Электронный вариант доклада на X Международной конференции
'Новые информационные технологии в медицине и экологии" IT+ME'2002

Н.Ю.Семенова¹, В.С.Захаров^2
1- НИИ педиатрии НЦЗД РАМН, ²- МГУ им. М.В.Ломоносова

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ПОИСК ДЕТЕРМИНИЗМА В ДАННЫХ ЭЭГ.

Труды X Международной конференции "Новые информационные технологии в медицине и экологии" IT+ME'2002. 2002, с.462-465.

Введение. Электроэнцефалограмма (ЭЭГ) представляет собой временной ряд, то есть последовательность измеренного биоэлектропотенциала мозга во времени. С развитием компьютерных электроэнцефалографов разрабатываются новые математические методы анализа данных ЭЭГ [1,2].

В последнее время активно развивается теория динамических систем и фрактальных множеств, и, в частности, приложения методов этой теории к анализу электроэнцефалографических данных [3,5,6]. В соответствии с этим подходом система моделируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Существуют системы, описываемые небольшим количеством детерминированных уравнений, но имеющие весьма сложное поведение, которые демонстрируют элементы хаоса (т.н. "детерминированный хаос").

Нейрофизиологические системы человека весьма сложны. Эта сложность отражается на временной развертке регистрируемой биоэлектрической активности. Всегда ли наблюдаемая сложность поведения свидетельствует о сложности самой системы? Существуют ли системы, устроенные относительно просто, но демонстрирующие весьма сложное поведение? Как различить эти случаи? В теории динамических систем разработаны методы, позволяющие по записи временного ряда одного из параметров восстановить сложность и некоторые характеристики всей системы.

Цель настоящей работы - применить методы исследования нелинейных динамических систем для выявления нейрофизиологических закономерностей по данным ЭЭГ у здоровых и больных эпилепсией детей.

Методика анализа и материал исследования. Для динамических систем принятым представлением развития процесса во времени является построение "портрета" в фазовом пространстве (в пространстве, координатами которого являются переменные, описывающих поведение системы). Наименьшее число независимых переменных, однозначно определяющее установившееся движение динамической системы называют размерностью вложения m. Нелинейная динамическая система характеризуется странным аттрактором - притягивающим множеством в фазовом пространстве, в котором расположены траектории. При анализе таких объектов - сложных, обладающих тонкой структурой - плодотворным является подход, разработанный в теории фракталов [3,4]. Фракталом, по самому общему определению, называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Фрактальное множество характеризуется дробной размерностью (точнее, целым набором различно определяемых размерностей). Важной количественной характеристикой самоподобия многомерных множеств является корреляционная размерность D_c. Корреляционная размерность аттрактора динамической системы несет информацию о степени сложности ее поведения. Подробно о смысле корреляционной размерности и способе ее вычисления изложено в [3,4].

Для известной динамической системы m и D_c легко определить, т.к. известны все компоненты вектора V(t)={V₁(t),:, V_m(t)}, описывающего поведение системы в фазовом пространстве. Для природных систем, вообще говоря, это не так. Существует методика [4], позволяющая восстановить некоторые свойства аттрактора (например, m и D_c) по временной последовательности одной из составляющих V(t). Методика основана на построении псевдо-аттрактора, где в качестве компонент вектора служит сама измеренная последовательность, но взятая с некоторой временной задержкой Vp(t)={V(t), V(t+t ), V(t+2t ):, V(t+(m-1)t )}. Поскольку компонентами вектора, характеризующего динамическую систему, независимы, то в качестве величины t выбирается первое значение, при котором автокорреляционная функция обращается в 0 (или достигает минимума). Т.к. заранее размерность вмещения m неизвестна, то процедура сводится к следующему: последовательно добавляют компоненты псевдовектора Vp(t) и при каждом m=2,3,: вычисляют корреляционную размерность D_c(m). Значение m, начиная с которой D_c перестает изменяться (т.е. график D_c(m) выходит на горизонтальный участок), есть минимальная размерность вложения, т.е. наименьшая целая размерность пространства, содержащего весь аттрактор. Применение этой методики для восстановления размерности аттрактора Лоренца по временному ряду компоненты Z(t) представлено на рисунке 1.

Как следует из определения размерности вложения, она соответствует числу независимых переменных, описывающих систему. Таким образом, восстанавливая размерность вложения, мы получаем информацию о сложности системы. Из этого следует также возможность разграничить динамическую систему со сложным поведением (но характеризующуюся конечным m), и случайный шум, который описывается (теоретически) бесконечно большим числом независимых переменных. Для полностью случайной системы увеличение m на единицу приводит к увеличению D_c также примерно на 1, т.е. D_c ~ m. Зависимость Dc(m) для случайного шума представлена на рис. 3 пунктирной линией.

В настоящей работе приведенная выше методика применялась для анализа данных ЭЭГ, полученной по стандартной методике, при схеме размещения электродов "10-20", на компьютерном электроэнцефалографе NEUROFAX (Nihon Kohden, Япония). Были проанализированы данные ЭЭГ у 7 здоровых детей и у 7 детей, больных эпилепсией. По каждой ЭЭГ ребенка рассчитывались изучаемые параметры для 16 стандартных отведений монополярной записи.

Результаты анализа ЭЭГ данных. На рисунке 2 представлены образы аттракторов в двумерном фазовом пространстве, реконструированные по записи ЭЭГ для здорового ребенка (рис.2а) и для ребенка, больного эпилепсией, во время абсанса (рис. 2б). Во втором случае вид аттрактора значительно "проще", что отражает большую регулярность регистрируемых колебаний.

Рис. 2

На рисунке 3 представлены результаты вычисления по описанной выше процедуре корреляционной размерности D_c при различных значениях m по данным ЭЭГ, полученным у здорового ребенка с преобладающим в каудальных отделах мозга и хорошо организованным .a -ритмом и у ребенка с абсансной эпилепсией.

Рис. 3
Графики зависимости Dc(m) для лобного отведения у здорового ребенка и у больного эпилепсией с абсансами

Видно, что на графике здорового ребенка не достигается насыщения в рассмотренном диапазоне значений m, эта зависимость близка к линейной, т.е. зависимости, характеризующей "случайную" систему. Следовательно, система, порождающая подобные смещения, является если и не случайной, то управляемой большим числом параметров. Результаты, полученные для здоровых детей по различным отведениям ЭЭГ, весьма схожи.

Подобный анализ данных ЭЭГ у ребенка с абсансами был проделан отдельно для участков ЭЭГ, содержащих паттерн, характерный для типичного абсанса, предшествующих и последующих ему (рис.3). Хорошо видно, что во время регистрации на ЭЭГ абсанса при m>5 зависимость рассчитанной корреляционной размерности выходит на горизонтальный участок. Таким образом, в данном случае размерность вмещения m=5, а D_c=3.60. Следовательно, процесс, приводящий к такой последовательности биоэлектрической активности во время абсанса, не является случайным, а управляем ограниченным числом основных параметров. График зависимости D_c(m) для участка ЭЭГ, следующего за абсансом, довольно близок к графику самого абсанса и значительно отличается от графика для здорового ребенка. В то же время, показатели анализа данных фоновой ЭЭГ, предшествующей абсансу, имеют характеристики, отличные от абсанса. Однако они имеют различия и с данными ЭЭГ здорового ребенка, что говорит об управлении системы меньшим числом параметров.

При анализе визуально представленной генерализованной эпилептической активности на ЭЭГ были определены зоны мозга, для которых выявлено значительное ограничение управляющих переменных (рис. 4).

Рис. 4

Подобному же анализу были подвергнуты цифровые данные ЭЭГ детей с эпилепсией, имеющих различные типы припадков. Результаты представлены на рисунках 5 и 6.

Рис. 5
Симптоматическая парциальная эпилепсия
а - график зависимости Dc(m) для 16 отведений ЭЭГ ; б - карта распределения Dc; в - ЭЭГ

Рис. 6
Эпилепсия без эпилептиформной активности на ЭЭГ
а - график зависимости Dc(m) для 16 отведений ЭЭГ ; б - карта распределения Dc; в - ЭЭГ

Выводы и обсуждение. Методика анализа временных последовательностей, разработанная в теории динамических систем, позволяет разграничить случайные и детерминированно-хаотические системы и оценить сложность этих систем. В нашем исследовании были получены однотипные расчетные данные среди здоровых детей, которые отличались от данных детей, больных эпилепсией. Паттерн ЭЭГ, характерный для здорового ребенка, определяется большим числом параметров, что указывает на большую сложность системы, его создающей. При эпилепсии нейрофизиологическая система становится менее сложной, еще более упрощается во время приступа (абсанса), когда управляется небольшим, ограниченным числом основных параметров. Представляется, что такой подход позволит углубить понимание нейрофизиологии мозга и в дальнейшем может быть использован в клинической диагностике.

Литература

1. Гнездицкий В.В. Обратная задача ЭЭГ и клиническая электроэнцефалография. Таганрог, Изд.ТРТУ, 2002, 640с.
2. Зенков Л.Р. Клиническая электроэнцефалография (с элементами эпилептологии). Таганрог, Изд.ТРТУ, 1996, 358 с.
3. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика, 2001, 528 с.
4. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., "Мир", 1988, 240 с.
5. Lehnertz K. et. al. Nonlinear EEG analysis in epilepsy: its possible use for interictal focus localization, seizure anticipation, and prevention. Journal of Clinical Neurophysiology, 2001, vol. 18(3), pp.209-222.
6. Le Van Quyen M. et. al. Nonlinear interdependencies of EEG signals in human intracranially recorded temporal lobe seizures. Brain Research, 1998, vol. 792, pp.24-40.