Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://compmech.math.msu.su/progkurs/tfds.doc Дата изменения: Mon Jul 26 20:44:26 2004 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:32:32 2016 Кодировка: koi8-r

I. ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Профессор К.В. Брушлинский
Годовой спецкурс по выбору кафедры для Ш курса.

1. О численных методах решения задач механики и физики. Роль линейных
уравнений математической физики в моделировании нелинейных процессов.
Уравнения струны, теплопроводности, Пуассона, система уравнений акустики,
линейное уравнение переноса, постановки задач (краткий обзор). Разностные
схемы - основной инструмент приближенного решения задач с уравнениями
математической физики.
2. Исчисление конечных разностей. Конечные и разделенные разности, их роль
в анализе табличных функций. Уравнения в конечных разностях. Постановки
задач. Теория линейных уравнений.
3. Основные понятия теории разностных схем: сходимость приближенного
решения задачи к точному, аппроксимация, устойчивость. Теорема о
сходимости.
4. Исследование аппроксимации дифференциальных уравнений разностными.
Примеры разностных схем для одномерных уравнений переноса, теплопроводности
и системы уравнений акустики.
5. Устойчивость разностной схемы и ее анализ в задачах с линейными
эволюционными уравнениями. Оценки нормы оператора перехода. Принцип
максимума. Области зависимости решений дифференциальных и разностных
уравнений, условие Куранта - Фридрихса - Леви. Примеры.
6. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем в
одномерных задачах с эволюционными уравнениями на бесконечной прямой, на
полупрямой и на конечном отрезке. Принцип Гельфанда - Бабенко.
Энергетический метод исследования устойчивости разностных схем и его связь
со спектральным методом.
7. Неявные разностные схемы для эволюционных уравнений. Метод прогонки для
решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной
матрицей, анализ условий его эффективности.
8. Квазилинейное уравнение типа бегущей волны. Образование разрывов в
решении. Консервативная форма уравнения. Обобщенное решение. Соотношения на
разрывах. Уравнение Бюргерса.
9. Уравнения газовой динамики. Простейшая и консервативная формы.
Эйлеровы и лагранжевы координаты. Ударные волны и волны разрежения. Роль
вязкости и теплопроводности в сглаживании разрывов.
10. О расчетах разрывных решений. Выделение разрыва и методы сквозного
счета. Три типа «вязкости»: физическая, схемная и искусственная.
Консервативность разностной схемы и приближенное выполнение законов
сохранения в интегральной форме. Понятие о полностью консервативных схемах.
11. Разностная схема Лакса - Вендроффа - пример схемы второго порядка
точности, эффект Гиббса.
12. Разностная схема Годунова для решения уравнений газодинамики.
Монотонность схемы. Развитие и реализация идей монотонности в схемах
TVD, в методе коррекции потоков и др.
13. Искусственная вязкость Неймана - Рихтмайера в разностных схемах
сквозного счета.
14. Двумерные и трехмерные задачи с уравнениями акустики и
теплопроводности. Типы симметрии задач. Примеры разностных схем и
особенности исследования устойчивости. Геометрический смысл условия
Куранта.
15. Неявные разностные схемы и проблема решения систем линейных
уравнений на слое. Матричная прогонка. Продольно-поперечная прогонка.
Методы расщепления.
16. Стационарные задачи с уравнением Пуассона. Разностные аналоги.
Итерационные методы решения, метод установления. Анализ скорости сходимости
методов. Схемы с переменными «шагами». Чебышевский набор параметров.
17. Дискретное преобразование Фурье для табличных функций. Быстрое
преобразование Фурье. Его применение к решению линейных стационарных задач
с постоянными коэффициентами. Понятие о насыщении численных методов.
18. Вариационные методы решения краевых задач математической физики. Метод
Ритца и его обоснование. Проекционные методы. Метод Галеркина. Понятие о
методе конечных элементов.