При использовании итерационных методов для решения плохо обусловленной задачи Af = g наблюдается явление, названное полусходимостью. Пусть итерационный алгоритм имеет стандартный вид f_k+1 = B_k f_k + C_k g. Явление полусходимости состоит просто в том, что сходимость переходит в расходимость после некоторого числа итераций. Часто утверждается, что итерационный процесс перестает сходиться при замене g на G. Представляется, что гораздо более естественным объяснением расходимости служат ошибки округления, которые накапливаются в процессе итераций. Хорошо известно, что в плохо обусловленных задачах накопление ошибок может принести катастрофические последствия. Такое явление полу сходимости наблюдается и в прямых плохо обусловленных задачах. Общепризнанный выход из положения - проведение итераций до тех пор, пока они сходятся. Естественно, что такой "выход" из положения позволяет получить решение с точностью, заранее неизвестной. Поэтому основой дальнейшего исследования в данном направлении должен быть поиск наиболее устойчивых к ошибкам округления итерационных стратегий. По-видимому, здесь не обойтись без использования комбинированных итерационных процессов, которые сочетают сильные стороны нескольких итерационных методов.

Пусть оператор прямой задачи A^h служит дискретной аппроксимацией для A. Поскольку A^-1 не ограничен, то (A^h) ^-1 при h 0. Естественно, что выбор конечного h может регуляризировать задачу, поскольку при проекции на конечномерное пространство оператор может стать ограниченным.

Таким образом, в любом из рассмотренных методов регуляризации присутствует параметр, выбор которого является существенным для успешного решения обратной задачи. Существуют экспериментальные, строго математические или методы, основанные на численных экспериментах, для оптимального выбора параметров регуляризации. В наших условиях сочетание вычислительных экспериментов с теоретическими соображениями может стать наиболее подходящим способом определения регуляризирующих параметров и оценки качества различных итерационных технологий.

Частично исследования, проведенные в данной главе и поддержанные программой "Интеграция", опубликованы в трудах международной конференции: Моделирование и исследование сложных систем, Москва, 1998 с. 577 -- 581.

6. Развитие методов решения задач диагностики биокомпозитов.

Рассмотрены 2 задачи:

• о нахождении распределения упругих модулей в неоднородном упругом теле по результатам серии механических испытаний с заданием внешних воздействий и измерением реакций на поверхности тела;
• задача об определении тензора ядер вязкоупругости и об определении теплофизических характеристик в случае, когда биоткань описывается линейной теорией термовязкоупругости.

Пусть линейно упругое тело, занимающее область W, характеризуется тензором заранее неизвестных упругих модулей с компонентами a _ijkl = a _ijkl() в декартовой системе отсчета; индекс "4" в обозначении означает, что величина является тензором четвертого ранга (тензоры второго ранга будем помечать просто "крышкой").

Тогда первая задача состоит в том, чтобы, задавая на поверхности S тела Wусилия (перемещения ) и измеряя возникающие на той же поверхности перемещения (усилия ), найти зависимость компонентов тензора упругих модулей от координат.

В главе предложен принципиально новый метод определения зависимостей тензора упругих модулей () и соответствующих параметров вязко-упругих материалов в уравнениях линейной теории термовязкоупругости. Метод сводится к решению задачи об определении коэффициентов дифференциальных уравнений по результатам граничных (неинвазивных) измерений. Метод является итерационным; каждая последующая итерация получается добавлением к предыдущей поправок, найденных из условия минимума среденквадратичного отклонения невязки в вычисленных и измеренных в опыте граничных значений искомых функций (или операторов от этих функций). Указана серия экспериментов, которые необходимо провести до начала вычислений над образцом или объектом в целом. При учете вязко-упругих свойств материала необходимо проводить эксперименты по динамическому нагружению образцом воздействиями, меняющимися во времени по гармоническому закону. После окончания итераций восстановление ядер ползучести или релаксации проводится при помощи численного обращения преобразования Фурье.

Главная проблема в реализации данной методики - организация и проведение эксперимента.