Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://chaos.phys.msu.ru/prokhorov/diplom/diplom.ps Дата изменения: Fri Oct 4 00:00:00 2002 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:52:47 2012 Кодировка: IBM-866

УДК 534:517.9
Параметрические возмущения и стабилизация
хаотического поведения динамических систем
А.Ю.Лоскутов, А.К.Прохоров
Аннотация
В общем виде рассмотрены динамические системы с внешними периодическими
возмущениями. Строго обоснован подход, согласно которому такие системы мож-
но свести к автономным и тем самым упростить исследование. Подробно изучает-
ся поведение семейств квадратичных и экспоненциальных одномерных отображений
при параметрических воздействиях. Доказано, что существуют периодические воз-
мущения, оперирующие строго на хаотическом подмножестве, которые приводят к
стабилизации динамики и появлению в первоначально хаотических отображениях
устойчивых циклов. Аналитические результаты дополнены численными исследова-
ниями. Показано, что хаос может быть подавлен достаточно сложным периодическим
воздействием. Проведено сравнение результатов, полученных при воздействиях раз-
личного характера.
Parametric perturbations and stabilisation
of chaotic behaviour of dynamical systems
A.Loskutov, A.K.Prokhorov
Summary
Dynamical systems with external periodic perturbations are considered in a general
form. An approach according to which such systems can be reduced to autonomous
ones and simplied, is rigorously justied. The behaviour of quadratic and exponential
family maps at parametric perturbations is studied. It is proven that there exist periodic
perturbations operating strictly in the chaotic subset which lead to the dynamics stabilisation
and appearance of stable cycles in the initially chaotic maps. Analytic results are added
by numerical simulations. It is shown that chaos can be suppressed by a quite complex
perturbation. A comparison between results which are obtained at several perturbations,
is performed.
1

Параметрические возмущения и стабилизация
хаотического поведения динамических систем
А.Ю.Лоскутов, А.К.Прохоров
Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова,
физический факультет
Аннотация
В общем виде рассмотрены динамические системы с внешними периодическими
возмущениями. Строго обоснован подход, согласно которому такие системы мож-
но свести к автономным и тем самым упростить исследование. Подробно изучает-
ся поведение семейств квадратичных и экспоненциальных одномерных отображений
при параметрических воздействиях. Доказано, что существуют периодические воз-
мущения, оперирующие строго на хаотическом подмножестве, которые приводят к
стабилизации динамики и появлению в первоначально хаотических отображениях
устойчивых циклов. Аналитические результаты дополнены численными исследова-
ниями. Показано, что хаос может быть подавлен достаточно сложным периодическим
воздействием. Проведено сравнение результатов, полученных при воздействиях раз-
личного характера.
2

1 Введение
Динамические системы с хаотическим поведением { сейчас предмет интенсивного
изучения. В первую очередь это связано с тем, что хаос является достаточно об-
щим свойством самых разнообразных нелинейных процессов, присущих различным
областям естественных наук: от биологии до химической кинетики. Причина такого
поведения кроется не в сложности динамических систем и не в проявлении внешних
воздействий. Более того, в системах из сколь угодно большого числа взаимодейству-
ющих частиц хаотическое поведение может и не проявиться. Напротив, хаотические
колебания способны развиваться в чрезвычайно простых системах уже с полутора
степенями свободы. Появление хаоса связано с чисто внутренними особенностями
динамической системы, когда при некоторых значениях параметров ее траектории
приобретают экспоненциальную неустойчивость.
В связи с этим в последнее время стало интенсивно развиваться новое направле-
ние в теории детерминированного хаоса, связанное с контролированием хаотических
систем и подавлением хаоса (или стабилизацией их хаотического поведения). Более
того, оказалось, что это направление имеет непосредственное отношение ко многим
разделам физики и математики: кроме основных вопросов управления и предска-
зуемости, на пути решения проблемы подавления хаоса удается найти подходы к
таким важным и насущным приложениям как обработка информации, т.е. запись,
зашифровка, pасшифpовка и скрытая от внешнего наблюдателя пересылка полезных
сообщений (см., напpимеp,
h
1 5
i
а также статью А.Ю.Лоскутова, Ю.В.Мищенко и
С.Д.Рыбалко в настоящем томе), проблема самооpганизации
h
6 8
i
, стабилизация
неупоpядоченных сокращений сердечной мышцы и дефибрилляция
h
9 12
i
, искус-
ственное создание когерентных структур в распределенных системах, обладающих
пространственно-временным хаосом
h
13 14
i
и их аппроксимациях решетками сцеп-
ленных отображений
h
15
i
, и других. Понятно, что решение даже части этих про-
блем, с одной стороны, в значительной степени углубило бы понимание процессов
и закономерностей, лежащих в основе поведения самых разнообразных нелинейных
динамических систем и, с другой стороны, позволило бы значительно продвинуться в
развитии теории нелинейных колебаний как сосредоточенных так и pаспределенных
систем.
Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических си-
стем обычно подразумевается искусственное создание в изучаемой системе устой-
3

чивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешних мультиплика-
тивных или аддитивных воздействий. Иными словами, для стабилизации необходимо
найти такие внешние возмущения, которые вывели бы систему из хаотического режи-
ма на регулярный. При внешней простоте формулировки этой проблемы, ее решение
для ряда динамических систем оказывается достаточно сложной задачей. Более того,
хотя в настоящее время имеется большое число работ, посвященных этому вопросу
(см., напpимеp,
h
16 20
i
и цитированную литературу в
h
21 23
i
), решение проблемы
стабилизации далеко от завершения.
Стабилизация хаотического поведения динамических систем может быть осуще-
ствлена двумя различными способами. Первый из них обеспечивает выведение систе-
мы из хаотического на регулярный режим посредством внешних возмущений, реа-
лизованных без обратной связи. Другими словами, этот метод не учитывает текущее
состояние динамических переменных системы. Качественно отличный от данного
метод реализуется посредством корректирующего воздействия в соответствии с тре-
буемым значением динамических переменных и, таким образом, вовлекает обратную
связь как необходимую компоненту динамической системы. По установившемуся со-
глашению первый способ стабилизации хаотической динамики называется подавле-
нием хаоса или контролированием (иногда управлением или pегулиpованием) хаоти-
ческой динамики без обратной связи. Второй способ носит название контролирование
хаоса с обратной связью (controlling chaos). В свою очередь, реализация каждого из
этих методов может быть проведена параметрическим или силовым способами.
По-видимому впервые параметрический метод подавления хаоса (без обратной
связи) был описан в работах
h
24 25
i
и впоследствии аналитически обоснован на
примерах определенного класса динамических систем
h
26 27
i
. При этом мульти-
пликативные возмущения всегда оставались в области, отвечающей существованию
хаотического поведения. Позже подобные подходы описывались во многих работах
(см., например,
h
16 17; 28 30
i
и цитированную там литературу). Достаточно об-
щий метод силового управления (без обратной связи) хаотическими системами был
предложен в группе Хьюблера
h
31 33
i
. Другие методы стабилизации хаотической
динамики рассмотрены в статьях
h
18 20; 34 35
i
. Интересные общие правила стаби-
лизации хаотического поведения посредством силового регулирования динамических
систем описаны в работе
h
36
i
и монографии
h
37
i
(см. также приводимые там ссыл-
ки), где предполагается, что порог подавления хаоса аддитивным воздействием и
4

энтропия системы связаны скейлинговым соотношением.
Методы воздействия с обратной связью получили широкое распространение после
известной работы группы из Мэриленда
h
38 39
i
, где было показано, что при по-
мощи достаточно слабых параметрических возмущений возможно стабилизировать
практически любой седловой предельный цикл, вложенный в хаотический аттрактор.
Таким образом, корректируя параметры в соответствии со значением динамических
переменных, удается заставить работать систему на заранее выбранном предельном
цикле. Публикация работы
h
38
i
стимулировала изучение вопросов стабилизации ха-
отического поведения как экспериментально, так и численно (см. цитированную ли-
тературу в
h
21 23
i
), и вызвала большой интерес к вопросам управления неустой-
чивыми системами.
В данной работе сначала на строгом уровне и с достаточно общей точки зрения
изучены динамические системы с внешними периодическими возмущениями. Затем
рассмотрена возможность подавления хаоса в семействах квадратичных и экспонен-
циальных отображений посредством простого (и без обратной связи) параметриче-
ского воздействия. Аналитические результаты дополнены численными исследования-
ми: подробно изучено семейство квадратичных отображений с достаточно сложными
(но также без обратной связи) параметрическими возмущениями.
2 Аналитический подход
В общем случае стабилизация неустойчивого (в том числе хаотического) поведения
подразумевает введение в правую часть динамической системы определенной адди-
тивной или (и) мультипликативной переменной, тем или иным образом учитывающей
соответственно аддитивные или (и) мультипликативные возмущения. Поэтому снача-
ла с достаточно общей точки зрения рассмотрим динамические системы с внешними
возмущениями.
2.1 Отображения с внешними периодическими возмущения-
ми
Пусть T a : M ! M { отображение пространства M в себя, задаваемое некоторой
функцией f :
T a : x 7! f(x; a) ; (1)
5

где a { параметр, a 2 A; f = ff 1 ; : : : ; f n g и x = fx 1 ; : : : ; x n g. Определим возмущение
G, действующее на множестве допустимых значений A, G : A ! A такое, что
G : a 7! g(a); a 2 A : (2)
Тогда возмущенное отображение можно записать как
T a :
8 > <
> :
x 7! f(x; a) ;
a 7! g(a); x 2 M; a 2 A:
(3)
При периодическом воздействии периода  преобразование G определено в конеч-
ном наборе точек fa 1 ; a 2 ; : : : ; a  g, a 1 ; : : : ; a  2 A. Поставим в соответствие каждому
периодическому возмущению периода  параметра a, a i+1 = g(a i ); i = 1; 2; : : : ; 
1; a 1 = g(a  ); a i 6= a j для i 6= j (a i 2 A; i = 1; 2; : : : ;  ), вектор ^ a = (a 1 ; : : : ; a  ) из
пространства R  . Тогда можно рассмотреть множество A = f^a 2
A
A





A
| {z }

:
^ a = (a 1 ; : : : ; a  ); a i 6= a j ; 1  i; j  ; i 6= j; a 1 ; :::; a  2 Ag, A  R  , отвечающее
всевозможным периодическим возмущениям периода  , оперирующих в A.
Анализируя отображение (3), можно обнаружить ряд его интересных свойств.
Прежде всего легко понять, что период любого цикла этого отображения (в том
числе и неустойчивого) всегда кратен периоду возмущения. Иными словами, для (1)
с периодическим возмущением (2) справедлив следующий точный результат.
Утверждение
h
40 41
i
. Период P любого цикла периодически возмущаемого
отображения (1) определяется из соотношения: P = k, где  { период возмущения
и k { положительное целое.
Это простое утверждение можно доказать при помощи конструкции
h
40 42
i
,
которая в том числе оказывается очень полезной при рассмотрении проблемы стаби-
лизации хаотической динамики. Именно, -циклическое преобразование (2) отобра-
жения (1) означает, что результирующее отображение (3) можно записать как:
T =
8 > > > > > > > > > > > <
> > > > > > > > > > > :
T a1 : x 7! f(x; a 1 )  f 1 ;
T a 2
: x 7! f(x; a 2 )  f 2 ;
: : : : : : : : : : : : : : : : : ;
T a : x 7! f(x; a  )  f  :
(4)
6

Введем в рассмотрение  функций следующего вида:
F 1 = f  (f  1 (:::f 2 (f 1 (x)):::)) ;
F 2 = f 1 (f  (f  1 (:::f 3 (f 2 (x)):::))) ;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ;
F  = f  1 (f  2 (:::f 1 (f  (x)):::) ;
(5)
где x = fx 1 ; : : : ; x n g; и f i = ff (1)
i ; : : : ; f (n)
i g; F i = fF (1)
i ; : : : ; F (n)
i g; i = 1; 2; : : : ; ; {
n-компонентные функции. Таким образом, периодически возмущенное отображение
(3) можно переписать в форме
T 1 : x 7! F 1 (x; a 1 ; : : : ; a  ) ;
T 2 : x 7! F 2 (x; a 1 ; : : : ; a  ) ;
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ;
T  : x 7! F  (x; a 1 ; : : : ; a  ) ;
(6)
для которого начальные условия определяются следующим образом: x 1 = f 1 (x 0 ); x 2 =
f 2 (x 1 ); : : : ; x  1 = f  1 (x  2 ).
Относительно построенных отображений можно доказать следующее важное утвер-
ждение.
Лемма 1
h
42
i
. Если отображение T k ; 1  k   имеет цикл периода t и функции
f k (x) являются непрерывными, тогда отображение T p ; p = k + 1 (mod ), также
имеет цикл того же периода t. Более того, если
а) цикл отображения T k является устойчивым, то цикл отображения T p явля-
ется также устойчивым;
б) f k { гомеоморфизм, то отображения T k и T p являются топологически экви-
валентными.
Основной его смысл заключается в том, что исследование отображения с пери-
одическим возмущением можно существенно упростить. Вместо исходного неавто-
номного отображения (3) достаточно рассмотреть одно из автономных отображений
T 1 ; T 2 ; : : : ; T  , определяемое выражениями (5), (6). Таким образом, вся динамика ис-
ходного отображения (3) будет задаваться совокупностью отображений (6), которые
действуют независимо друг от друга и связаны лишь начальными условиями. От-
сюда непосредственно следует результат сформулированного выше утверждения о
кратности периода цикла периоду возмущения.
7

Необходимо отметить ряд важных случаев, которые, вообще говоря, могут встре-
титься при исследовании некоторых возмущенных отображений. Если спроектиро-
вать полученный P-периодический цикл на пространство M (т.е. просто рассмотреть
систему (3) как неавтономную), то в этом пространстве возможно получить цикл, ко-
торый не может быть назван циклом в обычном понимании. Дело в том, что точки
цикла, которые отличаются друг от друга только в значении координаты a (если
они существуют), спроектируются в одну и ту же точку пространства M . По этой
причине изображающая точка возмущенного отображения будет по несколько раз по-
падать в некоторые точки, формирующие цикл. Например, для одномерных отобра-
жений, n = 1, в общем случае в проекции на исходное пространство M = I получится
цикл периода k (рис.1а-1б). Однако в I возможно получить цикл в совпадающими
x-координатами, когда x i = xm ; a i 6= am ; i 6= m, где (x i ; a i ) и (x m ; am ) { точки цикла
отображения (3) (рис.2а-2б). В этом случае на координатной оси получится (P l)
точек, где l { число совпадений. В частности, при P = 2 ( = 2) вполне возможно в
проекции наблюдать только одну фиксированную точку. Для P > 2 вероятно появ-
ление более экзотических циклов. Описанная ситуация, однако, не является случаем
общего положения, и, как правило, встречается только при специально подобранных
возмущениях.
2.2 Подавление хаоса в унимодальных отображениях
Допустим, что отображение (1) при некоторых значениях параметра a 2 A c  A
обладает хаотической динамикой. Тогда проблема параметрической стабилизации
поведения хаотического отображения (1) сводится к обнаружению значений пара-
метров ^ a 2 A c , при которых в (3) наблюдается регулярная динамика. Более точно,
необходимо показать, что среди всевозможных значений ^ a = (a 1 ; : : : ; a  ) 2 A c име-
ются такие ^ a 2 A d  A c , что возмущенное отображение (3) с условием a; g(a) 2 A d
будет обладать устойчивым периодическим или (и) стационарным режимом.
Рассмотрим два семейства одномерных унимодальных отображений: семейство
квадратичных отображений, T a : [0; 1] ! [0; 1];
T a : x 7! '(x; a) = ax(1 x) ; (7)
где a 2 (0; 4], и семейство экспоненциальных отображений, T a : I ! I,
T a : x 7! (x; a) = a exp[a(1 x)] ; (8)
8

где I { некоторый интервал и a 6= 0. Эти семейства широко используются как модели
многих физических, химических и других систем и поэтому привлекают большое вни-
мание исследователей (см., например,
h
37; 43 46
i
и приведенные там ссылки). Более
того, любое унимодальное отображение является полусопряженным квадратичному,
и поэтому семейство (7) играет важную роль в теории унимодальных отображений.
Функции, порождающие семейства (7), (8), имеют отрицательную производную
Шварца, S' = 6=(1 2x) 2 ; S = ( a 2 =2)[((ax 2) 2 + 2)=(1 ax) 2 ]. Следова-
тельно, для построения множества A c для (7), (8) можно опираться на теорему
Огнева-Мисюревича
h
47 48
i
, которая утверждает следующее. Пусть отображение
T a : x 7! f(x; a) является унимодальным отображением интервала I в себя и функция
f имеет отрицательную производную Шварца. Предположим, что
T l
a T m
a x c = T m
a x c ;
  T 0
a T m
a x c
T 0
a T m+1
a x c
: : :
T 0
a T m+l+1
a x c
   > 1 ;
где T 0
a (x c ) = 0 и m; l > 0 { некоторые целые числа. Тогда на интервале I существует
абсолютно непрерывная инвариантная мера. Таким образом, терема гарантирует, что
унимодальное отображение с отрицательной производной Шварца имеет хаотическое
поведение, если орбита его критической точки x c , начиная с некоторой итерации,
совпадает с неустойчивым циклом конечного периода.
Необходимо отметить, что если унимодальное отображение с хаотическим пове-
дением имеет отрицательную производную Шварца, то оно не может иметь устой-
чивых циклов.
Следуя x2.1, возмущенные квадратичное и экспоненциальное семейства можно
переписать в виде:
T =
8 > <
> :
x 7! '(a; x) ;
a 7! g(a) ;
(9)
и
T =
8 > <
> :
x 7! (a; x) ;
a 7! g(a) ;
(10)
где a i+1 = g(a i ); i = 1; 2; : : : ; ; a 1 = g(a  ); a i 6= a j ; i 6= j, соответственно. Прежде
всего рассмотрим простейший случай двухпериодического возмущения,  = 2. Обоб-
щение для  > 2 может быть проведено только численно и рассматривается ниже.
9

Тогда a 2 = g(a 1 ); a 1 = g(a 2 ); a 1 ; a 2 2 A c и
T =
8 > <
> :
T a1 : x 7! '(a 1 ; x)  ' 1 (x) ;
T a 2
: x 7! '(a 2 ; x)  ' 2 (x) :
(11)
Семейство (10) записывается аналогично. В этом случае множество A c = f^a 2 A
c
A c : a 1 6= a 2 g будет соответствовать всевозможным возмущениям периода 2. Теперь
можно доказать следующий основной результат.
Теорема. Существует подмножество A d  A c такое, что если ^ a 2 A d , то
возмущенные отображения (9), (10) будут обладать устойчивыми циклами конеч-
ных периодов.
Таким образом, теорема гарантирует, что периодические параметрические возму-
щения могут привести к подавлению хаоса в семействах одномерных отображений
(7), (8). Рассмотрим сначала семейство (9). Доказательство для экспоненциального
семейства (10) проводится аналогично.
Доказательство. Следуя x2.1, перепишем отображение (11) как совокупность
преобразований T 1 и T 2 , т.е.
T 1 : x 7! F 1 (a 1 ; a 2 ; x) = ' 2 (' 1 (x)) ;
T 2 : x 7! F 2 (a 1 ; a 2 ; x) = ' 1 (' 2 (x)) ;
(12)
с начальными условиями x 0 ; x 1 = ' 1 (x 0 ). Теперь, для того, чтобы найти устойчивые
циклы в исходном отображении (9), достаточно рассмотреть только одно из отобра-
жений, T 1 или T 2 . Далее, каждый из циклов периода 2t, порождаемых отображениями
T 1 ; T 2 , является множеством неподвижных точек ~
x 1
i ; ~ x 2
i ; i = 1; 2; : : : ; t; отображений
T t
1 ; T t
2 , соответственно. Для того, чтобы определить, какие точки формируют тот
или иной цикл периода t для отображения T 1 (или T 2 ) необходимо решить следую-
щие уравнения: 8 > <
> :
T t
j ~
x = ~
x ;
T i
j ~ x 6= ~
x ;
(13)
где j = 1 или j = 2, и 1  i  t. Для дальнейшего доказательства нам понадобится
следующий результат.
Лемма 2
h
49
i
. Множество параметрических значений ^ a 2 A, для которых в
периодически возмущаемых семействах (9), (10) существуют устойчивые циклы,
открыто в A.
10

Доказательство. Допустим, что отображения T 1 ; T 2 имеют устойчивые непо-
движные точки (~x 1
1 ; :::; ~
x 1
t ); (~x 2
1 ; :::; ~
x 2
t ), соответственно, которые формируют устойчи-
вый цикл p s (^a) в отображении (9). Тогда, очевидно, для ^ a = (a 1 ; a 2 ) это отображе-
ние является регулярным. В общем случае устойчивость такого цикла означает, что
его мультипликатор удовлетворяет условию j (^a) j< 1. Очевидно, если (^a) непре-
рывным образом зависит от ^
a (что в данном случае имеет место), то существует
некоторая окрестность U 2 R 2 значения ^ a такая, что когда ^ a 0 2 U , то j (^a 0 ) j< 1.
Иными словами, для величин ^
a = (a 1 ; a 2 ) имеется определенная окрестность, в кото-
рой устойчивый цикл p s (^a) не исчезает и сохраняет свою устойчивость. 2
Таким образом, лемма 2 утверждает, что для построения подмножества A d можно
использовать приближенные расчеты значений ^ a = (a 1 ; a 2 ), погрешность которых не
превышает характерных размеров U(^a). Оставшаяся часть доказательства сводится
к определению устойчивости циклов в отображении T 1 или T 2 при различных ^ a. Рас-
смотрим ^ a = (a 1 ; a 2 ); a 1 = 3; 678 573 36::: ; a 2 = 3; 974 591 25::: . Эти параметрические
значения содержатся во множестве A c , a 1 ; a 2 2 A c , поскольку они удовлетворяют
условиям теоремы Огнева-Мисюревича: если a = a 1 , то критическая точка невозму-
щенного семейства квадратичных отображений попадает в неустойчивую неподвиж-
ную точку, начиная с 4-ой итерации; когда a = a 2 , то начиная с 5-ой итерации орбита
критической точки будет совпадать с неустойчивым циклом периода 2. Подставляя
эти значения a 1 ; a 2 в отображения T 1 ; T 2 (12) немедленно получим, что T t
1 ; T t
2 при
t = 3 имеют по три устойчивые неподвижные точки, которые формируют устойчи-
вый цикл периода 6 в отображении (9). Однако необходимо отметить, что уравнения
неподвижных точек, ~
x 1 = T t
1 ~ x 1 ; ~
x 2 = T t
2 ~
x 2 , являются нелинейными алгебраическими
уравнениями 64-ой (!) степени, и поэтому все расчеты могут быть произведены толь-
ко графически или численно. Тем не менее, для ^ a всегда имеется ненулевая окрест-
ность U (см. лемму 2) и, следовательно, эти расчеты всегда верны, если их точность
не меньше, чем размер U . Для данных значений ^ a величина U  3
10 5 a i ; i = 1; 2
(рис.3). Таким образом, значение ^ a = (3; 678 573 36:::; 3; 974 591 25::: ) удовлетворяет
условиям теоремы и составляет одну из пар подмножества A d .
Приведенные рассуждения легко обобщаются на семейство экспоненциальных
отображений (10). Для него двухпериодические параметрические возмущения ^
a =
(2; 833 157 4:::; 3; 810 659 7:::) 2 A c на множестве Огнева-Мисюревича приводят к ро-
ждению устойчивого цикла периода четыре. 2
11

Иллюстрация теоремы для квадратичного семейства (9) показана на рис.3. Устой-
чивый цикл для экспоненциального отображения приведен на рис.4.
Кроме значений ^ a, используемых в теореме, можно привести много других па-
раметрических точек, которые удовлетворяют условиям теоремы и, таким образом,
составляют множество A d . Например, для семейства квадратичных отображений (9)
следующие точки Огнева-Мисюревича ^ a = (3; 955 848:::; 3; 791 097:::); ^
a = (3; 955 848:::; 3; 752 685:::)
и ^ a = (3; 955 848:::; 3; 727 255:::) отвечают устойчивым циклам периодов 4, 8 и 12 со-
ответственно.
Кроме того, из леммы 2 непосредственно следует важный результат: если в систе-
ме, которая может быть аппроксимирована семейством квадратичных или экспонен-
циальных отображений наблюдается подавление хаоса, то этот феномен не может
быть разрушен внешним шумом, уровень которого не превышает характерного раз-
мера окрестности U .
3 Численное моделирование
Описанный в данном разделе аналитический подход позволяет найти только неко-
торые элементы (т.е. точки Огнева-Мисюревича) подмножества A d  A c = f^a 2
A
c
A c : ^ a = (a 1 ; a 2 )g параметрических значений, соответствующих стабилизиро-
ванной динамике семейств квадратичных и экспоненциальных отображений (9), (10).
Чтобы представить структуру всего подмножества A d , включающего не только точ-
ки Огнева-Мисюревича, необходимо использовать численный подход.
Случай параметрического преобразования периода 2 применительно к рассмо-
тренным отображениям был численно изучен ранее в работе
h
49
i
. Исследования по-
казали, что подмножество A d , где имеет место подавление хаоса, характеризуется до-
статочно сложной структурой а его мера должна быть положительна. Следователь-
но, для динамических систем, которые могут быть эффективно описаны семействами
квадратичных (9) и экспоненциальных (10) отображений феномен подавления хаоса
параметрическим воздействием периода 2 должен наблюдаться экспериментально.
В принципе, результаты теоремы могут быть обобщены на случай  > 2. Для
этого необходимо ввести -кратное преобразование (4) и перейти к рассмотрению
совокупности автономных отображений (6). Тогда, благодаря лемме 1, для изуче-
ния исходного отображения с возмущением достаточно рассмотреть лишь одно из
отображений T t
j , выраженных в форме (6). Теперь, начиная с t = 1 и шаг за ша-
12

гом перебирая значения a 1 ; :::; a  в множестве A c , необходимо найти все неподвиж-
ные точки отображения T t
j и среди них отселектировать устойчивые. Если при дан-
ном t отображение T t
j не имеет таких точек, то необходимо увеличить t на единицу
и повторить вычисления. Эта процедура продолжается до тех пор, пока значения
(a 1 ; : : : ; a  ) 2 A c не будут найдены. Затем, для того, чтобы определить, какие точки
формируют соответствующий цикл, нужно рассмотреть выражение (13), в котором
1  i < t. Таким образом, имеется достаточно простой путь поиска стабилизиро-
ванного периодического поведения возмущенных отображений. Однако определение
величин (a 1 ; a 2 ; : : : ; a  ) 2 A d при больших значениях  может быть выполнено только
численно, поскольку для практически любого нелинейного отображения функции (5)
(n = 1) получаются достаточно сложного вида. Тем не менее, описанный сценарий
позволяет избежать расчетов ляпуновского показателя, что для некоторых отобра-
жений может существенно уменьшить объем вычислений.
Таким образом, рассмотрение возмущенного отображения с целью исследования
подавления хаотичности целесообразно проводить численными методами. Для тако-
го исследования рассмотрим квадратичное семейство (9). В качестве критерия хао-
тичности одномерных отображений проще всего использовать показатель Ляпунова,
который определяется из соотношения
(a) =
1
N M
N
X
i=M
ln
    
@'
@x (x i ; a)
     : (14)
Здесь, в противоположность строгому определению (см., например,
h
43 45; 50
i
), ко-
гда N ! 1, для получения приемлемой точности вычисления значение N должно
быть выбрано достаточно большим. Кроме того, чтобы исключить переходные про-
цессы, необходимо отбросить определенное число предварительных итераций i < M .
Соотношение (14) легко обобщить на случай возмущенного отображения (9). Для
этого под знаком суммы необходимо взять производную j @'=@x j (x i ;a j ) ; j = 1; 2; : : : ;  ,
с  циклически переключающимися параметрами a j . Если показатель (14) явля-
ется положительным, (a) > 0, то параметрическое значение a невозмущенного
отображения принадлежит хаотическому множеству A c . Если показатель Ляпуно-
ва (a 1 ; a 2 ; : : : ; a  ) для возмущенного отображения отрицателен, то, как показано
в x2, такое отображение будет обладать устойчивым циклом одного из периодов
P = k; k = 1; 2; : : : .
Следуя работе
h
49
i
будем считать, что параметрические точки в пространстве
13

(a 1 ; a 2 ; : : : ; a  ) представляют собой точки подавленного хаоса для семейства отобра-
жений (9), если они удовлетворяют следующим условиям:
1) все значения a = a 1 ; a = a 2 ; : : : ; a = a  невозмущенного отображения (7) при-
надлежат хаотическому множеству A c ;
2) для параметрического значения ^ a = (a 1 ; : : : ; a  ) в возмущенном отображении
(9) существует устойчивый цикл.
Таким образом предполагается, что параметрические значения ^ a = (a 1 ; a 2 ; : : : ; a  )
составляют подмножество A d , т.е. хаос в этих точках подавляется, если верно следу-
ющее логическое выражение: ((a 1 ) > 0) and ((a 2 ) > 0) and ((a 1 ; a 2 ) < 0).
Далее, период устойчивых циклов будем полагать равным m, если выполняется
система неравенств вида: 8 > <
> :
j xN+m xN j< " ;
j xN+k xN j> " ;
(15)
0 < k < m, где " = "(N); m  N , и "  1=m.
Результаты численных исследований семейства (9) с периодическим возмущени-
ем периода  = 3 показаны на рис.5, где представлен общий вид подмножества A d .
Легко видеть, что следствие независимости решения от циклической перестановки
параметров a 1 ; a 2 ; a 3 , картина оказывается симметричной относительно главной диа-
гонали (3; 8; 3; 8; 3; 8) (4; 0; 4; 0; 4; 0).
При более детальном рассмотрении выявляется сложная структура области по-
давленного хаоса. Результаты этих исследований представлены на рис.6а-г, где по-
казаны проекции на параметрическую плоскость a 1 ; a 2 последовательных сечений
рис.5 плоскостью a 3 = const. Хорошо видно, что все сечения состоят из нескольких
слоев. В свою очередь, каждый из этих слоев состоит из чередующихся областей,
где наблюдаются устойчивые циклы, кратные периоду возмущения. Границы таких
областей ориентированы примерно под углом 45 Ї по отношению к осям координат, а
их "ширина"приблизительно пропорциональна периоду устойчивого цикла.
При исследовании с большим разрешением выявляются все новые и новые обла-
сти, вплотную примыкающие к уже исследованным областям, с периодами более
высоких порядков. Значения этих периодов всегда оказываются удвоенными, что
наводит на мысль о реализации сценария Фейгенбаума при переходе к хаосу (белые
области) в возмущенном семействе (9). Тщательный численный анализ подтверждает
это предположение.
14

Для получения более полной картины поведения возмущенного семейства квадра-
тичных отображений рассмотрим всю область [3; 8; 4; 0], т.е. не будем ограничиваться
только подмножеством A c  [3; 8; 4; 0]. Иными словами, в вычислениях ляпуновско-
го показателя не станем учитывать условия (a 1 ) > 0; (a 2 ) > 0. Тогда в парамет-
рическом пространстве выделятся целые области, соответствующие периодической
динамике отображения (9) (см. рис.7).
Для подавления хаоса в семействах (9) и (10) интересно рассмотреть и более слож-
ные возмущения. В исследованных случаях неограниченная последовательность зна-
чений параметров fag не меняется при сдвиге элементов вправо или влево. Например,
при  = 3 она представляется одним из следующих вариантов:
: : : fa 1 ; a 2 ; a 3 ; gfa 1 ; a 2 ; a 3 ; gfa 1 ; a 2 ; a 3 ; g : : :
: : : a 1 ; fa 2 ; a 3 ; a 1 ; gfa 2 ; a 3 ; a 1 ; ga 2 ; a 3 ; : : :
: : : a 1 ; a 2 ; fa 3 ; a 1 ; a 2 ; gfa 3 ; a 1 ; a 2 ; ga 3 ; : : :
Однако допустимо предположить, что параметрическое воздействие может быть несим-
метричным относительно сдвигов вдоль последовательности fag. В этом случае для
 = 3 одно из возможных представлений имеет вид:
: : : a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; : : : ;
что соответствует сдвигу пяти элементов
: : : fa 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; gfa 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; gfa 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; g : : :
: : : a 1 ; fa 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; a 1 ; gfa 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; a 1 ; ga 2 ; a 3 ; a 2 ; a 1 ; : : :
: : : a 1 ; a 2 ; fa 3 ; a 2 ; a 1 ; a 1 ; a 2 ; gfa 3 ; a 2 ; a 1 ; a 1 ; a 2 ; ga 3 ; a 2 ; a 1 ; : : :
: : : a 1 ; a 2 ; a 3 ; fa 2 ; a 1 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; gfa 2 ; a 1 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; ga 2 ; a 1 ; : : :
: : : a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; fa 1 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; gfa 1 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 2 ; ga 1 ; : : :
(16)
Таким образом, интерес представляет чувствительность отображений с подавлен-
ным хаосом к возможным перестановкам параметров a 1 ; a 2 ; a 3 . Иными словами, как
изменится структура множества A d , если в последовательности (a 1 ; a 2 ; : : : ; a  ) неко-
торое число элементов совпадает? Такой тип периодического воздействия с доста-
точно большим периодом  имеет отношение к циклическим каскадам детермини-
рованных хаотических клеточных автоматов с дефектами
h
8
i
. В случае небольших
15

значений  структура подмножества A d неожиданно сильно отличается от структу-
ры A d , полученной при простом циклическом переключении (ср. рис.8б-г и рис.6б-г).
В частности, области подавленного хаоса занимают много меньше места. Кроме того,
область параметрического пространства 3; 8 < a 3 < 3; 9 имеет практически одина-
ковую структуру. При a 3  3; 9 в исследованном подмножестве A c  [3; 8; 4; 0] в
дополнение к имеющимся слабо выраженным крестообразным структурам (рис.8б-
в) появляются достаточно обширные области, соответствующие циклам периодов 5
и 10 (рис.8г).
Параметрическое пространство семейства (9) со сложным воздействием вида (16)
в области [3; 8; 4; 0]  A c показана на рис.9. Отчетливо видна та же крестообразная
структура, в дополнение к которой вблизи окон, соответствующих регулярному по-
ведению (a  3; 83), появляются достаточно обширные области с циклами периодов
10 и 15 (ср. рис.8а и рис.9).
Таким образом, семейство квадратичных отображений оказывается весьма чув-
ствительным к совпадению ряда значений в параметрической последовательности
(a 1 ; a 2 ; : : : ; a  ), что можно использовать для формирования так называемых каска-
дов отображений (см. по этому поводу работу
h
8
i
).
4 Заключение
Данная работа посвящена изучению свойств семейств квадратичных и экспоненци-
альных отображений при параметрическом возбуждении. Исследованы различные
способы воздействия на такие отображения и найдены области подавления хаоса.
Показано, что хаотическую динамику можно стабилизировать внешним, в том числе
достаточно сложным возмущением. Дальнейшее развитие этого направления да-
ет возможность использовать феномен подавления хаоса в криптографии, для сжа-
тия информации и передачи зашифрованных сообщений (см.
h
2; 49
i
а также статью
А.Ю.Лоскутова, Ю.В.Мищенко и С.Д.Рыбалко в настоящем томе и цитированную
там литературу).
Обобщение полученных в данной работе результатов позволяет выдвинуть следу-
ющее предположение: существуют такие подмножества множества параметрических
значений, отвечающего хаотическому движению динамических систем (в том числе
систем с непрерывным временем), которые соответствуют их регулярному поведе-
нию, причем мера таких подмножеств положительна. Предварительные аналитиче-
16

ские исследования показывают (см.
h
51 52
i
), что по крайней мере для дифферен-
циальных уравнений типа Ван дер Поля эта гипотеза верна.
Развитие методов подавления хаоса может быть использовано для объяснения
проблемы самоорганизации с неожиданной и оригинальной точки зрения. Рассмо-
трим, например, следующую модельную задачу. Пусть в сосуде имеется ансамбль
"элементарных"систем, описываемых отображениями вида (9) или (10) с  = 2, ко-
торые могут функционально сцепляться, образуя тем самым достаточно сложные
элементы. Тогда в сосуде могут находиться элементы вида, например,
ab; abb; abbb; abbbb; : : : ; (17)
где a  F 1 ; b  F 2 (см. формулу (12)). Обозначим такие всевозможные элементы как
A; B; C; D; : : :, соответственно, т.е. представим их набор в виде некоторого алфавита.
Предположим, что элементы время от времени могут сталкиваться друг с другом,
образуя длинные цепочки. Тогда, если допустить, что "выживут"(т.е. смогут суще-
ствовать) только цепочки с регулярной динамикой, то в результате большого числа
попыток таких столкновений появятся длинные структуры. Например, из (17) мо-
жет возникнуть цепочка ababbbabbabbbb (или ACBD в буквенном выражении), если
только соответствующее отображение, порождаемое функцией F 1 Ї F 2 Ї F 1 Ї F 2 Ї F 2 Ї
F 2 Ї F 1 Ї F 2 Ї F 2 Ї F 1 Ї F 2 Ї F 2 Ї F 2 Ї F 2 будет обладать регулярной динамикой. В даль-
нейшем такая цепочка может еще увеличиваться, присоединяя к себе все новые и
новые элементы из сосуда. Критерием отбора здесь является устойчивая динамика
и неприемлемость хаоса для цепочки. Предварительные численные исследования по-
казывают, что на этом пути можно добиться создания достаточно сложных структур
с заданными свойствами.
Другим важным приложением полученных результатов является возможность
подавления различного рода аритмий, возникающих в тканях сердца. Известно, что
сердечная мышца чувствительна к внешним возбуждениям. Если нормальный про-
цесс сокращений нарушается как результат дополнительного поступления энергии от
паразитного источника возбуждения, то даже в такой простейшей ситуации может
наблюдаться очень сложное поведение. В частности, допустимо возникновение силь-
но хаотических сокращений сердца. Возникновение большого числа дополнительных
источников энергии черевато появлением фибрилляций. Основная проблема здесь {
избавиться от аритмий при помощи определенных слабых возмущений, не приводя-
щих к сильным вмешательствам в среду
h
10 12
i
.
17

К этому направлению тесно примыкает не менее интересная область исследова-
ний нелинейной динамики, изучающая колебательные химические реакции. Хотя в
настоящее время многое здесь уже понято, причины, вызывающие колебательные
химические процессы, остаются до конца не выясненными. Динамическое описание
колебательных химических реакций может оказать в этом существенную помощь, в
частности, косвенным путем установить недостающие константы скоростей реакций.
Кроме того, возможность стабилизации хаотических химических процессов в распре-
деленных средах позволит подойти к исследованию явления резонансов спиральных
волн (см.
h
53
i
и цитированную там литературу) с точки зрения теории динамических
систем.
Таким образом, исследование динамических систем с внешними возмущениями
позволяет под качественно иным углом зрения рассмотреть многие давно известные
и важные проблемы.
18

5 Литература
1. Proc. of the SPIE 1993 Annual Meeting "Chaos in Communications".{ San
Diego, California, 11-16 July, 1993, v.2038.
2. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Extraction of the prototypes encoded in
a chaotic attractor. In: Articial Neural Networks, eds. I.Alexander and J.
Taylor.{ Elsevier, North-Holland, 1992, p.449-452.
3. S.Hayes, C.Grebogi, E.Ott. Communicating with chaos.{ Phys. Rev. Lett.,
1993, v.70, No20, p.3031-3034.
4. S.Hayes, C.Grebogi, E.Ott, A.Mark. Experimental control of chaos for
communication.{ Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, No13, p.1781-1784.
5. H.D.I.Abarbanel, P.S.Linsay. Secure communications and unstable periodic
orbits of strange attractors.{ IEEE Trans. Circuits Systs., 1993, v.40, No10,
p.643-645.
6. Physica D, 1995, v.84, No1-2. Номер, целиком посвященный регулирова-
нию и упорядочению в нелинейных системах.
7. A.Yu.Loskutov, G.E.Thomas. On a possible mechanism of self-organization
in a two-dimensional network of coupled quadratic maps.{ SPIE, 1993, v.2037,
p.238-249.
8. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic
cascades of chaotic deterministic automata.{ Int. J. Neural Systems, 1995, v.6,
p.175-182.
9. L.Glass. Cardiac arrhythmias and circle maps { A classical problem.{ Chaos,
1991, v.1, No1, p.13-19.
10. A.Garnkel, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling cardiac chaos.{ Science,
1992, v.257, p.1230-1235.
11. А.Ю.Лоскутов, С.Д.Рыбалко. О динамике отображения окружности
при параметрическом воздействии.{ Вестн. Моск. ун-та, сеp. Физ.-астр.,
1993, т.34, No4, с.19-27.
12. А.Ю.Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия.{ Приклад-
ная нелинейная динамика, 1994, т.2, No3-4, с.14-25.
13. L.Bresler, G.Metcalfe, J.M.Ottino, T.Shinbrot. Isolated mixing regions:
origin, robustness and control.{ Chem. Eng. Sci., 1996, v.58, p.1671-1679.
19

14. T.Shinbrot, J.M.Ottino. A geometric method to create coherent structures
in chaotic ows.{ Phys. Rev. Lett., 1993, v.71, p.843-847.
15. А.Ю.Лоскутов, Г.Э.Томас. Хаос и дестохастизация в двумерной ре-
шетке сцепленных отображений.{ Вестн. Моск. ун-та, сеp. Физ.-астр.,
1993, т.34, No5, с.3-11.
16. R.Lima, M.Pettini. Suppression of chaos by resonant parametric pertur-
bations.{ Phys. Rev. A, 1990, v.41, No2, p.726-733.
17. L.Fronzoni, M.Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression
of chaos by resonant parametric perturbations.{ Phys. Rev. A, 1991, v.43,
p.6483-6487.
18. Y.Braiman, I.Goldhirsh. Taming chaotic dynamics with weak periodic
perturbations.{ Phys. Rev. Lett., 1991, v.66, p.2545-2548.
19. S.Bielawski, D.Derozier, P.Glorieux. Controlling unstable periodic orbits
by a delayed continuous feedback.{ Phys. Rev. E, 1994, v.49, No2, p.971-974.
20. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric pertur-
bations.{ Phys. Rev. E, 1995, v.51, No1, p.761-764.
21. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable?{ Nonlinear Sci. Today,
1993, v.3, No2, p.1-8.
22. T.Shinbrot, C.Grebogi, E.Ott, J.A.Jorke. Using small perturbations to
control chaos.{ Nature, 1993, v.363, p.411-417.
23. J.F.Linder, W.L.Ditto. Removal, suppression, and control of chaos by
nonlinear design.{ Appl. Mech. Rev., 1995, v.48, No12, p.795-807.
24. В.В.Алексеев, А.Ю.Лоскутов. Дестохастизация системы со странным
аттрактором посредством параметрического воздействия.{ Вестник Моск.
ун-та, сер. Физ.-астр., 1985, т.26, No3, с.40-44.
25. В.В.Алексеев, А.Ю.Лоскутов. Управление системой со странным ат-
трактором посредством периодического параметрического воздействия.{
ДАН СССР, 1987, т.293, вып.6, с.1346-1348.
26. А.Ю.Лоскутов, А.И.Шишмарев. Об одном свойстве семейства квадра-
тичных отображений при параметрическом воздействии.{ Успехи матем.
наук, 1993 т.48, вып.1, с.169-170.
27. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior
by parametric perturbations: an analytic approach.{ Chaos, 1994, v.4, No2,
p.351-355.
20

28. M.Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics
and Stochastic Processes. Ed. R.Lima, L.Streit, R.Vilela Mendes.{ Springer,
Berlin, 1990, p.242-250.
29. Yu.S.Kivshar, B.Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by nonre-
sonant parametric perturbations.{ Phys. Rev. E, 1994, v.49, p.319-324.
30. A.B.Corbet. Suppression of chaos in 1D maps.{ Phys. Lett. A, 1988, v.130,
No4-5, p.267-270.
31. A. Hubler, R. Georgii, M. Kuckler, W. Stelzl, E. Lusher. Resonant stimulation
of nonlinear damped oscillators by Poincare maps.{ Helv. Phys. Acta, 1988,
v.61, p.897-900.
32. A. Hubler. Adaptive control of chaotic systems.{ Helv. Phys. Acta, 1989,
v.62, p.343-346.
33. E. A. Jackson, A. Hubler. Periodic entrainment of chaotic logistic map
dynamics.{ Physica D, 1990, v.44, p.407-420.
34. B.A.Huberman, E.Lumer. Dynamics of adaptive systems.{ IEEE Trans.
Circ. Syst., 1990, v.37, p.547-550.
35. K.Pyragas. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic
systems by self-controlling feedback.{ Z. Naturforsch A, 1993, v.48, p.629-632.
36. G.I.Dykman, P.S.Landa, Yu.I.Neimark. Synchronization the chaotic oscillations
by external force.{ Chaos, Solitons & Fractals, v.1, No4, p.339-353.
37. Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда. Стохастические и хаотические колеба-
ния.{ М., Наука, 1987.
38. E.Ott, C.Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos.{ Phys. Rev. Lett., 1990,
v.64, p.1196-1199.
39. F.J.Romeiras, E.Ott, C.Grebogi, W.P.Dayawansa. Controlling chaotic dynamical
systems.{ Physica D, 1992, v.58, p.165-192.
40. A.Yu.Loskutov. Dynamics control of chaotic systems by parametric destochastization.{
J. Phys. A, 1993, v.26, No18, p.4581-4594.
41. A.Yu.Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: an analytic
approach.{ In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed.
J.Awreicewicz.{ Springer, Berlin, 1995, p.125-150.
42. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko. Parametric perturbations and suppression
of chaos in n-dimensional maps.{ Preprint ICTP IC/94/347, Trieste, Italy,
1994.
21

43. J.Guckenheimer, P.Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems,
and Bifurcations of Vector Fields.{ Springer, Berlin, 1990 (Third printing).
44. П.Берже, И.Помо, К.Видаль. Порядок в хаосе.{ М., Мир, 1991.
45. R.L.Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.{ New York,
Amsterdam, Addison-Wesley Publ. Co., 1993 (Second Edition).
46. W.de Melo, S.van Strien. One-Dimensional Dynamics.{ Springer, Berlin,
1993.
47. А.И.Огнев. Метрические свойства некоторого класса отображений от-
резка в себя.{ Матем. заметки, 1981, т.30, No5, с.723-736.
48. M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an
interval.{ Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17-51.
49. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics
of one-dimensional maps by a cyclic parametric transformation.{ Int. J. Bif.
and Chaos, 1996, v.6, No4, p.725-735.
50. А.Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика.{
М., Мир, 1984.
51. А.Н.Дерюгин, А.Ю.Лоскутов, В.М.Терешко. К вопросу о рождении
устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых ди-
намических систем.{ ТМФ, 1995, т.104, No3, с.507-512.
52. А.Ю.Лоскутов, Р.Н.Майоров. Обобщение метода Мельникова для си-
стем типа вандерполевских с внешними возмущениями.{ Будет опублико-
вано.
53. А.Ю.Лоскутов, А.С.Михайлов. Введение в синергетику.{ М., Наука,
1990.
22

Подписи к рисункам
Рис.1. Цикл возмущенного (с периодом ) одномерного (n = 1) отображения (3)
в пространстве (x; a) (а), и его проекция на координатную ось (б).
Рис.2. Цикл с совпадающими координатами x периодически возмущаемого од-
номерного отображения (3) (n = 1) в пространстве (x; a) (а), и его проекция на
координатную ось (б).
Рис.3. Одна из устойчивых неподвижных точек отображения (9) при
a 1 = 3; 678 573 36, a 2 = 3; 974 591 25.
Рис.4. Устойчивый цикл возмущенного экспоненциального отображения (10) при
a 1 = 2; 833 157 4, a 2 = 3; 810 659 7.
Рис.5. Параметрическое пространство квадратичного отображения (9) с периоди-
ческим возмущением  = 3. Показаны различные виды проекции.
Рис.6а. Пространство параметров (a 1 ; a 2 ; a 3 ) квадратичного отображения (9) при
3-периодическом воздействии на подмножестве A c . Сечение плоскостью a 3 = 3; 8424.
Рис.6б. То же, что на рис.6а. Сечение плоскостью a 3 = 3; 8504.
Рис.6в. То же, что на рис.6а. Сечение плоскостью a 3 = 3; 8544.
Рис.6г. То же, что на рис.6а. Сечение плоскостью a 3 = 3; 9040.
Рис.7. Пространство параметров (a 1 ; a 2 ; a 3 ) квадратичного отображения (9) при
3-периодическом воздействии в области [3; 8; 4; 0]. Сечение плоскостью a 3 = 3; 8504.
Рис.8а. Параметрическое пространство семейства квадратичных отображений (9)
при сложном периодическом воздействии (16) на подмножестве A c . Сечение плоско-
стью a 3 = 3; 836.
Рис.8б. То же, что на рис.8а. Сечение плоскостью a 3 = 3; 8504.
Рис.8в. То же, что на рис.8а. Сечение плоскостью a 3 = 3; 8544.
Рис.8г. То же, что на рис.8а. Сечение плоскостью a 3 = 3; 9040.
Рис.9. Параметрическое пространство семейства квадратичных отображений (9)
при сложном периодическом воздействии (16) в области [3; 8; 4; 0]. Сечение плоско-
стью a 3 = 3; 836.
23