5. Диагностика электрофизических характеристик материалов.

Electrical source imaging (ESI), т.е. реконструкция электрических источников, является развивающимся направлением в области реконструкции электрической активности головного мозга или сердца по измерениям электрических потенциалов вне мозга или сердца. Математически процедуры реконструкции заключаются в решении обратной задачи электроэнцилографии и электрокадиографии. Единственное решение данной задачи существует, однако она плохо обусловлена и малые ошибки во входных данных порождают неограниченные ошибки в решении. Численное решение обратной задачи требует выполнения двух шагов. Первый шаг состоит в построении математической зависимости поля потенциала внутри туловища и в частности на поверхности тела от потенциала эпикардиума. Это прямая задача. Она решается при помощи методов конечных элементов или граничных элементов. Второй шаг заключается в обращении этой зависимости для реконструкции потенциала эпикардиума по измерениям потенциала туловища. Это обратная задача. Обращение осуществляется с помощью метода наименьших квадратов с использованием техники регуляризации. Метод Тихонова, как показали численные эксперименты, дает неплохие результаты в задаче построения электрических карт. Однако, благодаря непрерывности процесса сердечной активности информация о решении для предыдущих моментов времени может использоваться для оценки решения на данном шаге и это должно улучшить стандартную технику регуляризации. Задача состоит в поиске оптимального метода. Планируемые для исследования проблемы: необходимо учесть неоднородность проводимости; следует увеличить разрешение; должны быть построены быстрые алгоритмы вычисления и изображения информации почти в реальном времени. Этого можно достичь с помощью модификации математического подхода к процессу регуляризации.

Электрическая импедансная томография (Electrical Impedance tomography - EIT) использует ток низкой частоты для исследования тела. Задача импедансной томографии нелинейна и очень плохо обусловлена. Это означает, что для получения высокого разрешения требуется чрезвычайно точные измерения. Поскольку живая ткань представляет собой сложную структуру, важной является проблема построения адекватной модели. Поскольку методы решения обратных задач обычно итерационные, то алгоритмы решения прямой задачи должны быть быстрыми и надежными. Для импедансной томографии прямая задача состоит в решении уравнения Лапласа или сходного по свойствам эллиптического уравнения. Для него построены или находятся в стадии исследования надежные и быстрые алгоритмы, например, многосеточные методы, методы декомпозиции области, итерационные процессы с эффективными переобуславливателями.

При использовании метода штрафа основной и пока еще не до конца решенной проблемой является проблема выбора a = a(d) .

Данный метод дает наиболее точную информацию об обусловленности, чем любой другой метод: точно известно, какая составляющая функции не может быть восстановлена устойчивым образом - именно те, которые соответствуют малым сингулярным значениям.