Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://dfgm.math.msu.su/files/0ngit/oshemkov/00ngit.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Sat Jun 9 09:36:17 2012 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 23:02:30 2016 Êîäèðîâêà:

THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (1-graphs.tex) 2012-06-09 · 05:33:49.

1.
. , . , . , , , .. , . , . «» « » ( XX ). 1.1. . , - . , -- , . -, , «» , , . V ( ) , . , , , , . «», V1 V2 , a, b V1 , , (a), (b) V2 , -1 : V2 V1 ( , a, b k , .. k , (a), (b) k ). , , , . , , . 1.2. . , , , «» , , «» . , , , : - , ( , -- !1 ), -, , «» ( , , . .). , , . , , , R R (.. ): f : R R x R, W f (x) U x, f (U ) W . « ­ », .. . ( ) , , « » ( ).2 , , , .
1 , , (), ( ) , « » , . 2 , , « » . «» (, ).


2

. , - , -, 3 . ( ) ( ) . , , . , , -, , « » (- V , ), -, , . «» - ? . , , «» - .4 1.1. «», [a, b] R. , a, b R (, , [0, 1]). , : ; ( ); , ; . . , [a, b] . , x (a, b) (x - , x + ) [a, b], a b [a, a + ) [a, b] (b - , b] [a, b] , > 0. , «» , , .. , «» R. , , . 1.1. V -- (), E -- , -- V . G, , , V ( ) E ( ). G , v V v -1 (v ) (.. , ). 1.1 «» -, , , . , v V , v .
, ; . 1.5 , : , , « », «-». , , «» , , . , (. « ») .
4 3


3

1.3. . , (. 1.2) , . , , , «» , . .5 , ( , ). 1.2. X Y -- p ( p), ee , p p. F : X Y x X , W F (x) ( Y ) U x ( X ), F (U ) W . , . , (, , , ) , .. 1.2 . ( ). ( ) . , p , p r, r -- . Dp,r = {x | (x, p) < r} , , r p. . , X , . O X , x O . K X , X \ K . , K : x K x, K . , , Dp,r = {x | (x, p) < r} , Dp,r = {x | (x, p) r} -- . Dp,r , Dp,r -- . , 1.2. , ( , ). 1.4. . (, , ). [a, b] (. 1.1), , a b, (a) (b) . (a) = (b), . , -- , «» -- . , ( ), , « p », «
5

. 4.1 « ».


4

p», « - » . ., , . x1 , x2 (, ), : [a, b] R2 (x1 , x2 ) (t) = (x1 (t), x2 (t)). 1.1. , : [a, b] R2 (x1 , x2 ) ( 1.2) , x1 (t) x2 (t), (t) = (x1 (t), x2 (t)). , 1.1 , . , , , , (.. ). : , , , , . , . . 1.1. : [a, b] R2 . . , p R2 , , U , . , [a, b] f , t [a, b] , p (t). ( , f (t) x1 , x2 ). f [a, b]. , , p U . , 1.1 , .6 , . 1.2. M -- , : [a, b] R2 -- , (a) M (b) M . « », M , .. t0 [a, b], (t0 ) M (t) M t [a, t0 ). . T = {t [a, b] | (t) M } [a, b] ( ). T ( b) , , ( ). inf T t0 , t0 , . , (t) M t [a, t0 ), , t0 -- t, (t) M . , (t0 ) M . , (t0 ) M ( , t0 < b). M -- , (t0 ) W ( ), M . , , t0 U ( ), (U ) W . , > 0, t [t0 , t0 + ) (t) M , t T , , t0 -- T .
6 , 1.1 . , -- , .


5

, , , , «» . 1.2, , : , -- , , , .. , «» . : , , , , . 1.2. , M 1.2 , , ( ), . 1.5. , . ( ) . , , , . , v G ( deg v ) ( -- 1.1) , v , G, ( -- 1.2, 1.1) v , . , , .. v deg v . , «» . G : [a, b] G, G. , . , , , . ( ) . G , . , . ( «» , .) , , . 1.3. , , 1 , . G, , (G) = - . 1.4. , , G , , 1 - (G). , . , . ( , , : ). . , , , . 1.1, (. 1.11, ). 1.5. , ( ) . , , , .


6

. 1.1. K5 K

3,3

1.6. . , «» , . 1.1. ( ) , , . . G -- (. 1.6). F : G R2 , . F . v G F (v ), G, v . , 1.1 . , , , . Dv . v G , v . F : [a, b] R2 , (b) = v , (a) Dv ( , G ). 1.2 (t0 ), Dv , (. 1.2). [t0 , b] , Dv , (t0 ) (b) = F (v ) Dv . F , v , G, G Dv . , F G , , , . F G. «» , . , , . e G, v w. , , , F , Dv Dw , «» : [a, b] R2 , Dv Dw . T [a, b] -- t, (a) (t) L(t), e, e ( Dv Dw ). , b T . , T t0 , t0 ( [a, b]). , (t0 ) D , G,


7

e. , t0 U , (U ) D. , U T . t0 = a, t U L(t) (a) (t). t0 = a, , ( ) D, , a D. 1.2 L(t0 ) , D ( p). t U L(t) , L(t0 ) (a) p p (t). , [a, b] \ T t0 , t0 ( [a, b]). , , D -- (t0 ), G, e, U -- t0 , (U ) D. , U [a, b] \ T . , - t U L(t), L(t0 ), L(t) (a) p D , p (t0 ). , , T [a, b] \ T [a, b] , .. [a, b]. T ( a T ) , , sup T = d. T a a, a T , .. d = a. , d > a d [a, b] \ T , [a, b] \ T d d, , d -- T . , d T . d T , d, d < b. , d = b T .7 1.6. 1.1, , . 1.7. . . . ( ) X , , X . , X « » X . X , . . F : G R2 , , (. 1.10), , (.. R2 \ F (G)) , . , , G -. . , , ( « »). . , «» « » . , (t) r p R2 , {x | (x, p) < r} {x | (x, p) > r}. , , , f (t) = ( (t), p) (. 1.2), , , , ( ) , .
7 , b T . , sup T , sup{t | [a, t] T }, , , [a, b] \ T =


8 , R2 x1 , x2 , , max(x1 , x2 ) max(|x1 |, |x2 |) ( f (x1 , x2 ) = = (x, p) = (x1 - p1 )2 + (x2 - p2 )2 , (p1 , p2 ) -- p), , , (, , -- !). 1.7. , , . [ , , . , , .] , . 1.2 ( ). . . : , , , . 1. L -- . , , L , , , P R2 \ L , L, A1 A2 . . R, L, R , R L, R. R R UR . , UR L -- ( R -- L), ( R -- L). UR L (.. UR \ (UR L) ). (., , 1.7). , R S , L, UR , , , L, US . , , R -- L, S -- , ( R S «» R S ). , S L R e, . S -- [R, S ], S /2 S . , [R, S ] , e, R S /2. «» [R, S ] , e, [R1 , S1 ] [R2 , S2 ] (. 1.2). , R1 , R2 UR , S1 , S2 US , [R1 , S1 ] [R2 , S2 ] L. B L A1 A2 , UB , L . , R, L, UR , , , L, A1 , A2 . 1 , P , L, , , - UR ( R ). P R2 \ L Q L. [P, Q] R, P ,


9

US UR
R
1

US


R R

S

S1 S2

S

2

L
. 1.2. U
R

US

L ( « » [P, Q], L; . 1.2). [P, R] R , R R. , R UR , [P, R ] L. 2. R2 \ L, , , , . , R2 \ L , .. . NP P , L, (NP ), 0 1, . NP L ( ). L ( ) . 1.3, : 0 1. NP , L, (NP ) = 0, , (NP ) = 1, .

0
P

1

0

0

1

1

. 1.3. (P )

. 1.3, , NP P (NP ) . , , NP ( P ), L, , , . 1.3. , , , (NP ), , (.. , ). 1.8. , . , (NP ) , . (P ). , R2 \ L. , ( R2 \ L). , c P NP (, P L), (NP ), , . P , P , .


10

, , R2 \ L.8 P Q , ( ) : [a, b] R2 \ L. , f (t) = ( (t)) [a, b] ( !). , f (t) [a, b] ( 1.8), .. (P ) = ( (a)) = f (a) = f (b) = ( (b)) = (Q). 2 ( , ) , P, Q R2 \ L, (P ) = (Q). , L (, R1 R2 1 -- . . 1.2). , [P, Q], P Q , , . 1.8. K3,3 K5 . , K3,3 K5 (. . 1.1) . , ( 1.2). 1.1. L -- R2 , P, Q, R, S -- , ( ). 1 -- P R, 2 -- Q S , , L , L . 1 2 . . L . ( 1.2), Q UQ , L ( , Q -- , , Q -- ). , , UQ , , 1 . , , UQ ( 1.2 ). 2 , S Q, Q , UQ . Q UQ (. 1.2) , ( L UQ ) . UQ Q . Q Q , L , , 1.2, . Q R2 \ L, 1 2 .
P S S S

1 2
Q Q Q

L1

L2
R

. 1.4. Q , Q S , S



8 , , .., , , .


11 , S Q, S S , US , S ( Q ) 2 , .. R2 \ L, 1 2 , S -- . P R L L1 L2 P R , Q L1 S L2 . L1 1 . , , . , Q S L1 1 . , Q S L1 1 , L, 1 2 ( , Q S , L1 , 1 ). , L1 1 Q S = Q S = Q S

( 1.2), [Q , Q ] L1 1 , 1 (. . 1.3), [S , S ] . , Q S L1 1 , , 2 , Q S , L1 1 . 2 ( , ) L, 1 . 1.2. K3
,3

.

. K3,3 A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , Ai Bj . 1.1 , K3,3 , . . A1 B2 A3 B1 A2 B3 L, . , A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , , L , 1.1. . 1.9. , K5 . 1.9. . , 1.2, . 1.3 ( ). . , 1.2. , , : [a, b] R2 R2 \ ([a, b]) (.. ). . : . [?, 5.1 (. 75)]

1.10. . , -- , ( ). 1.4 ( ). - + = 2.


12

, , (), . , , . , , , .. , . . G ( ) - + . : «» G, , , , - + . , , , , ( ), . : , , 1 (!). , - , ( ). , , : 1) 1, ; 2) , , . , 1, -- 1, . , , , . , , , 1. , , ( 1 e) , , , P Q, e, , P Q, . , , , 1 1.2: , e, , e, , , , e 1, «» e. ( e, ) , L, , A B , e , L (. 2 1.2). , 1, 1 1.2. , P Q e, e . , e. , e, , 1, , P Q , A B . , e «» , A B .


13

( ). (. ), « » . -- . 1.10. : - + = 1 + k , k -- . 1.11. ­. , K3,3 K5 . , «» . , . 1.3. G1 G2 , - f : G1 G2 ( f ). 1.2. , , f , f -1 . () , .. f -1 - f . , . , «» . , , , K3,3 K5 , , . , , . 1.5 (­). , , K3,3 K5 .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (2-p olyhe.tex) 2012-06-09 · 09:16:33.

14

2.
, , «» . , , . , , . «» . , . 2.1. . ( 1.2) . , (.. ), . , -- ). (.. ) () . -- . : , , , , . , , . () a, a . 2.1. , , ( ) , , . , -- . 2.2. , 1) , 2) ( ), 3) , , , , . , .. , . () , ( , -- ). ( ) . 2.1. () . 2.1. 2.1. , , (), (). 2.3. . , .. , R3 . 2.2. , , , .


15

2.3. , ( R3 ) . [ A ( ) , A.] 2.2. . , , . 2.2 ( ). - + = 2. . . , , , . , , , « » . , « », , . 1) O S 2 O, , . F -- . p : F S 2 O S 2 , .. x F p -- Ox S 2 . 2) N S 2 , p. R2 -- , O ON . N R2 , .. A S 2 -- N A R2 . x0 = p-1 (N ) -- N p. f = p : (F \ x0 ) R2 . f R2 x0 . G, -- R2 \ G (, x0 ). , , , G. 2.3. . «». , «» , ( ). : (.. ) . : , -- . (, , ). n-, k . , ( ), : k = 2 = n.


16 , -+ = 2, 2 2 2 + =1+ . kn , n, k 3. + 2.4. . ( , ) 2.5. . , «», .. , «», . ( ) . , , , , . 2.3 ( ). , , (.. ). . , . , , 2 . , ( , ). , , , , , . ( ) . 2.1 ( ). " +" " -", , 4. 2.2. n- ( ) , . " +" " -" , . 4. , , ( ). , , " +" " -" , . 2.1 , 4 ( ). ( , ). , ( ),


17

( ). , 2.2, , 4. , . 2.1.

2.2.

. .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (3-probl3.tex) 2012-06-09 · 09:32:56.

18

3. ( )
( ). , . , , (. 3.1). . , ( ). , , ( 3.2). , , ( ) , . 1900 I . 23 , 3- 9 . , . , . . . : () , , . 3.1. . . 3.1. , . , . , . 3.1 (­). , , . . . . 3.1. . 3.2. - . 3.3. , , . 3.4. , , . 3.1. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. , 3.1 . , , S 1 S . : 1) ; 2) , ; 3) ; 4) ( ) , 1;
9 , , , (. ...).


19

5) , , 1 S . 3.2. . . 3.2. , . , . , , . 3.2. . 3.2. , , , . 3.2 . , . 3.3. x1 , . . . , xk n1 x1 + · · · + nk xk = 0, (1)

n1 , . . . , nk -- . f , M , 10 , (1) M f (x1 ), . . . , f (xk ): n1 f (x1 ) + · · · + nk f (xk ) = 0. 3.4. A -- , l1 , . . . , lN , -- 1 , . . . , N . , M , 1 , . . . , N , A f (A) = l1 f (1 ) + · · · + lN f (N ). 3.3 (). 1 , . . . , p -- A, 1 , . . . , q -- B . M , i , j , f , f ( ) = 0, A B , .. f (A) = f (B ), A B . . . 3.5. , M M = M , -- . 3.6. A P1 , . . . , Pk , M -- , A, P1 , . . . , Pk . f -- , M f ( ) = 0, f (A) = f (P1 ) + · · · + f (Pk ).

3.3 , . 3.2. = arccos 1 , 3 . M 3.3 2
10 f (x + y ) = f (x) + f (y ), , M . ( ) .


20 , , . f ( ) = f ( ) = 0 f () = 1. , 2 2 f , .
1 3.7. arccos 1 . 3 , : Q f (Q) = 12af ( ) = 0, T -- f (T ) = 6bf () = 6b = 0, a b -- 2 . 3.2 .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE ( 4-surfcs.tex ) 2012-06-09 · 09:22:37.

21

4.
, «» ( , ). «», , «» . , «» ( , , ). «» . : , , . , () . , , . , (. 1.2 1.3) . 4.1. . (. 1.3), X , , O X , x O . ( ) 4.2. . . ( )


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (5-curves.tex) 2012-06-09 · 09:33:56.

22

5.
«» . , . , , . : () (, ). «» , () , ( ). , «» , « », .. . , , , , , (x, y ) (x(t), y (t)), t -- (). , «» , , .. . , , , , .. x(t) y (t) , «» (, ), , , , . : 1) ,

( ) . 2) (, y ) x(t) = 0, y (t) = |t| + 2t. , , «» , . , , .. - r(t) = (x(t), y (t)) ( t [a, b] R) . r - , dr ( ) -- . dt , , , . ., - r , , , . . «» « ». 5.1. , . 5.1. , r(t0 ) r : [a, b] R2 r(t0 ), r([t0 - 1 , t0 + 2 ]), y (x), x(y ). r(t) , , .. r(a) = r(b). . - r(t) , .. , r(t + b - a) = r(t) t. , () - r(t), ( !) T . , ,


23 - r : [0, T ] R2 , , r(t + T ) = r(t). , , , r : S 1 R2 ( r : R R2 ). , , , . «» , . 5.2. r0 : [0, T ] R2 r1 : [0, T ] R2 -- . , F : [0, 1] â [0, T ] R2 , 1) F (0, t) = r0 (t) F (1, t) = r1 (t) t, 2) s rs (t) = F (s, t) . , F -- rs , «» r0 «» r1 , . F - -- s t. 5.1. 5.2, , , F , . , , , , ( , « » « » ). , , , ( ). , , , , [0, 1]. , , , .
, . , , , . - , . 5.2. , ( 5.2 ). 5.3. , ( 5.2 ). , 5.2 , , - (, , ). , - «» (.. ). , 5.3, , « », .. (, , ). . ( ). 5.3. 0 : [a, b] X 1 : [a, b] X -- P = 0 (a) = 1 (a) Q = 0 (b) = 1 (b). , F : [0, 1] â [a, b] X , 1) F (0, t) = 0 (t) F (1, t) = 1 (t) t, 2) F (s, a) = P F (s, b) = Q s. 5.4. , () .


24

5.4. R( ) (t) -- , . . (t), a t b, (t) = ((t) cos (t), (t) sin (t)), (t) > 0, (t) -- ( ) . , (b) = (a) mod 2 . R( ) Z R( ) = 21 ((b) - (a)). 5.2. () , . , . , (t) -1 (t) = (1 - t) ( t [0, 1] -- . 5.1), «» , . , R( -1 ) = -R( ). :

R 1

R

1

R 0

5.1 ( ). , . . , . , . , . -, , (t) , « ». , (t) -- , (, [a, b]) d , dt F (s, t) = ((1 - s)t + s (t)). s = 0 (t), s = 1 -- (t) = ( (t)). , s s (t) = F (s, t) ~ «» , (t). (t) (t) , (t) = ( (t)) . , ~ (t) | ( )| d c, .. dt b 1 t( ) = a + 1 | (u)|du, c b-a | (u)| du. c , F (s, t) = ((1 - s) + s) (t) (.. , > 0), , c ( b ) 1. , | (u)| du (t), a t b, , 1, . , , 1 2 , , , |2 - 1 |. , 0 : [0, T ] R2 1 : [0, T ] R2 -- , R(0 ) = R(1 ) = k . ( ) , , , 1. , , t = 0 , .. 0 (0) = 1 (0) = (0, 0) 0 (0) = 1 (0) = (1, 0)
a a a


25

( , , .. ). 0 (t) 1 (t). , , : s (t) = (1 - s)0 (t) + s1 (t). , s (t) - s t. , «» , . 0 (t) 1 (t) 1, 0 (t) = (cos 0 (t), sin 0 (t)) 1 (t) = (cos 1 (t), sin 1 (t)), 0 (t) 1 (t) -- , 0 (0) = 1 (0) = 0. , k , 0 (T ) = 1 (T ) = 2 k . s [0, 1] s (t) = (1-s)0 (t)+s1 (t). vs (t) = (cos s (t), sin s (t)), , , ( (0, 0) t = 0): t s (t) = vs (u) du. ~
0

s (t) ~ 0 (t) s = 0 1 (t) s = 1, s = 0, 1 (, , ). , 0 (t) 1 (t) «» s (t), , : ~ t s (t) = s (t) - T s (T ). «», ~ ~ , : - s (t) s (t), ~ [s (0), s (T )] ( s (0) = (0, 0)). ~ ~ ~ , s s (t) . , s (t) = 0 t. : 1 1 |s (T )| ~ s (T )| |s (t)| - |s (T )| = 1 - ~ ~ ~ 0, T T T T -- s , |s (T )| -- . ~ ~ , s (t) = (1, 0) ~ t, .. s (t) = 0 t. 5.5. 0 1 , s (t) = (1 - s)0 (t) + s1 (t), 0 (t) = (cos 0 (t), sin 0 (t)) 1 (t) = (cos 1 (t), sin 1 (t)), s ( t) 0. ? 5.1 . .
|s (t)| = |s (t) - ~

5.1 , . , , - , .., , « » . 5.1 ( ), , . , . 5.1. , , , , «» . 5.1. , , (.. ).


26

.

, 5.1, . 5.2. , , .. (t1 ) = (t2 ), (t1 , t2 ) . 5.6. , 5.2. (t1 ) = (t2 ). ,

.. , . , () , t1 t2 , 5.1. , (t1 ) = (t2 ), , . «» (t1 - 1 ), t [t1 , t2 ] «» (t2 + 2 ). 5.3. -- (t1 ) = (t2 ) -- , [t1 , t2 ]. , [t1 - 1 , t2 + 2 ], :

5.7. , 5.3. , 5.3, , «» . . , (t1 - 1 ) (t2 + 2 ) (t1 ) = (t2 ) ( , ). , 5.3, , ( ), . 5.4. , , ( : , ). 5.8. , 5.4. , , , . , , , , , . , ,


27

, «», , , ( ). , . 5.5. , , , , , :

5.9. , 5.5. , 5.5, . , k 1 + k , k 1 - k , .. k . , 5.5. 5.1 . «» , , . ( 5.1) : M , «» . , (!) . ( 5.1). . - . , «» M , (. ). ( ) , , . , . 5.3. (. 5.1 5.2) -, .., , . M , , (t) = 0 : [a, b] M ( ) . · , « » - .


28

5.2 ( ). «». 5.10. 5.2 ( «», «»). , : «» . · , - « ». , «» (.. , , ), ( ). , , , . ( ) ( x), .., , , . . ( ). : , , . « » . , . 5.11. , . , -- ( , ). , ( !). «» ? , . 5.5. - r(t) O ( ). r O , |r| . 5.12. . 5.3. , . . . .

· , , « » . , , « » . , ( ) « » 5.13. , . (.. ) ? 5.14. 1 , « ». 2 -- , . ?


29

5.15. ( ) . · : ( !)?. 5.16. ( -- ) . «» -- . 5.17. . 5.18. . · ( ). I. , , , ( ), « ». II. , , , (, ). 5.19. .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (6-groups.tex) 2012-06-09 · 09:25:39.

30

6.
6.1. . , , ( ). ??? 6.1 (). , , . 6.1. 3 . .

... . : Iso R2 . 6.2. . , G X , g G (g ) : X X , (g1 g2 ) = (g1 ) (g2 ). , -- G «» X . X X ( X -- ) ( X - ). , X -- , , , . . , X , , . 6.1. -- ... -- ... X R2 , -- . 6.3. . ( ) , . , « » « ». 6.2. G Iso R2 , x Ux , , Ox x x.
2 6.3. -- R = K , 1) K -- , 2) K K ( = ), 3) K , .. x Ux , K .

6.4. G -- D R2 , {g (D) | g G} .


31

( ): D(G, x0 ) = {x R2 | x - x0 x - g (x0 ) g G} , (, ) 6.4. . 6.5. .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE ( 1-gr-EX.tex ) 2012-06-09 · 05:22:20.

32

() 1.1. , . ( , .) 1.2. , , , 1.
. 1.3

1.3. , , 1 , , . 1.4. 6 . 1.5. , , G , , (G) - 1. 1.6. , () . , , , . 1.7. , , . , , . 1.8. , , , , , , .

. 1.4 . 1.5

. 1.1

1.9. , : [a, b] R2 (x1 , x2 ) ( 1.2) , x1 (t) x2 (t), (t) = (x1 (t), x2 (t)). 1.10. , , .

. 1.2

1.11. , M 1.2 , , ( ), . 1.12. , , , .

. 1.7

1.13. , , . [ , , . , , .] 1.14. , . 1.15. , K5 , 1.1 (.. ). 1.16. , 3 3 - 6. 2 1.17. , 5. 1.18. , , 10 5, . 1.19. , , 5 4,4,4,4,2.

. 1.8 . 1.9

. 1.6 *

1.20. 1.1, , . 1.21. 1.1, «» «».


33

*

*

. 1.10

1.22. : , , , . 1.23. , , . 1.24. , : ; ( ); 3 , . 1.25. , k k , k = 2 1.26. : - + = 1 + k , k -- .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (2-p o-EX.tex) 2012-06-09 · 09:30:23.

34

() 2.1. , (. 2.2) , , , . ? 2.2. , . ? 2.3. , 7 . ? 2.4. 2.1. 2.5. , , , . 2.6. , ( R3 ) . [ A ( ) , A.] 2.7. , 4 , . 2.8. 5- 6. 5- ? . -- , . (, , ). ( ), , , .. , , , , -- () , , . 2.9. , ( ) , ( R3 ). ( , , -- , ?) 2.10. , , . 2.11. : cos = cos cos + ^ sin sin cos C , , , -- , A, B , C . 2.12. , . 2.13. , . 2.14. . 2.15. .

. 2.1 . 2.2 . 2.3

*


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE ( 3-pr-EX.tex ) 2012-06-09 · 09:30:44.

35

( )
. 3.1

! ! * *

* * *

3.1. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. 3.2. . , . (. 3.1 -: 1 S , .) 3.3. , , . 3.4. 6 . 3.5. , . 3.6. , ( 3.2). 3.7. 3.5 3.6. 1 3.8. , cos Q / Q, cos = 0, ±1, ± 2 . ( 3.7.) 3.9. . 3.10. , , , . 3.11. , ( ). 3.12. , ( ). 3.13. ­ .


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE ( 4-su-EX.tex ) 2012-06-09 · 05:27:51.

36

( ) 4.1. , . 4.2. , . 4.3. , : , , , , . 4.4. , . 4.5. A x R2 A d(x, A) = inf aA (x, a). , f (x) = d(x, A), , .

. ??


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE (5-cu-EX.tex) 2012-06-09 · 09:28:08.

37

( )
!

! ! * !*

! ! ! !

5.1. , r(t0 ) r : [a, b] R2 r(t0 ), r([t0 - 1 , t0 + 2 ) y (x), x(y ). 5.2. , ( 5.2 ). 5.3. , ( 5.2 ). 5.4. , () . 5.5. 0 1 , s (t) = (1 - s)0 (t) + s1 (t), 0 (t) = (cos 0 (t), sin 0 (t)) 1 (t) = (cos 1 (t), sin 1 (t)), s ( t) 0. ? 5.1 . 5.6. , ( -- , . 5.2 5.3). 5.7. 5.2 5.8. 5.3 5.9. 5.4 5.10. 5.5


THE LAST MODIFICATION OF THIS FILE ( 6-gr-EX.tex ) 2012-06-07 · 20:38:22.

38

( )
a 6.1. ( T , a RA , Sl , Sl ). 6.2. , , , , , . 6.3. . ( , , ). 6.4. , , RA ( A ), , Q. 6.5. , . 6.6. ? 6.7. a) ; b) ; c) ; 6.8. G -- . , D(G, x0 ) = {x R2 | x - x0 x - g (x0 ) g G}

** *

a) , .. (, ) , b) G. 6.9. G -- , . , G (.. G ). 6.10. , . 6.11. «» , .. (, ), , , .