Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://compmech.math.msu.su/progkurs/ill-posed.doc Дата изменения: Mon Oct 4 14:56:32 2004 Дата индексирования: Sat Apr 9 21:37:54 2016 Кодировка: koi8-r

Программа курса А.Х. Пергамент

«Некорректно поставленные задачи и методы их решения»
I. Понятие о некорректно поставленных задачах. Примеры некорректных и
плохообусловленных задач:
1. задача Коши для уравнения Лапласа;
2. численное дифференцирование;
3. аналитическое продолжение;
4. плохообусловленные алгебраические системы;
5. обработка и интерпретация измерений;
6. интегральные уравнения Фредгольма I-го рода.
II. Математические модели погрешности.
7. Определение стационарного в широком смысле случайного процесса.
Корреляционный оператор.
8. Гауссовский стационарный случайный процесс. Случайная и вероятностная
меры. Спектральное представление. Аналитические свойства реализаций.
9. Задача статистического оценивания функций. Взаимная непрерывность мер.
10. Проблемы некорректности в задаче статистического оценивания.
III. Элементы теории приближений.
11. Понятие компакта. [pic]-сеть, необходимое и достаточное условие
компактности множества в нормированных пространствах.
12. Примеры компактов в пространствах [pic] и [pic]. Лемма Арчела.
13. Понятие поперечника. Поперечники Колмогорова и Гельфанда. Сеточный
поперечник.
14. Интерполяция. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Разделённые
разности. Сплайн-интерполяции, в том числе локальные. Формула гладкого
восполнения.
15. Оценки поперечников.
IV. Фильтрация как задача статистического оценивания функций.
16. Метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов в
задаче статистического оценивания функций. Алгоритмы оценивания для
случая взаимно-непрерывных и ортогональных мер.
17. Винеровская фильтрация как регуляризация.
18. Регуляризованные алгоритмы фильтрации. Полосовой фильтр. Регуляризация
по А.Н. Тихонову в задачах фильтрации.
19. Оптимальные аппроксимации в задачах фильтрации. Метод наименьших
квадратов для определения параметров аппроксимации. Применение
критериев проверки статистических гипотез.
20. Сходимость и точность регуляризованных алгоритмов.
V. Оптимальные аппроксимации и задачи статистического оценивания для
интегральных уравнений Фредгольма I-го рода.
21. Детерминированная задача для уравнений первого рода. Теорема Тихонова.
Алгоритм регуляризации. Сходимость. Выбор параметра регуляризации.
22. Оптимальные аппроксимации неизвестных функций в различных классах
гладкости. Оценка параметров методом наименьших квадратов. Точность
аппроксимации и точность оценивания.
23. Применение критериев проверки статистических гипотез в общей схеме
регуляризации. Сходимость алгоритмов по вероятности и почти наверное.
24. Алгоритм регуляризации по А.Н. Тихонову в схеме метода статистического
оценивания. Регуляризованные алгоритмы сплайн-аппроксимаций. Выбор
параметра регуляризации. Оценка точности и доказательство сходимости.