|
Л.Эйлер полагал, что путем общих "метафизических" рассуждений можно найти ту величину, которую "экономит" природа и полученный экстремальный принцип в скрытом виде уже будет содержать все нужные законы природы, найти которые в явной форме — дело простой математической ловкости. Г. Лейбниц считал, что экстремальные принципы справедливы потому, что "мы живем в лучшем из миров". Чем же так хорош окружающий нас мир? В современном знании возникли предпосылки для возврата к программе Эйлера.
Деятельность теоретика-модельера по описанию естественных и антропных систем базируется на подборе подходящих математических структур. Для оперирования классами структурированных множеств предназначена математическая теория категорий и функторов. Система может быть формально описана категорией, содержащей класс объектов - состояний системы и класс морфизмов - допустимых структурой системы способов преобразований одних состояний в другие. Состояния систем, описываемых математическими структурами, могут быть упорядочены методами теории категорий по "степени их структурированности". Постулировано, что динамика системы определяется принципом максимальной структуры: из заданного состояния система переходит в то состояние, структура которого максимальна (в пределах доступных системе ресурсов).
Предложен строгий метод, позволяющий каждому состоянию системы сопоставить числовую функцию, значения которой изменяются монотонно по отношению к степени структурированности состояния и могут служить ее мерой. Значение этой функции рассчитывают через количество допустимых системой неэквивалентных преобразований. Эта функция обобщает понятие "количество элементов", определенное для бесструктурных множеств, на множества со структурой. Эта функция может быть интерпретирована как обобщение статистической энтропии и может быть названа обобщенной (структурной, функторной, теоретико-категорной) энтропией. Структурная энтропия получена вне каких-либо статистических или вероятностных предпосылок.
Принцип максимальной структуры должен быть переформулирован как принцип максимума (обобщенной) энтропии. От Второго начала термодинамики его отличает применение к открытым (в самом общем смысле) системам и обязательное требование ограничений по ресурсам.
Введены и сопоставлены представления о собственных временах систем: время категорное, время системное, время структурное, время энтропийное и время метаболическое. Категорное и системное времена описывают качественные аспекты изменчивости систем. Структурное, энтропийное и метаболическое времена представляют способы количественного измерения изменчивости, т.е. вводят различные типы часов для измерения собственного времени систем. Экстремальный принцип может быть переформулирован как принцип минимального метаболического времени.
Теоретико-категорное описание систем включает необходимые компоненты динамических теорий: элементарные объекты, пространство состояний, способы изменчивости и способы ее измерения.
Полученные результаты позволяют предложить для отыскания законов изменчивости систем формализм, обобщающий формализм Джейнса.
|