Новые алгебраические методы в квантовой физике

Современные модели теории ядра, физики элементарных частиц, квантовой теории поля и теории интегрируемых систем в той или иной мере связаны с симметриями алгебр и супералгебр Ли, как конечномерных, так и бесконечно-мерных (аффинных) и их квантовых аналогов. Для решения физических задач в рамках этих моделей необходим развитый математический аппарат - детальное описание теории представлений соответствующих симметрий Ли. В 70-80-е годы в лаборатории был предложен и разработан совер-шенно новый метод - метод экстремальных проекторов (МЭП) сначала для всех полупростых алгебр Ли [1], затем для классических супералгебр Ли, аф-финных алгебр и супералгебр Каца-Муди [2] и всех их квантовых аналогов [3]. В настоящее время МЭП является самым мощным и эффективным мето-дом для решения многих задач теории представлений указанных симметрии. Например, он позволяет классифицировать представления, разлагать их на не-приводимые компоненты, строить различные базисы пространств представле-ний, развивать детальную теорию коэффициентов Клебша-Гордана (ККГ), Рака и т.п. (включающую компактные аналитические формулы этих коэффициентов и их свойства симметрии). С помощью МЭП был разработан полный матема-тический аппарат алгебры Ли su(3) (построены различные базисы представле-ний, D-функции, коэффициенты Клебша-Гордана (ККГ), Рака и т.д.). Компакт-ная аналитическая формула для su(3) ККГ была обобщена на случай квантовых аналогов su(3) [4] и su(N) [5].

Впервые была построена квантовая деформация алгебры Пуанкаре [6], ко-торая в настоящее время лежит в основе целого направления в релятивистской физике под названием "double special relativity". Отметим, что связь между де-формированными и недеформированными алгебрами (или группами) точно та-кая же, как и между квантовой и классической механикой, а именно, первая есть деформация второй, где параметром деформации является постоянная Планка h.

Впервые были найдены явные выражения универсальной R-матрицы для q-деформаций всех указанных выше алгебр и супералгебр Ли [7], построен янгианный дубль [8] и открыт новый тип квантовых деформаций аффинных алгебр и супералгебр Ли [9]. Эти результаты найдут применения для описания извест-ных и построения новых моделей в теории интегрируемых систем и квантовой теории поля.

Литература:

 

1.        Р.М. Ашерова, Ю.Ф. Смирнов, В.Н. Толстой, Проекционные операторы для простых групп Ли, ТМФ, 8, ? 2 (1971), 255-271;

Описание некоторого класса проекционных операторов для полупростых

комплексных алгебр Ли, Мат заметки, 26 (1979), 15-25.

2.        В.Н. Толстой, Экстремальные проекторы для редуктивных классических супералгебр Ли с невырожденной формой Киллинга, УМН, 40, ?4 (1985), 225-226;

Экстремальные проекторы для контрградиентных алгебр и супералгебр Ли

конечного роста, УМН, 44, ?1 (1989), 211-212.

3.        V.N. Tolstoy, Extremal projectors for quantized Kac-Moody superalgebras and some of

their applications. Springer Lecture Notes in Physics, 370 (1990), 118-125.

4. Р.М. Ашерова, Ю.Ф.Смирнов, В.Н. Толстой, Общая аналитическая

формула для U_q(su(3)) коэффициентов Клебша-Гордана, ЯФ, 64 (2001),

2080-2085.

5. V.N. Tolstoy and J.P. Draayer, New approach in theory of Clebsh-Gordan

coef-ficients for u(n) and U_a(u(n)), Czech.J.Phys. 50 (2000), 1359-1379.

6.     J. Lukierski, A. Nowicki, H. Ruegg and V.N. Tolstoy, q-deforrnation of Poincare algebra, Phys.Lett. 264B, (1991), 331-338 (работа имеет более 200 цитирований).

7.     S.M. Khoroshkin and V.N. Tolstoy, Universal R-matrix for quantized superalgebras, Comunn.Math.Phys. 141 (1991), 599-617.

8. S.M. Khoroshkin and V.N. Tolstoy, Yangian double, Lett.Math.Phys 36 (1996), 373.

9. V.N. Tolstoy, AMS 2004, Contemporary Mathematics, CONM/343, 349 - 370.