j

pi = n - 1 j

k

критических точек из

P

-1

(j )

для каждого

j [1, s].

Для гиперэллиптического многочлена f (z , w) = z 2 + Pn (w) обозначим коE личество различных особых значений через s(f )D а количество критических точек на особом слое Tj = f
-1

(j ) " через kj D 1 j s(f )F Набор кратноE
k

j стей критических точек на особом слое Tj обозначим (pi )i=1 D а сумму этих j

94


кратностей обозначим чj :=

kj i=1

pi D 1 j s(f )F Из теоремы Тома @смF теореE j

му PQA получаем следующее утверждение о количествах критических точек на особых слоях для гиперэллиптических многочленовF
Следствие 3.1.18. Пусть дан произвольный гиперэллиптический многочлен 1) 2)

f (z , w) = z 2 + Pn (w) ч1 + ћ ћ ћ + ч
s(f )

степени ,

nN

. Тогда:

=n-1

kj чj , kj + чj n

для любого

j = 1, . . . , s(f ).
, удо-

Верно обратное: для любых чисел

s N {0}, k1 , . . . , ks , ч1 , . . . , чs N
j (pi )i=1 j

влетворяющих условиям 1) и 2) выше, любого разбиения в сумму

k

каждого

чj

kj

слагаемых,

1js

, и любых различных точек

1 , . . . , s C

существует гиперэллиптический многочлен степени имеющий ровно

n = ч1 + ћ ћ ћ + чs + 1, 1 , . . . ,
s , при-

s

различных критических значений, равных

чем на особом слое ми

Tj

имеется ровно .

kj

критических точек, с кратностя-

p1 , . . . , p j

kj j,

j = 1, . . . , s

3.2

Топология слоения в окрестности особой точки (локальная топологическая классификация особенностей)

Аналогично @QFIFPAD для любых n ND > 0 обозначим

V V

4 ,n 4 ,n

:= {(z , w) C2 | |z 2 + wn | , |w| (2)1/n }, := {(z , w) C | |z + w | , |w| < (2)
2 2 n 1/n

}.

@QFPFIA

Предложение 3.2.1

@@топология слоения в замкнутой окрестности критиE
При четном

ческой точки четной кратностиAA.

nN

для любых

>0

и

95


0 C

функция

g = gn : V

4 ,n

C, g (z , w) = z 2 + wn + 0
, где

, топологически

эквивалентна функции

4 q = qn : M,n C

4 M,n = ([0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч

([-1, 0- ] [0+ , 1]))/ ,
щими

отношение эквивалентности



порождено следую-

n+1

отношениями:

(r, mod 2 ,

+t+2 k n

mod 2 , 0- ) 1,k (r, mod 2 ,

-+t-2 k n

mod 2 , 0+ ),
@QFPFPA

(0, mod 2 , mod 2 , h) 2 (0, 0 mod 2 , mod 2 , h), 0 k < n, r [0, ], mod 2 , mod 2 R/2 Z, t [- , ], h [-1, 0- ] [0+ , 1], q (r, mod 2 , mod 2 , h) = re [-1, 0- ]
и

i

+

0 . Здесь

0

+

:= 0 [0+ , 1], 0

-

:= 0

g (V

4 ,n

4 ) = q (M,n ) = D

2 0 , .

Замечание 3.2.2.

@АA @Исчезающая окружность или исчезающий графAF

4 Пространство M,n := ([0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч ([-1, 0- ] [0+ , 1]))/ получено из триE

~4 виально расслоенного пространства M,n := [0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч ([-1, 0- ] [0+ , 1])
путем отождествленийD описанных в @QFPFPA и имеющих следующий геометE

~4 рический смыслF В пространстве M,n каждый слой {(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч ([-1, 0- ] [0+ , 1]) является несвязным объединением двух цилиндровD приE
,k

чем первое соотношение 1 D порожденное набором соотношений 1

форE

мулы @QFPFPAD 0 k < nD превращает слой в связную двумерную поверхE ность рода
n-2 2

с краем из двух компонентD отождествляя верхнее основаE

ние первого цилиндраD разбитое на n равных дуг @которые пометим послеE довательно символами a1 , . . . , an при положительном обходе основания циE линдраAD с нижним основанием второго цилиндраD разбитым на n равных дуг @которые пометим последовательно символами an , . . . , a1 при положиE тельном обходе основания цилиндраAD причем первое разбиение на дуги поE
96


вернуто на угол /n в направлении своей ориентацииD а второе разбиение " на тот же угол в направлении противоположном своей ориентацииD при помощи попарного склеивания соответствующих дуг с учетом ориентацииF На каждом слое ({(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч ([-1, 0- ]

[0+ , 1]))/ 1 получаем

граф ({(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч {0- , 0+ })/ 1 с двумя вершинами и n ребрами

a1 , . . . , an D каждое из которых соединяет обе вершиныD гомеоморфный графу K
2,n

и называемый

исчезающим графом для функции

gn F При n = 2 исчеE
исчезающей окруж-

зающий граф гомеоморфен окружности и называется
ностью

F Оставшееся соотношение 2 в @QFPFPA отождествляет друг с другом

слои вида ({(0, mod 2 )} Ч S 1 Ч ([-1, 0- ]

[0+ , 1]))/ 1 D mod 2 S

1

@особый слойAF Из соотношений в @QFPFPA следуетD что на особом слое исчезаE ющий граф склеивается в точку @перетяжка на особом слоеAF Таким обраE зомD семейство исчезающих графов @исчезающих окружностей при n = 2A на неособых слоях стремится к особой точке @исчезаетA при стремлении слоя к особомуF @БA Из @АA и доказательства утверждения QFPFI следуетD что исчезающий
- граф на неособом слое T = gn 1 ( )D D 2 0 ,

\ {0 }D имеет вид =

(Prw |T )-1 ( a, b CF

n -1 i=0

0,wi, )D где Prw : (z , w) wD w

i,

" корни уравнения wn = -0 D

0 i < nD через a,b обозначен прямолинейный отрезок на C с концами

Доказательство утверждения 3.2.1.

4 Шаг IF Функция q : M,n C опредеE

лена корректноD так как при 0 k < n

q (r, mod 2 ,

+ t + 2 k mod 2 , 0 ) = rei +0 , q (0, mod 2 , mod 2 , h) = 0 . n

Шаг PF Для любых n ND n 2D 0 RD 0 a < b рассмотрим в
97


плоскости C подмножества

An,

0

,a,b,+

:= {w = re

i

C | a r b, 0 +(-0 )

}, Bn, n

0

,b,+

:= An,
,b,+

0

,0,b,+

.

Введем вещественные координаты (u = un,0 ,+ , v = v ношением uei
(0 + n )

n,0 ,+

) на Bn,0

соотE

+ v ei0 = wD где 0 u bD 0 v dn,b (u)D dn,b (u) :=
0

-u cos + n

b2 - u2 sin2 ( )F Подмножество An, n

,a,b,+

Bn,0

,b,+

в координатах

(u, v ) задается соотношениями dn,a (u) v dn,b (u) и 0 u bF Определим
гомеоморфизм n,
0

,a,b,+

n,

0

,a,b,+

: Bn,0 ,b,+ An,0 ,a,b,+ в координатах (u, v ) формулой (u, v ), u a, (u, v ) = (u, d (u) + v dn,b (u)-dn,a (u) ), u a. n,a dn,b (u)
корректно определено и непрерывноD так как при u =
dn,b (u)-dn,a (u) dn,b (u)

Отображение n,

0

,a,b,+

a выполнено (u, dn,a (u) + v
множества A
n,0 ,a,b
0

) = (u, v ) в силу dn,a (a) = 0F Введем
0

:= A
,a,b

n,0 ,a,b,+

An,
0

,a,b,-

D Bn,

0

,b

:= Bn,
n,0 ,a,b

0

,b,+

Bn,

0

,b,-

Dи

гомеоморфизм n, при w Bn,0
,b,+

: Bn,0 ,b An,

,a,b

D полагая

(w) :=

n,0 ,a,b,+

(w)

F
4 ,n 4 M,n формулой

Шаг QF При четном n определим отображение h1 : V

)|- r, , - arg (w), |(w/n r11/n , r 0, wn e-i [0, r], (2)1 -r /n h1 (z , w) := r > 0, wn e-i [0, r], (r, , - arg (w), 0 ) , (0, 0, 0, 0 ) , z = w = 0, -
4 где вторая и третья координаты точки h1 (z , w) M,n рассматриваются по

модулю 2 D z 2 + wn = rei D r [0, ]D 0 < 2 D := 0 при r = 0D

z sgn (Im n/2 ), w - sgn ( z ), wn/2 = (z , w) := -, - sgn ( z ), ei/2
98

r 0, wn e

-i i

[0, r], (0, r),

r > 0, wn e-

r 0, wn = rei , z = 0, r > 0, w = 0,


(w) = r,,l (w) :=

n,

+ +2 l n

,r

1/n

,(2)

1/n

(w)D число l = l(r, , w) Z [0, n - 1]
+2 l +2 (l+1) n, n

определяется условиями l(r, , 0) := 0D arg w [

) при w = 0F

Проверим корректность определения знака (z , w) = +F В первых двух случаях имеем w = 0D положим = (z , w) :=
z w
n/2

D откуда re

i

= z 2 + wn =

(2 + 1)wn F Поэтому в первом случае 2 [0, +)D откуда RD а во втором
случае 2 > 0D поэтому R \ {0}F В четвертом случае из w = 0 имеем D поэтому

z = +r

1/2 i/2

e

z e
i/2

= +r

1/2

R \ {0}F ЗначитD (z , w) и h1 (z , w)
z 2 +w wn
n n

определены корректноF ОтметимD что во втором случае определения (z , w) выполнено

=

2 + 1D R \ {0}D откуда d
4 ,n

z 2 +w wn

n

= 2dD и Im(d(z , w)) =

1 2

Im(d

z 2 +w wn

)F

Шаг RF ПроверимD что отображение h1 непрерывно в каждой точке (z , w) ^^

V

F Пусть rD D ^D := (z , w)D := ^^l^ ^^ ^

r,,^(w ^ ^l ^

) и r, , lD = (z , w)D :=

r,,l

(w) " соответствующие значения в точках (z , w) и (z , w)F Обозначим ^^
4 ,n 4 ,n

через ~ Z такое числоD что | + 2 ~ - - 2 ^| < @если + + 2 ZAF l l^ l ^ Обозначим через V

(z , w) множество всех точек (z , w) V ^^

D для которых
4 ,n

l := l(r, , w) = ~ и значения h1 (z , w) и := (z , w) вычисляются по тем же l
формуламD что h1 (z , w) и F Тогда h1 (z , w) h1 (z , w) при (z , w) V ^^ ^ ^^ и (z , w) (z , w)F Пусть далее точка (z , w) V ^^
4 ,n

(z , w) ^^

достаточно близка к (z , w)F ^^

Рассмотрим все возможные положения точки (z , w)F ^^
А. Дополнение к исчезающему графу в неособом слое.

Пусть r > 0D wn e- ^ ^

i ^



[0, r]F Тогда значения h1 (z , w) и = (z , w) вычисляются по своим первым ^
формуламD откуда = F Если arg w > ^ ^
+2^ ^ l nD

то l = ~D откуда (z , w) l
+2^ ^ l nD

V

4 ,n

(z , w) и все доказано @смF вышеAF Если arg w = ^^ ^

то

r,,^(w ^ ^l ^

)=w ^

и r,,l (w) = w для любой точки (z , w) из малой окрестности точки (z , w) ^^

99


@независимо от , lAD в силу построения гомеоморфизма

n,0 ,a,b

на шаге PF

Поэтому отображение h1 (z , w) непрерывно в данной окрестностиF
Б. Дополнение к исчезающему графу в особом слое.

Пусть r = 0D w = 0F ^ ^

Тогда r,,l (w) 0

,,l

(w) = w = при (z , w) (z , w) @независимо от , lAF В ^ ^^ ^^

малой окрестности точки (z , w) значения h1 (z , w) и = (z , w) вычисляются ^^ по первым формуламD поэтому = и h1 (z , w) h1 (z , w) при (z , w) ^ ^^

(z , w)F ^^
В. Открытое ребро

a^+1 l

исчезающего графа на неособом слое.

Пусть r > ^

0D wn e ^

-i ^

(0, r]F Тогда значение h1 (z , w) вычисляется по второй формулеD ^ ^^
+2^+t ^ l^ n

а значение = (z , w) " по второй или третьей формулеF Имеем w = 0D ^ ^^ ^

arg w = ^

+2^ ^ l nD

|| = r1/n D arg = ^ ^ ^
4 ,n

^ для некоторого t [0, )F
i

Если z = 0 и (z , w) V ^

(z , w)D то wn e- ^^

[0, r] и каждое значение

h1 (z , w) и (z , w) @соответственно h1 (z , w) и (z , w)A вычисляется по своей ^^ ^^
второй @соответственно первойA формулеD причем выполнено либо arg w
l +2~ +2 (~+1) l n, n

(

) и l = ~D либо arg w ( l

+2 (~-1) +2~ l , n l) n r,,l

и l = ~ - 1F В первом l
r,,^(w ^ ^l ^

случае при (z , w) (z , w) имеемD воEпервыхD ^^

(w)

) = D откуда ^

|

r,,l

(w)| || = r1/n и arg ^ ^
z w

r,,l

(w) arg = ^

+2^+t ^ l^ D n

аD воEвторыхD значеE

ние := (z , w) = sgn (Im

n/2

) = sgn (Im (z , w)) @вычисленное по первой

^ формулеA в силу R \ {0} и формулы для Im(d(z , w))D смF шаг QD равно ^^ ^ значению sgn ( Im
z 2 +w wn
n

^^ ) = - sgn = @вычисленному по второй формулеAF

Поэтому значение h1 (z , w)D вычисленное по первой формулеD стремится к знаE чению (r, , - ^^ ^
+2^+t ^ l^ , 0 ^ n

) = h1 (z , w)D вычисленному по второй формулеF Во ^^
r,,l

втором случае при (z , w) (z , w) имеемD воEпервыхD ^^ откуда |
r,,l

(w)

r,,^-1 ^ ^l

(w)D ^

(w)| r1/n и arg ^

r,,l

(w)

+2^-t ^ l^ D n

иD воEвторыхD значение

100


(z , w) = sgn (Im

z w
n/2

) = sgn (Im (z , w)) @вычисленное по первой формулеA

^ в силу R \ {0} и формулы для Im(d(z , w))D смF шаг QD равно значению ^^ ^ sgn ( Im
z 2 +w wn
n

^ ) = sgn = - @вычисленному по второй формулеAF Поэтому ^

значение h1 (z , w) @вычисленное по первой формулеA стремится к значению

(r, , ^^^

+ 2 ^ - t ^ l^ , 0- ) ^ n

1,^ l

(r, , - ^^ ^

+ 2 ^ + t ^ l^ , 0 ) = h1 (z , w) ^^ ^ n

@вычисленному по второй формулеAF Здесь мы использовали соотношение 1,^ l
4 в пространстве M,n D смF @QFPFPAF

Пусть теперь z = 0 @середина ^

ребра

a^+1 l

исчезающего графа

A и (z , w)

V

4 ,n

(z , w)F Тогда значение = (z , w) вычисляется по третьей формуле в ^^ ^ ^^

определении (z , w)D поэтому либо каждое значение h1 (z , w) и (z , w) выE числяется по своей первой формулеD либо каждое " по своей второй форE мулеF Дальнейшее доказательство аналогично приведенному вышеD с учетом
+2^ ^ l n

^ тогоD что t = 0 @откуда arg (r, , ^^
+2^ ^ l n , 0+

r,,l

(w)

= arg A и что пара точек ^

4 ) отождествляется в одну точку в M,n ввиду соотношения

1,^ при t = 0F l
Г. Вершина исчезающего графа на неособом слое.

Пусть r > 0D w = 0F ТоE ^ ^

гда значение h1 (z , w) вычисляется по второй формулеD а значение = (z , w) ^^ ^ ^^ " по четвертой формулеF Поскольку ^ = l(r, , 0) = 0 и = l ^^ ^
r,,0 ^^

(0)D то , 0 )F ^

|| = r1/n и arg = ^ ^ ^

+ ^ n

D откуда = - sgn ^

z ^ e
i/2 ^

и h1 (z , w) = (r, , - ^^ ^^ ^
r,,l

+ ^ n

Если (z , w) (z , 0)D то из w 0 получаем | ^

(w)| r1/n независимо от ^

, lF
ПокажемD что = (-1)
l -1

sgn (Re

z e
i/2

) при (z , w) (z , 0)F При w = 0 это ^
i

следует из четвертой формулы для (z , w) ввиду l = 0F При wn e- имеем arg w =
+2 l n

(0, r)

D arg(w

n/2

)=

2

+ lD откуда по второй формуле для

101


(z , w) имеем = - sgn (
нец при wn e
-i

z w
n/2

) = - sgn (

[0, r] имеем arg w (

z z ) = (-1)l-1 sgn ( ei/2 )F ei/2 +2 l +2 (l+1) )D arg(wn/2 ) ( + n, n 2

ei/2 wn/2

ћ

НакоE

l, + 2
z
n/2

(l + 1))D откуда по первой формуле для (z , w) имеем = sgn (Im sgn (Im
ei/2 wn/2

w

)=

) ћ sgn (Re

z e
i/2

) = (-1)l

-1

sgn (Re

z e
i/2

)F Здесь мы применили раE

1 венство sgn (Im u ) = sgn (Im v ) ћ sgn (Re u) при u2 + v 2 = 1D v 0D v RD v

положив u :=

z r
1/2 ei/2

D v :=

w r

n/2

1/2 ei/2

F Отсюда = (-1)l
z ^ e
i/2 ^

-1

sgn (Re

z e
i/2

)=

(-1)l

-~-1 l

sgn (Re
4 ,n

z e
i/2+~i l

) = (-1)

l-~-1 l

sgn (

~ ) = (-1)l-l ввиду + 2~ F ^ l ^ 4 ,n,l0

Для любого l0 Z [0, n - 1] обозначим через V

множество всех точек
4 ,n,l0

(z , w) V

D для которых l - ~ = l0 F Тогда при (z , w) (z , 0) и (z , w) V l ^

имеем (z , w) = (-1)l0 =: 0 @смF вышеAD и в силу + 2 ~ выполнено ^ l ^

arg

r,,l

(w)

+ + 2 l0 ^ , n

h1 (z , w) (0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч {0 h | h [00 , 1)},

и h1 (z , w) вычисляется по первой или второй формулеD откуда h1 (z , w)

(r, , - ^^ (r, , ^^

0

+ +2 l0 ^ n

, 00 )F Полученная предельная точка (r, , - ^^
- ^^ n

0

+ +2 l0 ^ n

, 0 0 )

-0 +2 l0 ^ n + ^ n

4 , 0- ) M,n не зависит от l0 и совпадает с точкой h1 (z , w) = ^^

(r, , - ^^ ^ t = + F

, 0 ) (r, , ^^ ^

, 0- ) в силу 0 = (-1)l0 и соотношений 1,k при ^

Д. Исчезающий граф (перетяжка) на особом слое особая точка.

Пусть

^ r = 0D w = 0F Тогда z = 0 и h1 (z , w) = h1 (0, 0) = (0, 0, 0, 0- ) по третьей форE ^ ^ ^ ^^
муле в определении h1 (z , w)F При (z , w) (0, 0) имеем r 0 @тFеF слой стремится к особомуA и w 0D откуда |
r,,l

(w)| 0 независимо от , lD тFеF

точка h1 (z , w) стремится к исчезающему графу {(0, 0)} Ч S 1 Ч {0- } в осоE
4 бом слое {(0, 0)} Ч S 1 Ч ([-1, 0- ] [0+ , 1])F Так как в M,n указанный граф

^ отождествляется в точку (0, 0, 0, 0- )D имеем h1 (z , w) (0, 0, 0, 0- ) = h1 (0, 0)F
Шаг SF ПокажемD что отображение h1 инъективноF Пусть h1 (z1 , w1 ) =
102


n 2 n 2 h1 (z2 , w2 ) =: (r, mod 2 , mod 2 , h)F Тогда z1 + w1 = z2 + w2 = rei F Если

h {0- , 0+ }D то каждое h1 (zj , wj ) и каждое (zj , wj ) вычисляются по перE
вым формуламD j = 1, 2Y в силу h = и = -1 arg r,,l1 (w1 ) = -2 arg
|r,,l1 (w1 )|-r1 1 (2)1/n -r1/n
2 /n

=

|r,,l2 (w2 )|-r1 2 (2)1/n -r1/n

/n

=0

r,,l

(w2 ) имеем sgn h = 1 = 2 =: и
+2 lj +2 (lj +1) n, n

r,,l1 (w1 ) = r,,l2 (w2 ) =: D отсюда arg [
му l1 = l2 и @поскольку n,
0

)D j = 1, 2D поэтоE

,a,b

" гомеоморфизмD смF шаг PA w1 = w2 D а в силу

= sgn (Im

z1 n/2 w1

) = sgn (Im

z2 n/2 w2

) имеем z1 = z2 D тFеF (z1 , w1 ) = (z2 , w2 )F Если

h {0- , 0+ } и r = 0D то каждое h1 (zj , wj ) вычисляется по третьей формуле
и поэтому (zj , wj ) = (0, 0)D j = 1, 2F Пусть h {0- , 0+ } и r > 0D тогда каждое h1 (zj , wj ) вычисляется по втоE рой формулеD j = 1, 2F Без ограничения общности считаемD что h = 0- F По построению имеем arg( да h1 (zj , wj ) = (r, , -j
r,,l
j

(wj )) =

+tj +2 lj n

для некоторого tj [0, ]D откуE
-j tj +2 lj n + n

+tj +2 lj n

, 0j ) 1,lj (r, ,
-j n

, 0- ) 1 (r, , , 0- )D Z имеем t1 = t2 =
+2 lj n

где j := (zj , wj )D j = 1, 2F Поэтому в случае и w1 = w2 = 0D l1 = l2 = 0D = чае
+ n +2 lj -j t n

+

2 n

D j = 1, 2D откуда 1 = 2 Y а в слуE D

+
j

2 n

Z имеем 0 tj < и wj = 0D откуда arg wj =

=

D j = 1, 2D поэтому l1 = l2 =: lD t1 = t2 D 1 = 2 @так как при
r,,l

tj = 0 имеем j = -1 по третьей формулеAD откуда
этому w1 = w2 @так как
n,0 ,a,b n

(w1 ) =

r,,l

(w2 )D поE

" гомеоморфизмD смF шаг PAF Если + 2n ZD n

то t1 = t2 = 0 и z1 = z2 = 0Y а если

+ Z или n

+ n

+

2 n

ZD то 1 =

2

вычисляются по второй @соответственно четвертойA формулеD откуда z1 = z2 F ЗначитD (z1 , w1 ) = (z2 , w2 )F Шаг TF ДокажемD что h1 (V
4 ,n 4 ) = M,n F Рассмотрим любую точку (r, , , h)

4 M,n F Аналогично шагу S показываетсяD что в каждом случае h {0- , 0+ } и

103


h {0- , 0+ } имеется точка (z , w) V
4 ,n

4 ,n

D такая что h1 (z , w) = (r, , , h)F

Так как отображение h1 непрерывноD биективно и определено на компакте

V

D то оно является гомеоморфизмомF Утверждение QFPFI доказаноF @@топология слоения в замкнутой окрестности критиE
При нечетном

Предложение 3.2.3

ческой точки нечетной кратностиAA.

nN

для любых

>0

и

0 C

функция

g = gn : V

4 ,n

C, g (z , w) = z 2 + wn + 0
, где

, топологически экви-

валентна функции

4 q = qn : M,n C

4 M,n = ([0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч [-1, 0])/ ,

отношение эквивалентности ми:



порождено следующими

n+1

отношения-

(r, mod 2 ,

+t+2 k n

mod 4 , 0) 1,k (r, mod 2 ,

-t+2 k n

+ 2 mod 4 , 0),
@QFPFQA

(0, mod 2 , mod 4 , h) 2 (0, 0 mod 2 , mod 4 , h), 0 k < n, r [0, ], mod 2 R/2 Z, mod 4 R/4 Z, t [- , ], h [-1, 0], q (r, mod 2 , mod 4 , h) = rei + 0 D
2 0 , .
. При этом

g (V

4 ,n

4 ) = q (M,n ) =

Замечание 3.2.4.

@АA @Исчезающий графAF Аналогично замечанию QFPFPD

4 пространство M,n := ([0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч [-1, 0])/ получено из тривиально

~4 расслоенного пространства M,n := [0, ] Ч S 1 Ч S 1 Ч [-1, 0] путем отождествE
ленийD описанных в @QFPFQA и имеющих следующий геометрический смыслF

~4 В пространстве M,n каждый слой является цилиндром {(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч [-1, 0]D причем первое соотношение 1 D порожденное набором соотношений 1,k формулы @QFPFQAD 0 k < nD превращает слой в связную двумерную
поверхность рода
n-1 2

с связным краемD отождествляя точки верхнего осE

нования цилиндраD разбитого на 2n равных дуг @которые пометим послеE
104


довательно символами a1 , . . . , an , a-1 , . . . , a 1

-1 n

при положительном обходе осE
2n

нования цилиндраD причем разбиение на дуги повернуто на угол

mod 2

в направлении ориентации этого основанияAD при помощи попарного склеE ивания соответствующих дуг с обращением ориентацииF На каждом слое

({(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч [-1, 0])/ 1 получаем граф ({(r, mod 2 )} Ч S 1 Ч {0})/ 1 с двумя вершинами и n ребрами a1 , . . . , an D каждое из которых соE
единяет обе вершиныD гомеоморфный графу K
графом для функции

2,n

и называемый

исчезающим

gn F @При n = 1 исчезающий граф является отрезкомFA

Оставшееся соотношение 2 в @QFPFQA отождествляет друг с другом слои вида

({(0, mod 2 )} Ч S 1 Ч [-1, 0])/ 1 D mod 2 S 1 @особый слойAF Из соотE
ношений в @QFPFQA следуетD что на особом слое исчезающий граф склеивается в точку @перетяжка на особом слоеAF Таким образомD семейство исчезаюE щих графов на неособых слоях стремится к особой точке @исчезаетA при стремлении слоя к особомуF @БA Из @АA и доказательства утверждения QFPFQ следуетD что для исчезаюE
- щего графа на неособом слое T = gn 1 ( )D D 2 0 ,

\ {0 }D верна та же

формула что и в замечании QFPFP@БAF
утверждения 3.2.3.

Доказательство проводится аналогично доказательству
4 ,n 4 M,n при нечетном

утверждения QFPFIF При этом гомеоморфизм h1 : V

n определяется формулой r, , 2 arg( h1 (z , w) := (0, 0, 0, 0) ,

(w)), -

|(w)|-r1/n (2)1/n -r1/n

, (z , w) = (0, 0), (z , w) = (0, 0),

4 где вторая и третья координаты точки h1 (z , w) M,n рассматриваются по

модулю 2 и 4 соответственноD z 2 + w
105

n

= rei D r [0, ]D 0 < 2 D


:= 0 при r = 0D функции l = l(r, , w) Z [0, n - 1] и (w) =
@смF шаг QAD причем в качестве функции при |w| = (2)1/n D z 2 + wn = re
Следствие 3.2.5
i

r,,l

(w)

определяются теми же формулами как в доказательстве утверждения QFPFI

(w) берется ее ветвьD такая что
( z (w))
n

и r [0, ] выполнено Im

< 0F

@@топология слоения в окрестности морсовской критичеE
4 4

> 0 функция g : V C, где V = {(z , w) C2 | |z 2 + w2 | , |w| 2} C2 , g (z , w) = z 2 + w2 + 0 , 0 C, тоДля любого пологически эквивалентна функции

ской точкиAA.

4 q : M C

, где

4 M = ([0, ] Ч S 1 Ч

S 1 Ч ([-1, 0- ] [0+ , 1]))/ ,

отношение эквивалентности



в определении

4 M порождено следующими соотношениями: (r, mod 2 , mod 2 , 0+ ) 1 (r, mod 2 , - + mod 2 , 0- ), (0, mod 2 , mod 2 , v ) (0, 0 mod 2 , mod 2 , v ), 2

@QFPFRA

0+ := 0 [0+ , 1], 0
4

-

:= 0 [-1, 0- ], 0 r , mod 2 R/2 Z,
i( mod 2 )

mod 2 R/2 Z, h [-1, 0- ] [0+ , 1], q (r, mod 2 , mod 2 , h) = re 0
,и

+

4 g (V ) = q (M ) = D

2 0 , .

3.3

Топология слоения в окрестности слоя (полулокальная топологическая классификация особенностей)

На протяжении данного параграфа обозначим l :=

k j =1

lj D где l1 -1, . . . , lk -1
-1

" набор кратностей всех особых точек p1 , . . . , pk на слое T0 = f

(0 )F При

2 k = 0 положим l := 0F Обозначим через Mg,b компактную связную ориентиE

рованную поверхность рода g 0D край которой состоит из b 0 компонентF
106


Она гомеоморфна сфере с g ручкамиD из которой выкинуты внутренности

b попарно непересекающихся замкнутых двумерных дисковF Обозначим чеE
2 рез Mg,h,b связную ориентированную поверхностьD полученную из компактной 2 поверхности Mg,b выкидыванием h внутренних точекF

Лемма 3.3.1. Пусть

T

0

=f

-1

(0 )

(особое или неособое) множество

уровня гиперэллиптического многочлена

f (z , w) = z 2 + Pn (w)

степени
0

n

2,

содержащее ровно

k0

критических точек

p1 , . . . , pk T

, причем

кратности этих точек равны l1

- 1, . . . , l k - 1

соответственно, l1

, . . . , lk
4 j, точек

2.

Тогда

l n, l < n + k

и существует

0 > 0

, такое что для любого

(0, 0 ]

существуют замкнутые четырехмерные окрестности , такие что:

U

pj , 1 j k

(А) функция

f |U

4 j,

эквивалентна функции

glj : V

4 ,lj

C

, где

glj (z , w) = ~

z 2 + wlj + 0 , смF @QFIFPA и @QFPFIA ~
функции

, а также топологически эквивалентна ;

4 qlj : M,lj C @смF утверждения QFPFI и QFPFQA, j = 1, . . . , k

(Б) функция

f|
(f
-1

(D

2 0 ,

k

))\(
j =1

U

4 j,

топологически эквивалентна функции

f0 :

) k

D

2 0 ,

ЧL

n,k ,,l1 ,...,lk

C, ( , x)

, где

L

n,k ,,l1 ,...,lk

:= T0 \ (
j =1

U j, )

4

ком-

плексное многообразие с краем, при при

dimC L

n,k ,,l1 ,...,lk

= 1,

гомеоморфное либо

2 Mg,h,b

n>l n=l
k

2 2 или существовании хотя бы одного нечетного lj , либо M0,1,k M0,1,k k n lj n -1 (откуда k > 0) и всех четных lj , где g = [ ] - [ 2 ], h = 3+(-1) , 2 2 j =1

b=
j =1

3+(-1)lj . 2

Доказательство.

Неравенства l nD l < n + k следуют из следствия QFIFIVF
2 j,

Для каждой точки pj = (0, w0,j ) рассмотрим замкнутые окрестности U

и

U

4 j,

CЧU

2 j,

точек w

0,j

и pj соответственноD а также диффеоморфизмы
107


j : U
4

2 j,

D

2 0,(2)1/l

j

D j : w wD и (idC Ч j )| ~

U

4 j,

:U

4 j,

V

4 ,lj

как в

лемме QFIFIT и ее доказательствеD 1 j k F Выберем столь малое 1 > 0D что

U j, D 1 j k D попарно не пересекаютсяF Пункт @АA следует из леммы QFIFIT
и утверждений QFPFI и QFPFQF Докажем @БAF Положим Uj2, := -1 (D j
2 0,(2)
1/lj

)D

Uj4, := ((idC Ч j )|U 4 )-1 (V
j,

4 ,lj

)D 1 j k D смF @QFPFIAF
2 0 ,

Шаг IF При любых (0, 1 )D D
k

рассмотрим отображение Prw |

k j =1

T \(

4 Uj, )

:

T \ (
j =1

Uj4, ) C \ (

k

Uj2, )D (z , w) wF Оно является двулистным разветвE
k

j =1

ленным накрытием с n-l точками ветвления над поверхностью C\(
2 M0,1,k F При n > l накрывающее пространство T \ ( k

Uj2, )

j =1

Uj4, ) связноD так как наE
накрытие тривиально

крытие двулистно и имеет точки ветвленияF При n = l накрытие двулистно и не имеет точек ветвленияY над компонентой края U
2 j,

j =1

тогда и только тогдаD когда lj четноD в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки C накрытие тривиально тогда и только тогдаD когда
k k

l=
j =1

lj четноD поэтому накрывающее пространство T \ (

Uj4, ) несвязE

но при всех четных lj D и связноD если хотя бы одно lj нечетноF ЗначитD при

j =1

n = l и всех четных lj накрывающее пространство гомеоморфно несвязному
2 объединению двух экземпляров поверхности M0,1,k F

Пусть накрывающее пространство связноF Тогда количество h проколов равно
k 3+(-1) 2
n

D смF доказательство леммы QFIFISD а количество b = |0 ( (T \
k j =1 3+(-1) 2
lj

(
j =1

Uj4,

)))| компонент связности границы равно

в силу утверждеE

ний QFPFI и QFPFQF По формуле Гурвица имеем (T \ (

k

Uj4, )) = 2(C \

j =1

108


k

(
j =1

Uj2, )) - (n - l) = 2 - 2k - n + lF Отсюда и из равенств h =
k 3+(-1)l 2
j

3+(-1) 2 k l

n

D

b=
j =1

D (T \ (

k

Uj4,
k

)) = 2 - 2g - h - b получаем g = [
k

j =1 2 0 ,

n-1 2

]-

j =1

j [ 2 ]F

Шаг PF Для любого D тие Prw |
k j =1

рассмотрим двулистное разветвленное накрыE

T \ (

U)

4 j,

: T \ (
j =1

Uj4, ) C \ (

Uj2, )D (z , w) wF Точки ветвления
k j =1

j =1

задаются уравнениями z = 0D Pn (w) = и (z , w) / ношение равносильно w / отображении Prw |
k

U j, F Последнее соотE

4

k j =1

U j, F Обозначим образы точек ветвления при

2

T \(
j =1

4 Uj, )

через wi ( )D 1 i n - lF Рассмотрим 0 (0, 1 ] иD
2 wi (0 ), k

и > 0 такиеD что wi ( ) а также D
2 wi (0 ),

2 Dwi (0 ),

(
j =1

U j, ) = при 1 i n - lD
2 0 ,0

2

D

2 wi1 (0 ),

= при 1 i < i1 n - lD для любого D

F

Рассмотрим при 0 < 0 семейство отображений
k n-l

: (f ~

-1

(D

2 0 ,

)) \ ((
j =1 k

Uj4,

)

(
i=1

2 (Prw )-1 (Dw

i

(0 ),

)))

n -l

T0 \ ((
j =1

U)

4 j,

(
i=1 2 0 ,

2 (Prw )-1 (Dw

i

(0 ),

))),

(z , w) ( 0 - Pn (w), w)D D

D где ветвь



выбрана такD что 0 = idF ~
2 x+r rx+ 2
2

Определим отображение ,r : [- , ] [- , ] формулой ,r (x) = ~ ~ при любых r RD > |r|F Тогда отображение ~ гомеоморфизмомD причем ,r (0) = r и ,0 = id[ ~ ~
2 0, 2 0, ,r

при r (- , ) является F Определим отображение

- , ]



,r

:D

D

формулой

,r (x, y ) =

( ~

2 -y 2 ,



r 2 -y

2

(x), y ), |y | r; |y | r.

(x, y ),
109


Тогда отображение

,r

при r (- , ) является гомеоморфизмомD причем
,0

,r |

2 D0,

" тождественное отображениеD ,r (0, 0) = (r, 0) и
2 0 ,

= idD2 F Для
0,

каждого D

и 1 i n - l определим отображение

,i : T ~

((Prw )-1 (D

2 wi (0 ),

)) T

0

((Prw )-1 (D

2 wi (0 ),

))

формулой ,i : (z , w) ( ~

0 - Pn (w ,i (w)), w ,i (w))D где ветвь функции ~ ~
,i

выбрана такD что 0 ,i = idD а гомеоморфизм w ~ ~ делен условиями w ~
,i

:D

2 wi (0 ),

D

2 wi (0 ),

опреE

:= id при wi ( ) = wi (0 )D (
,|wi ( )-wi (0 )|

w ,i (w) := ei ~

arg(wi ( )-wi (0 ))

)-

1

e

-i arg(wi ( )-wi (0 ))

(w - wi (0 )) +wi (0 )

при wi ( ) = wi (0 )F Тогда отображение ,i является гомеоморфизмомD приE ~ чем ,i (0, wi ( )) = (0, wi (0 ))F ~ Шаг QF Определим семейство отображений : T \ (
k k

Uj4, ) T0 \

j =1

(
j =1

Uj4, )D D

2 0 ,

D формулой
k

(z , w) =

(z , w), ~

(z , w) T \ ((
j =1

Uj4, ) (

n -l

(z , w), (z , w) T ~ ,i

(Prw )-1 (D
k

i=1 2 wi (0 ),

2 (Prw )-1 (Dwi

(0 ),

)));

), 1 i n - l.

Тогда отображение корректно определено и является гомеоморфизмомF Определим отображение h2 : (f
-1

(D

2 0 ,

)) \ (
j =1

Uj4, ) D

2 0 ,

ЧL

n,k ,,l1 ,...,lk

форE

мулой h2 : (z , w) (f (z , w), f мом и f |
(f
-1

(z ,w)

(z , w))F Тогда h2 является гомеоморфизE

(D

2 0 ,

k

))\(
j =1

4 Uj, )

= f0 h2 F Лемма QFQFI доказанаF
k j =1

ПустьD как вышеD l :=

lj D > 0D обозначим V

4 j,

:= V

4 ,lj

D
4 ,lj

+V

4 j,

:= {(z , w) C2 | |z 2 + wlj | , |w| = (2)1/lj } = V
110

\V

4 ,lj

,


1 j k D смF @QFPFIAD L

n,k ,,l1 ,...,lk

2 Mn,k

,l1 ,...,lk

2 D где Mn,k 2 := M0,1

,l1 ,...,lk

2 := Mg,h,b @при

2 n > l или существовании нечетного lj AD Mn,k

,l1 ,...,lk

,k

2 M0,1,k @при n = l ,l1 ,...,lk

2 и всех четных lj A как в лемме QFQFIF Фиксируем ориентацию на Mn,k



Ln,k

,,l1 ,...,lk

и рассмотрим любой гомеоморфизм
k

n,k

,l1 ,...,lk

:
j =1

(R/(3 - (-1)lj ) Z) Ч {j } Ч {(-1)lj , -1} L
,,l1 ,...,lk

n,k ,,l1 ,...,lk

,

такой что поверхность Ln,k

лежит справа при прохождении вдоль кажE
,l1 ,...,lk

дого из своих граничных путей j, ( mod (3-(-1)lj ) ) := n,k

( mod (3-

(-1)lj ) , j, ) L
Теорема 24

n,,l1 ,...,lk

D {(-1)lj , -1}D 1 j k F
. Пусть

@@топология слоения в замкнутой окрестности слояAA

T0 = f

-1

(0 )

(особое или неособое) множество уровня гиперэллиптиче-

ского многочлена

f (z , w) = z 2 + Pn (w)

степени
0

n2

, содержащее ровно

k0

критических точек

p1 , . . . , pk T

, причем кратности этих точек

равны l1

- 1, . . . , lk - 1 0 > 0

соответственно, l1

, . . . , lk 2

. Тогда

l n, l < n + k f |f
-1

и существует

такое, что для любого

(0, 0 ]
4 : Mn,k

функция

(D

2 0 ,

)

топологически эквивалентна функции

f

n,k ,l1 ,...,lk

,,l1 ,...,lk

C )

. Здесь

k 4 Mn,k,,l1 ,...,lk

=(
j =1

V

4 j,

)

n,k,,l1 ,...,lk

(D

2 0 ,

Ч Ln,k

,,l1 ,...,lk

k

:= ((
j =1

V

4 j,

)

(D

2 0 ,

ЧL

n,k ,,l1 ,...,lk

))/(x V

n,k ,,l1 ,...,lk

(x))
, и мно-

получено из несвязного объединения множеств жества

4 j, ,

1jk

,,l1 ,...,lk отождествлением любой точки k 4 2 образом при гомеоморфизме n,k ,,l1 ,...,lk : + V j, D0 , j =1

D

2 0 ,

Ч Ln,k

x +V Ч L

4 j, с ее

n,k ,,l1 ,...,lk ,

111


задаваемом формулами



n,k ,,l1 ,...,lk

(z , w) := (z 2 + wlj + 0 , n,k (z , w) + V
4 j, ,

,l1 ,...,lk

((arg w) mod 2 , j, sgn (Im

z w
lj /2

)))

при четном lj и



n,k ,,l1 ,...,lk

(z , w) := (z 2 + wlj + 0 , n,k (z , w) + V Im

,l1 ,...,lk

(2 arg( w) mod 4 , j, -1)) w
при нечетном lj и , а функция

при нечетном lj и

4 j, , где ветвь z ( w)l
j



(z , w)
n,k ,l1 ,...,lk

+V

4 j, определена условием

< 0, 1 j k

f

задается формулами

f f

n,k ,l1 ,...,lk |V

4 j,

(z , w) = z 2 + wlj + 0 ,
ЧLn,k

(z , w) V ( , x) D

4 j,

, 1 j k,
n,k ,,l1 ,...,lk

n,k ,l1 ,...,lk |D

2 0 ,

,,l1 ,...,lk

( , x) = ,

2 0 ,

ЧL

.

При отождествлении

V

4 j,

4 M,lj

с помощью топологической эквивалент-

ности из утверждений 3.2.1 и 3.2.3 приклеивающий гомеоморфизм имеет вид



n,k ,,l1 ,...,lk | + V

4 j,

[0, ] Ч S

1

/ Ч S 1 Ч {(-1)lj , -1} D

2 0 ,

Ч L

n,k ,,l1 ,...,lk

,

(r, mod 2 , mod (3-(-1)lj ) , ) (rei +0 , n,k {(-1)lj , -1},
ниями

,l1 ,...,lk

(- mod (3-(-1)lj ) , j, )),
порождено отноше-

где отношение эквивалентности



(0, mod 2 ) (0, 0 mod 2 ), mod 2 S

1

, а функция

f

n,k ,l1 ,...,lk |V

4 j,

имеет вид

(r, mod 2 , mod (3 - (-1)lj ) , h) rei + 0 ,
При этом

1 j k.

f

n,k ,l1 ,...,lk

4 (Mn,k

,,l1 ,...,lk

)=D

2 0 , .

112


Доказательство.

Без ограничения общности считаемD что поверхность Ln,k

,,l1 ,...,lk



T0 определена как в лемме QFQFI@БAD ориентация на ней индуцирована комE
плексной структуройD и гомеоморфизм n,k ющий L
n,k ,,l1 ,...,lk ,l1 ,...,lk

= n,k

,,l1 ,...,lk

@параметризуE

A определен формулой
ilj /2



n,k ,,l1 ,...,lk

( mod (3 - (-1)lj ) , j, ) = ( i 2e

, -1 ((2)1/lj ei )), j

{(-1)lj , -1}D где диффеоморфизмы j : w w как в доказательстве ~
лемм QFIFIT и QFQFID 1 j k F Приклеивающее отображение делено корректноD так как из (z , w) + V ~
4 j, 4 j, n,k ,,l1 ,...,lk

опреE

и

z w ~
lj /2

=: R следует
2

|z 2 + wlj | = (2 + 1)|wlj | = (2 + 1)2 2Y оно сюръективноD так как при четE ~ ~
ном lj для (+iw ~
lj /2

, w) +V ~

выполнено sgn (Im F Отображение f

+iwlj / ~ lj /2 w ~

) = +1F Легко проE
4 : Mn,k ,,l1 ,...,lk

веряется инъективность

n,k ,,l1 ,...,lk

n,k ,l1 ,...,lk

C

определено корректноD так как для любой точки (z , w) + V ~

4 j,

выполнено

f

n,k ,l1 ,...,lk |V

4 j,

(z , w) = z 2 + wlj + 0 и f ~ ~

n,k ,l1 ,...,lk |D

2 0 ,

ЧL

n,k,,l1 ,...,lk



n,k ,,l1 ,...,lk

(z , w) = ~

z 2 + wlj + 0 F ~
Согласно леммам QFIFIT и QFQFID существуют 0 > 0 и набор семейств заE мкнутых окрестностей U
4 j,

точек pj D 0 < 0 D такиеD что для любого
n,k ,l1 ,...,lk |V
4 j,

(0, 0 ] функция f |U

4 j,

эквивалентна функции f
f
-1

:V

4 j,

D

2 0 ,

D

1 j k D а функция f |
ции f0 = f
n,k ,l1 ,...,lk |D
2 0 ,

(D

2 0 ,

k

)\(
j =1

4 Uj, )

топологически эквивалентна функE

ЧLn,k
-1

,,l1 ,...,lk 2 0 ,

F Построим топологическую эквивалентность
n,k ,l1 ,...,lk -1 4 на всем Mn,k k ,,l1 ,...,lk

h между функцией f |f
смотрим множество f

(D

)

и функцией f
k 4

F РасE

-1

(D

2 0 ,

)=(
j =1

U j, ) (f
4 j, k

(D

2 0 ,

)\(
j =1

Uj4, ))F При (z , w)

U

4 j,

положим h(z , w) = (z , j (w)) V
-1

D 1 j k D смF доказательство лемE

мы QFIFITF При (z , w) f

(D

2 0 ,

)\(
j =1

Uj4, ) положим h(z , w) = h2 (z , w) =

113


(f (z , w), f

(z ,w)

(z , w)) D

2 0 , -1

ЧL

n,k ,,l1 ,...,lk

D смF доказательство леммы QFQFI@БAD определено корректноD так

шаг QF Отображение h : f

(D

как для любой точки (z , w)

2 0 , ) 4 U j,

4 Mn,k

(f

,,l1 ,...,lk 2 -1 (D0 , ) \

Uj4, )D 1 j k D выполненоX (z , j (w)) z ))) (j (w))lj /2
(z ,w)



n,k ,,l1 ,...,lk

h|U 4 (z , w) =
j,

n,k ,,l1 ,...,lk

= (z 2 + (j (w))lj + 0 , n,k = (z 2 + Pn (w), (i sgn (Im

,,l1 ,...,lk

(arg j (w) mod 2 , j, sgn (Im
/2

z (j (w))l

j

)(j (w))lj /2 , w)) = (f (z , w), f
-1

(z , w))

= h2 (z , w) = h|f
при четном lj D и

(D

2 0 ,

4 )\Uj,

(z , w)



n,k ,,l1 ,...,lk

h|U 4 (z , w) =
j,

n,k ,,l1 ,...,lk

(z , j (w))

= (z 2 + (j (w))lj + 0 , n,k

,,l1 ,...,lk

(2 arg(

j (w)) mod 4 , j, -1))
(z ,w)

= (z 2 +Pn (w), (-i( j (w))lj , w)) = (f (z , w), f

(z , w)) = h|f

-1

(D

2 0 ,

4 )\Uj,

(z , w)
4 j,

при нечетном lj F Здесь мы использовалиD что для любых (z , w) + V ~

D

-i( w)lj = z при нечетном lj F ~
4 j,

таких что z 2 + w ~

l

j

= 0D выполнено i sgn (Im

z w ~
l j /2

)w ~

lj /2

= z при четном lj D

ПроверимD что h " топологическая эквивалентность функцийX при (z , w)

U

выполнено f

n,k ,l1 ,...,lk

h(z , w) = f

n,k ,l1 ,...,lk

(z , j (w)) = z 2 + (j (w))lj + 0 =
k

z 2 + Pn (w) = f (z , w)D при (z , w) f h2 (z , w) D
2 0 ,

-1

(D

2 0 ,

)\(
j =1

Uj4, ) выполнено h(z , w) = (f (z , w), f
(z ,w)

ЧL

n,k ,,l1 ,...,lk

Df

n,k ,l1 ,...,lk

h(z , w) = f

n,k ,l1 ,...,lk

(z , w)) =

f (z , w)D откуда f = f

n,k ,l1 ,...,lk

hF
4 ,lj 4 ,lj

Вторая часть теоремы следует из тогоD что в доказательстве утверждеE ний QFPFI и QFPFQ ограничение гомеоморфизма h1 : V
114
4 M,lj на + V


действует по формуле (z , w) (r, mod 2 , - arg(w) mod 2 , ) при четE ~ ~ ном lj D и (z , w) (r, mod 2 , 2 arg( w) mod 4 , -1) при нечетном lj D где ~ ~



re

i

= z 2 + wlj D := sgn (Im ~

z w ~
lj /2

) при четном lj D Im

z ( w)l ~

j

< 0 при нечетном

lj F Теорема доказанаF

115


Глава 4

Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов

4.1

Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов нечетной степени

Введем некоторые обозначения и сформулируем технические леммы RFIFID RFIFP и вытекающие из них утверждения RFIFRD RFIFT и следствия RFIFQD RFIFVD необходимые для понимания основного результата параграфа " теоремы PSF
Лемма 4.1.1. Пусть
степени корней,

f (z , w) = z 2 + PN (w),

где

PN (w)

любой многочлен

N1
-1

с комплексными коэффициентами, не имеющий кратных

T0 = f

(0).

Тогда:

(А) Отображение

Prw |T0 : T0 C, (z , w) w

, является двулист-

ным разветвленным накрытием и переводит векторное поле векторное поле

sgrad C f |T

0

в

+(Prw ) (sgrad C f |T0 ),

корректно определенное с точностью таких, что

до знака, т.е. для любых

(z1 , w), (z2 , w) T0

z1 = z2

, верно

(Prw ) (sgrad C f (z1 , w)) = -(Prw ) (sgrad C f (z2 , w));
116


(Б) Если все коэффициенты многочлена ное с точностью до знака векторное поле

P

N вещественны, то определенна

+(Prw ) (sgrad C f |T0 )

C

w сим-

метрично относительно отражения относительно вещественной прямой, т.е. инвариантно относительно диффеоморфизма Доказательство.

Cw C

w,

ww

.

@АA В точке (z , w) T0 выполнено sgrad C f (z , w) = (-PN (w), 2z )D

поэтому (Prw ) (sgrad C f (z , w)) = 2z / wF ОчевидноD любые два прообраза

(z1 , w), (z2 , w) T0 точки w Cw связаны соотношением z1 = -z2 F Поэтому Prw |T0 является разветвленным двулистным накрытием и (Prw ) (sgrad C f (z1 , w)) = 2z1 / w = -2z2 / w = -(Prw ) (sgrad C f (z2 , w))F
@БA Определим отображение sym : T0 T0 D заданное формулой (z , w)

(z , w)F Отображение sym определено корректноD поскольку если z 2 + PN (w) = 0D то z 2 + PN (w) = z 2 + PN (w) = 0D где первое равенство выполнено ввиду
тогоD что все коэффициенты многочлена PN (w) вещественныF Из равенств

(Prw ) (sgrad C f (z , w)) = ((Prw ) sgrad C f )(Prw (w)) = ((Prw ) sgrad C f )(w), Sym Prw = Prw sym, sym (sgrad C f (z , w)) = (-PN (w), 2z ) = sgrad C f (sym(z , w))
следуетD что

Sym (((Prw ) sgrad C f )(w)) = Sym ((Prw ) (sgrad C f (z , w))) = (Prw ) (sym (sgrad C f (z , w))) = (Prw ) (sgrad C f (sym(z , w))) = (Prw ) (sgrad C f (z , w)) = ((Prw ) sgrad C f )(w) = ((Prw ) sgrad C f )(Sym(w)).

117


Лемма 4.1.2

@@нормализация гиперэллиптического многочлена нечетной стеE
Пусть

пени и PEформы dz dw в бесконечно удаленных точкахAA.

f (z , w) =

z2 + P

2n+1

(w),

где

P

2n+1

(w)

любой многочлен степени . Тогда существуют

2n + 1

с комплекс-

ными коэффициентами, вложение

nN

>0

и голоморфное

2 2 h : D0, Ч (D0, \ {0}) C

2

, такие что

f h( , u) = ,
причем ства

h (dz dw) = u2n-2 d du,
равномерно по в

2 ( , u) D0, Ч (D

2 0,

\ {0}),

limu0 |h( , u)| =

D

2 0, , и дополнение множе-

2 2 h D0, Ч (D0, \ {0})

4 M := f

-1

2 (D0, )

ограничено в

C

2

. В частно-

сти, имеется комплексное 2-мерное связное многообразие аналитическим атласом из двух карт, полученное из ванием множества

4 M

с комплексно

4 M C

2

приклеи-

2 2 D0, Ч D0, C

2

при помощи вложения

h

. При этом ).

4 4 2 M \ M D0, Ч {0}
Доказательство.

(бесконечно удаленные точки

p

,

2 D0,

СмF следствие IFQFRF

Следствие 4.1.3. Пусть
многочлен степени существует

f (z , w) = z 2 + P

2n+1

(w),

где

P

2n+1

(w)

любой . Тогда

2n + 1

с комплексными коэффициентами,

nN

>0

такое, что поверхность уровня

T = f

-1

( )

неособа при

C, 0 < | | < .
сфере с

Более того, неособая поверхность уровня

T

гомеоморфна

n

ручками и одним проколом в бесконечно удаленной точке

p

. Век-

торное поле

sgrad C f |T



и риманова метрика пополнения

ds

2 в достаточно

малой проколотой окрестности имеют вид

U T

бесконечно удаленной точки

p



u = u2
где

-2n

,

ds2 = u2n-2 u2n-2 du du,

2 u : U D0, \ {0} C

координатный диффеоморфизм, такой что

118


g p

lim u(g ) = 0.

В частности, пополнение

T = T {p }

слоя

T

относи-

тельно римановой метрики пополнения с

ds

2 компактно, гомеоморфно сфере

n

ручками. На

T

имеется гладкое поле неотрицательно определенных

квадратичных форм

ds

2 , такое что

ds2 |T = ds

2 ,

ds2 (p ) = 0

при

n2

,и

ds2 (p ) = 0
4.1.1

при

n = 1.

Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое

Предложение 4.1.4. Пусть

f (z , w) = z 2 + P

2n+1

(w),

где

P

2n+1

(w) = (w -
. Тогда

a1 ) . . . (w - a

2n+1 ),

ai R, i = 1, . . . , 2n + 1, a1 < a2 < . . . < a2n sgrad C f |T
0

+1 ,

nN

все интегральные траектории векторного поля

, не являющиеся

сепаратрисами (т.е. не входящие в бесконечно удаленную точку выходящие из нее, см. следствие того: (А) интегральные траектории векторного поля при проекции

p

0 и не

4.1.3),

являются периодическими. Более

sgrad C f |T

0

(и их образы ), выглядят

Prw |T0 : T0 C, (z , w) w n = 3;

, см. лемму

RFIFI@АA

как на рис. 4.1 при паратрис

среди этих траекторий имеется ровно (соответственно

2n - 1

се,

s1 , . . . , s

2n-1

T0

n

сепаратрис

S1 , . . . , Sn C

таких что

s1 = (Prw |T0 )-1 (S1 ), s T0
на

2k -2

s

2k -1

= (Prw |T0 )-1 (Sk ), k = 2, . . . , n c1 , . . . , c

),

которые разбивают слой

n

связных компонент

n , гомеоморф-

ных внутренности цилиндра кость

S 1 Ч (0, 1)

(соответственно разбивают плос, таких что

C

на

n

областей

C1 , . . . , C n C

[a2k , a2

k +1

]C c

k,

ck =

(Prw |T0 )-1 (Ck ), k = 1, . . . , n

); в каждой цилиндрической области

k траек-

119


тории периодичны с периодом

a2

k+1

Tk =
a2k

dw -P
2n+1

(w)

,

k = 1, . . . , n;

всякая сепаратриса имеет начало и конец в бесконечно удаленной точке n p0 T0 , и длины сепаратрис в метрике ds2 равны |s2k-2 | = |s2k-1 | = (-1)i-k Ti 0 i=k n при k = 2, . . . , n и |s1 | = (-1)i-1 Ti ; i=1 (Б) на слое T0 существует набор сепаратрис d1 , . . . , dn векторного поля

i sgrad C f
что

, имеющих начало и конец в бесконечно удаленной точке

p

0 , таких w со-

dk c

k и их образы

Prw |T0 (dk ) = D

k при проекции

Prw |

T

0

: T0 C

держатся в резок

C

k , причем при

k = 1, . . . , n - 1 Dn

траектория

Dk

пересекает от-

[a2k , a2k+1 ] C

w , а траектория

совпадает с лучом

[a

2n+1

, +)

C

w , см. рис. 4.2 при

n = 3; s2
k -2

(В) упорядочивание пары сепаратрис и выбор одной из двух сепаратрис

s2

k -1

= (Prw |T0 )-1 (Sk )

в п.(А)

dk (Prw |T0 )-1 (Dk )

в п.(Б) однозначно

определены следующим условием: подмножество

T++ := 0
(где в качестве функции

-P

2n+1

(w), w | Im w 0 T0 -P
1 2n+1 ( 2

выбрана ее ветвь, такая что

(a2 + a3 )) >

0)

имеет непустое пересечение со следующими сепаратрисами:

I (d1 ),

I (s4k ), I (d2
где

k +1

),

1k[

n-1 ], 2

s

4k -2

, d2 k ,

n 1 k [ ], 2 I (z , w) = (-z , w).

I : C2 C

2

инволюция, определяемая формулой

Доказательство.

Обозначим множество точекD принадлежащих интегральE

ным траекториям векторного поля u := sgrad C f |T0 D входящим в бесконечно
120


Рис. 4.1: Траектории поля sgrad C f |T0 и их образы при проекции Prw |T0 : T0 Cw , при

Рис. 4.2: Проекции интегральных траекторий поля i sgrad f |T0 на плоскость Cw при

n=3

n=3

удаленную точку p0 или исходящим из нееD через Ip0 F Пусть T0 \ Ip0 =

N i=1

ci D

где ci " все различные компоненты линейной связности T0 \ Ip0 D i = 1, . . . , N F Из следствия RFIFQследуетD что векторное поле u|ci полноF Шаг IF ДопустимD что существует периодическая интегральная траектория

i ci для некоторого 1 i N D период i равен T > 0F Тогда покажемD
что всякая интегральная траектория ci является периодической с тем же периодом T F Как вышеD обозначим через u векторное поле u = sgrad C f |T0 D через v ортогональное ему относительно римановой метрики ds2 := Sym(0 0 ) 0 векторное поле v = isgrad C f |T0 F Поскольку [u, v ] = 0D то существует > 0
такоеD что для любого (-, ) выполнено gv i " периодическая траекE тория векторного поля u с периодом T D где gv " сдвиг вдоль векторного

поля v на RF Отсюда объединение T Eпериодических интегральных траE екторий векторного поля u|ci является открытым подмножеством в T0 @и в

121


ci AD которое обозначим через i F
ПокажемD что множество i ci замкнуто в ci F Пусть точка g ci явE ^ ляется предельной точкой множества i F Так как векторное поле u|ci полE но и g ci D то для достаточно малого > 0 определено отображение : ^
t [0, T ] Ч [-, ] T0 D (t, ) gv gu (g )F В любой бесконечно малой окрестноE ^

сти точки g существуют точкиD через которые проходят периодические интеE ^ гральные траектории поля u с периодом T @тFеF принадлежащие множеству

i AF Поэтому @заменяя каждую такую точку на пересечение соответствующей
^ интегральной траектории с кривой gv (g )D [-, ]A получаем существоваE

ние последовательности j 0 при j @возможноD j = 0 для некоторых
t ^ j AD такой что gvj (g ) i F Поскольку [u, v ] = 0D то : (t, ) gu gv (g )D откуда ^ T (T , j ) = gu gvj (g ) = gvj (g ) = (0, j )F ЗначитD (T , 0) = (0, 0) = g D тFеF чеE ^ ^ ^

рез точку g проходит периодическая интегральная траектория g с периодом ^ ^

T @и минимальным периодом T /k для некоторого k NAF Период T является
минимальным периодом этой траектории @тFеF k = 1A в силу открытости объE единения (T /k )Eпериодических траекторийD смF вышеF Поэтому g i D что ^ доказывает замкнутость множества i в ci F Так как i = D является открытым и замкнутым в ci D то i = ci F Шаг PF Рассмотрим проекцию Pr
w

: T0 Cw D (z , w) wF Данная проE

екция является двулистным разветвленным накрытием с точками ветвления

a1 , . . . , a a
2n+1

2n+1

, {} Cw F Без ограничения общности пусть a1 < a2 < . . . <
2n+1 |(a1 ,a2 )(a3 ,a4 )...(a2n
+1

D тогда P

,+)

> 0иP

2n+1 |(-,a1 )(a2 ,a3 )...(a2n ,a2

n+1

)

<

0F Поэтому @определенное с точностью до знакаA векторное поле +(Prw ) (sgrad f |T0 ) = +2 -P
2n+1

(w) / w на Cw касательно вещественной прямой R C на подE
122


множестве (-, a1 ) (a2 , a3 ) . . . (a2n , a2

n+1

) R и ортогонально этой
2n+1

прямой на подмножестве (a1 , a2 ) (a3 , a4 ) . . . (a

, +) RF
0

Шаг QF Поскольку в окрестности точки p0 T0 векторное поле sgrad C f |T имеет особенность полюс 2n - 2Eго порядкаD количество сепаратрис в точке p

0

равно 2(2n - 1)D а так как точка p0 является прообразом точки ветвления D то количество сепаратрис @определенного с точностью до знакаA векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) в точке {} Cw равно 2n - 1F Изучим сепаратрисы векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) на сфере Cw F Существует сепаратриса @обозначим ее S1 AD совпадающая как множество с

(-, a1 ]D смF шаг PF Также существует n однопараметрических семейств пеE
риодических траекторийD обходящих вокруг отрезков [a2k , a2k+1 ]D k = 1, . . . , nF ОтсюдаD применяя к векторному полю +(Prw ) (sgrad f |T0 ) и указанным n семействам периодических траекторий рассужденияD аналогичные приведенE ным на шаге ID получаемD что при каждом k = 2, . . . , n существует точка

a

k ,

[a

2 k -1

, a2k ] R Cw D которая воEпервых является точной верхней
2k -1

гранью множества точек пересечения с отрезком [a

, a2k ] периодических
2k -2

траекторий (k - 1)Eго семейства @обходящих вокруг отрезка [a

, a2k-1 ]AD

а воEвторых принадлежит некоторой сепаратрисеD которую обозначим через

Sk F Обозначим через Ck объединение всех периодических траекторий k Eго сеE
мействаD k = 1, . . . , nF ЗаметимD что каждая сепаратриса S2 , . . . , Sn имеет не более одного пересечения с вещественной прямой R Cw D так как в противE ном случаеD ввиду симметричности интегральных траекторий относительно вещественной прямой R Cw D она была бы периодическойD не проходящей через точку {} Cw F ТакжеD ввиду симметричности интегральных траекE

123


Рис. 4.3: Интегральные траектории поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) на сфере Cw

торий относительно вещественной прямой R Cw D всякая сепаратриса Sk D проходящая через точку a
k ,

D k = 2, . . . , nD имеет начало и конец в точке

Cw F Тем самымD выше описано строение всех сепаратрис векторного поE
ля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) на сфере Cw F ЗначитD Cw есть объединение описанных выше сепаратрис S1 , . . . , Sn и заполненных периодическими траекториями областей C1 , . . . , Cn D и интегральные траектории имеют вид как на рисF RFQF Период периодических интегральных траекторий k Eго семейства @из Ck A раE вен Tk =
n a2k
+1


a2k i-k

dw -P2n+1 (w)

D k = 1, . . . , nD а длина |Sk | сепаратрисы Sk равна

|Sk | =
i=k

(-1)

Ti при k = 1, . . . , nF

Поэтому интегральные траектории векторного поля sgrad C f |T0 выглядят как на рисунке RFIF Среди этих траекторий имеется ровно 2n - 1 сепаратрис

si D 1 i 2n - 1D которые разбивают слой T0 на n связных компонент ck D k = 1, . . . , nD где каждая ck состоит из периодических траекторийD обE
разующих однопараметрическое семейство периодических траекторийF При этом всякая сепаратриса имеет начало и конец в бесконечно удаленной точке

p0 T0 Y каждая из сепаратрис s

2k -2

иs

2k -1

имеет длину |Sk | и биективно

проектируется при двулистном накрытии Prw |T0 : T0 Cw на сепаратрису
124


Sk векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 )D k = 2, . . . , nD а сепаратриса s1 имеE
ет длину |S1 | и двулистно проектируется на сепаратрису S1 векторного поля

+(Prw ) (sgrad f |T0 )F Также любая траектория в области ck имеет период Tk и
либо проектируется биективно на одну из периодических траекторий k Eго сеE мейства периодических траекторий векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) @из

Ck AD либо проектируется двулистно на отрезок [a2k , a2
Предложение RFIFR доказаноF
Обозначение 4.1.5

k +1

] Ck D k = 1, . . . , nF

@@разрезание нулевого слоя сепаратрисами на цилинE

дрыAA. В обозначениях утверждения RFIFR имеем разбиения

Cw = S1 . . . Sn C1 . . . Cn ,

T0 = s1 . . . s2
2k -2

n-1

c1 . . . c

n

на сепаратрисы s1 = (Prw |T0 )-1 (S1 )D s

s

2k -1

= (Prw |T0 )-1 (Sk )D k =
при k = 1, . . . , n - 1D

2, . . . , nD и области!открытые цилиндры ck = (Prw |T0 )-1 (Ck )D k = 1, . . . , nF
Границы областей Ck C имеют вид Ck = Sk Sk
+1

Cn = Sn D откуда при n 2 границы цилиндрических областей ck имеют
вид c1 = s1 s2 s3 D ck = s
2k -2

s

2k -1

s

2k

s2

k +1

при k = 2, . . . , n - 1D

cn = s
4.1.2

2n-2

s

2n-1

F

Семейства геодезических с концами в бесконечно удаленных точках на слоях, близких к нулевому

Предложение 4.1.6. Пусть

f (z , w) = z 2 + P

2n+1

(w), n N ds

. Пусть

ds

2 0

поле неотрицательно определенных квадратичных форм нии

2 на пополне0
Пусть

T0

слоя

T0 = f

-1

(0) @смF определение QFIFII и следствие RFIFQA. ds

: [0, 1] T0

геодезическая поля квадратичных форм

2 , имеющая на0

125


чало и конец в бесконечно удаленной точке

p0 @смF следствие RFIFQ и пояснеE C, | | < ,
по-

ние RFIFU@АAA
слой

. Тогда существует

>0

, такое что для любого

T

является неособым, и существует геодезическая

: [0, 1] T

ля квадратичных форм рывно зависящая от точке

ds2 @смF определение QFIFII и следствие RFIFQA

, непре-



, имеющая начало и конец в бесконечно удаленной удовлетворяющая соотношению

p @смF пояснение RFIFUA,

0 =

.

Пояснение 4.1.7.

@АA В формулировке утверждения RFIFT под

геодезической

поля квадратичных форм ds2 на T D имеющей начало и конец в бесконечно удаленной точке p D понимается непрерывное отображение : [0, 1] T D такое что (0) = (1) = p D (t) T при любом t (0, 1)D и |(0
,1)

:

(0, 1) T является геодезической римановой метрики ds2 на T F
@БA В формулировке утверждения RFIFT под условием о непрерывной завиE симости геодезической : [0, 1] T от понимается следующееX отобраE жение
2 4 D0, Ч [0, 1] M = | |< 2 непрерывно по совокупности переменных ( , t) D0, Ч [0, 1] @смF лемму RFIFPAF
Доказательство.

T ,

( , t) (t),

Согласно теореме II существуют > 0, 1 > 0D такие что

2 для любого CD | | < D существуют окрестность U T бесконечно 2 2 удаленной точки p T и координата u : U D1 D причем u (p ) = 0

и (u ) (sgrad C f |U2 ) = u2

-2n u

D где u " координата в D

2 1

CF Отсюда

((u )-1 ) (ds2 |U2 ) = |u|4

n-4

|du|2 " поле неотрицательно определенных квадраE

2 тичных формD пропорциональных евклидовойD в области D1 C(u)D опредеE 2 ляющее функцию расстояния (u-1 , u-1 ) = (u-1 , u-1 ) в D1 D и являющеE

еся обратным образом поля форм ds2 D определяющего функцию расстояния
126


2 в U2 F Поэтому геодезическиеD выходящие из точки u = 0 D1 D содержат 2 радиусы открытого круга D1 D а граница D 2 1

этого круга является окружE
4n-3 1 4n-3

ностью @в смысле функции расстояния (u-1 , u-1 ) A радиуса r1 =

> 0F

2 Поскольку слой T0 неособый и множество T0 \ U0 компактно по теореме IID то

0 |T

0

\U

2 0

" голоморфная и отделенная от нуля IEформаF Поэтому существуют

2 , 3 > 0 и комплексноEаналитическое вложение 0 : 0 T0 прямоугольE
ника

0 := {z0 C | 2 Re z0 1 - 2 , | Im z0 | 3 } C, ~ ~ ~
такие что 0 |[
2

,1-2 ]

= |[

2

,1-2 ]

D образы всех вершин прямоугольника 0 при

2 2 ~ вложении 0 принадлежат U0 @тFеF 0 (2 + i3 ), 0 (1 - 2 + i3 ) U0 A и dz0 =

(0 ) 0 F Отсюда следуетD что существуют 4 > 0 и семейство комплексноE
аналитических вложений : 0 T D CD | | < 4 D такие что обраE зы всех вершин прямоугольника 0 при каждом вложении D принадлежат

U2 D dz0 = ( ) D и отображение ( , z0 ) (z0 ) является комплексноE ~ ~ ~
аналитическимF Отсюда существует 5 > 0D такое что для любого CD

| | < 5 D существует единственный прямолинейный отрезок в прямоугольниE
ке 0 C(z0 ) @а стало бытьD геодезическая римановой метрики ds2 AD ортоE ~
2 гональный дугам ( )-1 (u )-1 ( D1 ) в обеих точках своего пересечения с

дугамиD и являющийся пересечением 0 с некоторой вещественной прямой в
2 CF Продолжая эту геодезическую в круге U D1 до центра u-1 (0) = p

этого круга по радиусамD можно получить искомую геодезическую D смF рис RFRF Обозначим через ak ( ) корень уравнения P
2n+1

(w) = D близкий к ak D

1 k 2n + 1F Используя утверждения RFIFR и RFIFTD получаем следующее
127


Рис. 4.4: Продолжение геодезических

следствиеF
Следствие 4.1.8. Пусть

f (z , w) = z 2 + P

2n+1

(w),

где

P

2n+1 +1 ,

(w) = (w - nN T
. Тогда

a1 ) . . . (w - a

2n+1 ),

ai R, i = 1, . . . , 2n + 1, a1 < a2 < . . . < a2n
такое что для любого

существует

> 0,

C, | | <

, слой

является

неособым, а также существует набор геодезических

s1 ( ), . . . , s

2n-1

( ), d1 ( ), . . . , dn (
, име-

T

поля квадратичных форм

ds

2,

| | <

, непрерывно зависящих от

ющих начало и конец в бесконечно удаленной точке

p @смF следствие RFIFQ и

пояснение RFIFUA,

удовлетворяющих соотношениям

sk (0) = sk , k = 1, . . . , 2n- (0, ai ( )) T
,

1, dm (0) = d

m,

m = 1, . . . , n
, где

, и не проходящих через точки

i = 1, . . . , 2n + 1

s

k,

d

m как в утверждении 4.1.4.

Обозначение 4.1.9

@@разрезание слояD близкого к нулевомуD геодезическими

2 на цилиндрыAA. Согласно следствию RFIFVD при любом D0, имеем следуE

ющие разбиения плоскости C = Cw и слоя T = f ным в обозначении RFIFS при = 0X

-1

( )D аналогичные введенE

C = S1 ( ). . .Sn ( )C1 ( ). . .Cn ( ), T = s1 ( ). . .s

2n-1

( )c1 ( ). . .cn ( ),

где Ck ( ) " компонента связности Cw \ (S1 ( ) . . . Sn ( ))D содержащая точки

a2k ( ), a2k+1 ( )D 1 k nF При n 2 границы цилиндрических областей
128


ck ( ) имеют вид c1 ( ) = s1 ( ) s2 ( ) s3 ( )D ck ( ) = s s2k ( ) s2
4.1.3
k +1

2 k -2

( ) s ( )F

2k -1

( )

( ) при k = 2, . . . , n - 1D cn ( ) = s2

n -2

( ) s

2n-1

Комплексные координаты действие-угол и функции перехода. Комплексная теорема Лиувилля

Определение 4.1.10.

Пусть > 0 как в следствии RFIFVF

Четырехмерной



-окрестностью нулевого слоя -ой четырехмерной

T0 назовем область U (T0 ) := G,k назовем ее подмножество 1 k n,
| |<

T C2 D а

k



-ручкой

G,k :=
| |<

ck ( ) U (T0 ),

где ck ( ) " замыкание цилиндрической области ck ( ) T из обозначеE ния RFIFWF ОтметимD что количество четырехмерных Eручек G,k равно n @смF обознаE чение RFIFWAD и ручки покрывают всю четырехмерную Eокрестность U (T0 ) слоя T0 D тFеF U (T0 ) =
n k =1

G,k F В частностиD для эллиптического многочлена

@n = 1A ручка ровно одна и совпадает с Eокрестностью U (T0 ) слоя T0 F
Теорема 25

@@комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптического гаE
Для

мильтониана нечетной степениAA.

C

-гамильтоновой системы

(C2 , dz

dw, f )

с функцией Гамильтона

f (z , w) = z 2 + P

2n+1

(w)

и соответствующего

лагранжева слоения

@смF определение QFIFTA

, где

P

2n+1

(w) = (w - a1 ) . . . (w - nN
, существует

a

2n+1 ),

ai R, i = 1, . . . , 2n + 1, a1 < a2 < . . . < a

2n+1 ,

>0

, такое что выполнены следующие свойства:

1) для любого

C, | | < , n

слой

T = f

-1

( )

является неособым и

гомеоморфен сфере с

ручками и одним проколом;

129


2) лагранжево слоение в четырехмерной



-окрестности

U (T0 )

слоя

T0
на

тривиально, т.е. послойно гомеоморфно прямому произведению слоя открытый двумерный диск 3) в окрестности

T0

2 D0, = { C | | | < };
существуют

U (T0 )

2n

голоморфных функций

I1 , . . . , In , J1 , . . . , Jn : U (T0 ) C,
а для каждой четырехмерной

-ручки G,k U (T0 ), k = 1, . . . , n k>1

, суще-

ствует голоморфное вложение (задаваемое при динатами действие-угол)

комплексными коор-

(Ik |G,k , k mod 2 ) : G,k

C Ч (C/2 Z),
2 {I1 } Ч (TC ( I1 D,
1

2 k n;
dJ1 dI1

(I1 ))) \ I1 , k = 1,

где при

k=1

функция

1 mod 2

является многозначной аналитической

функцией, через

2 TC (

dJ1 dI1

(I1 )) := C/2 (Z
(1) (1)

dJ1 dI1

(I1 )Z)

обозначен комплексный

тор с параметром

dJ1 dI1

(I1 ) C \ R

, через

2 I1 TC (

dJ1 dI1

(I1 ))

обозначен об-

раз прямолинейного отрезка ку в случае

A3 (I1 )A4 (I1 ) C

(вырождающегося в точ-

n = 1,

см. п.б) ниже) при проекции

2 C TC (

dJ1 dI1

(I1 )),

и через

2 (TC (

dJ1 dI1

(I1 ))) \

I1 обозначено пополнение надрезанного тора

2 (TC (

dJ1 dI1

(I1 ))) \

I1

относительно римановой метрики а) каждая функция

d1 d

1 , со следующими свойствами:

Ik , Jk : U (T0 ) C
от

является голоморфной функци-

ей

Ik = Ik (f )

и

Jk = Jk (f )

f

без критических точек, ее множество

значений

D,k := Ik (U (T0 )) = Ik (G,k ),
открыто в

D,k := Jk (U (T0 )) = Jk (G,k ) C

C

и гомеоморфно открытому кругу, она выражается в окрест-

130


ности

U (T0 )

через любую другую такую функцию формулами

Ik = Ik (f (I )),
где

Ik = Ik (f (J )),

Jk = Jk (f (I )),

Jk = Jk (f (J ));
и

f (Ik )

и

f (Jk )

функции, обратные к функциям ); и

Ik (f )

Jk (f )

соответ-

ственно (

k = 1, . . . , n

б) при любых

k = 1, . . . , n

Ik D,k
,k

множество значений комплексной

координаты угол области

k mod 2 |G

T

f (Ik )

получается из некоторой замкнутой

W

k ,I

k

C

, ограниченной шестиугольником с вершинами

A1 (Ik ), . . . , A6 (Ik )
(k )

(k )

(k )

C

(вырождающимся при

k=n

в параллелограмм с вершинами

A1 (Ik ), A2 (Ik ),

(k )

A3 (Ik ) = A4 (Ik ), A5 (Ik ) = A6 (Ik ))
геодезическим зическим

(n)

(n)

(n)

(n)

и сторонами, соответствующими

dk (f (Ik )), s
2k +1

2k -1

(f (Ik )), s

2k -2

(f (Ik )) Tf

(Ik ) , а также геодеследующим обра-

s2k (f (Ik )), s

(f (Ik )) Tf

(Ik ) в случае

k < n,

зом: (i) выкидыванием всех вершин (соответствующих бесконечно удаленной точке

p

f (Ik ) ), и (ii) отождествлением (т.е. склеиванием) при помощи

параллельного переноса любой пары сторон, отвечающих одной и той же геодезической (либо

dk (f (Ik )),

либо

s1 (f (I1 ))

при

k = 1);

причем шести-

угольник (соответственно параллелограмм при

k = n)

однозначно задает-

ся следующими условиями (см. рис. 4.5, 4.6 при соответственно):

1 k < n, 1 k = n

ћ

шестиугольник (или параллелограмм)

W

k ,Ik

C

образован тремя па-

рами равных и параллельных сторон, соответствующих следующим геодезическим и получающихся друг из друга следующими сдвигами в плоскости

C

:

A1 (Ik )A2 (Ik ) = k (dk ( )) - A5 (Ik )A4 (Ik ) = k (dk ( )),
131

(k )

(k )

2

(k )

(k )


A2 (Ik )A3 (Ik ) = k (s
(k ) (k )

(k )

(k )

2k -1

( ))

- Dk ( )

-
k

k

A1 (Ik )A6 (Ik ) = k (s
(k )

(k )

(k )

2k -2

( )), k < n,

A3 (Ik )A4 (Ik ) = k (s2k ( ))
где

- Dk ( )

-

A6 (Ik )A5 (Ik ) = k (s

(k )

2k +1

( )),

2 := f (Ik ) D0,

, через

:CC

обозначен параллельный перенос

на вектор

C
k

в плоскости

C, s0 ( ) := s1 ( ),
-1

Dk (f (Ik )) ћ
при любом

:= 2

dJk-1 dJk (Ik ) - (Ik ) + . . . + (-1)k dIk dIk

dJ1 (Ik ) , dIk

k
выполнено

-- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - (k ) (k ) (k ) (k ) A3 (Ik )A4 (Ik ) = A6 (Ik )A5 (Ik ) = Sk+1 (f (Ik )) ћ
k

:= 2

dIk+1 dIk+2 (Ik ) - (Ik ) + . . . + (-1)n dIk dIk
(k )

-k -1

dIn (Ik ) , dIk
(k ) (k )

точка пересечения диагоналей параллелограмма равна

A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A6 (Ik )
(откуда точка пере-

(k )

1 2

(A1 (Ik ) + A3 (Ik )) = 0 = k (0, a2k (f (Ik )))
(k ) (k ) (k ) (k ) 1 2

(k )

(k )

сечения диагоналей (вырождающегося в отрезок при лограмма

k = n)

паралле-

A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (Ik )
а при

равна

(A3 (Ik ) + A5 (Ik )) =
1 + 2 D1 (f (I1 ))

(k )

(k )

= k (0, a2k+1 (f (Ik ))), A2 (I1 )A3 (I1 )
(1) (1)
и

k=1

центры отождествляемых сторон

A1 (I1 )A6 (I1 )

(1)

(1)

суть отождествляемые точки

1

=

1 (0, a1 (f (I1 ))));
в частности, при координаты

k=1

для любого
1

I1 D,1
(I1 ) dJ1 dI1

образом комплексной угловой

1 mod 2 |G,

T

f (I1 )

: G,1 Tf
2 (TC (

2 (TC (

dJ1 dI1

(I1 ))) \
(1)

I1 является

весь пополненный надрезанный тор ром

(I1 ))) \

I1 (совпадающий с то-

2 TC (

dJ1 dI1

(I1 ))

в случае

n = 1)

за исключением двух точек

A3 (I1 ), A4 (I1 )

(1)

(совпадающих друг с другом в случае

n=1

), являющихся концами линии

надреза и отвечающих бесконечно удаленной точке;

132


в)

(dz dw)|G,k = dIk d

k,

k = 1, . . . , n

;

г) переменная действие

Ik = Ik (f )

и функция

Jk = Jk (f ) -P

имеют вид

a

2k+1

( )

a2k ( )

Ik ( ) =

1
a2k ( )

-P

2n+1

(y )dy , Jk ( ) =

1
a2
k -1

2n+1

(y )dy ,

2 D0, ,

( )

где в качестве функции

-P

берутся ее ветви, такие что

-P

1 2n+1 ( 2

(a2k + a

2k +1

)) >

0

в первом случае, и

i

1 2n+1 ( 2

(a

2k -1

+ a2k )) < 0

во втором случае;

д) для любых двух ручек

G,k , G,

, содержащих в своей границе одно и выполнено

то же семейство геодезических

sj ( ),

k = +1

, причем в случае

1k
пересечение

G,k G,k

+1 является объединением геодезических

G,k G,k

+1

=

(s2k ( ) s
| |<

2k +1

( )) =

(Prw |T )-1 (S
| |<

k +1

( )), mod 2

и на этом пересечении комплексные координаты угол связаны друг с другом формулами:

k mod 2

и

k +1

Ik+1 ( ) Ik+1 ( )

k +1 |s2k ( )

+ Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k - Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

( )

- ), - );
на ручке

k +1 |s2k

+1

( )

+1

( )

е) уравнения Гамильтона в координатах

(Ik , k mod 2 )

G,k

,

k = 1, . . . , n

, принимают вид:

Ik = 0,
4) антиканоническая инволюция щая Гамильтониан

k =

df (Ik ) ; dIk
2
,

C2 C

(z , w) (-z , w),

сохраняю-

f

, переводит каждую четырехмерную

-ручку

G,k

в се-

бя, и ограничение этой инволюции на эту ручку в координатах имеет вид

(Ik , k mod 2 )

(Ik , k mod 2 ) (Ik , -k mod 2 ), 1 k n.
133


Рис. 4.5: Шестиугольник W

k,Ik

Ck при

1k
Рис. 4.6: Параллелограмм W

n,I

n

Cn

Доказательство.

Пункт IA следует из следствия RFIFQF Пункт PA следует из

частного случая леммы QFQFIX когда на слое T0 нет особых точекF Докажем пункт QAF Шаг IF Определим функции Ik = Ik ( ), Jk = Jk ( ) формулами пункта гAF Докажем пункт аAD тFеF голоморфность функций Ik ( ), Jk ( )F По построению значение переменной действие Ik зависит только от F ДалееD

1 dIk ( ) = d

a2k

+1

( )

d( - P2 d
a2k ( )

n+1

(w))

dw + a

2k +1

( ) - P

2n+1

(a

2k +1

( ))

- a2k ( ) - P
2n+1

a2k

+1

( )

1 (a2k ( )) = 2
a2k ( )

dw -P
2n+1

(w)

.

Отсюда следуетD что существует > 0D такое что при | | < производная

dIk ( )/d существуетD поэтому Ik = Ik ( ) является голоморфной функциейF
Более тогоD поскольку dIk (0)/d = 0D то можно считатьD что Ik | ся диффеоморфизмом открытого круга D
2 0, a2k ( ) 1 2 a2k
-1 2 D0,

являетE

радиуса на область D,k :=
(w)

Ik (D )F Аналогично Jk ( ) =
2 0,


( )

dw -P2n

+1

F Пункт аA доказанF

134


Шаг PF Для любой кусочно гладкой ориентированной кривой на слое

T обозначим


:=


,



k

:=

, Ik ( )

2 D0, ,

@RFIFIA

где " голоморфная IEформа на слое T D смF определение QFIFII@АAF Так как форма замкнутаD то ее интеграл по любому ориентированному циклу T не меняется при любых гомотопиях цикла в слоеF Рассмотрим непрерывные по семейства ориентированных циклов

,k := (Prw |T )-1 (a2k ^
,k

( ),a2

k+1

( )

) T G,k , ) T

:= (Prw |T )-1 (
0,k

a2k

-1

( ),a2k ( )

с такой ориентациейD что 0,k и ^

являются интегральными траекториями

полей sgrad C f и i sgrad C f соответственноD k = 1, . . . , nF Тогда



,k

= 2 Ik ( ),

^

,k

= 2 Jk ( )
,k k

@RFIFPA

в силу формул для Ik ( ) и Jk ( )D смF шаг IF Поэтому

= 2 и существует

единственная функция k mod 2 : G,k C/2 Z при 2 k nD 1 mod 2 :

G,1 \
| |<

s1 ( ) C/2 Z при k = 1D такая что
T \s1 ( )

d(k |G,k

) = /Ik ( ),

k mod 2 (0, a2k ( )) = 0 mod 2 ,

2 D0, .

Пункт вA следует из тогоD что dIk dk = Ik (f (z , w))df (z , w)
2z dz dw |G,k 2z

dw 2z Ik (f (z ,w)) |G,k

=

= (dz dw)|G,k F Пункт еA следует из пунктов аA и вAF ( ) : (0, 1) T римановой метрики ds2 на T
t1-

Шаг QF Докажем пункт бAF Согласно следствию RFIFVD существуют геодеE зические s1 ( ), . . . , s
2n-1

4 T M с концами lim si ( )(t) = lim si ( )(t) = p T D 1 i 2n - 1D t0+

135


Рис. 4.7: Надрезанный или про- Рис. 4.8: Областьцилиндр Рис. 4.9: Областьцилиндр колотый тор c1 ( ) s1 ( ) T

ck ( ) T при 1 < k < n

cn ( ) T

4 замыкания которых в M близки к замыканиям интегральных траекторий

s1 , . . . , s

2n-1

векторного поля sgrad C f F АналогичноD существуют геодезичеE

ские d1 ( ), . . . , dn ( ) на (T , ds2 )D замыкания которых близки к замыканиям интегральных траекторий d1 , . . . , dn векторного поля i sgrad C f F Поэтому укаE занные геодезические на слое T D их образы в C при проекции Prw |T : T C и цилинрические области ck ( )D 1 k nD выглядят как на рисF RFUD RFVD RFWF Разрежем цилиндрическую область ck ( ) T @смF обозначение RFIFWA по геодезической dk ( ) и рассмотрим образ полученной односвязной @разрезанE нойA области ck ( ) \ dk ( ) при отображении k D являющемся ветвью отображеE ния k mod 2 D введенного на шаге PF Так как граница разрезанной области составлена из геодезическихX

dk ( ) s (ck ( )\dk ( )) = d ( ) s k

2k -2 2n-2

( ) s

2k -1

( ) s2k ( ) s ( ),

2k +1

( ), 1 k < n, 1 k = n,

( ) s2

n-1

где s0 ( ) := s1 ( )D то граница ее образа k (ck ( ) \ dk ( )) C состоит из прямоE линейных отрезков в плоскости Ck F Нетрудно показываетсяD что комплексно значная функция k |ck
( )\dk ( )

: ck ( ) \ dk ( ) C инъективнаD поэтому ее образ

является внутренностью некоторого TEугольника @при k < nA или REугольника
136


@при k = nA

W

k ,I

k

= A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (Ik )

(k )

(k )

(k )

(k )

(k )

(k )

в плоскости Ck D где Ik := Ik ( )F ЗначитD множество значений комплексной координаты угол k |ck
( )\dk ( )

: ck ( ) \ dk ( ) C на разрезанной цилиндричеE

ской области ck ( ) \ dk ( ) является внутренностью этого шестиугольникаF ПоE этому множество значений комплексной координаты угол k mod 2 |G,k
T


на замыкании ck ( ) = G,k T этой области получается из замкнутой облаE сти W
k ,I
k

D ограниченной этим шестиугольникомD выкидыванием всех вершин

и отождествлением пар сторонD отвечающих одной и той же геодезическойF Вычислим направляющие вектора сторон шестиугольника W
k ,I
k

X

A2 (Ik ) - A1 (Ik ) = A4 (Ik ) - A5 (Ik ) = dk ( ) A3 (Ik ) - A2 (Ik ) = A6 (Ik ) - A1 (Ik ) = s
(k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) 2 k -2

(k )

(k )

(k )

(k )

k

=: Dk ( ) k , ( )
k k

( )
k

k

=s

2k -1

=: Sk ( ) k ,

A4 (Ik ) - A3 (Ik ) = A5 (Ik ) - A6 (Ik ) = s2k ( )

=s

2k +1

( )

=: Sk+1 ( ) k ,

где последняя цепочка равенств выполнена при k < nF Осталось заметитьD что

Sn ( ) =

,n

= 2 In ( ), = 2 J1 ( ),

Sk ( ) + Sk+1 ( ) =

,k

= 2 Ik ( ), 1 k < n, = 2 Jk ( ), 1 < k n

D1 ( ) = ^

,1

Dk-1 ( ) + Dk ( ) = ^

,k

в силу @RFPFPAF С учетом @RFPFIAD отсюда получаем требуемые равенства

Sk+1 ( )

k

Ik+1 ( ) - Ik+2 ( ) + . . . + (-1)n = 2 Ik ( )
k

-k -1

In ( )

,

1 k < n,

Dk ( )

Jk ( ) - Jk-1 ( ) + . . . + (-1)k-1 J1 ( ) = 2 , Ik ( )
137

1 k n.


Пункт бA доказан полностьюF Шаг RF Докажем пункт дAF ЗаметимD что в силу определения четырехE мерных ручек G,k выполнено G,k

G,l = тогда и только тогдаD когда
k +1

l = k + 1F В силу пункта бAD координаты k mod 2 и
сечении s2k ( ) s
2k +1

mod 2 на переE

( ) = (Prw |T )-1 (Sk+1 ( )) своих областей определения

связаны друг с другом следующими соотношениямиX на геодезической s2k ( ) они связаны соотношением



k +1 |s2k ( )

+

Sk+1 ( ) + Dk+1 ( ) I ( ) =k (k |s2k 2Ik+1 ( ) Ik+1 ( )

( )

-

Sk ( ) + Dk ( ) ), 2Ik ( )

которое равносильно первой требуемой формуле

Ik+1 ( )
а на геодезической s

k +1 |s2k ( )

+ Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

( )

- ),

2k +1

( ) они связаны соотношением
+1



k +1 |s2

k+1

( )

+

Sk+1 ( ) - Dk+1 ( ) I ( ) =k (k |s2k 2Ik+1 ( ) Ik+1 ( )

( )

-

Sk ( ) - Dk ( ) ), 2Ik ( )

которое равносильно второй требуемой формуле

Ik+1 ( )

k +1 |s2

k+1

( )

- Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

+1

( )

- ).

Пункт QA полностью доказанF Пункт RA следует из тогоD что данная инволюция сохраняет гамильтониан

f D меняет знак у CEсимплектической структуры dz dwD и сохраняет точку (0, a2k ( ))D в которой k (0, a2k ( )) = 0 mod 2 ввиду QADбAF Теорема PS доказаE
наF

138


4.2

Комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптических гамильтонианов четной степени

Введем некоторые обозначения и сформулируем технические леммы RFPFID RFPFP и вытекающие из них утверждения RFPFRD RFPFT и следствия RFPFQD RFPFVD необходимые для понимания основного результата параграфа " теоремы PTF
Лемма 4.2.1. Пусть
степени корней,

f (z , w) = z 2 + PN (w),

где

PN (w)

любой многочлен

N1
-1

с комплексными коэффициентами, не имеющий кратных

T0 = f

(0).

Тогда:

(А) Отображение

Prw |T0 : T0 C, (z , w) w

, является двулист-

ным разветвленным накрытием и переводит векторное поле векторное поле

sgrad C f |T

0

в

+(Prw ) (sgrad C f |T0 ),

корректно определенное с точностью таких, что

до знака, т.е. для любых

(z1 , w), (z2 , w) T0

z1 = z2

, верно

(Prw ) (sgrad C f (z1 , w)) = -(Prw ) (sgrad C f (z2 , w));
(Б) Если все коэффициенты многочлена ное с точностью до знака векторное поле

P

N вещественны, то определенна

+(Prw ) (sgrad C f |T0 )

C

w сим-

метрично относительно отражения относительно вещественной прямой, т.е. инвариантно относительно диффеоморфизма Доказательство.

Cw C

w,

ww

.

@АA В точке (z , w) T0 выполнено sgrad C f (z , w) = (-PN (w), 2z )D

поэтому (Prw ) (sgrad C f (z , w)) = 2z / wF ОчевидноD любые два прообраза

(z1 , w), (z2 , w) T0 точки w Cw связаны соотношением z1 = -z2 F Поэтому Prw |T0 является разветвленным двулистным накрытием и (Prw ) (sgrad C f (z1 , w)) = 2z1 / w = -2z2 / w = -(Prw ) (sgrad C f (z2 , w))F
@БA Определим отображение sym : T0 T0 D заданное формулой (z , w)
139


(z , w)F Отображение sym определено корректноD поскольку если z 2 + PN (w) = 0D то z 2 + PN (w) = z 2 + PN (w) = 0D где первое равенство выполнено ввиду
тогоD что все коэффициенты многочлена PN (w) вещественныF Из равенств

(Prw ) (sgrad C f (z , w)) = ((Prw ) sgrad C f )(Prw (w)) = ((Prw ) sgrad C f )(w), Sym Prw = Prw sym, sym (sgrad C f (z , w)) = (-PN (w), 2z ) = sgrad C f (sym(z , w))
следуетD что

Sym (((Prw ) sgrad C f )(w)) = Sym ((Prw ) (sgrad C f (z , w))) = (Prw ) (sym (sgrad C f (z , w))) = (Prw ) (sgrad C f (sym(z , w))) = (Prw ) (sgrad C f (z , w)) = ((Prw ) sgrad C f )(w) = ((Prw ) sgrad C f )(Sym(w)).

Лемма 4.2.2

@@нормализация гиперэллиптического многочлена четной стеE
Пусть

пени и PEформы dz dw в бесконечно удаленных точкахAA.

f (z , w) =

z2 + P

2n+2

(w),

где

P

2n+2

(w)

любой многочлен степени . Тогда существуют

2n + 2

с комплекс-

ными коэффициентами, вложения

nN

>0

и два голоморфных

2 2 hj : D0, Ч (D0, \ {0}) C

2

,

j = 1, 2

, такие что

f hj ( , u) = ,
причем

h (dz dw) = un-1 d du, j
равномерно по

( , u) D

2 0,

2 Ч (D0, \ {0}),

u0

lim |hj ( , u)| =

2 D0, 2 0,

, и дополнение множества в

2 2 h1 D0, Ч (D0, \ {0})
ничено в разие

2 h2 D0, Ч (D

\ {0})

4 M := f

-1

2 (D0, )

огра-

C

2

. В частности, имеется комплексное 2-мерное связное многооб-

4 M

с комплексно аналитическим атласом из трех карт, полученное

140


из

4 M C

2

приклеиванием двух множеств

2 2 D0, Ч D0, C

2

при помощи

вложений

h

j,

j = 1, 2.

При этом

4 4 2 M \ M D0, Ч {0} 2 D0, , j = 1, 2).

D

2 0,

Ч {0}

(бесконечно удаленные точки Доказательство.

p

,j ,

СмF следствие IFQFRF

Следствие 4.2.3. Пусть
многочлен степени существует

f (z , w) = z 2 + P

2n+2

(w),

где

P

2n+2

(w)

любой . Тогда

2n + 2

с комплексными коэффициентами,

nN

>0

такое, что поверхность уровня

T = f

-1

( )

неособа при

C, 0 < | | < .
сфере с

Более того, неособая поверхность уровня

T

гомеоморфна

n

ручками и двумя проколами в бесконечно удаленных точках

p

,j ,

j = 1, 2

. Векторное поле

sgrad C f |T



и риманова метрика пополнения

ds

2 в

достаточно малой проколотой окрестности точки

U

,j

T

бесконечно удаленной

p

,j имеют вид

u = u1-n ,
где

ds2 = un-1 un-1 du du,
координатный диффеоморфизм, такой

u:U
g p
,j

,j

2 D0, \ {0} C

что

lim u(g ) = 0

. В частности, пополнение

T = T {p ,1 } {p ,2 } ds

слоя

T

относительно римановой метрики пополнения

2 компактно, гомео-

морфно сфере с

n

ручками. На

T

имеется гладкое поле неотрицательно

определенных квадратичных форм при

ds

2 , такое что

ds2 |T = ds

2 ,

ds2 (p ,j ) = 0

n2

,и

ds2 (p ,j ) = 0

при

n = 1.

4.2.1

Периодичность интегральных траекторий на нулевом слое

Предложение 4.2.4. Пусть

f (z , w) = z 2 + P

2n+2

(w),

где

P

2n+2

(w) = (w -
. Тогда

a1 ) . . . (w - a

2n+2 ),

ai R, i = 1, . . . , 2n + 2, a1 < a2 < . . . < a2n
141

+2 ,

nN


все интегральные траектории векторного поля

sgrad C f |T

0

, не являющиеся

сепаратрисами (т.е. не входящие в бесконечно удаленные точки не выходящие из нее, см. следствие того: (А) интегральные траектории векторного поля при проекции

p

0,1 ,

p

0,2 и

4.2.3),

являются периодическими. Более

sgrad C f |T

0

(и их образы ), выглядят

Prw |

T

0

: T0 C, (z , w) w n = 3; T0
2k

, см. лемму

RFPFI@АA

как на рис. 4.10 при паратрис

среди этих траекторий имеется ровно

2n

се,

s1 , . . . , s s
2k -1

2n

(соответственно

n

сепаратрис

S1 , . . . , Sn C

таких что слой

s

= (Prw |T0 )-1 (Sk ), k = 1, . . . , n c1 , . . . , c

), которые разбивают

T0

на

n+1

связных компонент

n+1 , гомеоморфных внутренно-

сти цилиндра областей

S 1 Ч (0, 1)
n+1

(соответственно разбивают плоскость , таких что

C

на

n+1

C1 , . . . , C

C

[a

2k -1

, a2k ] Ck , ck = (Prw |T0 )-1 (Ck ), c
k траектории перио-

k = 1, . . . , n + 1

); в каждой цилиндрической области

дичны с периодом

a2k

Tk =
a
всякая сепаратриса ке
2k-1

dw -P
2n+2

(w)

,

k = 1, . . . , n + 1;

s

2k -1 имеет начало и конец в бесконечно удаленной точ-

p

0,1

T

0 , а всякая сепаратриса

s

2k имеет начало и конец в бесконечно
, и длины сепаратрис в метрике

удаленной точке равны

p

0,2

T0 , k = 1, . . . , n
k

ds

2 0

при k = 1, . . i=1 (Б) на слое T0 существует набор сепаратрис

|s

2 k -1

| = |s2k | =

(-1)k-i Ti

.,n

;

d1 , . . . , d

n+1 векторного поля

i sgrad C f
точке

, причем

d

1,

dn

+1 имеют начало и конец в бесконечно удаленной

p

0,1 , а

d2 , . . . , d

n имеют начало в бесконечно удаленной точке

p

0,1 и

конец в бесконечно удаленной точке

p

0,2 , таких что

dk ck

и их образы

142


Рис. 4.10: Траектории поля sgrad C f |T0 и их образы при проекции Prw |T0 : T0 Cw , при

Рис. 4.11: Проекции интегральных траекторий поля i sgrad f |T0 на плоскость Cw при

n=3

n=3

Prw |T0 (dk ) = Dk

при проекции

Prw |T0 : T0 C
2n+2

w содержатся в

C

k , причем

D1 = (, a1 ] C Dk

w,

D

n+1

= [a

, ) C

w , при

k = 2, . . . , n

траектория

пересекает отрезок

[a2k , a2k+1 ] C

w , см. рис. 4.11 при

n = 3.

Доказательство.

Обозначим множество точекD принадлежащих интегральE

ным траекториям векторного поля u := sgrad C f |T0 D входящим в бесконечE но удаленные точки p0,1 D p
N 0,2

или исходящие из нихD через Ip0,1

,p

0,2

F Пусть

T0 \ Ip0

,1

,p

0,2

=
i=1 ,p
0,2

ci D где ci " все различные компоненты линейной связноE

сти T0 \ Ip

0,1

D i = 1, . . . , N F Из следствия RFPFQ следуетD что векторное поле

u|ci полноF
Шаг IF ДопустимD что существует периодическая интегральная траектория

i ci для некоторого 1 i N D период i равен T > 0F Тогда покажемD
что всякая интегральная траектория ci является периодической с тем же периодом T F Как вышеD обозначим через u векторное поле u = sgrad C f |T0 D через v
143


ортогональное ему относительно римановой метрики ds2 := Sym(0 0 ) 0 векторное поле v = isgrad C f |T0 F Поскольку [u, v ] = 0D то существует > 0
такоеD что для любого (-, ) выполнено gv i " периодическая траекE тория векторного поля u с периодом T D где gv " сдвиг вдоль векторного

поля v на RF Отсюда объединение T Eпериодических интегральных траE екторий векторного поля u|ci является открытым подмножеством в T0 @и в

ci AD которое обозначим через i F
ПокажемD что множество i ci замкнуто в ci F Пусть точка g ci явE ^ ляется предельной точкой множества i F Так как векторное поле u|ci полE но и g ci D то для достаточно малого > 0 определено отображение : ^
t ^ [0, T ] Ч [-, ] T0 D (t, ) gv gu (g )F В любой бесконечно малой окрестноE

сти точки g существуют точкиD через которые проходят периодические интеE ^ гральные траектории поля u с периодом T @тFеF принадлежащие множеству

i AF Поэтому @заменяя каждую такую точку на пересечение соответствующей
интегральной траектории с кривой gv (g )D [-, ]A получаем существоваE ^

ние последовательности j 0 при j @возможноD j = 0 для некоторых
t j AD такой что gvj (g ) i F Поскольку [u, v ] = 0D то : (t, ) gu gv (g )D откуда ^ ^ T (T , j ) = gu gvj (g ) = gvj (g ) = (0, j )F ЗначитD (T , 0) = (0, 0) = g D тFеF чеE ^ ^ ^

рез точку g проходит периодическая интегральная траектория g с периодом ^ ^

T @и минимальным периодом T /k для некоторого k NAF Период T является
минимальным периодом этой траектории @тFеF k = 1A в силу открытости объE единения (T /k )Eпериодических траекторийD смF вышеF Поэтому g i D что ^ доказывает замкнутость множества i в ci F Так как i = D является открытым и замкнутым в ci D то i = ci F

144


Шаг PF Рассмотрим проекцию Prw : T0 Cw D (z , w) wF Данная проE екция является двулистным разветвленным накрытием с точками ветвления

a1 , . . . , a a
2n+2

2n+2

, {} Cw F Без ограничения общности пусть a1 < a2 < . . . <
2n+2 |(-,a1 )(a2 ,a3 )...(a
2n+2

D тогда P

,+)

> 0иP

2n+2 |(a1 ,a2 )(a3 ,a4 )...(a2n

+1

,a

2n+2

)

<

0F Поэтому @определенное с точностью до знакаA векторное поле +(Prw ) (sgrad f |T0 ) = +2 -P
2n+2

(w) / w на Cw касательно вещественной прямой R C на подE
2n+1

множестве (a1 , a2 ) (a3 , a4 ) . . . (a

, a2

n+2

) R и ортогонально этой
2n+2

прямой на подмножестве (-, a1 ) (a2 , a3 ) . . . (a Шаг QF Поскольку в окрестностях точек p0,1 , p0,
2

, +) RF

T0 векторное поле

sgrad C f |T0 имеет особенность полюс n - 1Eго порядкаD количество сепаратрис
в точке p0,j D j = 1, 2D равно 2n)D а так как точки p0,1 , p0,2 являются прообразаE ми точки D то количество сепаратрис @определенного с точностью до знакаA векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) в точке {} Cw равно 2nF Изучим сепаратрисы векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) на сфере Cw F Существует n + 1 однопараметрических семейств периодических траекторийD обходящих вокруг отрезков [a
2k -1

, a2k ]D k = 1, . . . , n + 1F ОтсюдаD применяя к

векторному полю +(Prw ) (sgrad f |T0 ) и указанным n + 1 семействам периодиE ческих траекторий рассужденияD аналогичные приведенным на шаге ID полуE чаемD что при каждом k = 1, . . . , n существует точка a
k ,

[a2k , a2

k +1

]R

Cw D которая воEпервых является точной верхней гранью множества точек пеE
ресечения с отрезком [a
2k -1

, a2k ] периодических траекторий k Eго семейства
2 k -1

@обходящих вокруг отрезка [a

, a2k ]AD а воEвторых принадлежит некоторой

сепаратрисеD которую обозначим через Sk F Обозначим через Ck объединение всех периодических траекторий k Eго семействаD k = 1, . . . , n + 1F ЗаметимD что

145


Рис. 4.12: Интегральные траектории поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) на сфере C

w

каждая сепаратриса S1 , . . . , S

n+1

имеет не более одного пересечения с вещеE

ственной прямой R Cw D так как в противном случаеD ввиду симметричноE сти интегральных траекторий относительно вещественной прямой R Cw D она была бы периодическойD не проходящей через точку {} Cw F ТакжеD ввиду симметричности интегральных траекторий относительно вещественE ной прямой R Cw D всякая сепаратриса Sk D проходящая через точку a
k ,

D

k = 1, . . . , n + 1D имеет начало и конец в точке Cw F Тем самымD выше опиE
сано строение всех сепаратрис векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) на сфеE ре Cw F ЗначитD Cw есть объединение описанных выше сепаратрис S1 , . . . , S и заполненных периодическими траекториями областей C1 , . . . , C
a2 a2k k i=1
k

n

n+1

D и инE

тегральные траектории имеют вид как на рисF RFIPF Период периодических интегральных траекторий k Eго семейства @из Ck A равен Tk =



-1

dw -P2n+2 (w)

D

k = 1, . . . , n + 1D а длина |Sk | сепаратрисы Sk равна |Sk | = k = 1, . . . , nF

(-1)k-i Ti при

Поэтому интегральные траектории векторного поля sgrad C f |T0 выглядят как на рисунке RFIHFСреди этих траекторий имеется ровно 2n сепаратрис si D

1 i 2nD которые разбивают слой T0 на n + 1 связных компонент ck D
146


k = 1, . . . , n + 1D где каждая ck состоит из периодических траекторийD обE
разующих однопараметрическое семейство периодических траекторийF При этом всякая сепаратриса S2 точке p
0,1 k -1

имеет начало и конец в бесконечно удаленной

T0 D а всякая сепаратриса S2k имеет начало и конец в бесконечE
0,2

но удаленной точке p

T0 D k = 1, . . . , nY каждая из сепаратрис s

2k -1

и

s

2k

имеет длину |Sk | и биективно проектируется при двулистном накрытии

Prw |T0 : T0 Cw на сепаратрису Sk векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 )D k = 1, . . . , nF Также любая траектория в области ck имеет период Tk и либо
проектируется биективно на одну из периодических траекторий k Eго семейE ства периодических траекторий векторного поля +(Prw ) (sgrad f |T0 ) @из Ck AD либо проектируется двулистно на отрезок [a Предложение RFPFR доказаноF
Обозначение 4.2.5
2 k -1

, a2k ] Ck D k = 1, . . . , n + 1F

@@разрезание нулевого слоя сепаратрисами на цилинE

дрыAA. В обозначениях утверждения RFPFR имеем разбиения

Cw = S1 . . . Sn C1 . . . C
на сепаратрисы s
2k -1

n+1

,

T0 = s1 . . . s2n c1 . . . c

n+1

s

2k

= (Prw |T0 )-1 (Sk )D k = 1, . . . , nD и области!открытые
при k = 2, . . . , nD C1 = S1 D C D откуда

цилиндры ck = (Prw |T0 )-1 (Ck )D k = 1, . . . , n + 1F Границы областей Ck C имеют вид Ck = Sk Sk
+1 n+1

=S

n+1

при n 2 границы цилиндрических областей ck имеют вид c1 = s1 s2 D

ck = s

2k -3

s

2k -2

s2

k -1

s

2k

при k = 2, . . . , nD c

n+1

= s2

n-1

s2n F

147


4.2.2

Семейства геодезических с концами в бесконечно удаленных точках на слоях, близких к нулевому

Предложение 4.2.6. Пусть

f (z , w) = z 2 + P

2n+2

(w), n N ds

. Пусть

ds

2 0

поле неотрицательно определенных квадратичных форм

2 на пополнении 0
Пусть

T0

слоя

T0 = f

-1

(0) @смF определение QFIFII и следствие RFPFQA. ds

:

[0, 1] T0

геодезическая поля квадратичных форм

2 , имеющая начало в 0

одной из бесконечно удаленных точек удаленных точек существует

p0,1 , p0

,2 и конец в одной из бесконечно
. Тогда

p0,1 , p0,2 @смF следствие RFPFQ и пояснение RFPFU@АAA
такое что для любого

> 0,

C, | | <

, слой

T

является

неособым, и существует геодезическая форм от

: [0, 1] T

поля квадратичных

ds2 @смF определение QFIFII и следствие RFPFQA

, непрерывно зависящая



, имеющая начало и конец в бесконечно удаленных точках удовлетворяющая соотношению

p ,1 , p ,2 @смF

пояснение RFPFUA,

0 =

. геодезической

Пояснение 4.2.7.

@АA В формулировке утверждения RFPFT под

поля квадратичных форм ds2 на T D имеющей начало и конец в бесконечно удаленных точках p ,1 , p ,2 D понимается непрерывное отображение : [0, 1]

T D такое что (0), (1) {p ,1 , p ,2 }D (t) T при любом t (0, 1)D и |(0
,1)

: (0, 1) T является геодезической римановой метрики ds2 на T F

@БA В формулировке утверждения RFPFT под условием о непрерывной завиE симости геодезической : [0, 1] T от понимается следующееX отобраE жение
2 4 D0, Ч [0, 1] M = | |< 2 непрерывно по совокупности переменных ( , t) D0, Ч [0, 1] @смF лемму RFPFPAF

T ,

( , t) (t),

148


Доказательство.

Согласно теореме II существуют > 0, 1 > 0D такие что

2 для любого CD | | < D существуют окрестности U ,j T бесконечно удаE

ленных точек p

,j

2 T D и координата u ,j : U2,j D1 D причем u ,j (p ,j ) = 0 n u 2 D j = 1, 2D где u " координата в D1 CF ОтE

и (u ,j ) (sgrad C f |U2,j ) = u1-

сюда ((u ,j )-1 ) (ds2 |U2,j ) = |u|2

n-2

|du|2 " поле неотрицательно определенных

2 квадратичных формD пропорциональных евклидовойD в области D1 C(u)D 2 определяющее функцию расстояния (u-1 , u-1 ) = (u-1 , u-1 ) в D1 D и ,j ,j ,j ,j

являющееся обратным образом поля форм ds2 D определяющего функцию расE
2 2 стояния в U ,j F Поэтому геодезическиеD выходящие из точки uj = 0 D1 D 2 содержат радиусы открытого круга D1 D а граница D 2 1

этого круга явE

ляется окружностью @в смысле функции расстояния (u-1 , u-1 ) A радиуса ,j ,j

r1 =

4n-3 1 4n-3

2 2 > 0F Поскольку слой T0 неособый и множество T0 \ (U0,1 U0,2 )
0 2 \(U0,1 U 2 0,2

компактно по теореме IID то 0 |T

) " голоморфная и отделенная от

нуля IEформаF Поэтому существуют 2 , 3 > 0 и комплексноEаналитическое вложение 0 : 0 T0 прямоугольника

0 := {z0 C | 2 Re z0 1 - 2 , | Im z0 | 3 } C, ~ ~ ~
такие что 0 |[
2

,1-2 ]

= |[

2

,1-2 ]

D образы всех вершин прямоугольника 0 при

2 2 ~ вложении 0 принадлежат U0 @тFеF 0 (2 + i3 ), 0 (1 - 2 + i3 ) U0 A и dz0 =

(0 ) 0 F Отсюда следуетD что существуют 4 > 0 и семейство комплексноE
аналитических вложений : 0 T D CD | | < 4 D такие что образы всех вершин прямоугольника 0 при каждом вложении D принадлежат U
2 ,1



U2,2 D dz0 = ( ) D и отображение ( , z0 ) (z0 ) является комплексноE ~ ~ ~
аналитическимF Отсюда существует 5 > 0D такое что для любого CD | | <

5 D существует единственный прямолинейный отрезок в прямоугольнике 0
149


Рис. 4.13: Продолжение геодезических

C(z0 ) @а стало бытьD геодезическая римановой метрики ds2 AD ортогональный ~
2 дугам ( )-1 (u ,j )-1 ( D1 )D j = 1, 2D в обеих точках своего пересечения с

дугамиD и являющийся пересечением 0 с некоторой вещественной прямой в
2 CF Продолжая эту геодезическую в круге U2,j D1 до центра u-1 (0) = p ,j ,j

этого круга по радиусамD можно получить искомую геодезическую D смF рис RFIQF Обозначим через ak ( ) корень уравнения P
2n+2

(w) = D близкий к ak D

1 k 2n + 2F Используя утверждения RFPFR и RFPFTD получаем следующее
следствиеF
Следствие 4.2.8. Пусть

f (z , w) = z 2 + P

2n+2

(w),

где

P

2n+2 +2 ,

(w) = (w - nN T
. Тогда

a1 ) . . . (w - a

2n+2 ),

ai R, i = 1, . . . , 2n + 2, a1 < a2 < . . . < a2n
такое что для любого

существует

> 0,

C, | | <

, слой

является n+1

неособым, а также существует набор геодезических

s1 ( ), . . . , s2n ( ), d1 ( ), . . . , d
, имею-

(

T

поля квадратичных форм

ds2 , | | < ,

непрерывно зависящих от

щих начало и конец в бесконечно удаленных точках

p

,j

@смF следствие RFPFQ и

пояснение RFPFUA,

удовлетворяющих соотношениям

sk (0) = sk , k = 1, . . . , 2n, (0, ai ( )) T
,

dm (0) = dm , m = 1, . . . , n + 1

, и не проходящих через точки

150


i = 1, . . . , 2n + 2

, где

s

k,

d

m как в утверждении 4.2.4.

Обозначение 4.2.9

@@разрезание слояD близкого к нулевомуD геодезическими

2 на цилиндрыAA. Согласно следствию RFPFVD при любом D0, имеем следуE

ющие разбиения плоскости C = Cw и слоя T = f ным в обозначении RFPFS при = 0X

-1

( )D аналогичные введенE

C = S1 ( ). . .Sn ( )C1 ( ). . .C

n+1

( ), T = s1 ( ). . .s2n ( )c1 ( ). . .c

n+1

( ),

где Ck ( ) " компонента связности Cw \ (S1 ( ) . . . Sn ( ))D содержащая точки

a

2k -1

( ), a2k ( )D 1 k n + 1F При n 2 границы цилиндрических областей
2k -3

ck ( ) имеют вид c1 ( ) = s1 ( ) s2 ( )D ck ( ) = s s2k ( ) при k = 2, . . . , nD cn ( ) = s2
4.2.3
n-1

( ) s

2k -2

( ) s

2k -1

( )

( ) s2n ( )F

Комплексные координаты действие-угол и функции перехода. Комплексная теорема Лиувилля

Определение 4.2.10.

Пусть > 0 как в следствии RFPFVF

Четырехмерной



-окрестностью нулевого слоя -ой четырехмерной

T0 назовем область U (T0 ) := G,k назовем ее подмножество 1 k n,
| |<

T C2 D а

k



-ручкой

G,k :=
| |<

ck ( ) U (T0 ),

где ck ( ) " замыкание цилиндрической области ck ( ) T из обозначеE ния RFPFWF ОтметимD что количество четырехмерных Eручек G,k равно n + 1 @смF обозначение RFPFWAD и ручки покрывают всю четырехмерную Eокрестность
n+1 k =1

U (T0 ) слоя T0 D тFеF U (T0 ) =

G,k F
151


Теорема 26

@@комплексная теорема Лиувилля для гиперэллиптического гаE
. Для

мильтониана четной степениAA
с функцией Гамильтона жева слоения

C

-гамильтоновой системы

(C2 , dz dw, f )

f (z , w) = z 2 +P

2n+2

(w)

и соответствующего лагран-

@смF определение QFIFTA,

где

P

2n+2

(w) = (w - a1 ) . . . (w - a2 nN
, существует

n+2 ),
,

ai R, i = 1, . . . , 2n + 2, a1 < a2 < . . . < a2n
такое что выполнены следующие свойства: 1) для любого

+2 ,

>0

C, | | < , n

слой

T = f

-1

( )

является неособым и

гомеоморфен сфере с

ручками и двумя проколами;

2) лагранжево слоение в четырехмерной



-окрестности

U (T0 )

слоя

T0
на

тривиально, т.е. послойно гомеоморфно прямому произведению слоя открытый двумерный диск 3) в окрестности

T0

2 D0, = { C | | | < };
существуют

U (T0 )

2n + 2

голоморфных функций

I1 , . . . , I

n+1

, J1 , . . . , J
-ручки

n+1

: U (T0 ) C,
, суще-

а для каждой четырехмерной

G,k U (T0 ), k = 1, . . . , n + 1

ствует голоморфное вложение (задаваемое комплексными координатами действие-угол)

(Ik |G,k , k mod 2 ) : G,k C Ч (C/2 Z),
со следующими свойствами: а) каждая функция ей

1 k n + 1;

Ik , Jk : U (T0 ) C
от

является голоморфной функци-

Ik = Ik (f )

и

Jk = Jk (f )

f

без критических точек, ее множество

значений

D,k := Ik (U (T0 )) = Ik (G,k ),

D,k := Jk (U (T0 )) = Jk (G,k ) C
152


открыто в ности

C

и гомеоморфно открытому кругу, она выражается в окрестчерез любую другую такую функцию формулами

U (T0 )

Ik = Ik (f (I )),
где

Ik = Ik (f (J )),

Jk = Jk (f (I )),

Jk = Jk (f (J ));
и

f (Ik )

и

f (Jk )

функции, обратные к функциям ); и

Ik (f )

Jk (f )

соответ-

ственно (

k = 1, . . . , n + 1

б) при любых

k = 1, . . . , n + 1

Ik D,k
T

множество значений комполучается из некоторой

плексной координаты угол замкнутой области нами

k mod 2 |G,k

f ( Ik )

W
(k )

k ,I

k

C

, ограниченной шестиугольником с верши(вырождающимся при

A1 (Ik ), . . . , A6 (Ik ) C

(k )

k=1

в параллеи

лограмм с вершинами при

A1 (I1 ) = A1 (I1 ), A1 (I1 ) = A1 (I1 ), A1 (I1 ), A1 (I1 ), 5 4 3 2 6 1 A
(n+1) 1

k = n+1

в параллелограмм с вершинами

(In+1 ), A2

(n+1)

(In+1 ),

A

(n+1) 3

(In+1 ) = A

(n+1) 4

(In+1 ), A5

(n+1)

(In+1 ) = A6

(n+1)

(In+1 ))

и сторонами, со-

ответствующими геодезическим

d1 (f (I1 )), s1 (f (I1 )), s2 (f (I1 )) T (f (Ik )), s
2k -1

f (I1 ) при (Ik )
,

k = 1, dk (f (Ik )), s
при

2k -3

(f (Ik )), s

2k -2

(f (Ik )), s2k (f (Ik )) Tf
при

1 < k < n + 1, dn+1 (f (In+1 )), s

2n-1

(f (In+1 )), s2n (f (In+1 ))

k = n+1

следующим образом: (i) выкидыванием всех вершин (соответствующих бесконечно удаленным точкам

p

f (Ik ),1

, pf

(Ik ),2 ), и (ii) отождествлением (т.е.

склеиванием) при помощи параллельного переноса любой пары сторон, отвечающих одной и той же геодезической (соответственно параллелограмм при следующими условиями (см. рис. 4.14,

dk (f (Ik ));

причем шестиугольник ) однозначно задается

k = 1, n + 1

4.15, 4.16 при

k = 1, 1 < k < n + 1

,

k =n+1 ћ

соответственно):

шестиугольник (или параллелограмм)

W

k ,I

k

C

образован тремя па-

рами равных и параллельных сторон, соответствующих следующим

153


геодезическим и получающихся друг из друга следующими сдвигами в плоскости

C

:

A1 (Ik )A2 (Ik ) = k (dk ( )) - A5 (Ik )A4 (Ik ) = k (dk ( )), A2 (Ik )A3 (Ik ) = k (s
(k ) (k ) (k ) (k ) 2 k -3 k -1

(k )

(k )

2

(k )

(k )

( )) ( ))

- Dk ( )

-

k

A1 (Ik )A6 (Ik ) = k (s
(k ) (k )

(k )

(k )

2 k -2

( )),

k > 1, k < n+1,

A3 (Ik )A4 (Ik ) = k (s2
где

- Dk ( )

-

k

A6 (Ik )A5 (Ik ) = k (s2k ( )),

2 := f (Ik ) D0,

, через

:CC

обозначен параллельный перенос

на вектор

C
k

в плоскости

C, s0 ( ) := s1 ( ),
-1

Dk (f (Ik )) ћ
при любом

:= 2

dJk-1 dJk (Ik ) - (Ik ) + . . . + (-1)k dIk dIk
выполнено

dJ1 (Ik ) , dIk

k
-- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - (k ) (k ) (k ) (k ) A3 (Ik )A4 (Ik ) = A6 (Ik )A5 (Ik ) = Sk+1 (f (Ik )) ћ
k

:= 2

dIk+1 dIk+2 (Ik ) - (Ik ) + . . . + (-1)n dIk dIk

-k -1

dIn (Ik ) , dIk k=1
(k )
)

точка пересечения диагоналей (вырождающегося в отрезок при параллелограмма

A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A6 (Ik )

(k )

(k )

(k )

(k )

равна

1 2

(A1 (Ik )+A3 (Ik )) =
(k ) (k ) (k )

(k )

0 = k (0, a2k-1 (f (Ik )))
(k ) (k )

(откуда точка пересечения диагоналей (вырож-

дающегося в отрезок при равна в)

k = n+1)

параллелограмма

A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (I

(k )

1 2

(A3 (Ik ) + A5 (Ik )) = = k (0, a2k (f (Ik )));
k,

(dz dw)|G,k = dIk d

k = 1, . . . , n + 1

;

г) переменная действие

Ik = Ik (f )

и функция

Jk = Jk (f ) -P

имеют вид

a2k ( )

a2k

-1

( ) 2n+2

Ik ( ) =

1
a2
k -1

-P
( )

2n+2

(y )dy , Jk ( ) =

1
a2k
-2

(y )dy ,

2 D0, ,

( )

154


где

a0 ( ) := -
1 2n+2 ( 2

, и в качестве функции



берутся ее ветви, такие что

-P 0

(a

2k -1

+ a2k )) > 0

в первом случае, и

i

-P

1 2n+2 ( 2

(a

2k -2

+a

2k -1

)) <

во втором случае; д) для любых двух ручек

G,k , G,

, содержащих в своей границе одно и выполнено

то же семейство геодезических

sj ( ),

k = +1

, причем в случае

1 k < n+1

пересечение

G,k G,k (s
2k -1

+1 является объединением геодезических

G,k G,k

+1

=
| |<

( ) s2k ( )) =

(Prw |T )-1 (Sk ( )),
| |<

и на этом пересечении комплексные координаты угол связаны друг с другом формулами:

k mod 2

и



k +1

mod 2

Ik+1 ( )

k +1 |s2k

-1

( )

+ Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |

s2k

-1

( )

- ),

Ik+1 ( )

k +1 |s2k ( )

- Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

( )

- );
на ручке

е) уравнения Гамильтона в координатах

(Ik , k mod 2 )

G,k

,

k = 1, . . . , n + 1

, принимают вид:

Ik = 0,
4) антиканоническая инволюция щая Гамильтониан

k =

df (Ik ) ; dIk
2
,

C2 C

(z , w) (-z , w),

сохраняю-

f

, переводит каждую четырехмерную

-ручку

G,k

в се-

бя, и ограничение этой инволюции на эту ручку в координатах имеет вид

(Ik , k mod 2 )

(Ik , k mod 2 ) (Ik , -k mod 2 ), 1 k n + 1

.

Доказательство.

Пункт IA следует из следствия RFIFQF Пункт PA следует из

частного случая леммы QFQFIX когда на слое T0 нет особых точекF Докажем пункт QAF
155


Рис. 4.14: Параллелограмм Рис.

4.15:

Шестиуголь-

W

1,I

1

C1 при n > 1

ник

W

k,Ik



Ck

при

Рис. 4.16: Параллелограмм

W

1
n+1,I

n+1

C

n

+1

Шаг IF Определим функции Ik = Ik ( ), Jk = Jk ( ) формулами пункта гAF Докажем пункт аAD тFеF голоморфность функций Ik ( ), Jk ( )F По построению значение переменной действие Ik зависит только от F ДалееD

dIk ( ) 1 = d
a2

a2k ( )

d( - P2n+2 (w)) dw + a2k ( ) - P d
k -1

2n+2

(a2k ( ))

( )

-a
2k -1

a2k ( )

( ) - P

2n+2

(a

2 k -1

1 ( )) = 2
a2k
-1

dw -P
( ) 2n+2

(w)

.

Отсюда следуетD что существует > 0D такое что при | | < производная

dIk ( )/d существуетD поэтому Ik = Ik ( ) является голоморфной функциейF
Более тогоD поскольку dIk (0)/d = 0D то можно считатьD что Ik | ся диффеоморфизмом открытого круга D
2 0, a2k 1 2 a2k
-2 -1 2 D0,

являетE

радиуса на область D,k :=
(w)

( )

Ik (D )F Аналогично Jk ( ) =
2 0,


( )

dw -P2n

+2

F Пункт аA доказанF

Шаг PF Для любой кусочно гладкой ориентированной кривой на слое

T обозначим


:=


,



k

:=

, Ik ( )

2 D0, ,

@RFPFIA

156


где " голоморфная IEформа на слое T D смF определение QFIFII@АAF Так как форма замкнутаD то ее интеграл по любому ориентированному циклу T не меняется при любых гомотопиях цикла в слоеF Рассмотрим непрерывные по семейства ориентированных циклов



,k

:= (Prw |T )-1 (
,k

a2k

-1

( ),a2k ( )

) T G,k ,
( )

^

:= (Prw |T )-1 (
0,k

a2k

-2

( ),a

2k-1

) T

с такой ориентациейD что 0,k и ^

являются интегральными траекториями

полей sgrad C f и i sgrad C f соответственноD k = 1, . . . , n + 1F Тогда



,k

= 2 Ik ( ),

^

,k

= 2 Jk ( )
,k k

@RFPFPA

в силу формул для Ik ( ) и Jk ( )D смF шаг IF Поэтому

= 2 и существует

единственная функция k mod 2 : G,k C/2 Z при 1 k n + 1D такая что

d(k |G

,k

T



) = /Ik ( ),

k mod 2 (0, a2k-1 ( )) = 0 mod 2 ,

2 D0, .

Пункт вA следует из тогоD что dIk dk = Ik (f (z , w))df (z , w)
2z dz dw |G,k 2z

dw 2z Ik (f (z ,w)) |G,k

=

= (dz dw)|G,k F Пункт еA следует из пунктов аA и вAF

Шаг QF Докажем пункт бAF Согласно следствию RFPFVD существуют геодезиE
4 ческие s1 ( ), . . . , s2n ( ) : (0, 1) T римановой метрики ds2 на T T M

с концами lim s
t0+ t1-

2i-1 ,2

( )(t) = lim s
t1-

2i-1

( )(t) = p

,1

T D lim s2i ( )(t) =
t0+

lim s2i ( )(t) = p

4 T D 1 i nD замыкания которых в M близки к 2n

замыканиям интегральных траекторий s1 , . . . , s

векторного поля sgrad C f F
n+1

АналогичноD существуют геодезические d1 ( ), . . . , d

( ) на (T , ds2 )D замыE
n+1

кания которых близки к замыканиям интегральных траекторий d1 , . . . , d
157


Рис. 4.17: Надрезанный или проколотый тор c1 ( ) s1 ( )

Рис. 4.18: Областьцилиндр Рис.

4.19:

Область


T

ck ( ) T при 1 < k < n

цилиндр cn ( ) T

векторного поля i sgrad C f F Поэтому указанные геодезические на слое T D их образы в C при проекции Prw |T : T C и цилинрические области ck ( )D

1 k n + 1D выглядят как на рисF RFIUD RFIVD RFIWF
Разрежем цилиндрическую область ck ( ) T @смF обозначение RFPFWA по геодезической dk ( ) и рассмотрим образ полученной односвязной @разрезанE нойA области ck ( ) \ dk ( ) при отображении k D являющемся ветвью отображеE ния k mod 2 D введенного на шаге PF Так как граница разрезанной области составлена из геодезическихX

dk ( ) s2k-3 ( ) s2k-2 ( ) s2 (ck ( )\dk ( )) = d ( ) s1 ( ) s2 ( ), 1 d ( ) s n+1 2n-1 ( ) s2n ( ),

k -1

( ) s2k ( ), 1 < k < n + 1, k = 1, k = n + 1,

то граница ее образа k (ck ( ) \ dk ( )) C состоит из прямолинейных отрезков в плоскости Ck F Нетрудно показываетсяD что комплексно значная функция

k |c

k

( )\dk ( )

: ck ( ) \ dk ( ) C инъективнаD поэтому ее образ является внутE

ренностью некоторого TEугольника @при 1 < k < n + 1A или REугольника @при

158


k = 1, n + 1A W
k ,I
k

= A1 (Ik )A2 (Ik )A3 (Ik )A4 (Ik )A5 (Ik )A6 (Ik )

(k )

(k )

(k )

(k )

(k )

(k )

в плоскости Ck D где Ik := Ik ( )F ЗначитD множество значений комплексной координаты угол k |ck
( )\dk ( )

: ck ( ) \ dk ( ) C на разрезанной цилиндричеE

ской области ck ( ) \ dk ( ) является внутренностью этого шестиугольникаF ПоE этому множество значений комплексной координаты угол k mod 2 |G,k
T


на замыкании ck ( ) = G,k T этой области получается из замкнутой облаE сти W
k ,I
k

D ограниченной этим шестиугольникомD выкидыванием всех вершин

и отождествлением пар сторонD отвечающих одной и той же геодезическойF Вычислим направляющие вектора сторон шестиугольника W
k ,I
k

X

A2 (Ik ) - A1 (Ik ) = A4 (Ik ) - A5 (Ik ) = dk ( ) A3 (Ik )-A2 (Ik ) = A6 (Ik )-A1 (Ik ) = s
(k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) 2k -3

(k )

(k )

(k )

(k )

k

=: Dk ( ) k , ( )
k k

( )

k

=s
k

2k -2

=: Sk-1 ( ) k , =: Sk ( ) k ,

A4 (Ik ) - A3 (Ik ) = A5 (Ik ) - A6 (Ik ) = s

2k -1

( )

= s2k ( )

где средняя цепочка равенств выполнена при 1 < k n + 1D и последняя цепочка равенств выполнена при 1 k < n + 1F Осталось заметитьD что

S1 ( ) = S D1 ( ) = ^
,1 k -1

,1

= 2 I1 ( ),

Sn ( ) =
,k

,n+1

= 2 In+1 ( ),

( ) + Sk ( ) = D
k -1

= 2 Ik ( ), 1 < k < n + 1,
,k

= 2 J1 ( ),

( ) + Dk ( ) = ^

= 2 Jk ( ), 1 < k n

в силу @RFPFPAF С учетом @RFPFIAD отсюда получаем требуемые равенства

Sk+1 ( )

k

Ik+1 ( ) - Ik+2 ( ) + . . . + (-1)n = 2 Ik ( )
159

-k -1

In ( )

,

1 k < n,


Dk ( )

k

Jk ( ) - Jk-1 ( ) + . . . + (-1)k-1 J1 ( ) , = 2 Ik ( )

1 k n.

Пункт бA доказан полностьюF Шаг RF Докажем пункт дAF ЗаметимD что в силу определения четырехE мерных ручек G,k выполнено G,k

G,l = тогда и только тогдаD когда
k +1

l = k + 1F В силу пункта бAD координаты k mod 2 и
ресечении s
2k -1

mod 2 на пеE

( ) s2k ( ) = (Prw |T )-1 (Sk ( )) своих областей определения

связаны друг с другом следующими соотношениямиX на геодезической s2k ( ) они связаны соотношением



k +1 |s2k ( )

+

Sk+1 ( ) + Dk+1 ( ) I ( ) =k (k |s2k 2Ik+1 ( ) Ik+1 ( )

( )

-

Sk ( ) + Dk ( ) ), 2Ik ( )

которое равносильно первой требуемой формуле

Ik+1 ( )

k +1 |s2k ( )

+ Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

( )

- ),

а на геодезической s2k ( ) они связаны соотношением



k +1 |s2k ( )

+

Sk ( ) - Dk ( ) I ( ) =k (k | 2Ik ( ) Ik+1 ( )

s2k

+1

( )

-

Sk ( ) - Dk ( ) ), 2Ik ( )

которое равносильно второй требуемой формуле

Ik+1 ( )

k +1 |s2k ( )

- Jk+1 ( ) = Ik ( ) (k |s2k

( )

- ).

Пункт QA полностью доказанF

f D меняет знак у CEсимплектической структуры dz dwD и Пункт RA следуE
ет из тогоD что данная инволюция сохраняет гамильтониан сохраняет точку

(0, a2k-1 ( ))D в которой k (0, a2
казанаF

k -1

( )) = 0 mod 2 ввиду QADбAF Теорема PT доE

160


Литература

I Архангельский ЮFАF Аналитическая механика твердого телаF МFX НаукаD IWUU P Бобенко АFИF Уравнения Эйлера на so(4) и e(3)F Изоморфизм интегриE руемых случаевF GG ФункцF анализ и его приложенияD IWVTD тF PHD выпF ID сF TRETT Q Болсинов АFВF Гладкая траекторная классификация интегрируемых гаE мильтоновых систем с двумя степенями свободыF GG МатемF сборникD IWWSD тF IVTD ID сFQEPV R Болсинов АFВF О классификации гамильтоновых систем на двумерных поверхностяхF GG УМНD IWWRD тF RWD выпF TD сF IWSEIWT S Болсинов АFВFD Дуллин ХF О случае Эйлера в динамике твердого тела и задаче ЯкобиF GG Регулярная и хаотическая динамикаD IWWUD тF PD ID сF TREUR T Болсинов АFВFD Фоменко АFТF Геодезические потоки на сфереD порожденE ные системами ГорячеваEЧаплыгина и Ковалевской в динамике твердого телаF GG МатемF заметкиD IWWRD тF STD PD сF IQWEIRP

161


U Болсинов АFВFD Фоменко АFТF Интегрируемые гамильтоновы системыF ИжевскX ИД Удмуртский университетD IWWW V Болсинов АFВFD Фоменко АFТF Траекторная классификация интегрируеE мых систем типа Эйлера в динамике твердого телаF GG УМНD IWWQD тF RVD выпF SD сF ITQEITR W Брюно АFДF Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений МFX НаукаD IWUW IH Васильев ВFАF Ветвящиеся интегралыF МFX МЦНМОD PHHH II Горячев ДFНF О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = 4C F GG МатемF сборникD IWHHD тF PID Q IP Зотов ВFВFD Шафаревич АFИF Интегрируемые гамильтоновы системы с инвариантными поверхностями произвольного рода и их квазиклассичеE ское квантованиеF GG Труды семинара по векторному и тензорному анаE лизуD PHHSD тF sD сF PVSEQHI IQ Козлов ВFВF Методы качественного анализа в динамике твердого телаF Издательство МГУD IWVH IR Козлов ВFВF Топологические препятствия к интегрируемости натуральE ных механических системF GG ДАН СССРD IWUWD тF PRWD TD сF IPWWEIQHP IS Милнор ДжF Особые точки комплексных гиперповерхностейF МFX МирD IWUI

162


IT Мищенко АFСFD Фоменко АFТF Обобщенный метод Лиувилля интегрироE вания гамильтоновых системF GG ФункцF анализ и его приложенияD IWUVD тF IP@PAD сF RWESW IU Мищенко АFСFD Фоменко АFТF Уравнения Эйлера на конечномерных групE пах ЛиF GG Известия АН СССРD серF матемFD IWUVD тF RPD PD сF QWTERIS IV Ошемков АFАF Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркациE онные диаграммы имнтегрируемых случаев динамики твердого тела на

S O(4)F GG УМНD IWWHD тF RPD выпF PD сF IWWEPHH
IW Ошемков АFАF Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегриE руемых случаев динамики твердого телаF GG Труды семинара по векторE ному и тензорному анализуD IWWQD тF D сF PQEIHW PH Тайманов ИFАF О топологических свойствах интегрируемых геодезичеE ских потоковF GG МатемF заметкиD IWVVD тF RRD выпF PD PVQEPVR PI Трофимов ВFВFD Фоменко АFТF Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоE новых систем на алгебрах ЛиF GG УМНD IWVRD тF QWD выпF PD сF QEST PP Фоменко АFТF Симплектическая топология вполне интегрируемых гаE мильтоновых системF GG УМНD IWVWD тF RRD выпF ID IRSEIUQ PQ Фоменко АFТD Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невыE рожденных систем с двумя степенями свободыF Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых системF GG Известия АН СССРD серF матемFD IWWID тF SSD RD сF URUEUUW

163


PR Фоменко АFТF Теория Морса интегрируемых гамильтоновых системF GG ДАН СССРD IWVTD тF PVUD SD сF IHUIEIHUS PS Фоменко АFТF Топологические инварианты гамильтоновых системD интеE грируемых по ЛиувиллюF GG ФункцF анализ и его приложенияD IWVVD тF PPD выпF RD сF QVESI PT Фоменко АFТF Топологический инвариантD грубо классифицирующий инE тегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразияхF GG ФункцF анализ и его приложенияD IWWID тF PSD выпF RD сF PQEQS PU Форстер ОF Римановы поверхности МFX МирD IWVH PV Хартсхорн РF GG Алгебраическая геометрияD МFX МирD IWVI PW Хованский АFГF Многогранники Ньютона и род полных пересеченийF GG ФункцF анализ и его приложенияD IWUVD тF IPD выпF ID сF SI!TI QH Хованский АFГF Многогранники Ньютона и торические многообразияF GG ФункцF анализ и его приложенияD IWUUD тF IID выпF RD сF STETU QI edler wFD vn woereke F gompletely integrle systemsD iuliden vie lgers nd urves nd liniliztion rmiltonin systemsD toi vrites nd representtion theoryF GG edvF mthFD IWVHD vF QHD ppF PTUEQUW QP edler wFD vn woereke F he uowlewski nd renonEreiles motions s wnkov geodesi )ows on S O(4)F e twoEdimensionl fmily of vx pirsF GG ommF mthF physF IWVVD vF IIQD RD ppF TSWEUHH

164


QQ ftes vF wonodromy in the hmpgne ottleF GG tournl of ppF mthF nd physFD IWWID vF RPD ppF VQUEVRU QR ftes vFD vermn iF roper group tions nd sympleti strti(ed spesF GG i( tF wthFD IWWUD vF IVI@PAD ppF PHI!PPW QS folsinov eFF pomenko9s invrints in the theory of integrle rmiltonin systemsF GG opology nd epplitionsF snterntionl opologil gonferene dedited to FF elexndro' 9s IHHEth irthdyF wosowD hsisD IWWTD ppF PUEQR QT pomenko eFF he theory of invrints of multidimensionl integrle rmiltonin systems @with oritrry mny degrees of freedomAF woleulr tle of ll integrle systems with two degrees of freedomF GG snX edvnes in oviet wthF emirF wthF oFD IWWID vF TD ppF IEQT QU pomenko eFF ough lssi(tion of integrle rmiltonins on fourE dimensionl sympleti mnifoldsF GG snX from opology to gomputtionF roeedings of the mlefestFD IWWQD pringerEerlgD ppF STIESVT QV qvrilov vF gomplex geometry of vgrnge topF GG repulition TI du vortorie de wthemtiques imile irdF niversite oulouse sssDIWWS QW qordon F yn the gompleteness of rmiltonin etor pieldsF GG roeedings of the emerin wthemtil oietyD olF PTD xoF P @ytF IWUHAD ppFQPWEQQI RH wtsumur rF gommuttive lgerF xew orkX FeF fenjmin goFD IWUH

165


RI xguen FF ingulrities of integrle geodesi )ows on multidimensionl torus nd sphereF GG tournl of geometry nd physisD IWWTD vF IVD issue PD ppF IRUEITP RP xguen FFD olykov vFF e topologil lssi(tion of integrle geodesi )ows of the twoEdimensionl sphere with qudrti in moment dditionl nitegrlF GG tournl of nonliner sinesD IWWPD vF TD ppF VSEIHV RQ xovikov FF hynmil ystems nd hi'erentil pormsF vow himensionl rmiltonin ystemsF GG gontemporry mthemtisD vF RTWD ppF PUIEPVV RR xovikov FF opology of qeneri rmiltonin politions on iemnn urfesF GG wosow wthF tFD PHHSD vF S@QAD ppF TQQETTU RS hom F v9? equivlene d9une fontion di'? tile et d9un polynome GG eren opologyD IWTSD vF Q@PAD ppF PWUEQHU

166